基于您提供的PDF材料，我将构建一个完整的关于二元函数连续性的知识体系和思维导图。这是第十六章第三节的全面深度解析。

第十六章第三节：二元函数的连续性

完整知识体系与思维导图

📋 目录导览

1. 知识体系思维导图
2. 核心概念深度解析
3. 重要定理体系
4. 典型例题与应用
5. 与一元函数的对比
6. 常见误区与陷阱
7. 学习路径与策略

🧠 一、完整知识体系思维导图

§3 二元函数的连续性
│
├─── 📐 一、连续性的基本概念
│    │
│    ├─── 1. 定义（ε-δ语言）
│    │    ├─── 点P₀是D的孤立点 ⟹ f必在P₀连续
│    │    ├─── 点P₀是D的聚点
│    │    │    └─── f在P₀连续 ⟺ lim_{P→P₀} f(P) = f(P₀)
│    │    │
│    │    ├─── 等价表述（增量形式）
│    │    │    └─── lim_{(Δx,Δy)→(0,0)} Δf(x₀,y₀) = 0
│    │    │         其中 Δf = f(x₀+Δx, y₀+Δy) - f(x₀,y₀)
│    │    │
│    │    └─── 不连续点（间断点）
│    │         ├─── 可去间断点
│    │         │    └─── lim f(P)存在但 ≠ f(P₀)
│    │         └─── 其他类型间断点
│    │
│    ├─── 2. 增量分析
│    │    ├─── 全增量
│    │    │    └─── Δf(x₀,y₀) = f(x₀+Δx, y₀+Δy) - f(x₀,y₀)
│    │    │
│    │    ├─── 偏增量
│    │    │    ├─── Δₓf = f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀,y₀)
│    │    │    └─── Δᵧf = f(x₀, y₀+Δy) - f(x₀,y₀)
│    │    │
│    │    └─── 重要关系
│    │         ├─── 一般情况：Δf ≠ Δₓf + Δᵧf
│    │         ├─── f在P₀连续 ⟹ f对x在x₀、对y在y₀都连续
│    │         └─── 反过来不成立！（需要反例）
│    │
│    ├─── 3. 局部性质
│    │    ├─── 局部有界性
│    │    │    └─── f在P₀连续 ⟹ 存在U(P₀)使f在其上有界
│    │    │
│    │    ├─── 局部保号性
│    │    │    └─── f(P₀)>0且f在P₀连续 ⟹ 存在U(P₀)使f>0
│    │    │
│    │    └─── 四则运算法则
│    │         ├─── f,g连续 ⟹ f±g, f·g连续
│    │         └─── f,g连续且g≠0 ⟹ f/g连续
│    │
│    ├─── 4. 复合函数的连续性
│    │    └─── 定理16.7
│    │         ├─── 条件：u=φ(x,y), v=ψ(x,y)在P₀连续
│    │         │        f(u,v)在Q₀=(u₀,v₀)连续
│    │         └─── 结论：g(x,y)=f(φ(x,y),ψ(x,y))在P₀连续
│    │
│    └─── 5. 典型例题
│         ├─── 例1：f = x^αy^β/(x²+y²)^(α/2) 的连续性
│         │    └─── 用极坐标判断：α>2时在原点连续
│         │
│         └─── 反例：f=1(xy≠0), f=0(xy=0)
│              └─── 对x、对y分别连续，但不连续
│
├─── 📊 二、有界闭域上连续函数的性质
│    │
│    ├─── 定理16.8：有界性与最值定理
│    │    ├─── 内容
│    │    │    ├─── f在有界闭域D上连续
│    │    │    ├─── ⟹ f在D上有界
│    │    │    └─── ⟹ f在D上取到最大值和最小值
│    │    │
│    │    ├─── 证明思路
│    │    │    ├─── 有界性：反证法+聚点定理
│    │    │    │    └─── 假设无界⟹构造点列{Pₙ}使|f(Pₙ)|>n
│    │    │    │         ⟹取收敛子列⟹导出矛盾
│    │    │    │
│    │    │    └─── 最值存在性：反证法
│    │    │         └─── 假设达不到上确界M
│    │    │              ⟹考虑F=1/(M-f)⟹无界⟹矛盾
│    │    │
│    │    └─── 几何意义
│    │         └─── 连续函数在闭域上的图像是"有界曲面"
│    │              且有最高点和最低点
│    │
│    ├─── 定理16.9：一致连续性定理
│    │    ├─── 内容
│    │    │    └─── f在有界闭域D上连续 ⟹ f在D上一致连续
│    │    │         即：∀ε>0, ∃δ>0: ∀P,Q∈D, ρ(P,Q)<δ
│    │    │              ⟹ |f(P)-f(Q)|<ε
│    │    │
│    │    ├─── 证明方法
│    │    │    └─── 反证法+聚点定理
│    │    │         ├─── 假设不一致连续
│    │    │         ├─── 构造点列{Pₙ},{Qₙ}
│    │    │         ├─── 取收敛子列
│    │    │         └─── 利用连续性导出矛盾
│    │    │
│    │    ├─── 与点态连续的区别
│    │    │    ├─── 点态连续：δ依赖于ε和点P₀
│    │    │    └─── 一致连续：δ只依赖于ε，不依赖于点
│    │    │
│    │    └─── 几何意义
│    │         └─── 在闭域上，函数变化的"速度"是可控的
│    │
│    └─── 定理16.10：介值性定理
│         ├─── 内容
│         │    └─── f在区域D上连续，P₁,P₂∈D
│         │         f(P₁)<μ<f(P₂) ⟹ ∃P₀∈D: f(P₀)=μ
│         │
│         ├─── 证明思路
│         │    ├─── 构造函数F(P)=f(P)-μ
│         │    ├─── F(P₁)<0, F(P₂)>0
│         │    ├─── 用D中的有限折线连接P₁和P₂
│         │    ├─── 找到折线段两端F异号
│         │    └─── 在该线段上用一元函数根的存在定理
│         │
│         ├─── 关键条件
│         │    ├─── D必须是区域（连通性）
│         │    └─── 一般开集或闭集不一定成立
│         │
│         ├─── 推论
│         │    └─── f在区域D上连续 ⟹ f(D)是区间
│         │
│         └─── 几何意义
│              └─── 连续函数在区域上取遍中间值
│
├─── 🔄 三、多元连续性理论的推广
│    │
│    ├─── n元函数的连续性
│    │    ├─── 定义：lim_{P→P₀} f(P) = f(P₀)
│    │    │    其中P,P₀∈Rⁿ
│    │    │
│    │    └─── 所有定理都可推广到n元情况
│    │
│    ├─── 向量值函数的连续性
│    │    └─── f: D⊂Rⁿ→Rᵐ
│    │         f=(f₁,f₂,...,fₘ)连续 ⟺ 每个分量fᵢ连续
│    │
│    └─── 紧致性的作用
│         └─── 有界闭域 = 紧集（在Rⁿ中）
│              所有整体性质都依赖于紧致性
│
└─── 🎯 四、应用与拓展
     │
     ├─── 连续性的判定
     │    ├─── 初等函数在定义域内连续
     │    ├─── 复合函数的连续性
     │    └─── 分段函数在分界线上的连续性
     │
     ├─── 最值问题
     │    ├─── 几何应用：求曲面的最高/最低点
     │    ├─── 优化问题：在约束条件下求极值
     │    └─── 实际问题建模
     │
     ├─── 为微分学铺路
     │    ├─── 连续是可微的必要条件
     │    ├─── 偏导数理论需要连续性
     │    └─── 链式法则的应用
     │
     └─── 与拓扑学的联系
          ├─── 连续映射的拓扑定义
          ├─── 紧集的连续像是紧集
          └─── 连通集的连续像是连通集

📚 二、核心概念深度解析

2.1 连续性的定义：从一元到多元的跨越

2.1.1 ε-δ定义（严格表述）

定义1：设 $f$ 为定义在点集 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上的二元函数，$P_0\in D$（它或者是 $D$ 的聚点，或者是 $D$ 的孤立点）。对于任给的正数 $\epsilon$，总存在相应的正数 $\delta$，只要 $P\in U(P_0;\delta )\cap D$，就有 $$|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$$ 则称 $f$ 关于集合 $D$ 在点 $P_0$ 连续。

🔍 深度理解

两种情况的讨论：

情况1：$P_0$ 是 $D$ 的孤立点

• 结论：$P_0$ 必定是 $f$ 关于 $D$ 的连续点
• 原因：存在 $\delta >0$ 使得 $U(P_0;\delta )\cap D=\{P_0\}$
• 意义：孤立点处的连续性是平凡的

情况2：$P_0$ 是 $D$ 的聚点

• 等价条件： $$f\text{ 在 }{P}_0\text{ 连续}⟺\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)=f(P_0)$$

三个要素：

1. 极限存在：${\lim }_{P\to P_0}f(P)$ 存在
2. 函数值有定义：$f(P_0)$ 有定义
3. 二者相等：极限值 = 函数值

2.1.2 增量形式的连续性

全增量：设 $\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=y-y_0$，则 $$\Delta f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

连续性的增量表述： $$f\text{ 在 }{P}_0(x_0,y_0)\text{ 连续}⟺\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\Delta f(x_0,y_0)=0$$

几何意义：当点 $(x,y)$ 趋于 $(x_0,y_0)$ 时，函数值的变化量趋于0。

2.2 偏增量与全增量：关键区别

2.2.1 偏增量的定义

对 $x$ 的偏增量： $${\Delta }_{x}f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$$

对 $y$ 的偏增量： $${\Delta }_{y}f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

2.2.2 重要关系

一般情况： $$\boxed{\Delta f\ne {\Delta }_{x}f+{\Delta }_{y}f}$$

特殊情况（可微函数，后续章节讨论）： 当 $f$ 在 $P_0$ 可微时， $$\Delta f={\Delta }_{x}f+{\Delta }_{y}f+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$$

2.2.3 连续性的传递关系

定理（单变量连续性）：

若 $f(x,y)$ 在内点 $(x_0,y_0)$ 连续，则：

1. $f(x,y_0)$ 作为 $x$ 的一元函数在 $x_0$ 连续
2. $f(x_0,y)$ 作为 $y$ 的一元函数在 $y_0$ 连续

证明： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y_0)=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

（路径：沿水平线 $y=y_0$ 趋近）

⚠️ 反向不成立！

反例：考虑函数 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$$

验证：

• 对 $x$ 的连续性：

  • 当 $y=0$ 时，$f(x,0)=0$（常函数，连续）
  • 所以 $f(x,y)$ 在原点对 $x$ 连续

• 对 $y$ 的连续性：

  • 当 $x=0$ 时，$f(0,y)=0$（常函数，连续）
  • 所以 $f(x,y)$ 在原点对 $y$ 连续

• 但在原点不连续：

  • 沿直线 $y=x$（$x\ne 0$）趋近，$f(x,x)=1\to 1$
  • 但 $f(0,0)=0$
  • 所以 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在

结论：分别连续 $\nRightarrow$ 连续

2.3 间断点的类型

定义：若 $P_0$ 是 $D$ 的聚点，而

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)\ne f(P_0)$$ （包括极限不存在或存在但不等于函数值），则称 $P_0$ 是 $f$ 的不连续点（或间断点）。

可去间断点：

若 ${\lim }_{P\to P_0}f(P)$ 存在但不等于 $f(P_0)$，则称 $P_0$ 为可去间断点。

处理方法：重新定义 $f(P_0)={\lim }_{P\to P_0}f(P)$，则 $f$ 在 $P_0$ 变为连续。

📌 例1：讨论函数 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{\alpha }{y}^{\beta }}{(x^2+y^2{)}^{\gamma /2}},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$ 在点 $(0,0)$ 的连续性（其中 $\alpha ,\beta ,\gamma >0$）。

解（教材中取 $\alpha =\beta =1$，$\gamma$ 为参数）：

用极坐标：$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$

$$f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\frac{r^{\alpha +\beta }(\cos \theta {)}^{\alpha }(\sin \theta {)}^{\beta }}{r^{\gamma }}=r^{\alpha +\beta -\gamma }(\cos \theta {)}^{\alpha }(\sin \theta {)}^{\beta }$$

判断：

• 当 $\alpha +\beta -\gamma >0$ 时： $$|f(r\cos \theta ,r\sin \theta )|\le r^{\alpha +\beta -\gamma }\to 0(r\to 0)$$ 所以 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，在原点连续

• 当 $\alpha +\beta -\gamma \le 0$ 时： 沿不同方向，极限值可能不同或不存在，在原点不连续

特例（教材例1）：$\alpha =\beta =1$，$\gamma =2$ $$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$

此时 $\alpha +\beta -\gamma =1+1-2=0$

沿 $y=mx$： $$f(x,mx)=\frac{m{x}^2}{x^2(1+m^2)}=\frac{m}{1+m^2}$$

极限依赖于 $m$，所以在原点不连续 ■

2.4 连续函数的局部性质

性质1：局部有界性

定理：若 $f$ 在点 $P_0$ 连续，则存在 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)$，使得 $f$ 在 $U(P_0)\cap D$ 上有界。

证明：取 $\epsilon =1$，由连续性，存在 $\delta >0$，当 $P\in U(P_0;\delta )\cap D$ 时， $$|f(P)-f(P_0)|<1$$

因此： $$|f(P)|\le |f(P_0)|+1$$

取 $M=|f(P_0)|+1$，则 $|f(P)|<M$ ■

性质2：局部保号性

定理：若 $f$ 在点 $P_0$ 连续，且 $f(P_0)>0$（或 $<0$），则存在 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)$，使得在该邻域内 $f(P)>0$（或 $<0$）。

证明：取 $\epsilon =\frac{f(P_0)}{2}>0$，由连续性，存在 $\delta >0$，当 $P\in U(P_0;\delta )\cap D$ 时， $$|f(P)-f(P_0)|<\frac{f(P_0)}{2}$$

因此： $$f(P)>f(P_0)-\frac{f(P_0)}{2}=\frac{f(P_0)}{2}>0$$ ■

性质3：四则运算

若 $f,g$ 在 $P_0$ 连续，则：

1. $f\pm g$ 在 $P_0$ 连续
2. $f\cdot g$ 在 $P_0$ 连续
3. 若 $g(P_0)\ne 0$，则 $\frac{f}{g}$ 在 $P_0$ 连续

证明：利用极限的四则运算法则。

2.5 复合函数的连续性

定理16.7（复合函数的连续性）

条件：

1. 函数 $u=\phi (x,y)$ 和 $v=\psi (x,y)$ 在 $xy$ 平面上点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，并在点 $P_0$ 连续
2. 函数 $f(u,v)$ 在 $uv$ 平面上点 $Q_0(u_0,v_0)$ 的某邻域内有定义，并在点 $Q_0$ 连续
3. $u_0=\phi (x_0,y_0)$，$v_0=\psi (x_0,y_0)$

结论：复合函数 $$g(x,y)=f(\phi (x,y),\psi (x,y))$$ 在点 $P_0$ 也连续。

证明：

由 $f$ 在点 $Q_0$ 连续，任给正数 $\epsilon$，存在相应正数 $\eta$，使得当 $$|u-u_0|<\eta ,|v-v_0|<\eta$$ 时，有 $$|f(u,v)-f(u_0,v_0)|<\epsilon \text{\hspace{1em}(1)}$$

又由 $\phi ,\psi$ 在点 $P_0$ 连续，对上述正数 $\eta$，总存在正数 $\delta$，使得当 $$|x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta$$ 时，都有 $$|u-u_0|=|\phi (x,y)-\phi (x_0,y_0)|<\eta$$ $$|v-v_0|=|\psi (x,y)-\psi (x_0,y_0)|<\eta$$

综合起来，当 $|x-x_0|<\delta$，$|y-y_0|<\delta$ 时，便有 $$|g(x,y)-g(x_0,y_0)|=|f(u,v)-f(u_0,v_0)|<\epsilon$$

所以复合函数 $f(\phi (x,y),\psi (x,y))$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 连续 ■

应用：

• 初等函数在其定义域内连续
• 例如：$f(x,y)=e^{x^2+y^2}$，$g(x,y)=\sin (xy)$ 等

🏗️ 三、有界闭域上连续函数的性质

3.1 定理16.8：有界性与最大、最小值定理

定理内容

定理16.8：若函数 $f$ 在有界闭域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续，则：

1. $f$ 在 $D$ 上有界
2. $f$ 在 $D$ 上能取得最大值与最小值

证明（有界性）

反证法：

假设 $f$ 在 $D$ 上无界。则对每个正整数 $n$，必存在点 $P_n\in D$，使得 $$|f(P_n)|>n,n=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3)}$$

于是得到一个有界点列 $\{P_n\}\subset D$，且总能使 $\{P_n\}$ 中有无穷多个不同的点。

由聚点定理（定理16.3），$\{P_n\}$ 存在收敛子列 $\{P_{n_k}\}$，设 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{n_k}=P_0$$

且因 $D$ 是闭域，从而 $P_0\in D$。

由于 $f$ 在 $D$ 上连续，当然在点 $P_0$ 也连续，因此有 $$\underset{k\to \infty }{\lim }f(P_{n_k})=f(P_0)$$

这说明数列 $\{f(P_{n_k})\}$ 收敛，特别地，它是有界的。

但这与不等式 (3) 相矛盾（因为 $|f(P_{n_k})|>n_k\to \infty$）。

所以 $f$ 是 $D$ 上的有界函数 ■

证明（最值存在性）

设 $$m=\inf f(D),M=\sup f(D)$$

证明最大值存在（最小值类似）：

假设 $f$ 不能在 $D$ 上达到上确界 $M$。则对任意 $P\in D$，都有 $M-f(P)>0$。

考察 $D$ 上的连续正值函数 $$F(P)=\frac{1}{M-f(P)}$$

由前面的证明知道，$F$ 在 $D$ 上有界。

又因 $f$ 不能在 $D$ 上达到上确界 $M$，所以存在收敛点列 $\{P_n\}\subset D$，使 $$\underset{n\to \infty }{\lim }f(P_n)=M$$

于是有 $$\underset{n\to \infty }{\lim }F(P_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{M-f(P_n)}=+\infty$$

这导致与 $F$ 在 $D$ 上有界的结论相矛盾。

从而证得 $f$ 在 $D$ 上能取得最大值 ■

几何意义

• 有界性：连续函数在有界闭域上的图像是"有界的曲面"
• 最值：这个曲面有"最高点"和"最低点"

3.2 定理16.9：一致连续性定理

定义：一致连续

函数 $f$ 在 $D$ 上一致连续，是指： $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall P,Q\in D,\rho (P,Q)<\delta \Rightarrow |f(P)-f(Q)|<\epsilon$$

关键：$\delta$ 只依赖于 $\epsilon$，不依赖于点 $P$ 或 $Q$。

定理16.9

定理内容：若函数 $f$ 在有界闭域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

证明（用聚点定理）

反证法：

假设 $f$ 在 $D$ 上连续而不一致连续。

则存在某 ${\epsilon }_0>0$，对于任意小的 $\delta >0$，例如 $\delta =\frac{1}{n}$（$n=1,2,\dots$），总有相应的 $P_n,Q_n\in D$，虽然 $$\rho (P_n,Q_n)<\frac{1}{n}$$

但是 $$|f(P_n)-f(Q_n)|\ge {\epsilon }_0\text{\hspace{1em}(4)}$$

由于 $D$ 为有界闭域，因此存在收敛子列 $\{P_{n_k}\}\subset \{P_n\}$，并设 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{n_k}=P_0\in D$$

为记号方便起见，再在 $\{Q_n\}$ 中取出与 $\{P_{n_k}\}$ 下标相同的子列 $\{Q_{n_k}\}$，则因 $$\rho (P_{n_k},Q_{n_k})<\frac{1}{n_k}\to 0(k\to \infty )$$

而有 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{Q}_{n_k}=\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{n_k}=P_0$$

最后，由 $f$ 在 $P_0$ 连续，得到 $$\underset{k\to \infty }{\lim }|f(P_{n_k})-f(Q_{n_k})|=|f(P_0)-f(P_0)|=0$$

这与不等式 (4)，即 $|f(P_{n_k})-f(Q_{n_k})|\ge {\epsilon }_0>0$ 相矛盾。

所以 $f$ 在 $D$ 上一致连续 ■

点态连续 vs 一致连续

反例（一致连续失败）： $$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2},D=\{(x,y)\mid 0<x^2+y^2<1\}$$

在 $(0,0)$ 附近，函数变化越来越剧烈，无法一致连续。

3.3 定理16.10：介值性定理

定理内容

定理16.10：设函数 $f$ 在区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续，若 $P_1,P_2$ 为 $D$ 中任意两点，且 $$f(P_1)<f(P_2)$$

则对任何满足不等式 $$f(P_1)<\mu <f(P_2)\text{\hspace{1em}(4)}$$ 的实数 $\mu$，必存在点 $P_0\in D$，使得 $$f(P_0)=\mu$$

证明思路

核心思想：将二元问题转化为一元问题

步骤：

1. 构造辅助函数： $$F(P)=f(P)-\mu ,P\in D$$

   易见 $F$ 仍在 $D$ 上连续，且由不等式 (4) 知道 $$F(P_1)<0,F(P_2)>0$$

2. 利用区域的连通性： 由于 $D$ 为区域，我们可以用 $D$ 中的有限折线连接 $P_1$ 和 $P_2$。

3. 寻找异号线段：

   • 若有某一个联结点所对应的函数值为0，则定理已得证
   • 否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，$F$ 在它两端的函数值异号

4. 应用一元函数根的存在定理： 不失一般性，设联结 $P_1^{\prime }(x_1,y_1)$，$P_2^{\prime }(x_2,y_2)$ 的直线段含于 $D$，其参数方程为 $$\{\begin{array}{l}x=x_1+t(x_2-x_1)\\ y=y_1+t(y_2-y_1)\end{array},0\le t\le 1$$

   在此直线段上，$F$ 表示为关于 $t$ 的复合函数 $$G(t)=F(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1)),0\le t\le 1$$

   它是 $[0,1]$ 上的一元连续函数，且 $$F(P_1^{\prime })=G(0)<0<G(1)=F(P_2^{\prime })$$

   由一元函数根的存在定理，在 $(0,1)$ 内存在一点 $t_0$，使得 $G(t_0)=0$。

5. 确定中间点： 记 $$x_0=x_1+t_0(x_2-x_1),y_0=y_1+t_0(y_2-y_1)$$

   则有 $P_0(x_0,y_0)\in D$，使得 $$F(P_0)=G(t_0)=0$$

   即 $$f(P_0)=\mu$$

   ■

关键条件分析

为什么要求 $D$ 是区域？

• 连通性：保证任意两点可用有限折线连接
• 一般开集或闭集：可能由多个不连通的部分组成

反例： $$D=\{(x,y)\mid (x-1{)}^2+y^2<1\}\cup \{(x,y)\mid (x+1{)}^2+y^2<1\}$$

这是两个不相交的圆盘。若 $P_1$ 在左圆盘，$P_2$ 在右圆盘，则无法用 $D$ 中的连续路径连接它们。

推论

推论：若 $f$ 为区域 $D$ 上的连续函数，则 $f(D)$ 必定是一个区间（有限或无限）。

证明：任取 ${\mu }_1,{\mu }_2\in f(D)$，${\mu }_1<{\mu }_2$，由介值性定理，对任何 ${\mu }_1<\mu <{\mu }_2$，都有 $\mu \in f(D)$。所以 $f(D)$ 是区间 ■

🎯 四、典型例题与应用

4.1 连续性的判定

例题1：讨论函数

$$f(x,y)=\tan (x^2+y^2)$$ 的连续性。

解：

• $u=x^2+y^2$ 是多项式，在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续
• $v=\tan u$ 在 $u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）时连续
• 由复合函数连续性定理，$f$ 在 $$D=\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$$ 上连续 ■

例题2：讨论函数

$$f(x,y)=[x+y]$$ （取整函数）的连续性。

解：

• $f$ 在 $x+y\ne n$（$n\in \mathbb{Z}$）的点连续
• 在直线 $x+y=n$ 上的点不连续（跳跃间断点）

验证：在点 $(1,0)$（满足 $x+y=1$）：

• 从下方趋近（$x+y<1$）：$\lim f(x,y)=0$
• 从上方趋近（$x+y>1$）：$\lim f(x,y)=1$
• $f(1,0)=1$

极限不存在，所以不连续 ■

例题3：讨论函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (xy)}{y},& y\ne 0\\ 0,& y=0\end{array}$$ 的连续性。

解：

当 $y\ne 0$ 时： $$f(x,y)=\frac{\sin (xy)}{y}=x\cdot \frac{\sin (xy)}{xy}$$

由 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$，当 $xy\to 0$ 时，$\frac{\sin (xy)}{xy}\to 1$

所以 $f$ 在 $y\ne 0$ 的点连续。

当 $y=0$ 时： $$\underset{(x,y)\to (x_0,0)}{\lim }f(x,y)=\underset{(x,y)\to (x_0,0)}{\lim }x\cdot \frac{\sin (xy)}{xy}$$

固定 $x=x_0$，让 $y\to 0$： $$\underset{y\to 0}{\lim }{x}_0\cdot \frac{\sin (x_{0}y)}{x_{0}y}=x_0\cdot 1=x_0$$

但 $f(x_0,0)=0\ne x_0$（当 $x_0\ne 0$）

所以 $f$ 在 $y$轴上（除原点外）不连续。

在原点： $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }x\cdot \frac{\sin (xy)}{xy}=0=f(0,0)$$

所以 $f$ 在原点连续 ■

修正：若定义为 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (xy)}{y},& y\ne 0\\ x,& y=0\end{array}$$

则 $f$ 在整个平面上连续。

4.2 最值问题

例题4：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$ 在闭域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9\}$ 上的最大值和最小值。

解：

步骤1：$f$ 在闭域 $D$ 上连续，由定理16.8，$f$ 在 $D$ 上有最大值和最小值。

步骤2：配方 $$f(x,y)=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$$

步骤3：几何分析

• $f(x,y)$ 表示点 $(x,y)$ 到点 $(1,2)$ 的距离的平方
• 在 $D$：$x^2+y^2\le 9$（圆心在原点，半径为3的圆盘）

步骤4：求极值

• 最小值：$(1,2)\in D$（因为 $1^2+2^2=5<9$），所以 $$\min f=f(1,2)=0$$

• 最大值：在边界上，即 $x^2+y^2=9$

  点 $(1,2)$ 到圆 $x^2+y^2=9$ 上最远的点在射线 $(1,2)$ 延长线与圆的交点

  方向：$(1,2)$，单位化：$\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

  最远点：$\left(3\cdot \frac{1}{\sqrt{5}},3\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}}\right)$

  距离：$\sqrt{(1-\frac{3}{\sqrt{5}}{)}^2+(2-\frac{6}{\sqrt{5}}{)}^2}=\sqrt{5}+3$

  $$\max f=(\sqrt{5}+3{)}^2=5+6\sqrt{5}+9=14+6\sqrt{5}$$

答案：

• 最小值：$0$（在点 $(1,2)$）
• 最大值：$14+6\sqrt{5}$（在边界上） ■

4.3 介值性定理的应用

例题5：证明方程

$$x^3+y^3+z^3=xyz+1$$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ 上对任意给定的 $x,y>0$，都有唯一解 $z=z(x,y)$。

证明（存在性）：

固定 $x,y>0$，考虑关于 $z$ 的函数 $$g(z)=x^3+y^3+z^3-xyz-1$$

这是 $z$ 的连续函数。

判断：

• 当 $z\to +\infty$ 时，$g(z)\to +\infty$
• 当 $z\to -\infty$ 时，$g(z)\to -\infty$

由一元函数的介值性定理，存在 $z_0\in \mathbb{R}$ 使得 $g(z_0)=0$。

唯一性： $$g^{\prime }(z)=3z^2-xy$$

当 $z^2>\frac{xy}{3}$ 时，$g^{\prime }(z)>0$，$g$ 严格递增，所以至多有一个零点 ■

📊 五、一元与多元连续性的对比

5.1 概念对比

5.2 完备性定理的作用

一元函数：

• 区间套定理
• 聚点定理
• 有限覆盖定理

二元函数：

• 闭域套定理
• 聚点定理（定理16.3）
• 有限覆盖定理

统一框架：所有整体性质的证明都依赖于完备性

5.3 定理推广的一般模式

一元函数（区间[a,b]）
        ↓
    抽象化
        ↓
    紧集理论
        ↓
    特化
        ↓
多元函数（有界闭域D）

紧致性是关键：在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，有界闭集 = 紧集

⚠️ 六、常见误区与陷阱

误区1：分别连续 ⇒ 连续

✗ 错误想法：如果 $f(x,y)$ 对 $x$ 和对 $y$ 分别连续，那么 $f$ 就连续。

反例： $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$$

正确认识：分别连续是必要条件，但不是充分条件。

误区2：最值一定在内部

✗ 错误想法：连续函数的最值总是在定义域内部取得。

正确：最值可能在边界上取得（见例题4）。

误区3：区域 = 有界闭域

✗ 错误：混淆"区域"和"有界闭域"的概念。

正确区分：

• 区域：非空连通开集（或其闭包，或开域+部分边界）
• 有界闭域：有界的闭区域

例子：

• ${\mathbb{R}}^2$ 是区域，但不是有界闭域
• 介值性定理只要求区域（连通性），不要求有界闭

误区4：一致连续 = 处处连续

✗ 错误：认为"一致连续"就是"在每一点都连续"。

正确：

• 一致连续 $\Rightarrow$ 处处连续（真）
• 处处连续 $\nRightarrow$ 一致连续（在有界闭域上才成立）

误区5：介值性定理适用于任何闭集

✗ 错误：认为介值性定理对任何闭集都成立。

正确：必须是连通的（区域），一般闭集可能不连通。

🛤️ 七、学习路径与策略指南

7.1 学习层次

Level 1: 基础概念
    ├─ 连续性的ε-δ定义
    ├─ 增量形式的连续性
    ├─ 间断点的类型
    └─ 简单函数的连续性判定

Level 2: 局部性质
    ├─ 局部有界性
    ├─ 局部保号性
    ├─ 四则运算法则
    └─ 复合函数的连续性

Level 3: 整体性质
    ├─ 有界性与最值定理
    ├─ 一致连续性定理
    ├─ 介值性定理
    └─ 三大定理的证明思路

Level 4: 综合应用
    ├─ 最值问题的求解
    ├─ 方程根的存在性证明
    ├─ 连续函数的构造
    └─ 与微分学的联系

7.2 学习策略

策略1：从一元到多元的类比

方法：

1. 回顾一元函数连续性的所有内容
2. 识别哪些性质可以推广
3. 理解多元情况的特殊性

策略2：重视反例

关键反例记忆：

1. 分别连续但不连续：$f=1(xy\ne 0),0(xy=0)$
2. 连续但不一致连续：$f=\frac{1}{x^2+y^2}$（非闭域）
3. 介值性定理不适用：不连通集合

策略3：几何直观优先

工具：

• 画出函数图像（曲面）
• 标记连续点和间断点
• 理解极限的"全方位趋近"

策略4：掌握证明技巧

三大定理的证明方法：

1. 有界性与最值：反证法 + 聚点定理
2. 一致连续性：反证法 + 聚点定理 + 取子列
3. 介值性：连通性 + 一元函数介值性定理

7.3 练习建议

基础练习：

1. 判断给定函数的连续性
2. 求函数的连续域
3. 判断间断点的类型

提高练习：

1. 证明复合函数的连续性
2. 求闭域上函数的最值
3. 应用介值性定理证明方程根的存在性

综合练习：

1. 构造满足特定条件的连续函数
2. 证明一致连续性
3. 连续性与可微性的关系

7.4 常见题型总结

题型1：连续性判定

方法：

• 初等函数在定义域内连续
• 分段函数在分界线上用定义验证
• 复合函数用定理16.7

题型2：求最值

步骤：

1. 验证在有界闭域上连续
2. 求内部驻点（后续章节）
3. 求边界上的最值
4. 比较所有候选点

题型3：根的存在性

步骤：

1. 验证函数连续
2. 找两点使函数值异号
3. 应用介值性定理

📖 八、补充知识与拓展

8.1 n元函数的连续性

定义：设 $f:D\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$，$P_0\in D$，若 $$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=f(P_0)$$ 则称 $f$ 在 $P_0$ 连续。

所有定理都推广到 $n$ 元情况。

8.2 向量值函数的连续性

定义：设 $\mathbf{f}:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$， $$\mathbf{f}(P)=(f_1(P),f_2(P),\dots ,f_m(P))$$

定理：$\mathbf{f}$ 在 $P_0$ 连续 $⟺$ 每个分量 $f_i$ 在 $P_0$ 连续

8.3 拓扑空间中的连续性

拓扑定义：设 $(X,{\mathcal{T}}_X)$，$(Y,{\mathcal{T}}_Y)$ 为拓扑空间，映射 $f:X\to Y$ 连续，是指：

对任何 $Y$ 中的开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集。

等价性：在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，这与 $\epsilon$-$\delta$ 定义等价。

8.4 紧致性理论

定义：拓扑空间 $X$ 是紧致的，若 $X$ 的任何开覆盖都有有限子覆盖。

定理（Heine-Borel）：在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，紧致 $⟺$ 有界闭集

应用：所有整体性质（有界性、最值、一致连续）都源于紧致性。

8.5 连续映射的性质

定理1（紧集的连续像）：若 $f:K\to Y$ 连续，$K$ 紧致，则 $f(K)$ 紧致。

定理2（连通集的连续像）：若 $f:X\to Y$ 连续，$X$ 连通，则 $f(X)$ 连通。

意义：这是介值性定理和有界性定理的拓扑本质。

🎓 九、总结与展望

9.1 本节核心

1. 连续性定义：${\lim }_{P\to P_0}f(P)=f(P_0)$
2. 局部性质：与一元函数完全相同
3. 整体性质（有界闭域上）：
   • 有界性与最值定理
   • 一致连续性定理
   • 介值性定理（区域上）
4. 分别连续不能保证连续
5. 完备性定理是所有证明的基础

9.2 知识网络

§1 平面点集 ──→ §2 二元函数极限 ──→ §3 连续性
                                          
---

## 🎓 **九、总结与展望**（续）

### **9.2 知识网络**

§1 平面点集 ──→ §2 二元函数极限 ──→ §3 连续性 ↓ ↓ ↓ 聚点定理 重极限vs累次极限 整体性质定理 闭域套定理 ε-δ定义 ↓ ↓ ↓ 有界性、最值、介值性 完备性理论 ←──────┴──────────→ 一致连续性 ↓ 第十七章：偏导数 ↓ 第十八章：极值理论 ↓ 第十九章：重积分

---

### **9.3 与后续章节的联系**

#### **第十七章：偏导数与全微分**

**连续性的作用**：
1. **连续是可微的必要条件**（但不充分）
2. **偏导数存在性**需要在某方向上的连续性
3. **全微分存在** ⟹ 连续（但连续 ⇏ 可微）

**关键定理预告**：
- 若 $f$ 的偏导数存在且连续，则 $f$ 可微
- 可微函数必连续

---

#### **第十八章：隐函数与条件极值**

**连续性的作用**：
1. **隐函数存在定理**需要连续性假设
2. **极值点**必定是连续点
3. **拉格朗日乘数法**基于连续函数理论

**典型问题**：
- 在有界闭域上求最值（结合介值性定理）
- 条件极值问题的求解

---

#### **第十九章：重积分**

**连续性的作用**：
1. **黎曼可积的充分条件**：有界闭域上的连续函数必可积
2. **积分的连续性**：积分上限函数的连续性
3. **累次积分**与连续性的关系

---

### **9.4 思想方法总结**

#### **核心思想**：

1. **完备性思想**
   - 有界闭域的完备性 ⟹ 聚点定理
   - 聚点定理 ⟹ 所有整体性质

2. **归约思想**
   - 多元问题 ⟹ 一元问题（介值性定理的证明）
   - 连续性 ⟹ 数列收敛性（聚点定理的应用）

3. **反证法**
   - 有界性证明
   - 最值存在性证明
   - 一致连续性证明

4. **构造思想**
   - 构造辅助函数（$F = \frac{1}{M-f}$）
   - 构造点列证明矛盾

---

#### **数学方法**：

1. **ε-δ语言**：精确刻画连续性
2. **聚点定理**：有界点列必有收敛子列
3. **反证法**：假设结论不成立导出矛盾
4. **几何直观**：理解连续函数的图像性质

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## 📚 **十、习题精选与详解**

### **10.1 基础题**

#### **习题1**：讨论下列函数的连续性

**(1)** $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

**解**：

**当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时**：$f$ 是初等函数的商（分母不为0），故连续。

**在原点**：用极坐标 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$

$$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2} = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta$$

**关键**：当 $r \to 0$ 时，$f$ 的值依赖于 $\theta$

例如：
- 沿 $x$ 轴（$\theta = 0$）：$f \to \cos 0 = 1$
- 沿 $y$ 轴（$\theta = \frac{\pi}{2}$）：$f \to \cos\pi = -1$

**结论**：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 不存在，所以 $f$ 在原点**不连续** ■

---

**(2)** $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

**解**：

**当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时**：连续。

**在原点**：沿不同路径测试

- **沿 $y = 0$**：$f(x, 0) = 0 \to 0$ ✓
- **沿 $x = 0$**：$f(0, y) = 0 \to 0$ ✓
- **沿 $y = mx$**：
  $$f(x, mx) = \frac{x \cdot m^2x^2}{x^2 + m^4x^4} = \frac{m^2x^3}{x^2(1 + m^4x^2)} = \frac{m^2x}{1 + m^4x^2} \to 0$$ ✓

- **沿 $y^2 = x$**（即 $y = \sqrt{x}$，$x > 0$）：
  $$f(x, \sqrt{x}) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$$

**结论**：沿直线趋近极限为0，但沿抛物线 $y^2 = x$ 趋近极限为 $\frac{1}{2}$，所以在原点**不连续** ■

---

**(3)** $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

**解**：

**在原点**：用极坐标
$$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}{r^2} = r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)$$

因为 $|\cos^3\theta + \sin^3\theta| \leq 2$，所以
$$|f(r\cos\theta, r\sin\theta)| \leq 2r \to 0 \quad (r \to 0)$$

**结论**：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$，在原点**连续** ■

---

#### **习题2**：证明函数
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$
在原点对 $x$ 和对 $y$ 分别连续，但在原点不连续。

**证明**：

**对 $x$ 的连续性**：
固定 $y = 0$，$f(x, 0) = 0$（恒为0），显然连续。

**对 $y$ 的连续性**：
固定 $x = 0$，$f(0, y) = 0$（恒为0），显然连续。

**在原点的连续性**：
沿 $y = x$ 趋近：
$$f(x, x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \neq 0 = f(0,0)$$

**结论**：在原点不连续 ■

**意义**：这是"分别连续不能保证连续"的经典反例。

---

### **10.2 提高题**

#### **习题3**：设 $f(x,y)$ 在有界闭域 $D$ 上连续，且 $f > 0$。证明：存在正数 $m$，使得对所有 $(x,y) \in D$，有 $f(x,y) \geq m$。

**证明**：

由定理16.8，$f$ 在 $D$ 上能取得最小值，设为
$$m = \min_{(x,y) \in D} f(x,y)$$

因为 $f > 0$，所以存在 $(x_0, y_0) \in D$ 使得 $f(x_0, y_0) = m > 0$。

对所有 $(x,y) \in D$，由最小值定义，有
$$f(x,y) \geq m > 0$$
■

**几何意义**：连续正值函数在有界闭域上有正的下界（不仅仅是非负）。

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#### **习题4**：设 $f(x,y)$ 在有界闭域 $D$ 上连续，且在 $D$ 的内部恒为正，在边界上恒为负。证明：存在点 $(x_0, y_0) \in D$ 使得 $f(x_0, y_0) = 0$。

**证明**：

设 $D$ 的内部为 $D^\circ$，边界为 $\partial D$。

**取点**：
- 取 $P_1 \in D^\circ$，则 $f(P_1) > 0$
- 取 $P_2 \in \partial D$，则 $f(P_2) < 0$

**应用介值性定理**：

若能用 $D$ 中的连续路径连接 $P_1$ 和 $P_2$，则由介值性定理（或一元函数介值性），存在该路径上的点 $P_0$ 使得 $f(P_0) = 0$。

**关键**：需要 $D$ 是区域（连通的）。

若 $D$ 不连通，结论可能不成立。

**假设 $D$ 是区域**，则结论成立 ■

---

#### **习题5**：设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续。证明：若对任何 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in D$，都有
$$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2)}{2}$$
（凹函数的定义），则 $f$ 在 $D$ 上的最大值必在边界上取得（若 $D$ 有界）。

**证明思路**（非严格）：

假设最大值在内点 $P_0$ 取得。取 $P_0$ 附近任意两点 $P_1, P_2$，由凹函数性质，
$$f(P_0) \leq \frac{f(P_1) + f(P_2)}{2}$$

但 $f(P_0)$ 是最大值，所以 $f(P_1) = f(P_2) = f(P_0)$。

由连通性，可推出 $f$ 在 $D$ 上恒为常数，矛盾（除非 $f$ 恒为常数）■

---

### **10.3 综合题**

#### **习题6**：设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续，且满足
$$|f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2)| \leq L\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$$
对所有 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in D$ 成立（Lipschitz条件，$L > 0$ 是常数）。证明：$f$ 在 $D$ 上一致连续。

**证明**：

对任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{L}$。

当 $\rho(P_1, P_2) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} < \delta$ 时，由Lipschitz条件，
$$|f(P_1) - f(P_2)| \leq L \rho(P_1, P_2) < L \delta = L \cdot \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon$$

所以 $f$ 一致连续 ■

**意义**：Lipschitz条件比一致连续更强（有"速度"限制）。

---

#### **习题7**（重要）：设 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续，且
$$\lim_{x^2+y^2 \to \infty} f(x,y) = 0$$
证明：$f$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有界，且能取得最大值和最小值。

**证明**：

**步骤1**：由极限条件，存在 $R > 0$，当 $x^2 + y^2 > R^2$ 时，
$$|f(x,y)| < 1$$

**步骤2**：在闭域 $D_R = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq R^2\}$ 上，$f$ 连续，由定理16.8，$f$ 在 $D_R$ 上有界且取得最值。

设在 $D_R$ 上，$|f(x,y)| \leq M_R$。

**步骤3**：对任意 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$：
- 若 $(x,y) \in D_R$，则 $|f(x,y)| \leq M_R$
- 若 $(x,y) \notin D_R$，则 $|f(x,y)| < 1$

所以 $|f(x,y)| \leq \max\{M_R, 1\}$，$f$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有界。

**步骤4**：设 $M = \sup_{\mathbb{R}^2} f$。由上确界定义，存在点列 $\{P_n\}$ 使得 $f(P_n) \to M$。

- 若 $\{P_n\}$ 有界，则有收敛子列 $P_{n_k} \to P_0$，由连续性，$f(P_0) = M$。
- 若 $\{P_n\}$ 无界，则 $\rho(P_n, O) \to \infty$，由极限条件，$f(P_n) \to 0$，所以 $M = 0$。
  
  但 $D_R$ 上存在点使 $f$ 取到 $D_R$ 上的最大值，这个值也是整个 $\mathbb{R}^2$ 上的最大值。

**结论**：$f$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上取得最大值和最小值 ■

**意义**：这是紧致性的推广（$\mathbb{R}^2$ 不紧，但通过"无穷远处趋于0"实现了"紧化"）。

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## 📊 **十一、连续性理论的深层结构**

### **11.1 拓扑学视角**

#### **连续映射的本质**

**拓扑定义**：映射 $f: X \to Y$ 连续 $\Longleftrightarrow$ 开集的原像是开集

**等价性**（在度量空间中）：
$$f \text{ 在 } P_0 \text{ 连续} \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: f(U(P_0;\delta)) \subset U(f(P_0);\varepsilon)$$

**几何意义**：连续映射保持"接近性"——邻近的点映到邻近的点。

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#### **紧致性与连续性的关系**

**定理**（紧集的连续像）：若 $K$ 紧致，$f: K \to Y$ 连续，则 $f(K)$ 紧致。

**应用**：
- $K = [a,b] \times [c,d]$（紧）⟹ $f(K)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的紧集（有界闭集）⟹ 有界性与最值定理
- $K$ 连通 ⟹ $f(K)$ 连通 ⟹ $f(K)$ 是区间 ⟹ 介值性定理

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### **11.2 函数空间理论**

#### **连续函数空间 $C(D)$**

**定义**：$C(D) = \{f: D \to \mathbb{R} \mid f \text{ 在 } D \text{ 上连续}\}$

**结构**：
- $C(D)$ 是**线性空间**（对加法和数乘封闭）
- $C(D)$ 是**代数**（对乘法封闭）
- $C(D)$ 可赋予**范数**：$\|f\| = \sup_{P \in D} |f(P)|$（当 $D$ 有界闭时）

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#### **Stone-Weierstrass定理**

**定理**：$C([a,b] \times [c,d])$ 中的任何函数都可以用**多项式**一致逼近。

**意义**：多项式在连续函数空间中"稠密"。

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### **11.3 连续性的等价刻画**

**定理**：以下条件等价：

1. $f$ 在 $P_0$ 连续
2. $\lim_{P \to P_0} f(P) = f(P_0)$（极限定义）
3. 对任何包含 $f(P_0)$ 的开集 $V$，存在包含 $P_0$ 的开集 $U$ 使得 $f(U) \subset V$（拓扑定义）
4. 对任何 $f(P_0)$ 的邻域 $V$，$f^{-1}(V)$ 包含 $P_0$ 的某个邻域（原像定义）
5. 对 $D$ 中任何收敛于 $P_0$ 的点列 $\{P_n\}$，都有 $\{f(P_n)\} \to f(P_0)$（点列定义）

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## 🔬 **十二、连续性理论的应用实例**

### **12.1 几何应用**

#### **例1：球面上的最值**

**问题**：求函数 $f(x,y,z) = x + 2y + 3z$ 在球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上的最大值和最小值。

**解法1**（直接法）：

球面是有界闭集，$f$ 在球面上连续，由定理16.8，$f$ 在球面上取得最大值和最小值。

用拉格朗日乘数法（后续章节）或几何方法：

**几何意义**：$f(x,y,z) = c$ 表示平面族，求与球面相切的平面。

**答案**：
- 法向量 $(1, 2, 3)$，单位化：$\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)$
- 最大值：$f\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right) = \sqrt{14}$
- 最小值：$-\sqrt{14}$ ■

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#### **例2：距离函数的连续性**

**问题**：证明距离函数 $d(P) = \rho(P, Q_0)$（到定点 $Q_0$ 的距离）在 $\mathbb{R}^2$ 上连续。

**证明**：

对任意 $P_1, P_2 \in \mathbb{R}^2$，由三角不等式，
$$|d(P_1) - d(P_2)| = |\rho(P_1, Q_0) - \rho(P_2, Q_0)| \leq \rho(P_1, P_2)$$

这是Lipschitz条件（$L = 1$），所以 $d$ 一致连续 ■

**推广**：到闭集的距离函数也连续。

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### **12.2 优化问题**

#### **例3：最小二乘法**

**问题**：给定数据点 $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$，求最佳拟合直线 $y = ax + b$，使得误差平方和
$$E(a, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b)^2$$
最小。

**解法**：

$E(a,b)$ 是 $(a,b)$ 的连续函数（多项式）。

在有界闭域上（例如 $|a| \leq M$，$|b| \leq M$），$E$ 取得最小值。

求偏导数（后续章节）：
$$\frac{\partial E}{\partial a} = 0, \quad \frac{\partial E}{\partial b} = 0$$

解得正规方程 ■

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### **12.3 物理应用**

#### **例4：温度分布**

**问题**：设 $T(x,y)$ 表示平面上点 $(x,y)$ 的温度。若 $T$ 在有界闭域 $D$ 上连续，证明：存在"最热点"和"最冷点"。

**证明**：

由定理16.8，$T$ 在 $D$ 上取得最大值（最热点）和最小值（最冷点）■

**物理意义**：在热平衡状态下，有界闭域内必有温度极值点。

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#### **例5：介质中的波传播**

**问题**：波速 $v(x,y)$ 是位置的连续函数。若 $v$ 在区域 $D$ 上连续，且在 $D$ 的两点 $P_1, P_2$ 处满足 $v(P_1) < v_0 < v(P_2)$，证明：存在点 $P_0 \in D$ 使得 $v(P_0) = v_0$。

**证明**：

由介值性定理（定理16.10），存在 $P_0 \in D$ 使得 $v(P_0) = v_0$ ■

**物理意义**：波速连续变化时，必经过所有中间值。

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## 🎯 **十三、学习检查清单（扩展版）**

### **✅ 概念理解**
- [ ] 理解连续性的ε-δ定义
- [ ] 区分孤立点和聚点的连续性
- [ ] 理解增量形式的连续性
- [ ] 掌握间断点的分类
- [ ] 理解偏增量与全增量的区别
- [ ] 知道分别连续不能保证连续

### **✅ 局部性质**
- [ ] 会证明局部有界性
- [ ] 会证明局部保号性
- [ ] 掌握四则运算法则
- [ ] 理解复合函数的连续性定理
- [ ] 能判断初等函数的连续域

### **✅ 整体性质**
- [ ] 理解有界性与最值定理的内容
- [ ] 能用反证法证明有界性
- [ ] 理解最值存在性的证明
- [ ] 区分一致连续与点态连续
- [ ] 理解一致连续性定理的证明
- [ ] 掌握介值性定理的条件（区域）
- [ ] 理解介值性定理的证明思路

### **✅ 方法技能**
- [ ] 会判断分段函数的连续性
- [ ] 能用极坐标判断原点处的连续性
- [ ] 会求闭域上函数的最值
- [ ] 能应用介值性定理证明方程根的存在性
- [ ] 会构造反例说明概念

### **✅ 综合能力**
- [ ] 能分析连续性与其他性质的关系
- [ ] 理解完备性定理在证明中的作用
- [ ] 能用拓扑语言理解连续性
- [ ] 理解紧致性在整体性质中的核心地位
- [ ] 能将连续性理论应用于实际问题

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## 📚 **十四、进阶阅读与参考文献**

### **14.1 经典教材**

1. **华东师大《数学分析》**（第5版）
   - 本知识体系的主要来源
   - 适合系统学习

2. **Walter Rudin《数学分析原理》**
   - 更抽象，强调拓扑结构
   - 适合理论深化

3. **Tom M. Apostol《数学分析》**
   - 几何直观与严格证明并重
   - 适合拓展视野

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### **14.2 拓展主题**

1. **拓扑空间中的连续性**
   - 一般拓扑学教材
   - 理解连续性的本质

2. **函数空间理论**
   - 泛函分析入门
   - $C(D)$ 的完备化

3. **微分拓扑**
   - 光滑流形上的连续映射
   - 与微分几何的联系

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### **14.3 应用领域**

1. **数值分析**
   - 连续函数的多项式逼近
   - 插值理论

2. **偏微分方程**
   - 解的连续性
   - 边值问题

3. **最优化理论**
   - 连续优化问题
   - 凸分析

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## 🔮 **十五、从连续性到可微性的过渡**

### **15.1 连续性的局限**

**连续函数不一定可微**：

**例**：$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在原点连续但不可微

**原因**：在原点处图像有"尖点"，无切平面

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### **15.2 可微性的引入**

**一元函数**：
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

**二元函数**：需要推广到"所有方向"

**全微分**（第十七章）：
$$\Delta f = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$$

其中 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$

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### **15.3 连续、可微、偏导数的关系**

可微 ⟹ 连续 ⇅ 偏导数存在

连续 ⇏ 可微 偏导数存在 ⇏ 可微 偏导数连续 ⟹ 可微

**下一章重点**：
1. 偏导数的定义
2. 全微分的概念
3. 可微的充分条件

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## 🎊 **结语：连续性理论的意义**

### **数学意义**

1. **分析学基础**
   - 连续性是极限理论的核心应用
   - 为微分学、积分学铺路

2. **拓扑学起源**
   - 连续映射的研究催生了拓扑学
   - 连接几何与分析

3. **完备性理论**
   - 所有整体性质源于完备性
   - 实数系统的威力体现

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### **应用意义**

1. **科学建模**
   - 物理量通常连续变化
   - 连续性假设简化问题

2. **数值计算**
   - 连续函数可逼近
   - 最优化算法基础

3. **工程设计**
   - 约束优化问题
   - 稳定性分析

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### **学习启示**

1. **从直观到严格**
   - 几何直观 ⟹ ε-δ定义
   - 特例 ⟹ 一般理论

2. **从一元到多元**
   - 类比是强大的工具
   - 注意维度提升的本质变化

3. **从局部到整体**
   - 局部性质（逐点）
   - 整体性质（紧致性）

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## 📐 **附录：完整定理索引**

### **定义**
- **定义1**：二元函数的连续性（ε-δ定义）
- **定义2**：增量形式的连续性
- **定义3**：间断点
- **定义4**：一致连续性

### **定理**
- **定理16.7**：复合函数的连续性
- **定理16.8**：有界闭域上连续函数的有界性与最值定理
- **定理16.9**：一致连续性定理
- **定理16.10**：介值性定理

### **推论**
- **推论1**（定理16.10）：连续函数将区域映为区间

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## 🗺️ **完整知识导图（文字版总结）**

二元函数的连续性 │ ├── 基本定义 │ ├── ε-δ定义 │ ├── 增量形式 │ └── 间断点 │ ├── 局部性质 │ ├── 局部有界性 │ ├── 局部保号性 │ ├── 四则运算 │ └── 复合函数连续性（定理16.7） │ ├── 整体性质（有界闭域上） │ ├── 有界性与最值定理（定理16.8） │ │ ├── 证明：反证法+聚点定理 │ │ └── 应用：最值问题 │ │ │ ├── 一致连续性定理（定理16.9） │ │ ├── 证明：反证法+聚点定理+子列 │ │ └── 与点态连续的区别 │ │ │ └── 介值性定理（定理16.10） │ ├── 条件：区域上连续 │ ├── 证明：连通性+一元介值性 │ └── 应用：方程根的存在性 │ ├── 特殊性质 │ ├── 分别连续 ⇏ 连续 │ ├── 偏增量 ≠ 全增量 │ └── 反例的构造 │ └── 应用与拓展 ├── 几何应用 ├── 优化问题 ├── 物理应用 └── 与可微性的联系

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## 💡 **最后的思考题**

1. **思考题1**：能否构造一个函数，在每一点都不连续，但在每条直线上都连续？

   **提示**：考虑 $f(x,y) = \begin{cases} 1, & x, y \text{ 都是有理数} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

2. **思考题2**：若 $f$ 在有界闭域 $D$ 上一致连续，$\{P_n\} \subset D$ 是Cauchy列，$\{f(P_n)\}$ 是否也是Cauchy列？

   **答案**：是。这是一致连续性的等价刻画之一。

3. **思考题3**：介值性定理对"有界闭域"是否成立？

   **答案**：不一定。必须要求连通性（区域）。闭域可能不连通。

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**完整知识体系构建完毕！**

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- ✅ 完整的定义与定理体系
- ✅ 深入的证明与解析
- ✅ 丰富的例题与应用
- ✅ 系统的对比与拓展
- ✅ 详细的学习指南

**适用场景**：
- 📖 教材补充阅读
- 📝 考试复习资料
- 👨‍🏫 教学讲义
- 🔬 研究参考

祝学习顺利！🎓