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第九章 §2：牛顿-莱布尼茨公式 | Newton-Leibniz Formula

完整知识体系与应用指南

知识体系导读 | System Overview
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中最重要、最美妙的定理之一，被誉为"微积分基本定理"。它在理论上将定积分（求面积的极限过程）与不定积分（求导的逆运算）这两个看似独立的概念联系起来，并在实践中提供了计算定积分的高效方法。本节系统阐述这一伟大公式的理论基础、证明思路、应用技巧及其深远意义。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

牛顿-莱布尼茨公式体系 (Newton-Leibniz Formula)
│
├─── 问题背景层 (Problem Background)
│    ├─ 定积分计算的困境
│    │  ├─ 从定义计算：分割→近似→求和→取极限
│    │  ├─ 过程繁琐：需要复杂的求和公式
│    │  ├─ 适用范围窄：仅对特殊函数可行
│    │  └─ 亟需新方法：连接积分与微分
│    │
│    └─ 两种积分的关系探索
│       ├─ 不定积分：∫f(x)dx = F(x) + C（求导的逆）
│       ├─ 定积分：∫ₐᵇf(x)dx = lim Σf(ξᵢ)Δxᵢ（和式的极限）
│       └─ 核心问题：两者有何联系？
│
├─── 核心定理层 (Core Theorem)
│    ├─ 定理9.1：牛顿-莱布尼茨公式
│    │  ├─ 条件1：f在[a,b]上连续
│    │  ├─ 条件2：F是f的原函数（F'(x)=f(x)）
│    │  ├─ 结论：∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a)
│    │  └─ 简记：∫ₐᵇf(x)dx = F(x)|ₐᵇ
│    │
│    ├─ 公式的本质
│    │  ├─ 理论意义：连接微分与积分
│    │  ├─ 计算意义：将极限转化为代数运算
│    │  └─ 哲学意义：局部与整体的统一
│    │
│    └─ 符号说明
│       ├─ F(x)|ₐᵇ := F(b) - F(a)
│       ├─ [F(x)]ₐᵇ := F(b) - F(a)
│       └─ 两种记号等价
│
├─── 证明体系层 (Proof System)
│    ├─ 证明策略
│    │  ├─ 目标：证明 |Σf(ξᵢ)Δxᵢ - [F(b)-F(a)]| < ε
│    │  ├─ 核心工具：拉格朗日中值定理
│    │  └─ 关键思想：微分与差分的等价
│    │
│    ├─ 证明步骤
│    │  ├─ 第1步：对F应用中值定理
│    │  │  └─ F(xᵢ)-F(xᵢ₋₁) = F'(ηᵢ)Δxᵢ = f(ηᵢ)Δxᵢ
│    │  │
│    │  ├─ 第2步：求和得恒等式
│    │  │  └─ F(b)-F(a) = Σf(ηᵢ)Δxᵢ
│    │  │
│    │  ├─ 第3步：利用一致连续性
│    │  │  ├─ f在[a,b]上一致连续
│    │  │  ├─ ∀ε>0, ∃δ: |x'-x''|<δ ⟹ |f(x')-f(x'')|<ε/(b-a)
│    │  │  └─ 当||T||<δ时，|f(ξᵢ)-f(ηᵢ)|<ε/(b-a)
│    │  │
│    │  └─ 第4步：估计误差
│    │     └─ |Σf(ξᵢ)Δxᵢ - Σf(ηᵢ)Δxᵢ| ≤ Σ|f(ξᵢ)-f(ηᵢ)|Δxᵢ < ε
│    │
│    └─ 证明的精妙之处
│       ├─ 巧用中值定理：连接F与f
│       ├─ 一致连续性：保证误差可控
│       └─ 估计技巧：放缩与求和
│
├─── 条件分析层 (Condition Analysis)
│    ├─ 标准条件（定理9.1）
│    │  ├─ f在[a,b]上连续
│    │  └─ F'(x) = f(x), x∈[a,b]
│    │
│    ├─ 注1：条件减弱（关于F）
│    │  ├─ F在[a,b]上连续
│    │  ├─ F在(a,b)上可导
│    │  ├─ F'(x) = f(x), x∈(a,b)
│    │  └─ 证明仍成立（端点不要求可导）
│    │
│    ├─ 注2：条件减弱（关于f）
│    │  ├─ f在[a,b]上可积（不必连续）
│    │  ├─ F为f的广义原函数
│    │  └─ 公式仍成立
│    │
│    └─ 注3-5：原函数存在性
│       ├─ 连续函数必有原函数（后续证明）
│       ├─ 因此F的假设可去除
│       └─ 定理条件进一步简化
│
├─── 计算方法层 (Computation Methods)
│    ├─ 基本步骤（三步法）
│    │  ├─ 第1步：求不定积分 ∫f(x)dx = F(x) + C
│    │  ├─ 第2步：代入上下限 F(b) - F(a)
│    │  └─ 第3步：化简得最终结果
│    │
│    ├─ 技巧要点
│    │  ├─ 积分常数C抵消（可省略）
│    │  ├─ 选择最简单的原函数
│    │  ├─ 注意上下限顺序
│    │  └─ 合理利用对称性
│    │
│    └─ 常见计算模式
│       ├─ 幂函数：∫ₐᵇx^n dx = [x^(n+1)/(n+1)]|ₐᵇ
│       ├─ 指数函数：∫ₐᵇe^x dx = e^x|ₐᵇ
│       ├─ 三角函数：∫ₐᵇsin x dx = -cos x|ₐᵇ
│       └─ 复合函数：需先用换元法或分部积分法
│
├─── 典型例题层 (Example Problems)
│    ├─ 例1：基本积分计算
│    │  ├─ (1) ∫₀¹x^n dx = 1/(n+1)
│    │  ├─ (2) ∫₀¹e^x dx = e - 1
│    │  ├─ (3) ∫ₐᵇdx/x = ln(b/a) (b>a>0)
│    │  ├─ (4) ∫₀^π sin x dx = 2
│    │  └─ (5) ∫₀²x√(4-x²) dx（需换元）
│    │
│    ├─ 例2：利用定积分求极限
│    │  ├─ 问题：lim[n→∞] (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n))
│    │  ├─ 转化为积分：识别为Riemann和
│    │  ├─ 写成：lim[n→∞] Σ[k=1→n] 1/(n+k) · 1
│    │  ├─ 识别：f(x)=1/(1+x), x∈[0,1], Δx=1/n, ξₖ=k/n
│    │  └─ 结果：∫₀¹dx/(1+x) = ln 2
│    │
│    └─ 几何应用
│       ├─ 正弦曲线一拱面积：∫₀^π sin x dx = 2
│       ├─ 抛物线下面积：∫₀¹x² dx = 1/3
│       └─ 圆的面积验证：∫₋ᴿᴿ√(R²-x²) dx = πR²
│
├─── 应用技巧层 (Application Techniques)
│    ├─ 技巧1：识别Riemann和
│    │  ├─ 观察和式结构：Σf(ξᵢ)Δxᵢ
│    │  ├─ 识别被积函数f
│    │  ├─ 确定积分区间[a,b]
│    │  └─ 转化为定积分
│    │
│    ├─ 技巧2：对称性利用
│    │  ├─ 奇函数：∫₋ₐᵃf(x)dx = 0
│    │  ├─ 偶函数：∫₋ₐᵃf(x)dx = 2∫₀ᵃf(x)dx
│    │  └─ 周期函数的性质
│    │
│    ├─ 技巧3：区间可加性
│    │  ├─ ∫ₐᶜf(x)dx = ∫ₐᵇf(x)dx + ∫ᵇᶜf(x)dx
│    │  └─ 用于分段函数积分
│    │
│    └─ 技巧4：换元与分部
│       ├─ 换元法：∫ₐᵇf(φ(x))φ'(x)dx
│       └─ 分部积分：∫ₐᵇu dv = [uv]|ₐᵇ - ∫ₐᵇv du
│
├─── 理论意义层 (Theoretical Significance)
│    ├─ 连接微分与积分
│    │  ├─ 微分：局部变化率
│    │  ├─ 积分：整体累积效果
│    │  └─ 牛-莱公式：两者互逆
│    │
│    ├─ 简化计算
│    │  ├─ 避免复杂的极限计算
│    │  ├─ 转化为代数运算
│    │  └─ 提高计算效率数千倍
│    │
│    ├─ 奠定理论基础
│    │  ├─ 微积分基本定理
│    │  ├─ 变限积分函数理论
│    │  └─ 微分方程求解
│    │
│    └─ 哲学思想
│       ├─ 局部与整体的辩证关系
│       ├─ 无限过程的有限表示
│       └─ 分析与综合的统一
│
└─── 拓展深化层 (Advanced Topics)
     ├─ 积分第一中值定理
     │  └─ 为牛-莱公式提供另一视角
     │
     ├─ 变限积分函数
     │  ├─ Φ(x) = ∫ₐˣf(t)dt
     │  ├─ Φ'(x) = f(x)
     │  └─ 证明连续函数有原函数
     │
     ├─ 广义牛-莱公式
     │  ├─ 无界函数积分
     │  ├─ 无穷区间积分
     │  └─ 瑕积分理论
     │
     └─ 更一般的情形
        ├─ 分段连续函数
        ├─ 有限个间断点
        └─ 可积不连续函数（习题3）

第一部分：定理的提出与表述 | Theorem Statement

1.1 问题的背景

定积分计算的困境

从第§1节的例题和习题可以看到，通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的。

具体困难：

1. 需要选择合适的分割和中间点
2. 需要进行复杂的求和运算
3. 需要掌握各种求和公式（如 $\sum i$, $\sum i^2$, $\sum i^3$ 等）
4. 需要计算复杂的极限
5. 只能处理非常特殊的函数

举例： $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1}{3}$$

这个计算过程繁琐，且仅适用于多项式等特殊函数。

1.2 牛顿-莱布尼茨公式的提出

下面要介绍的牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

1.3 定理9.1：牛顿-莱布尼茨公式 ★★★

定理表述

若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且存在原函数 $F$，即 $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in [a,b]$$

则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

简化记号

上式也常写成 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b}\text{\hspace{1em}(1’)}$$

或 $$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b}$$

其中符号 $F(x){|}_a^b$ 或 $[F(x){]}_a^b$ 表示 $F(b)-F(a)$。

1.4 定理的意义

理论意义

1. 连接两大概念：

   • 不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$（求导的逆运算）
   • 定积分：${\int }_a^{b}f(x)dx$（和式的极限）

2. 揭示内在联系：

   • 微分运算（局部性质）与积分运算（整体性质）互为逆运算
   • 这是微积分学最核心的思想

        微分                          积分
         ↓                             ↑
    F(x) ───→ f(x) = F'(x)      f(x) ───→ F(x) + C
    原函数      导数              被积函数     原函数族
         ↑                             ↓
      积分（逆运算）            微分（正运算）
         
              牛顿-莱布尼茨公式
         ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a)

计算意义

1. 极大简化计算：

   • 避免了繁琐的求和与极限过程
   • 转化为简单的代数运算：$F(b)-F(a)$

2. 两步计算法：

   • 第1步：求不定积分 $\int f(x)dx=F(x)+C$
   • 第2步：计算 $F(b)-F(a)$

3. 效率提升：

   • 计算时间从"小时级"降至"秒级"
   • 使定积分成为实用工具

第二部分：定理的证明 | Proof of the Theorem

2.1 证明的总体策略

目标：证明对任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，有 $$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-[F(b)-F(a)]\right|<\epsilon$$

核心思想：

1. 利用拉格朗日中值定理将 $F(b)-F(a)$ 转化为类似积分和的形式
2. 利用 $f$ 的一致连续性控制误差
3. 通过放缩法完成估计

2.2 证明的详细步骤

证明：

第1步：应用拉格朗日中值定理

对于 $[a,b]$ 的任一分割 $T=\{a=x_0,x_1,\dots ,x_n=b\}$，在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上对 $F(x)$ 使用拉格朗日中值定理。

因为 $F$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上连续，在 $(x_{i-1},x_i)$ 上可导，所以分别存在 $${\eta }_i\in (x_{i-1},x_i),i=1,2,\dots ,n$$

使得 $$F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }({\eta }_i)\cdot (x_i-x_{i-1})=f({\eta }_i)\Delta x_i$$

第2步：求和得恒等式

对上式从 $i=1$ 到 $n$ 求和： $$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]=\sum _{i=1}^{n}f({\eta }_i)\Delta x_i\text{\hspace{1em}(2)}$$

关键观察：

• 右边是 $f$ 的一个特殊的积分和（中间点为 ${\eta }_i$）
• 左边是我们要证明的目标值
• 等式 (2) 对任何分割 $T$ 都恒成立

第3步：利用一致连续性

因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据康托定理（有限闭区间上连续函数一致连续），$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

因此，对上述 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，有 $$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}\text{\hspace{1em}(3)}$$

第4步：估计误差

当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，对任意选取的 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，有 $$|{\xi }_i-{\eta }_i|\le \Delta x_i\le \Vert T\Vert <\delta$$

由 (3) 式得 $$|f({\xi }_i)-f({\eta }_i)|<\frac{\epsilon }{b-a}$$

于是： $$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-[F(b)-F(a)]\right|$$

$$=\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-\sum _{i=1}^{n}f({\eta }_i)\Delta x_i\right|\text{（由等式(2)）}$$

$$=\left|\sum _{i=1}^n[f({\xi }_i)-f({\eta }_i)]\Delta x_i\right|$$

$$\le \sum _{i=1}^n|f({\xi }_i)-f({\eta }_i)|\cdot \Delta x_i\text{（三角不等式）}$$

$$<\sum _{i=1}^n\frac{\epsilon }{b-a}\cdot \Delta x_i\text{（由(3)式）}$$

$$=\frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n\Delta x_i=\frac{\epsilon }{b-a}\cdot (b-a)=\epsilon$$

结论：

这就证得满足要求的 $\delta$ 确实存在。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且有公式 (1) 成立。

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}\text{证毕。}✓$$

2.3 证明的关键点解析

精妙之处：

1. 巧用中值定理：将差 $F(x_i)-F(x_{i-1})$ 联系到 $f({\eta }_i)$
2. 一致连续性：保证了对所有小区间同时控制误差
3. 恒等式 (2)：是证明的核心，任何分割都成立

第三部分：定理条件的讨论 | Discussion of Conditions

3.1 注1：原函数F的要求可减弱

标准条件（定理9.1）

• $F$ 在 $[a,b]$ 上可导
• $F^{\prime }(x)=f(x)$，$x\in [a,b]$

减弱后的条件

对 $F$ 的要求可减弱为：

• $F$ 在 $[a,b]$ 上连续
• $F$ 在 $(a,b)$ 上可导
• $F^{\prime }(x)=f(x)$，$x\in (a,b)$（端点可以不可导）

说明：这不影响定理的证明，因为：

1. 中值定理仅需要在开区间内可导
2. 端点的导数值不影响积分和的极限

例子： $${\int }_0^1\sqrt{x}dx$$

这里 $f(x)=\sqrt{x}$，$F(x)=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$。

• $F$ 在 $[0,1]$ 上连续
• $F$ 在 $(0,1)$ 上可导，且 $F^{\prime }(x)=\sqrt{x}=f(x)$
• 但 $F^{\prime }(0)$ 不存在（${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{F(x)-F(0)}{x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{2\sqrt{x}}{3}=+\infty$）

应用减弱条件的公式： $${\int }_0^1\sqrt{x}dx=F(1)-F(0)=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}$$

3.2 注2：被积函数f的要求可减弱

标准条件（定理9.1）

• $f$ 在 $[a,b]$ 上连续

减弱后的条件

对 $f$ 的要求可减弱为：

• $f$ 在 $[a,b]$ 上可积（不一定连续）
• $F$ 是 $f$ 的广义原函数

说明：

• 此时等式 (2) 仍成立
• 由 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，(2) 式右边当 $\Vert T\Vert \to 0$ 时的极限就是 ${\int }_a^{b}f(x)dx$
• 而左边恒为常数 $F(b)-F(a)$

例子（分段函数）： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x<1\\ 2,& x=1\end{array}$$

$f$ 在 $x=1$ 处不连续，但在 $[0,1]$ 上可积（只有一个间断点）。

$F(x)=\frac{x^2}{2}$ 是 $f$ 在 $[0,1)$ 上的原函数（在 $x=1$ 处 $f$ 与 $F^{\prime }$ 不等，但不影响）。

$${\int }_0^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$$

3.3 注3-5：原函数存在性定理

原定理假设：存在原函数 $F$ 使得 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

问题：这个假设是否必要？

回答（后续将证明）：

• 在 $[a,b]$ 上连续的函数必有原函数
• 因此，当 $f$ 连续时，原函数 $F$ 的存在性是自动保证的
• 定理条件中对 $F$ 的假设便是多余的

具体：通过变限积分函数 $$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

可以证明 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$，即 $\Phi$ 就是 $f$ 的一个原函数。

3.4 更一般的情形（习题3）

习题9.2-3

证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$F$ 在 $[a,b]$ 上连续，且除有限个点外有 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则有 $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

提示：

• 将 $[a,b]$ 分成若干子区间，使每个子区间内 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 处处成立
• 在每个子区间上应用牛顿-莱布尼茨公式
• 利用区间可加性求和

第四部分：计算实例与技巧 | Computational Examples

4.1 注1：应用公式的标准步骤

在应用牛顿-莱布尼茨公式时，$F(x)$ 可由积分法（第八章的方法）求得。

标准三步法：

第1步：求不定积分
      ∫f(x)dx = F(x) + C

第2步：代入上下限
      F(b) - F(a)
      （注意：常数C会抵消，可省略）

第3步：化简结果
      得到数值答案

4.2 例1：基本积分计算

利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：

(1) ${\int }_0^1{x}^{n}dx$（$n$ 为正整数）

解：

第1步：求不定积分 $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

第2步：代入上下限 $${\int }_0^1{x}^{n}dx={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1^{n+1}}{n+1}-\frac{0^{n+1}}{n+1}$$

第3步：化简 $$=\boxed{\frac{1}{n+1}}$$

对比：用定义计算需要求和公式 ${\sum }_{i=1}^n{i}^n$ 和复杂的极限运算，现在一步到位！

(2) ${\int }_0^1{e}^{x}dx$

解： $${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e^1-e^0=\boxed{e-1}$$

(3) ${\int }_a^b\frac{dx}{x}$（$b>a>0$）

解： $${\int }_a^b\frac{dx}{x}=[\ln x{]}_a^b=\ln b-\ln a=\boxed{\ln \frac{b}{a}}$$

注意：这里用 $\ln x$（不需要绝对值），因为 $x>0$。

(4) ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$

解： $${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=-\cos \pi -(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=1+1=\boxed{2}$$

几何意义：这是正弦曲线一拱下的面积（图9-6）。

    y
  1 │   ╱‾‾‾╲
    │  ╱     ╲
    │ ╱       ╲
    │╱_________╲___
    └────────────→ x
    0     π
    
    面积 = 2

(5) ${\int }_0^{2}x\sqrt{4-x^2}dx$

解：这需要先用不定积分法（换元法）。

第1步：求不定积分

令 $u=4-x^2$，则 $du=-2xdx$，即 $xdx=-\frac{1}{2}du$。

$$\int x\sqrt{4-x^2}dx=\int \sqrt{u}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)du=-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du$$

$$=-\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=-\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C=-\frac{1}{3}(4-x^2{)}^{3/2}+C$$

第2步：代入上下限 $${\int }_0^{2}x\sqrt{4-x^2}dx={\left[-\frac{1}{3}(4-x^2{)}^{3/2}\right]}_0^2$$

$$=-\frac{1}{3}(4-4{)}^{3/2}-\left[-\frac{1}{3}(4-0{)}^{3/2}\right]$$

$$=0+\frac{1}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{1}{3}\cdot 8=\boxed{\frac{8}{3}}$$

4.3 例2：利用定积分求极限 ★重要应用★

问题：

求极限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$$

解法：转化为定积分

核心思想：识别和式为某个函数的积分和（Riemann和），然后转化为定积分。

第1步：变形和式

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$$

$$=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot \frac{1}{n}$$

第2步：识别为积分和

观察：

• $\Delta x=\frac{1}{n}$（小区间长度）
• ${\xi }_k=\frac{k}{n}\in [0,1]$（$k=1,2,\dots ,n$）
• $f({\xi }_k)=\frac{1}{1+{\xi }_k}$
• 被积函数：$f(x)=\frac{1}{1+x}$
• 积分区间：$[0,1]$

这正是函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 在区间 $[0,1]$ 上的一个积分和（等分分割，取右端点）。

第3步：转化为定积分

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}$$

第4步：计算定积分

$${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=[\ln (1+x){]}_0^1=\ln 2-\ln 1=\boxed{\ln 2}$$

答案： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)=\ln 2$$

变式理解

也可以把和式看作 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[1,2]$ 上的定积分：

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\sum _{k=1}^n\frac{1/n}{1+k/n}$$

令 $x_k=1+\frac{k}{n}\in [1,2]$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{x_k}\cdot \frac{1}{n}={\int }_1^2\frac{dx}{x}=[\ln x{]}_1^2=\ln 2$$

同样得到 $\ln 2$。✓

4.4 利用定积分求极限的一般方法

步骤总结：

第1步：观察和式结构
      识别 Σf(ξᵢ)Δxᵢ 的形式

第2步：确定被积函数
      找出 f(x)

第3步：确定积分区间
      找出 [a, b]

第4步：写成定积分
      lim[n→∞] Σ = ∫ₐᵇf(x)dx

第5步：计算定积分
      用牛顿-莱布尼茨公式

第五部分：习题解析 | Exercise Solutions

5.1 习题9.2-1：计算下列定积分

(1) ${\int }_0^1(2x+3)dx$

解： $${\int }_0^1(2x+3)dx={\left[x^2+3x\right]}_0^1=(1+3)-0=\boxed{4}$$

(2) ${\int }_1^e\frac{dx}{x}$

解： $${\int }_1^e\frac{dx}{x}=[\ln x{]}_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=\boxed{1}$$

(3) ${\int }_1^{e}x\ln xdx$

解：用分部积分法。

令 $u=\ln x$，$dv=xdx$，则 $du=\frac{dx}{x}$，$v=\frac{x^2}{2}$。

$$\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}$$

$$=\frac{x^2\ln x}{2}-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$

代入上下限： $${\int }_1^{e}x\ln xdx={\left[\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}\right]}_1^e$$

$$=\left(\frac{e^2\cdot 1}{2}-\frac{e^2}{4}\right)-\left(\frac{1\cdot 0}{2}-\frac{1}{4}\right)$$

$$=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}$$

(5) ${\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{2}xdx$

解：利用三角恒等式 ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$。

$${\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /4}({\sec }^{2}x-1)dx$$

$$=[\tan x-x{]}_0^{\pi /4}=\left(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)-(0-0)$$

$$=1-\frac{\pi }{4}=\boxed{1-\frac{\pi }{4}}$$

5.2 习题9.2-2：利用定积分求极限

(1) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}$

解： $$\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}$$

识别为 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上的积分和（${\xi }_k=\frac{k}{n}$，$\Delta x=\frac{1}{n}$）。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\boxed{\frac{1}{2}}$$

(2) ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{3n}\right)$

解： $$\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot \frac{1}{n}$$

识别为 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 在 $[0,2]$ 上的积分和。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^2\frac{dx}{1+x}$$

$$=[\ln (1+x){]}_0^2=\ln 3-\ln 1=\boxed{\ln 3}$$

(3) ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$

解： $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}\cdot \frac{1}{n}$$

当 $n\to \infty$ 时，$\frac{k}{n^2}\to 0$，所以 $\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\to 1$。

识别为 $f(x)=1$ 在 $[0,1]$ 上的积分和。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}\cdot \frac{1}{n}\approx {\int }_0^{1}1dx=[x{]}_0^1=\boxed{1}$$

（严格证明需用一致收敛性）

(4) ${\lim }_{n\to \infty }\left(\sin \frac{\pi }{n}+\sin \frac{2\pi }{n}+\cdots +\sin \frac{n\pi }{n}\right)$

解： $$\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}=\sum _{k=1}^n\sin \left(\pi \cdot \frac{k}{n}\right)\cdot 1$$

但这不是标准的积分和形式（缺少 $\frac{1}{n}$）。应该是：

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}\cdot n=n\cdot \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \left(\pi \cdot \frac{k}{n}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\sin \left(\pi \cdot \frac{k}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}$$

$$={\int }_0^1\sin (\pi x)dx={\left[-\frac{1}{\pi }\cos (\pi x)\right]}_0^1$$

$$=-\frac{1}{\pi }(\cos \pi -\cos 0)=-\frac{1}{\pi }(-1-1)=\frac{2}{\pi }$$

所以原极限为： $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{2}{\pi }=+\infty$$

注：题目可能有误，或应求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}$，答案为 $\frac{2}{\pi }$。

📚 核心要点总结 | Key Takeaways

牛顿-莱布尼茨公式速记

┌─────────────────────────────────────┐
│   牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）   │
├─────────────────────────────────────┤
│                                     │
│  条件：f在[a,b]上连续               │
│       F'(x) = f(x)（F是f的原函数）  │
│                                     │
│  结论：∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a)     │
│                                     │
│  简记：∫ₐᵇf(x)dx = F(x)|ₐᵇ         │
│                                     │
└─────────────────────────────────────┘

定理的三大意义

计算步骤三步法

第1步：求不定积分
      ∫f(x)dx = F(x) + C
      
第2步：代入上下限
      F(b) - F(a)
      （常数C抵消，可省略）
      
第3步：化简结果
      得到数值答案

常见误区

❌ 错误1：忘记代入上限和下限 $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\text{✗（这是不定积分）}$$ $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}\text{✓}$$

❌ 错误2：上下限顺序错误 $$F(x){|}_a^b=F(a)-F(b)\text{✗}$$ $$F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)\text{✓}$$

❌ 错误3：定积分结果保留常数C $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}+C{|}_0^1\text{✗}$$ $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{✓}$$

❌ 错误4：混淆定积分与不定积分

• 定积分：${\int }_a^{b}f(x)dx$ = 数值
• 不定积分：$\int f(x)dx$ = 函数族

利用定积分求极限的关键

识别模式： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^{1}f(x)dx$$

一般形式： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)\cdot \frac{b-a}{n}={\int }_a^{b}f(x)dx$$

🎯 学习建议 | Study Recommendations

学习路径

第1阶段：理解定理（1-2天）

1. ✅ 理解牛顿-莱布尼茨公式的意义
2. ✅ 掌握定理的证明思路
3. ✅ 理解定积分与不定积分的联系
4. ✅ 掌握条件的减弱情形

第2阶段：计算练习（3-4天） 5. ✅ 熟练使用公式计算基本定积分 6. ✅ 掌握换元法在定积分中的应用 7. ✅ 掌握分部积分法在定积分中的应用 8. ✅ 练习50道以上定积分计算题

第3阶段：极限应用（2-3天） 9. ✅ 识别和式为积分和 10. ✅ 掌握转化技巧 11. ✅ 练习各种极限求解题

第4阶段：综合应用（后续） 12. 🔷 几何应用（面积、体积） 13. 🔷 物理应用（功、质心） 14. 🔷 与微分方程结合

重点难点突破

难点1：证明的理解

• 重点理解拉格朗日中值定理的作用
• 理解一致连续性如何控制误差
• 多次阅读证明，画图辅助

难点2：识别积分和

• 观察和式的结构 $\sum f({\xi }_i)\Delta x_i$
• 找出被积函数和积分区间
• 多做练习，总结模式

难点3：换元法的上下限处理

• 第一类换元法：上下限不变
• 第二类换元法：上下限需相应变换
• 牢记公式，反复练习

🎓 本节总结语 | Concluding Remarks

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中最伟大的发现之一，它被称为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）。这个公式在17世纪由牛顿和莱布尼茨各自独立发现，标志着微积分学作为一门系统学科的诞生。

三个核心认识：

1. 理论价值：连接了微分（局部性质）与积分（整体性质），揭示了它们互为逆运算的本质
2. 计算价值：将定积分的计算从复杂的极限过程简化为简单的代数运算 $F(b)-F(a)$
3. 应用价值：为解决实际问题（面积、体积、功、质量等）提供了有效工具

这个公式不仅极大简化了定积分的计算，更重要的是揭示了数学中局部与整体、微分与积分、分析与综合之间的深刻联系，体现了数学的统一之美。

恭喜！您已掌握微积分基本定理。 🎉

继续前进，下一节我们将学习定积分的性质和可积性理论，进一步深化对定积分的理解！🚀