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第十一章：反常积分

无穷积分与瑕积分的完整理论体系

定义、性质、收敛判别与应用

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  root((反常积分))
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        右端点瑕点(a,b]
        左端点瑕点[a,b)
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      分部积分法
      特殊函数
    重要积分
      Γ函数
      B函数
      Gauss积分
      Dirichlet积分

📖 第一部分：问题的提出与动机

一、定积分的两个基本限制

1.1 经典定积分的要求

Riemann积分的前提：

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

必须满足：

1. 区间有穷性：$a,b\in \mathbb{R}$，$|b-a|<+\infty$
2. 函数有界性：存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\le M$，$\forall x\in [a,b]$

问题：许多重要的数学和物理问题超越了这些限制！

二、引发反常积分的实际问题

例1：第二宇宙速度问题（无穷区间）

物理背景：在地球表面垂直发射火箭，要使其克服地球引力无限远离地球，初速度至少要多大？

建模：

设：

• 地球半径：$R$
• 火箭质量：$m$
• 地面重力加速度：$g$

万有引力：在距地心 $x\ge R$ 处，引力为 $$F(x)=\frac{mg{R}^2}{x^2}$$

做功计算：从地面上升到距地心 $r$ 处需做的功 $$W_r={\int }_R^{r}F(x)dx={\int }_R^r\frac{mg{R}^2}{x^2}dx=mg{R}^2{\left[-\frac{1}{x}\right]}_R^r=mgR\left(1-\frac{R}{r}\right)$$

关键：当 $r\to +\infty$ 时，需要的功为 $$W=\underset{r\to +\infty }{\lim }{W}_r=mgR$$

自然表示： $$\boxed{W={\int }_R^{+\infty }\frac{mg{R}^2}{x^2}dx=mgR}$$

这是一个上限为 $+\infty$ 的积分！

结果：由能量守恒 $\frac{1}{2}m{v}_0^2=mgR$，得 $$v_0=\sqrt{2gR}\approx 11.2\text{km/s}$$

（第二宇宙速度）

例2：流体力学问题（无界函数）

问题描述：圆柱形桶，内壁高 $h$，内半径 $R$，桶底有一半径 $r$ 的小孔。从盛满水开始打开小孔，流完桶中的水需要多少时间？

物理定律：Torricelli定律

• 水位高度为 $h-x$ 时，流速为 $v=\sqrt{2g(h-x)}$

微元关系：时间 $dt$ 内液面降低 $dx$ $$\pi R^{2}dx=v\cdot \pi r^{2}dt=\sqrt{2g(h-x)}\cdot \pi r^{2}dt$$

因此： $$dt=\frac{R^2}{r^2\sqrt{2g(h-x)}}dx$$

总时间：形式上为 $$T={\int }_0^h\frac{R^2}{r^2\sqrt{2g(h-x)}}dx$$

问题：被积函数在 $x=h$ 处无界！

解决：定义为极限 $$T=\underset{u\to h^{-}}{\lim }{\int }_0^u\frac{R^2}{r^2\sqrt{2g(h-x)}}dx=\frac{2R^2}{r^2\sqrt{2g}}\sqrt{h}$$

三、反常积分的必要性

结论：

1. 无穷区间积分（无穷积分）：积分区间延伸至无穷
2. 无界函数积分（瑕积分）：被积函数在某点无界

这两类积分统称为反常积分（Improper Integrals），相对于正常积分（Proper Integrals）。

📖 第二部分：无穷积分的定义与性质

一、单侧无穷积分

1.1 上限无穷的情形

定义1：设函数 $f$ 定义在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上，且在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积。如果存在极限 $$\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{u}f(x)dx=J$$

则称此极限 $J$ 为函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 $$\boxed{{\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{u}f(x)dx=J}\text{\hspace{1em}(1)}$$

并称积分收敛。

发散：如果极限不存在，称积分发散。

1.2 下限无穷的情形

定义：类似地，对于 $(-\infty ,b]$ 上的积分： $$\boxed{{\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{v\to -\infty }{\lim }{\int }_v^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(2)}$$

二、双侧无穷积分

定义2：对于 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的无穷积分，定义为 $$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx+{\int }_a^{+\infty }f(x)dx}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $a$ 为任一实数。

收敛条件：当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，左边的积分才收敛。

注释：

1. 分点无关性：积分的收敛性与分点 $a$ 的选取无关。

2. 可积性前提：$f$ 在任何有限区间 $[v,u]\subset (-\infty ,+\infty )$ 上必须可积。

3. 几何意义：若 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负连续，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛意味着曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$ 与 $x$ 轴之间向右无限延伸的区域有有限面积。

三、经典例题

例3：p-积分的敛散性

问题：讨论无穷积分 $${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}(p\in \mathbb{R})$$ 的敛散性。

解析：

情况1：$p\ne 1$ $${\int }_1^u\frac{dx}{x^p}={\int }_1^u{x}^{-p}dx={\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]}_1^u=\frac{1}{1-p}\left(u^{1-p}-1\right)$$

• 若 $p>1$：$1-p<0$，$u^{1-p}\to 0$（$u\to +\infty$），故 $${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}=\frac{1}{p-1}\text{（收敛）}$$

• 若 $p<1$：$1-p>0$，$u^{1-p}\to +\infty$，积分发散至 $+\infty$。

情况2：$p=1$ $${\int }_1^u\frac{dx}{x}=\ln u\to +\infty$$

积分发散。

结论： $$\boxed{{\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& p>1\\ \text{发散}& p\le 1\end{array}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

几何直观：

p的值越大，曲线 y = 1/x^p 在 x>1 时越靠近 x 轴，
曲线下方区域存在有限面积的可能性越大。

   y
   |
 1 |___   p=0.5 (发散)
   |\  ---___
   | \       ---___
   |  \           ---___  p=1 (发散)
   |   \               ---___
   |    \___________________---____  p=2 (收敛)
   |________________________---___
   0                             x

例4：对数积分与换元法

问题：讨论下列无穷积分的敛散性

(1) ${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}$

(2) ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}$ 和 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}$

解 (1)：

令 $t=\ln x$，则 $dt=\frac{dx}{x}$。

当 $x=2$ 时，$t=\ln 2$；当 $x\to +\infty$ 时，$t\to +\infty$。

$${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{+\infty }\frac{dt}{t^p}$$

由例3，这个积分当 $p>1$ 时收敛，$p\le 1$ 时发散。

解 (2)：

第一个积分： $${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_0^u\frac{dx}{1+x^2}=\underset{u\to +\infty }{\lim }\arctan u=\frac{\pi }{2}$$

第二个积分：需要分成两部分（取 $a=0$） $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}={\int }_{-\infty }^0\frac{dx}{1+x^2}+{\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}$$

左边部分： $${\int }_{-\infty }^0\frac{dx}{1+x^2}=\underset{v\to -\infty }{\lim }{\int }_v^0\frac{dx}{1+x^2}=\underset{v\to -\infty }{\lim }(\arctan 0-\arctan v)=\frac{\pi }{2}$$

因此： $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi$$

几何意义：$y=\frac{1}{1+x^2}$ 与 $x$ 轴之间的整个区域面积为 $\pi$。

📖 第三部分：瑕积分的定义与性质

一、右端点为瑕点

定义3：设函数 $f$ 定义在区间 $(a,b]$ 上，在点 $a$ 的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间 $[u,b]\subset (a,b]$ 上有界且可积。如果存在极限

$$\underset{u\to a^{+}}{\lim }{\int }_u^{b}f(x)dx=J$$

则称此极限为无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上的反常积分，记作 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{u\to a^{+}}{\lim }{\int }_u^{b}f(x)dx=J}\text{\hspace{1em}(5)}$$

并称积分收敛。

术语：

• 点 $a$ 称为 $f$ 的瑕点（singular point）
• 无界函数的反常积分称为瑕积分（improper integral of the second kind）

二、其他情形的瑕积分

2.1 左端点为瑕点

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{v\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{v}f(x)dx$$

其中 $f$ 在 $[a,b)$ 上定义，在 $b$ 的左邻域无界。

2.2 内部点为瑕点

若 $c\in (a,b)$ 是瑕点，则 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$=\underset{u\to c^{-}}{\lim }{\int }_a^{u}f(x)dx+\underset{v\to c^{+}}{\lim }{\int }_v^{b}f(x)dx$$

收敛条件：当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边积分才收敛。

2.3 两端点都是瑕点

若 $a,b$ 都是瑕点，取任意 $c\in (a,b)$： $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

收敛条件：两个瑕积分都必须收敛。

三、经典例题

例5：简单瑕积分

问题：计算瑕积分 $${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

解析：

被积函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 在 $[0,1)$ 上连续，但在 $x=1$ 处无界（$x=1$ 是瑕点）。

$${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\underset{u\to 1^{-}}{\lim }{\int }_0^u\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$=\underset{u\to 1^{-}}{\lim }[\arcsin x{]}_0^u=\underset{u\to 1^{-}}{\lim }\arcsin u=\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$$

结论：积分收敛，值为 $\frac{\pi }{2}$。

例6：p-瑕积分的敛散性

问题：讨论瑕积分 $${\int }_0^1\frac{dx}{x^q}(q\in \mathbb{R})$$ 的收敛性。

解析：

被积函数在 $(0,1]$ 上连续，$x=0$ 为瑕点。

情况1：$q\ne 1$ $${\int }_u^1\frac{dx}{x^q}={\left[\frac{x^{-q+1}}{-q+1}\right]}_u^1=\frac{1}{1-q}(1-u^{1-q})$$

• 若 $q<1$：$1-q>0$，$u^{1-q}\to 0$（$u\to 0^{+}$），故 $${\int }_0^1\frac{dx}{x^q}=\frac{1}{1-q}\text{（收敛）}$$

• 若 $q>1$：$1-q<0$，$u^{1-q}\to +\infty$，积分发散。

情况2：$q=1$ $${\int }_u^1\frac{dx}{x}=-\ln u\to +\infty (u\to 0^{+})$$

积分发散。

结论： $$\boxed{{\int }_0^1\frac{dx}{x^q}\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& q<1\\ \text{发散}& q\ge 1\end{array}}\text{\hspace{1em}(8)}$$

对比：

记忆：指数的"方向"相反！

例7：混合型反常积分

问题：考察反常积分 $${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{x^p}(p>0)$$

解析：

这是一个混合型反常积分：

• $x=0$ 是瑕点
• 积分上限为 $+\infty$

定义： $${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{x^p}={\int }_0^1\frac{dx}{x^p}+{\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$$

收敛性分析：

• 左边（瑕积分）：$p<1$ 时收敛
• 右边（无穷积分）：$p>1$ 时收敛

结论：两个条件不能同时满足，因此对任何 $p>0$，该积分都发散。

📖 第四部分：反常积分的计算方法

一、Newton-Leibniz公式的推广

定理1：设 $F$ 是 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的一个原函数，则

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-F(a)$$

记号： $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=[F(x){]}_a^{+\infty }=F(+\infty )-F(a)$$

其中 $F(+\infty ):={\lim }_{x\to +\infty }F(x)$。

定理2：对于瑕积分（$a$ 为瑕点），若 $F$ 是 $f$ 在 $(a,b]$ 上的原函数，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)$$

记号： $${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a^{+})$$

二、换元积分法

定理3：设 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，$x=\phi (t)$ 满足：

1. $\phi$ 在 $[\alpha ,+\infty )$ 上可导
2. $\phi (\alpha )=a$，${\lim }_{t\to +\infty }\phi (t)=+\infty$
3. $\phi$ 严格单调

则： $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\int }_{\alpha }^{+\infty }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

注意：换元后积分也必须收敛，才能使用此公式。

三、分部积分法

定理4：设 $u(x),v(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上可导，则

$${\int }_a^{+\infty }udv=[uv{]}_a^{+\infty }-{\int }_a^{+\infty }vdu$$

其中 $[uv{]}_a^{+\infty }={\lim }_{x\to +\infty }u(x)v(x)-u(a)v(a)$。

收敛条件：右边的极限和积分都必须存在。

四、计算示例

例8：换元法应用

计算：${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx$

解：

令 $t=x^2$，则 $dt=2xdx$。

$${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}dt=\frac{1}{2}[-e^{-t}{]}_0^{+\infty }$$

$$=\frac{1}{2}(0-(-1))=\frac{1}{2}$$

例9：分部积分法

计算：${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx$

解：

令 $u=\ln x$，$dv=\frac{dx}{x^2}$，则 $du=\frac{dx}{x}$，$v=-\frac{1}{x}$。

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx={\left[-\frac{\ln x}{x}\right]}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx$$

计算第一项： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0\text{（L’Hospital规则）}$$

因此： $${\left[-\frac{\ln x}{x}\right]}_1^{+\infty }=0-0=0$$

计算第二项： $${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^{+\infty }=0-(-1)=1$$

答案：${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx=1$

📖 第五部分：反常积分的收敛判别法

一、非负函数的比较判别法

定理5（比较判别法）：

设 $f,g$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负，且 $f(x)\le g(x)$，$\forall x\ge a$。

则：

1. 若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；
2. 若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散。

记忆口诀："大收则小收，小散则大散"

定理6（极限形式比较判别法）：

设 $f,g$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负，且 $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$$

则：

1. 若 $0<\lambda <+\infty$，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 同敛散；
2. 若 $\lambda =0$，且 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；
3. 若 $\lambda =+\infty$，且 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

二、Cauchy判别法（p-判别法）

定理7：设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负。

(1) 若存在 $p>1$ 和 $M>0$，使得 $$f(x)\le \frac{M}{x^p},\forall x\ge a$$

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。

(2) 若存在 $p\le 1$，使得 $$f(x)\ge \frac{M}{x^p},\forall x\ge a$$

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

推论（极限形式）：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\lambda$$

则：

• $p>1$，$\lambda <+\infty$ $\Rightarrow$ 收敛
• $p\le 1$，$\lambda >0$ $\Rightarrow$ 发散

三、绝对收敛与条件收敛

定义：

绝对收敛：若 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$ 收敛，则称 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 绝对收敛。

条件收敛：若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，但 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$ 发散，则称为条件收敛。

定理8：绝对收敛必收敛。

证明：利用 $0\le f^{+}\le |f|$ 和 $0\le f^{-}\le |f|$，其中 $$f^{+}=\max \{f,0\},f^{-}=\max \{-f,0\}$$

由比较判别法，$\int f^{+}$ 和 $\int f^{-}$ 都收敛，故 $$\int f=\int f^{+}-\int f^{-}$$ 收敛。$\square$

四、Abel判别法与Dirichlet判别法

定理9（Abel判别法）：

若：

1. ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛
2. $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调有界

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。

定理10（Dirichlet判别法）：

若：

1. $F(u)={\int }_a^{u}f(x)dx$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界
2. $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调且 ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。

五、应用示例

例10：比较判别法

判断：${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x^2+\sin x}$ 的收敛性。

解：

$$\frac{1}{x^2+\sin x}\le \frac{1}{x^2-1}\le \frac{2}{x^2}(x\ge 2)$$

因为 ${\int }_2^{+\infty }\frac{2}{x^2}dx$ 收敛（$p=2>1$），故原积分收敛。

例11：Dirichlet判别法

判断：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 的收敛性。

解：

令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\frac{1}{x}$。

1. $F(u)={\int }_0^u\sin xdx=1-\cos u$ 有界（$|F(u)|\le 2$）
2. $g(x)=\frac{1}{x}$ 单调递减至 $0$

由Dirichlet判别法，积分收敛。

注意：这是条件收敛，因为 $${\int }_0^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=+\infty$$

📖 第六部分：重要的反常积分

一、Gamma函数

定义：

$$\boxed{\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx,s>0}$$

性质：

1. 递推公式：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$

   证明：分部积分 $$\Gamma (s+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^s{e}^{-x}dx=[-x^s{e}^{-x}{]}_0^{+\infty }+s{\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx=s\Gamma (s)$$

2. 阶乘推广：$\Gamma (n+1)=n!$，$n\in \mathbb{N}$

3. 特殊值：$\Gamma (1)=1$，$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

二、Beta函数

定义：

$$\boxed{B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx,p,q>0}$$

与Gamma函数的关系：

$$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$

三、Gauss积分

经典积分：

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

证明思路：利用二重积分和极坐标变换。

推广：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}},a>0$$

四、Dirichlet积分

定义：

$$\boxed{{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}}$$

证明：需要用到Laplace变换或复变函数方法。

📖 第七部分：习题全解

习题11.1

1. 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，求其值。

(1) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2(1+x)}$

解：

$$\frac{1}{x^2(1+x)}<\frac{1}{x^2}$$

因为 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 收敛，故原积分收敛。

计算值：部分分式分解 $$\frac{1}{x^2(1+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{1+x}$$

解得：$A=1$，$B=-1$，$C=-1$。

$${\int }_1^{+\infty }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x}\right)dx$$

$$={\left[\ln x+\frac{1}{x}-\ln (1+x)\right]}_1^{+\infty }$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\ln \frac{x}{1+x}+\frac{1}{x}\right)-\left(\ln \frac{1}{2}+1\right)$$

$$=0-(\ln \frac{1}{2}+1)=\ln 2-1$$

(6) ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx$

解：分部积分两次。

令 $I={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx$。

$$I=[-e^{-x}\sin x{]}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\cos xdx$$

$$=0+\left([-e^{-x}\cos x{]}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx\right)$$

$$=0+(0-(-1))-I=1-I$$

因此 $2I=1$，$I=\frac{1}{2}$。

2. 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，求其值。

(1) ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$

解：

$x=0$ 是瑕点，$q=\frac{1}{2}<1$，收敛。

$${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=[2\sqrt{x}{]}_0^1=2$$

(2) ${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}$，$a<b$

解：

$x=a$ 是瑕点。

$${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}=\underset{u\to a^{+}}{\lim }{\int }_u^b(x-a{)}^{-p}dx$$

• 若 $p<1$：收敛，值为 $\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}$
• 若 $p\ge 1$：发散

🎯 核心公式总结

收敛性判别

重要积分值

✅ 学习检查清单

• 理解反常积分的两类定义（无穷积分与瑕积分）
• 掌握p-积分的敛散性规律
• 能用Newton-Leibniz公式计算简单反常积分
• 会应用换元法和分部积分法
• 掌握比较判别法和极限形式
• 理解绝对收敛与条件收敛的区别
• 了解Abel和Dirichlet判别法
• 熟悉Gamma函数和Beta函数
• 能判断混合型反常积分的收敛性

📖 参考文献

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 菲赫金哥尔茨.《微积分学教程》（第2卷）[M]
3. Apostol, T. Mathematical Analysis [M]. Addison-Wesley
4. Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis [M]. McGraw-Hill

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解反常积分理论！🎓✨

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