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第十章第3节：平面曲线的弧长与曲率

完整知识体系与思维导图

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      铁路弯道

📖 第一部分：平面曲线的弧长

一、弧长的定义与理论基础

1.1 问题的提出

核心问题：如何精确定义并计算一条曲线的长度？

历史背景：

• 古希腊时期，阿基米德用穷竭法求圆的周长
• 17世纪，牛顿和莱布尼茨建立微积分框架
• 现代定义基于极限思想

1.2 基本定义

定义1（可求长曲线）

设 $C=AB$ 是一条没有自交点的非闭平面曲线（如图10-16所示）。在 $C$ 上从 $A$ 到 $B$ 依次取分点：

$$A=P_0,P_1,P_2,\dots ,P_{n-1},P_n=B$$

这构成对曲线 $C$ 的一个分割 $T$。用线段连接 $T$ 中每相邻两点，得到 $C$ 的 $n$ 条弦：

$$P_{i-1}{P}_i,i=1,2,\dots ,n$$

这 $n$ 条弦组成 $C$ 的一条内接折线。

记：

• $\Vert T\Vert ={\max }_{1\le i\le n}|P_{i-1}{P}_i|$（最长弦的长度）
• $s_T={\sum }_{i=1}^n|P_{i-1}{P}_i|$（折线的总长度）

定义：如果存在有限极限

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }{s}_T=s}$$

则称曲线 $C$ 是可求长的，并把极限 $s$ 定义为曲线 $C$ 的弧长。

1.3 几何意义

核心思想：用内接折线逼近曲线，当分割越来越细时，折线长度趋向于曲线的长度。

类比：

• 圆的周长：正多边形逼近
• 曲线弧长：折线逼近
• 定积分：矩形面积和逼近

二、弧长计算的基本定理

2.1 核心定理

定理10.1（参数方程弧长公式）

设曲线 $C$ 是一条没有自交点的非闭平面曲线，由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]\text{\hspace{1em}(1)}$$

给出。若 $x(t)$ 与 $y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可微，则 $C$ 是可求长的，且弧长为

$$\boxed{s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt}\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 定理证明（详细推导）

证明思路：采用反证法和微分中值定理相结合。

Step 1：参数分割对应

对曲线 $C$ 作分割 $T$： $$T:P_0,P_1,\dots ,P_n$$

设 $P_i(x_i,y_i)=(x(t_i),y(t_i))$，$i=0,1,\dots ,n$，其中 $P_0$ 对应 $t=\alpha$，$P_n$ 对应 $t=\beta$。

这样得到区间 $[\alpha ,\beta ]$ 的一个分割： $$T^{\prime }:\alpha =t_0<t_1<t_2<\cdots <t_n=\beta$$

Step 2：证明 $\Vert T\Vert \to 0\Rightarrow \Vert T^{\prime }\Vert \to 0$

反证法：假设 ${\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}\Vert T^{\prime }\Vert \ne 0$。

则存在 ${\epsilon }_0>0$，对任意小的 $\delta >0$，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，仍存在 $C$ 上两点 $Q^{\prime }$ 和 $Q^{\prime \prime }$，使得：

• $|Q^{\prime }{Q}^{\prime \prime }|<\delta$（弦长很小）
• 但对应参数满足 $|t^{\prime }-t^{\prime \prime }|\ge {\epsilon }_0$（参数差不小）

依次取 $\delta =\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$，得到两个点列 $\{Q_k^{\prime }\},\{Q_k^{\prime \prime }\}$ 及对应参数数列 $\{t_k^{\prime }\},\{t_k^{\prime \prime }\}$，满足： $$|Q_k^{\prime }{Q}_k^{\prime \prime }|\to 0,|t_k^{\prime }-t_k^{\prime \prime }|\ge {\epsilon }_0$$

由致密性定理（Bolzano-Weierstrass），存在子列收敛： $$t_{k_j}^{\prime }\to t^{\ast },t_{k_j}^{\prime \prime }\to t^{\ast \ast }$$

显然 $|t^{\ast }-t^{\ast \ast }|\ge {\epsilon }_0$，即 $t^{\ast }\ne t^{\ast \ast }$。

但对应的点满足： $$|Q_{k_j}^{\prime }{Q}_{k_j}^{\prime \prime }|\to 0\Rightarrow Q^{\ast }=Q^{\ast \ast }$$

这意味着不同参数对应同一点，与 $C$ 是没有自交点的曲线矛盾！

结论：$\Vert T\Vert \to 0$ 时必有 $\Vert T^{\prime }\Vert \to 0$。

Step 3：微分中值定理应用

在分割 $T^{\prime }$ 的每个小区间 ${\Delta }_i=[t_{i-1},t_i]$ 上，由微分中值定理：

$$\begin{array}{rl}\Delta x_i& =x(t_i)-x(t_{i-1})=x^{\prime }({\xi }_i)\Delta t_i,{\xi }_i\in {\Delta }_i\\ \Delta y_i& =y(t_i)-y(t_{i-1})=y^{\prime }({\eta }_i)\Delta t_i,{\eta }_i\in {\Delta }_i\end{array}$$

内接折线总长： $$s_T=\sum _{i=1}^n|P_{i-1}{P}_i|=\sum _{i=1}^n\sqrt{(\Delta x_i{)}^2+(\Delta y_i{)}^2}$$

$$=\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\eta }_i){]}^2}\Delta t_i$$

Step 4：证明极限等于积分

需要证明： $$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }{s}_T={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

记： $$a_i=\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\eta }_i){]}^2}-\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}$$

则： $$s_T=\sum _{i=1}^n\left\{\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}+a_i\right\}\Delta t_i$$

关键估计：利用三角不等式： $$|a_i|\le |y^{\prime }({\eta }_i)-y^{\prime }({\xi }_i)|,i=1,2,\dots ,n$$

由 $y^{\prime }(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，从而一致连续，故对任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $\Vert T^{\prime }\Vert <\delta$ 时，只要 ${\xi }_i,{\eta }_i\in {\Delta }_i$，就有：

$$|y^{\prime }({\eta }_i)-y^{\prime }({\xi }_i)|<\frac{\epsilon }{\beta -\alpha }$$

因此： $$\left|s_T-\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\Delta t_i\right|\le \sum _{i=1}^n|a_i|\Delta t_i<\epsilon$$

而后一个求和式正是 $\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}$ 的黎曼和，当 $\Vert T^{\prime }\Vert \to 0$ 时趋向于定积分。

结论：公式 (2) 得证。$\square$

2.3 光滑曲线

定义3（光滑曲线）

设曲线 $C$ 由参数方程 (1) 给出。如果 $x(t)$ 与 $y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可微，且

$$\boxed{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0,\forall t\in [\alpha ,\beta ]}$$

则称 $C$ 为一条光滑曲线。

几何意义：

• $x^{\prime }(t)$ 与 $y^{\prime }(t)$ 不同时为零 $\iff$ 曲线在每点处都有切线，且切线不退化为点
• 光滑曲线没有尖点（cusp）和折点

推论：若 $C$ 为光滑曲线，则 $C$ 必可求长，且弧长由公式 (2) 给出。

三、不同坐标系下的弧长公式

3.1 直角坐标形式

情形：曲线由显函数给出 $$y=f(x),x\in [a,b]$$

参数化：看作参数方程 $$x=x,y=f(x),x\in [a,b]$$

弧长公式：当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微时，

$$\boxed{s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}\text{\hspace{1em}(4)}$$

简记： $$s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

3.2 极坐标形式

情形：曲线由极坐标方程给出 $$r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$$

参数化：转换为参数方程 $$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array},\theta \in [\alpha ,\beta ]$$

求导： $$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(\theta )& =r^{\prime }(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\ y^{\prime }(\theta )& =r^{\prime }(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \end{array}$$

平方和： $$[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2=[r^{\prime }(\theta ){]}^2+[r(\theta ){]}^2$$

弧长公式：当 $r^{\prime }(\theta )$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，且 $r(\theta )$ 与 $r^{\prime }(\theta )$ 不同时为零时，

$$\boxed{s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta }\text{\hspace{1em}(5)}$$

简记： $$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$$

四、弧长公式总结表

五、经典例题详解

例1：摆线的弧长

题目：求摆线 $$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t),a>0$$ 一拱（$t\in [0,2\pi ]$）的弧长（见图10-3）。

解析：

Step 1：求导 $$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =a(1-\cos t)\\ y^{\prime }(t)& =a\sin t\end{array}$$

Step 2：计算根号下表达式 $$[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2=a^2[(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t]$$

$$=a^2[1-2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t]=a^2[2-2\cos t]$$

$$=2a^2(1-\cos t)$$

Step 3：利用半角公式 $$1-\cos t=2{\sin }^2\frac{t}{2}$$

因此： $$\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}=\sqrt{2a^2\cdot 2{\sin }^2\frac{t}{2}}=2a\left|\sin \frac{t}{2}\right|$$

在 $t\in [0,2\pi ]$ 上，$\sin \frac{t}{2}\ge 0$，所以： $$\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}=2a\sin \frac{t}{2}$$

Step 4：计算积分 $$s={\int }_0^{2\pi }2a\sin \frac{t}{2}dt=2a\cdot {\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\pi }$$

$$=-4a[\cos \pi -\cos 0]=-4a[-1-1]=\boxed{8a}$$

几何意义：摆线一拱的弧长是生成圆直径的 4倍（生成圆半径为 $a$，直径为 $2a$）。

例2：悬链线的弧长

题目：求悬链线 $$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$$ 从 $x=0$ 到 $x=a$（$a>0$）那一段的弧长。

解析：

Step 1：求导 $$y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$$

Step 2：计算根号下表达式 $$1+(y^{\prime }{)}^2=1+{\sinh }^{2}x={\cosh }^{2}x$$

（利用双曲函数恒等式：${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$）

Step 3：计算积分 $$s={\int }_0^a\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx={\int }_0^a\cosh xdx$$

$$=\sinh x{|}_0^a=\sinh a=\boxed{\frac{e^a-e^{-a}}{2}}$$

物理意义：悬链线是悬挂的均匀柔软链条在重力作用下的形状。

例3：心形线的周长

题目：求心形线 $$r=a(1+\cos \theta ),a>0$$ 的周长。

解析：

Step 1：求导 $$r^{\prime }(\theta )=-a\sin \theta$$

Step 2：计算根号下表达式 $$r^2+(r^{\prime }{)}^2=a^2(1+\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta$$

$$=a^2[(1+\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta ]$$

$$=a^2[1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta ]$$

$$=a^2[2+2\cos \theta ]=2a^2(1+\cos \theta )$$

Step 3：利用半角公式 $$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$$

因此： $$\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}=\sqrt{2a^2\cdot 2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}=2a\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|$$

在 $\theta \in [0,2\pi ]$ 上，$\cos \frac{\theta }{2}\ge 0$（当 $\theta \in [0,\pi ]$），因此利用对称性：

Step 4：计算积分 $$s={\int }_0^{2\pi }2a\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|d\theta =2{\int }_0^{\pi }2a\cos \frac{\theta }{2}d\theta$$

$$=4a\cdot 2\sin \frac{\theta }{2}{|}_0^{\pi }=8a\cdot [\sin \frac{\pi }{2}-0]=\boxed{8a}$$

有趣结果：心形线周长与摆线一拱弧长相等！

六、弧微分

6.1 弧长函数

定义：若把公式 (2) 中的积分上限改为 $t$，就得到曲线从端点 $P_0$ 到动点 $P(x(t),y(t))$ 的弧长函数：

$$\boxed{s(t)={\int }_{\alpha }^t\sqrt{[x^{\prime }(\tau ){]}^2+[y^{\prime }(\tau ){]}^2}d\tau }\text{\hspace{1em}(6)}$$

性质：

• $s(t)$ 单调递增（因为被积函数非负）
• $s(\alpha )=0$，$s(\beta )=$ 曲线总长

6.2 弧微分公式

由积分上限函数的求导法则：

$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}$$

因此：

$$\boxed{ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}}\text{\hspace{1em}(弧微分公式)}$$

其中： $$dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt$$

6.3 微分三角形

几何解释（图10-17）：

设 $P$ 为曲线上一点，$Q$ 为邻近点。过 $P$ 作切线 $PR$，作垂线 $QR$，形成微分三角形 $△PQR$：

• $PQ$：曲线上的微小弧段，长度 $\approx ds$
• $QR$：竖直方向微小位移，长度 $=dy$
• $PR$：水平方向微小位移在切线上的投影，长度 $=dx$
• $PR$：切线方向微小位移，长度 $=ds$

勾股定理： $$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$$

这正是弧微分公式的几何意义！

📖 第二部分：曲线的曲率

一、曲率的概念

1.1 问题的提出

核心问题：如何度量曲线在某点处的弯曲程度？

直观观察（图10-18）：

• 弧段 $PQ$ 与 $QR$ 长度相差不多
• 但弯曲程度很不一样
• 从 $P$ 到 $Q$，切线转过的角度 $\Delta \alpha$ 较大
• 从 $Q$ 到 $R$，切线转过的角度 $\Delta \beta$ 较小

启发：弯曲程度应与单位弧长上切线转过的角度有关。

1.2 曲率的定义

切线倾角：设 $\alpha (t)$ 表示曲线在点 $P(x(t),y(t))$ 处切线的倾角。

角度增量：动点从 $P$ 沿曲线移至 $Q(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))$ 时，切线倾角增量为： $$\Delta \alpha =\alpha (t+\Delta t)-\alpha (t)$$

弧长增量：弧段 $PQ$ 的长度为 $\Delta s$。

平均曲率： $$\bar{K}=\frac{|\Delta \alpha |}{\Delta s}$$

曲率定义：如果存在有限极限

$$\boxed{K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \alpha |}{\Delta s}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \alpha |}{\Delta s}=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|}\text{\hspace{1em}(曲率定义)}$$

则称此极限 $K$ 为曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率。

二、曲率的计算公式

2.1 切线倾角的表达

由于 $C$ 为光滑曲线，总有：

$$\alpha (t)=\arctan \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\text{或}\alpha (t)=\mathrm{arccot}\frac{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}$$

（取决于 $x^{\prime }(t)$ 或 $y^{\prime }(t)$ 是否为零）

2.2 参数方程的曲率公式

推导：

Step 1：求 $\frac{d\alpha }{dt}$

对 $\tan \alpha =\frac{y^{\prime }}{x^{\prime }}$ 两边对 $t$ 求导（隐函数求导）：

$${\sec }^2\alpha \cdot \frac{d\alpha }{dt}=\frac{x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{(x^{\prime }{)}^2}$$

因为 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{(y^{\prime }{)}^2}{(x^{\prime }{)}^2}=\frac{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}{(x^{\prime }{)}^2}$，所以：

$$\frac{d\alpha }{dt}=\frac{x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$$

Step 2：利用弧微分

由 $\frac{ds}{dt}=\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$，得：

$$\frac{d\alpha }{ds}=\frac{d\alpha /dt}{ds/dt}=\frac{x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{[(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2{]}^{3/2}}$$

Step 3：曲率公式

$$\boxed{K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|=\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }|}{[(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2{]}^{3/2}}}\text{\hspace{1em}(7)}$$

简记形式（省略变量）： $$K=\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

2.3 直角坐标的曲率公式

情形：曲线由 $y=f(x)$ 给出。

参数化：$x=t$，$y=f(t)$，则： $$x^{\prime }=1,x^{\prime \prime }=0,y^{\prime }=f^{\prime }(x),y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(x)$$

代入公式 (7)：

$$\boxed{K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}}\text{\hspace{1em}(8)}$$

这是最常用的曲率公式！

三、典型曲线的曲率

例4：椭圆的曲率

题目：求椭圆 $$x=a\cos t,y=b\sin t,0\le t\le 2\pi$$ 上曲率最大和最小的点。

解析：

Step 1：求一阶和二阶导数 $$\begin{array}{rlrl}{x}^{\prime }& =-a\sin t,& x^{\prime \prime }& =-a\cos t\\ y^{\prime }& =b\cos t,& y^{\prime \prime }& =-b\sin t\end{array}$$

Step 2：计算分子 $$x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }=(-a\sin t)(-b\sin t)-(-a\cos t)(b\cos t)$$ $$=ab{\sin }^{2}t+ab{\cos }^{2}t=ab$$

Step 3：计算分母 $$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t$$ $$=a^2(1-{\cos }^{2}t)+b^2{\cos }^{2}t=a^2-(a^2-b^2){\cos }^{2}t$$

设 $a>b>0$，记 $c^2=a^2-b^2$（离心率相关），则： $$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=b^2+c^2{\sin }^{2}t$$

Step 4：曲率公式 $$K=\frac{ab}{[b^2+(a^2-b^2){\sin }^{2}t{]}^{3/2}}$$

Step 5：求极值

• 当 $t=0,\pi$（长轴端点）时，${\sin }^{2}t=0$： $$K_{\max }=\frac{ab}{b^3}=\boxed{\frac{a}{b^2}}$$

• 当 $t=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$（短轴端点）时，${\sin }^{2}t=1$： $$K_{\min }=\frac{ab}{a^3}=\boxed{\frac{b}{a^2}}$$

几何意义：

• 长轴端点处曲率最大（最弯曲）
• 短轴端点处曲率最小（最平缓）

特例：圆的曲率

若 $a=b=R$（椭圆退化为圆），则：

$$K=\frac{R}{R^2}=\frac{1}{R}=\text{常数}$$

结论：半径为 $R$ 的圆在每一点处的曲率都相等，且等于 $\frac{1}{R}$。

这正是我们引入曲率半径概念的动机！

四、曲率圆与曲率半径

4.1 曲率半径的定义

定义4（曲率半径）

设曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率 $K\ne 0$，则称

$$\boxed{\rho =\frac{1}{K}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

为曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率半径。

直观意义：

• $K$ 大 $\Rightarrow$ $\rho$ 小 $\Rightarrow$ 曲线弯曲程度大
• $K$ 小 $\Rightarrow$ $\rho$ 大 $\Rightarrow$ 曲线弯曲程度小
• $K=0$ $\Rightarrow$ $\rho =\infty$ $\Rightarrow$ 直线（无弯曲）

4.2 曲率圆（密切圆）

定义5（曲率圆、曲率中心）

设曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率 $K>0$，在曲线凹的一侧（法线方向），沿着指向曲线凹侧的法向量，取距离为 $\rho =\frac{1}{K}$ 的点 $O$，以 $O$ 为圆心、$\rho$ 为半径作圆。

这个圆称为曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率圆或密切圆，点 $O$ 称为曲率中心。

几何性质：

1. 曲率圆与曲线在点 $P$ 处相切
2. 曲率圆与曲线在点 $P$ 处有相同的曲率
3. 曲率圆是所有与曲线在 $P$ 点相切的圆中，在 $P$ 点附近与曲线最接近的圆

4.3 曲率中心的坐标公式

推导：

设曲线方程为 $y=f(x)$，在点 $P(x_0,y_0)$ 处：

• 切线斜率：$k=y^{\prime }(x_0)$
• 法线斜率：$k_n=-\frac{1}{y^{\prime }(x_0)}$（当 $y^{\prime }\ne 0$ 时）
• 曲率：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$
• 曲率半径：$\rho =\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{\prime \prime }|}$

法向量方向：

• 若 $y^{\prime \prime }>0$（曲线凹向上），曲率中心在曲线上方
• 若 $y^{\prime \prime }<0$（曲线凹向下），曲率中心在曲线下方

曲率中心坐标 $(\xi ,\eta )$：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}\xi =x_0-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \eta =y_0+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\end{array}}\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中导数均在 $x=x_0$ 处求值。

推导思路：

1. 从点 $P(x_0,y_0)$ 沿法线方向移动距离 $\rho$
2. 法线单位向量：$\vec{n}=\frac{(-y^{\prime },1)}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$（指向凹侧）
3. 曲率中心：$O=P+\rho \vec{n}$

五、曲率的应用

5.1 铁路弯道设计

问题背景：火车从直线轨道进入圆弧弯道时，如果曲率突变（从 $K=0$ 跳变到 $K=\frac{1}{R}$），会产生巨大的侧向冲击力，危及行车安全。

解决方案：在直线与圆弧之间插入缓和曲线（transition curve），使曲率从 $0$ 逐渐增加到 $\frac{1}{R}$。

常用缓和曲线：

1. 三次抛物线：$y=a{x}^3$

   • 曲率：$K=\frac{6|ax|}{(1+9a^2{x}^4{)}^{3/2}}$
   • 在 $x=0$ 处：$K(0)=0$

2. 回旋线（Euler螺线）：$s^2=a^2\theta$

   • 特点：曲率与弧长成正比

实际设计（图10-19）：

• $AB$ 段：直线轨道（$K=0$）
• $BC$ 段：缓和曲线（$K$ 从 $0$ 增至 $\frac{1}{R}$）
• $CD$ 段：圆弧轨道（$K=\frac{1}{R}$，恒定）
• $DE$ 段：缓和曲线（$K$ 从 $\frac{1}{R}$ 减至 $0$）
• $EF$ 段：直线轨道（$K=0$）

5.2 道路设计中的超高设计

物理原理：列车通过弯道时，由于离心力作用，需要在外侧轨道抬高（超高），使合力指向曲率中心。

超高公式： $$h=\frac{v^2}{gR}\cdot d$$

其中：

• $v$：列车速度
• $R$：弯道半径（$R=\frac{1}{K}$）
• $g$：重力加速度
• $d$：轨距

曲率的作用：$R$ 越小（$K$ 越大），所需超高越大。

5.3 光学设计

透镜设计：透镜表面的曲率决定了其焦距： $$f=\frac{R}{n-1}$$ 其中 $R$ 是曲率半径，$n$ 是折射率。

像差校正：通过改变透镜表面曲率分布，可以减少像差。

5.4 机械工程

凸轮设计：凸轮轮廓的曲率影响从动件的加速度： $$a=v^{2}K$$ 其中 $v$ 是从动件速度，$K$ 是轮廓曲率。

应力集中：零件轮廓曲率突变处容易产生应力集中，设计时应避免曲率剧变。

🎯 核心公式总结

弧长公式

曲率公式

特殊曲线

🧠 思维导图：弧长与曲率完整体系

graph TB
    A[曲线的弧长与曲率] --> B[弧长理论]
    A --> C[曲率理论]
    
    B --> B1[基本定义]
    B --> B2[计算公式]
    B --> B3[典型例题]
    
    B1 --> B11[可求长曲线]
    B1 --> B12[内接折线逼近]
    B1 --> B13[光滑曲线]
    
    B2 --> B21[参数方程: √(x'²+y'²)]
    B2 --> B22[直角坐标: √(1+y'²)]
    B2 --> B23[极坐标: √(r²+r'²)]
    B2 --> B24[弧微分: ds=√(dx²+dy²)]
    
    B3 --> B31[摆线: s=8a]
    B3 --> B32[悬链线]
    B3 --> B33[心形线: s=8a]
    
    C --> C1[基本概念]
    C --> C2[计算公式]
    C --> C3[曲率圆]
    C --> C4[工程应用]
    
    C1 --> C11[切线倾角]
    C1 --> C12[平均曲率]
    C1 --> C13[曲率定义: K=|dα/ds|]
    
    C2 --> C21[参数形式]
    C2 --> C22[直角坐标: |y''|/(1+y'²)^(3/2)]
    C2 --> C23[曲率半径: ρ=1/K]
    
    C3 --> C31[密切圆]
    C3 --> C32[曲率中心]
    C3 --> C33[几何意义]
    
    C4 --> C41[铁路弯道]
    C4 --> C42[道路设计]
    C4 --> C43[光学透镜]
    C4 --> C44[机械凸轮]
    
    style A fill:#f96,stroke:#333,stroke-width:4px
    style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

📊 解题策略流程图

flowchart TD
    Start[弧长或曲率问题] --> Q1{问题类型?}
    
    Q1 -->|弧长计算| Q2{曲线表示形式?}
    Q1 -->|曲率计算| Q5{曲线表示形式?}
    
    Q2 -->|参数方程| F1["s=∫√(x'²+y'²)dt"]
    Q2 -->|显函数| F2["s=∫√(1+y'²)dx"]
    Q2 -->|极坐标| F3["s=∫√(r²+r'²)dθ"]
    
    Q5 -->|参数方程| F4["K=|x'y''-x''y'|/(x'²+y'²)^(3/2)"]
    Q5 -->|显函数| F5["K=|y''|/(1+y'²)^(3/2)"]
    
    F1 --> Simplify1[化简被积函数]
    F2 --> Simplify1
    F3 --> Simplify1
    F4 --> Simplify2[计算一阶、二阶导数]
    F5 --> Simplify2
    
    Simplify1 --> Check1{能否利用对称性?}
    Check1 -->|能| Half[只算一半再乘倍数]
    Check1 -->|不能| Full[直接积分]
    
    Simplify2 --> Check2{求极值?}
    Check2 -->|是| Extremum[令K'=0求驻点]
    Check2 -->|否| Direct[直接代入点坐标]
    
    Half --> Compute[计算定积分]
    Full --> Compute
    Extremum --> Compute
    Direct --> Result[得到曲率值]
    
    Compute --> Result
    Result --> End[验证答案合理性]
    
    style Q1 fill:#e1f5ff
    style F1 fill:#d4edda
    style F2 fill:#d4edda
    style F3 fill:#d4edda
    style F4 fill:#fff3cd
    style F5 fill:#fff3cd

📝 习题精选

基础题

1. 抛物线弧长

求抛物线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧长。

解： $$y^{\prime }=2x,1+(y^{\prime }{)}^2=1+4x^2$$

$$s={\int }_0^1\sqrt{1+4x^2}dx$$

令 $2x=\sinh t$，则 $dx=\frac{1}{2}\cosh tdt$：

$$s=\frac{1}{2}{\int }_0^{{\sinh }^{-1}2}{\cosh }^{2}tdt=\frac{1}{4}{\left[t+\sinh t\cosh t\right]}_0^{{\sinh }^{-1}2}$$

$$=\frac{1}{4}\left[{\sinh }^{-1}2+2\sqrt{5}\right]=\frac{1}{4}\left[\ln (2+\sqrt{5})+2\sqrt{5}\right]$$

2. 对数螺线弧长

求对数螺线 $r=e^{a\theta }$（$\theta \in [0,{\theta }_0]$）的弧长。

解： $$r^{\prime }=a{e}^{a\theta }$$

$$r^2+(r^{\prime }{)}^2=e^{2a\theta }(1+a^2)$$

$$s={\int }_0^{{\theta }_0}{e}^{a\theta }\sqrt{1+a^2}d\theta =\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}{\left[e^{a\theta }\right]}_0^{{\theta }_0}$$

$$=\boxed{\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}(e^{a{\theta }_0}-1)}$$

提高题

3. 抛物线的曲率

求抛物线 $y=a{x}^2$（$a>0$）的顶点处曲率和曲率半径。

解：在 $x=0$ 处： $$y^{\prime }(0)=0,y^{\prime \prime }(0)=2a$$

$$K=\frac{|2a|}{(1+0{)}^{3/2}}=2a$$

$$\rho =\frac{1}{2a}$$

几何意义：$a$ 越大，抛物线越"陡峭"，顶点曲率越大。

4. 椭圆弧长近似

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的周长没有初等函数表达式，求其近似公式。

Ramanujan第一公式： $$L\approx \pi \left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$

当 $a=b=r$ 时，$L=2\pi r$（圆周长）$✓$

综合题

5. 铁路缓和曲线设计

设计一条三次抛物线 $y=a{x}^3$ 作为缓和曲线，连接直线轨道（$y=0$）和半径 $R$ 的圆弧。求参数 $a$ 和连接点坐标。

提示：

• 在连接点处，缓和曲线与圆弧有相同的曲率
• 切线方向连续

6. 最速降线问题

证明：从点 $A$ 滑落到点 $B$，在重力作用下时间最短的曲线（最速降线）是摆线。

这是变分法的经典问题，由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在1696年提出。

⚠️ 常见错误与注意事项

易错点1：弧长公式中忘记平方根

❌ 错误：$s=\int (x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^{2}dt$

✅ 正确：$s=\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$

易错点2：曲率公式中忘记绝对值

❌ 错误：$K=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$（可能为负）

✅ 正确：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$（曲率必须非负）

易错点3：参数方程曲率公式中行列式计算错误

记忆技巧：分子是 $x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }$（类似二阶行列式）

$$\begin{vmatrix} x' & x'' \ y' & y'' \end{vmatrix} = x'y'' - x''y'$$

易错点4：极坐标弧长公式混淆

❌ 错误：$s=\int rd\theta$（这是扇形面积的一部分）

✅ 正确：$s=\int \sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$

易错点5：曲率半径与半径的混淆

• 曲率半径 $\rho =\frac{1}{K}$：描述曲线局部弯曲程度
• 圆的半径 $R$：圆本身的几何量

对于圆：$\rho =R$（曲率半径等于半径）

对于其他曲线：$\rho$ 随位置变化

🎓 理论深化

1. 弧长参数化

定义：若曲线用弧长 $s$ 作为参数： $$\vec{r}(s)=(x(s),y(s))$$

则有： $$\left|\frac{d\vec{r}}{ds}\right|=1$$

这称为单位速度参数化。

优点：

• 曲率公式简化：$K=\left|\frac{d^2\vec{r}}{d{s}^2}\right|$
• 理论推导更简洁

2. Frenet-Serret公式（空间曲线推广）

对于空间曲线，除了曲率 $K$，还引入挠率 $\tau$，描述曲线偏离密切平面的程度。

Frenet标架：

• $\vec{T}$：单位切向量
• $\vec{N}$：主法向量
• $\vec{B}$：副法向量

Frenet-Serret公式： $$\{\begin{array}{l}\frac{d\vec{T}}{ds}=K\vec{N}\\ \frac{d\vec{N}}{ds}=-K\vec{T}+\tau \vec{B}\\ \frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau \vec{N}\end{array}$$

3. 等周不等式

定理：所有周长为 $L$ 的简单闭曲线中，圆围成的面积最大。

$$A\le \frac{L^2}{4\pi }$$

等号成立当且仅当曲线是圆。

证明需要用到变分法和曲率理论。

🔬 前沿应用

计算机图形学

Bézier曲线：用控制点定义的参数曲线 $$\vec{r}(t)=\sum _{i=0}^n{B}_i^n(t){\vec{P}}_i$$

其中 $B_i^n(t)$ 是Bernstein基函数。

曲率连续性：

• $G^0$ 连续：位置连续
• $G^1$ 连续：切线方向连续
• $G^2$ 连续：曲率连续

计算机辅助设计（CAD）

NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Splines）：

• 能精确表示圆锥曲线
• 通过调整权重控制曲率
• 广泛应用于汽车、飞机外形设计

微分几何

高斯曲率：曲面上的内蕴几何量 $$K_G=\frac{k_1\cdot k_2}{(1+|\nabla f{|}^2{)}^2}$$

其中 $k_1,k_2$ 是主曲率。

Gauss-Bonnet定理： $${\iint }_S{K}_{G}dA+{\int }_{\partial S}{k}_{g}ds=2\pi \chi (S)$$

连接了曲率（局部几何）与Euler示性数（全局拓扑）。

📚 历史与文化

弧长积分的发展

17世纪：

• 格雷戈里（James Gregory, 1638-1675）首次计算曲线弧长
• 牛顿（Isaac Newton, 1643-1727）在《流数法》中系统研究

18世纪：

• 欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）引入弧长参数
• 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813）研究变分问题

曲率概念的演变

古希腊：

• 欧几里得（Euclid）：研究圆的性质
• 阿基米德：计算螺线长度

17世纪：

• 惠更斯（Christiaan Huygens, 1629-1695）：提出渐屈线（evolute）概念
• 莱布尼茨：引入微分符号

19世纪：

• 高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）：创立曲面论
• 黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）：黎曼几何

✅ 学习检查清单

• 理解弧长定义的极限思想
• 掌握三种坐标系的弧长公式
• 熟练计算典型曲线的弧长
• 理解弧微分的几何意义
• 掌握曲率的定义和物理意义
• 熟练使用曲率计算公式
• 理解曲率圆与曲率半径
• 了解曲率在工程中的应用
• 能解决铁路弯道等实际问题
• 掌握椭圆曲率的极值问题

📖 参考文献与延伸阅读

教材

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 菲赫金哥尔茨.《微积分学教程》（第8版）[M]
3. Apostol, T. Calculus, Vol. 1 [M]. Wiley

专著

4. do Carmo, M. Differential Geometry of Curves and Surfaces [M]. Dover
5. Pressley, A. Elementary Differential Geometry [M]. Springer

应用

6. Farin, G. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design [M]
7. 中国铁路设计规范TB 10098-2017

历史

8. Boyer, C. The History of the Calculus [M]. Dover
9. Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times [M]. Oxford

🎯 本节核心要点回顾

弧长部分

1. 定义：$s={\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}\sum |P_{i-1}{P}_i|$
2. 参数公式：$s=\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$
3. 直角公式：$s=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
4. 极坐标公式：$s=\int \sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$
5. 弧微分：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$

曲率部分

1. 定义：$K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|$
2. 参数公式：$K=\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }|}{[(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2{]}^{3/2}}$
3. 直角公式：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$
4. 曲率半径：$\rho =\frac{1}{K}$
5. 曲率圆：半径为 $\rho$，在凹侧

🌟 学习建议

时间安排

• 理论理解：3学时
• 公式推导：2学时
• 例题练习：4学时
• 综合应用：2学时
• 习题巩固：3学时

学习重点

1. 重点掌握：直角坐标和参数方程的弧长、曲率公式
2. 理解透彻：微元法思想、极限定义
3. 灵活运用：根据题目选择合适的坐标系
4. 联系实际：理解铁路弯道等工程应用

学习难点

1. 弧长公式的严格证明（反证法部分）
2. 曲率公式的推导（隐函数求导）
3. 曲率中心坐标公式的记忆
4. 极坐标下的弧长与曲率计算

🔗 知识关联网络

graph LR
    A[定积分] --> B[弧长计算]
    C[导数] --> D[曲率计算]
    
    B --> E[参数方程]
    B --> F[极坐标]
    
    D --> G[切线倾角]
    D --> H[曲率圆]
    
    H --> I[工程应用]
    I --> J[铁路设计]
    I --> K[道路设计]
    
    E --> L[摆线]
    E --> M[椭圆]
    
    F --> N[心形线]
    F --> O[对数螺线]
    
    G --> P[Frenet标架]
    P --> Q[微分几何]
    
    B --> R[曲面面积]
    R --> S[二重积分]
    
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:3px
    style D fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:3px
    style I fill:#ff9,stroke:#333,stroke-width:2px

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解平面曲线的弧长与曲率！这一节内容既有严谨的数学理论，又有丰富的工程应用，是连接纯数学与应用数学的重要桥梁。

如果您需要更详细的例题讲解、习题答案或某个特定主题的深入探讨，请随时告诉我！📐✨