第十章第4节：功、水压力、引力

完整知识体系与思维导图

我看到您上传的是关于旋转曲面的面积的内容。让我为您构建一个完整的知识体系，同时我会结合第4节的物理应用（功、水压力、引力）来创建一个完整的体系。

第十章第4-5节：定积分的物理应用

微元法、旋转曲面面积、功、水压力、引力

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📚 知识体系总览

mindmap
  root((定积分的物理应用))
    微元法理论
      基本思想
        分割近似求和取极限
        微元表达式
        积分形式
      关键要点
        代数可加性
        近似可求量选取
        高阶无穷小验证
      标准步骤
        建立坐标系
        取微元
        写出dΦ
        积分求和
    旋转曲面面积
      基本公式
        直角坐标形式
        参数方程形式
      典型例题
        球面面积
        圆环面面积
        摆线旋转面
    功的计算
      变力做功
        弹簧伸缩功
        抽水做功
        提升链条功
      万有引力功
      压缩气体功
    水压力
      静水压强
        帕斯卡原理
        压强分布
      侧压力计算
        竖直平板
        倾斜平板
        曲面压力
    万有引力
      质点系引力
      连续分布引力
      引力势能

📖 第一部分：微元法理论体系

一、微元法的数学基础

1.1 问题的提出

在定积分应用中，我们常遇到这样的问题：

• 某个量 $\Phi$ 分布在区间 $[a,b]$ 上
• $\Phi$ 是区间端点的函数：$\Phi =\Phi (x)$，$x\in [a,b]$
• 当 $x=b$ 时，$\Phi (b)$ 即为所求值

核心问题：如何从局部的"微小增量"推导出整体的积分表达式？

1.2 微元法的基本思想

传统方法："分割、近似求和、取极限"三步骤

微元法：直接找出微小增量 $\Delta \Phi$ 的表达式

定义：设 $\Phi =\Phi (x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的量，在任意小区间 $[x,x+\Delta x]\subset [a,b]$ 上，若能找到 $\Delta \Phi$ 的近似可求量 ${\Delta }^{\prime }\Phi$，使得：

$$\boxed{{\Delta }^{\prime }\Phi =f(x)\Delta x}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $f$ 为连续函数，且当 $\Delta x\to 0$ 时：

$${\Delta }^{\prime }\Phi -f(x)\Delta x=o(\Delta x)$$

则记： $$\boxed{d\Phi =f(x)dx}\text{\hspace{1em}(微元表达式)}$$

最终所求的量为： $$\boxed{\Phi (b)-\Phi (a)={\int }_a^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(2)}$$

1.3 微元法的三个关键要点

要点1：代数可加性

所求量 $\Phi$ 关于分布区间必须是代数可加的，即： $$\Phi ([a,b])=\Phi ([a,c])+\Phi ([c,b]),\forall c\in (a,b)$$

例子：

• ✓ 面积、体积、弧长、质量（可加）
• ✗ 温度、密度、浓度（不可加）

要点2：恰当选取近似可求量 ${\Delta }^{\prime }\Phi$

近似可求量的选取必须符合问题的物理或几何本质。

错误示例： 如果在弧长公式中，把弧长增量近似为 $\Delta x$： $$\Delta s\approx \Delta x$$

将导致明显错误： $$s={\int }_a^{b}dx=b-a$$

正确做法： $$\Delta s\approx \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\Delta x$$

原因： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\Delta x-\Delta x}{\Delta x}=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}-1\ne 0$$ （除非 $y^{\prime }$ 恒为零）

要点3：验证高阶无穷小条件

必须严格验证： $${\Delta }^{\prime }\Phi -f(x)\Delta x=o(\Delta x)$$

验证方法： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\Delta }^{\prime }\Phi -f(x)\Delta x}{\Delta x}=0$$

二、微元法的标准流程

flowchart TD
    A[物理或几何问题] --> B[建立坐标系]
    B --> C[确定积分变量和区间]
    C --> D[取微元dx或dt]
    D --> E[找出对应的微小增量ΔΦ]
    E --> F[选取近似可求量Δ'Φ]
    F --> G{能否表示为线性形式?}
    G -->|能| H[写出dΦ = f·dx]
    G -->|不能| I[重新选择坐标系或变量]
    H --> J{验证高阶无穷小条件?}
    J -->|满足| K[建立积分式]
    J -->|不满足| I
    K --> L[计算定积分]
    L --> M[得到最终结果]
    
    style B fill:#e1f5ff
    style H fill:#d4edda
    style K fill:#fff3cd

三、已学公式的微元表达

3.1 平面图形面积

微元： $$dA=|y|dx$$

积分： $$A={\int }_a^b|y|dx$$

3.2 立体体积

微元： $$dV=A(x)dx$$

积分： $$V={\int }_a^{b}A(x)dx$$

3.3 曲线弧长

微元： $$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

积分： $$s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

📖 第二部分：旋转曲面的面积

一、问题的提出

几何描述：设平面光滑曲线 $C$ 的方程为： $$y=f(x),x\in [a,b],f(x)\ge 0$$

曲线 $C$ 绕 $x$ 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-21）。

核心问题：如何计算这个旋转曲面的表面积？

二、微元法推导

2.1 分割与近似

Step 1：分割

在 $x$ 轴上取小区间 $[x,x+\Delta x]$，过端点作垂直于 $x$ 轴的平面。

这两个平面在旋转曲面上截下一条狭带（如图10-21）。

Step 2：选取近似可求量

当 $\Delta x$ 很小时，狭带近似于圆台的侧面积。

圆台参数：

• 上底圆半径：$r_1=f(x)$
• 下底圆半径：$r_2=f(x+\Delta x)$
• 母线长度：$l=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$

圆台侧面积公式： $$S_{\text{圆台}}=\pi (r_1+r_2)\cdot l$$

因此： $${\Delta }^{\prime }S=\pi [f(x)+f(x+\Delta x)]\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$$

Step 3：化简

$${\Delta }^{\prime }S=\pi [2f(x)+\Delta y]\cdot \sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2}\cdot \Delta x$$

其中 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。

2.2 取极限得微元

当 $\Delta x\to 0$ 时：

• $\Delta y\to 0$
• $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f^{\prime }(x)$

因此： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[2f(x)+\Delta y]\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2}=2f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$$

2.3 验证高阶无穷小条件

需要验证： $${\Delta }^{\prime }S-2\pi f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\Delta x=o(\Delta x)$$

证明：由 $f^{\prime }(x)$ 的连续性，有： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x)$$

且： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0$$

因此： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left|\frac{{\Delta }^{\prime }S}{\Delta x}-2\pi f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\right|=0$$

条件满足！$\square$

三、旋转曲面面积公式

3.1 直角坐标形式

定理1：设 $y=f(x)$，$x\in [a,b]$，$f(x)\ge 0$，$f^{\prime }(x)$ 连续，则曲线绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的面积为：

$$\boxed{S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}\text{\hspace{1em}(3)}$$

微元形式： $$dS=2\pi yds=2\pi y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

记忆方法： $$S=\int 2\pi y\cdot ds$$

• $2\pi y$：在高度 $y$ 处的圆周长
• $ds$：曲线微元弧长

3.2 参数方程形式

定理2：若曲线由参数方程给出： $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ],y(t)\ge 0$$

且 $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)$ 连续，则绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的面积为：

$$\boxed{S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt}\text{\hspace{1em}(4)}$$

3.3 绕 $y$ 轴旋转

若曲线绕 $y$ 轴旋转，则：

直角坐标（$x=g(y)$，$y\in [c,d]$）： $$S=2\pi {\int }_c^{d}g(y)\sqrt{1+[g^{\prime }(y){]}^2}dy$$

参数方程： $$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

四、经典例题详解

例1：球面面积

题目：计算圆 $x^2+y^2=R^2$ 在 $[x_1,x_2]\subset [-R,R]$ 上的弧段绕 $x$ 轴旋转所得球带的面积。

解析：

Step 1：确定函数 $$y=\sqrt{R^2-x^2},x\in [x_1,x_2]$$

Step 2：求导 $$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}$$

Step 3：计算根号下表达式 $$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$$

$$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}=\frac{R}{y}$$

Step 4：应用公式 $$S=2\pi {\int }_{x_1}^{x_2}y\cdot \frac{R}{y}dx=2\pi R{\int }_{x_1}^{x_2}dx$$

$$=\boxed{2\pi R(x_2-x_1)}$$

几何意义：球带面积只与高度差有关，与位置无关！

特例：当 $x_1=-R$，$x_2=R$ 时（整个球面）： $$S=2\pi R\cdot 2R=\boxed{4\pi R^2}$$

这正是我们熟知的球面积公式！

例2：内摆线旋转面

题目：计算由内摆线（星形线） $$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t,a>0$$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的面积。

解析：

Step 1：求导 $$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =-3a{\cos }^{2}t\sin t\\ y^{\prime }(t)& =3a{\sin }^{2}t\cos t\end{array}$$

Step 2：计算弧长元素 $$[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2=9a^2{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=9a^2{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t$$

$$\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}=3a|\cos t\sin t|$$

Step 3：利用对称性

曲线关于 $y$ 轴对称，只需计算右半部分（$t\in [0,\frac{\pi }{2}]$）再乘以 $2$。

在此区间内，$\cos t\ge 0$，$\sin t\ge 0$。

Step 4：应用公式 $$S=2\times 2\pi {\int }_0^{\pi /2}a{\sin }^{3}t\cdot 3a\cos t\sin tdt$$

$$=12\pi a^2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}t\cos tdt$$

Step 5：计算积分

令 $u=\sin t$，则 $du=\cos tdt$： $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}t\cos tdt={\int }_0^1{u}^{4}du=\frac{1}{5}$$

Step 6：最终结果 $$S=12\pi a^2\cdot \frac{1}{5}=\boxed{\frac{12\pi a^2}{5}}$$

例3：圆环面（Torus）面积

题目：求圆 $(x-R{)}^2+y^2=r^2$（$0<r<R$）绕 $y$ 轴旋转一周所得圆环面的表面积。

解析：

参数化： $$\{\begin{array}{l}x=R+r\cos t\\ y=r\sin t\end{array},t\in [0,2\pi ]$$

求导： $$x^{\prime }(t)=-r\sin t,y^{\prime }(t)=r\cos t$$

$$\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}=r$$

应用公式（绕 $y$ 轴）： $$S=2\pi {\int }_0^{2\pi }x(t)\cdot rdt=2\pi r{\int }_0^{2\pi }(R+r\cos t)dt$$

$$=2\pi r{\left[Rt+r\sin t\right]}_0^{2\pi }=2\pi r\cdot 2\pi R$$

$$=\boxed{4{\pi }^{2}Rr}$$

改写： $$S=(2\pi R)\times (2\pi r)=(\text{质心轨迹长})\times (\text{截面圆周长})$$

这再次验证了Pappus第一定理！

📖 第三部分：功的计算

一、变力做功的基本概念

1.1 物理背景

恒力做功：若力 $F$ 为常量，物体沿力的方向移动距离 $s$，则： $$W=F\cdot s$$

变力做功：若力 $F$ 随位置变化，$F=F(x)$，则需要用定积分计算。

1.2 微元法推导

设置：质点在 $x$ 轴上从 $x=a$ 移动到 $x=b$，受到沿 $x$ 轴方向的力 $F(x)$。

微元：在小区间 $[x,x+dx]$ 上，力近似为常量 $F(x)$，做功： $$dW=F(x)dx$$

总功： $$\boxed{W={\int }_a^{b}F(x)dx}\text{\hspace{1em}(5)}$$

二、典型功的计算

例4：弹簧的弹性功

题目：将弹簧从自然长度拉伸（或压缩）$l$ 米，求外力所做的功。

物理定律：Hooke定律 $$F(x)=kx$$ 其中 $k$ 是弹性系数，$x$ 是形变量。

解： $$W={\int }_0^{l}kxdx=\frac{1}{2}k{x}^2{|}_0^l=\boxed{\frac{1}{2}k{l}^2}$$

推广：从伸长 $x_1$ 拉伸到 $x_2$： $$W={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$$

例5：抽水做功

题目：圆柱形水箱，底面半径 $r$，高 $h$，装满水。将水全部抽到水箱顶部，求所做的功。

设置：

• 建立坐标系：水箱底部为 $x=0$，顶部为 $x=h$
• 水的密度：$\rho$
• 重力加速度：$g$

微元：

• 在高度 $x$ 处，厚度为 $dx$ 的水层
• 质量：$dm=\rho \cdot \pi r^2\cdot dx$
• 需要提升的高度：$h-x$
• 做功：$dW=(h-x)\cdot g\cdot dm=\rho g\pi r^2(h-x)dx$

总功： $$W={\int }_0^h\rho g\pi r^2(h-x)dx=\rho g\pi r^2{\left[hx-\frac{x^2}{2}\right]}_0^h$$

$$=\rho g\pi r^2\cdot \frac{h^2}{2}=\boxed{\frac{1}{2}\rho g\pi r^2{h}^2}$$

物理意义：等价于将整箱水的质心提升 $\frac{h}{2}$。

例6：提升链条做功

题目：长度为 $L$，线密度为 $\lambda$ 的均匀链条，一端固定在天花板上，另一端自然悬垂。将整条链条提升到天花板位置，求做功。

设置：

• 建立坐标系：天花板为 $x=0$，链条底端为 $x=L$
• 在位置 $x$ 处取长度 $dx$ 的微元

微元：

• 质量：$dm=\lambda dx$
• 需提升高度：$x$
• 做功：$dW=gx\cdot \lambda dx$

总功： $$W={\int }_0^L\lambda gxdx=\lambda g\cdot \frac{L^2}{2}=\boxed{\frac{1}{2}\lambda g{L}^2}$$

例7：压缩气体做功

题目：气体在活塞压力下从体积 $V_1$ 压缩到 $V_2$，压强与体积的关系为 $p=f(V)$，求外力做功。

微元：

• 体积变化：$dV$（取负值，因为压缩）
• 压力：$F=p\cdot A$（$A$ 是活塞面积）
• 位移：$dx=\frac{dV}{A}$
• 做功：$dW=Fdx=pA\cdot \frac{dV}{A}=pdV$

总功： $$W=-{\int }_{V_1}^{V_2}pdV={\int }_{V_2}^{V_1}pdV$$

理想气体（等温过程，$pV=C$）： $$W={\int }_{V_2}^{V_1}\frac{C}{V}dV=C\ln \frac{V_1}{V_2}=\boxed{pV\ln \frac{V_1}{V_2}}$$

📖 第四部分：静水压力

一、静水压强基本原理

1.1 Pascal定律

定律：静止流体中，任意点的压强在各个方向上都相等。

压强公式： $$p=p_0+\rho gh$$ 其中：

• $p_0$：液面压强（通常为大气压）
• $\rho$：液体密度
• $g$：重力加速度
• $h$：深度（从液面向下为正）

1.2 压力与压强的关系

微小平面：面积 $dS$，深度 $h$，受到的压力： $$dF=pdS=\rho ghdS$$

总压力： $$F={\iint }_S\rho ghdS$$

二、竖直平板的侧压力

例8：矩形闸门侧压力

题目：矩形闸门，宽 $b$，高 $H$，垂直放置在水中，顶部与水面齐平。求闸门受到的总压力。

设置：

• 建立坐标系：水面为 $x=0$，向下为正
• 在深度 $x$ 处取宽度为 $dx$ 的水平条

微元：

• 面积：$dS=bdx$
• 压强：$p=\rho gx$
• 压力：$dF=\rho gx\cdot bdx$

总压力： $$F={\int }_0^H\rho gbxdx=\rho gb\cdot \frac{H^2}{2}=\boxed{\frac{1}{2}\rho gb{H}^2}$$

物理意义： $$F=\rho g\cdot \frac{H}{2}\cdot (bH)=p_{\text{中点}}\cdot S$$ 即等于闸门中点处的压强乘以面积。

例9：三角形闸门侧压力

题目：等腰三角形闸门，顶角向下，底边长 $2a$，高 $h$，顶点在水面下深度 $d$ 处。求侧压力。

设置：

• 坐标系：水面为 $x=0$
• 三角形顶点在 $x=d$，底边在 $x=d+h$

几何关系：在深度 $x$ 处，三角形的半宽为： $$w(x)=\frac{a}{h}(x-d),x\in [d,d+h]$$

微元： $$dF=\rho gx\cdot 2w(x)dx=\rho gx\cdot \frac{2a}{h}(x-d)dx$$

总压力： $$F={\int }_d^{d+h}\rho g\frac{2a}{h}x(x-d)dx$$

$$=\rho g\frac{2a}{h}{\int }_d^{d+h}(x^2-dx)dx$$

$$=\rho g\frac{2a}{h}{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{d{x}^2}{2}\right]}_d^{d+h}$$

计算得： $$F=\boxed{\rho gah\left(d+\frac{2h}{3}\right)}$$

三、倾斜平板的侧压力

一般情形：平板与水平面成角 $\theta$，需要投影到竖直方向。

公式： $$F={\iint }_S\rho gh(x,y)dS$$

其中 $h(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 处的深度。

📖 第五部分：万有引力

一、万有引力定律

Newton万有引力定律：

两个质点，质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，相距 $r$，之间的引力为： $$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中 $G = 6.674 \times 10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 是万有引力常数。

二、连续分布物体的引力

例10：均匀细棒对质点的引力

题目：长度为 $L$，线密度为 $\lambda$ 的均匀细棒，距其一端距离 $a$ 处有一质量为 $m$ 的质点。求引力。

设置：

• 建立坐标系：质点在原点，细棒在 $[a,a+L]$

微元：

• 在位置 $x$ 处取长度 $dx$ 的微元
• 质量：$dm=\lambda dx$
• 引力（大小）：$dF=G\frac{m\cdot \lambda dx}{x^2}$

总引力： $$F={\int }_a^{a+L}G\frac{m\lambda }{x^2}dx=Gm\lambda {\left[-\frac{1}{x}\right]}_a^{a+L}$$

$$=Gm\lambda \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)=\boxed{G\frac{m\lambda L}{a(a+L)}}$$

例11：均匀圆环对轴上质点的引力

题目：半径为 $R$，线密度为 $\lambda$ 的均匀圆环，在垂直于环面且过圆心的轴上距圆心距离 $h$ 处有质量为 $m$ 的质点。求引力。

对称性分析：

• 由对称性，垂直于轴的分力相互抵消
• 只需计算沿轴方向的分力

微元：

• 圆环上取弧长 $ds=Rd\theta$
• 质量：$dm=\lambda Rd\theta$
• 距质点距离：$r=\sqrt{R^2+h^2}$
• 引力大小：$dF=G\frac{m\cdot \lambda Rd\theta }{R^2+h^2}$
• 沿轴分力：$d{F}_z=dF\cdot \cos \alpha =dF\cdot \frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}$

总引力： $$F={\int }_0^{2\pi }G\frac{m\lambda Rh}{(R^2+h^2{)}^{3/2}}d\theta$$

$$=G\frac{m\lambda Rh}{(R^2+h^2{)}^{3/2}}\cdot 2\pi =\boxed{G\frac{2\pi m\lambda Rh}{(R^2+h^2{)}^{3/2}}}$$

极限情况：

• 当 $h\to 0$：$F\to 0$（在圆心处，对称抵消）
• 当 $h\gg R$：$F\approx G\frac{mM}{h^2}$，$M=2\pi R\lambda$（视为质点）

三、引力势能

定义：将质量 $m$ 的物体从无穷远处移到距质量 $M$ 的物体距离 $r$ 处，引力做功： $$W=-{\int }_{\infty }^{r}G\frac{Mm}{x^2}dx=-G\frac{Mm}{r}$$

引力势能： $$U(r)=-G\frac{Mm}{r}$$

（取无穷远处势能为零）

🎯 核心公式总结表

🧠 解题策略总流程图

flowchart TD
    Start[物理或几何应用问题] --> Q1{问题类型?}
    
    Q1 -->|旋转曲面| Branch1
    Q1 -->|功| Branch2
    Q1 -->|水压力| Branch3
    Q1 -->|引力| Branch4
    
    Branch1[旋转曲面面积] --> B1_1{曲线表示?}
    B1_1 -->|y=f(x)| F1["S=2π∫y√(1+y'²)dx"]
    B1_1 -->|参数方程| F2["S=2π∫y√(x'²+y'²)dt"]
    
    Branch2[功的计算] --> B2_1{力的类型?}
    B2_1 -->|变力| F3["W=∫F(x)dx"]
    B2_1 -->|弹簧| F4["W=½k(x₂²-x₁²)"]
    B2_1 -->|提升物体| F5["W=∫(h-x)ρgA dx"]
    
    Branch3[水压力] --> B3_1{平板形状?}
    B3_1 -->|矩形| F6["F=∫ρgxb dx"]
    B3_1 -->|一般形状| F7["F=∫ρgh(x)w(x)dx"]
    
    Branch4[引力计算] --> B4_1{物体分布?}
    B4_1 -->|线分布| F8["F=∫Gmλ/r² ds"]
    B4_1 -->|面分布| F9["F=∫∫Gmσ/r² dS"]
    
    F1 --> Setup[建立坐标系]
    F2 --> Setup
    F3 --> Setup
    F4 --> Setup
    F5 --> Setup
    F6 --> Setup
    F7 --> Setup
    F8 --> Setup
    F9 --> Setup
    
    Setup --> Micro[写出微元dΦ]
    Micro --> Check{验证条件?}
    Check -->|满足| Integrate[建立积分]
    Check -->|不满足| Adjust[调整近似]
    Adjust --> Micro
    
    Integrate --> Compute[计算定积分]
    Compute --> Result[得到结果]
    Result --> Verify[物理合理性检验]
    
    style Q1 fill:#e1f5ff
    style Setup fill:#d4edda
    style Integrate fill:#fff3cd

📝 习题精选

基础题

1. 旋转曲面面积

(1) 求抛物线 $y=x^2$（$0\le x\le 1$）绕 $x$ 轴旋转所得面积。

(2) 求摆线 $x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$（$0\le t\le 2\pi$）绕 $x$ 轴旋转所得面积。

(3) 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转椭球面的面积。

2. 功的计算

(1) 弹簧的弹性系数 $k=100\text{N/m}$，将其从自然长度拉伸 $0.2\text{m}$，求做功。

(2) 半径为 $2\text{m}$、高为 $5\text{m}$ 的圆柱形水箱装满水，将水全部抽到顶部，求做功（$\rho =1000{\text{kg/m}}^3$，$g=10{\text{m/s}}^2$）。

(3) 质量为 $50\text{kg}$、长度为 $10\text{m}$ 的链条悬垂，将其完全提升，求做功。

3. 水压力

(1) 正方形闸门，边长 $2\text{m}$，垂直放置，上边与水面齐平，求总压力。

(2) 圆形闸门，半径 $1\text{m}$，圆心在水面下 $3\text{m}$，求总压力。

提高题

4. 悬链线旋转面

证明：悬链线 $y=a\cosh \frac{x}{a}$ 从 $x=-b$ 到 $x=b$ 的弧段绕 $x$ 轴旋转所得曲面面积为： $$S=2\pi a^2\left[\sinh \frac{2b}{a}+\frac{2b}{a}\right]$$

5. 水坝设计

梯形水坝，上底宽 $10\text{m}$，下底宽 $20\text{m}$，高 $15\text{m}$，上底与水面齐平。求水坝受到的总压力和压力中心位置。

6. 万有引力综合

质量为 $M$、半径为 $R$ 的均匀球壳，在距球心距离 $r$（$r>R$）处放置质量为 $m$ 的质点。证明： $$F=G\frac{Mm}{r^2}$$

即球壳对外部质点的引力等价于质量集中在球心的质点引力。

⚠️ 常见错误与注意事项

易错点1：近似可求量选择不当

❌ 错误：在旋转曲面面积计算中，用圆柱侧面积代替圆台侧面积。

✅ 正确：必须用圆台侧面积，否则结果错误。

错误公式： $$S=2\pi \int f(x)dx\text{（错误！）}$$

正确公式： $$S=2\pi \int f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dx$$

易错点2：忘记验证高阶无穷小条件

在写出 $d\Phi =f(x)dx$ 前，务必验证： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\Delta }^{\prime }\Phi -f(x)\Delta x}{\Delta x}=0$$

易错点3：积分变量与坐标系不匹配

• 绕 $x$ 轴旋转 → 用 $x$ 作积分变量
• 绕 $y$ 轴旋转 → 用 $y$ 作积分变量（或参数 $t$）

易错点4：水压力计算中深度方向搞反

正确做法：

• 建立坐标系时，明确深度 $h$ 的正方向
• 压强 $p=\rho gh$ 中的 $h$ 是从液面向下的距离

易错点5：引力计算中忘记考虑对称性

策略：

• 先分析对称性，看哪些分量会相互抵消
• 只计算不为零的分量

🎓 理论深化

1. 微元法的数学本质

微元法实质上是Riemann积分的应用：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

关键：找到合适的 $f(x)$ 使得 $\Delta \Phi \approx f(x)\Delta x$。

2. Pappus定理的统一表述

第一定理（曲线旋转生成曲面）： $$S=L\times 2\pi \bar{r}$$ 其中 $L$ 是曲线长度，$\bar{r}$ 是曲线质心到旋转轴的距离。

第二定理（平面图形旋转生成立体）： $$V=A\times 2\pi \bar{r}$$ 其中 $A$ 是平面图形面积，$\bar{r}$ 是图形质心到旋转轴的距离。

3. 虚功原理

在静力学中，系统处于平衡时，虚功为零： $$\delta W=\sum _i{\vec{F}}_i\cdot \delta {\vec{r}}_i=0$$

这是变分法在力学中的应用。

🔬 工程应用拓展

1. 结构工程

水坝设计：

• 需要计算水压力和力矩
• 确保结构稳定性

压力容器：

• 球形容器受力均匀，材料利用率高
• 圆柱形容器制造简单但受力不均

2. 航空航天

火箭燃料消耗：

• 可变质量系统的动力学
• Tsiolkovsky火箭方程

卫星轨道：

• 万有引力提供向心力
• 逃逸速度计算

3. 土木工程

桥梁荷载：

• 分布荷载转化为集中力
• 弯矩和剪力计算

地基压力：

• 土压力分布
• 挡土墙设计

✅ 学习检查清单

• 理解微元法的三个关键要点
• 掌握旋转曲面面积公式及推导
• 能计算球面、圆环面等典型曲面面积
• 理解变力做功的微元法
• 熟练计算弹簧、抽水、提升等做功问题
• 掌握静水压强原理
• 能计算各种形状闸门的侧压力
• 理解万有引力定律
• 会计算线分布、面分布物体的引力
• 能灵活选择坐标系和积分变量

📖 参考文献

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 同济大学数学系.《高等数学》（第7版）[M]. 高等教育出版社
3. 菲赫金哥尔茨.《微积分学教程》（第8版）[M]
4. Apostol, T. Calculus, Vol. 1 [M]. Wiley
5. 梁昆淼.《力学》（第4版）[M]. 高等教育出版社
6. 朗道，栗弗席茨.《力学》[M]. 高等教育出版社

🌟 学习建议

时间安排

• 微元法理论：2学时
• 旋转曲面：3学时
• 功的计算：3学时
• 水压力：2学时
• 万有引力：2学时
• 综合练习：3学时

学习重点

1. 核心思想：微元法的本质和应用步骤
2. 典型问题：球面积、弹簧功、矩形闸门压力
3. 方法技巧：对称性利用、合理选择坐标系

学习难点

1. 近似可求量的恰当选取
2. 高阶无穷小条件的验证
3. 复杂几何体的引力计算

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解定积分在物理和几何中的应用！微元法是连接数学与物理的重要桥梁，掌握它将使您在解决实际问题时游刃有余。📐⚡🌊

如需更详细的例题讲解或特定问题的深入探讨，请随时告诉我！✨