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第十章第6节：定积分的近似计算

矩形法、梯形法、Simpson抛物线法

完整知识体系与专业指南

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mindmap
  root((定积分近似计算))
    问题背景
      原函数不存在
      原函数难以求出
      离散数据
      实验曲线
    基本思想
      Riemann和近似
      以简代繁
      几何逼近
      误差控制
    三种经典方法
      矩形法
        左矩形法
        右矩形法
        中点矩形法
        几何意义
        误差阶O(h)
      梯形法
        线性逼近
        几何意义
        误差阶O(h²)
        复化梯形公式
      抛物线法Simpson
        二次逼近
        几何意义
        误差阶O(h⁴)
        复化Simpson公式
    误差分析
      截断误差
      舍入误差
      误差估计公式
      收敛性分析
    高级方法
      Newton-Cotes公式
      Gauss求积公式
      Romberg算法
      自适应求积

📖 第一部分：问题的提出与基本思想

一、为什么需要近似计算？

1.1 Newton-Leibniz公式的局限性

回顾基本定理： $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

局限性：

1. 原函数不存在初等形式

   • $\int e^{-x^2}dx$（误差函数，正态分布）
   • $\int \frac{\sin x}{x}dx$（正弦积分）
   • $\int \frac{1}{\ln x}dx$（对数积分）
   • $\int \sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}dx$（椭圆积分）

2. 原函数过于复杂

   • $\int \frac{dx}{1+x^4}$（可用部分分式，但极繁琐）
   • $\int \sqrt{1+x^3}dx$

3. 被积函数无解析表达式

   • 实验测得的离散数据点
   • 仪器记录的曲线
   • 数值模拟得到的函数值

4. 符号计算成本过高

   • 多重积分
   • 参数依赖的积分

1.2 定积分定义的启示

Riemann积分定义： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

关键洞察：每个积分和都是定积分的近似值！

基本策略：

• 选择合适的 ${\xi }_i$（左端点、右端点、中点等）
• 使用等距分割（简化计算）
• 用简单函数替代复杂函数（分段常数、分段线性、分段二次）

二、近似计算的核心思想

2.1 几何角度："以简代繁"

问题：计算曲边梯形面积 ${\int }_a^{b}f(x)dx$

策略：

1. 矩形法：用矩形替代曲边梯形
2. 梯形法：用梯形替代曲边梯形
3. 抛物线法：用抛物弧梯形替代曲边梯形

graph TD
    A[曲边梯形] --> B[矩形逼近]
    A --> C[梯形逼近]
    A --> D[抛物线逼近]
    
    B --> B1[精度低 O'h']
    C --> C1[精度中 O'h²']
    D --> D1[精度高 O'h⁴']
    
    B --> B2[计算简单]
    C --> C2[计算适中]
    D --> D2[计算稍复杂]
    
    style A fill:#f96
    style D fill:#9f9

2.2 函数角度："插值逼近"

核心思想：在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，用简单函数 $p(x)$ 逼近 $f(x)$：

$${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx\approx {\int }_{x_{i-1}}^{x_i}p(x)dx$$

逼近函数的选择：

• 0次多项式（常数）→ 矩形法
• 1次多项式（线性）→ 梯形法
• 2次多项式（二次）→ Simpson法

📖 第二部分：三种经典方法详解

一、矩形法（Rectangle Rule）

1.1 基本公式

等距分割：将 $[a,b]$ 分成 $n$ 等份 $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b,h=\frac{b-a}{n}$$

函数值： $$y_i=f(x_i),i=0,1,2,\dots ,n$$

左矩形法（Left Rectangle Rule）： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)=h(y_0+y_1+\cdots +y_{n-1})}\text{\hspace{1em}(1a)}$$

几何意义：每个小区间上用左端点高度的矩形

右矩形法（Right Rectangle Rule）： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=h(y_1+y_2+\cdots +y_n)}\text{\hspace{1em}(1b)}$$

几何意义：每个小区间上用右端点高度的矩形

中点矩形法（Midpoint Rule）： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)}\text{\hspace{1em}(1c)}$$

几何意义：用中点高度的矩形

1.2 几何图示

左矩形法：                梯形法：               抛物线法：
┌────┐                  ┌────╱                ╱──╲
│    │╲                 │   ╱                ╱    ╲
│    │ ╲                │  ╱                ╱      ╲
│    │  ╲               │ ╱                ╱        ╲
└────┴───┴              └─────              ──────────
x_i  x_{i+1}          x_i  x_{i+1}       x_{i-1} x_i x_{i+1}

1.3 误差分析

定理1（矩形法误差）：设 $f\in C^2[a,b]$，则左矩形法或右矩形法的误差为： $$E={\int }_a^{b}f(x)dx-h\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)=O(h)$$

更精确地： $$|E|\le \frac{(b-a)h}{2}\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{\prime }(x)|$$

中点矩形法更优： $$|E|\le \frac{(b-a)h^2}{24}\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{\prime \prime }(x)|=O(h^2)$$

二、梯形法（Trapezoidal Rule）

2.1 基本原理

几何思想：将曲线 $y=f(x)$ 的每一段弧 $P_{i-1}{P}_i$ 用弦（直线段）替代。

线性插值：在 $[x_{i-1},x_i]$ 上，用通过 $(x_{i-1},y_{i-1})$ 和 $(x_i,y_i)$ 的直线： $$p(x)=y_{i-1}+\frac{y_i-y_{i-1}}{h}(x-x_{i-1})$$

2.2 梯形法公式推导

单个小区间： $${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx\approx {\int }_{x_{i-1}}^{x_i}p(x)dx$$

计算右侧积分（梯形面积）： $${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}p(x)dx=\frac{y_{i-1}+y_i}{2}\cdot h$$

求和得总公式： $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n\frac{y_{i-1}+y_i}{2}h$$

$$=\frac{h}{2}\left[(y_0+y_1)+(y_1+y_2)+\cdots +(y_{n-1}+y_n)\right]$$

$$=\frac{h}{2}\left[y_0+2y_1+2y_2+\cdots +2y_{n-1}+y_n\right]$$

梯形法公式： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left[y_0+2(y_1+y_2+\cdots +y_{n-1})+y_n\right]}\text{\hspace{1em}(2)}$$

简化记号： $$\boxed{T_n=\frac{h}{2}\left[(y_0+y_n)+2\sum _{i=1}^{n-1}{y}_i\right]}$$

2.3 误差分析

定理2（梯形法误差）：设 $f\in C^2[a,b]$，则： $$E_T={\int }_a^{b}f(x)dx-T_n=-\frac{(b-a)h^2}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi )$$

其中 $\xi \in (a,b)$。

误差界： $$|E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{\prime \prime }(x)|=O(h^2)$$

重要性质：

• 若 $f$ 是凹函数（$f^{\prime \prime }>0$），则 $T_n>{\int }_a^{b}f(x)dx$（高估）
• 若 $f$ 是凸函数（$f^{\prime \prime }<0$），则 $T_n<{\int }_a^{b}f(x)dx$（低估）
• 若 $f$ 是线性函数，则 $T_n$ 精确

三、Simpson抛物线法（Simpson's Rule）

3.1 基本原理

核心思想：在连续的三个点 $(x_{2i-2},y_{2i-2})$，$(x_{2i-1},y_{2i-1})$，$(x_{2i},y_{2i})$ 上，用通过这三点的二次抛物线逼近曲线。

关键：区间必须分为偶数份（$n=2m$）。

3.2 Simpson公式推导

Step 1：局部推导

考虑区间 $[x_0,x_2]$，其中 $x_1=\frac{x_0+x_2}{2}$，$h=\frac{x_2-x_0}{2}$。

通过三点 $(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ 的抛物线为： $$p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$$

积分计算（利用对称性）： $${\int }_{x_0}^{x_2}p(x)dx={\int }_{x_0}^{x_2}(\alpha x^2+\beta x+\gamma )dx$$

$$={\left[\frac{\alpha x^3}{3}+\frac{\beta x^2}{2}+\gamma x\right]}_{x_0}^{x_2}$$

经过复杂代数运算（利用 $x_0+x_2=2x_1$），可证明： $${\int }_{x_0}^{x_2}p(x)dx=\frac{x_2-x_0}{6}(y_0+4y_1+y_2)=\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2)$$

（原文中给出了简化推导）

关键技巧：利用中点 $x_1=\frac{x_0+x_2}{2}$ 的对称性，有： $$\alpha (x_0+x_2{)}^2+2\beta (x_0+x_2)+4\gamma =\alpha (2x_1{)}^2+2\beta (2x_1)+4\gamma$$

结合边界条件 $p(x_i)=y_i$，可推出： $$\frac{1}{6}[(y_0+y_2)+4y_1]\cdot (x_2-x_0)$$

Step 2：分段应用

将 $[a,b]$ 分成 $2n$ 等份（偶数份），步长 $h=\frac{b-a}{2n}$。

对每对相邻区间 $[x_{2i-2},x_{2i}]$（$i=1,2,\dots ,n$）应用上述公式： $${\int }_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i})$$

Step 3：求和

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx$$

$$\approx \sum _{i=1}^n\frac{h}{3}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i})$$

$$=\frac{h}{3}\left[(y_0+4y_1+y_2)+(y_2+4y_3+y_4)+\cdots +(y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n})\right]$$

整理得Simpson公式： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\left[y_0+y_{2n}+4(y_1+y_3+\cdots +y_{2n-1})+2(y_2+y_4+\cdots +y_{2n-2})\right]}\text{\hspace{1em}(3)}$$

简化记号： $$\boxed{S_n=\frac{h}{3}\left[(y_0+y_{2n})+4\sum _{i=1}^n{y}_{2i-1}+2\sum _{i=1}^{n-1}{y}_{2i}\right]}$$

记忆口诀：

• 首尾各一次：$y_0,y_{2n}$
• 奇数下标四倍：$4(y_1+y_3+\cdots )$
• 偶数下标（非首尾）二倍：$2(y_2+y_4+\cdots )$

3.3 误差分析

定理3（Simpson法误差）：设 $f\in C^4[a,b]$，则： $$E_S={\int }_a^{b}f(x)dx-S_n=-\frac{(b-a)h^4}{180}{f}^{(4)}(\xi )$$

其中 $\xi \in (a,b)$。

误差界： $$|E_S|\le \frac{(b-a)h^4}{180}\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{(4)}(x)|=O(h^4)$$

重要性质：

• Simpson法对三次多项式精确（惊人的结果！）
• 误差收敛速度远快于梯形法
• 实际应用中首选方法

📖 第三部分：经典算例详解

例题：计算 ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ 的近似值

背景：

• 准确值：${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}=0.78539816\dots$
• 分割：10等分，$h=0.1$

一、准备工作：列函数值表

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

二、方法1：左矩形法

公式： $$I\approx h(y_0+y_1+\cdots +y_9)$$

计算： $$I\approx 0.1\times (1.0000000+0.9900990+0.9615385+\cdots +0.5524862)$$

$$=0.1\times 8.0998150=0.80998150$$

误差：$|0.8100-0.7854|=0.0246$（仅1位有效数字）

三、方法2：右矩形法

公式： $$I\approx h(y_1+y_2+\cdots +y_{10})$$

计算： $$I\approx 0.1\times (0.9900990+0.9615385+\cdots +0.5000000)$$

$$=0.1\times 7.5998150=0.75998150$$

误差：$|0.7600-0.7854|=0.0254$（仅1位有效数字）

四、方法3：梯形法

公式： $$T_{10}=\frac{0.1}{2}\left[y_0+2(y_1+\cdots +y_9)+y_{10}\right]$$

计算： $$T_{10}=0.05\times [1.0000000+2\times 8.0998150+0.5000000]$$

$$=0.05\times [1.0+16.199630+0.5]$$

$$=0.05\times 17.699630=0.78498150$$

准确到四位小数：$0.7850$

误差：$|0.7850-0.7854|=0.0004$（3位有效数字）

五、方法4：Simpson抛物线法

公式： $$S_5=\frac{0.1}{3}\left[(y_0+y_{10})+4(y_1+y_3+y_5+y_7+y_9)+2(y_2+y_4+y_6+y_8)\right]$$

Step 1：分组计算

首尾： $$y_0+y_{10}=1.0000000+0.5000000=1.5000000$$

奇数项（乘以4）： $$y_1+y_3+y_5+y_7+y_9=0.9900990+0.9174312+0.8000000+0.6711409+0.5524862$$ $$=3.9311573$$ $$4\times 3.9311573=15.7246292$$

偶数项（乘以2）： $$y_2+y_4+y_6+y_8=0.9615385+0.8620690+0.7352941+0.6097561$$ $$=3.1686577$$ $$2\times 3.1686577=6.3373154$$

Step 2：求和 $$1.5000000+15.7246292+6.3373154=23.5619446$$

Step 3：乘以系数 $$S_5=\frac{0.1}{3}\times 23.5619446=\frac{2.35619446}{3}=0.78539815$$

准确到七位小数：$0.7853982$

误差：$|0.7853982-0.7853982|<10^{-7}$（6位有效数字！）

六、结果对比

结论：Simpson法明显优于梯形法，梯形法优于矩形法。

📖 第四部分：误差分析与优化策略

一、误差来源

1.1 截断误差（Truncation Error）

定义：用近似公式代替精确积分引入的误差。

各方法的截断误差阶：

• 矩形法：$O(h)$ 或 $O(h^2)$（中点法）
• 梯形法：$O(h^2)$
• Simpson法：$O(h^4)$

规律：插值多项式次数越高，误差阶越高。

1.2 舍入误差（Round-off Error）

定义：计算机浮点运算的精度限制引入的误差。

特点：

• 计算次数越多，累积误差越大
• 与步长 $h$ 成反比（$h$ 越小，计算次数越多）

总误差平衡： $$E_{\text{total}}=E_{\text{trunc}}+E_{\text{round}}\sim C{h}^p+\frac{K}{h}$$

存在最优步长 $h_{\text{opt}}$，使总误差最小。

二、误差估计公式

2.1 后验误差估计

思想：通过不同步长的结果估计误差。

Richardson外推法：

对于梯形法，有： $$T_h=I+c_2{h}^2+c_4{h}^4+\cdots$$

计算 $T_h$ 和 $T_{h/2}$，则： $$T_{h/2}=I+c_2\frac{h^2}{4}+c_4\frac{h^4}{16}+\cdots$$

消去 $c_2{h}^2$ 项： $$I\approx \frac{4T_{h/2}-T_h}{3}=T_{h/2}+\frac{T_{h/2}-T_h}{3}$$

这正是Simpson公式的基础！

2.2 误差上界估计

梯形法： $$|E_T|\le \frac{(b-a{)}^3}{12n^2}\max |f^{\prime \prime }(x)|$$

Simpson法： $$|E_S|\le \frac{(b-a{)}^5}{180n^4}\max |f^{(4)}(x)|$$

应用：给定精度要求 $ϵ$，反推所需分割数 $n$。

三、复化求积公式

3.1 复化梯形公式递推

关系： $$T_{2n}=\frac{1}{2}{T}_n+\frac{h}{2}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1/2})$$

其中 $x_{i-1/2}$ 是新增的中点。

优点：逐步加密时无需重新计算所有函数值。

3.2 复化Simpson公式递推

关系： $$S_{2n}=\frac{4T_{2n}-T_n}{3}$$

结合梯形公式的递推，可高效实现。

四、自适应求积

思想：根据局部误差大小动态调整步长。

算法框架：

1. 用粗网格计算 $I_h$
2. 用细网格计算 $I_{h/2}$
3. 估计误差 $ϵ\approx |I_{h/2}-I_h|$
4. 若 $ϵ<\text{TOL}$，接受结果；否则继续细分

优点：在光滑区域用大步长，在剧烈变化区域用小步长，提高效率。

📖 第五部分：高级主题与扩展

一、Newton-Cotes公式族

1.1 一般形式

定义：在 $[a,b]$ 上取 $n+1$ 个等距节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，用 $n$ 次插值多项式逼近，得： $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{C}_i^{(n)}f(x_i)$$

其中系数 $C_i^{(n)}$ 称为Cotes系数。

1.2 低阶公式

二、Gauss求积公式

2.1 核心思想

问题：Newton-Cotes公式中节点是等距的，能否优化节点位置以提高精度？

Gauss思想：选择最优节点 $x_1,\dots ,x_n$ 和权重 $w_1,\dots ,w_n$，使公式对尽可能高次的多项式精确。

2.2 Gauss-Legendre公式

区间 $[-1,1]$： $${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$$

其中 $x_i$ 是 $n$ 次Legendre多项式 $P_n(x)$ 的零点。

精度：对 $2n-1$ 次多项式精确！

示例（$n=2$）： $${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

对3次多项式精确。

三、Romberg算法

3.1 基本思想

Richardson外推的递推形式：

定义：

• $T_0^{(k)}$：步长 $h_k=\frac{b-a}{2^k}$ 的梯形值
• $T_m^{(k)}$：$m$ 次外推值

递推公式： $$T_m^{(k)}=\frac{4^m{T}_{m-1}^{(k+1)}-T_{m-1}^{(k)}}{4^m-1}$$

Romberg表：

T_0^(0)
T_0^(1)  T_1^(0)
T_0^(2)  T_1^(1)  T_2^(0)
T_0^(3)  T_1^(2)  T_2^(1)  T_3^(0)
...

最终值 $T_m^{(0)}$ 收敛速度极快（$O(h^{2m+2})$）。

四、多重积分的数值计算

4.1 二重积分

矩形区域 $[a,b]\times [c,d]$： $${\iint }_{R}f(x,y)dA\approx \sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{w}_i{w}_{j}f(x_i,y_j)$$

复化Simpson法： $$I\approx \frac{h_x{h}_y}{9}\sum _{i,j}{c}_i{c}_{j}f(x_i,y_j)$$

其中 $c_i\in \{1,2,4\}$ 取决于位置。

4.2 Monte Carlo方法

思想：用随机采样估计积分。

公式： $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f({\xi }_i)$$

其中 ${\xi }_i$ 是 $[a,b]$ 上的随机点。

优点：

• 适用于高维积分（维数灾难缓解）
• 误差 $O(N^{-1/2})$，与维数无关

缺点：收敛速度慢。

🎯 实用指南与编程实现

一、选择合适方法的决策树

flowchart TD
    A[定积分数值计算] --> B{函数性质?}
    
    B -->|光滑, f^(4)有界| C[优先Simpson法]
    B -->|仅f''有界| D[梯形法]
    B -->|不光滑/间断| E[自适应方法]
    
    C --> C1{精度要求?}
    C1 -->|一般| C2[复化Simpson]
    C1 -->|极高| C3[Romberg算法]
    
    D --> D1[复化梯形法]
    
    E --> E1[自适应Simpson]
    
    B -->|高维积分| F[Monte Carlo]
    B -->|周期函数| G[Fourier方法]
    
    style A fill:#f96
    style C fill:#9f9

二、Python实现示例

2.1 梯形法

import numpy as np

def trapezoidal(f, a, b, n):
    """
    梯形法计算定积分
    
    参数:
        f: 被积函数
        a, b: 积分区间
        n: 分割数
    
    返回:
        积分近似值
    """
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    
    result = h * (0.5*y[0] + np.sum(y[1:-1]) + 0.5*y[-1])
    return result

# 示例
f = lambda x: 1 / (1 + x**2)
I = trapezoidal(f, 0, 1, 10)
print(f"梯形法结果: {I:.7f}")
print(f"准确值: {np.pi/4:.7f}")
print(f"误差: {abs(I - np.pi/4):.2e}")

2.2 Simpson法

def simpson(f, a, b, n):
    """
    Simpson法计算定积分
    
    注意: n必须是偶数
    """
    if n % 2 != 0:
        raise ValueError("n必须是偶数")
    
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    
    # 分组求和
    S = y[0] + y[-1]  # 首尾
    S += 4 * np.sum(y[1:-1:2])  # 奇数下标
    S += 2 * np.sum(y[2:-1:2])  # 偶数下标
    
    result = h * S / 3
    return result

# 示例
I = simpson(f, 0, 1, 10)
print(f"Simpson法结果: {I:.7f}")
print(f"误差: {abs(I - np.pi/4):.2e}")

输出：

梯形法结果: 0.7849815
准确值: 0.7853982
误差: 4.17e-04

Simpson法结果: 0.7853982
误差: 3.35e-08

2.3 自适应Simpson法

def adaptive_simpson(f, a, b, tol=1e-6, max_depth=10):
    """
    自适应Simpson求积
    
    参数:
        f: 被积函数
        a, b: 积分区间
        tol: 误差容限
        max_depth: 最大递归深度
    """
    def simpson_basic(a, b):
        c = (a + b) / 2
        h = (b - a) / 6
        return h * (f(a) + 4*f(c) + f(b))
    
    def adaptive_aux(a, b, S_ab, depth):
        c = (a + b) / 2
        S_ac = simpson_basic(a, c)
        S_cb = simpson_basic(c, b)
        
        # 误差估计
        error = (S_ac + S_cb - S_ab) / 15
        
        if abs(error) < tol or depth >= max_depth:
            return S_ac + S_cb + error
        else:
            left = adaptive_aux(a, c, S_ac, depth+1)
            right = adaptive_aux(c, b, S_cb, depth+1)
            return left + right
    
    S_initial = simpson_basic(a, b)
    return adaptive_aux(a, b, S_initial, 0)

# 示例：计算振荡函数
f_osc = lambda x: np.sin(10*x) / (1 + x**2)
I = adaptive_simpson(f_osc, 0, 5, tol=1e-8)
print(f"自适应结果: {I:.8f}")

三、实际应用案例

案例1：工程中的定积分

问题：桥梁设计中，计算不规则截面的形心。

数据：实测截面高度（单位：米）

求：截面面积 $A={\int }_0^{6}ydx$

解：用Simpson法（$n=6$） $$A\approx \frac{1}{3}\left[0+0+4(2.3+4.1+2.9)+2(3.5+3.8)\right]$$ $$=\frac{1}{3}\left[0+4\times 9.3+2\times 7.3\right]=\frac{1}{3}\times 51.8=17.27{\text{m}}^2$$

案例2：物理中的能量计算

问题：弹簧从自然长度拉伸到 $x=L$，力-位移关系为 $F(x)=kx+\alpha x^3$（非线性弹簧），求做功。

积分： $$W={\int }_0^L(kx+\alpha x^3)dx$$

若 $k,\alpha$ 仅有实验数据，需用数值方法。

案例3：概率统计

问题：计算正态分布 $N(0,1)$ 在 $[0,2]$ 上的概率。

$$P(0\le X\le 2)={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx$$

挑战：被积函数无初等原函数。

解：用Simpson法或查表。

from scipy import integrate

f = lambda x: np.exp(-x**2/2) / np.sqrt(2*np.pi)
result, error = integrate.quad(f, 0, 2)
print(f"概率: {result:.6f} ± {error:.2e}")
# 概率: 0.477250 ± 5.30e-15

📝 习题全集

基础题

1. 用梯形法和Simpson法计算以下积分（$n=8$）： (a) ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ (b) ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x}dx$ (c) ${\int }_0^{\pi }\sin x\cdot e^{-x}dx$

2. 用矩形法（左、右、中点）计算 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$（圆的四分之一面积），比较误差。

3. 证明：对于线性函数 $f(x)=ax+b$，梯形法给出精确值。

提高题

4. 证明：Simpson法对三次多项式精确。

提示：验证 ${\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{1}{3}[0+4\cdot 1+8]$。

5. 利用误差公式，求使梯形法计算 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$ 误差小于 $10^{-4}$ 所需的最小分割数 $n$。

解： $$|E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max |f^{\prime \prime }(x)|=\frac{h^2}{12}\cdot e\le 10^{-4}$$

$$h^2\le \frac{12\times 10^{-4}}{e}\approx 4.4\times 10^{-4}$$

$$h\le 0.021,n\ge \frac{1}{0.021}\approx 48$$

6. 编写程序实现Romberg算法，计算 ${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx=\pi$，精确到 $10^{-10}$。

应用题

7. （物理）速度-时间数据如下，用Simpson法求位移。

8. （工程）油罐横放，直径2米，长5米，油深1.5米，求油量。

提示：横截面为圆弓形，需计算 $V=L{\int }_{-1}^{0.5}2\sqrt{1-y^2}dy$。

⚠️ 常见错误与注意事项

易错点1：Simpson法要求偶数分割

❌ 错误：$n=9$（奇数）时套用Simpson公式

✅ 正确：检查 $n$ 的奇偶性，必要时调整或用混合方法

易错点2：混淆步长 $h$ 的定义

• 梯形法：$h=\frac{b-a}{n}$
• Simpson法：$h=\frac{b-a}{2n}$（区间数为 $2n$）

易错点3：系数记忆错误

Simpson公式口诀：

• "首尾一，奇四偶二"
• 检验：系数和 = $1+4\times n+2\times (n-1)=6n-1$？错！
• 正确：系数和应使 $\sum C_i=1$（归一化）

易错点4：忽略舍入误差累积

现象：$n$ 过大时，结果反而变差

原因：浮点运算误差累积

解决：使用Romberg算法或自适应方法

易错点5：不检查函数性质

问题：对剧烈振荡或间断函数直接用Simpson法

后果：收敛缓慢或失败

建议：

• 间断点：分段积分
• 振荡函数：增加分割数或用特殊方法

🎓 理论深化与数学洞察

一、为什么Simpson法对三次多项式精确？

定理：Simpson公式对不超过3次的多项式精确。

证明思路：

1. 对称性：区间 $[x_0,x_2]$ 关于 $x_1$ 对称
2. 奇数次项消失：${\int }_{x_0}^{x_2}(x-x_1{)}^{2k+1}dx=0$
3. 精确到3次：通过 Lagrange插值验证

这是Simpson法高效的关键原因！

二、Newton-Cotes公式的稳定性

Runge现象：高阶等距插值可能导致边界振荡。

教训：

• Newton-Cotes公式不宜 $n$ 过大
• 实践中多用复化低阶公式
• Gauss求积避免了这一问题

三、Peano核定理

定理：若求积公式对 $m$ 次多项式精确，则误差可表示为： $$E={\int }_a^{b}K(x)f^{(m+1)}(x)dx$$

其中 $K(x)$ 是Peano核。

这给出了统一的误差分析框架。

✅ 学习检查清单

• 理解为什么需要数值积分
• 掌握矩形法、梯形法、Simpson法的推导
• 能正确列表计算函数值
• 熟记三种方法的公式（特别是系数）
• 理解各方法的几何意义
• 了解误差阶的概念（$O(h),O(h^2),O(h^4)$）
• 会根据误差要求选择分割数
• 能编程实现基本算法
• 理解复化公式的递推关系
• 了解自适应方法的思想
• 知道高级方法（Romberg、Gauss）的存在

📖 参考文献与延伸阅读

经典教材

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 李庆扬, 王能超, 易大义.《数值分析》（第5版）[M]. 清华大学出版社
3. Burden, R. & Faires, J. Numerical Analysis (10th ed.) [M]. Cengage
4. Stoer, J. & Bulirsch, R. Introduction to Numerical Analysis [M]. Springer

专著

5. Davis, P. & Rabinowitz, P. Methods of Numerical Integration [M]. Academic Press
6. Krylov, V. Approximate Calculation of Integrals [M]. Dover

在线资源

7. SciPy Documentation - Integration
8. NumPy for Numerical Methods

历史读物

9. Chabert, J. A History of Algorithms [M]. Springer
10. Goldstine, H. A History of Numerical Analysis [M]. Springer

🌟 学习建议

时间安排

• 基础理论：3学时
• 三种方法推导：3学时
• 算例练习：2学时
• 误差分析：2学时
• 编程实现：3学时
• 高级主题：2学时
• 总计：约15学时

学习重点

1. 核心方法：梯形法、Simpson法的公式和使用
2. 误差概念：截断误差、误差阶
3. 实际应用：离散数据的积分
4. 编程能力：实现基本算法

学习难点

1. Simpson公式的系数分组
2. 误差估计公式的应用
3. 自适应方法的递归逻辑
4. Romberg算法的原理

实践建议

1. 手算：至少完整做一遍例题
2. 编程：实现三种基本方法
3. 对比：同一个积分用不同方法比较
4. 应用：找一个实际数据集练习
5. 验证：用已知积分检验程序正确性

🎯 总结与展望

核心要点回顾

1. 方法对比：

2. 选择原则：

   • 一般情况：优先Simpson法
   • 高精度需求：Romberg算法
   • 不光滑函数：自适应方法
   • 高维积分：Monte Carlo

3. 编程实践：现代科学计算中，应使用成熟库（如scipy.integrate），而非重新实现。

与其他主题的联系

graph LR
    A[定积分数值计算] --> B[常微分方程数值解]
    A --> C[数值线性代数]
    A --> D[数值优化]
    A --> E[有限元方法]
    A --> F[科学计算]
    
    B --> B1[Euler法]
    B --> B2[Runge-Kutta法]
    
    D --> D1[梯度计算]
    D1 --> A
    
    E --> E1[刚度矩阵]
    E1 --> A
    
    style A fill:#f96

未来学习方向

1. 数值分析：系统学习各种数值方法
2. 偏微分方程数值解：有限差分、有限元
3. 科学计算：MATLAB、Python、Julia
4. 并行计算：大规模数值模拟
5. 机器学习：数值优化算法

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解定积分的近似计算！这些方法不仅是数学工具，更是连接理论与应用的桥梁。掌握它们，您将能够解决大量实际问题。🧮✨

如需更详细的某个主题讲解、编程指导或习题解答，请随时告诉我！💻📊