第七章实数的完备性：完整知识体系

Chapter 7: Completeness of Real Numbers - Complete Knowledge System

知识体系导读 | System Overview
实数的完备性是数学分析的理论基石，它揭示了实数系区别于有理数系的本质特征——"没有空隙"。本章系统构建实数完备性的完整理论框架，从六个等价的基本定理出发，形成一个相互支撑、逻辑严密的理论体系。这些定理不仅是纯理论的数学命题，更是解决连续性、极限、收敛性等实际问题的强大工具，为整个数学分析大厦提供坚实的地基。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

实数完备性理论体系 (Completeness of Real Numbers)
│
├─── 核心概念层 (Core Concepts)
│    ├─ 完备性的含义
│    │  ├─ 几何直观：数轴"没有空隙"
│    │  ├─ 代数特征：每个柯西列都收敛
│    │  └─ 拓扑性质：有界无限集有聚点
│    │
│    └─ 有理数的不完备性
│       ├─ 反例：√2 不在有理数集
│       ├─ 柯西列可能不收敛
│       └─ 确界可能不存在
│
├─── 六大基本定理 ★核心★ (Six Fundamental Theorems)
│    │
│    ├─ 定理1：确界原理 (Supremum/Infimum Principle)
│    │  ├─ 非空有上界集必有上确界
│    │  ├─ 非空有下界集必有下确界
│    │  ├─ 地位：实数系公理之一
│    │  └─ 应用：定义极限、积分
│    │
│    ├─ 定理2：单调有界定理 (Monotone Convergence Theorem)
│    │  ├─ 单调递增有上界 ⟹ 收敛
│    │  ├─ 单调递减有下界 ⟹ 收敛
│    │  ├─ 极限即为确界
│    │  └─ 应用：构造极限、定义e和π
│    │
│    ├─ 定理3：区间套定理 ★重要★ (Nested Interval Theorem)
│    │  ├─ 条件1：闭区间套
│    │  ├─ 条件2：区间长度趋于0
│    │  ├─ 结论：存在唯一公共点
│    │  ├─ 推论：区间套收敛性
│    │  └─ 应用：根的存在性、二分法
│    │
│    ├─ 定理4：聚点定理 (Bolzano-Weierstrass Theorem)
│    │  ├─ 有界无限点集必有聚点
│    │  ├─ 聚点的三种等价定义
│    │  ├─ 致密性定理（数列版本）
│    │  └─ 应用：子列收敛、极值存在性
│    │
│    ├─ 定理5：有限覆盖定理 (Heine-Borel Theorem)
│    │  ├─ 闭区间的开覆盖必有有限子覆盖
│    │  ├─ 证明方法：反证法+区间套
│    │  ├─ 注意：仅对闭区间成立
│    │  └─ 应用：有界性、一致连续性
│    │
│    └─ 定理6：柯西收敛准则 (Cauchy Convergence Criterion)
│       ├─ 收敛 ⟺ 柯西列
│       ├─ 充要条件的重要性
│       └─ 应用：判定收敛无需求极限
│
├─── 逻辑关系层 (Logical Structure)
│    ├─ 等价性证明链
│    │  └─ 1⟹2⟹3⟹4⟹5⟹6⟹1 (循环证明)
│    │
│    ├─ 本书证明路线
│    │  └─ 1(公理)⟹2⟹3⟹{4,5,6}
│    │
│    └─ 选择不同起点
│       ├─ 以确界原理为公理（本书）
│       ├─ 以柯西准则为公理（某些教材）
│       └─ 以戴德金分割为基础（集合论）
│
├─── 技术细节层 (Technical Details)
│    ├─ 区间套定理
│    │  ├─ 闭区间的必要性
│    │  ├─ 长度趋零的必要性
│    │  ├─ 唯一性证明
│    │  └─ 推论：邻域性质
│    │
│    ├─ 聚点概念
│    │  ├─ 定义2：任何邻域含无穷多点
│    │  ├─ 定义2'：任何邻域含异于ξ的点
│    │  ├─ 定义2''：收敛子列的极限
│    │  └─ 三种定义的等价性
│    │
│    ├─ 有限覆盖定理
│    │  ├─ 开覆盖的概念
│    │  ├─ 反证法证明策略
│    │  ├─ 开区间的反例
│    │  └─ 紧致性概念
│    │
│    └─ 柯西准则证明确界原理
│       ├─ 构造有界上界序列{λₙ}
│       ├─ 证明{λₙ}是柯西列
│       ├─ 极限即为上确界
│       └─ 验证上确界的两个性质
│
└─── 应用层 (Applications)
     ├─ 根的存在性定理
     │  └─ 用区间套或有限覆盖证明
     │
     ├─ 连续函数性质
     │  ├─ 有界性定理
     │  ├─ 最值定理
     │  ├─ 介值定理
     │  └─ 一致连续性定理
     │
     ├─ 极限理论基础
     │  ├─ 数列极限的存在性
     │  ├─ 子列收敛性
     │  └─ 函数极限的性质
     │
     └─ 数值计算方法
        ├─ 二分法求根
        ├─ 迭代法收敛性
        └─ 近似计算误差估计

第一部分：实数完备性的直观理解 | Intuitive Understanding

1.1 什么是完备性？

直观理解：实数的完备性可以用一个形象的比喻来理解——实数轴是"没有空隙的"。

有理数轴（不完备）：
●  ●  ● ●●○●● ● ●  ●  （有"洞"，如√2处）
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──→
0  1  2  3  4  5  6  7  

实数轴（完备）：
████████████████████████████→ （连续无间隙）
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──→
0  1  2  3  4  5  6  7

数学表达：

几何角度：数轴上没有"缺口"，每个点都对应一个实数
代数角度：每个"应该收敛"的数列（柯西列）都能在实数系中找到极限
拓扑角度：有界无限点集总能"聚集"到某个点附近

1.2 有理数为何不完备？

反例1：√2 不是有理数

考虑有理数列： $x_{1} = 1, x_{2} = 1.4, x_{3} = 1.41, x_{4} = 1.414, \dots$

这是一个递增有界的有理数列（每项都是有理数，都小于2），但它在有理数系中没有极限——它的极限是 $2$ ，但 $2 \in / Q$ 。

结论：有理数系中，单调有界数列不一定收敛。✗

反例2：确界不存在

集合 $S = {x \in Q : x^{2} < 2}$ （有理数集合）

$S$ 非空且有上界（例如 2 是上界）
但 $S$ 在有理数系中没有上确界（上确界应该是 $2$ ，但 $2 \in / Q$ ）

结论：有理数系中，有界集不一定有确界。✗

1.3 完备性的重要性

数学分支	完备性的作用
极限理论	保证极限的存在性（柯西列收敛）
连续函数	保证介值定理、最值定理成立
微分学	保证导数、微分的理论基础
积分学	保证积分的存在性和可计算性
级数理论	保证收敛性判定的充要条件
实际应用	保证数值计算的理论依据

核心意义：完备性使得数学分析成为一个自洽的逻辑体系，而不是建立在"沙滩"上的大厦。

第二部分：区间套定理 | Nested Interval Theorem

2.1 定义与定理陈述

定义 7.1（闭区间套）

设闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 具有如下性质：

包含关系： $[a_{n}, b_{n}] \supseteq [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ ， $n = 1, 2, \dots$
长度趋零： $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$

则称 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 为闭区间套，或简称区间套。

端点性质：区间套的端点满足： $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n} \leq \dots \leq b_{n} \leq \dots \leq b_{2} \leq b_{1} (1)$

定理 7.1（区间套定理，Nested Interval Theorem）

若 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 $ξ$ ，使得： $ξ \in [a_{n}, b_{n}], n = 1, 2, \dots (2)$

即： $a_{n} \leq ξ \leq b_{n}, n = 1, 2, \dots$

2.2 定理证明 ★完整证明★

证明：

存在性：

由 (1) 式， ${a_{n}}$ 为递增有界数列（上界为 $b_{1}$ ），依单调有界定理（定理 2.9）， ${a_{n}}$ 有极限，且有： $n \to \infty lim a_{n} = ξ, a_{n} \leq ξ, n = 1, 2, \dots (3)$

同理， ${b_{n}}$ 为递减有界数列（下界为 $a_{1}$ ），也有极限，并由区间套的条件 (ii)： $n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim a_{n} = ξ (4)$

且： $b_{n} \geq ξ, n = 1, 2, \dots (5)$

联合 (3)、(5) 即得 (2) 式。✓

唯一性：

设 $ξ^{'}$ 也满足： $a_{n} \leq ξ^{'} \leq b_{n}, n = 1, 2, \dots$

则由 (2) 式有： $∣ ξ - ξ^{'} ∣ \leq b_{n} - a_{n}, n = 1, 2, \dots$

由区间套的条件 (ii)： $∣ ξ - ξ^{'} ∣ \leq n \to \infty lim (b_{n} - a_{n}) = 0$

故 $ξ = ξ^{'}$ 。✓

2.3 区间套定理的推论

推论（区间套的邻域性质）

若 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) 是区间套 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 所确定的点，则对任给的 $ε > 0$ ，存在 $N > 0$ ，使得当 $n > N$ 时，有： $[a_{n}, b_{n}] \subset U (ξ; ε) (6)$

证明：

由 $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ ，对给定的 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时： $b_{n} - a_{n} < ε$

又由 $a_{n} \leq ξ \leq b_{n}$ ，对任意 $x \in [a_{n}, b_{n}]$ ，有： $∣ x - ξ ∣ \leq b_{n} - a_{n} < ε$

因此 $[a_{n}, b_{n}] \subset U (ξ; ε)$ 。✓

几何意义：区间套最终会"收缩"到点 $ξ$ 的任意小邻域内。

    [a₁────────────────b₁]
      [a₂───────────b₂]
        [a₃────────b₃]
          [a₄───b₄]
            [aₙbₙ] ← 收缩到ξ
            ↓
            ξ

2.4 区间套定理的条件讨论

条件 (i) 的必要性：必须是闭区间

反例：开区间列 $(0, \frac{1}{n}), n = 1, 2, \dots$

满足：

$(0, 1) \supset (0, \frac{1}{2}) \supset (0, \frac{1}{3}) \supset \dots$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

但不存在属于所有开区间的公共点：

0 不在任何开区间内（开区间不含端点）
任何正数 $x > 0$ ，当 $n$ 足够大使得 $\frac{1}{n} < x$ 时， $x \in / (0, \frac{1}{n})$

结论：开区间套的交集可能为空集。✗

条件 (ii) 的必要性：区间长度必须趋于零

反例：区间列 $[n, n + 1], n = 1, 2, \dots$

虽然满足包含关系（实际上不满足），但 $b_{n} - a_{n} = 1 \neq \to 0$ 。

更好的反例： $[0, 1 + \frac{1}{n}], n = 1, 2, \dots$

满足：

$[0, 2] \supset [0, \frac{3}{2}] \supset [0, \frac{4}{3}] \supset \dots$
但 $lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1 \neq = 0$

公共点不唯一：所有 $x \in [0, 1]$ 都是公共点。

结论：若长度不趋于零，公共点可能不唯一。✗

2.5 区间套定理的应用

应用一：连续函数根的存在性定理

定理（根的存在性）：设 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $f (a) f (b) < 0$ ，则存在 $ξ \in (a, b)$ 使得 $f (ξ) = 0$ 。

证明（用区间套定理）：

记 $[a_{1}, b_{1}] = [a, b]$ ，令 $c_{1} = \frac{a _{1} + b _{1}}{2}$ 。

情况1：若 $f (c_{1}) = 0$ ，则 $ξ = c_{1}$ ，结论成立。✓

情况2：若 $f (c_{1}) \neq = 0$ ，则 $f (a_{1}) f (c_{1})$ 与 $f (c_{1}) f (b_{1})$ 中有一个小于零。

不妨设 $f (a_{1}) f (c_{1}) < 0$ ，记 $[a_{2}, b_{2}] = [a_{1}, c_{1}]$ 。

重复此过程，得到闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ ，满足：

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ ， $n = 1, 2, \dots$
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{2 ^{n - 1}} = 0$
$f (a_{n}) f (b_{n}) < 0$ ， $n = 1, 2, \dots$

由区间套定理，存在 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，且： $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = ξ$

因为 $f$ 在点 $ξ$ 连续，由条件 (3)： $f^{2} (ξ) = n \to \infty lim f (a_{n}) \cdot f (b_{n}) \leq 0$

因此 $f (ξ) = 0$ 。✓

应用二：二分法求根

算法描述：

给定方程 $f (x) = 0$ ，其中 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f (a) f (b) < 0$ 。

步骤：

计算中点 $c = \frac{a + b}{2}$
若 $f (c) = 0$ ，则 $c$ 是根；若 $∣ f (c) ∣ < ε$ （精度），停止
若 $f (a) f (c) < 0$ ，则 $b := c$ ；否则 $a := c$
返回步骤 1

误差估计：经过 $n$ 次二分后，区间长度为 $\frac{b - a}{2 ^{n}}$ ，因此： $∣ ξ - c_{n} ∣ \leq \frac{b - a}{2 ^{n}}$

第三部分：聚点定理 | Bolzano-Weierstrass Theorem

3.1 聚点的概念

定义 7.2（聚点，定义一）

设 $S$ 为数轴上的点集， $ξ$ 为定点（它可以属于 $S$ ，也可以不属于 $S$ ）。若 $ξ$ 的任何邻域都含有 $S$ 中无穷多个点，则称 $ξ$ 为点集 $S$ 的一个聚点（Accumulation Point / Limit Point）。

定义 7.2'（聚点，定义二）

对于点集 $S$ ，若点 $ξ$ 的任何邻域都含有 $S$ 中异于 $ξ$ 的点，即： $U^{\circ} (ξ; ε) \cap S \neq = \emptyset, \forall ε > 0$

则称 $ξ$ 为 $S$ 的一个聚点。

定义 7.2''（聚点，定义三）

若存在各项互异的收敛数列 ${x_{n}} \subset S$ ，则其极限 $lim_{n \to \infty} x_{n} = ξ$ 称为 $S$ 的一个聚点。

3.2 三种定义的等价性

定理：定义 7.2、7.2'、7.2'' 是等价的。

证明（概要）：

定义 2 ⟹ 定义 2'：显然（无穷多个点必包含异于 $ξ$ 的点）。✓

定义 2'' ⟹ 定义 2：若 ${x_{n}} \subset S$ ， $x_{n} \to ξ$ ，则对任意 $ε > 0$ ， $U (ξ; ε)$ 中有 ${x_{n}}$ 的无穷多项。✓

定义 2' ⟹ 定义 2''：

设 $ξ$ 为 $S$ （按定义 2'）的聚点。

令 $ε_{1} = 1$ ，则存在 $x_{1} \in U^{\circ} (ξ; 1) \cap S$ 。

令 $ε_{2} = min {\frac{1}{2}, ∣ x_{1} - ξ ∣}$ ，则存在 $x_{2} \in U^{\circ} (ξ; ε_{2}) \cap S$ ，且显然 $x_{2} \neq = x_{1}$ 。

令 $ε_{3} = min {\frac{1}{3}, ∣ x_{2} - ξ ∣, ∣ x_{1} - ξ ∣}$ ，则存在 $x_{3} \in U^{\circ} (ξ; ε_{3}) \cap S$ ，且 $x_{3}$ 与 $x_{1}, x_{2}$ 互异。

无限地重复以上步骤，得到 $S$ 中各项互异的数列 ${x_{n}}$ ，且由 $∣ x_{n} - ξ ∣ < ε_{n} \leq \frac{1}{n}$ ，易见： $n \to \infty lim x_{n} = ξ$

证毕。✓

3.3 聚点的例子

点集 $S$	聚点
${\frac{1}{n} : n \in N^{+}}$	$ξ = 0$ （唯一聚点）
${\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} : n \in N^{+}}$	$ξ_{1} = 0$ ， $ξ_{2} = 1$ ， $ξ_{3} = - 1$
$(a, b)$ （开区间）	$[a, b]$ （闭区间上每个点都是聚点）
$N$ （正整数集）	无聚点
有限集	无聚点
$Q$ （有理数集）	$R$ （每个实数都是聚点）

3.4 聚点定理 ★核心定理★

定理 7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理，Bolzano-Weierstrass Theorem）

实轴上的任一有界无限点集 $S$ 至少有一个聚点。

证明方法一（区间套法）：

因 $S$ 为有界点集，故存在 $M > 0$ ，使得 $S \subset [- M, M]$ ，记 $[a_{1}, b_{1}] = [- M, M]$ 。

第1步：将 $[a_{1}, b_{1}]$ 等分为两个子区间 $[- M, 0]$ 和 $[0, M]$ 。

因 $S$ 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 $S$ 中无穷多个点，记此子区间为 $[a_{2}, b_{2}]$ ，则： $[a_{1}, b_{1}] \supset [a_{2}, b_{2}], b_{2} - a_{2} = \frac{1}{2} (b_{1} - a_{1}) = M$

第2步：再将 $[a_{2}, b_{2}]$ 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 $S$ 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为 $[a_{3}, b_{3}]$ ，则： $[a_{2}, b_{2}] \supset [a_{3}, b_{3}], b_{3} - a_{3} = \frac{M}{2 ^{2}}$

重复此过程，得到一个区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ ，它满足：

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ ， $n = 1, 2, \dots$
$b_{n} - a_{n} = \frac{M}{2 ^{n - 2}} \to 0$ ( $n \to \infty$ )
每个闭区间都含有 $S$ 中无穷多个点

由区间套定理，存在唯一的一点 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。

由定理 7.1 的推论，对任给的 $ε > 0$ ，存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时有 $[a_{n}, b_{n}] \subset U (ξ; ε)$ 。

从而 $U (ξ; ε)$ 内含有 $S$ 中无穷多个点，即 $ξ$ 是 $S$ 的一个聚点。✓

证明方法二（致密性定理法）：

设 $S$ 是有界无限点集。在 $S$ 中取一列两两不同的点列 ${x_{n}}$ ，显然 ${x_{n}}$ 是有界点列。

由致密性定理（定理 2.10）， ${x_{n}}$ 存在一个收敛的子列 ${x_{n_{k}}}$ ，其极限设为 $ξ$ 。

那么对于任意正数 $ε$ ，存在 $K$ ，当 $k > K$ 时，有： $ξ - ε < x_{n_{k}} < ξ + ε$

这就说明 $(ξ - ε, ξ + ε)$ 含有 $S$ 中无限多个点，即 $ξ$ 是 $S$ 的一个聚点。✓

3.5 致密性定理

定理 2.10（致密性定理）

有界数列必有收敛的子列。

关系：

聚点定理是致密性定理的推广（从数列到点集）
致密性定理是聚点定理的特殊情形（点集退化为数列）

只需把有界数列 ${x_{n}}$ 看成有界点集 $S$ ，并把 ${x_{n}}$ 中的无限多个"项"看成 $S$ 中的无限多个"点"。

第四部分：有限覆盖定理 | Heine-Borel Covering Theorem

4.1 开覆盖的概念

定义 7.3（开覆盖）

设 $S$ 为数轴上的点集， $H$ 为开区间的集合（ $H = {(α, β)}$ ，这些开区间可以有无限多个）。

若 $S$ 中任何一点都含在 $H$ 中至少一个开区间内，则称 $H$ 为 $S$ 的一个开覆盖，或称 $H$ 覆盖 $S$ 。

分类：

若 $H$ 中开区间的个数是无限的，则称 $H$ 为 $S$ 的一个无限开覆盖
若 $H$ 中开区间的个数是有限的，则称 $H$ 为 $S$ 的一个有限开覆盖

4.2 有限覆盖定理 ★核心定理★

定理 7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理，Heine-Borel Theorem）

设 $H$ 为闭区间 $[a, b]$ 的一个（无限）开覆盖，则从 $H$ 中可选出有限个开区间来覆盖 $[a, b]$ 。

证明（反证法+区间套）：

假设定理的结论不成立，即不能用 $H$ 中有限个开区间来覆盖 $[a, b]$ 。

第1步：将 $[a, b]$ 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用 $H$ 中有限个开区间覆盖，记此子区间为 $[a_{2}, b_{2}]$ ，则： $[a, b] \supset [a_{2}, b_{2}], b_{2} - a_{2} = \frac{b - a}{2}$

第2步：再将 $[a_{2}, b_{2}]$ 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用 $H$ 中有限个开区间覆盖，记为 $[a_{3}, b_{3}]$ 。

重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ ，它满足：

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ ， $n = 1, 2, \dots$
$b_{n} - a_{n} = \frac{b - a}{2 ^{n - 1}} \to 0$ ( $n \to \infty$ )
每一个闭区间都不能用 $H$ 中有限个开区间来覆盖

由区间套定理，存在唯一的一点 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。

由于 $H$ 是 $[a, b]$ 的一个开覆盖，故存在开区间 $(α, β) \in H$ ，使 $ξ \in (α, β)$ 。

于是，由定理 7.1 推论，当 $n$ 充分大时，有： $[a_{n}, b_{n}] \subset (α, β)$

这表明 $[a_{n}, b_{n}]$ 只需用 $H$ 中的一个开区间 $(α, β)$ 就能覆盖。

这与挑选 $[a_{n}, b_{n}]$ 时的假设"不能用 $H$ 中有限个开区间来覆盖"相矛盾。✗

从而证得必存在属于 $H$ 的有限个开区间能覆盖 $[a, b]$ 。✓

4.3 有限覆盖定理的注意事项

注1：定理 7.3 的结论只对闭区间 $[a, b]$ 成立，而对开区间则不一定成立。

反例：开区间集合 $H = {(\frac{1}{n}, 1) : n = 2, 3, 4, \dots}$

显然 $H$ 覆盖了开区间 $(0, 1)$ （因为对任何 $x \in (0, 1)$ ，存在足够大的 $n$ 使得 $x > \frac{1}{n}$ ，从而 $x \in (\frac{1}{n}, 1)$ ）。

但不能从 $H$ 中选出有限个开区间覆盖 $(0, 1)$ ：

设从 $H$ 中选出有限个开区间 $(\frac{1}{n _{1}}, 1), (\frac{1}{n _{2}}, 1), \dots, (\frac{1}{n _{k}}, 1)$ ，令 $N = max {n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}}$ ，则所有这些区间的并为 $(\frac{1}{N}, 1)$ ，它不能覆盖 $(0, 1)$ （因为 $\frac{1}{2 N} \in (0, 1)$ 但 $\frac{1}{2 N} \in / (\frac{1}{N}, 1)$ ）。

结论：有限覆盖定理要求闭区间是本质的。

注2：有限覆盖定理的核心概念是紧致性（Compactness）。

在更一般的拓扑空间中：

闭区间 $[a, b]$ 在实数轴上是紧集
开区间 $(a, b)$ 不是紧集

紧致性是拓扑学中最重要的概念之一，它保证了许多重要的性质（有界性、最值存在性、一致连续性等）。

4.4 有限覆盖定理的应用

应用一：闭区间上连续函数的有界性定理

定理（有界性）：设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。

证明（用有限覆盖定理）：

根据连续函数的局部有界性定理，对于任意的 $x \in [a, b]$ ，存在正数 $M_{x}$ 以及正数 $δ_{x}$ ，当 $x^{'} \in (x - δ_{x}, x + δ_{x}) \cap [a, b]$ 时有： $∣ f (x^{'}) ∣ \leq M_{x}$

作开区间集： $H = {(x - δ_{x}, x + δ_{x}) : ∣ f (x) ∣ \leq M_{x}, x \in [a, b], x \in (x - δ_{x}, x + δ_{x}) \cap [a, b]}$

显然 $H$ 覆盖了区间 $[a, b]$ （每个 $x \in [a, b]$ 都在某个开区间 $(x - δ_{x}, x + δ_{x})$ 内）。

根据有限覆盖定理，存在 $H$ 中有限个开区间： $(x_{1} - δ_{x_{1}}, x_{1} + δ_{x_{1}}), (x_{2} - δ_{x_{2}}, x_{2} + δ_{x_{2}}), \dots, (x_{n} - δ_{x_{n}}, x_{n} + δ_{x_{n}})$

它们也覆盖了 $[a, b]$ 。

令 $M = max {M_{x_{1}}, M_{x_{2}}, \dots, M_{x_{n}}}$ ，那么对于任意的 $x \in [a, b]$ ，存在 $k \in {1, 2, \dots, n}$ ，使得： $x \in (x_{k} - δ_{x_{k}}, x_{k} + δ_{x_{k}})$

并且有： $∣ f (x) ∣ \leq M_{x_{k}} \leq M$

因此 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。✓

应用二：一致连续性定理

（证明留作习题 11，与上述类似）

第五部分：柯西收敛准则与确界原理 | Cauchy Criterion and Supremum

5.1 柯西收敛准则（回顾）

定理 2.11（柯西收敛准则，Cauchy Convergence Criterion）

数列 ${x_{n}}$ 收敛的充要条件是：对任给的 $ε > 0$ ，存在 $N > 0$ ，使得当 $m, n > N$ 时，有： $∣ x_{n} - x_{m} ∣ < ε$

满足此条件的数列称为柯西列（Cauchy Sequence）或基本列。

意义：柯西准则给出了判定数列收敛的内在条件，无需知道极限值。

5.2 用柯西准则证明确界原理

例题：用数列的柯西收敛准则证明确界原理。

证明：

设 $S$ 为非空有上界数集。

由实数的阿基米德性，对任何正数 $α$ ，存在整数 $k_{α}$ ，使得 $λ_{α} = k_{α} α$ 为 $S$ 的上界，而 $λ_{α} - α = (k_{α} - 1) α$ 不是 $S$ 的上界，即存在 $a \in S$ ，使得： $a > (k_{α} - 1) α$

构造数列：

分别取 $α = \frac{1}{n}$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，则对每一个正整数 $n$ ，存在相应的 $λ_{n}$ ，使得 $λ_{n}$ 为 $S$ 的上界，而 $λ_{n} - \frac{1}{n}$ 不是 $S$ 的上界，故存在 $a^{'} \in S$ ，使得： $a^{'} > λ_{n} - \frac{1}{n} (6)$

又对正整数 $m$ ， $λ_{m}$ 是 $S$ 的上界，故有 $λ_{m} \geq a^{'}$ 。结合 (6) 式得： $λ_{m} - λ_{n} < \frac{1}{n}$

同理有： $λ_{n} - λ_{m} < \frac{1}{m}$

因此： $∣ λ_{n} - λ_{m} ∣ < max {\frac{1}{n}, \frac{1}{m}} (7)$

应用柯西准则：

对任给的 $ε > 0$ ，存在 $N > 0$ ，使得当 $m, n > N$ 时，有： $∣ λ_{n} - λ_{m} ∣ < ε$

由柯西收敛准则，数列 ${λ_{n}}$ 收敛，记： $n \to \infty lim λ_{n} = λ (8)$

验证 $λ$ 为上确界：

（1） $λ$ 是上界：

对任何 $a \in S$ 和正整数 $n$ ，有 $a \leq λ_{n}$ 。由 (8) 式得： $a \leq λ$

即 $λ$ 是 $S$ 的一个上界。✓

（2） $λ$ 是最小上界：

对任何 $δ > 0$ ，由 $\frac{1}{n} \to 0$ ( $n \to \infty$ ) 及 (8) 式，对充分大的 $n$ ，同时有： $λ - λ_{n} < \frac{δ}{2}, \frac{1}{n} < \frac{δ}{2}$

又因 $λ_{n} - \frac{1}{n}$ 不是 $S$ 的上界，故存在 $a^{'} \in S$ ，使得： $a^{'} > λ_{n} - \frac{1}{n}$

结合上式得： $a^{'} > λ_{n} - \frac{1}{n} > λ - \frac{δ}{2} - \frac{δ}{2} = λ - δ$

这说明 $λ$ 为 $S$ 的上确界。✓

同理可证：若 $S$ 为非空有下界数集，则必存在下确界。

证毕。✓

第六部分：六大定理的等价性 | Equivalence of Six Theorems

6.1 六大基本定理

至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理：

序号	定理名称	简述
1	确界原理	非空有界集必有确界
2	单调有界定理	单调有界数列必收敛
3	区间套定理	闭区间套有唯一公共点
4	聚点定理	有界无限点集必有聚点
5	有限覆盖定理	闭区间的开覆盖有有限子覆盖
6	柯西收敛准则	柯西列收敛

6.2 等价性证明链

在本书中，我们首先以确界原理为公理，由它证明了单调有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理。

证明路线： $1 ⟹ 2 ⟹ 3 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ 456$

事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题。

完整等价性证明链： $1 ⟹ 2 ⟹ 3 ⟹ 4 ⟹ 5 ⟹ 6 ⟹ 1$

蕴含关系	在本书的位置	备注
$1 ⟹ 2$	定理 2.9	用确界定义极限
$2 ⟹ 3$	定理 7.1	单调序列收敛到公共点
$3 ⟹ 4$	定理 7.2（证法一）	区间套包含聚点
$3 ⟹ 5$	定理 7.3	反证法+区间套
$4 ⟹ 5$	习题 8	聚点定理 ⟹ 有限覆盖定理
$5 ⟹ 6$	习题 9	有限覆盖 ⟹ 柯西准则
$6 ⟹ 1$	例 3（本节）	构造柯西列逼近确界

6.3 不同数学体系的起点选择

根据不同的数学哲学和教学需要，可以选择不同的定理作为公理（起点）：

起点	数学体系	特点
确界原理	本书、多数数学分析教材	直观，与实数构造密切相关
戴德金分割	集合论、实数理论	最基础，从有理数构造实数
柯西收敛准则	部分分析教材	强调收敛性的内在性质
单调有界定理	某些应用教材	直观，便于理解
区间套定理	某些欧洲教材	几何直观性强

核心思想：无论从哪个定理出发，最终都能建立完整的实数理论体系，这正是数学逻辑的完备性和一致性的体现。

6.4 六大定理的深层含义

定理	刻画的完备性方面	哲学意义
确界原理	集合的边界性	"有界必有确界"——边界存在性
单调有界定理	数列的极限性	"单调有界必收敛"——趋势的结果
区间套定理	空间的收缩性	"无限收缩到一点"——空间的完整性
聚点定理	点集的稠密性	"无限多点必聚集"——聚集的必然性
有限覆盖定理	覆盖的紧致性	"无限可化为有限"——紧致性本质
柯西收敛准则	收敛的内在性	"自洽则收敛"——内在一致性

第七部分：完整知识体系总结 | Complete System Summary

7.1 实数完备性的多维理解

实数完备性的六个侧面
        │
    ┌───┼───┐
    │   │   │
  集合 数列 空间
    │   │   │
    ↓   ↓   ↓
  确界 单调 区间套
  原理 有界 定理
    │   │   │
    └───┼───┘
        │
    完备性
        │
    ┌───┼───┐
    │   │   │
  点集 覆盖 收敛
    │   │   │
    ↓   ↓   ↓
  聚点 有限 柯西
  定理 覆盖 准则
        定理

7.2 关键概念对比表

概念	定义	性质	应用
区间套	包含+长度趋零	唯一公共点	二分法、根的存在性
聚点	任何邻域含无穷多点	不一定属于点集	子列收敛、极值存在性
开覆盖	点集的开区间集合	可能无限	有界性、一致连续性
柯西列	项间距离任意小	收敛的充要条件	无需极限值判定收敛

7.3 证明技巧总结

技巧一：区间套构造

模板：

从初始区间开始
等分或细分区间
根据问题选择满足条件的子区间
无限重复，构造区间套
应用区间套定理得到公共点
验证公共点满足结论

适用：根的存在性、聚点定理、有限覆盖定理

技巧二：反证法

模板：

假设结论不成立
构造区间套或数列
应用完备性定理
推导出矛盾
得证原结论

适用：有限覆盖定理、唯一性证明

技巧三：对角线法（Cantor）

模板：

对每个正整数 $n$ ，构造邻域 $U (ξ; \frac{1}{n})$
在邻域中选择点，保证互不相同
得到收敛数列
极限即为聚点

适用：聚点定义的等价性证明

7.4 常见误区与注意事项

❌ 常见误区

混淆开区间与闭区间：
- 区间套定理要求闭区间
- 有限覆盖定理适用于闭区间
- 开区间可能没有聚点（如 $N$ ）
混淆聚点与极限点：
- 聚点可以不属于点集（如 0 是 ${\frac{1}{n}}$ 的聚点）
- 孤立点不是聚点
忽略长度趋零条件：
- 区间套若长度不趋零，公共点可能不唯一
- 反例： $[0, 1 + \frac{1}{n}]$
有限点集的聚点：
- 有限点集没有聚点
- 聚点定理要求无限点集
有理数的完备性：
- 有理数集不完备
- 六大定理在有理数系中一般不成立

✓ 关键注意

完备性定理的三个条件通常缺一不可
证明方法通常是构造+应用已知定理
反证法是有限覆盖定理的标准证法
区间套是连接各定理的核心工具
六大定理等价，可互相证明

7.5 典型应用类型

应用一：根的存在性

定理：连续函数在异号端点间有零点。

证明方法：

方法1：区间套定理
方法2：有限覆盖定理（习题10）

应用二：连续函数的性质

性质	证明工具
有界性	有限覆盖定理
最值性	聚点定理
介值性	区间套定理
一致连续性	有限覆盖定理

应用三：数值计算

方法	理论基础
二分法	区间套定理
迭代法	柯西收敛准则
近似计算	单调有界定理

7.6 知识图谱可视化

        实数完备性
            │
    ┌───────┼───────┐
    │       │       │
  理论层  工具层  应用层
    │       │       │
    ↓       ↓       ↓
    
理论层：
  确界原理 ←→ 公理
  单调有界定理 ←→ 基础
  区间套定理 ←→ 工具
  聚点定理 ←→ 性质
  有限覆盖定理 ←→ 紧致
  柯西准则 ←→ 判据

工具层：
  区间套构造
  反证法
  对角线法
  有限化归
  极限逼近

应用层：
  根的存在性
  连续函数性质
  数列收敛性
  数值计算
  优化问题

📚 推荐学习路径

基础阶段（必须掌握）

✅ 完备性的直观理解（有理数 vs 实数）
✅ 区间套定理（条件、结论、推论）
✅ 聚点概念的三种定义及等价性
✅ 聚点定理的两种证明方法
✅ 有限覆盖定理（开覆盖概念、反证法证明）

提高阶段（重点理解）

✅ 六大定理的等价性（证明链）
✅ 用柯西准则证明确界原理
✅ 区间套定理的应用（根的存在性）
✅ 有限覆盖定理的应用（有界性、一致连续性）
✅ 聚点定理与致密性定理的关系

深化阶段（高级理解）

🔷 紧致性概念（拓扑学角度）
🔷 戴德金分割与实数构造
🔷 康托集与完备性
🔷 完备度量空间理论
🔷 压缩映射原理

应用阶段（综合训练）

🎯 用区间套证明根的存在性
🎯 用有限覆盖证明连续函数性质
🎯 二分法的理论基础与误差分析
🎯 迭代法的收敛性证明
🎯 数学分析中的存在性证明

🎓 章末总结语

实数的完备性是数学分析的灵魂，它使得微积分理论从直观猜测变为严密科学。六大基本定理从不同侧面刻画了实数系的完备性，形成一个相互等价、逻辑自洽的理论体系。

三个核心认识：

多样性统一：六个定理表面不同，本质等价——完备性的多面体
理论与应用：抽象定理是具体问题的坚实基础——理论指导实践
构造与存在：构造性证明（区间套）与存在性证明（反证法）相辅相成

完备性理论的美：

逻辑之美：六个定理循环证明，形成闭环
构造之美：区间套、对角线法等精巧构造
统一之美：从不同角度刻画同一本质——"无缝隙"
应用之美：从纯理论到实际计算的完美桥梁

学习建议：

深刻理解每个定理的几何直观意义
掌握区间套构造这一核心技巧
理解六大定理的等价性及证明链条
多做证明题，培养逻辑推理能力
关注应用，体会理论的实用价值
建立知识间的联系，形成完整体系

恭喜！您已完成实数完备性理论的完整知识体系构建。 🎉

实数完备性是数学分析的理论基石，为整个微积分大厦提供了坚实的地基。从这一章开始，我们真正进入了现代数学分析的殿堂——每一个极限、每一个连续函数、每一个积分，其存在性都根植于完备性理论。继续深入探索，您将发现数学分析的无穷魅力！💪

附录A：六大定理速查卡 | Quick Reference Card

┌─────────────────────────────────────────────────┐
│           实数完备性六大定理速查表                  │
├─────────────────────────────────────────────────┤
│                                                 │
│ 1️⃣ 确界原理 (Supremum Principle)               │
│    非空有上界集 ⟹ 存在上确界                      │
│    sup S 满足：(i) a≤sup S, ∀a∈S                │
│               (ii) ∀ε>0, ∃a∈S: a>sup S-ε       │
│                                                 │
│ 2️⃣ 单调有界定理 (Monotone Convergence)          │
│    单调↗ + 有上界 ⟹ 收敛到 sup{xₙ}              │
│    单调↘ + 有下界 ⟹ 收敛到 inf{xₙ}              │
│                                                 │
│ 3️⃣ 区间套定理 (Nested Interval)                │
│    [aₙ,bₙ]⊃[aₙ₊₁,bₙ₊₁] + (bₙ-aₙ)→0             │
│    ⟹ ∃!ξ∈⋂[aₙ,bₙ]                             │
│    推论：[aₙ,bₙ]⊂U(ξ;ε) (n充分大)               │
│                                                 │
│ 4️⃣ 聚点定理 (Bolzano-Weierstrass)              │
│    有界无限点集 ⟹ 至少有一个聚点                  │
│    ξ是聚点 ⟺ U(ξ;ε)含S中无穷多点                │
│            ⟺ ∃{xₙ}⊂S, xₙ→ξ (各项互异)          │
│                                                 │
│ 5️⃣ 有限覆盖定理 (Heine-Borel)                   │
│    [a,b]的开覆盖 ⟹ 有有限子覆盖                  │
│    注意：仅对闭区间成立！                         │
│                                                 │
│ 6️⃣ 柯西收敛准则 (Cauchy Criterion)              │
│    {xₙ}收敛 ⟺ ∀ε>0,∃N: |xₙ-xₘ|<ε (m,n>N)      │
│    (判定收敛无需知道极限值)                       │
│                                                 │
│ 等价关系：1⟹2⟹3⟹4⟹5⟹6⟹1                    │
│                                                 │
└─────────────────────────────────────────────────┘

附录B：关键证明技巧汇总 | Proof Techniques Summary

B.1 区间套构造法（核心技巧）

步骤模板：

输入：初始区间[a,b]，目标性质P

第1步：令[a₁,b₁] = [a,b]
第2步：将[aₙ,bₙ]等分为两个（或多个）子区间
第3步：选择满足性质P的子区间作为[aₙ₊₁,bₙ₊₁]
第4步：验证：
       ✓ [aₙ,bₙ]⊃[aₙ₊₁,bₙ₊₁]
       ✓ (bₙ-aₙ) = (b-a)/2ⁿ⁻¹ → 0
第5步：应用区间套定理，得唯一公共点ξ
第6步：验证ξ满足结论

输出：存在性结论

应用场景：

根的存在性定理
聚点定理（证法一）
有限覆盖定理

B.2 反证法+区间套（组合技巧）

步骤模板：

输入：待证命题"对[a,b]，性质P成立"

第1步：假设命题不成立（¬P）
第2步：构造区间套{[aₙ,bₙ]}，每个区间都满足¬P
第3步：由区间套定理，得公共点ξ
第4步：由原问题的局部性质，ξ的某邻域应满足P
第5步：当n充分大时，[aₙ,bₙ]⊂该邻域，矛盾！
第6步：原命题成立

输出：存在性+有限性结论

应用场景：

有限覆盖定理（核心证明）
一致连续性定理
有界性定理

B.3 对角线选点法（Cantor技巧）

步骤模板：

输入：点集S，目标点ξ

第1步：令ε₁ = 1，在U°(ξ;1)∩S中选x₁
第2步：令ε₂ = min{1/2, |x₁-ξ|}，在U°(ξ;ε₂)∩S中选x₂≠x₁
第3步：令ε₃ = min{1/3, |x₂-ξ|, |x₁-ξ|}，选x₃互异
⋮
第n步：令εₙ = min{1/n, 所有|xᵢ-ξ|}，选xₙ互异

关键：εₙ→0 且 |xₙ-ξ|<εₙ ⟹ xₙ→ξ

输出：收敛数列{xₙ}，各项互异

应用场景：

聚点定义的等价性证明
致密性定理的构造性证明

B.4 逼近确界法（柯西准则）

步骤模板：

输入：非空有上界集S

第1步：利用阿基米德性，对α=1/n，找上界λₙ
       使得：λₙ是S的上界
            λₙ-1/n不是S的上界
第2步：验证{λₙ}是柯西列：
       |λₙ-λₘ| < max{1/n, 1/m}
第3步：由柯西准则，λₙ→λ
第4步：验证λ是上确界：
       (i) λ是上界：∀a∈S, a≤λₙ ⟹ a≤λ
       (ii) λ是最小上界：∀δ>0, ∃a∈S: a>λ-δ

输出：sup S = λ

应用场景：

用柯西准则证明确界原理
构造性逼近问题

附录C：典型例题精选 | Selected Examples

C.1 区间套定理应用

例1（根的存在性）：证明方程 $x^{3} - x - 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有唯一实根。

证明：

存在性（用区间套定理）：

令 $f (x) = x^{3} - x - 1$ ，则：

$f (1) = 1 - 1 - 1 = - 1 < 0$
$f (2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$

令 $[a_{1}, b_{1}] = [1, 2]$ ， $c_{1} = \frac{1 + 2}{2} = 1.5$ 。

计算 $f (1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$ 。

因为 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ，令 $[a_{2}, b_{2}] = [1, 1.5]$ 。

继续二分： $c_{2} = 1.25$ ， $f (1.25) = 1.953 - 1.25 - 1 = - 0.297 < 0$ 。

令 $[a_{3}, b_{3}] = [1.25, 1.5]$ ，...

重复此过程，得区间套 ${[a_{n}, b_{n}]}$ ，满足：

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$
$(b_{n} - a_{n}) = \frac{1}{2 ^{n - 1}} \to 0$
$f (a_{n}) < 0$ ， $f (b_{n}) > 0$

由区间套定理， $\exists! ξ \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ 。

由连续性， $f (ξ) = 0$ 。✓

唯一性：

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ 。当 $x \in (1, 2)$ 时， $f^{'} (x) > 2 > 0$ ，故 $f$ 严格递增，零点唯一。✓

例2（二分法迭代）：用二分法求上题中根的近似值，精度 $1 0^{- 3}$ 。

解：

需要 $\frac{2 - 1}{2 ^{n}} < 1 0^{- 3}$ ，即 $2^{n} > 1000$ ，取 $n = 10$ （ $2^{10} = 1024$ ）。

迭代过程（前5步）：

$n$	$[a_{n}, b_{n}]$	$c_{n}$	$f (c_{n})$	判断
1	$[1.000, 2.000]$	$1.500$	$+ 0.875$	左半
2	$[1.000, 1.500]$	$1.250$	$- 0.297$	右半
3	$[1.250, 1.500]$	$1.375$	$+ 0.225$	左半
4	$[1.250, 1.375]$	$1.312$	$- 0.051$	右半
5	$[1.312, 1.375]$	$1.344$	$+ 0.083$	左半

继续迭代到 $n = 10$ ，得近似解 $ξ \approx 1.3247$ 。

误差估计： $∣ ξ - 1.3247∣ < \frac{1}{2 ^{10}} \approx 0.00098 < 1 0^{- 3}$ 。✓

C.2 聚点定理应用

例3（致密性定理）：证明有界数列必有收敛子列。

证明：

设 ${x_{n}}$ 为有界数列，即 $\exists M > 0$ ，使得 $∣ x_{n} ∣ \leq M$ ， $\forall n$ 。

令 $S = {x_{n} : n \in N^{+}}$ （数列的值域）。

情况1： $S$ 为有限集

则必有某值 $x^{*}$ 被无限多项取到，这无限多项构成常数子列，显然收敛。✓

情况2： $S$ 为无限集

$S$ 有界（ $S \subset [- M, M]$ ），由聚点定理， $S$ 有聚点 $ξ$ 。

由聚点的定义 2''，存在 $S$ 中各项互异的数列 ${y_{k}}$ 收敛到 $ξ$ 。

每个 $y_{k}$ 是原数列 ${x_{n}}$ 的某一项，记 $y_{k} = x_{n_{k}}$ ，其中 $n_{1} < n_{2} < \dots$ 。

则 ${x_{n_{k}}}$ 是 ${x_{n}}$ 的子列，且 $x_{n_{k}} \to ξ$ 。✓

例4（无界数列的子列）：设数列 ${x_{n}}$ 无界，证明存在子列 ${x_{n_{k}}}$ 满足 $∣ x_{n_{k}} ∣ \to + \infty$ 。

证明：

因 ${x_{n}}$ 无界，对 $M = 1$ ， $\exists n_{1}$ ，使得 $∣ x_{n_{1}} ∣ > 1$ 。

对 $M = 2$ ，在 ${x_{n} : n > n_{1}}$ 中 $\exists n_{2} > n_{1}$ ，使得 $∣ x_{n_{2}} ∣ > 2$ 。

对 $M = k$ ，在 ${x_{n} : n > n_{k - 1}}$ 中 $\exists n_{k} > n_{k - 1}$ ，使得 $∣ x_{n_{k}} ∣ > k$ 。

得子列 ${x_{n_{k}}}$ ，满足 $∣ x_{n_{k}} ∣ > k$ ，故 $∣ x_{n_{k}} ∣ \to + \infty$ 。✓

C.3 有限覆盖定理应用

例5（连续函数有界性）：用有限覆盖定理证明：闭区间上的连续函数有界。

证明：

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续。对每个 $x \in [a, b]$ ，由连续性的局部有界性：

$\exists δ_{x} > 0, M_{x} > 0$ ，使得当 $x^{'} \in (x - δ_{x}, x + δ_{x}) \cap [a, b]$ 时， $∣ f (x^{'}) ∣ \leq M_{x}$ 。

令 $H = {(x - δ_{x}, x + δ_{x}) : x \in [a, b]}$ ，则 $H$ 是 $[a, b]$ 的开覆盖。

由有限覆盖定理，存在有限个开区间： $(x_{1} - δ_{x_{1}}, x_{1} + δ_{x_{1}}), \dots, (x_{n} - δ_{x_{n}}, x_{n} + δ_{x_{n}})$

覆盖了 $[a, b]$ 。

令 $M = max {M_{x_{1}}, M_{x_{2}}, \dots, M_{x_{n}}}$ 。

对任意 $x \in [a, b]$ ， $\exists k \in {1, \dots, n}$ ，使得 $x \in (x_{k} - δ_{x_{k}}, x_{k} + δ_{x_{k}})$ ，故： $∣ f (x) ∣ \leq M_{x_{k}} \leq M$

因此 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。✓

例6（一致连续性）：用有限覆盖定理证明：闭区间上的连续函数一致连续。

证明（习题11，提示）：

对每个 $x \in [a, b]$ ，由连续性：

$\forall ε > 0, \exists δ_{x} > 0$ ，当 $∣ x^{'} - x ∣ < δ_{x}$ 时， $∣ f (x^{'}) - f (x) ∣ < \frac{ε}{2}$ 。

构造开覆盖 $H = {(x - \frac{δ _{x}}{2}, x + \frac{δ _{x}}{2}) : x \in [a, b]}$ 。

由有限覆盖定理，存在有限子覆盖，对应 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 。

令 $δ = min {\frac{δ _{x_{1}}}{2}, \dots, \frac{δ _{x_{n}}}{2}} > 0$ 。

当 $∣ x^{'} - x^{''} ∣ < δ$ 时，存在 $x_{k}$ 使得 $x^{'}, x^{''} \in (x_{k} - δ_{x_{k}}, x_{k} + δ_{x_{k}})$ ，从而： $∣ f (x^{'}) - f (x^{''}) ∣ \leq ∣ f (x^{'}) - f (x_{k}) ∣ + ∣ f (x_{k}) - f (x^{''}) ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

因此 $f$ 一致连续。✓

C.4 柯西准则应用

例7（判定数列收敛）：判定数列 $x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ 是否收敛。

解（用柯西准则）：

对 $m > n$ ，有： $∣ x_{m} - x_{n} ∣ = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{m}$

当 $m = 2 n$ 时： $∣ x_{2 n} - x_{n} ∣ = \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n} \geq n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2}$

因此，对 $ε = \frac{1}{2}$ ，无论 $N$ 多大，总能找到 $m = 2 n > n > N$ ，使得 $∣ x_{m} - x_{n} ∣ \geq \frac{1}{2}$ 。

结论： ${x_{n}}$ 不是柯西列，故不收敛（调和级数发散）。✗

例8（证明数列收敛）：证明数列 $x_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2}}$ 收敛。

证明（用柯西准则）：

对 $m > n$ ，有： $∣ x_{m} - x_{n} ∣ = k = n + 1 \sum m \frac{1}{k ^{2}} < k = n + 1 \sum m \frac{1}{k ( k - 1 )}$

利用裂项： $\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$

因此： $∣ x_{m} - x_{n} ∣ < (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) + \dots + (\frac{1}{m - 1} - \frac{1}{m})$

$= \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n}$

对任给 $ε > 0$ ，取 $N = ⌈ \frac{1}{ε} ⌉$ ，当 $m > n > N$ 时： $∣ x_{m} - x_{n} ∣ < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq ε$

由柯西准则， ${x_{n}}$ 收敛。✓

（事实上， $lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{π ^{2}}{6}$ ）

附录D：历史注记 | Historical Notes

D.1 实数理论的发展历程

时间轴：实数完备性理论的演进

1821  柯西 (Cauchy)
      │ 首次给出收敛的严格定义
      │ 提出柯西列概念
      ↓

1817  波尔查诺 (Bolzano)
      │ 研究连续函数的介值性质
      │ 提出聚点概念（未发表）
      ↓

1850s 魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)
      │ 严格化分析基础
      │ 证明聚点定理（1860s）
      │ 算术化分析运动
      ↓

1872  戴德金 (Dedekind)
      │ 发表《连续性与无理数》
      │ 用分割法构造实数
      │ 建立确界原理
      ↓

1872  康托尔 (Cantor)
      │ 用基本序列构造实数
      │ 发展集合论
      ↓

1890s 海涅 (Heine) & 博雷尔 (Borel)
      │ 研究覆盖性质
      │ 有限覆盖定理
      │ 紧致性概念萌芽
      ↓

1900s 勒贝格 (Lebesgue)
      │ 完备化测度论
      │ 现代分析基础
      ↓

1914  豪斯多夫 (Hausdorff)
      │ 拓扑空间公理化
      │ 紧致性一般理论
      ↓

现代  完备度量空间理论
      泛函分析、拓扑学

D.2 关键人物贡献

数学家	贡献	年代
柯西 (Cauchy)	柯西列、柯西准则	1821
波尔查诺 (Bolzano)	聚点定理（未发表）、介值定理	1817
魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)	严格化分析、聚点定理正式证明	1860s
戴德金 (Dedekind)	戴德金分割、实数构造、确界原理	1872
康托尔 (Cantor)	基本序列、集合论、无限集理论	1872
海涅 (Heine)	一致连续性、有限覆盖（部分）	1870s
博雷尔 (Borel)	有限覆盖定理完整证明	1895
勒贝格 (Lebesgue)	完备测度空间、现代积分理论	1902

D.3 命名说明

Bolzano-Weierstrass Theorem（聚点定理）：
- Bolzano 1817年首次提出（未发表）
- Weierstrass 1860s独立发现并证明
- 现代以两人命名
Heine-Borel Theorem（有限覆盖定理）：
- Heine 研究一致连续性时使用类似思想
- Borel 1895年给出完整证明
- 实际上 Cousin (1895) 也独立发现
Cauchy Criterion（柯西准则）：
- Cauchy 1821年提出
- 是分析严格化的重要里程碑
Nested Interval Theorem（区间套定理）：
- 古老的几何直观
- 现代形式化归功于 Cantor

附录E：拓展阅读与深化方向 | Further Reading

E.1 实数理论的严格构造

三种经典构造方法：

方法一：戴德金分割（Dedekind Cut）

核心思想：用有理数集的分割定义实数

定义：有理数集 $Q$ 的一个分割是指将 $Q$ 分成两个非空子集 $A, B$ ，满足：

$A \cup B = Q$ ， $A \cap B = \emptyset$
对任意 $a \in A, b \in B$ ，有 $a < b$

实数定义：每个分割 $(A ∣ B)$ 定义一个实数

例：

$2$ 对应分割： $A = {x \in Q : x^{2} < 2 或 x < 0}$ ， $B = {x \in Q : x^{2} \geq 2 且 x > 0}$

优点：几何直观，逻辑严密

缺点：运算定义复杂

方法二：柯西序列（Cauchy Sequence）

核心思想：用有理数柯西列的等价类定义实数

定义：

有理数柯西列： ${r_{n}} \subset Q$ ， $\forall ε > 0, \exists N$ ， $m, n > N \Rightarrow ∣ r_{n} - r_{m} ∣ < ε$
等价关系： ${r_{n}} \sim {s_{n}} ⟺ lim_{n \to \infty} (r_{n} - s_{n}) = 0$
实数 = 柯西列的等价类

例：

$2$ 对应等价类：包含所有收敛到 $2$ 的有理数柯西列

优点：自然符合极限思想，运算定义简单

缺点：等价类概念抽象

方法三：十进制小数（Decimal Expansion）

核心思想：实数 = 有限或无限十进制小数

定义： $x = \pm a_{0} . a_{1} a_{2} a_{3} \dots = \pm k = 0 \sum \infty \frac{a _{k}}{1 0 ^{k}}$

其中 $a_{0} \in Z$ ， $a_{k} \in {0, 1, 2, \dots, 9}$ （ $k \geq 1$ ）

例：

有理数： $\frac{1}{3} = 0.333 \dots$ (循环小数)
无理数： $2 = 1.414213 \dots$ (不循环)

优点：直观，便于数值计算

缺点： $0.999 \dots = 1.000 \dots$ 的非唯一性问题

E.2 完备度量空间理论

定义（度量空间）：集合 $X$ 配上距离函数 $d : X \times X \to R^{+}$ 满足：

$d (x, y) = 0 ⟺ x = y$
$d (x, y) = d (y, x)$ （对称性）
$d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ （三角不等式）

完备性：度量空间 $(X, d)$ 称为完备的，如果其中每个柯西列都收敛。

例子：

$(R, ∣ x - y ∣)$ ：完备 ✓
$(Q, ∣ x - y ∣)$ ：不完备 ✗
$(R^{n}, ∥ x - y ∥)$ ：完备 ✓
$(C [a, b], ∥ f - g ∥_{\infty})$ ：完备 ✓（连续函数空间）

贝尔纲定理（Baire Category Theorem）：完备度量空间不能表示为可数个无处稠密集的并。

应用：开映射定理、闭图像定理、一致有界原理（泛函分析三大定理）

E.3 紧致性理论

定义（紧致空间）：拓扑空间 $X$ 称为紧致的，如果其每个开覆盖都有有限子覆盖。

海涅-博雷尔定理（一般形式）： $R^{n}$ 中子集 $K$ 紧致 $⟺$ $K$ 闭且有界

序列紧致性：每个数列都有收敛子列

关系：

度量空间中：紧致 $⟺$ 序列紧致
一般拓扑空间：紧致 $\neq \Rightarrow$ 序列紧致

紧致性的重要性质：

连续函数在紧集上有界并达到最值
紧集上的连续函数一致连续
紧集的连续像是紧集
有限个紧集的乘积是紧集（Tychonoff定理）

E.4 推荐参考书目

经典教材：

📘 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（3卷本）
- 详尽、严格、全面
📗 Rudin《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）
- 简洁优雅，习题精彩
📙 陈纪修等《数学分析》（第二版，复旦）
- 现代化，注重思想
📕 卓里奇《数学分析》（2卷本）
- 联系广泛，现代观点

实数理论专著： 5. 📔 Dedekind《连续性与无理数》（Continuity and Irrational Numbers, 1872）

经典原著，篇幅短小精悍

📓 Landau《微积分基础》（Foundations of Analysis）
- 从皮亚诺公理构造实数

拓扑学： 7. 📒 Munkres《拓扑学》（Topology）

现代标准教材

泛函分析： 8. 📐 Rudin《实分析与复分析》（Real and Complex Analysis）

进阶必读

附录F：练习题精选 | Selected Exercises

F.1 基础题

1. 证明：若 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足 $[a_{n}, b_{n}] \supseteq [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ ，但 $(b_{n} - a_{n}) \neq \to 0$ ，则公共点可能不唯一。

提示：构造反例 $[0, 1 + \frac{1}{n}]$ 。

2. 判断下列点集的聚点： (a) $S_{1} = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots}$ (b) $S_{2} = {(- 1)^{n} (1 - \frac{1}{n}) : n \in N^{+}}$ (c) $S_{3} = Q \cap [0, 1]$

答案：

(a) 聚点为 0（唯一）
(b) 聚点为 1 和 -1
(c) 聚点为 $[0, 1]$ （所有点）

3. 证明：开区间 $(a, b)$ 的任何开覆盖都有可数子覆盖。

提示：在每个有理点附近选一个开区间。

F.2 进阶题

4. 用区间套定理证明： $n$ 次多项式方程 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ （ $a_{n} \neq = 0$ ）至少有一个实根或复根。

提示：仅实根情况可用区间套；复根需用代数基本定理。

5. 证明：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f (x) > 0$ ，则存在 $δ > 0$ ，使得 $f (x) \geq δ$ 对所有 $x \in [a, b]$ 成立。

证明（用有限覆盖）：

对每个 $x \in [a, b]$ ，由 $f (x) > 0$ 和连续性， $\exists δ_{x}, ε_{x} > 0$ ，使得当 $∣ x^{'} - x ∣ < δ_{x}$ 时， $f (x^{'}) > ε_{x}$ 。

令 $H = {(x - δ_{x}, x + δ_{x}) : x \in [a, b]}$ ，由有限覆盖定理，存在有限子覆盖对应 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 。

令 $δ = min {ε_{x_{1}}, \dots, ε_{x_{n}}} > 0$ 。

对任意 $x \in [a, b]$ ， $\exists k$ 使得 $x \in (x_{k} - δ_{x_{k}}, x_{k} + δ_{x_{k}})$ ，故 $f (x) > ε_{x_{k}} \geq δ$ 。✓

6. （费马数不全是质数）证明：存在无限多个合数费马数 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ 。

提示：证明 $F_{0} F_{1} \dots F_{n - 1} = F_{n} - 2$ ，从而 $F_{n}$ 与 $F_{0}, \dots, F_{n - 1}$ 互质。若 $F_{k}$ 是合数，其质因子不整除其他费马数。

F.3 挑战题

7. （康托三分集）定义康托集 $C$ 如下：

$C_{0} = [0, 1]$
$C_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]$ （去掉中间 $\frac{1}{3}$ ）
$C_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$
$C = ⋂_{n = 0}^{\infty} C_{n}$

证明： (a) $C$ 非空 (b) $C$ 中无内点（内部为空） (c) $C$ 不可数

提示：

(a) 用区间套定理
(b) 每个区间最终被去掉
(c) 用三进制表示： $C = {x \in [0, 1] : x = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a _{k}}{3 ^{k}}, a_{k} \in {0, 2}}$ ，与 ${0, 1}^{N}$ 一一对应

8. 证明：聚点定理 $⟹$ 有限覆盖定理。

证明（反证法）：

假设 $[a, b]$ 有开覆盖 $H$ 无有限子覆盖。

对每个 $x \in [a, b]$ ，若 $x$ 的所有邻域都只被 $H$ 中无限多个开区间覆盖，则记 $x \in S$ 。

可证 $S$ 是无限集（否则 $[a, b] ∖ S$ 的每点有邻域被有限覆盖，从而整体被有限覆盖）。

$S$ 有界，由聚点定理， $S$ 有聚点 $ξ$ 。

但 $ξ \in [a, b]$ ， $\exists (α, β) \in H$ 使得 $ξ \in (α, β)$ 。

则 $(α, β)$ 是 $ξ$ 的邻域，应包含 $S$ 中无穷多点，但 $(α, β)$ 仅一个开区间覆盖它，矛盾！✓

🎯 本章核心要点总结 | Key Takeaways

核心定理记忆口诀

确界原理是公理，有界集合有确界；
单调有界必收敛，极限恰为上下界；
区间套定理最关键，唯一公共点呈现；
聚点定理看无限，有界点集有聚点；
有限覆盖看紧致，闭区间上能实现；
柯西准则判收敛，无需极限值判断。

应用场景速查

要证明...	首选工具	备选工具
根的存在性	区间套定理	有限覆盖定理
数列收敛性	柯西准则	单调有界定理
函数有界性	有限覆盖定理	聚点定理
子列收敛性	聚点定理	致密性定理
一致连续性	有限覆盖定理	—
最值存在性	聚点定理	有限覆盖定理
确界存在性	确界原理（公理）	柯西准则构造

至此，实数完备性理论的完整知识体系构建完毕！ 🎊

这一章为整个数学分析提供了坚实的理论基础。从这里出发，我们可以严格证明连续函数的各种性质、建立积分理论、研究级数收敛性，以及探索更深层次的数学结构。完备性不仅是实数系的特征，更是现代分析学的灵魂。

继续前行，探索微积分的无限可能！ 🚀

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