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第十六章 多元函数的极限与连续

完整知识体系与思维导图

📋 目录导览

1. 知识体系思维导图
2. 核心概念详解
3. 理论框架深度解析
4. 实例与应用
5. 学习路径建议

🧠 一、知识体系思维导图

第十六章：多元函数的极限与连续
│
├─── 📐 §1 平面点集与多元函数
│    │
│    ├─── 1. 平面点集 (Planar Point Sets)
│    │    ├─── 基本概念
│    │    │    ├─── 坐标平面 R²
│    │    │    ├─── 点集表示：E = {(x,y) | 满足条件P}
│    │    │    └─── 邻域概念
│    │    │         ├─── δ圆邻域：{(x,y) | (x-x₀)²+(y-y₀)²<δ²}
│    │    │         ├─── δ方邻域：{(x,y) | |x-x₀|<δ, |y-y₀|<δ}
│    │    │         └─── 空心邻域：U°(A;δ)
│    │    │
│    │    ├─── 点与点集的关系
│    │    │    ├─── 内点 (Interior Point)
│    │    │    │    └─── 存在邻域完全包含于E
│    │    │    ├─── 外点 (Exterior Point)
│    │    │    │    └─── 存在邻域与E不相交
│    │    │    ├─── 界点 (Boundary Point)
│    │    │    │    └─── 任何邻域既含E中点又含E外点
│    │    │    ├─── 聚点 (Accumulation Point)
│    │    │    │    └─── 任何空心邻域都含E中的点
│    │    │    └─── 孤立点 (Isolated Point)
│    │    │         └─── 属于E但不是聚点
│    │    │
│    │    ├─── 特殊点集类型
│    │    │    ├─── 开集 (Open Set)
│    │    │    │    └─── 所有点都是内点
│    │    │    ├─── 闭集 (Closed Set)
│    │    │    │    └─── 所有聚点都属于E
│    │    │    ├─── 开域 (Open Domain)
│    │    │    │    └─── 非空连通开集
│    │    │    ├─── 闭域 (Closed Domain)
│    │    │    │    └─── 开域+边界
│    │    │    ├─── 区域 (Region)
│    │    │    │    └─── 开域/闭域/开域+部分边界
│    │    │    └─── 有界点集 (Bounded Set)
│    │    │         └─── 存在r使E⊂U(0;r)
│    │    │
│    │    └─── 点集直径
│    │         └─── d(E) = sup{ρ(P₁,P₂) | P₁,P₂∈E}
│    │
│    ├─── 2. R²上的完备性定理
│    │    ├─── 柯西准则 (Cauchy Criterion)
│    │    │    └─── {Pₙ}收敛 ⟺ ∀ε>0, ∃N: n>N时ρ(Pₙ,Pₙ₊ₚ)<ε
│    │    ├─── 闭域套定理 (Nested Closed Domains)
│    │    │    └─── D₁⊃D₂⊃...⊃Dₙ, lim d(Dₙ)=0 ⟹ ∃!P₀∈∩Dₙ
│    │    ├─── 聚点定理 (Bolzano-Weierstrass)
│    │    │    └─── 有界无限点集至少有一个聚点
│    │    └─── 有限覆盖定理 (Finite Cover Theorem)
│    │         └─── 有界闭域的开覆盖必有有限子覆盖
│    │
│    └─── 3. 多元函数
│         ├─── 二元函数
│         │    ├─── 定义：f: D→R, (x,y)↦z
│         │    ├─── 定义域 D⊂R²
│         │    ├─── 值域 f(D)⊂R
│         │    └─── 图像：S={(x,y,z)|z=f(x,y), (x,y)∈D}⊂R³
│         │
│         └─── n元函数
│              ├─── 定义：f: E→R, (x₁,x₂,...,xₙ)↦y
│              ├─── 点函数记号：y=f(P), P∈E⊂Rⁿ
│              └─── 有界/无界函数
│
├─── 📊 §2 二元函数的极限 (待补充)
│    ├─── 重极限
│    ├─── 累次极限
│    └─── 极限性质与运算
│
├─── 🔄 §3 二元函数的连续性 (待补充)
│    ├─── 连续性定义
│    ├─── 连续函数的性质
│    └─── 一致连续性
│
└─── 🎯 应用拓展
     ├─── 多元微分学基础
     ├─── 偏导数与全微分
     └─── 多元积分学

📚 二、核心概念详解

2.1 从一元到多元：维度的跨越

哲学思考：从一维到多维的转变不仅是数学形式的扩展，更是思维方式的革命。一元函数研究"线"上的变化，二元函数则探索"面"上的规律，这种维度提升带来了全新的几何直观和分析挑战。

关键转变：

• 定义域：从实数轴 $\mathbb{R}$ → 坐标平面 ${\mathbb{R}}^2$
• 图像：从平面曲线 → 空间曲面
• 趋近方式：从左右两个方向 → 无穷多个方向（平面上的任意路径）

2.2 平面点集：多元函数的"舞台"

2.2.1 基础点集

全平面： $${\mathbb{R}}^2=\{(x,y)\mid -\infty <x,y<+\infty \}$$

圆域（以原点为中心，半径为$r$）： $$C=\{(x,y)\mid x^2+y^2<r^2\}$$

矩形域： $$S=[a,b]\times [c,d]=\{(x,y)\mid a\le x\le b,c\le y\le d\}$$

💡 直积记号：对任意两个集合$A,B$， $$A\times B=\{(x,y)\mid x\in A,y\in B\}$$

2.2.2 邻域概念：局部性分析的基石

δ圆邻域（以点$A(x_0,y_0)$为中心）： $$U(A;\delta )=\{(x,y)\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$$

δ方邻域： $$U(A;\delta )=\{(x,y)\mid |x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \}$$

空心邻域： $$U^{\circ }(A;\delta )=\{(x,y)\mid 0<(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$$

重要性质：圆邻域和方邻域可以相互包含

• 点$A$的任一圆邻域总包含某个方邻域
• 点$A$的任一方邻域总包含某个圆邻域

几何意义：邻域描述了点的"局部环境"，是极限、连续等概念的基础。

2.2.3 点与点集的关系：五种身份

设$A\in {\mathbb{R}}^2$，$E\subset {\mathbb{R}}^2$，点$A$与点集$E$的关系有以下分类：

关系图谱：

内点 ────────→ 聚点
                 ↑
界点（非孤立） ──┘
    ↓
孤立点 ────→ 界点

外点 ←→ 既非聚点也非孤立点

📌 例题1：设 $D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2<4\}$

• 内点：满足 $1<x^2+y^2<4$ 的所有点
• 界点：
  • $x^2+y^2=1$ 的所有点（属于$D$）
  • $x^2+y^2=4$ 的所有点（不属于$D$）
• 聚点：$D$ 连同外圆边界 $x^2+y^2=4$ 的所有点

2.2.4 特殊点集分类

开集 (Open Set)

• 定义：所有点都是内点，即 $\text{int}E=E$
• 例子：圆域 $C=\{(x,y)\mid x^2+y^2<r^2\}$

闭集 (Closed Set)

• 定义：所有聚点都属于$E$
• 等价表述：边界包含在集合中
• 例子：闭矩形 $S=[a,b]\times [c,d]$

🔑 关键定理：$E$是闭集 $⟺$ $\partial E\subset E$

开域 (Open Domain)

• 非空连通开集
• 连通性：任意两点可用完全含于$E$的有限折线连接

闭域 (Closed Domain)

• 开域连同其边界

区域 (Region)

• 开域、闭域，或开域+部分边界

📌 例题2：判断集合 $E=\{(x,y)\mid xy>0\}$

• $E$是开集（所有点都是内点）
• 但$E$不是开域（第I、III象限不连通）

2.2.5 有界点集

定义：存在正数$r$使得 $E\subset U(0;r)$

等价条件：

1. 存在矩形区域 $D=[a,b]\times [c,d]$ 包含$E$
2. 点集直径 $d(E)<+\infty$

点集直径： $$d(E)=\underset{P_1,P_2\in E}{\sup }\rho (P_1,P_2)$$

其中距离函数： $$\rho (P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

三角不等式： $$\rho (P_1,P_3)\le \rho (P_1,P_2)+\rho (P_2,P_3)$$

2.3 R²上的完备性定理：理论基石

2.3.1 点列收敛

定义：设 $\{P_n\}\subset {\mathbb{R}}^2$，$P_0\in {\mathbb{R}}^2$，若 $$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow P_n\in U(P_0;\epsilon )$$ 则称 ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n=P_0$

等价条件：设 $P_n=(x_n,y_n)$，$P_0=(x_0,y_0)$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=P_0⟺\{\begin{array}{l}{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0\\ {\lim }_{n\to \infty }{y}_n=y_0\end{array}$$

也等价于： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\rho (P_n,P_0)=0$$

2.3.2 定理16.1：柯西准则

定理：平面点列 $\{P_n\}$ 收敛的充要条件是： $$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow \forall p\in \mathbb{N},\rho (P_n,P_{n+p})<\epsilon$$

证明思路：

• 必要性：利用三角不等式 $$\rho (P_n,P_{n+p})\le \rho (P_n,P_0)+\rho (P_{n+p},P_0)$$

• 充分性：分解为坐标 $$|x_{n+p}-x_n|\le \rho (P_n,P_{n+p})<\epsilon$$ $$|y_{n+p}-y_n|\le \rho (P_n,P_{n+p})<\epsilon$$ 利用实数系柯西准则得 $\{x_n\},\{y_n\}$ 都收敛

2.3.3 定理16.2：闭域套定理

定理：设 $\{D_n\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的闭域列，满足：

1. $D_1\supset D_2\supset \cdots \supset D_n\supset \cdots$
2. ${\lim }_{n\to \infty }d(D_n)=0$（直径趋于0）

则存在唯一点 $P_0\in D_n$，$\forall n\in \mathbb{N}$

几何直观：一系列不断缩小的闭域"压缩"到唯一一点

推论：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$D_n\subset U(P_0;\epsilon )$

2.3.4 定理16.3：聚点定理 (Bolzano-Weierstrass)

定理：有界无限点集 $E\subset {\mathbb{R}}^2$ 至少有一个聚点

证明策略（二分法）：

1. 用闭正方形 $D_1$ 包含 $E$
2. 将 $D_1$ 四等分，至少有一个小正方形含 $E$ 的无限多点，记为 $D_2$
3. 继续四等分，得到闭正方形套 $\{D_n\}$
4. 由闭域套定理，$\exists M_0\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{D}_n$
5. 证明 $M_0$ 是 $E$ 的聚点

等价形式（定理16.3'）：有界无限点列必有收敛子列

2.3.5 定理16.4：有限覆盖定理 (Heine-Borel)

定理：设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 为有界闭域，$\{A_{\lambda }\}$ 为开域族，若 $$D\subset \bigcup _{\lambda }{A}_{\lambda }$$ 则存在有限个开域 $A_{{\lambda }_1},A_{{\lambda }_2},\dots ,A_{{\lambda }_n}$，使得 $$D\subset \bigcup _{i=1}^n{A}_{{\lambda }_i}$$

意义：有界闭域的"紧致性"

2.4 多元函数

2.4.1 二元函数

定义：设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$，若对每个 $P(x,y)\in D$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，记作 $$f:D\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto z$$

三种记号：

1. $z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$
2. $z=f(P)$，$P\in D$（点函数记号）
3. 简记为"函数 $f$"

组成要素：

• 定义域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$
• 值域 $f(D)=\{z\mid z=f(x,y),(x,y)\in D\}\subset \mathbb{R}$
• 图像 $S=\{(x,y,z)\mid z=f(x,y),(x,y)\in D\}\subset {\mathbb{R}}^3$

2.4.2 典型例子

例3：$z=2x+5y$

• 定义域：${\mathbb{R}}^2$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 图像：${\mathbb{R}}^3$ 中的平面

例4：$z=\sqrt{1-(x^2+y^2)}$

• 定义域：$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$（单位圆域）
• 值域：$[0,1]$
• 图像：单位球面的上半部分

例5：$z=xy$

• 定义域：${\mathbb{R}}^2$
• 图像：双曲抛物面（马鞍面）

例6：$z=[\sqrt{x^2+y^2}]$（取整函数）

• 定义域：${\mathbb{R}}^2$
• 值域：非负整数集 ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$
• 图像：同心圆环上的阶梯状平台

2.4.3 有界函数

定义：若值域 $f(D)$ 是有界数集，则称 $f$ 为有界函数

充要条件：$f$ 在 $D$ 上无界 $⟺$ 存在点列 $\{P_n\}\subset D$，使得 $$\underset{n\to \infty }{\lim }|f(P_n)|=+\infty$$

2.4.4 n元函数

n维空间： $${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_i\in \mathbb{R}\}$$

n元函数： $$f:E\to \mathbb{R},(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mapsto y$$

点函数记号：$y=f(P)$，$P\in E\subset {\mathbb{R}}^n$

优势：使多元函数与一元函数在形式上保持一致，便于推广

🏗️ 三、理论框架深度解析

3.1 从一元到多元的类比与差异

关键差异：

1. 极限的复杂性：多元函数的极限必须对所有趋近路径都存在且相等
2. 偏导数 vs 导数：多元函数可能各方向偏导数都存在但不可微
3. 连续 ≠ 可微：连续性条件更弱

3.2 完备性定理的逻辑关系

柯西准则 ──────┐
               ├──→ 闭域套定理 ──→ 聚点定理 ──→ 有限覆盖定理
               └──────────────────┘
                   相互等价

核心思想：${\mathbb{R}}^2$ 继承了实数系 $\mathbb{R}$ 的完备性

实际应用：

• 柯西准则：判断点列收敛
• 闭域套定理：存在性证明
• 聚点定理：有界点列必有收敛子列
• 有限覆盖定理：紧致性，证明一致连续性

3.3 点集拓扑的层次结构

点 (Points)
    ↓
邻域 (Neighborhoods)
    ↓
点的分类 (内点/外点/界点/聚点/孤立点)
    ↓
集合的分类 (开集/闭集/开域/闭域/区域)
    ↓
拓扑性质 (连通性/有界性/紧致性)

核心工具：邻域是局部性质的刻画手段

🎯 四、实例与应用

4.1 证明边界是闭集

命题：对任何 $S\subset {\mathbb{R}}^2$，$\partial S$ 恒为闭集

证明： 设 $x_0$ 为 $\partial S$ 的任一聚点，需证 $x_0\in \partial S$

任给 $\epsilon >0$，由聚点定义： $$\exists y\in U^{\circ }(x_0;\epsilon )\cap \partial S$$

因为 $y$ 是 $S$ 的界点，对任意 $U(y;\delta )\subset U(x_0;\epsilon )$，有：

• $U(y;\delta )\cap S\ne \varnothing$
• $U(y;\delta )\cap S^c\ne \varnothing$

所以 $U(x_0;\epsilon )$ 既含 $S$ 的点又含 $S^c$ 的点

由 $\epsilon$ 的任意性，$x_0\in \partial S$ ■

4.2 判断点集性质综合练习

练习1：$E=\{(x,y)\mid xy\ne 0\}$

• 开集？✓（每点都是内点）
• 闭集？✗（聚点 $(0,0)$ 不属于$E$）
• 开域？✗（四个象限不连通）

练习2：$E=\{(x,y)\mid y>x^2\}$

• 开集？✓（抛物线上方的开区域）
• 连通？✓
• 开域？✓

练习3：$E=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}\cup \{(x,0)\mid 0\le x\le 1\}$

• 开集？✗
• 闭集？✓
• 区域？✗（不连通）

4.3 点列收敛的判定

例：判断点列 $P_n=\left(\frac{1}{n},\frac{\sin n}{n}\right)$ 的收敛性

解： $$x_n=\frac{1}{n}\to 0,y_n=\frac{\sin n}{n}\to 0$$

由点列收敛等价条件： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=(0,0)$$ ■

🛤️ 五、学习路径与建议

5.1 学习层次

Level 1: 基础概念
    ├─ 平面点集的定义与表示
    ├─ 邻域的几何意义
    └─ 二元函数的定义

Level 2: 点集拓扑
    ├─ 点与点集的关系（内点/外点/界点/聚点/孤立点）
    ├─ 特殊点集（开集/闭集/开域/闭域）
    └─ 点集的性质（连通性/有界性）

Level 3: 完备性理论
    ├─ 点列收敛与柯西准则
    ├─ 闭域套定理
    ├─ 聚点定理
    └─ 有限覆盖定理

Level 4: 应用拓展
    ├─ 多元函数的极限（下一节）
    ├─ 多元函数的连续性
    └─ 多元微积分基础

5.2 学习建议

1. 几何直观优先：多画图，理解平面点集的几何结构
2. 类比一元函数：利用一元函数的经验，注意多元情况的特殊性
3. 掌握定义：邻域、聚点、开集等定义是后续理论的基础
4. 重视完备性定理：四大定理是分析学的核心工具
5. 多做练习：判断点集性质、证明集合关系

5.3 常见易错点

❌ 误区1：混淆"界点"与"聚点"

• 界点：邻域内既有$E$内点又有$E$外点
• 聚点：空心邻域内总有$E$中的点

❌ 误区2：认为开集的补集是闭集

• 反例：$(0,1)\cup (2,3)$ 的补集不是闭集

❌ 误区3：认为连续函数的定义域一定是区域

• 定义域可以是任意点集

5.4 进阶主题预告

第二节：二元函数的极限

• 重极限 vs 累次极限
• 极限不存在的判定
• 无穷小量的比较

第三节：二元函数的连续性

• 连续函数的性质
• 一致连续性
• 闭域上连续函数的性质（最值定理、介值定理）

第四节：多元函数的微分学

• 偏导数
• 全微分
• 方向导数与梯度

📖 六、补充知识点

6.1 度量空间基础

距离函数的公理：$\rho :{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 满足

1. 正定性：$\rho (P,Q)\ge 0$，且 $\rho (P,Q)=0⟺P=Q$
2. 对称性：$\rho (P,Q)=\rho (Q,P)$
3. 三角不等式：$\rho (P,R)\le \rho (P,Q)+\rho (Q,R)$

其他度量：

• 欧氏距离：${\rho }_2(P,Q)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$
• 曼哈顿距离：${\rho }_1(P,Q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
• 切比雪夫距离：${\rho }_{\infty }(P,Q)=\max \{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}$

6.2 拓扑学视角

开集公理系统：满足以下三条的集合系 $\mathcal{T}$ 称为拓扑

1. $\varnothing ,{\mathbb{R}}^2\in \mathcal{T}$
2. 任意多个开集的并是开集
3. 有限个开集的交是开集

闭集性质：

1. $\varnothing ,{\mathbb{R}}^2$ 是闭集
2. 任意多个闭集的交是闭集
3. 有限个闭集的并是闭集

6.3 紧致性的等价条件

对于 ${\mathbb{R}}^2$ 中的集合 $K$，以下等价：

1. $K$ 是有界闭集
2. $K$ 的任何开覆盖都有有限子覆盖（紧致性）
3. $K$ 中任何无限子集都有聚点在 $K$ 中
4. $K$ 中任何点列都有收敛子列，且极限在 $K$ 中

🎓 七、总结与展望

7.1 本章核心

1. 平面点集是二元函数的"活动舞台"
2. 邻域是局部性质的刻画工具
3. 完备性定理是极限理论的基石
4. 点函数记号统一了多元函数的表达

7.2 与后续章节的联系

§1 平面点集 → §2 极限 → §3 连续性 → §4 偏导数 → §5 全微分 → §6 多元积分
                ↓           ↓           ↓
            重极限      一致连续    方向导数
            累次极限    最值定理    梯度

7.3 数学思想

• 维度推广：从特殊到一般，从低维到高维
• 局部到整体：邻域→聚点→开集→完备性
• 几何直观：抽象概念的可视化理解
• 逻辑严密：ε-δ语言的精确表达

📚 八、推荐阅读与参考

经典教材

1. 华东师大《数学分析》（第五版）
2. 陈纪修《数学分析》（第二版）
3. 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》
4. Rudin《数学分析原理》

拓展阅读

• 点集拓扑学
• 泛函分析初步
• 微分几何基础

本知识体系涵盖了第十六章第一节的完整内容，结合了教材精华与拓展知识，适合作为学习笔记、教学讲义或技术博客使用。

如需进一步补充**第二节（极限）和第三节（连续性）**的内容，请提供相应材料，我将继续完善这个知识体系！