I'll analyze the uploaded PDF files to build a comprehensive knowledge system on this topic.

第九章 定积分：完整知识体系

Chapter 9: Definite Integrals - Complete Knowledge System

知识体系导读 | System Overview
定积分是积分学的核心概念，它从实际问题（曲边梯形面积、变力做功）出发，通过"分割、近似、求和、取极限"的思想方法，建立起一套严密的数学理论。与不定积分作为"求导的逆运算"不同，定积分本质上是一种特殊和式的极限——黎曼和的极限。本章系统构建定积分的完整理论框架，从概念的引入、性质的探讨、可积性判定，到计算方法的建立，形成一个逻辑严密、应用广泛的理论体系。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

定积分理论体系 (Definite Integrals)
│
├─── 问题背景层 (Problem Background)
│    ├─ 实际问题引入
│    │  ├─ 问题1：曲边梯形面积
│    │  │  ├─ 初等几何的局限性
│    │  │  ├─ 需要新的数学工具
│    │  │  └─ 导向：特殊和式的极限
│    │  │
│    │  └─ 问题2：变力做功
│    │     ├─ 常力做功公式不适用
│    │     ├─ 连续变力的处理
│    │     └─ 导向：同样的和式结构
│    │
│    └─ 共同思想方法
│       ├─ 第1步：分割（Partition）
│       ├─ 第2步：近似（Approximation）
│       ├─ 第3步：求和（Summation）
│       └─ 第4步：取极限（Limit）
│
├─── 核心概念层 (Core Concepts)
│    ├─ 区间分割 (Partition)
│    │  ├─ 定义1：分割T的定义
│    │  │  └─ a=x₀<x₁<x₂<...<xₙ=b
│    │  ├─ 小区间：Δᵢ=[xᵢ₋₁,xᵢ]
│    │  ├─ 小区间长度：Δxᵢ=xᵢ-xᵢ₋₁
│    │  └─ 分割的模：‖T‖=max{Δxᵢ}
│    │
│    ├─ 积分和 (Riemann Sum)
│    │  ├─ 定义2：黎曼和
│    │  │  └─ Σf(ξᵢ)Δxᵢ (ξᵢ∈Δᵢ)
│    │  ├─ 依赖性
│    │  │  ├─ 依赖于分割T
│    │  │  └─ 依赖于点集{ξᵢ}
│    │  └─ 特点：同一‖T‖对应无穷多个积分和
│    │
│    ├─ 定积分 (Definite Integral)
│    │  ├─ 定义3：可积性（ε-δ定义）
│    │  │  ├─ ∀ε>0, ∃δ>0
│    │  │  ├─ 当‖T‖<δ时
│    │  │  └─ |Σf(ξᵢ)Δxᵢ-J|<ε
│    │  │
│    │  ├─ 极限记号：J=lim[‖T‖→0]Σf(ξᵢ)Δxᵢ
│    │  ├─ 积分记号：∫ₐᵇf(x)dx=J
│    │  └─ 符号说明
│    │     ├─ ∫：积分号
│    │     ├─ f(x)：被积函数
│    │     ├─ [a,b]：积分区间
│    │     ├─ a,b：下限、上限
│    │     └─ dx：积分变量
│    │
│    └─ 可积性 (Integrability)
│       ├─ 定义：黎曼可积
│       ├─ 连续函数必可积（定理9.3）
│       └─ 可积但不连续的例子
│
├─── 几何与物理意义层 (Geometric & Physical Interpretations)
│    ├─ 几何意义
│    │  ├─ f(x)≥0时：曲边梯形面积
│    │  ├─ f(x)≤0时：负面积（面积的相反数）
│    │  └─ 一般情况：正负面积的代数和
│    │     └─ ∫ₐᵇf(x)dx = S₊ - S₋
│    │
│    ├─ 物理意义
│    │  ├─ 变力做功：W=∫ₐᵇF(x)dx
│    │  ├─ 变速运动路程：s=∫ₜ₀ᵗ¹v(t)dt
│    │  ├─ 质量分布：m=∫ₐᵇρ(x)dx
│    │  └─ 电荷分布：Q=∫ₐᵇσ(x)dx
│    │
│    └─ 图形解读
│       ├─ 图9-1：曲边梯形
│       ├─ 图9-2：分割与小矩形
│       ├─ 图9-3：变力作用
│       └─ 图9-4：正负面积
│
├─── 定积分性质层 (Properties of Definite Integrals)
│    ├─ 基本性质
│    │  ├─ 性质1：积分变量无关性
│    │  │  └─ ∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᵇf(t)dt=∫ₐᵇf(θ)dθ
│    │  │
│    │  ├─ 性质2：唯一性
│    │  │  └─ 定积分的值唯一确定
│    │  │
│    │  └─ 性质3：与不定积分的区别
│    │     ├─ 定积分：数值（常数）
│    │     └─ 不定积分：函数族
│    │
│    ├─ 积分和的极限特性
│    │  ├─ 与函数极限的区别
│    │  │  ├─ 函数极限：一对一对应
│    │  │  └─ 积分和极限：一对多对应
│    │  │
│    │  └─ 复杂性
│    │     └─ 积分和极限比通常极限复杂得多
│    │
│    └─ 特殊分割的应用
│       ├─ 等分分割：Δxᵢ=(b-a)/n
│       └─ 特殊点选择：简化计算
│
├─── 计算方法层 (Computation Methods)
│    ├─ 定义法（从定义直接计算）
│    │  ├─ 步骤1：选择分割（通常等分）
│    │  ├─ 步骤2：选择中间点ξᵢ
│    │  ├─ 步骤3：写出积分和Σf(ξᵢ)Δxᵢ
│    │  ├─ 步骤4：计算极限lim[n→∞]
│    │  └─ 适用：简单函数，理论证明
│    │
│    ├─ 特殊技巧
│    │  ├─ 等分分割：xᵢ=a+i(b-a)/n
│    │  ├─ 端点选择：ξᵢ=xᵢ或ξᵢ=xᵢ₋₁
│    │  ├─ 中点选择：ξᵢ=(xᵢ₋₁+xᵢ)/2
│    │  └─ 几何平均：ξᵢ=√(xᵢ₋₁·xᵢ)
│    │
│    └─ 实例分析
│       └─ 例1：∫₀¹x²dx（抛物线下面积）
│
└─── 理论深化层 (Theoretical Developments)
     ├─ 可积性理论
     │  ├─ 连续函数可积（定理9.3）
     │  ├─ 单调函数可积
     │  ├─ 有界且有限个间断点可积
     │  └─ 达布和判据
     │
     ├─ 积分不等式
     │  ├─ 基本不等式
     │  ├─ 柯西-施瓦茨不等式
     │  └─ 积分中值定理
     │
     └─ 向更高理论发展
        ├─ 黎曼积分的局限性
        ├─ 勒贝格积分
        └─ 抽象测度论

第一部分：问题的提出 | Problem Formulation

1.1 不定积分与定积分的关系

两大基本问题：

区别与联系：

• 区别：概念来源不同，一个代数，一个几何/分析
• 联系：牛顿-莱布尼茨公式将两者联系起来（后续学习）

不定积分                    定积分
   ↓                          ↓
求导的逆                  和式的极限
   ↓                          ↓
∫f(x)dx=F(x)+C          ∫ₐᵇf(x)dx=J
   ↓                          ↓
函数族                      数值
   ↘                        ↙
    牛顿-莱布尼茨公式
    ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)-F(a)

1.2 引例1：曲边梯形的面积

问题描述

设 $f$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，且 $f(x)\ge 0$。由以下四条边界围成的平面图形称为曲边梯形：

• 上边界：曲线 $y=f(x)$
• 下边界：$x$ 轴（$y=0$）
• 左边界：直线 $x=a$
• 右边界：直线 $x=b$

    y
    │     y=f(x)
    │    ╱‾‾‾‾‾╲
    │   ╱        ╲
    │  ╱          ╲___
    │ ╱               ‾╲
    │╱__________________╲___
    └─────────────────────→ x
    a                    b
    
    图9-1：曲边梯形

问题：如何求这个曲边梯形的面积 $S$？

解决思路："分割-近似-求和-取极限"

第1步：分割（Partition）

在区间 $[a,b]$ 上任取 $n-1$ 个分点： $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

这些点把 $[a,b]$ 分割成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，$i=1,2,\dots ,n$。

再用直线 $x=x_i$（$i=1,2,\dots ,n-1$）把曲边梯形分割成 $n$ 个小曲边梯形。

    y
    │     y=f(x)
    │    ╱‾‾‾‾‾╲
    │   ╱│ │ │ │╲
    │  ╱ │ │ │ │ ╲
    │ ╱  │ │ │ │  ╲
    │╱___│_│_│_│___╲
    └─────────────────→ x
    a  x₁ x₂ x₃ ... xₙ₋₁ b
    
    图9-2：分割与近似

第2步：近似（Approximation）

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$。

因为 $f$ 连续，当小区间很小时，$f$ 在该区间上的值变化不大，可以近似认为： $$f(x)\approx f({\xi }_i),x\in [x_{i-1},x_i]$$

用以 ${\xi }_i$ 为底、$f({\xi }_i)$ 为高的小矩形的面积近似替代第 $i$ 个小曲边梯形的面积： $$\Delta S_i\approx f({\xi }_i)\cdot \Delta x_i$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ 是小区间的长度。

第3步：求和（Summation）

$n$ 个小矩形面积之和作为曲边梯形面积 $S$ 的近似值： $$\boxed{S\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}\text{\hspace{1em}(1)}$$

第4步：取极限（Limit）

当分点无限增多，且对 $[a,b]$ 无限细分时（即所有小区间长度都趋于零），如果和式 $(1)$ 趋于某个常数，且这个常数与分点 $x_i$ 和中间点 ${\xi }_i$ 的选取无关，则自然地，我们把这个常数定义为曲边梯形的面积 $S$。

数学表达： $$S=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

其中 $\Vert T\Vert =\max \{\Delta x_i\}$ 表示分割的"细度"。

1.3 引例2：变力做功

问题描述

设质点受力 $F$ 的作用沿 $x$ 轴由点 $a$ 移动到点 $b$，并设 $F$ 处处平行于 $x$ 轴（图9-3）。

    F(x)
     ↑
     │  →→→→→
    ─┼──────────→ x
     a          b
     
    图9-3：变力作用

• 若 $F$ 为常力，则做功 $W=F\cdot (b-a)$（初中物理公式）
• 若 $F$ 为变力，即 $F=F(x)$ 连续依赖于位置 $x\in [a,b]$，如何计算功 $W$？

解决思路：同样的"四步法"

第1步：分割

把 $[a,b]$ 细分为 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$i=1,2,\dots ,n$。

第2步：近似

因为 $F(x)$ 连续，在很小的位移区间上可近似看作常量。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$，有： $$F(x)\approx F({\xi }_i),x\in [x_{i-1},x_i]$$

第3步：求和

质点从 $x_{i-1}$ 位移到 $x_i$ 时，力 $F$ 所做的功近似为： $$\Delta W_i\approx F({\xi }_i)\Delta x_i$$

总功为： $$\boxed{W\approx \sum _{i=1}^{n}F({\xi }_i)\Delta x_i}\text{\hspace{1em}(2)}$$

第4步：取极限

对 $[a,b]$ 作无限细分时，若和式 $(2)$ 趋于某个常数，则把这个常数定义为变力所做的功 $W$： $$W=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}F({\xi }_i)\Delta x_i$$

1.4 共同的数学结构

观察：两个完全不同的问题（几何问题和力学问题），最终都归结为同一种形式的和式及其极限：

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

思想方法总结：

1. 分割：将整体问题分解为局部小问题
2. 近似：用简单量（常数）近似复杂量（变量）
3. 求和：将局部解累加为整体的近似解
4. 取极限：通过无限细分过程得到精确解

这就是微积分的基本思想——"以直代曲"、"无限逼近"。

第二部分：定积分的严格定义 | Rigorous Definition

2.1 区间的分割

定义 1（区间的分割，Partition）

设闭区间 $[a,b]$ 上有 $n-1$ 个点，依次为： $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

它们把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间： $${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i],i=1,2,\dots ,n$$

这些分点或这些闭子区间构成对 $[a,b]$ 的一个分割，记为： $$T=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}\text{或}T=\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n\}$$

定义（分割的模，Norm of Partition）

小区间 ${\Delta }_i$ 的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，记 $$\boxed{\Vert T\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }\Delta x_i}$$

称为分割 $T$ 的模（Norm）。

注：

1. $\Vert T\Vert$ 可用来刻画被分割的细密程度

   • $\Vert T\Vert$ 越小，分割越细密
   • $\Vert T\Vert \to 0$ 意味着所有小区间长度都趋于零

2. 分割 $T$ 一旦给出，$\Vert T\Vert$ 就随之确定

3. 但具有同一细度 $\Vert T\Vert$ 的分割 $T$ 却有无限多个

   • 例如：$\Vert T\Vert =0.1$，可以有等分分割、不等分割等

2.2 积分和（黎曼和）

定义 2（积分和，Riemann Sum）

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的一个函数。对于 $[a,b]$ 的一个分割 $T=\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n\}$，任取点 ${\xi }_i\in {\Delta }_i$，$i=1,2,\dots ,n$，并作和式： $$\boxed{\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

称此和式为函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个积分和，也称黎曼和（Riemann Sum）。

关键观察：

1. 积分和既与分割 $T$ 有关，又与所选取的点集 $\{{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n\}$ 有关
2. 对同一个分割 $T$，不同的点集选择会得到不同的积分和
3. 因此，给定 $\Vert T\Vert$，对应的积分和有无限多个

2.3 定积分的定义

定义 3（定积分，Definite Integral / Riemann Integral）

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的一个函数。如果存在一个确定的实数 $J$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在某一正数 $\delta$，使得对 $[a,b]$ 的任何分割 $T$，以及在其上任意选取的点集 $\{{\xi }_i\}$，只要 $$\Vert T\Vert <\delta$$

就有 $$\boxed{\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|<\epsilon }$$

则称函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可积或黎曼可积；数 $J$ 称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分或黎曼积分，记作 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=J}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中：

• $f$ 称为被积函数（Integrand）
• $x$ 称为积分变量（Variable of Integration）
• $[a,b]$ 称为积分区间（Interval of Integration）
• $a,b$ 分别称为这个定积分的下限和上限（Lower and Upper Limits）

2.4 定义的深入理解

ε-δ 语言的完整表述

$$f\text{ 在 }[a,b]\text{ 上可积}⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall T,\forall \{{\xi }_i\}:\Vert T\Vert <\delta ⟹\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|<\epsilon$$

解读：

• $\forall \epsilon >0$：任意给定精度要求
• $\exists \delta >0$：可以找到相应的分割细度
• $\forall T$：对任何分割（不论等分还是不等分）
• $\forall \{{\xi }_i\}$：对任意选取的中间点
• $\Vert T\Vert <\delta$：只要分割足够细
• 结果：积分和与 $J$ 的差距小于 $\epsilon$

关键点：

1. 一致性：不依赖于特殊的分割方式
2. 普遍性：不依赖于特殊的点选择
3. 极限性：通过 $\Vert T\Vert \to 0$ 实现

2.5 极限记号表示

虽然定义用的是 ε-δ 语言，但我们也常用极限符号来表达定积分： $$\boxed{J=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(4)}$$

注意：这个极限与通常的函数极限有很大区别！

这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多。

第三部分：定积分的注记与性质 | Remarks and Properties

3.1 注1：可积性是函数的分析性质

可积性是函数的又一重要分析性质（类似于连续性、可导性）。

定理 9.3（连续函数可积定理）

若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

（证明将在后续给出）

推论：本节开头两个实例都可用定积分记号表示：

1. 曲边梯形面积：连续曲线 $y=f(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上形成的曲边梯形面积为 $$\boxed{S={\int }_a^{b}f(x)dx}$$

2. 变力做功：在连续变力 $F(x)$ 作用下，质点从 $a$ 位移到 $b$ 所做的功为 $$\boxed{W={\int }_a^{b}F(x)dx}$$

3.2 注2：定积分的几何意义

情况1：$f(x)\ge 0$，$x\in [a,b]$

定积分 $(3)$ 的几何意义就是该曲边梯形的面积： $${\int }_a^{b}f(x)dx=S_{\text{曲边梯形}}$$

    y
    │     y=f(x)
    │    ╱‾‾‾‾‾╲
    │   ╱ 面积S ╲
    │  ╱_________╲
    └─────────────→ x
    a            b

情况2：$f(x)\le 0$，$x\in [a,b]$

此时 $J=-{\int }_a^b[-f(x)]dx$ 是位于 $x$ 轴下方的曲边梯形面积的相反数，称为负面积： $${\int }_a^{b}f(x)dx=-S_{\text{下方曲边梯形}}$$

    y
    └─────────────→ x
    a│\_________/  b
     │  负面积  
     │   y=f(x)

情况3：一般情况（$f$ 变号）

当 $f$ 在 $[a,b]$ 上既有正值又有负值时（图9-4），定积分的值是曲线 $y=f(x)$ 在 $x$ 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=S_{+}-S_{-}}$$

其中：

• $S_{+}$：$x$ 轴上方曲边梯形面积之和
• $S_{-}$：$x$ 轴下方曲边梯形面积之和（取绝对值）

    y
    │   ╱‾‾╲  S₊
    │  ╱    ╲___
    └───────────→ x
    a   │╲___/   b
        │ S₋
        
    图9-4：正负面积

3.3 注3：定积分与积分变量无关

性质（积分变量的无关性）

定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数 $f$ 和积分区间 $[a,b]$ 有关，而与积分变量所用的符号无关，即： $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(\theta )d\theta =\cdots }$$

原因：在定义中，积分变量 $x$ 只是一个"哑变量"（Dummy Variable），它的具体符号不影响积分和的值。

类比：

• 求和符号：${\sum }_{i=1}^n{a}_i={\sum }_{j=1}^n{a}_j={\sum }_{k=1}^n{a}_k$
• 定积分：${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$

3.4 定积分与不定积分的对比

第四部分：定积分的计算实例 | Computation Examples

4.1 从定义直接计算的一般步骤

虽然从定义直接计算定积分非常繁琐，但理解这个过程对把握定积分概念至关重要。

标准步骤：

第1步：选择分割（通常选等分）
       xᵢ = a + i·(b-a)/n, i=0,1,...,n
       Δxᵢ = (b-a)/n

第2步：选择中间点ξᵢ
       常见选择：ξᵢ=xᵢ（右端点）
                ξᵢ=xᵢ₋₁（左端点）
                ξᵢ=(xᵢ₋₁+xᵢ)/2（中点）

第3步：写出积分和
       Sₙ = Σf(ξᵢ)Δxᵢ

第4步：计算极限
       ∫ₐᵇf(x)dx = lim[n→∞] Sₙ

4.2 例1：计算 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$（抛物线下面积）

问题：求在区间 $[0,1]$ 上，以抛物线 $y=x^2$ 为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）。

    y
  1 │    ╱|
    │   ╱ |
    │  ╱  |y=x²
    │ ╱___|
    └─────→ x
    0     1
    
    图9-5：抛物线下的曲边三角形

解：由注3，因 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续，故所求面积为 $$S={\int }_0^1{x}^{2}dx=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{\xi }_i^2\Delta x_i$$

计算过程：

为求得此极限，在定积分存在的前提下，允许选择某种特殊的分割 $T$ 和特殊的点集 $\{{\xi }_i\}$。

第1步：等分分割

取等分分割： $$x_i=0+i\cdot \frac{1-0}{n}=\frac{i}{n},i=0,1,2,\dots ,n$$

$$\Delta x_i=\frac{1}{n},i=1,2,\dots ,n$$

此时 $\Vert T\Vert =\frac{1}{n}\to 0$ 当 $n\to \infty$。

第2步：选择右端点

取 ${\xi }_i=x_i=\frac{i}{n}$，$i=1,2,\dots ,n$。

第3步：写出积分和

$$S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}$$

$$=\sum _{i=1}^n\frac{i^2}{n^3}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2$$

第4步：利用求和公式

回忆平方和公式： $$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

代入得： $$S_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$

$$=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}$$

第5步：取极限

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}=\frac{2+0+0}{6}=\boxed{\frac{1}{3}}$$

答案：抛物线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴、直线 $x=1$ 围成的曲边三角形面积为 $\frac{1}{3}$。

验证（用不定积分）： $${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}✓$$

（这个验证方法将在学习牛顿-莱布尼茨公式后变得清晰）

4.3 计算技巧总结

技巧1：等分分割 $$x_i=a+i\cdot \frac{b-a}{n},\Delta x_i=\frac{b-a}{n}$$

技巧2：端点选择

• 右端点：${\xi }_i=x_i$
• 左端点：${\xi }_i=x_{i-1}$
• 中点：${\xi }_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$

技巧3：常用求和公式 $$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum _{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$$

技巧4：极限技巧 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +a_0}{b_k{n}^k+b_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +b_0}=\frac{a_k}{b_k}$$

第五部分：习题与应用 | Exercises and Applications

5.1 习题9.1-1：按定义证明定积分

题目：按定积分定义证明 $${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$$

证明：

取等分分割：$x_i=\frac{i}{n}$，$\Delta x_i=\frac{1}{n}$，$i=1,2,\dots ,n$。

取右端点：${\xi }_i=x_i=\frac{i}{n}$。

积分和： $$S_n=\sum _{i=1}^n{\xi }_i\Delta x_i=\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i$$

$$=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$$

取极限： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}$$

因此 ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$。✓

5.2 习题9.1-2：通过等分分割计算定积分

这类题目需要特殊技巧，例如：

(a) ${\int }_a^{b}xdx$（$0<a<b$）

提示：取 ${\xi }_i=\sqrt{x_{i-1}\cdot x_i}$（几何平均）

(b) ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$

提示：需要利用三角恒等式和求和公式

5.3 物理应用：计算变力做功

问题：弹簧受力 $F(x)=kx$（胡克定律），从自然长度拉伸到长度 $L$，求做功。

解： $$W={\int }_0^{L}kxdx$$

用定义计算（等分分割，取右端点）： $$W=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}k\cdot \frac{iL}{n}\cdot \frac{L}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k{L}^2}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k{L}^2}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k{L}^2(n+1)}{2n}=\boxed{\frac{k{L}^2}{2}}$$

📚 核心要点总结 | Key Takeaways

核心概念对比

定积分的理解层次

第1层：直观理解
      ↓
   曲边梯形面积
      ↓
第2层：计算过程
      ↓
   分割→近似→求和→极限
      ↓
第3层：严格定义
      ↓
   ε-δ语言的极限定义
      ↓
第4层：理论性质
      ↓
   可积性、几何意义、计算方法

记忆口诀

定积分四步法：

分割区间细又细，
近似替代求局部；
累加求和得整体，
极限过程现真知。

定积分定义：

任给ε都很小，
必存在δ相配套；
只要分割足够细，
积分和与J差距消。

常见误区

❌ 错误1：混淆定积分与不定积分 $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\text{✗（不定积分的形式）}$$ $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\text{✓（定积分是数值）}$$

❌ 错误2：认为定积分一定是正数

• 定积分可以为负（当 $f(x)<0$ 时）
• 定积分可以为零

❌ 错误3：忽略可积性条件

• 不是所有函数都可积
• 连续函数一定可积（定理9.3）

❌ 错误4：混淆积分和与定积分

• 积分和：依赖于具体的分割和点选择（有无穷多个）
• 定积分：唯一确定的数值（极限值）

🎯 学习建议 | Study Recommendations

学习路径

第1阶段：概念理解（2-3天）

1. ✅ 理解两个引例的物理/几何背景
2. ✅ 掌握"分割-近似-求和-极限"的思想
3. ✅ 理解定积分的严格定义（ε-δ）
4. ✅ 区分定积分与不定积分

第2阶段：计算练习（3-4天） 5. ✅ 掌握从定义计算简单定积分 6. ✅ 熟练使用等分分割 7. ✅ 掌握常用求和公式 8. ✅ 练习极限计算技巧

第3阶段：几何理解（2-3天） 9. ✅ 理解定积分的几何意义 10. ✅ 掌握正负面积的概念 11. ✅ 练习图形问题

第4阶段：理论深化（后续章节） 12. 🔷 定积分的性质 13. 🔷 可积性理论 14. 🔷 牛顿-莱布尼茨公式 15. 🔷 积分计算方法

重点难点突破

难点1：理解极限的复杂性

• 积分和的极限不是普通函数极限
• 一个 $\Vert T\Vert$ 对应无穷多个积分和
• 解决：多画图，理解"一致逼近"的含义

难点2：从定义计算定积分

• 需要选择合适的分割和点
• 需要掌握求和公式
• 解决：多练习，总结常用模式

难点3：几何意义的负面积

• 为什么 $f(x)<0$ 时积分是负数
• 如何理解正负面积的代数和
• 解决：画图理解，关注符号

附录：补充材料 | Appendix

A. 常用求和公式汇总

B. 历史注记

黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）

• 德国数学家
• 1854年在博士论文中给出定积分的严格定义
• 黎曼积分理论成为现代分析的基础

达布（Gaston Darboux, 1842-1917）

• 法国数学家
• 给出了另一种等价的可积性判据（达布和）
• 简化了黎曼可积性的证明

C. 进一步学习方向

1. 可积性理论：

   • 达布上和与下和
   • 振幅判据
   • 黎曼可积的充要条件

2. 积分的推广：

   • 勒贝格积分（Lebesgue Integral）
   • 斯蒂尔杰斯积分（Stieltjes Integral）
   • 抽象测度论

3. 数值积分：

   • 梯形法则
   • 辛普森法则
   • 高斯求积公式

🎓 本节总结语 | Concluding Remarks

定积分概念的建立是数学史上的里程碑。它从实际问题出发，通过"分割-近似-求和-极限"的思想方法，将看似困难的连续量问题（曲边图形面积、变力做功）转化为可计算的极限问题。

三个核心认识：

1. 定积分是和式的极限：本质是黎曼和 $\sum f({\xi }_i)\Delta x_i$ 当 $\Vert T\Vert \to 0$ 时的极限
2. 定积分是确定的数值：与分割方式、点的选择无关，只依赖于被积函数和积分区间
3. 定积分有明确的几何意义：曲边梯形面积的代数和

虽然从定义直接计算定积分非常繁琐，但理解这个过程对把握定积分的本质至关重要。在后续学习中，我们将发展出高效的计算方法（牛顿-莱布尼茨公式），但定义始终是理论的基石。

恭喜！您已完成定积分概念的学习。 🎉

继续前进，下一节我们将学习定积分的性质，为高效计算奠定基础！🚀