第八章 不定积分：完整知识体系

Chapter 8: Indefinite Integrals - Complete Knowledge System

知识体系导读 | System Overview
不定积分是微分学的逆运算，它将"已知导数求原函数"这一逆问题系统化。作为积分学的基础，不定积分不仅解决了许多实际问题（如已知速度求路程、已知加速度求速度），更为定积分理论提供了计算工具。本章系统构建不定积分的完整理论框架，从原函数的存在性与唯一性出发，建立基本积分公式，发展出换元积分法、分部积分法等核心技术，最终形成一套完整的积分计算方法论。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

不定积分理论体系 (Indefinite Integrals)
│
├─── 核心概念层 (Core Concepts)
│    ├─ 原函数 (Primitive Function)
│    │  ├─ 定义：F'(x) = f(x)
│    │  ├─ 存在性：连续函数必有原函数
│    │  └─ 唯一性：相差常数
│    │
│    ├─ 不定积分 (Indefinite Integral)
│    │  ├─ 定义：∫f(x)dx = F(x) + C
│    │  ├─ 几何意义：积分曲线族
│    │  ├─ 物理意义：初值问题求解
│    │  └─ 符号说明：∫(积分号)、f(x)(被积函数)、dx(积分变量)
│    │
│    └─ 基本关系
│       ├─ d[∫f(x)dx] = f(x)dx
│       ├─ ∫dF(x) = F(x) + C
│       └─ [∫f(x)dx]' = f(x)
│
├─── 理论基础层 (Theoretical Foundation)
│    ├─ 定理8.1：连续函数存在原函数 ★核心定理★
│    │  └─ 证明：第九章§5（积分中值定理）
│    │
│    ├─ 定理8.2：原函数的性质
│    │  ├─ (i) F+C 也是原函数
│    │  └─ (ii) 任意两个原函数相差常数
│    │
│    └─ 定理8.3：线性运算法则
│       └─ ∫[k₁f(x)+k₂g(x)]dx = k₁∫f(x)dx + k₂∫g(x)dx
│
├─── 基本积分公式层 ★必须熟记★ (Basic Integration Formulas)
│    ├─ 幂函数类
│    │  ├─ ∫0dx = C
│    │  ├─ ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C  (α≠-1, x>0)
│    │  └─ ∫dx/x = ln|x| + C  (x≠0)
│    │
│    ├─ 指数函数类
│    │  ├─ ∫e^x dx = e^x + C
│    │  └─ ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C  (a>0, a≠1)
│    │
│    ├─ 三角函数类
│    │  ├─ ∫cos(ax)dx = (1/a)sin(ax) + C  (a≠0)
│    │  ├─ ∫sin(ax)dx = -(1/a)cos(ax) + C  (a≠0)
│    │  ├─ ∫sec²x dx = tan x + C
│    │  ├─ ∫csc²x dx = -cot x + C
│    │  ├─ ∫sec x·tan x dx = sec x + C
│    │  └─ ∫csc x·cot x dx = -csc x + C
│    │
│    └─ 反三角函数类
│       ├─ ∫dx/√(1-x²) = arcsin x + C = -arccos x + C
│       └─ ∫dx/(1+x²) = arctan x + C = -arccot x + C
│
├─── 积分方法层 (Integration Techniques)
│    ├─ 直接积分法
│    │  ├─ 基本公式直接应用
│    │  ├─ 线性运算法则
│    │  └─ 简单恒等变形
│    │
│    ├─ 第一类换元法（凑微分法）★重要★
│    │  ├─ ∫f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(u)du  (u=φ(x))
│    │  ├─ 凑微分技巧
│    │  └─ 常见模式识别
│    │
│    ├─ 第二类换元法（变量代换法）
│    │  ├─ 三角代换
│    │  ├─ 根式代换
│    │  └─ 倒代换
│    │
│    ├─ 分部积分法 ★核心方法★
│    │  ├─ ∫u dv = uv - ∫v du
│    │  ├─ 选择u和dv的技巧
│    │  └─ 递推关系应用
│    │
│    └─ 有理函数积分
│       ├─ 部分分式分解
│       ├─ 三角有理函数积分
│       └─ 万能代换
│
├─── 技巧与策略层 (Strategies and Tricks)
│    ├─ 恒等变形技巧
│    │  ├─ 三角恒等式
│    │  ├─ 代数恒等式
│    │  └─ 分子分母同乘/除
│    │
│    ├─ 模式识别
│    │  ├─ 识别复合函数结构
│    │  ├─ 识别分部积分模式
│    │  └─ 识别循环积分
│    │
│    └─ 特殊函数处理
│       ├─ 绝对值函数
│       ├─ 分段函数
│       └─ 隐式积分
│
└─── 应用层 (Applications)
     ├─ 初值问题求解
     │  ├─ 已知速度求路程
     │  ├─ 已知加速度求速度
     │  └─ 微分方程初值问题
     │
     ├─ 几何应用
     │  ├─ 积分曲线族
     │  ├─ 切线斜率已知求曲线
     │  └─ 曲线方程恢复
     │
     └─ 为定积分做准备
        ├─ 牛顿-莱布尼茨公式基础
        └─ 积分计算的理论工具

第一部分：原函数与不定积分的概念 | Primitive Functions and Indefinite Integrals

1.1 引入：微分学的逆问题

微分学的基本问题：已知函数 $f(x)$，求其导数 $f^{\prime }(x)$。

积分学的基本问题（逆问题）：已知导数 $f(x)$，求原函数 $F(x)$ 使得 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

正问题（微分）              逆问题（积分）
    
F(x)  ────→  F'(x)         f(x)  ────→  F(x)
      求导数                      求原函数
      (容易)                      (困难)
      
例：x³ → 3x²              例：3x² → x³ + C

实际背景：

1. 物理学：

   • 已知速度 $v(t)$，求路程 $s(t)$
   • 已知加速度 $a(t)$，求速度 $v(t)$

2. 几何学：

   • 已知曲线上每点的切线斜率，求曲线方程

3. 微分方程：

   • 求解最简单的微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x)$

1.2 原函数的定义

定义 8.1（原函数，Primitive Function）

设函数 $f$ 与 $F$ 在区间 $I$ 上都有定义。若

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in I}$$

则称 $F$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

例子：

观察：同一个函数可以有无穷多个原函数（相差常数）。

1.3 原函数存在性与唯一性

定理 8.1（原函数存在性定理）★核心定理★

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上存在原函数 $F$，即

$$F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in I$$

证明：本定理的证明要到第九章 §5（积分中值定理与微积分基本定理）才能给出。证明思路是通过定积分构造原函数：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

推论：

1. 每个初等函数在其定义区间上都有原函数（因为初等函数在定义区间上连续）
2. 但初等函数的原函数不一定仍是初等函数（例：$e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{1}{\ln x}$ 的原函数都不是初等函数）

注意：有间断点的函数不一定存在原函数（参见习题4、8）。

定理 8.2（原函数的性质）

设 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则：

(i) 常数平移性：$F+C$ 也是 $f$ 在 $I$ 上的原函数，其中 $C$ 为任意常数。

(ii) 唯一性（相差常数）：$f$ 在 $I$ 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。

证明：

(i) 因为 $$[F(x)+C{]}^{\prime }=F^{\prime }(x)+0=f(x),\forall x\in I$$

所以 $F+C$ 也是 $f$ 的原函数。✓

(ii) 设 $F$ 和 $G$ 是 $f$ 在 $I$ 上的任意两个原函数，则有

$$[F(x)-G(x){]}^{\prime }=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0,\forall x\in I$$

根据拉格朗日中值定理的推论（第六章）：导数恒为零的函数必为常函数，即

$$F(x)-G(x)=C,\forall x\in I$$

证毕。✓

几何意义：

    y
    │   F(x)+C₃  ————————  (向上平移)
    │   F(x)+C₂  ————————
    │   F(x)     ————————  (基准积分曲线)
    │   F(x)+C₁  ————————  (向下平移)
    │
    └────────────────────→ x
    
    所有积分曲线在相同横坐标处的切线互相平行
    (因为斜率都等于 f(x))

1.4 不定积分的定义

定义 8.2（不定积分，Indefinite Integral）

函数 $f$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

$$\boxed{\int f(x)dx}$$

其中：

• $\int$ —— 积分号（Integral Sign）
• $f(x)$ —— 被积函数（Integrand）
• $f(x)dx$ —— 被积表达式（Differential Expression）
• $x$ —— 积分变量（Variable of Integration）
• $dx$ —— 微分符号（表示对 $x$ 积分）

重要：尽管记号中各部分都有名称，但使用时必须把 $\int f(x)dx$ 看作一个整体。

不定积分的标准写法

若 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则

$$\boxed{\int f(x)dx=F(x)+C}$$

其中 $C$ 称为积分常数（Integration Constant），可取任一实数值。

关系总结：

1.5 不定积分的基本性质

根据定义，不定积分与微分运算互为逆运算：

性质 1：微分与积分互逆

$$\boxed{d\left[\int f(x)dx\right]=f(x)dx}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\boxed{{\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }=f(x)}\text{\hspace{1em}(2)}$$

解读：对不定积分求导（或微分），得回被积函数（或被积表达式）。

性质 2：积分与微分互逆

$$\boxed{\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C}\text{\hspace{1em}(3)}$$

解读：对微分式积分，得回原函数（加常数）。

例：本章开头的例子可以写作

$$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$$

$$\int \sin 2xdx=-\frac{\cos 2x}{2}+C$$

$$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$

1.6 不定积分的几何意义

积分曲线：若 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则 $y=F(x)$ 的图像称为 $f$ 的一条积分曲线。

积分曲线族：$f$ 的不定积分在几何上表示 $f$ 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线族。

    y
    │     y = F(x) + C₃
    │     ╱╱╱╱╱╱╱╱╱╱╱  (所有曲线在相同x处
    │    y = F(x) + C₂   的切线互相平行)
    │    ╱╱╱╱╱╱╱╱╱╱
    │   y = F(x)
    │   ╱╱╱╱╱╱╱╱╱
    │  y = F(x) + C₁
    │  ╱╱╱╱╱╱╱╱
    └────────────────→ x
    
    图8-1：积分曲线族

切线性质：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行（斜率都是 $f(x)$）。

1.7 初值问题（物理应用）

在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足初始条件 $F(x_0)=y_0$ 的原函数，它就是积分曲线族中通过点 $(x_0,y_0)$ 的那一条积分曲线。

例（匀加速直线运动）：

质点做匀加速直线运动时，加速度 $a(t)=v^{\prime }(t)=a$（常数），则

$$v(t)=\int adt=at+C$$

若已知初始条件 $v(t_0)=v_0$，代入上式确定积分常数：

$$v_0=a{t}_0+C⟹C=v_0-a{t}_0$$

因此

$$\boxed{v(t)=a(t-t_0)+v_0}$$

又因为 $s^{\prime }(t)=v(t)$，所以

$$s(t)=\int [a(t-t_0)+v_0]dt=\frac{a}{2}(t-t_0{)}^2+v_{0}t+C_1$$

若已知 $s(t_0)=s_0$，则 $C_1=s_0-v_0{t}_0$，代入得

$$\boxed{s(t)=\frac{a}{2}(t-t_0{)}^2+v_0(t-t_0)+s_0}$$

这就是中学物理中的匀变速直线运动公式！

第二部分：基本积分公式表 | Basic Integration Formulas

2.1 如何求原函数？

困难之处：原函数的定义不像导数定义那样具有构造性——它只告诉我们 $F^{\prime }(x)=f(x)$，但没有指出如何由 $f$ 求出 $F$ 的具体形式和途径。

解决方法：只能按照微分法的已知结果去试探（反推）。

策略：

1. 首先把基本导数公式改写成基本积分公式
2. 然后发展积分技巧（换元法、分部积分法等）
3. 逐步扩充不定积分公式

2.2 基本积分公式（14个必须熟记）★★★

I. 幂函数类（3个）

$$\boxed{\int 0dx=C}\text{\hspace{1em}(公式1)}$$

$$\boxed{\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1,x>0)}\text{\hspace{1em}(公式2)}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C(x\ne 0)}\text{\hspace{1em}(公式3)}$$

说明：

• 公式2：当 $\alpha =-1$ 时不适用，此时用公式3
• 公式3：适用于不含坐标原点的任何区间

验证公式3： $$(\ln |x|+C{)}^{\prime }=\frac{1}{x},x\ne 0✓$$

II. 指数函数类（2个）

$$\boxed{\int e^{x}dx=e^x+C}\text{\hspace{1em}(公式4)}$$

$$\boxed{\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)}\text{\hspace{1em}(公式5)}$$

III. 三角函数类（6个）

$$\boxed{\int \cos (ax)dx=\frac{1}{a}\sin (ax)+C(a\ne 0)}\text{\hspace{1em}(公式6)}$$

$$\boxed{\int \sin (ax)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax)+C(a\ne 0)}\text{\hspace{1em}(公式7)}$$

$$\boxed{\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C}\text{\hspace{1em}(公式8)}$$

$$\boxed{\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C}\text{\hspace{1em}(公式9)}$$

$$\boxed{\int \sec x\tan xdx=\sec x+C}\text{\hspace{1em}(公式10)}$$

$$\boxed{\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C}\text{\hspace{1em}(公式11)}$$

IV. 反三角函数类（3个）

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C}\text{\hspace{1em}(公式12)}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-\text{arccot }x+C}\text{\hspace{1em}(公式13)}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\text{arcsec }x+C=-\text{arccsc }x+C}\text{\hspace{1em}(公式14)}$$

注意：

• 公式12、13中两种形式的积分常数不同
• 例如：$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$（常数）

2.3 基本积分公式记忆表

2.4 扩充的积分公式（需逐步掌握）

虽然有了14个基本公式，但还不够用。例如：

暂时不知道如何积分的基本初等函数：

• $\ln x$
• $\tan x$
• $\cot x$
• $\sec x$
• $\csc x$
• $\arcsin x$
• $\arctan x$
• $e^{-x^2}$（高斯函数，原函数不是初等函数！）

这些需要我们发展积分技巧（换元法、分部积分法等）来解决。

第三部分：不定积分的线性运算法则 | Linearity of Indefinite Integrals

3.1 线性运算法则

定理 8.3（线性法则）

若函数 $f$ 与 $g$ 在区间 $I$ 上都存在原函数，$k_1,k_2$ 为两个任意常数，则 $k_{1}f+k_{2}g$ 在 $I$ 上也存在原函数，且当 $k_1$ 和 $k_2$ 不同时为零时，有

$$\boxed{\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx}\text{\hspace{1em}(4)}$$

证明：

这是因为

$${\left[k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx\right]}^{\prime }=k_1{\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }+k_2{\left[\int g(x)dx\right]}^{\prime }$$

$$=k_{1}f(x)+k_{2}g(x)$$

证毕。✓

一般形式：

$$\boxed{\int \sum _{i=1}^n{k}_i{f}_i(x)dx=\sum _{i=1}^n{k}_i\int f_i(x)dx}\text{\hspace{1em}(5)}$$

口诀：

• 积分的和 = 和的积分
• 常数可以提到积分号外

3.2 线性法则的应用

例1（多项式积分）

设 $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，求 $\int p(x)dx$。

解：

$$\int p(x)dx=\int (a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n)dx$$

$$=a_0\int x^{n}dx+a_1\int x^{n-1}dx+\cdots +a_{n-1}\int xdx+a_n\int dx$$

$$=\boxed{\frac{a_0{x}^{n+1}}{n+1}+\frac{a_1{x}^n}{n}+\cdots +\frac{a_{n-1}{x}^2}{2}+a_{n}x+C}$$

结论：多项式的不定积分仍是多项式（次数加1）。

例2（三角恒等式应用）

求 $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}$。

解：

利用基本三角恒等式 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$：

$$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=\int \frac{dx}{1}=\int dx=\boxed{x+C}$$

但也可以另一种方式计算：

$$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx\cdot 0$$

等等，这样不对！应该是：

$$\int \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}dx=\int ({\sec }^{2}x+{\csc }^{2}x)dx$$

$$=\tan x-\cot x+C$$

这两个结果不矛盾吗？ 实际上：

$$\tan x-\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\cos x\sin x}$$

这与 $x$ 相差一个非常数函数，说明我们的变形有问题！

正确理解：第一种方法是对的。第二种方法混淆了 $\frac{1}{a+b}$ 和 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。

让我们看正确的例子：

例2'（正确版本）

求 $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x}$。

解：

$$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}=\int \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}dx$$

$$=\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$

$$=\int ({\csc }^{2}x+{\sec }^{2}x)dx$$

$$=\boxed{-\cot x+\tan x+C}$$

验证： $$(-\cot x+\tan x{)}^{\prime }={\csc }^{2}x+{\sec }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}✓$$

例3（积化和差公式）

求 $\int \cos 3x\cdot \sin xdx$。

解：

利用积化和差公式： $$\cos 3x\sin x=\frac{1}{2}[\sin (3x+x)-\sin (3x-x)]=\frac{1}{2}(\sin 4x-\sin 2x)$$

因此：

$$\int \cos 3x\sin xdx=\frac{1}{2}\int (\sin 4x-\sin 2x)dx$$

$$=\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 4x}{4}+\frac{\cos 2x}{2}\right)+C$$

$$=\boxed{-\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{4}+C}$$

另一种写法：

$$=-\frac{1}{8}\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 2x+C^{\prime }$$

（两式相差常数 $-\frac{1}{4}\cos 2x$在积分常数中）

例4（指数函数恒等式）

求 $\int (10^x-10^{-x}{)}^{2}dx$。

解：

先展开：

$$(10^x-10^{-x}{)}^2=10^{2x}+10^{-2x}-2\cdot 10^x\cdot 10^{-x}=10^{2x}+10^{-2x}-2$$

因此：

$$\int (10^x-10^{-x}{)}^{2}dx=\int (10^{2x}+10^{-2x}-2)dx$$

$$=\int 10^{2x}dx+\int 10^{-2x}dx-2\int dx$$

$$=\frac{10^{2x}}{2\ln 10}+\frac{10^{-2x}}{-2\ln 10}-2x+C$$

$$=\boxed{\frac{10^{2x}-10^{-2x}}{2\ln 10}-2x+C}$$

例5（和差化积公式）

求 $\int (\cos x+\sin x{)}^{2}dx$。

解：

展开： $$(\cos x+\sin x{)}^2={\cos }^{2}x+2\cos x\sin x+{\sin }^{2}x=1+2\cos x\sin x=1+\sin 2x$$

因此：

$$\int (\cos x+\sin x{)}^{2}dx=\int (1+\sin 2x)dx$$

$$=x-\frac{\cos 2x}{2}+C$$

$$=\boxed{x-\frac{1}{2}\cos 2x+C}$$

第四部分：绝对值函数的积分 | Integration of Absolute Value Functions

4.1 分段函数的处理原则

当被积函数包含绝对值或分段定义时，必须：

1. 先确定函数在各区间上的表达式
2. 分别求各区间上的原函数
3. 利用原函数的连续性确定积分常数

4.2 典型例题

例6（绝对值函数积分）

求不定积分 $\int |x-1|dx$。

解：

Step 1：分段表示被积函数

$$f(x)=|x-1|=\{\begin{array}{ll}x-1,& x\ge 1\\ 1-x,& x\le 1\end{array}$$

    f(x)
     │     ╱
     │    ╱
     │   ╱
─────┼──●────→ x
     1  │╲
        │ ╲
        │  ╲

Step 2：因为 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，所以不定积分 $\int |x-1|dx$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上存在。

Step 3：分别在各区间上求原函数

当 $x\ge 1$ 时： $$\int (x-1)dx=\frac{x^2}{2}-x+C_1$$

当 $x\le 1$ 时： $$\int (1-x)dx=x-\frac{x^2}{2}+C_2$$

Step 4：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，且满足

$$F(x)=\frac{x^2}{2}-x,x\in [1,+\infty )$$

（这里取 $C_1=0$）

则当 $x\in (-\infty ,1]$ 时，$F^{\prime }(x)=1-x$。所以存在常数 $C$ 使得

$$F(x)=x-\frac{x^2}{2}+C,x\in (-\infty ,1]$$

Step 5：利用 $F(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，在 $x=1$ 处连续：

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }F(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }F(x)$$

$$1-\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}-1$$

$$\frac{1}{2}+C=-\frac{1}{2}$$

$$C=-1$$

Step 6：因此

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{2}-x,& x\in [1,+\infty )\\ x-\frac{x^2}{2}-1,& x\in (-\infty ,1]\end{array}$$

最终答案：

$$\boxed{\int |x-1|dx=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{2}-x+C,& x\ge 1\\ x-\frac{x^2}{2}-1+C,& x\le 1\end{array}}$$

或写成统一形式（利用绝对值）：

$$\boxed{\int |x-1|dx=\frac{(x-1)|x-1|}{2}+C}$$

验证：

当 $x>1$ 时，$\frac{(x-1)|x-1|}{2}=\frac{(x-1{)}^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{2}$，导数为 $x-1=|x-1|$ ✓

当 $x<1$ 时，$\frac{(x-1)|x-1|}{2}=\frac{(x-1)(1-x)}{2}=-\frac{(x-1{)}^2}{2}$，导数为 $-(x-1)=1-x=|x-1|$ ✓

4.3 一般方法总结

对于 $\int |ax+b|dx$：

$$\boxed{\int |ax+b|dx=\frac{|ax+b|(ax+b)}{2a}+C=\frac{(ax+b{)}^2\cdot \text{sgn}(ax+b)}{2a}+C}$$

或者更简洁：

$$\int |u|du=\frac{u|u|}{2}+C$$

第五部分：积分技巧预告 | Preview of Integration Techniques

虽然我们现在有了基本积分公式和线性运算法则，但它们远远不够。为了计算更复杂的积分，我们需要发展专门的积分技巧。

5.1 即将学习的积分方法

积分方法体系
    │
    ├─ 第一类换元法（凑微分法）
    │  └─ ∫f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(u)du
    │
    ├─ 第二类换元法（变量代换）
    │  ├─ 三角代换
    │  ├─ 根式代换
    │  └─ 倒代换
    │
    ├─ 分部积分法 ★核心方法★
    │  └─ ∫u dv = uv - ∫v du
    │
    ├─ 有理函数积分
    │  └─ 部分分式分解
    │
    └─ 特殊类型积分
       ├─ 三角有理函数
       └─ 简单无理函数

5.2 目前尚未解决的积分

以下基本初等函数的积分目前还不会求：

📚 本节核心要点总结 | Key Takeaways

核心概念

核心定理

基本积分公式速记口诀

零的积分是常数 C，
幂次加一除加一（α≠-1），
一比 x 积分取对数，
e 的 x 次还是它自己。

余弦积分变正弦，
正弦积分负余弦，
正割平方是正切，
余割平方负余切。

根号一减 x 方分之一，
积分反正弦莫忘记；
一加 x 方分之一，
积分反正切要牢记。

积分与微分互逆关系

$$\begin{array}{ccc}\text{微分}& \stackrel{\text{求导}}{\to }& \text{导数}\\ F(x)& ⟶& f(x)\\ \text{原函数}& \stackrel{\text{积分}}{\leftarrow }& \text{被积函数}\end{array}$$

$$\boxed{d[\int f(x)dx]=f(x)dx}\boxed{[\int f(x)dx{]}^{\prime }=f(x)}$$

$$\boxed{\int dF(x)=F(x)+C}\boxed{\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C}$$

常见误区与注意事项

❌ 常见错误

1. 忘记加积分常数： $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}\text{✗ 错误！}$$ $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C\text{✓ 正确！}$$

2. 混淆 $\int \frac{1}{f+g}$ 和 $\int \frac{1}{f}+\int \frac{1}{g}$： $$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}\ne \int {\sec }^{2}xdx+\int {\csc }^{2}xdx$$

3. 绝对值函数不分段： $$\int |x|dx\ne \frac{x^2}{2}+C\text{(当 x<0 时错误)}$$

4. 公式记忆错误： $$\int x^{-1}dx\ne \frac{x^0}{0}+C\text{✗}$$ $$\int x^{-1}dx=\ln |x|+C\text{✓}$$

5. 三角函数积分符号错误： $$\int \sin xdx=\cos x+C\text{✗ 少了负号}$$ $$\int \sin xdx=-\cos x+C\text{✓}$$

✓ 关键注意

1. 积分常数 $C$ 绝对不能忘（除非求定积分）
2. 线性运算法则：常数可提出，和可拆开
3. 绝对值函数必须分段处理
4. 原函数的连续性用于确定分段积分的常数
5. 熟记14个基本积分公式（反复练习）
6. 验证结果：求导检验是否得回被积函数

附录A：基本积分公式对照表 | Formula Reference

完整的14个基本积分公式

附录B：练习题精选 | Selected Exercises

B.1 基础题

1. 求下列不定积分：

(a) $\int (3x^2-2x+5)dx$

(b) $\int (2e^x+3^x)dx$

(c) $\int (\sin 2x-\cos 3x)dx$

(d) $\int \frac{x^3+1}{x^2}dx$

答案：

• (a) $x^3-x^2+5x+C$
• (b) $2e^x+\frac{3^x}{\ln 3}+C$
• (c) $-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{3}\sin 3x+C$
• (d) $\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+C$

2. 求不定积分 $\int |2x+3|dx$。

提示：分段处理，转折点在 $x=-\frac{3}{2}$。

3. 验证下列等式：

(a) $\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)$

(b) $\int \frac{d}{dx}[F(x)]dx=F(x)+C$

B.2 进阶题

4. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，且 $\int f(x)dx=F(x)+C$。证明：

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C(a\ne 0)$$

5. 求满足初值条件的原函数：

(a) $F^{\prime }(x)=3x^2-2x+1$，$F(0)=5$

(b) $v^{\prime }(t)=-9.8$，$v(0)=20$（自由落体）

答案：

• (a) $F(x)=x^3-x^2+x+5$
• (b) $v(t)=-9.8t+20$

6. 设函数 $f(x)$ 的一个原函数是 $\sin x$，求 $\int xf(x)dx$。

提示：这需要分部积分法（下一节内容）。

B.3 挑战题

7. （原函数存在性）构造一个在 $\mathbb{R}$ 上有定义但不存在原函数的函数。

提示：考虑第一类间断点。例如： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$$

8. 证明：若 $f$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f$ 必在 $I$ 上连续。

提示：利用达布定理（导函数具有介值性）。

🎯 学习建议 | Study Recommendations

学习路径

第1阶段：基础概念（1-2天）

1. ✅ 理解原函数与不定积分的关系
2. ✅ 掌握不定积分的定义与符号
3. ✅ 理解积分与微分的互逆关系
4. ✅ 理解积分曲线族的几何意义

第2阶段：基本公式（3-5天） 5. ✅ 熟记14个基本积分公式 6. ✅ 练习基本公式的直接应用 7. ✅ 掌握线性运算法则 8. ✅ 练习恒等变形技巧

第3阶段：特殊情况（2-3天） 9. ✅ 掌握绝对值函数的分段处理 10. ✅ 理解初值问题的求解方法 11. ✅ 练习物理应用题

第4阶段：积分技巧（后续章节） 12. 🔷 第一类换元法 13. 🔷 第二类换元法 14. 🔷 分部积分法 15. 🔷 有理函数积分

记忆技巧

1. 对比记忆法

2. 口诀记忆法

"余弦积分变正弦，正弦积分负余弦；
正割平方是正切，余割平方负余切；
正割正切得正割，余割余切负余割。"

3. 符号规律

• 正弦、余割相关公式带负号
• 余弦、正割相关公式不带负号

练习建议

每日练习计划：

• 每天至少做10道基本积分题
• 每周做2-3道综合应用题
• 每做完一题立即求导验证
• 错题记录在专门的错题本

验证习惯养成：

• 每次求完积分，立即对结果求导
• 检查是否得回被积函数
• 这是最有效的自我检验方法

🎓 本节总结语 | Concluding Remarks

不定积分是微分学的逆运算，它从"已知函数求导数"的正问题，转向"已知导数求函数"的逆问题。虽然求导有系统的规则和公式，但求积分却需要更多的技巧和经验——这正是积分学的魅力所在。

三个核心认识：

1. 原函数的存在性：连续函数必有原函数（定理8.1）
2. 原函数的唯一性：相差常数（定理8.2）
3. 积分常数不可忘：$\int f(x)dx=F(x)+C$

本节建立了不定积分的基本框架，给出了14个基本积分公式和线性运算法则。这是整个积分理论的基础，后续我们将发展更多的积分技巧（换元法、分部积分法等），逐步扩充可积函数的范围。

记住：积分比求导困难得多，需要大量练习和经验积累。但一旦掌握，你将拥有解决无数实际问题的强大工具！

恭喜！您已完成不定积分概念与基本公式的学习。 🎉

继续前进，下一节我们将学习第一类换元法（凑微分法），这是积分计算中最常用的技巧之一！🚀