完美！我看到这是《数学分析》第十章第5节关于定积分在物理中的应用的内容。让我为您构建一个完整、系统的知识体系。

第十章第5节：定积分在物理中的应用

液体静压力、引力、功与平均功率

完整知识体系与思维导图

📚 知识体系总览

mindmap
  root((定积分物理应用))
    微元法哲学
      核心思想
        分割近似求和取极限
        代数可加性原理
        高阶无穷小验证
      标准步骤
        建立坐标系
        取微元
        近似替代
        积分求和
    液体静压力
      基本原理
        Pascal定律
        压强公式p=ρgx
        方向垂直受力面
      典型问题
        圆形闸门
        矩形闸门
        梯形闸门
        倾斜平板
        曲面压力
        浮力计算
    万有引力与电磁力
      万有引力
        点质量系统
        连续分布
        细杆引力
        圆环引力
        球壳引力
      库仑力
        点电荷系统
        线性电荷分布
        圆弧导线
        对称性分析
    功与能量
      变力做功
        直接积分法
        抽水做功
        提升物体
        弹簧功
      平均功率
        瞬时功率
        周期平均
        交流电有效值
      克服阻力做功
        变阻力
        介质阻力

📖 第一部分：理论基础——微元法深度剖析

一、微元法的哲学思想

1.1 核心理念

基本思想："以直代曲，以常代变，积零为整"

数学本质：Riemann积分的物理应用 $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

物理意义：

• 分割：将整体问题分解为无穷多个微小部分
• 近似：在微小范围内用简单规律代替复杂规律
• 求和：通过积分将所有微小贡献汇总
• 取极限：确保近似误差消失

1.2 代数可加性条件

定义：量 $\Phi$ 关于区间 $[a,b]$ 具有代数可加性，如果对任意 $c\in (a,b)$： $$\Phi ([a,b])=\Phi ([a,c])+\Phi ([c,b])$$

符合条件的物理量：

• ✓ 质量、体积、面积
• ✓ 功、能量、电荷
• ✓ 力（同方向、同作用点）
• ✗ 温度、压强、密度（强度量）
• ✗ 不同方向的力（需分解）

1.3 微元法标准流程

flowchart TD
    A[物理问题] --> B[分析对称性与约束]
    B --> C[建立合适坐标系]
    C --> D[确定积分变量x及区间[a,b]]
    D --> E[取微元区间[x, x+dx]]
    E --> F[找出微小增量ΔΦ]
    F --> G[选取近似可求量Δ'Φ]
    G --> H{Δ'Φ是否线性于dx?}
    H -->|否| I[重新选择近似]
    H -->|是| J[写出dΦ = f·dx]
    J --> K{验证高阶无穷小?}
    K -->|否| I
    K -->|是| L[建立积分Φ = ∫f dx]
    L --> M[计算定积分]
    M --> N[物理意义解释]
    
    style C fill:#e1f5ff
    style J fill:#d4edda
    style L fill:#fff3cd

1.4 关键验证条件

高阶无穷小验证：必须满足 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{|{\Delta }^{\prime }\Phi -f(x)\Delta x|}{\Delta x}=0$$

常见错误：

• ❌ 弧长微元用 $ds=dx$（应为 $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$）
• ❌ 压力微元忽略深度变化
• ❌ 引力直接对大小积分（应先分解方向）

📖 第二部分：液体静压力

一、基本物理原理

1.1 Pascal定律

定律表述：静止流体内部任一点的压强在各个方向上都相等。

数学表达： $$p=p_0+\rho gh$$

其中：

• $p_0$：液面压强（通常取大气压，计算时可忽略）
• $\rho$：液体密度（水：$\rho =1000{\text{kg/m}}^3$）
• $g$：重力加速度（$g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$ 或 $10{\text{m/s}}^2$）
• $h$：深度（从液面向下为正）

1.2 压力的方向性

关键性质：

1. 压力方向永远垂直于受力面
2. 压强为标量，压力为矢量
3. 曲面上不同点的压力方向不同

推论：对于竖直平面，压力方向水平；对于倾斜平面，需考虑法向量方向。

二、典型例题详解

例1：圆形闸门的静压力

题目（原文例1）：管道的圆形闸门，半径 $r=3\text{m}$，水平面齐及直径时，闸门所受水的静压力为多大？

解析：

Step 1：建立坐标系

• 原点在圆心（水平面上）
• $x$ 轴竖直向下（深度方向）
• $y$ 轴水平方向

圆的方程：$x^2+y^2=9$

Step 2：确定几何关系

在深度 $x$ 处（$0\le x\le 3$），闸门的水平宽度为： $$w(x)=2\sqrt{9-x^2}$$

Step 3：取微元并建立压力微元

取深度 $[x,x+dx]$ 的水平狭条：

• 面积：$dA=w(x)dx=2\sqrt{9-x^2}dx$
• 压强：$p(x)=\rho gx$（忽略大气压）
• 压力微元： $$dP=p(x)\cdot dA=2\rho gx\sqrt{9-x^2}dx$$

Step 4：积分求总压力

$$P={\int }_0^{3}2\rho gx\sqrt{9-x^2}dx$$

换元法：令 $u=9-x^2$，则 $du=-2xdx$

当 $x=0$ 时 $u=9$；当 $x=3$ 时 $u=0$

$$P={\int }_9^0\rho g\sqrt{u}(-du)=\rho g{\int }_0^9\sqrt{u}du$$

$$=\rho g{\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_0^9=\rho g\cdot \frac{2}{3}\cdot 27$$

$$=\boxed{18\rho g}(\text{约}180000\text{N})$$

物理意义解释：

设圆心深度为 $\bar{h}$，则： $$P=\rho g\bar{h}\cdot S$$

其中 $S=\pi r^2=9\pi$ 是闸门面积。

由 $P=18\rho g$，得： $$\bar{h}=\frac{18\rho g}{9\pi \rho g}=\frac{2}{\pi }\approx 0.637\text{m}$$

这个深度称为压力中心，位于圆心下方。

例1扩展：梯形闸门

题目（习题1）：等腰梯形闸门，上底 $a=10\text{m}$，下底 $b=6\text{m}$，高 $h=20\text{m}$，水面与上底边相齐，求静压力。

解析：

几何关系：在深度 $x$（$0\le x\le 20$）处，闸门宽度为： $$w(x)=a-\frac{a-b}{h}x=10-\frac{4}{20}x=10-0.2x$$

压力微元： $$dP=\rho gx\cdot w(x)dx=\rho gx(10-0.2x)dx$$

积分： $$P=\rho g{\int }_0^{20}x(10-0.2x)dx=\rho g{\int }_0^{20}(10x-0.2x^2)dx$$

$$=\rho g{\left[5x^2-\frac{0.2x^3}{3}\right]}_0^{20}$$

$$=\rho g\left[5\cdot 400-\frac{0.2\cdot 8000}{3}\right]$$

$$=\rho g\left[2000-\frac{1600}{3}\right]=\rho g\cdot \frac{4400}{3}$$

$$=\boxed{\frac{4400\rho g}{3}}(\text{约}14.4\times 10^6\text{N})$$

例2：倾斜矩形平板

题目（习题2）：矩形薄板边长 $a,b$（$a>b$），与液面成角 $\alpha$（$0<\alpha <90°$），长边平行于液面，上沿深度 $h$，液体比重 $\gamma$，求压力。

解析：

坐标系：沿板面建立坐标 $s$，原点在上沿。

深度关系：板面上点 $s$ 的深度为： $$x(s)=h+s\sin \alpha$$

压力微元： $$dP=\gamma x(s)\cdot ads=\gamma a(h+s\sin \alpha )ds$$

积分： $$P=\gamma a{\int }_0^b(h+s\sin \alpha )ds$$

$$=\gamma a{\left[hs+\frac{s^2\sin \alpha }{2}\right]}_0^b$$

$$=\gamma a\left(hb+\frac{b^2\sin \alpha }{2}\right)$$

$$=\boxed{\gamma ab\left(h+\frac{b\sin \alpha }{2}\right)}$$

物理意义：压力中心在板面中心下方 $\frac{b\sin \alpha }{2}$ 处。

例3：球面浮力

题目（习题3）：直径 $D=6\text{m}$ 的球浸入水中，球心在水面下 $H=10\text{m}$，求浮力。

解析：

方法一：直接积分

建立坐标系：球心在原点，$z$ 轴竖直向上。

球面方程：$x^2+y^2+z^2=9$

在高度 $z$ 处（$-3\le z\le 3$）：

• 水平截面为圆，半径 $r(z)=\sqrt{9-z^2}$
• 深度：$h(z)=H-z=10-z$
• 压强：$p(z)=\rho g(10-z)$

浮力微元（竖直方向分力）： $$dF=p(z)\cdot d{A}_{\text{投影}}=\rho g(10-z)\cdot \pi (9-z^2)dz$$

积分： $$F={\int }_{-3}^3\rho g(10-z)\pi (9-z^2)dz$$

$$=\pi \rho g{\int }_{-3}^3[(90-10z^2)-(9z-z^3)]dz$$

由对称性，奇函数项积分为零： $$F=\pi \rho g{\int }_{-3}^3(90-10z^2)dz$$

$$=\pi \rho g{\left[90z-\frac{10z^3}{3}\right]}_{-3}^3$$

$$=\pi \rho g\cdot 2\left[270-90\right]=\pi \rho g\cdot 360$$

$$=\boxed{360\pi \rho g}$$

方法二：Archimedes原理

浮力等于排开水的重量： $$F=\rho g{V}_{\text{球}}=\rho g\cdot \frac{4\pi r^3}{3}=\rho g\cdot \frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi \rho g$$

等一下！两个答案不一致？

分析错误：方法一计算的是净压力（上下表面压力差），正确结果应为 $36\pi \rho g$。

修正：积分应为： $$F={\int }_{-3}^3[p_{\text{下}}-p_{\text{上}}]\cdot \pi r^2(z)dz={\int }_{-3}^3\rho g\cdot \pi (9-z^2)dz$$

$$=\pi \rho g{\int }_{-3}^3(9-z^2)dz=\pi \rho g{\left[9z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3$$

$$=\pi \rho g\cdot 2\cdot 18=\boxed{36\pi \rho g}✓$$

📖 第三部分：万有引力与电磁力

一、万有引力基本定律

1.1 Newton万有引力定律

点质量形式： $$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中：

• $G = 6.674 \times 10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2$（万有引力常数）
• $m_1,m_2$：两质点的质量
• $r$：两质点间的距离

矢量形式： $${\vec{F}}_{12}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^3}{\vec{r}}_{12}$$

负号表示引力方向指向另一质点。

1.2 叠加原理

多个质点对某质点的引力等于各质点单独作用力的矢量和： $$\vec{F}=\sum _{i=1}^n{\vec{F}}_i$$

连续分布： $$\vec{F}=\int \frac{Gmdm}{r^2}\hat{r}$$

其中 $\hat{r}$ 是从质元 $dm$ 指向质点 $m$ 的单位矢量。

二、典型引力问题

例2：均匀细杆对质点的引力（原文例2）

题目：均匀细杆长 $l$，质量 $M$，在其中垂线上距杆 $a$ 处有质量 $m$ 的质点，求引力。

解析：

Step 1：建立坐标系

• 细杆在 $x$ 轴上，关于原点对称：$x\in [-l/2,l/2]$
• 质点在 $y$ 轴上点 $(0,a)$

Step 2：质量微元

取位置 $x$ 处长度 $dx$ 的微元： $$dM=\frac{M}{l}dx$$

Step 3：引力微元

微元对质点的引力大小： $$dF=G\frac{mdM}{r^2}=G\frac{m\cdot \frac{M}{l}dx}{x^2+a^2}$$

Step 4：分解到坐标轴

引力与 $y$ 轴夹角 $\theta$，满足： $$\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}},\sin \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

水平分量： $$d{F}_x=dF\sin \theta =G\frac{mM}{l}\cdot \frac{x}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}dx$$

竖直分量： $$d{F}_y=-dF\cos \theta =-G\frac{mM}{l}\cdot \frac{a}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}dx$$

（负号表示指向 $y$ 轴负方向）

Step 5：积分求合力

水平方向（由对称性）： $$F_x={\int }_{-l/2}^{l/2}G\frac{mM}{l}\cdot \frac{x}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}dx=0$$

（奇函数在对称区间上积分为零）

竖直方向： $$F_y=-G\frac{mMa}{l}{\int }_{-l/2}^{l/2}\frac{dx}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}$$

计算积分： $$\int \frac{dx}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C$$

因此： $$F_y=-G\frac{mMa}{l}\cdot \frac{2}{a^2}\cdot \frac{l/2}{\sqrt{l^2/4+a^2}}$$

$$=-G\frac{mM}{a^2\sqrt{a^2+l^2/4}}$$

引力大小： $$F=|F_y|=\boxed{\frac{2GmM}{a\sqrt{4a^2+l^2}}}$$

（与原文一致）

极限检验：

1. $l\to 0$（杆退化为质点）： $$F\to \frac{2GmM}{a\cdot 2a}=\frac{GmM}{a^2}✓$$

2. $l\gg a$（杆很长，质点很近）： $$F\approx \frac{2GmM}{al}=\frac{2Gm(M/l)}{a}$$ 这相当于无限长杆的情形，力与 $a$ 成反比。

例3：圆弧导线对点电荷的电磁力（原文例3）

题目：半径 $r$ 的圆弧形导线，电荷密度 $\delta$，在圆心正上方距离 $a$ 处有电量 $q$ 的点电荷，求作用力。

物理定律：Coulomb定律 $$F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

其中 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9,\text{N·m}^2/\text{C}^2$。

解析：

Step 1：坐标系

• 点电荷在原点
• $z$ 轴竖直向下
• 圆弧在平面 $z=a$ 上，圆心在 $z$ 轴上

Step 2：电荷微元

取中心角 $d\phi$ 的圆弧段： $$dQ=\delta \cdot rd\phi$$

Step 3：力微元

微元与点电荷的距离： $$R=\sqrt{r^2+a^2}$$

力的大小： $$dF=k\frac{qdQ}{R^2}=k\frac{q\delta r}{r^2+a^2}d\phi$$

Step 4：分解

设力与 $z$ 轴夹角 $\theta$，则： $$\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}}$$

竖直分量： $$d{F}_z=dF\cos \theta =k\frac{q\delta ra}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}d\phi$$

水平分量：由对称性，积分后为零。

Step 5：积分

$$F={\int }_0^{2\pi }k\frac{q\delta ra}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}d\phi$$

$$=k\frac{q\delta ra}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}\cdot 2\pi$$

$$=\boxed{\frac{2\pi kq\delta ra}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}}$$

（与原文一致）

三、高级主题：球壳引力定理

定理（Newton球壳定理）：

1. 外部：均匀球壳对外部质点的引力，等同于球壳全部质量集中在球心的质点引力。

2. 内部：均匀球壳对内部质点的引力为零。

证明思路（习题6的推广）：

对于半径 $R$、面密度 $\sigma$ 的球壳，在距球心 $r$（$r>R$）处有质量 $m$ 的质点。

建立坐标系，用球坐标积分，利用对称性和几何关系，可证明结果。

（详细证明需要球坐标和立体角知识，超出本节范围）

📖 第四部分：功与平均功率

一、变力做功的定积分表示

1.1 基本公式

恒力做功： $$W=\vec{F}\cdot \vec{s}=Fs\cos \theta$$

变力做功：力 $F(x)$ 沿 $x$ 轴方向，物体从 $x=a$ 移至 $x=b$： $$\boxed{W={\int }_a^{b}F(x)dx}$$

1.2 微元法推导

在小区间 $[x,x+dx]$ 上：

• 力近似为常数 $F(x)$
• 位移 $dx$
• 做功微元：$dW=F(x)dx$

总功： $$W={\int }_a^{b}dW={\int }_a^{b}F(x)dx$$

二、典型功的问题

例4：圆锥形水池抽水做功（原文例4）

题目：圆锥形水池，池口直径 $D=30\text{m}$，深 $H=20\text{m}$，盛满水，求抽出池外的功。

解析：

Step 1：建立坐标系

• 原点在池底顶点
• $x$ 轴竖直向上
• 池口在 $x=20$

Step 2：几何关系

圆锥半径与高度的比例： $$\frac{r}{x}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$$

因此在高度 $x$ 处，半径 $r(x)=\frac{3x}{4}$。

Step 3：质量微元

在 $[x,x+dx]$ 的薄层水：

• 体积：$dV=\pi r^2(x)dx=\pi {\left(\frac{3x}{4}\right)}^{2}dx=\frac{9\pi x^2}{16}dx$
• 质量：$dm=\rho dV=\frac{9\pi \rho x^2}{16}dx$

Step 4：做功微元

将薄层水从高度 $x$ 提升到池口（高度 $20$）：

• 提升高度：$20-x$
• 做功：$dW=gdm\cdot (20-x)=\frac{9\pi \rho g{x}^2(20-x)}{16}dx$

Step 5：积分

$$W={\int }_0^{20}\frac{9\pi \rho g}{16}{x}^2(20-x)dx$$

$$=\frac{9\pi \rho g}{16}{\int }_0^{20}(20x^2-x^3)dx$$

$$=\frac{9\pi \rho g}{16}{\left[\frac{20x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^{20}$$

$$=\frac{9\pi \rho g}{16}\left[\frac{20\cdot 8000}{3}-\frac{160000}{4}\right]$$

$$=\frac{9\pi \rho g}{16}\left[\frac{160000}{3}-40000\right]$$

$$=\frac{9\pi \rho g}{16}\cdot \frac{40000}{3}$$

$$=\boxed{7500\pi \rho g}$$

（与原文一致，约 $2.36\times 10^8\text{J}$）

例5：提升铁索做功（习题8）

题目：长 $l=10\text{m}$ 铁索下垂矿井，线密度 $\lambda =8\text{kg/m}$，提出地面需做多少功？

解析：

坐标系：地面为 $x=0$，向下为正。

力微元：在深度 $x$ 处取长度 $dx$：

• 质量：$dm=\lambda dx$
• 需提升高度：$x$
• 做功：$dW=gx\cdot \lambda dx$

积分： $$W={\int }_0^{10}g\lambda xdx=g\lambda \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^{10}$$

$$=g\lambda \cdot 50=10\times 8\times 50$$

$$=\boxed{4000\text{J}}$$

例6：捞出沉球做功（习题10）

题目：半径 $r$ 的球，比重与水相同，沉入水中，捞出需做多少功？

分析：

• 球在水中无浮力（比重相同）
• 需克服的只是球的重力

解：

球心从深度 $h$ 提升到水面上方 $r$（球完全离开水）：

• 总提升高度：$h+r$
• 球的质量：$m=\rho V=\rho \cdot \frac{4\pi r^3}{3}$

做功： $$W=mg(h+r)=\boxed{\frac{4\pi \rho g{r}^3(h+r)}{3}}$$

但题目说"从水中捞出"，可能指球心在水面时停止： $$W=mgh=\boxed{\frac{4\pi \rho g{r}^{3}h}{3}}$$

（需根据具体情境判断）

三、平均功率与交流电有效值

例5：交流电功率（原文例5）

题目：交流电压 $V=V_0\sin \omega t$，求一个周期 $[0,T]$ 上消耗在电阻 $R$ 上的能量 $W$ 和有效电压。

解析：

Step 1：瞬时功率

$$P(t)=\frac{V^2(t)}{R}=\frac{V_0^2{\sin }^2\omega t}{R}$$

Step 2：做功微元

$$dW=P(t)dt$$

Step 3：一个周期内的总功

$$W={\int }_0^{T}P(t)dt={\int }_0^T\frac{V_0^2{\sin }^2\omega t}{R}dt$$

利用积分公式： $${\int }_0^T{\sin }^2\omega tdt=\frac{T}{2}$$

（因为 ${\sin }^2\omega t$ 的平均值为 $\frac{1}{2}$）

因此： $$W=\frac{V_0^2}{R}\cdot \frac{T}{2}=\boxed{\frac{T{V}_0^2}{2R}}$$

Step 4：平均功率

$$\bar{P}=\frac{W}{T}=\frac{V_0^2}{2R}$$

Step 5：有效电压

定义：使得 $\bar{P}=\frac{V_{\text{eff}}^2}{R}$ 的等效直流电压。

$$V_{\text{eff}}^2=\frac{V_0^2}{2}$$

$$\boxed{V_{\text{eff}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}}$$

实际意义：

• 交流电 $V=220\sin \omega t$ 的有效值为 $220\text{V}$
• 峰值为 $V_0=220\sqrt{2}\approx 311\text{V}$

平均值定理的应用

函数平均值： $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

均方根值（RMS）： $$f_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{b-a}{\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx}$$

对于 $V=V_0\sin \omega t$： $$V_{\text{rms}}=V_0\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2\omega tdt}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$$

例7：克服变阻力做功（习题9）

题目：物体在介质中直线运动，阻力与速度平方成正比：$F_{\text{阻}}=k{v}^2$，从 $x=0$ 移至 $x=a$，求克服阻力做功。

关键：需要 $v(x)$ 的关系。

假设：物体做匀速运动（牵引力等于阻力）。

若已知 $v=v(x)$，则： $$W={\int }_0^{a}k{v}^2(x)dx$$

若 $v$ 为常数： $$W=k{v}^2\cdot a$$

若需要从运动学关系导出：需要额外条件（如初速度、加速度等）。

🎯 核心公式总结

液体静压力

万有引力

功与能量

🧠 综合思维导图

graph TB
    A[定积分物理应用] --> B[微元法]
    A --> C[液体静压力]
    A --> D[万有引力/电磁力]
    A --> E[功与能量]
    
    B --> B1[代数可加性]
    B --> B2[高阶无穷小验证]
    B --> B3[标准流程]
    
    C --> C1[Pascal定律: p=ρgh]
    C --> C2[竖直平板]
    C --> C3[倾斜平板]
    C --> C4[曲面/浮力]
    
    C2 --> C21[矩形闸门]
    C2 --> C22[圆形闸门]
    C2 --> C23[梯形闸门]
    
    D --> D1[点质量系统]
    D --> D2[连续分布]
    D --> D3[对称性分析]
    
    D2 --> D21[细杆引力]
    D2 --> D22[圆环引力]
    D2 --> D23[球壳引力]
    D2 --> D24[圆弧电荷]
    
    E --> E1[变力做功: W=∫F dx]
    E --> E2[抽水问题]
    E --> E3[提升物体]
    E --> E4[平均功率]
    
    E4 --> E41[瞬时功率]
    E4 --> E42[周期平均]
    E4 --> E43[有效值]
    
    style A fill:#f96,stroke:#333,stroke-width:4px
    style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#fbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#ffb,stroke:#333,stroke-width:2px

📝 习题全解

习题1：梯形闸门（已在例题中解决）

答案：$P=\frac{4400\rho g}{3}\approx 1.44\times 10^7\text{N}$

习题2：倾斜矩形（已在例题中解决）

答案：$P=\gamma ab(h+\frac{b\sin \alpha }{2})$

习题3：球面浮力（已在例题中解决）

答案：$F=36\pi \rho g\approx 1.11\times 10^6\text{N}$

习题4：点质量与细杆

题目：原点有质量 $m$ 的质点，区间 $[a,a+l]$（$a>0$）上有质量 $M$ 的均匀细杆，求引力。

解：

质量微元：$dM=\frac{M}{l}dx$

引力微元：$dF=G\frac{mdM}{x^2}=G\frac{mM}{l{x}^2}dx$

总引力： $$F={\int }_a^{a+l}G\frac{mM}{l{x}^2}dx=G\frac{mM}{l}{\left[-\frac{1}{x}\right]}_a^{a+l}$$

$$=G\frac{mM}{l}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+l}\right)$$

$$=\boxed{G\frac{mMl}{a(a+l)}}$$

习题5：两细杆引力

题目：两条长 $l$ 的均匀细杆（各质量 $M$）在同一直线上，间隔 $c$，求引力。

提示：在习题4基础上再作一次积分。

解：

设第一根杆在 $[0,l]$，第二根杆在 $[l+c,2l+c]$。

对第一根杆上位置 $x_1$ 处的微元 $d{M}_1=\frac{M}{l}d{x}_1$，第二根杆的引力为（由习题4）： $$dF=G\frac{(d{M}_1)\cdot M\cdot l}{x_1(x_1+l)}=G\frac{M^2}{l}\cdot \frac{d{x}_1}{x_1(x_1+l)}$$

等等，这里需要重新计算。

正确做法：

对第一根杆上 $x_1$ 处的微元，第二根杆（从 $x_1+l+c$ 到 $x_1+2l+c$）的引力为： $$d{F}_1={\int }_{l+c}^{2l+c}G\frac{(d{M}_1)(d{M}_2)}{(x_2-x_1{)}^2}$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}d{x}_1{\int }_{l+c}^{2l+c}\frac{d{x}_2}{(x_2-x_1{)}^2}$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}d{x}_1{\left[-\frac{1}{x_2-x_1}\right]}_{l+c}^{2l+c}$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}d{x}_1\left(\frac{1}{l+c-x_1}-\frac{1}{2l+c-x_1}\right)$$

总引力： $$F={\int }_0^{l}G\frac{M^2}{l^2}\left(\frac{1}{l+c-x_1}-\frac{1}{2l+c-x_1}\right)d{x}_1$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}{\left[-\ln (l+c-x_1)+\ln (2l+c-x_1)\right]}_0^l$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}{\left[\ln \frac{2l+c-x_1}{l+c-x_1}\right]}_0^l$$

$$=G\frac{M^2}{l^2}\left[\ln \frac{l+c}{c}-\ln \frac{2l+c}{l+c}\right]$$

$$=\boxed{G\frac{M^2}{l^2}\ln \frac{(l+c{)}^2}{c(2l+c)}}$$

习题6：半圆导线

题目：半径 $r$ 的半圆形导线，电荷密度 $\delta$，圆心处有单位正电荷，求作用力。

解：

由对称性，水平分量抵消，只有竖直分量。

参数化：$\phi \in [0,\pi ]$

电荷微元：$dQ=\delta rd\phi$

力微元竖直分量： $$d{F}_y=k\frac{1\cdot dQ}{r^2}\sin \phi =k\frac{\delta }{r}\sin \phi d\phi$$

总力： $$F={\int }_0^{\pi }k\frac{\delta }{r}\sin \phi d\phi =k\frac{\delta }{r}[-\cos \phi {]}_0^{\pi }$$

$$=k\frac{\delta }{r}[1-(-1)]=\boxed{\frac{2k\delta }{r}}$$

习题7：半球形容器抽水

题目：半球形容器（直径 $D=20\text{m}$），盛满水，抽尽需做多少功？

解：

建立坐标系：球心在原点，$z$ 轴竖直向上，球底在 $z=-10$，球口在 $z=0$。

球面方程：$x^2+y^2+z^2=100$

在高度 $z$（$-10\le z\le 0$）处：

• 水平截面半径：$r(z)=\sqrt{100-z^2}$
• 需提升高度：$-z$
• 体积微元：$dV=\pi r^2(z)dz=\pi (100-z^2)dz$
• 做功微元：$dW=\rho g(-z)\cdot \pi (100-z^2)dz$

总功： $$W={\int }_{-10}^0\rho g\pi (-z)(100-z^2)dz$$

$$=-\rho g\pi {\int }_{-10}^0(100z-z^3)dz$$

$$=-\rho g\pi {\left[50z^2-\frac{z^4}{4}\right]}_{-10}^0$$

$$=-\rho g\pi \left[0-(5000-2500)\right]$$

$$=\boxed{2500\pi \rho g}\approx 7.85\times 10^7\text{J}$$

习题8：铁索（已在例题中解决）

答案：$W=4000\text{J}$

习题9：克服变阻力

题目：阻力 $F=k{v}^2$，从 $x=0$ 移至 $x=a$，求功。

需要额外信息：$v(x)$ 的关系。

假设：给定 $v=v_0$（常数），则： $$W={\int }_0^{a}k{v}_0^{2}dx=k{v}_0^{2}a$$

若 $v$ 随 $x$ 变化：需要运动学方程。

例如，若 $v^2=v_0^2-2\alpha x$（匀减速），则： $$W=k{\int }_0^a(v_0^2-2\alpha x)dx=k\left[v_0^{2}a-\alpha a^2\right]$$

习题10：沉球（已在例题中讨论）

答案取决于"捞出"的定义：

• 球心到达水面：$W=\frac{4\pi \rho g{r}^{3}h}{3}$
• 球完全离开水：$W=\frac{4\pi \rho g{r}^3(h+r)}{3}$

⚠️ 常见错误与注意事项

易错点1：压力计算中忽略深度变化

❌ 错误：用平均深度直接乘以面积 $$P=\rho g\bar{h}\cdot S$$

✅ 正确：只有当 $\bar{h}$ 是压力中心时才成立，一般需积分。

易错点2：引力问题中直接对力的大小积分

❌ 错误： $$F=\int dF=\int G\frac{mdm}{r^2}$$

✅ 正确：力是矢量，必须先分解再积分： $$\vec{F}=\int d\vec{F}=\int G\frac{mdm}{r^2}\hat{r}$$

易错点3：对称性判断失误

关键：对称性可以简化计算，但必须严格分析。

例：细杆中垂线上的质点，水平分力为零（对称抵消）。

易错点4：积分区间设置错误

检查：

• 积分变量的起点和终点
• 坐标系方向（向上为正还是向下为正）

易错点5：单位不一致

务必统一：

• 长度单位（m）
• 质量单位（kg）
• 力单位（N）
• 能量单位（J）

🎓 理论深化

1. 微元法的数学严格性

微元法实质上是Riemann积分的物理应用：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

关键：近似 $\Delta \Phi \approx f(x)\Delta x$ 的误差必须是 $o(\Delta x)$。

2. 质心与压力中心

质心： $$\bar{x}=\frac{\int xdm}{\int dm}$$

压力中心： $${\bar{h}}_P=\frac{\int h\cdot p(h)\cdot w(h)dh}{\int p(h)\cdot w(h)dh}$$

一般情况下，压力中心在质心下方（深度更大）。

3. 势能与保守力

保守力：做功与路径无关，只与起点和终点有关。

势能： $$U(x)=-{\int }_{x_0}^{x}F(s)ds$$

万有引力势能： $$U(r)=-G\frac{Mm}{r}$$

（取无穷远处势能为零）

4. 虚功原理

表述：系统处于平衡时，所有虚位移对应的虚功之和为零。

$$\delta W=\sum _i{\vec{F}}_i\cdot \delta {\vec{r}}_i=0$$

这是变分原理在力学中的基础。

🔬 工程与科学应用

1. 水利工程

• 大坝设计：计算水压力，确保结构安全
• 船闸设计：浮力与水位控制
• 管道系统：流体压力分布

2. 航天工程

• 火箭推进：可变质量系统动力学
• 卫星轨道：万有引力与圆周运动
• 逃逸速度：$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

3. 电力系统

• 交流电分析：有效值、功率因数
• 能量传输：输电损耗
• 电容充放电：$Q=\int Idt$

4. 土木建筑

• 桥梁荷载：分布荷载的合力与力矩
• 地基压力：土压力计算
• 风荷载：动压力积分

✅ 学习检查清单

• 理解微元法的哲学思想和三要素
• 掌握液体静压力的Pascal定律
• 能计算各种形状闸门的压力
• 理解压力中心与质心的区别
• 掌握万有引力和Coulomb力的叠加原理
• 会处理连续分布物体的引力问题
• 理解对称性在简化计算中的作用
• 掌握变力做功的积分表示
• 能解决抽水、提升等实际功的问题
• 理解交流电有效值的概念
• 会灵活选择坐标系和积分变量

📖 参考文献与延伸阅读

教材

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 同济大学数学系.《高等数学》（第7版）[M]. 高等教育出版社
3. 菲赫金哥尔茨.《微积分学教程》（第8版）[M]

物理相关

4. 梁昆淼.《力学》（第4版）[M]. 高等教育出版社
5. Halliday, Resnick. Fundamentals of Physics [M]. Wiley
6. 赵凯华.《新概念物理教程·力学》[M]. 高等教育出版社

工程应用

7. 吴望一.《流体力学》（第2版）[M]. 北京大学出版社
8. 铁摩辛柯.《材料力学》[M]. 科学出版社

历史与文化

9. Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times [M]. Oxford
10. Boyer, C. The History of the Calculus [M]. Dover

🌟 学习建议

时间安排

• 微元法理论：2学时
• 液体静压力：3学时
• 万有引力与电磁力：3学时
• 功与能量：2学时
• 综合练习：3学时
• 总计：约13学时

学习重点

1. 核心方法：微元法的标准流程
2. 典型问题：圆形闸门、细杆引力、抽水做功
3. 关键技巧：对称性分析、合理选择坐标系
4. 物理直觉：理解公式的物理意义

学习难点

1. 代数可加性的判断：哪些量能用微元法？
2. 高阶无穷小的验证：如何确保近似合理？
3. 矢量积分：引力等矢量的分解与积分
4. 几何关系的建立：复杂形状的参数化

实践建议

1. 做习题：每种类型至少做2-3道题
2. 画图：建立坐标系、标注微元
3. 检验：用极限情况或特殊值检验结果
4. 联系实际：思考工程中的应用场景

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解定积分在物理中的应用！微元法是数学与物理的完美结合，掌握它将使您在解决实际问题时如虎添翼。🌊⚡🔬

如需更详细的某个主题或例题的深入讲解，请随时告诉我！✨