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第十一章第2节：无穷积分的性质与敛散判别

Cauchy准则、比较判别法、Abel与Dirichlet判别法

完整理论体系与应用指南

📚 知识体系总览

mindmap
  root((无穷积分判别理论))
    基本性质
      Cauchy收敛准则
      线性性质
      区间可加性
      绝对值不等式
    绝对收敛与条件收敛
      定义
      关系：绝对收敛必收敛
      反例：条件收敛不绝对收敛
      重要例子
    非负函数判别法
      比较判别法
        基本形式
        极限形式
      Cauchy判别法
        p-判别法
        极限形式
      应用技巧
    一般函数判别法
      Dirichlet判别法
        有界原函数+单调趋零
        应用：振荡积分
      Abel判别法
        收敛积分+单调有界
        与Dirichlet关系
    重要反例与极限性质
      收敛但被积函数不趋零
      收敛不一定平方收敛
      单调函数极限性质

📖 第一部分：无穷积分的基本性质

一、Cauchy收敛准则

定理11.1（Cauchy准则）

无穷积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛的充要条件是：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists G\ge a,\forall u_1,u_2>G:\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx\right|<\epsilon }\text{\hspace{1em}(1)}$$

证明思路：

无穷积分收敛等价于 $$\underset{u\to +\infty }{\lim }F(u)=\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{u}f(x)dx$$ 存在。

由函数极限的Cauchy准则，这等价于： $$\forall \epsilon >0,\exists G\ge a,\forall u_1,u_2>G:|F(u_2)-F(u_1)|<\epsilon$$

而 $$|F(u_2)-F(u_1)|=\left|{\int }_a^{u_2}f(x)dx-{\int }_a^{u_1}f(x)dx\right|=\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx\right|$$

$\square$

几何意义：

对于充分大的 $u_1,u_2$，从 $x=u_1$ 到 $x=u_2$ 的"尾部面积"可以任意小。

         y = f(x)
         
    ~~~~~~~~~~~~~~~~
         |||||||||||  <- 这部分面积可以任意小
         u₁        u₂ →+∞

二、线性性质

性质1（线性组合）

若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 都收敛，$k_1,k_2$ 为任意常数，则

$$\boxed{{\int }_a^{+\infty }[k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx=k_1{\int }_a^{+\infty }f(x)dx+k_2{\int }_a^{+\infty }g(x)dx}\text{\hspace{1em}(2)}$$

证明：由定积分的线性性质和极限的线性运算。$\square$

三、区间可加性

性质2（分点无关性）

若 $f$ 在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积，$a<b$，则

$$\boxed{{\int }_a^{+\infty }f(x)dx\text{ 与 }{\int }_b^{+\infty }f(x)dx\text{ 同敛散}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

且当收敛时，有 $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{+\infty }f(x)dx$$

重要推论：无穷积分的收敛性与分点 $a$ 的选取无关（只要 $a$ 在定义域内）。

由此可得等价的Cauchy准则：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists G\ge a,\forall u>G:\left|{\int }_G^{u}f(x)dx\right|<\epsilon }\text{\hspace{1em}(4)}$$

证明：由 $${\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx={\int }_G^{u_2}f(x)dx-{\int }_G^{u_1}f(x)dx$$

当 $u_1,u_2>G$ 且 $G$ 充分大时，右边两项都充分小。$\square$

四、绝对值不等式与绝对收敛

性质3（绝对收敛必收敛）

若 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也收敛，且

$$\boxed{\left|{\int }_a^{+\infty }f(x)dx\right|\le {\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx}\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明：

Step 1：由 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$ 收敛，根据Cauchy准则，

$$\forall \epsilon >0,\exists G\ge a,\forall u_1,u_2>G:{\int }_{u_1}^{u_2}|f(x)|dx<\epsilon$$

Step 2：利用定积分的绝对值不等式 $$\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx\right|\le {\int }_{u_1}^{u_2}|f(x)|dx<\epsilon$$

Step 3：由Cauchy准则充分性，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。

Step 4：不等式 (5) 由 $$\left|{\int }_a^{u}f(x)dx\right|\le {\int }_a^u|f(x)|dx$$ 令 $u\to +\infty$ 得到。$\square$

核心概念：绝对收敛与条件收敛

定义：

关系图：

graph TD
    A[绝对收敛] --> B[收敛]
    B -.不一定.-> A
    B --> C{是否绝对收敛?}
    C -->|是| A
    C -->|否| D[条件收敛]
    
    style A fill:#9f9
    style D fill:#ff9

📖 第二部分：非负函数的比较判别法

一、基本分析

关键观察：设 $f$ 是 $[a,+\infty )$ 上的非负函数，则 $$F(u)={\int }_a^{u}f(x)dx$$ 关于 $u$ 单调递增。

结论：${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛 $\iff$ $F(u)$ 在 $[a,+\infty )$ 上有上界。

这是非负函数特有的优势！

二、比较判别法

定理11.2（比较原则）

设 $f,g$ 定义在 $[a,+\infty )$ 上，在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积，且

$$0\le f(x)\le g(x),\forall x\in [a,+\infty )$$

则：

1. 大收则小收：若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；
2. 小散则大散：若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散。

证明：

对于任何 $u>a$： $${\int }_a^{u}f(x)dx\le {\int }_a^{u}g(x)dx$$

情况1：若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，设其值为 $I$，则 $${\int }_a^{u}f(x)dx\le {\int }_a^{u}g(x)dx\le I$$

因此 ${\int }_a^{u}f(x)dx$ 有上界，由单调有界原理，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。

情况2：若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散（趋于 $+\infty$），则对任何 $M>0$，存在 $u$ 使得 $${\int }_a^{u}f(x)dx>M$$

因此 $${\int }_a^{u}g(x)dx\ge {\int }_a^{u}f(x)dx>M$$

故 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 也发散。$\square$

三、极限形式的比较判别法

推论1（极限比较判别法）

设 $f,g$ 在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积，$f(x)\ge 0$，$g(x)>0$，且

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$$

则：

(i) 当 $0<c<+\infty$ 时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 同敛散；

(ii) 当 $c=0$ 时，若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；

(iii) 当 $c=+\infty$ 时，若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

证明思路：

情况(i)：$0<c<+\infty$

存在 $M>0$，当 $x>M$ 时， $$\frac{c}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<2c$$

即 $$\frac{c}{2}g(x)<f(x)<2c\cdot g(x)$$

由比较原则，${\int }_M^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_M^{+\infty }g(x)dx$ 同敛散。

再由性质2，原积分同敛散。

情况(ii) 和 (iii) 类似。$\square$

四、Cauchy判别法（p-判别法）

推论2（Cauchy判别法基本形式）

设 $f$ 定义于 $[a,+\infty )$（$a>0$），在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积，则：

(i) 若存在 $p>1$ 和 $M>0$，使得 $$f(x)\le \frac{M}{x^p},\forall x\in [a,+\infty )$$ 则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；

(ii) 若存在 $p\le 1$ 和 $M>0$，使得 $$f(x)\ge \frac{M}{x^p},\forall x\in [a,+\infty )$$ 则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

证明：基于标准积分 ${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ 的敛散性（$p>1$ 时收敛）和比较判别法。$\square$

推论3（Cauchy判别法极限形式）

设 $f$ 是 $[a,+\infty )$ 上的非负函数，在任何有限区间上可积，且

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\lambda$$

则：

(i) 当 $p>1$，$0\le \lambda <+\infty$ 时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；

(ii) 当 $p\le 1$，$0<\lambda \le +\infty$ 时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

证明：取 $g(x)=\frac{1}{x^p}$，则 $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\lambda$$

应用推论1。$\square$

五、应用示例

例1：基本比较

问题：讨论 ${\int }_0^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x^2}dx$ 的敛散性。

解析：

$$0\le \frac{|\sin x|}{x^2}\le \frac{1}{x^2},x\in [0,+\infty )$$

由于 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 收敛（$p=2>1$），且 ${\int }_0^1\frac{|\sin x|}{x^2}dx$ 有界（被积函数在 $[0,1]$ 上有界），

故原积分绝对收敛。$\square$

例2：Cauchy判别法应用

问题：讨论下列积分的敛散性：

(1) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }+1}$

(2) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x^3+x^2+1}}$

解 (1)：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }\cdot \frac{1}{x^{\alpha }+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+x^{-\alpha }}=1$$

由推论3，当 $\alpha >1$ 时收敛，$\alpha \le 1$ 时发散。

解 (2)：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{3/2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{3/2}}{\sqrt{x^3(1+x^{-1}+x^{-3})}}$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+x^{-1}+x^{-3}}}=1$$

由于 $p=\frac{3}{2}>1$，$\lambda =1<+\infty$，故积分收敛。$\square$

例2（原文）：综合应用

问题：讨论下列无穷积分的敛散性：

(1) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1{)}^{\alpha }}$

(2) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^{1+x}}$

解 (1)：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{1/2+\alpha }\cdot \frac{1}{\sqrt{x}(x+1{)}^{\alpha }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\alpha }}{(x+1{)}^{\alpha }}=1$$

取 $p=\frac{1}{2}+\alpha$：

• 若 $p>1$，即 $\alpha >\frac{1}{2}$，积分收敛
• 若 $p\le 1$，即 $\alpha \le \frac{1}{2}$，积分发散

解 (2)：

$$\frac{1}{x^{1+x}}=\frac{1}{x\cdot x^x}=\frac{1}{x\cdot e^{x\ln x}}$$

当 $x\ge 2$ 时，$x\ln x\ge 2\ln 2>1$，故 $e^{x\ln x}\ge e$。

$$\frac{1}{x^{1+x}}\le \frac{1}{xe}<\frac{1}{x}$$

但这不够强！注意到 $x\ln x\to +\infty$ 时，$e^{x\ln x}$ 增长极快。

更精细的分析：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\cdot \frac{1}{x^{1+x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x^x}=0$$

（因为 $x^x=e^{x\ln x}$ 增长远快于任何多项式）

由推论3（$p=2>1$，$\lambda =0<+\infty$），积分收敛。$\square$

📖 第三部分：一般函数的判别法

一、Dirichlet判别法

定理11.3（Dirichlet判别法）

若：

1. $F(u)={\int }_a^{u}f(x)dx$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界；
2. $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调且 ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$；

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。

证明：

Step 1：由条件，设 $|F(u)|\le M$，$\forall u\in [a,+\infty )$。

任给 $\epsilon >0$，由 ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$，存在 $G\ge a$，当 $x>G$ 时， $$|g(x)|<\frac{\epsilon }{4M}$$

Step 2：利用积分第二中值定理（定理9.11的推论）：

对于任何 $u_2>u_1>G$，由于 $g$ 单调，存在 $\xi \in [u_1,u_2]$，使得 $${\int }_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)dx=g(u_1){\int }_{u_1}^{\xi }f(x)dx+g(u_2){\int }_{\xi }^{u_2}f(x)dx$$

Step 3：估计 $$\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)dx\right|\le |g(u_1)|\left|{\int }_{u_1}^{\xi }f(x)dx\right|+|g(u_2)|\left|{\int }_{\xi }^{u_2}f(x)dx\right|$$

注意到： $$\left|{\int }_{u_1}^{\xi }f(x)dx\right|=\left|F(\xi )-F(u_1)\right|\le |F(\xi )|+|F(u_1)|\le 2M$$

类似地： $$\left|{\int }_{\xi }^{u_2}f(x)dx\right|\le 2M$$

因此： $$\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)dx\right|\le |g(u_1)|\cdot 2M+|g(u_2)|\cdot 2M<\frac{\epsilon }{4M}\cdot 2M+\frac{\epsilon }{4M}\cdot 2M=\epsilon$$

Step 4：由Cauchy准则，${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。$\square$

二、Abel判别法

定理11.4（Abel判别法）

若：

1. ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛；
2. $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调有界；

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。

证明思路：

设 $|g(x)|\le M$。由 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，任给 $\epsilon >0$，存在 $G$，当 $u_1,u_2>G$ 时， $$\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx\right|<\frac{\epsilon }{2M}$$

利用分部积分的推广形式（Abel分部求和），可以证明 $$\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)dx\right|<\epsilon$$

（详细证明留作习题）$\square$

与Dirichlet判别法的关系：

graph LR
    A[Dirichlet判别法] -->|特殊情形| B[Abel判别法]
    B -->|加强条件| A
    
    C[F有界 + g单调趋零] --> A
    D[∫f收敛 + g单调有界] --> B
    
    style A fill:#9f9
    style B fill:#99f

提示：利用Dirichlet判别法可以更方便地证明Abel判别法（习题要求）。

三、经典应用：振荡积分

例3（原文）：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$ 的敛散性

问题：讨论 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$ 和 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx$ 的敛散性（$p>0$）。

解析：

Part 1：当 $p>1$ 时

$$\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|\le \frac{1}{x^p}$$

由于 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，故原积分绝对收敛。

Part 2：当 $0<p\le 1$ 时

应用Dirichlet判别法：

令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\frac{1}{x^p}$。

1. 验证 $F(u)$ 有界： $$F(u)={\int }_1^u\sin xdx=-\cos u+\cos 1$$ 显然 $|F(u)|\le 2$，有界。

2. 验证 $g$ 单调趋零： $$g(x)=\frac{1}{x^p}\text{ 单调递减，且 }\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^p}=0$$

由Dirichlet判别法，${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$ 收敛。

判断是否绝对收敛：

$$\frac{|\sin x|}{x^p}=\frac{|\sin x|}{x^p}$$

注意到： $${\int }_0^{\pi }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge {\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{x^p}dx\ge {\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{{\pi }^p}dx=\frac{2}{{\pi }^p}$$

更重要的是，在区间 $[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$ 上（$k=0,1,2,\dots$），$\sin x\ge 0$，且

$${\int }_{2k\pi }^{(2k+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \frac{1}{[(2k+1)\pi {]}^p}{\int }_{2k\pi }^{(2k+1)\pi }|\sin x|dx=\frac{2}{[(2k+1)\pi {]}^p}$$

因此： $${\int }_0^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \sum _{k=0}^{\infty }\frac{2}{[(2k+1)\pi {]}^p}$$

这是Dirichlet级数 $\sum \frac{1}{n^p}$，当 $p\le 1$ 时发散。

结论：当 $0<p\le 1$ 时，积分条件收敛（不绝对收敛）。

完整结论：

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{绝对收敛}& p>1\\ \text{条件收敛}& 0<p\le 1\\ \text{发散}& p\le 0\end{array}$$

例4（原文）：更多振荡积分

问题：证明下列无穷积分都是条件收敛的：

(1) ${\int }_0^{+\infty }\sin (x^2)dx$

(2) ${\int }_0^{+\infty }\cos (x^2)dx$

(3) ${\int }_0^{+\infty }x\sin (x^2)dx$

证 (1) 和 (2)：

令 $t=x^2$，则 $dt=2xdx$，即 $dx=\frac{dt}{2\sqrt{t}}$。

$${\int }_0^{+\infty }\sin (x^2)dx={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{2\sqrt{t}}dt$$

由例3，这是条件收敛的（$p=\frac{1}{2}<1$）。

类似地，${\int }_0^{+\infty }\cos (x^2)dx$ 也条件收敛。

证 (3)：

令 $t=x^2$，$dt=2xdx$。

$${\int }_0^{+\infty }x\sin (x^2)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }\sin tdt$$

但这里出现问题：${\int }_0^{+\infty }\sin tdt$ 发散！（振荡不收敛）

错误修正：题目应该是 ${\int }_1^{+\infty }x\sin (x^2)dx$ 或者被积函数有额外衰减因子。

正确版本：若考虑 $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (x^2)}{x}dx$$

令 $t=x^2$： $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (x^2)}{x}dx={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{2t}dt$$

这是条件收敛的。$\square$

重要启示：

从例4可以看到，即使 $x\to +\infty$ 时被积函数不趋于零（如 $\sin (x^2)$ 振荡），甚至无界（如 $x\sin (x^2)$），无穷积分仍可能收敛！

这突破了直觉，但Dirichlet和Abel判别法提供了强大工具。

📖 第四部分：单调函数的极限性质

定理（收敛必趋零的条件）

命题：设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调，且 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，则

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0}$$

证明（原文）：

不失一般性，设 $f$ 单调递增（递减情形类似）。

反证法：

情况1：若 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

存在 $M>0$，对任何 $x\ge M$，有 $f(x)>1$。

于是对任何 $u>M$： $${\int }_a^{u}f(x)dx={\int }_a^{M}f(x)dx+{\int }_M^{u}f(x)dx\ge {\int }_a^{M}f(x)dx+(u-M)\to +\infty$$

这与 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛矛盾。

情况2：若 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A\ne 0$

不妨设 $A>0$（$A<0$ 类似）。

存在 $M>0$，对任何 $x\ge M$，有 $f(x)\ge \frac{A}{2}$。

于是： $${\int }_a^{u}f(x)dx\ge {\int }_a^{M}f(x)dx+{\int }_M^u\frac{A}{2}dx={\int }_a^{M}f(x)dx+\frac{A}{2}(u-M)\to +\infty$$

同样矛盾。

结论：必有 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$。$\square$

重要性：

这个定理给出了被积函数趋于零的充分条件，但并非必要条件（例4的反例）。

应用：检验无穷积分发散的快速方法——若 $f$ 单调且不趋于零，则积分必发散。

📖 第五部分：习题全解

习题11.2

1. 证明定理11.2及其推论1。

定理11.2的证明：已在前文给出。

推论1的证明：

设 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=c$。

(i) $0<c<+\infty$：

由极限定义，存在 $M$，当 $x>M$ 时， $$\frac{c}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<2c$$

即 $$\frac{c}{2}g(x)<f(x)<2c\cdot g(x)$$

应用定理11.2。

(ii) $c=0$：类似。

(iii) $c=+\infty$：即 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{f(x)}=0$，转化为 (ii)。$\square$

2. Cauchy-Schwarz不等式

题目：设 $f,g$ 定义在 $[a,+\infty )$ 上，对任何 $u>a$，它们在 $[a,u]$ 上都可积。证明：若 ${\int }_a^{+\infty }{f}^2(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }{g}^2(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 和 ${\int }_a^{+\infty }[f(x)+g(x){]}^{2}dx$ 也都收敛。

证明：

Part 1：证明 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 绝对收敛。

由不等式（Young's inequality）： $$|f(x)g(x)|\le \frac{f^2(x)+g^2(x)}{2}$$

因此： $${\int }_a^u|f(x)g(x)|dx\le \frac{1}{2}\left({\int }_a^u{f}^2(x)dx+{\int }_a^u{g}^2(x)dx\right)$$

由于右边两项都收敛，左边有界，故 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)g(x)|dx$ 收敛。

Part 2：证明 ${\int }_a^{+\infty }[f(x)+g(x){]}^{2}dx$ 收敛。

$$[f(x)+g(x){]}^2=f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x)$$

由Part 1和线性性质，右边三项的积分都收敛，故左边收敛。$\square$

3. 夹逼定理

题目：设 $f,g,h$ 是定义在 $[a,+\infty )$ 上的三个连续函数，且 $h(x)\le f(x)\le g(x)$。证明：

(1) 若 ${\int }_a^{+\infty }h(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 都收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也收敛；

(2) 又若 ${\int }_a^{+\infty }h(x)dx={\int }_a^{+\infty }g(x)dx=A$，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=A$。

证明：

(1) 分解： $$f(x)=[f(x)-h(x)]+h(x)$$

其中 $0\le f(x)-h(x)\le g(x)-h(x)$。

由于 ${\int }_a^{+\infty }[g(x)-h(x)]dx$ 收敛（差的线性性质），由比较判别法，${\int }_a^{+\infty }[f(x)-h(x)]dx$ 收敛。

再由线性性质，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。

(2) 对任何 $u>a$： $${\int }_a^{u}h(x)dx\le {\int }_a^{u}f(x)dx\le {\int }_a^{u}g(x)dx$$

令 $u\to +\infty$： $$A\le {\int }_a^{+\infty }f(x)dx\le A$$

故 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=A$。$\square$

4. 讨论下列无穷积分的敛散性

(1) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x+1}$

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \frac{1}{x+1}=1$$

由Cauchy判别法（$p=1\le 1$，$\lambda =1>0$），积分发散。

(2) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x\arctan x}$

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\arctan x}{\pi /2}=1$$

因此 $\arctan x\sim \frac{\pi }{2}$（$x\to +\infty$）。

$$\frac{1}{x\arctan x}\sim \frac{2}{\pi x}$$

由Cauchy判别法（$p=1$），积分发散。

(3) ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x+\sqrt{x}}$

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \frac{1}{x+\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+x^{-1/2}}=1$$

$p=1$，积分发散。

(4) ${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln (1+x)}{x^2}dx$

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{3/2}\cdot \frac{\ln (1+x)}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x^{1/2}}=0$$

（L'Hospital规则）

由Cauchy判别法（$p=\frac{3}{2}>1$，$\lambda =0<+\infty$），积分收敛。

(5) ${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^m}$（$m\ge 0$）

解：令 $t=\ln x$，$dt=\frac{dx}{x}$。

$${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^m}={\int }_{\ln 2}^{+\infty }\frac{dt}{t^m}$$

由标准p-积分：

• $m>1$：收敛
• $m\le 1$：发散

5. 绝对收敛还是条件收敛

(1) ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx$

解：由例3，$p=\frac{1}{2}<1$，条件收敛。

(2) ${\int }_1^{+\infty }\frac{\text{sgn}(\sin x)}{\sqrt{x}}\cos xdx$

其中 $\text{sgn}(y)=\{\begin{array}{ll}1& y>0\\ 0& y=0\\ -1& y<0\end{array}$

解：这是一个复杂的振荡积分，需要详细分析。

$\text{sgn}(\sin x)$ 是周期为 $\pi$ 的方波函数。

在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上，$\text{sgn}(\sin x)=(-1{)}^k$（忽略零点）。

可以用Dirichlet判别法证明条件收敛。

(3) ${\int }_1^{+\infty }\sqrt{x}\cos xdx$

解：不满足Dirichlet条件（$g(x)=\sqrt{x}$ 不趋于零），积分发散。

(4) ${\int }_2^{+\infty }\frac{\ln (\ln x)}{100+x}\sin xdx$

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (\ln x)}{100+x}=0$$

且该函数最终单调递减至零（对充分大的 $x$）。

由Dirichlet判别法，积分收敛。

判断绝对收敛： $${\int }_2^{+\infty }\frac{\ln (\ln x)}{100+x}|\sin x|dx$$

类似例3的分析，这个积分发散，故原积分条件收敛。

🎯 核心知识图谱

判别法决策树

flowchart TD
    A[无穷积分∫f dx] --> B{f的符号?}
    
    B -->|非负| C[比较判别法]
    B -->|变号| D[一般判别法]
    
    C --> C1{与标准积分比较}
    C1 -->|直接不等式| C2[基本比较]
    C1 -->|计算极限| C3[Cauchy判别法]
    
    C3 --> C31["lim x^p f(x) = λ"]
    C31 --> C32{p > 1?}
    C32 -->|是,λ<∞| C33[收敛]
    C32 -->|否,λ>0| C34[发散]
    
    D --> D1{f = f₁·g形式?}
    D1 -->|是| D2{哪种条件?}
    
    D2 -->|∫f₁有界+g单调趋零| D3[Dirichlet]
    D2 -->|∫f₁收敛+g单调有界| D4[Abel]
    
    D1 -->|否| D5[检验绝对收敛]
    D5 --> D51["∫|f| dx收敛?"]
    D51 -->|是| D52[绝对收敛]
    D51 -->|否| D53[可能条件收敛]
    
    style C33 fill:#9f9
    style D52 fill:#9f9
    style C34 fill:#f99

标准参照积分表

✅ 学习检查清单

• 理解Cauchy收敛准则及其等价形式
• 掌握无穷积分的基本性质（线性、区间可加）
• 理解绝对收敛与条件收敛的区别
• 熟练应用比较判别法（基本形式和极限形式）
• 掌握Cauchy判别法（p-判别法）
• 理解Dirichlet和Abel判别法的条件
• 能判断振荡积分的敛散性
• 知道单调函数收敛必趋零的定理
• 会综合应用多种判别法解决复杂问题

📖 参考文献

1. 华东师范大学数学系.《数学分析》（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 菲赫金哥尔茨.《微积分学教程》（第2卷）[M]
3. Apostol, T. Mathematical Analysis [M]. Addison-Wesley
4. Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis [M]. McGraw-Hill
5. Stein, E. & Shakarchi, R. Real Analysis [M]. Princeton University Press

🌟 学习建议

三步学习法

第1步：理解定理

• 每个判别法的条件是什么？
• 为什么这些条件能保证收敛？
• 几何直观是什么？

第2步：模仿例题

• 识别积分的类型（非负/变号，单调/振荡）
• 选择合适的判别法
• 按标准步骤执行

第3步：创造变式

• 修改例题的参数（如改变 $p$ 的值）
• 探索临界情况（$p=1$ 时如何？）
• 构造反例

常见陷阱

1. 比较判别法方向错误

   • ❌ 用发散的小函数不能证明大函数发散
   • ✓ 必须用发散的大函数才能证明小函数发散

2. Dirichlet法条件不全

   • ❌ 只验证 $g\to 0$，忘记验证单调性
   • ✓ 必须同时验证有界性、单调性、趋零性

3. 绝对收敛判断错误

   • ❌ 积分收敛就认为绝对收敛
   • ✓ 必须检验 $\int |f|dx$ 是否收敛

4. 极限形式应用错误

   • ❌ 计算 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/g(x)$ 时出错
   • ✓ 仔细使用L'Hospital规则或等价无穷小

希望这个完整的知识体系能够帮助您深入理解无穷积分的性质与判别法！这是实分析的核心内容，也是泛函分析、调和分析等高级课程的基础。🎓✨

如需更详细的某个定理证明、习题解答或概念澄清，请随时告诉我！