基于您提供的PDF材料，我将构建一个完整的关于二元函数极限的知识体系和思维导图。这是对第十六章第二节的全面梳理。

第十六章第二节：二元函数的极限

完整知识体系与思维导图

📋 目录导览

1. 知识体系思维导图
2. 核心概念体系
3. 理论深度剖析
4. 典型例题与应用
5. 常见陷阱与误区
6. 学习路径指南

🧠 一、完整知识体系思维导图

§2 二元函数的极限
│
├─── 📐 一、二元函数的极限（重极限）
│    │
│    ├─── 1. 定义与概念
│    │    ├─── ε-δ定义
│    │    │    ├─── 正常极限：lim_{P→P₀} f(P) = A
│    │    │    │    └─── ∀ε>0, ∃δ>0: P∈U°(P₀;δ)∩D ⟹ |f(P)-A|<ε
│    │    │    └─── 非正常极限：lim_{P→P₀} f(P) = +∞
│    │    │         └─── ∀M>0, ∃δ>0: P∈U°(P₀;δ)∩D ⟹ f(P)>M
│    │    │
│    │    ├─── 记号系统
│    │    │    ├─── 点函数记号：lim_{P→P₀} f(P) = A
│    │    │    ├─── 坐标记号：lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = A
│    │    │    └─── 极坐标转换：(x,y)→(0,0) ⟺ r→0
│    │    │
│    │    └─── 几何意义
│    │         └─── P从任意方向趋于P₀，f(P)都趋于A
│    │
│    ├─── 2. 验证方法
│    │    ├─── 直接验证（ε-δ法）
│    │    │    ├─── 估计|f(P)-A|
│    │    │    ├─── 先限制在某个邻域
│    │    │    └─── 找到δ与ε的关系
│    │    │
│    │    ├─── 极坐标变换
│    │    │    ├─── x = r cosθ, y = r sinθ
│    │    │    ├─── (x,y)→(0,0) ⟺ r→0
│    │    │    └─── 若|f(r,θ)|≤g(r)且lim_{r→0}g(r)=0
│    │    │         则lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=0
│    │    │
│    │    └─── 夹逼定理
│    │         └─── 利用不等式放缩
│    │
│    ├─── 3. 否定方法（证明极限不存在）
│    │    ├─── 路径法（不同路径得到不同极限）
│    │    │    ├─── 沿直线 y = mx 趋近
│    │    │    ├─── 沿曲线（抛物线、圆等）趋近
│    │    │    └─── 不同路径极限值不同 ⟹ 重极限不存在
│    │    │
│    │    ├─── 点列法
│    │    │    └─── 找两个点列{Pₙ}、{Qₙ}→P₀
│    │    │         但lim f(Pₙ) ≠ lim f(Qₙ)
│    │    │
│    │    └─── 累次极限法
│    │         └─── 两个累次极限存在但不相等
│    │              ⟹ 重极限必不存在
│    │
│    ├─── 4. 重要定理
│    │    ├─── 定理16.5（子集定理）
│    │    │    └─── lim_{P→P₀,P∈D} f(P)=A ⟺ 
│    │    │         对D的任意子集E（P₀为聚点），
│    │    │         都有lim_{P→P₀,P∈E} f(P)=A
│    │    │
│    │    ├─── 推论1（子集法否定）
│    │    │    └─── 若在子集E上极限不存在
│    │    │         则在D上极限也不存在
│    │    │
│    │    ├─── 推论2（两路径法）
│    │    │    └─── 若在E₁、E₂上极限分别为A₁、A₂
│    │    │         且A₁≠A₂，则极限不存在
│    │    │
│    │    └─── 推论3（点列归结原则）
│    │         └─── lim f(P)存在 ⟺ 
│    │              对任意{Pₙ}→P₀（Pₙ≠P₀），
│    │              都有{f(Pₙ)}收敛
│    │
│    └─── 5. 运算性质
│         ├─── 四则运算法则
│         │    ├─── lim[f±g] = lim f ± lim g
│         │    ├─── lim[f·g] = (lim f)·(lim g)
│         │    └─── lim[f/g] = (lim f)/(lim g) (lim g≠0)
│         │
│         ├─── 保序性
│         │    └─── f≤g且极限存在 ⟹ lim f ≤ lim g
│         │
│         └─── 夹逼性
│              └─── f≤g≤h, lim f=lim h=A ⟹ lim g=A
│
├─── 📊 二、累次极限
│    │
│    ├─── 1. 定义与记号
│    │    ├─── 先对x后对y的累次极限
│    │    │    ├─── φ(y) = lim_{x→x₀} f(x,y) （对每个y≠y₀）
│    │    │    └─── L = lim_{y→y₀} φ(y)
│    │    │         记作：lim_{y→y₀} lim_{x→x₀} f(x,y) = L
│    │    │
│    │    └─── 先对y后对x的累次极限
│    │         ├─── ψ(x) = lim_{y→y₀} f(x,y)
│    │         └─── K = lim_{x→x₀} ψ(x)
│    │              记作：lim_{x→x₀} lim_{y→y₀} f(x,y) = K
│    │
│    ├─── 2. 几何意义
│    │    └─── 分两步趋近：
│    │         ① 先让x(或y)趋近得到一元函数
│    │         ② 再让y(或x)趋近得到最终极限
│    │
│    ├─── 3. 与重极限的关系
│    │    ├─── 独立性
│    │    │    ├─── 重极限存在 ⇏ 累次极限存在
│    │    │    ├─── 累次极限存在 ⇏ 重极限存在
│    │    │    └─── 两个累次极限相等 ⇏ 重极限存在
│    │    │
│    │    ├─── 定理16.6（充分条件）
│    │    │    └─── 若重极限和一个累次极限都存在
│    │    │         则它们必相等
│    │    │         证明：固定一个变量，让另一个先趋近
│    │    │
│    │    ├─── 推论1（三者相等）
│    │    │    └─── 若重极限和两个累次极限都存在
│    │    │         则三者必相等
│    │    │
│    │    └─── 推论2（否定法）
│    │         └─── 若两个累次极限存在但不相等
│    │              则重极限必不存在
│    │
│    └─── 4. 典型例子
│         ├─── 例6：重极限不存在，但两累次极限都存在且相等
│         │    └─── f = xy/(x²+y²)
│         │
│         ├─── 例7：两累次极限存在但不相等，重极限不存在
│         │    └─── f = (x-y)/(x+y)
│         │
│         └─── 例8：重极限存在，但两累次极限都不存在
│              └─── f = x sin(1/y) + y sin(1/x)
│
└─── 🎯 三、综合应用
     │
     ├─── 计算极限的策略
     │    ├─── 直接计算（连续函数）
     │    ├─── 极坐标变换
     │    ├─── 夹逼定理
     │    ├─── 等价无穷小替换
     │    └─── 泰勒展开
     │
     ├─── 证明极限不存在的策略
     │    ├─── 找两条路径得到不同极限
     │    ├─── 计算累次极限并比较
     │    └─── 构造点列证明发散
     │
     └─── 与连续性的联系
          └─── 极限 + f(P₀)有定义 + 极限值=函数值 = 连续

📚 二、核心概念体系详解

2.1 二元函数极限的本质：全方位趋近

2.1.1 ε-δ定义（正常极限）

定义1：设 $f$ 为定义在 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上的二元函数，$P_0$ 为 $D$ 的一个聚点，$A$ 是一个确定的实数。若对任给正数 $\epsilon$，总存在某正数 $\delta$，使得当 $P\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$ 时，都有 $$|f(P)-A|<\epsilon$$

则称 $f$ 在 $D$ 上当 $P\to P_0$ 时以 $A$ 为极限，记作 $$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)=A$$

简化记号： $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A\text{或}\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

🔍 深度理解

与一元函数极限的对比：

关键点：

• "任意方向"：这是二元函数极限的精髓
• P 可以沿直线、曲线、螺旋线等任意路径趋于 $P_0$
• 极限存在要求：无论走哪条路，都得到相同的极限值

2.1.2 非正常极限

定义2：若对任给正数 $M$，总存在点 $P_0$ 的一个 $\delta$ 邻域，使得当 $P(x,y)\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$ 时，都有 $f(P)>M$，则称 $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=+\infty$$

类似定义：

• ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=-\infty$
• ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=\infty$（绝对值趋于无穷）

2.2 极限验证方法

方法1：直接验证（ε-δ法）

标准流程：

1. 估计 $|f(P)-A|$
2. 限制范围：先在某个邻域内讨论
3. 放缩：将 $|f(P)-A|$ 放缩成与 $|P-P_0|$ 相关的形式
4. 确定δ：找到 $\delta$ 与 $\epsilon$ 的关系

📌 例1：验证 ${\lim }_{(x,y)\to (2,1)}(x^2+xy+y^2)=7$

解： $$\begin{array}{rl}|x^2+xy+y^2-7|& =|(x^2-4)+xy-2+(y^2-1)|\\ & =|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|\\ & \le |x-2|\cdot |x+y+2|+|y-1|\cdot |y+3|\end{array}$$

限制：在 $\delta =1$ 的方邻域内，即 $|x-2|<1$，$|y-1|<1$，有：

• $|y+3|=|y-1+4|\le |y-1|+4<5$
• $|x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5|\le |x-2|+|y-1|+5<7$

因此： $$|x^2+xy+y^2-7|<7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|)$$

取δ：对任给 $\epsilon >0$，取 $\delta =\min \left\{1,\frac{\epsilon }{14}\right\}$

当 $|x-2|<\delta$，$|y-1|<\delta$ 时： $$|x^2+xy+y^2-7|<7\cdot 2\delta =14\delta <\epsilon$$

结论：极限成立 ■

方法2：极坐标变换

适用场景：讨论 $(x,y)\to (0,0)$ 时的极限

变换公式： $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

其中 $(x,y)\to (0,0)⟺r\to 0$（与 $\theta$ 无关）

核心思想：

• 将二元函数转化为关于 $r$ 和 $\theta$ 的函数
• 若能证明 $|f(r,\theta )|\le g(r)$ 且 ${\lim }_{r\to 0}g(r)=0$
• 则 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$

📌 例2：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}=0$

证明：令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 $$f(x,y)=\frac{r^3{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^4{\cos }^4\theta +r^2{\sin }^2\theta }=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }$$

关键估计：分母 $r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta \ge {\sin }^2\theta$（因为 $r^2{\cos }^4\theta \ge 0$）

注意到 ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$，但更简单的方法是：

由于 ${\sin }^2\theta \le 1$，所以当 ${\sin }^2\theta$ 较小时，分母可能很小。需要更细致的分析：

$$|f(x,y)|=\left|\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}\right|\le \frac{x^2|y|}{y^2}=\frac{x^2}{|y|}$$

这个方法不行。让我们用另一个角度：

$$|f(x,y)|=\left|\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}\right|$$

利用 $2x^2|y|\le x^4+y^2$（由AM-GM不等式），得： $$|f(x,y)|=\frac{x^2|y|}{x^4+y^2}\le \frac{x^2|y|}{2x^2|y|}=\frac{1}{2}$$（当 $x,y\ne 0$）

这还不够，换个思路：

$$|f(x,y)|=\left|\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}\right|\le \frac{x^2|y|}{y^2}=\frac{x^2}{|y|}$$（当 $|x^4|<|y^2|$）

或者： $$|f(x,y)|\le \frac{x^2|y|}{x^4}=\frac{|y|}{x^2}$$（当 $|y^2|<|x^4|$）

正确方法： $$|f(r,\theta )|=\left|\frac{r^3{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^4{\cos }^4\theta +r^2{\sin }^2\theta }\right|=\left|\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }\right|$$

因为 $|{\cos }^2\theta \sin \theta |\le 1$ 且 $r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta \ge 0$，

当 $\sin \theta \ne 0$ 时，$r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta \ge {\sin }^2\theta$，所以 $$|f|\le \frac{r}{{\sin }^2\theta }$$

这样还是有 $\theta$ 的依赖。让我们直接用：

$$|f(x,y)|=\frac{|x^{2}y|}{x^4+y^2}=\frac{|x{|}^2\cdot |y|}{x^4+y^2}$$

由柯西不等式或直接观察：$x^4+y^2\ge 2|x^2||y|$（AM-GM），所以 $$|f(x,y)|\le \frac{x^2|y|}{2|x^2||y|}=\frac{|x{|}^2}{2|x{|}^2}=\frac{1}{2}$$

等等，AM-GM 应该是 $x^4+y^2\ge 2\sqrt{x^4\cdot y^2}=2|x{|}^2|y|$，因此 $$|f(x,y)|=\frac{|x{|}^2|y|}{x^4+y^2}\le \frac{|x{|}^2|y|}{2|x{|}^2|y|}=\frac{1}{2}$$

不对，当 $x$ 或 $y$ 趋于0时，需要更精细的估计。

标准做法： $$|f(x,y)|\le \frac{x^2\cdot |y|}{y^2}=\frac{x^2}{|y|}$$

令 $y=x^2$，则沿此路径 $f(x,x^2)=\frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}$，这不趋于0！

所以这个极限可能不存在或需要重新验证。

让我使用正确的例题（原文的例2）：

📌 例2（原文）：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3{y}^2}{x^4+y^4}=0$

证明：令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 $$|f(x,y)|=\left|\frac{r^5{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta }{r^4({\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta )}\right|=\left|\frac{r{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta }{{\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta }\right|$$

注意到：${\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta =1-2{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \ge 1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

因此： $$|f(x,y)|\le \frac{r}{\frac{1}{2}}\cdot |{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta |\le 2r$$

对任给 $\epsilon >0$，取 $\delta =\frac{\epsilon }{2}$，当 $r<\delta$ 时，$|f(x,y)|<\epsilon$

结论：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$ ■

方法3：夹逼定理

若 $g(P)\le f(P)\le h(P)$ 且 ${\lim }_{P\to P_0}g(P)={\lim }_{P\to P_0}h(P)=A$，则 $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$$

2.3 证明极限不存在的方法

方法1：路径法（最常用）

核心思想：找两条不同路径，沿这两条路径趋于 $P_0$ 时得到不同的极限值，则重极限不存在。

常用路径：

1. 直线：$y=mx$（斜率为 $m$ 的直线）
2. 抛物线：$y=k{x}^2$，$x=k{y}^2$
3. 高次曲线：$y=k{x}^n$
4. 圆：$x^2+y^2=r^2$

📌 例3：讨论 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处的极限

解：当动点 $(x,y)$ 沿直线 $y=mx$ 趋于原点时： $$f(x,mx)=\frac{x\cdot mx}{x^2+(mx{)}^2}=\frac{m{x}^2}{x^2(1+m^2)}=\frac{m}{1+m^2}$$

因此： $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,mx)=\frac{m}{1+m^2}$$

关键观察：这个极限值依赖于斜率 $m$！

• 当 $m=1$ 时，极限为 $\frac{1}{2}$
• 当 $m=2$ 时，极限为 $\frac{2}{5}$

结论：沿不同直线趋近得到不同极限值，所以 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在 ■

📌 例4：讨论 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x{y}^2}{x^2+y^4},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 的极限

解：

测试1：沿任意直线 $y=mx$ $$f(x,mx)=\frac{x(mx{)}^2}{x^2+(mx{)}^4}=\frac{m^2{x}^3}{x^2(1+m^4{x}^2)}=\frac{m^{2}x}{1+m^4{x}^2}\to 0(x\to 0)$$

沿所有直线趋近，极限都是0。但这不能证明极限存在！

测试2：沿抛物线 $y^2=x$（即 $y=\sqrt{x}$，$x>0$） $$f(x,\sqrt{x})=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$

结论：沿直线趋近得到0，但沿抛物线 $y^2=x$ 趋近得到 $\frac{1}{2}$，所以极限不存在 ■

教训：沿所有直线趋近得到相同值，不能保证极限存在！需要测试曲线路径。

方法2：点列法

构造两个点列 $\{P_n\},\{Q_n\}\to P_0$，但 $\lim f(P_n)\ne \lim f(Q_n)$

方法3：累次极限法（见下节）

若两个累次极限存在但不相等，则重极限必不存在。

2.4 重要定理

定理16.5（子集定理）

定理：${\lim }_{P\to P_0,P\in D}f(P)=A$ 的充要条件是：

对于 $D$ 的任一子集 $E$，只要 $P_0$ 是 $E$ 的聚点，就有 $$\underset{P\to P_0,P\in E}{\lim }f(P)=A$$

几何意义：极限存在等价于在所有可能的"子集"（路径）上极限都存在且相等。

推论1（否定法I）：

设 $E\subset D$，$P_0$ 是 $E$ 的聚点。若 ${\lim }_{P\to P_0,P\in E}f(P)$ 不存在，则 ${\lim }_{P\to P_0,P\in D}f(P)$ 也不存在。

应用：只需在某一条路径上证明极限不存在，就能否定整体极限。

推论2（否定法II - 两路径法）：

设 $E_1,E_2\subset D$，$P_0$ 是它们的聚点。若 $$\underset{P\to P_0,P\in E_1}{\lim }f(P)=A_1,\underset{P\to P_0,P\in E_2}{\lim }f(P)=A_2$$

但 $A_1\ne A_2$，则 ${\lim }_{P\to P_0,P\in D}f(P)$ 不存在。

应用：这就是"路径法"的理论依据。

推论3（点列归结原则）：

${\lim }_{P\to P_0}f(P)$ 存在的充要条件是：

对于 $D$ 中任一满足条件 $P_n\ne P_0$ 且 $\lim P_n=P_0$ 的点列 $\{P_n\}$，数列 $\{f(P_n)\}$ 都收敛。

意义：将函数极限问题转化为数列极限问题（类似海涅定理）。

2.5 非正常极限

📌 例5：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1}{2x^2+3y^2}=+\infty$

证明：因为 $2x^2+3y^2\le 4(x^2+y^2)$，对任给正数 $M$，取 $$\delta =\frac{1}{2\sqrt{M}}$$

当 $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时，有 $$2x^2+3y^2<4(x^2+y^2)<4{\delta }^2=\frac{1}{M}$$

因此： $$\frac{1}{2x^2+3y^2}>M$$

结论：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=+\infty$ ■

🏗️ 三、累次极限理论深度剖析

3.1 累次极限的定义

定义3：

设 $f(x,y)$ 定义在 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上，$D$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的投影分别为 $$X=\{x\mid (x,y)\in D\},Y=\{y\mid (x,y)\in D\}$$

$x_0,y_0$ 分别是 $X,Y$ 的聚点。

第一步：若对每一个 $y\in Y$（$y\ne y_0$），存在极限 $$\phi (y)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$

第二步：若进一步存在极限 $$L=\underset{y\to y_0}{\lim }\phi (y)$$

则称此极限 $L$ 为 $f(x,y)$ 先对 $x$（$\to x_0$），后对 $y$（$\to y_0$）的累次极限，记作 $$L=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$

类似定义：先对 $y$ 后对 $x$ 的累次极限 $$K=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

3.2 累次极限 vs 重极限：三种关系

关系总结：

📌 例6：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

重极限：由例3知，${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在

累次极限1（先 $x$ 后 $y$）： $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=0(y\ne 0\text{ 固定})$$

因此： $$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{y\to 0}{\lim }0=0$$

累次极限2（先 $y$ 后 $x$）： $$\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=0(x\ne 0\text{ 固定})$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=0$$

结论：两个累次极限都存在且相等（都是0），但重极限不存在！■

启示：累次极限存在且相等 $\nRightarrow$ 重极限存在

📌 例7：$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$

累次极限1（先 $x$ 后 $y$）： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-y}{x+y}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-y}{x+y}=\frac{-y}{y}=-1(y\ne 0)$$

因此： $$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{y\to 0}{\lim }(-1)=-1$$

累次极限2（先 $y$ 后 $x$）： $$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{x-y}{x+y}=\frac{x}{x}=1(x\ne 0)$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to 0}{\lim }1=1$$

重极限验证：沿直线 $y=mx$ $$f(x,mx)=\frac{x-mx}{x+mx}=\frac{1-m}{1+m}$$

这个值依赖于 $m$，所以重极限不存在。

结论：两累次极限不相等（$-1\ne 1$），重极限必不存在 ■

启示：这是推论2的应用：累次极限不等可以否定重极限存在

📌 例8：$f(x,y)=x\sin \frac{1}{y}+y\sin \frac{1}{x}$

重极限：因为 $$\left|x\sin \frac{1}{y}\right|\le |x|,\left|y\sin \frac{1}{x}\right|\le |y|$$

所以： $$|f(x,y)|\le |x|+|y|\le 2\sqrt{x^2+y^2}$$

由夹逼定理，${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$（重极限存在）

累次极限1（先 $x$ 后 $y$）： 对任何 $y\ne 0$，当 $x\to 0$ 时，$x\sin \frac{1}{y}\to 0$，但 $y\sin \frac{1}{x}$ 振荡不收敛

所以 ${\lim }_{x\to 0}f(x,y)$ 不存在，因此累次极限1不存在

累次极限2（先 $y$ 后 $x$）：类似地，不存在

结论：重极限存在，但两个累次极限都不存在 ■

启示：重极限存在 $\nRightarrow$ 累次极限存在

3.3 定理16.6：重极限与累次极限的联系

定理16.6：

若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 存在重极限 $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

与累次极限 $$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)=L$$

则它们必相等，即 $L=A$。

证明思路：

设 ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$，则对任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $P(x,y)\in U^{\circ }(P_0;\delta )$ 时， $$|f(x,y)-A|<\epsilon \text{\hspace{1em}(2)}$$

另一方面，由累次极限存在，对任一满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，存在极限 $$\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)=\phi (x)\text{\hspace{1em}(4)}$$

在不等式 (2) 中，固定 $x$（满足 $0<|x-x_0|<\delta$），让 $y\to y_0$，由 (4) 式得： $$|\phi (x)-A|\le \epsilon \text{\hspace{1em}(5)}$$

由 (5) 式及 $x$ 的任意性（$0<|x-x_0|<\delta$），得： $$\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)=A$$

即： $$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)=A$$

注意：这里我们先固定 $x$，让 $y$ 趋近，得到的是先对 $y$ 后对 $x$ 的累次极限。

原定理证明的是先对 $x$ 后对 $y$ 的情况，方法类似 ■

推论1（三者相等）：

若累次极限 $$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y),\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

和重极限 $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$

都存在，则三者相等。

证明：由定理16.6分别应用两次 ■

推论2（否定法）：

若累次极限 $$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)\text{与}\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

存在但不相等，则重极限 $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$

必不存在。

应用：例7利用这个推论

3.4 定理应用的注意事项

⚠️ 重要提示：

1. 定理16.6的条件：重极限和一个累次极限都存在
2. 结论：它们相等
3. 不能推出：另一个累次极限也存在

反例：考虑习题中的函数（见习题2的(5)），重极限和一个累次极限存在且相等，但另一个累次极限不存在。

🎯 四、典型例题与应用

4.1 极限计算

类型1：连续函数的极限

例题：${\lim }_{(x,y)\to (1,2)}(2x-y+3)$

解：直接代入，$2(1)-2+3=3$ ■

类型2：分式极限（需化简）

例题：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}$

解：令 $t=x^2+y^2$，当 $(x,y)\to (0,0)$ 时 $t\to 0$，所以 $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{1+t}=0$$ ■

类型3：极坐标变换

例题：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

解：令 $r^2=x^2+y^2$，则 $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin r^2}{r^2}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin r^2}{r^2}=1$$

（利用 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$）■

类型4：等价无穷小替换

例题：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1+x^2+y^2-1}{x+y}$

解： $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}-1}{x+y}$$

分子有理化： $$=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2+y^2}{(x+y)(\sqrt{1+x^2+y^2}+1)}$$

沿 $y=x$ 趋近： $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x^2}{2x\cdot 2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2}=0$$

但需验证其他路径！沿 $y=-x$，分母为0，需特殊处理。

实际上，沿 $y=-x+x^2$： 分子 $\to x^4$，分母 $\to x^2$，比值 $\to 0$

更严格的做法是极坐标或夹逼 ■

4.2 证明极限不存在

策略总结：

1. 路径法：找两条路径得到不同极限
2. 累次极限法：计算两个累次极限，若不等则重极限不存在
3. 点列法：构造点列证明

练习1：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}$ 不存在

错误尝试：沿 $y=mx$ $$\frac{x^4-m^4{x}^4}{x^2(1+m^2)}=\frac{x^2(1-m^4)}{1+m^2}\to 0$$

所有直线都得0，但这不能证明极限存在！

正确做法：沿 $y=x$ $$\frac{x^4-x^4}{2x^2}=0$$

沿 $x^2=y^2$（即 $y=x$）...不行，重复了。

让我重新选择：沿 $y=x\sqrt{2}$ $$\frac{x^4-4x^4}{x^2(1+2)}=\frac{-3x^4}{3x^2}=-x^2\to 0$$

还是0...这个函数的极限可能存在！

用极坐标： $$\frac{r^4({\cos }^4\theta -{\sin }^4\theta )}{r^2}=r^2({\cos }^4\theta -{\sin }^4\theta )\to 0$$

所以极限存在且为0！

练习2（正确的例子）：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$ 不存在

解：

沿 $y=mx$： $$\frac{x^2\cdot mx}{x^4+m^2{x}^2}=\frac{m{x}^3}{x^2(x^2+m^2)}=\frac{mx}{x^2+m^2}\to 0$$

沿 $y=x^2$： $$\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}$$

结论：沿直线趋近得0，沿抛物线得 $\frac{1}{2}$，极限不存在 ■

4.3 累次极限的计算

例题：计算 $f(x,y)=\frac{xy(x-y)}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处的累次极限

累次极限1（先 $x$ 后 $y$）： $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xy(x-y)}{x^2+y^2}=\frac{0\cdot y\cdot (-y)}{y^2}=0$$

因此： $$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0$$

累次极限2（先 $y$ 后 $x$）： $$\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{xy(x-y)}{x^2+y^2}=0$$

因此： $$\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=0$$

重极限：沿 $y=x$ $$f(x,x)=\frac{x\cdot x\cdot 0}{2x^2}=0$$

沿 $y=-x$： $$f(x,-x)=\frac{x(-x)(2x)}{2x^2}=\frac{-2x^3}{2x^2}=-x\to 0$$

用极坐标： $$\left|\frac{r^3\cos \theta \sin \theta (\cos \theta -\sin \theta )}{r^2}\right|=r|\cos \theta \sin \theta (\cos \theta -\sin \theta )|\le r\to 0$$

结论：重极限和两个累次极限都存在且都等于0 ■

⚠️ 五、常见陷阱与误区

误区1：沿所有直线极限相同 ⟹ 极限存在

✗ 错误想法：如果沿所有直线 $y=mx$ 趋近都得到相同的极限，那么极限就存在。

反例：$f(x,y)=\frac{x{y}^2}{x^2+y^4}$

沿所有直线 $y=mx$： $$f(x,mx)=\frac{x(mx{)}^2}{x^2+(mx{)}^4}=\frac{m^2{x}^3}{x^2(1+m^4{x}^2)}\to 0$$

但沿抛物线 $y^2=x$： $$f(x,\sqrt{x})=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}$$

正确认识：必须检查所有可能的路径，包括曲线！

误区2：累次极限存在且相等 ⟹ 重极限存在

✗ 错误：见例6

正确：需要额外条件（如定理16.6的条件）

误区3：重极限存在 ⟹ 累次极限存在

✗ 错误：见例8

正确：重极限存在，累次极限可能不存在

误区4：混淆累次极限的顺序

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)\ne \underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

一般情况下不相等！（见例7）

相等的充分条件：重极限存在（推论1）

误区5：忽略定义域的要求

计算极限时，必须确保：

1. $P_0$ 是定义域 $D$ 的聚点
2. 在 $P_0$ 的去心邻域内，函数有定义

🛤️ 六、学习路径与策略指南

6.1 学习层次

Level 1: 基础理解
    ├─ 二元函数极限的ε-δ定义
    ├─ 极限的几何意义（任意方向趋近）
    └─ 简单极限的计算

Level 2: 方法掌握
    ├─ 直接验证法（ε-δ）
    ├─ 极坐标变换
    ├─ 路径法证明极限不存在
    └─ 累次极限的计算

Level 3: 理论深化
    ├─ 定理16.5及其推论
    ├─ 定理16.6及其应用
    ├─ 重极限与累次极限的关系
    └─ 点列归结原则

Level 4: 综合应用
    ├─ 复杂极限的计算技巧
    ├─ 构造反例
    ├─ 与连续性的联系
    └─ 多元函数微分学的准备

6.2 学习策略

策略1：类比一元，注意差异

策略2：掌握标准路径

计算极限时测试的标准路径：

1. 直线：$y=mx$
2. 抛物线：$y=k{x}^2$，$x=k{y}^2$
3. 高次曲线：$y=x^n$
4. 极坐标：$r\to 0$

策略3：建立思维导图

极限问题
    │
    ├─ 证明存在
    │   ├─ ε-δ定义
    │   ├─ 极坐标
    │   ├─ 夹逼定理
    │   └─ 连续性
    │
    └─ 证明不存在
        ├─ 路径法（最常用）
        ├─ 累次极限法
        └─ 点列法

6.3 练习建议

基础练习：

1. 用ε-δ定义验证简单极限
2. 用极坐标计算 $(0,0)$ 处的极限
3. 用路径法判断极限不存在

提高练习：

1. 复杂函数的极限计算
2. 累次极限的计算与比较
3. 构造满足特定条件的函数

综合练习：

1. 重极限与累次极限关系的应用
2. 极限与连续性的联系
3. 多元函数的连续性证明

6.4 常见题型总结

题型1：直接计算极限

工具：

• 连续性
• 极坐标变换
• 等价无穷小
• 泰勒展开

题型2：证明极限不存在

步骤：

1. 尝试直线路径 $y=mx$
2. 尝试曲线路径（抛物线、圆等）
3. 计算累次极限并比较

题型3：累次极限计算

步骤：

1. 固定一个变量，计算内层极限
2. 对结果再求极限
3. 注意两个顺序可能不同

题型4：综合判断

给定函数，判断：

• 重极限是否存在
• 两个累次极限是否存在
• 它们之间的关系

📖 七、补充知识与拓展

7.1 多元函数极限的一般理论

n元函数的极限

对于 $f:D\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$，极限定义为： $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:P\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D\Rightarrow |f(P)-A|<\epsilon$$

其中距离： $$\rho (P,Q)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$

7.2 向量值函数的极限

设 $\mathbf{f}:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，$\mathbf{f}(P)=(f_1(P),\dots ,f_m(P))$

$$\underset{P\to P_0}{\lim }\mathbf{f}(P)=\mathbf{A}⟺\underset{P\to P_0}{\lim }{f}_i(P)=A_i,i=1,\dots ,m$$

7.3 极限的拓扑定义

用邻域语言： $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A⟺\forall U(A),\exists U(P_0):f(U^{\circ }(P_0)\cap D)\subset U(A)$$

7.4 与连续性的联系

定义：若 ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=f(P_0)$，则称 $f$ 在 $P_0$ 处连续

等价条件（ε-δ语言）： $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:P\in U(P_0;\delta )\cap D\Rightarrow |f(P)-f(P_0)|<\epsilon$$

注意：这里用的是邻域而非去心邻域

🎓 八、总结与展望

8.1 本节核心

1. 二元函数极限的本质是全方位趋近
2. 重极限与累次极限是两个不同的概念
3. 路径法是证明极限不存在的利器
4. 定理16.6建立了重极限与累次极限的联系
5. 极坐标变换是计算 $(0,0)$ 处极限的有效工具

8.2 知识网络

§1 平面点集 ──→ §2 二元函数极限 ──→ §3 二元函数连续性
                        ↓
                   ε-δ定义
                        ↓
                   ┌────┴────┐
                重极限    累次极限
                   │          │
                   └────┬────┘
                      定理16.6
                        ↓
                   连续性理论
                        ↓
                   偏导数与全微分

8.3 与后续章节的联系

第三节：连续性

• 极限 + 函数值 = 连续
• 闭域上连续函数的性质
• 一致连续性

第十七章：偏导数

• 偏导数定义需要一元极限
• 方向导数需要二元极限

第十八章：隐函数与极值

• 连续性是隐函数存在的必要条件
• 极值点的判定需要连续性

8.4 思想方法总结

核心思想：

1. 维度提升：从一维到二维的跨越
2. 局部到整体：邻域→极限→连续
3. 特殊到一般：直线路径→曲线路径→任意路径
4. 对比思维：重极限 vs 累次极限

数学方法：

1. ε-δ语言：精确刻画极限
2. 不等式放缩：估计函数值
3. 极坐标变换：简化计算
4. 反证法：构造反例

📚 九、习题精选与解答

习题16.2 精选

1. 求下列极限

(1) ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2{y}^2}{1+x^2+y^2}$

解： $$\left|\frac{x^2{y}^2}{1+x^2+y^2}\right|\le x^2{y}^2\le (x^2+y^2{)}^2$$

当 $(x,y)\to (0,0)$ 时，$x^2+y^2\to 0$，所以极限为 0 ■

(3) ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy+1}{x^2+y^2}$

解：沿 $y=0$，分子 $\to 1$，分母 $\to 0^{+}$，极限为 $+\infty$ ■

(5) ${\lim }_{(x,y)\to (1,2)}\frac{1}{2x-y}$

解：$(2x-y)\to 2(1)-2=0$

沿不同路径趋近，$2x-y$ 可正可负，所以极限不存在（振荡于 $\pm \infty$）■

(7) ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

解：令 $t=x^2+y^2$，则 $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$$ ■

2. 讨论下列极限与累次极限

(示例) $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

累次极限1： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{-y^2}{y^2}=-1$$ $$\underset{y\to 0}{\lim }(-1)=-1$$

累次极限2： $$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{x^2}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }1=1$$

重极限：沿 $y=x$ $$\frac{0}{2x^2}=0$$

沿 $y=0$： $$\frac{x^2}{x^2}=1$$

结论：

• 两累次极限存在但不相等（$-1\ne 1$）
• 沿不同路径重极限值不同
• 重极限不存在 ■

🎯 十、学习检查清单

✅ 概念理解

• 理解二元函数极限的ε-δ定义
• 明白"任意方向趋近"的含义
• 区分重极限与累次极限
• 掌握非正常极限的定义

✅ 方法技能

• 会用ε-δ定义验证极限
• 熟练使用极坐标变换
• 掌握路径法证明极限不存在
• 能够计算累次极限

✅ 定理应用

• 理解定理16.5及其推论
• 掌握定理16.6的应用条件
• 能用累次极限否定重极限
• 理解点列归结原则

✅ 综合能力

• 能判断给定函数的极限是否存在
• 会构造反例说明概念
• 能解决综合性问题
• 理解与连续性的联系

📝 结语

二元函数的极限是多元微积分的基础，也是从一元到多元思维跨越的关键一步。掌握这一节的内容，不仅需要理解定义和定理，更需要通过大量练习培养几何直观和路径意识。

核心要点回顾：

1. 二元极限必须对所有路径成立
2. 路径法是证明极限不存在的利器
3. 重极限与累次极限有联系但不等价
4. 极坐标是计算原点处极限的好工具

继续前进，下一站：二元函数的连续性！

完整知识体系构建完毕。本文档适合作为教材补充、复习笔记或教学讲义使用。