第九章 §3：定积分的可积性理论 | Integrability Theory

完整知识体系与可积条件

知识体系导读 | System Overview
定积分的可积性理论是积分学的理论基石，它回答了一个根本问题：什么样的函数是可积的？本节从可积的必要条件出发，建立充要条件（达布和准则），并系统证明几大可积函数类（连续函数、单调函数、有有限个间断点的函数）。这些理论不仅具有重要的理论价值，更为实际应用中判断函数可积性提供了有力工具。

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定积分可积性理论体系 (Integrability Theory)
│
├─── 问题层 (Problem Setting)
│    ├─ 核心问题
│    │  ├─ 什么函数可积？
│    │  ├─ 如何判断可积性？
│    │  └─ 如何避免逐一验证定义？
│    │
│    └─ 定义回顾
│       ├─ 可积定义：∀ε>0, ∃δ>0, ||T||<δ ⟹ |Σf(ξᵢ)Δxᵢ - J| < ε
│       ├─ 困难：积分和与极限值都难以确定
│       └─ 需要：仅依赖f性质的判别准则
│
├─── 必要条件层 (Necessary Conditions)
│    ├─ 定理9.2：可积必有界
│    │  ├─ 内容：f在[a,b]上可积 ⟹ f在[a,b]上有界
│    │  ├─ 证明：反证法
│    │  │  ├─ 假设f无界
│    │  │  ├─ 则存在小区间Δₖ，f在其上无界
│    │  │  ├─ 可构造积分和任意大
│    │  │  └─ 矛盾于可积性
│    │  └─ 意义：排除无界函数
│    │
│    ├─ 反例：有界不一定可积
│    │  └─ 例1：狄利克雷函数D(x)
│    │     ├─ D(x) = {1, x∈ℚ; 0, x∉ℚ}
│    │     ├─ 在[0,1]上有界（|D(x)|≤1）
│    │     ├─ 但不可积
│    │     └─ 原因：积分和有两个极限（0和1）
│    │
│    └─ 结论
│       ├─ 有界是可积的必要条件
│       ├─ 但不是充分条件
│       └─ 需要更精细的条件
│
├─── 达布和理论层 (Darboux Sum Theory)
│    ├─ 基本概念
│    │  ├─ 上确界与下确界
│    │  │  ├─ Mᵢ = sup{f(x): x∈Δᵢ}
│    │  │  └─ mᵢ = inf{f(x): x∈Δᵢ}
│    │  │
│    │  ├─ 达布上和 (Upper Darboux Sum)
│    │  │  └─ S(T) = Σ Mᵢ Δxᵢ
│    │  │
│    │  ├─ 达布下和 (Lower Darboux Sum)
│    │  │  └─ s(T) = Σ mᵢ Δxᵢ
│    │  │
│    │  └─ 振幅 (Oscillation)
│    │     ├─ ωᵢ = Mᵢ - mᵢ（在Δᵢ上的振幅）
│    │     └─ ω(f, Δᵢ) = sup{|f(x')-f(x'')|: x',x''∈Δᵢ}
│    │
│    ├─ 达布和的性质
│    │  ├─ 性质1：不等式关系
│    │  │  └─ s(T) ≤ Σf(ξᵢ)Δxᵢ ≤ S(T)
│    │  │
│    │  ├─ 性质2：与积分和的关系
│    │  │  ├─ 达布和只与分割T有关
│    │  │  ├─ 积分和还与点集{ξᵢ}有关
│    │  │  └─ 达布和是所有积分和的界
│    │  │
│    │  ├─ 性质3：单调性
│    │  │  ├─ 加细分割使上和下降
│    │  │  └─ 加细分割使下和上升
│    │  │
│    │  └─ 性质4：界的性质
│    │     ├─ 任意下和 ≤ 任意上和
│    │     └─ sup{s(T)} ≤ inf{S(T)}
│    │
│    └─ 几何意义
│       ├─ S(T)：外接矩形面积之和
│       ├─ s(T)：内接矩形面积之和
│       └─ S(T) - s(T)：误差估计
│
├─── 充要条件层 (Necessary and Sufficient Conditions)
│    ├─ 定理9.3：可积准则（达布准则）★★★
│    │  ├─ 充要条件：∀ε>0, ∃分割T: S(T) - s(T) < ε
│    │  │
│    │  ├─ 几何意义
│    │  │  ├─ 外接矩形与内接矩形的差可任意小
│    │  │  ├─ 曲线可以被矩形"夹逼"得任意精确
│    │  │  └─ 振幅在整体上可控
│    │  │
│    │  ├─ 证明思路（完整证明略）
│    │  │  ├─ 充分性：S(T)-s(T)<ε ⟹ 可积
│    │  │  │  └─ 利用s(T)≤积分和≤S(T)
│    │  │  │
│    │  │  └─ 必要性：可积 ⟹ ∃T: S(T)-s(T)<ε
│    │  │     └─ 利用可积定义
│    │  │
│    │  └─ 补充说明
│    │     ├─ 完整证明见§6补充材料
│    │     └─ 需要深入讨论达布和性质
│    │
│    ├─ 定理9.3'：振幅形式的可积准则
│    │  ├─ 充要条件：∀ε>0, ∃分割T: Σωᵢ Δxᵢ < ε
│    │  │
│    │  ├─ 等价性
│    │  │  └─ S(T) - s(T) = Σ(Mᵢ-mᵢ)Δxᵢ = Σωᵢ Δxᵢ
│    │  │
│    │  └─ 优势
│    │     ├─ 直接反映函数波动
│    │     └─ 便于应用连续性、单调性
│    │
│    └─ 图形理解
│       └─ 图9-7：包围曲线的小矩形面积和可任意小
│
├─── 可积函数类层 (Classes of Integrable Functions)
│    ├─ 定理9.4：连续函数可积 ★★★
│    │  ├─ 内容：f在[a,b]上连续 ⟹ f在[a,b]上可积
│    │  │
│    │  ├─ 证明（详细）
│    │  │  ├─ 第1步：一致连续性
│    │  │  │  ├─ f在[a,b]上连续
│    │  │  │  ├─ 由Cantor定理：f一致连续
│    │  │  │  └─ ∀ε>0, ∃δ: |x'-x''|<δ ⟹ |f(x')-f(x'')|<ε/(b-a)
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 第2步：控制振幅
│    │  │  │  ├─ 取分割T使||T||<δ
│    │  │  │  ├─ 在每个Δᵢ上：ωᵢ = Mᵢ - mᵢ = sup|f(x')-f(x'')|
│    │  │  │  └─ 由一致连续性：ωᵢ < ε/(b-a)
│    │  │  │
│    │  │  └─ 第3步：应用准则
│    │  │     └─ Σωᵢ Δxᵢ < Σ(ε/(b-a))Δxᵢ = ε/(b-a)·(b-a) = ε ✓
│    │  │
│    │  └─ 关键点
│    │     ├─ 一致连续性保证所有小区间上振幅同时小
│    │     └─ 这是证明的核心
│    │
│    ├─ 定理9.5：有限个间断点的有界函数可积
│    │  ├─ 内容：f在[a,b]上有界，且仅有有限个间断点
│    │  │        ⟹ f在[a,b]上可积
│    │  │
│    │  ├─ 证明思路（间断点在端点b）
│    │  │  ├─ 第1步：分离间断点
│    │  │  │  ├─ 取δ'>0很小
│    │  │  │  ├─ 间断点b被隔离在[b-δ', b]内
│    │  │  │  └─ f在[a, b-δ']上连续
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 第2步：两部分估计
│    │  │  │  ├─ 在[a, b-δ']上：f连续，可积，Σωᵢ Δxᵢ < ε/2
│    │  │  │  └─ 在[b-δ', b]上：ω'δ' < (M-m)·δ' < ε/2（取δ'足够小）
│    │  │  │
│    │  │  └─ 第3步：合并
│    │  │     └─ Σωᵢ Δxᵢ = Σ[a,b-δ'] + ω'δ' < ε/2 + ε/2 = ε ✓
│    │  │
│    │  └─ 推广
│    │     ├─ 间断点在内部：类似处理
│    │     └─ 多个间断点：逐个隔离
│    │
│    └─ 定理9.6：单调函数可积 ★★★
│       ├─ 内容：f在[a,b]上单调 ⟹ f在[a,b]上可积
│       │
│       ├─ 证明（设f递增）
│       │  ├─ 第1步：计算振幅
│       │  │  └─ ωᵢ = Mᵢ - mᵢ = f(xᵢ) - f(xᵢ₋₁)（由单调性）
│       │  │
│       │  ├─ 第2步：求和（Telescoping）
│       │  │  └─ Σωᵢ Δxᵢ = Σ[f(xᵢ)-f(xᵢ₋₁)]·||T||
│       │  │             ≤ ||T||·Σ[f(xᵢ)-f(xᵢ₋₁)]
│       │  │             = ||T||·[f(b)-f(a)]
│       │  │
│       │  └─ 第3步：取极限
│       │     ├─ 取||T|| < ε/[f(b)-f(a)]
│       │     └─ 则Σωᵢ Δxᵢ < ε ✓
│       │
│       └─ 推论
│          ├─ 单调函数即使有无穷多个间断点
│          ├─ 仍然可积
│          └─ 例：f(x) = {0, x=0; 1/n, 1/(n+1)<x≤1/n}
│
├─── 典型例题层 (Example Problems)
│    ├─ 例1：狄利克雷函数不可积
│    │  ├─ D(x) = {1, x∈ℚ; 0, x∉ℚ}
│    │  ├─ 性质：有界但不可积
│    │  ├─ 证明：积分和取两个值（0或1）
│    │  └─ 意义：有界不保证可积
│    │
│    ├─ 例2：阶梯函数可积（两种方法）
│    │  ├─ f(x) = {0, x=0; 1/n, 1/(n+1)<x≤1/n; 1, x=1}
│    │  ├─ 方法一：单调函数定理
│    │  │  └─ f递增，虽有无穷多间断点，仍可积
│    │  │
│    │  └─ 方法二：分段处理
│    │     ├─ 在[ε,1]上只有有限个间断点
│    │     ├─ 利用定理9.5：在[ε,1]上可积
│    │     └─ ε→0，得f在[0,1]上可积
│    │
│    └─ 例3：黎曼函数可积 ★重要例子★
│       ├─ R(x) = {1/q, x=p/q既约; 0, x无理或0,1}
│       │
│       ├─ 性质分析
│       │  ├─ 在无理点连续
│       │  ├─ 在有理点不连续
│       │  ├─ 有无穷多间断点
│       │  └─ 但可积！
│       │
│       ├─ 证明思路（精妙）★★★
│       │  ├─ 任给ε>0，画水平线y=ε/(b-a)
│       │  ├─ 该线上方只有有限个点（R(x)≥ε/(b-a)的有理点r₁,...,rₖ）
│       │  ├─ 这些点被有限个小区间包含（总长<ε/2）
│       │  ├─ 其余小区间上：ωᵢ ≤ ε/(b-a)（函数值很小）
│       │  ├─ Σωᵢ Δxᵢ = Σ[含rᵢ] + Σ[其余] < 1·(ε/2) + (ε/(b-a))·(b-a) = ε
│       │  └─ 由准则，R可积
│       │
│       └─ 积分值
│          └─ ∫₀¹R(x)dx = 0（取ξᵢ全为无理数）
│
├─── 可积性判定技巧层 (Integrability Criteria Techniques)
│    ├─ 技巧1：直接用定理
│    │  ├─ 连续 ⟹ 可积
│    │  ├─ 单调 ⟹ 可积
│    │  └─ 有界+有限个间断点 ⟹ 可积
│    │
│    ├─ 技巧2：分段处理
│    │  ├─ 分成若干子区间
│    │  ├─ 每个子区间上判定可积
│    │  └─ 利用区间可加性
│    │
│    ├─ 技巧3：构造分割
│    │  ├─ 隔离"坏点"（间断点、振幅大的点）
│    │  ├─ 在"好区域"上用连续性
│    │  └─ 控制"坏区域"的总贡献
│    │
│    └─ 技巧4：特殊函数的处理
│       ├─ 分段函数：逐段考察
│       ├─ 含绝对值函数：去绝对值
│       └─ 周期函数：利用对称性
│
├─── 习题解析层 (Exercise Analysis)
│    ├─ 习题1：分割加细性质
│    │  ├─ 内容：T'是T加细后的分割
│    │  ├─ 结论：Σ[T']ωᵢΔxᵢ ≤ Σ[T]ωᵢΔxᵢ
│    │  └─ 证明：振幅单调性
│    │
│    ├─ 习题2：可积性的遗传性
│    │  ├─ 内容：f在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]
│    │  ├─ 结论：f在[α,β]上也可积
│    │  └─ 证明：限制分割到[α,β]
│    │
│    ├─ 习题3：几乎处处相等的函数
│    │  ├─ 内容：f,g有界，仅有限个点处f(x)≠g(x)
│    │  ├─ 结论：f可积 ⟺ g可积，且∫f = ∫g
│    │  └─ 证明：有限个点不影响振幅和
│    │
│    ├─ 习题4：几乎处处连续
│    │  ├─ 内容：f在[a,b]上有界，在[a,b]上除有限个点外连续
│    │  └─ 结论：f在[a,b]上可积
│    │
│    └─ 习题5：证明Telescoping求和
│       └─ Σ[f(xᵢ)-f(xᵢ₋₁)] = f(b) - f(a)
│
└─── 理论深化层 (Advanced Theory)
     ├─ 可积性的充要条件（完整版，§6）
     │  ├─ 上积分与下积分
     │  ├─ 达布定理
     │  └─ 黎曼可积的完整刻画
     │
     ├─ 更一般的积分
     │  ├─ 勒贝格积分
     │  │  ├─ 可积函数类更广
     │  │  ├─ 几乎处处相等的函数同积分
     │  │  └─ 测度论基础
     │  │
     │  └─ 比较
     │     ├─ 黎曼可积 ⟹ 勒贝格可积
     │     ├─ 但反之不成立
     │     └─ 黎曼可积 ⟺ 不连续点集测度为0
     │
     └─ 历史注记
        ├─ 黎曼（1854）：定积分的严格定义
        ├─ 达布（1875）：上和下和判据
        └─ 勒贝格（1902）：测度论与积分

第一部分：可积的必要条件 | Necessary Conditions

1.1 问题的提出

从定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）及其后的注记中看到，要判别一个函数是否可积，必须研究可积条件。

核心问题：

1. 什么样的函数是可积的？
2. 如何判断一个函数是否可积？
3. 能否找到只与函数性质相关、而不涉及定积分值的判别准则？

1.2 定理9.2：可积函数必有界 ★必要条件★

定理表述

若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必定有界。

证明（反证法）

假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界，则对于 $[a,b]$ 的任一分割 $T$，必存在属于 $T$ 的某个小区间 ${\Delta }_k$，$f$ 在 ${\Delta }_k$ 上无界。

在 $i\ne k$ 的各个小区间 ${\Delta }_i$ 上任意取定 ${\xi }_i$，并记 $$G=\sum _{i\ne k}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

现对任意大的正数 $M$，由于 $f$ 在 ${\Delta }_k$ 上无界，故存在 ${\xi }_k\in {\Delta }_k$，使得 $$|f({\xi }_k)|>\frac{M+|G|}{\Delta x_k}$$

于是有 $$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\right|=\left|f({\xi }_k)\Delta x_k+\sum _{i\ne k}f({\xi }_i)\Delta x_i\right|$$

$$\ge |f({\xi }_k)|\Delta x_k-|G|>M+|G|-|G|=M$$

由此可见，对于无论多小的 $\Vert T\Vert$，按上述方法选取点集 $\{{\xi }_i\}$ 时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积矛盾。

结论：假设不成立，$f$ 必定在 $[a,b]$ 上有界。证毕。✓

1.3 反例：有界不一定可积

例1：狄利克雷函数

定义： $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ 0,& x\text{ 为无理数}\end{array}$$

命题：证明狄利克雷函数 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界但不可积。

证明：

第1步：有界性

显然 $|D(x)|\le 1$，$\forall x\in [0,1]$，所以 $D$ 在 $[0,1]$ 上有界。

第2步：不可积性

对于 $[0,1]$ 的任一分割 $T$，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于 $T$ 的任一小区间 ${\Delta }_i$ 上：

• 当 ${\xi }_i$ 全取有理数时： $$\sum _{i=1}^{n}D({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^{n}1\cdot \Delta x_i=\sum _{i=1}^n\Delta x_i=1$$

• 当 ${\xi }_i$ 全取无理数时： $$\sum _{i=1}^{n}D({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^{n}0\cdot \Delta x_i=0$$

所以不论 $\Vert T\Vert$ 多么小，只要点集取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和就有不同的极限（1或0）。

结论：$D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可积。证毕。✓

1.4 小结：有界性的地位

结论：

• 有界是可积的必要条件
• 但有界不是充分条件（如狄利克雷函数）

说明：在以后讨论函数的可积性时，总是首先假设函数是有界的，今后不再一一申明。

第二部分：达布和理论 | Darboux Sum Theory

2.1 引入：达布和

要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于：

1. 积分和的复杂性（依赖分割和点集选择）
2. 极限值不易预知

因此这是极其困难的。

解决思路：引入达布和（Darboux Sum），它只与分割有关，而与点的选择无关。

2.2 基本概念

设 $T=\{a=x_0,x_1,\dots ,x_n=b\}$ 是 $[a,b]$ 的一个分割，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，则它在每个小区间 ${\Delta }_i$ 上存在上、下确界：

$$M_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\inf }f(x),i=1,2,\dots ,n$$

定义（达布上和与下和）

$$\boxed{S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i}$$

称为 $f$ 关于分割 $T$ 的达布上和（Upper Darboux Sum）或简称上和。

$$\boxed{s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i}$$

称为 $f$ 关于分割 $T$ 的达布下和（Lower Darboux Sum）或简称下和。

二者统称达布和。

定义（振幅）

$$\boxed{{\omega }_i=M_i-m_i}$$

称为 $f$ 在 ${\Delta }_i$ 上的振幅（Oscillation）。

有必要时也记为 $\omega (f,{\Delta }_i)$，它表示： $$\omega (f,{\Delta }_i)=\underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_i}{\sup }|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|$$

2.3 达布和与积分和的关系

任给 ${\xi }_i\in {\Delta }_i$，$i=1,2,\dots ,n$，显然有：

$$\boxed{s(T)\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

解释：

• 达布和只与分割 $T$ 有关，与点集 $\{{\xi }_i\}$ 无关
• 任何积分和都被夹在上和与下和之间
• 这为研究可积性提供了关键工具

2.4 达布和的几何意义

    y
    │     ╭──────╮  ← 外接矩形（高=Mᵢ）
    │     │ f(x) │
    │     │╱───╲│
    │     ├─────┤  ← 实际曲线
    │     │╲___╱│
    │  ╭──┴─────┴──╮ ← 内接矩形（高=mᵢ）
    └─────────────────→ x
    xᵢ₋₁         xᵢ
    
    S(T) = 外接矩形面积之和
    s(T) = 内接矩形面积之和
    S(T) - s(T) = 误差估计

2.5 振幅的意义

$$S(T)-s(T)=\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\boxed{\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i}$$

关键观察：

• 振幅 ${\omega }_i$ 刻画了 $f$ 在 ${\Delta }_i$ 上的波动程度
• $\sum {\omega }_i\Delta x_i$ 刻画了 $f$ 在整个 $[a,b]$ 上的总体波动
• 可积性本质上要求：通过细分可使总体波动任意小

第三部分：可积的充要条件 | Necessary and Sufficient Conditions

3.1 定理9.3：可积准则（达布准则）★★★

定理表述

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \text{分割 }T:S(T)-s(T)<\epsilon }\text{\hspace{1em}(2)}$$

3.2 定理9.3'：振幅形式的可积准则

等价表述

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \text{分割 }T:\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon }\text{\hspace{1em}(2’)}$$

3.3 两种形式的等价性

由于 $$S(T)-s(T)=\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i$$

所以 (2) 与 (2') 是完全等价的。

3.4 几何意义

图9-7的解释：

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则图9-7中包围曲线 $y=f(x)$ 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然。

    y
    │  ▭ ▭ ▭ ▭
    │ ▭ ╱─╲ ▭  ← 外接矩形
    │▭ ╱───╲ ▭
    │ ╱     ╲  ← y=f(x)
    │├───────┤  ← 内接矩形
    └──────────→ x
    a          b
    
    外接与内接矩形的面积差 → 0
    当分割充分细时

3.5 证明说明

本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论，这里从略。

证明要点（将在§6补充材料中给出）：

1. 充分性：若 $S(T)-s(T)<\epsilon$，利用 (1) 式证明可积
2. 必要性：若可积，利用可积定义构造满足条件的分割
3. 需要深入讨论达布和的单调性、加细性质等

第四部分：可积函数类 | Classes of Integrable Functions

根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的（即可积的充分条件）。

4.1 定理9.4：连续函数可积 ★★★

定理表述

若 $f$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

证明（详细）

第1步：一致连续性

由于 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，因此根据康托定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

这就是说，任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，对 $[a,b]$ 中任意两点 $x^{\prime },x^{\prime \prime }$，只要 $$|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$$

便有 $$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}\text{\hspace{1em}(3)}$$

第2步：控制振幅

取分割 $T$ 使得 $\Vert T\Vert <\delta$，则对每个小区间 ${\Delta }_i$，有 $$\Delta x_i\le \Vert T\Vert <\delta$$

对于 ${\Delta }_i$ 内任意两点 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_i$，有 $$|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|\le \Delta x_i<\delta$$

由 (3) 式得 $$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}$$

因此 $${\omega }_i=M_i-m_i=\underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_i}{\sup }|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|\le \frac{\epsilon }{b-a}$$

第3步：应用可积准则

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i\le \sum _{i=1}^n\frac{\epsilon }{b-a}\cdot \Delta x_i=\frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n\Delta x_i=\frac{\epsilon }{b-a}\cdot (b-a)=\epsilon$$

由定理9.3'（充分性），证得 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。证毕。✓

关键点

读者应该注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用：

• 它保证了在所有小区间上同时控制振幅
• 这是普通连续性无法保证的（普通连续性只是点点连续）

4.2 定理9.5：有限个间断点的有界函数可积

定理表述

若 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

证明思路

不失一般性，这里只证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点即为端点 $b$。

证明策略：

1. 将间断点"隔离"在一个很小的区间内
2. 在连续部分应用定理9.4
3. 控制间断点附近的贡献

证明（详细）

任给 $\epsilon >0$，取 ${\delta }^{\prime }$ 满足 $$0<{\delta }^{\prime }<\frac{\epsilon }{2(M-m)}$$

且 ${\delta }^{\prime }<b-a$，其中 $M$ 与 $m$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的上确界与下确界（设 $m<M$，否则 $f$ 为常量函数，显然可积）。

第1步：分离间断点

记 $f$ 在小区间 ${\Delta }^{\prime }=[b-{\delta }^{\prime },b]$ 上的振幅为 ${\omega }^{\prime }$，则 $${\omega }^{\prime }\le M-m$$

因此 $${\omega }^{\prime }{\delta }^{\prime }<(M-m)\cdot \frac{\epsilon }{2(M-m)}=\frac{\epsilon }{2}\text{\hspace{1em}(4)}$$

第2步：连续部分

因为 $f$ 在 $[a,b-{\delta }^{\prime }]$ 上连续，由定理9.4知 $f$ 在 $[a,b-{\delta }^{\prime }]$ 上可积。

再由定理9.3'（必要性），存在对 $[a,b-{\delta }^{\prime }]$ 的某个分割 $T_1=\{{\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_{n-1}\}$，使得 $$\sum _{i=1}^{n-1}{\omega }_i\Delta x_i<\frac{\epsilon }{2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

第3步：合并分割

令 ${\Delta }_n={\Delta }^{\prime }=[b-{\delta }^{\prime },b]$，则 $$T=\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_{n-1},{\Delta }_n\}$$

是对 $[a,b]$ 的一个分割。

对于 $T$，有 $$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i=\sum _{i=1}^{n-1}{\omega }_i\Delta x_i+{\omega }^{\prime }{\delta }^{\prime }<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

根据定理9.3'（充分性），证得 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。证毕。✓

推广

当间断点在内部或有多个间断点时，类似处理：

• 将每个间断点隔离在小区间内
• 每个小区间贡献 $<\epsilon /(2k)$（$k$ 为间断点个数）
• 连续部分贡献 $<\epsilon /2$
• 总和 $<\epsilon$

4.3 定理9.6：单调函数可积 ★★★

定理表述

若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

证明（设f为增函数）

设 $f$ 为增函数，且 $f(a)<f(b)$（若 $f(a)=f(b)$，则 $f$ 为常量函数，显然可积）。

第1步：计算振幅

对 $[a,b]$ 的任一分割 $T$，由 $f$ 的增性，$f$ 在 $T$ 所属的每个小区间 ${\Delta }_i$ 上的振幅为 $${\omega }_i=M_i-m_i=f(x_i)-f(x_{i-1})$$

（因为 $f$ 递增，所以 $M_i=f(x_i)$，$m_i=f(x_{i-1})$）

第2步：求和（Telescoping Sum）

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i=\sum _{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]\Delta x_i$$

$$\le \Vert T\Vert \sum _{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]$$

$$=\Vert T\Vert \cdot [f(b)-f(a)]\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中用到了 $\Delta x_i\le \Vert T\Vert$ 以及Telescoping求和： $$\sum _{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)$$

第3步：应用可积准则

任给 $\epsilon >0$，取分割 $T$ 使得 $$\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}$$

则由 (6) 式得 $$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。证毕。✓

重要推论

注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性！

这是因为单调函数的间断点只能是第一类间断点（跳跃间断点），且至多可数。

第五部分：典型例题分析 | Example Problems

5.1 例2：阶梯函数可积（两种方法）

问题

试用两种方法证明函数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0\\ \frac{1}{n},& \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n},n=1,2,3,\dots \\ 1,& x=1\end{array}$$

在区间 $[0,1]$ 上可积。

函数图像

f(x)
 1  ●━━━━━━━━━━━━━━━━━━ x=1
    │
1/2 ├───●━━━━━━━━━━━━━━ x∈(1/3,1/2]
    │   │
1/3 ├───┼───●━━━━━━━━━━ x∈(1/4,1/3]
    │   │   │
    │   │   │  ...
    ├───┼───┼───●━━━━━ (跳跃点：x=1/n)
    │   │   │   │
    └───┴───┴───┴────→ x
    0  1/4 1/3 1/2  1
    
图9-8：阶梯函数

证法一：利用单调性（定理9.6）

证明：

观察到 $f$ 是一增函数（图9-8），虽然它在 $[0,1]$ 上有无限多个间断点 $$x_n=\frac{1}{n},n=2,3,\dots$$

但由定理9.6，仍保证它在 $[0,1]$ 上可积。证毕。✓

证法二：分段处理（利用定理9.3和9.5）

证明：

任给 $\epsilon >0$。

由于 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

因此当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{n}<\epsilon$。

第1步：这说明 $f$ 在 $\left[\frac{1}{n},1\right]$ 上只有有限个间断点（$x_n,x_{n-1},\dots ,x_2$）。

利用定理9.5，推知 $f$ 在 $\left[\frac{1}{n},1\right]$ 上可积。

第2步：由定理9.3'（必要性），存在对 $\left[\frac{1}{n},1\right]$ 的某一分割 $T_1$，使得 $$\sum _{i\in T_1}{\omega }_i\Delta x_i<\frac{\epsilon }{2}$$

第3步：再把小区间 ${\Delta }_0=\left[0,\frac{1}{n}\right]$ 与 $T_1$ 合并，成为对 $[0,1]$ 的一个分割 $T$。

由于 $f$ 在 ${\Delta }_0=\left[0,\frac{1}{n}\right]$ 上的振幅 $${\omega }_0\le 1$$

（$f$ 的值域在 $[0,1]$ 内）

因此得到 $$\sum _{i=0}^n{\omega }_i\Delta x_i={\omega }_0\cdot \frac{1}{n}+\sum _{i\in T_1}{\omega }_i\Delta x_i<1\cdot \epsilon +\frac{\epsilon }{2}<2\epsilon$$

（当 $n$ 足够大使 $\frac{1}{n}<\epsilon$ 时）

所以 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积。证毕。✓

5.2 例3：黎曼函数可积 ★重要例子★

问题

证明黎曼函数（Riemann Function） $$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q}\text{ 为既约真分数}\\ 0,& x=0,1\text{ 以及 }(0,1)\text{ 内的无理数}\end{array}$$

在区间 $[0,1]$ 上可积，且 $${\int }_0^{1}R(x)dx=0$$

函数性质分析

1. 值域：$R(x)\in [0,1]$，所以 $R$ 有界
2. 连续性：
   • 在 $x=0,1$ 以及一切无理点处连续
   • 在 $(0,1)$ 上的一切有理点处不连续
3. 间断点：有无限多个间断点（所有有理点）

关键观察：虽有无限多间断点，但"大部分"函数值很小（$R(x)=\frac{1}{q}$，$q$ 大时值小）。

函数图像直观

R(x)
 1  ●  (x=1)
    │
1/2 │  ●  (x=1/2)
    │
1/3 │●   ●  (x=1/3, 2/3)
    │
1/4 │● ● ● ●  (x=1/4, 3/4)
    │
1/5 │●●●●●●  (x=1/5, 2/5, 3/5, 4/5)
    │
    │●●●●●●●●●●●  (更多有理点)
  0 └─────────────────────→ x
    0                       1
    
    关键：画水平线y=ε，线上方只有有限个点

证明思路（精妙）★★★

分析：已知黎曼函数在 $x=0,1$ 以及一切无理点处连续，而在 $(0,1)$ 上的一切有理点处不连续。

直观构思（如图9-9）：在黎曼函数的图像中画一条水平直线 $$y=\frac{\epsilon }{b-a}$$

在此直线上方只有函数图像中有限个点，这些点所对应的自变量可被含于属于分割 $T$ 的有限个小区间中。

当 $\Vert T\Vert$ 足够小时，这有限个小区间的总长可为任意小；而 $T$ 中其余小区间上函数的振幅不大于 $\frac{\epsilon }{b-a}$。

把这两部分相合，便可证得 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$。

证明（详细）

任给 $\epsilon >0$。

第1步：确定"大值点"的有限性

在 $[0,1]$ 上使得 $$R(x)\ge \frac{\epsilon }{b-a}=\epsilon$$

（这里 $b-a=1$）的有理点 $\frac{p}{q}$（既约）只有有限个。

这是因为：$R\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}\ge \epsilon$ 意味着 $q\le \frac{1}{\epsilon }$。

由于 $0<p<q\le \frac{1}{\epsilon }$，满足条件的既约分数只有有限个，设它们为 $$r_1,r_2,\dots ,r_k$$

其中 $k\le \frac{1}{{\epsilon }^2}$（粗略估计）。

第2步：构造分割

现对 $[0,1]$ 作分割 $T=\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n\}$，使得 $$\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{2k}$$

并把 $T$ 中所有小区间分为两类：

第一类：${\Delta }_i^{(1)}$（$i=1,2,\dots ,m$），为含有 $\{r_1,r_2,\dots ,r_k\}$ 中点的所有小区间。

这类小区间的个数 $$m\le 2k$$

（当所有 $r_i$ 恰好都是 $T$ 的分割点时才有 $m=2k$）

第二类：${\Delta }_j^{(2)}$（$j=1,2,\dots ,n-m$），为其余小区间。

在这些小区间上，$R(x)<\epsilon$（没有"大值点"），所以 $${\omega }_j^{(2)}\le \epsilon$$

第3步：估计两类小区间的贡献

第一类的贡献： $$\sum _{i=1}^m{\omega }_i^{(1)}\Delta x_i\le \sum _{i=1}^{m}1\cdot \Delta x_i$$

（因为 ${\omega }_i^{(1)}\le M-m\le 1-0=1$）

$$\le \sum _{i=1}^m\Vert T\Vert =m\cdot \Vert T\Vert \le 2k\cdot \frac{\epsilon }{2k}=\epsilon$$

第二类的贡献： $$\sum _{j=1}^{n-m}{\omega }_j^{(2)}\Delta x_j\le \sum _{j=1}^{n-m}\epsilon \cdot \Delta x_j\le \epsilon \sum _{j=1}^{n-m}\Delta x_j\le \epsilon \cdot 1=\epsilon$$

第4步：合并

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i=\sum _{i=1}^m{\omega }_i^{(1)}\Delta x_i+\sum _{j=1}^{n-m}{\omega }_j^{(2)}\Delta x_j<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$$

（可以通过调整系数使其 $<\epsilon$）

由定理9.3'，即 $R$ 在 $[0,1]$ 上可积。

第5步：计算积分值

因为已经证得 $R$ 在 $[0,1]$ 上可积，所以当取 ${\xi }_i$ 全为无理点时，使 $R({\xi }_i)=0$，从而 $${\int }_0^{1}R(x)dx=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i)\Delta x_i=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }0=0$$

证毕。✓

例3的意义

1. 有无穷多个间断点也可积（前提：间断点在某种意义下"稀疏"）
2. 可积不等于几乎处处连续（黎曼函数在稠密的有理点处不连续）
3. 证明技巧精妙：分类讨论+控制总贡献

第六部分：习题解析 | Exercise Solutions

6.1 习题9.3-1：分割加细的性质

题目：证明：若 $T^{\prime }$ 是 $T$ 增加若干个分点后所得的分割，则 $$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i\Delta x_i\le \sum _T{\omega }_i\Delta x_i$$

证明：

设 $T$ 的一个小区间 $\Delta$ 被加细为若干个小区间 ${\Delta }_1^{\prime },{\Delta }_2^{\prime },\dots ,{\Delta }_k^{\prime }$。

记 $\omega$ 为 $f$ 在 $\Delta$ 上的振幅，${\omega }_j^{\prime }$ 为 $f$ 在 ${\Delta }_j^{\prime }$ 上的振幅。

由振幅的定义，有 $${\omega }_j^{\prime }\le \omega ,j=1,2,\dots ,k$$

（加细不增加振幅）

因此 $$\sum _{j=1}^k{\omega }_j^{\prime }\Delta x_j^{\prime }\le \sum _{j=1}^k\omega \cdot \Delta x_j^{\prime }=\omega \sum _{j=1}^k\Delta x_j^{\prime }=\omega \cdot \Delta x$$

对所有被加细的小区间求和，得 $$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i\Delta x_i\le \sum _T{\omega }_i\Delta x_i$$

证毕。✓

6.2 习题9.3-2：可积性的遗传性

题目：证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$，则 $f$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上也可积。

证明思路：

任给 $\epsilon >0$，由 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，存在分割 $T$ 使得 $$\sum _{[a,b]}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

将 $T$ 限制在 $[\alpha ,\beta ]$ 上（去掉不属于 $[\alpha ,\beta ]$ 的小区间，必要时在 $\alpha ,\beta$ 处加分点），得到 $[\alpha ,\beta ]$ 的一个分割 $T^{\prime }$。

$$\sum _{[\alpha ,\beta ]}{\omega }_i\Delta x_i\le \sum _{[a,b]}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

由定理9.3'，$f$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积。证毕。✓

6.3 习题9.3-3：几乎处处相等的函数

题目：设 $f,g$ 均为定义在 $[a,b]$ 上的有界函数，仅在有限个点处 $f(x)\ne g(x)$。证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $g$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且 $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}g(x)dx$$

证明思路：

设 $f(x)\ne g(x)$ 的点为 $c_1,c_2,\dots ,c_k$（有限个）。

构造函数 $h(x)=|f(x)-g(x)|$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 上有界，且仅在有限个点处 $h(x)\ne 0$。

类似定理9.5的证明，可以证明： $$\sum \omega_h

第六部分：习题解析（续）| Exercise Solutions (Continued)

6.3 习题9.3-3：几乎处处相等的函数（续）

证明（详细）：

设 $f(x) \neq g(x)$ 的点为 $c_1, c_2, \ldots, c_k$（有限个）。

第1步：证明g可积

任给 $\varepsilon > 0$。

对 $[a,b]$ 的任一分割 $T$，在任一小区间 $\Delta_i$ 上，记：

• $M_i^{(f)}, m_i^{(f)}$：$f$ 在 $\Delta_i$ 上的上、下确界
• $M_i^{(g)}, m_i^{(g)}$：$g$ 在 $\Delta_i$ 上的上、下确界
• $\omega_i^{(f)}, \omega_i^{(g)}$：$f, g$ 在 $\Delta_i$ 上的振幅

关键观察：如果 $\Delta_i$ 不含任何 $c_j$，则在 $\Delta_i$ 上 $f(x) = g(x)$，从而 $$\omega_i^{(f)} = \omega_i^{(g)}$$

如果 $\Delta_i$ 含有某个 $c_j$，记这样的小区间为 $\Delta_{i_1}, \Delta_{i_2}, \ldots, \Delta_{i_m}$（$m \leq 2k$）。

第2步：构造分割

由 $f$ 可积，存在分割 $T$ 使得 $$\sum_{i=1}^n \omega_i^{(f)} \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2}$$

且 $|T| < \frac{\varepsilon}{4kM}$，其中 $M = \max{|f|, |g|}$ 的上界。

第3步：估计差异

$$\sum_{i=1}^n \omega_i^{(g)} \Delta x_i = \sum_{i \neq i_j} \omega_i^{(g)} \Delta x_i + \sum_{j=1}^m \omega_{i_j}^{(g)} \Delta x_{i_j}= \sum_{i \neq i_j} \omega_i^{(f)} \Delta x_i + \sum_{j=1}^m \omega_{i_j}^{(g)} \Delta x_{i_j}\leq \sum_{i=1}^n \omega_i^{(f)} \Delta x_i + \sum_{j=1}^m 2M \cdot |T|< \frac{\varepsilon}{2} + 2k \cdot 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4kM} = \frac{\varepsilon}{2} + \varepsilon = \varepsilon$$

由定理9.3'，$g$ 在 $[a,b]$ 上可积。

第4步：证明积分相等

由于 $f(x) = g(x)$ 除有限个点外处处成立，对任一分割 $T$，可以选取 $\xi_i$ 使得 $f(\xi_i) = g(\xi_i)$（避开那有限个不等的点）。

因此 $$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \sum_{i=1}^n g(\xi_i)\Delta x_i$$

取 $|T| \to 0$，得 $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b g(x)dx$$

证毕。✓

6.4 习题9.3-4：几乎处处连续的函数可积

题目：证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且在 $[a,b]$ 上除有限个点外处处连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

证明：

这是定理9.5的直接应用。

设 $f$ 的间断点为 $c_1, c_2, \ldots, c_k$（有限个），则：

• $f$ 在 $[a,b]$ 上有界
• $f$ 仅有有限个间断点

由定理9.5，$f$ 在 $[a,b]$ 上可积。证毕。✓

6.5 习题9.3-5：证明Telescoping求和

题目：证明对任何分割 $T = {x_0, x_1, \ldots, x_n}$，有 $$\sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})] = f(x_n) - f(x_0) = f(b) - f(a)$$---\ast \ast 证明\ast \ast ：展开左边：$$\sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})]= [f(x_1) - f(x_0)] + [f(x_2) - f(x_1)] + [f(x_3) - f(x_2)] + \cdots + [f(x_n) - f(x_{n-1})]= -f(x_0) + \cancel{f(x_1)} - \cancel{f(x_1)} + \cancel{f(x_2)} - \cancel{f(x_2)} + \cdots - \cancel{f(x_{n-1})} + f(x_n)= f(x_n) - f(x_0) = f(b) - f(a)$$

这就是著名的Telescoping求和（伸缩求和）。证毕。✓

第七部分：可积性判定技巧总结 | Integrability Criteria Summary

7.1 判定可积性的标准流程

判定f在[a,b]上是否可积
         ↓
┌────────┴────────┐
│  第1步：检查有界性  │
│  （必要条件）     │
└────────┬────────┘
         ↓
    f有界？
    ↙     ↘
  否        是
  ↓         ↓
不可积   继续判定
         ↓
┌────────┴────────────────┐
│ 第2步：应用充分条件定理    │
└────────┬────────────────┘
         ↓
┌────────┴────────────────────────┐
│ 定理9.4：f连续？                 │
│   是 → 可积                     │
│   否 ↓                          │
│                                 │
│ 定理9.6：f单调？                 │
│   是 → 可积                     │
│   否 ↓                          │
│                                 │
│ 定理9.5：有界+有限个间断点？      │
│   是 → 可积                     │
│   否 ↓                          │
│                                 │
│ 第3步：应用可积准则（定理9.3'）  │
│   构造分割使 Σωᵢ Δxᵢ < ε      │
└─────────────────────────────────┘

7.2 常见函数类的可积性

7.3 技巧汇总

技巧1：分段处理

对于分段定义的函数： $$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in [a, c_1] \ f_2(x), & x \in (c_1, c_2] \ \vdots \ f_k(x), & x \in (c_{k-1}, b] \end{cases}$$

步骤：

1. 在每个子区间上判定可积性
2. 利用可积性的区间可加性
3. 注意分段点的连续性

技巧2：隔离"坏点"

对于有间断点的函数：

1. 将间断点隔离在小区间内（总长 $< \varepsilon/2$）
2. 在连续部分应用定理9.4
3. 控制"坏区域"的贡献（$< \varepsilon/2$）
4. 合并得 $\sum \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$

技巧3：利用单调性

对于单调函数（或分段单调）：

1. 直接应用定理9.6
2. 利用振幅的Telescoping性质
3. $\sum \omega_i \Delta x_i \leq |T| \cdot [f(b) - f(a)]$

技巧4：构造特殊分割

对于特殊函数（如黎曼函数）：

1. 分析函数的"大值点"（有限个）
2. 构造分割将它们隔离
3. 在其余区间上利用振幅小的性质
4. 控制总贡献 $< \varepsilon$

第八部分：理论深化与拓展 | Advanced Theory

8.1 上积分与下积分（§6补充内容）

定义

对于有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上，定义：

上积分（Upper Integral）： $$\boxed{\overline{\int_a^b} f(x)dx = \inf_T S(T)}$$\ast \ast 下积分\ast \ast （LowerIntegral）：$$\boxed{\underline{\int_a^b} f(x)dx = \sup_T s(T)}$$

达布定理

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是： $$\boxed{\overline{\int_a^b} f(x)dx = \underline{\int_a^b} f(x)dx}$$

此时，它们的公共值就是 $\int_a^b f(x)dx$。

8.2 可积性的测度论刻画

勒贝格定理（Lebesgue's Theorem）

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是：

$f$ 的不连续点集的勒贝格测度为零。

说明：

• 有限个点的测度为零 → 定理9.5
• 可数个点的测度为零 → 某些特殊单调函数
• 黎曼函数的不连续点（有理点集）测度为零

意义：

• 精确刻画了黎曼可积的范围
• 连接了积分论与测度论
• 为勒贝格积分理论奠定基础

8.3 黎曼积分 vs 勒贝格积分

关系：

• 黎曼可积 $\Rightarrow$ 勒贝格可积
• 两者在可积时积分值相同
• 勒贝格积分是黎曼积分的自然推广

第九部分：核心要点总结 | Key Takeaways

9.1 可积性理论框架

┌─────────────────────────────────────────┐
│         可积性判定体系                    │
├─────────────────────────────────────────┤
│                                         │
│  必要条件：有界性（定理9.2）              │
│           f可积 ⟹ f有界                │
│                                         │
├─────────────────────────────────────────┤
│                                         │
│  充要条件：达布准则（定理9.3, 9.3'）      │
│           f可积 ⟺ ∀ε, ∃T: Σωᵢ Δxᵢ<ε   │
│                                         │
├─────────────────────────────────────────┤
│                                         │
│  充分条件：                              │
│    ① 连续函数可积（定理9.4）             │
│    ② 单调函数可积（定理9.6）             │
│    ③ 有界+有限个间断点可积（定理9.5）     │
│                                         │
└─────────────────────────────────────────┘

9.2 五大核心定理

9.3 证明技巧总结

证明可积的标准模式

目标：证明 f 在 [a,b] 上可积
         ↓
方法：利用定理9.3'
         ↓
需要证明：∀ε>0, ∃分割T: Σωᵢ Δxᵢ < ε
         ↓
┌────────┴────────┐
│  策略选择        │
└────────┬────────┘
         ↓
┌─────────────────────────────────┐
│ 策略A：一致控制振幅               │
│   利用一致连续性                 │
│   使所有ωᵢ < ε/(b-a)            │
│   （适用：连续函数）             │
│                                 │
│ 策略B：Telescoping求和          │
│   利用单调性                    │
│   Σωᵢ Δxᵢ ≤ ||T||·[f(b)-f(a)]  │
│   （适用：单调函数）             │
│                                 │
│ 策略C：隔离+分段                │
│   隔离"坏点"贡献<ε/2            │
│   "好区域"贡献<ε/2              │
│   （适用：有限个间断点）         │
│                                 │
│ 策略D：分类讨论                 │
│   区分"大值区"和"小值区"         │
│   分别控制贡献                  │
│   （适用：特殊函数如黎曼函数）    │
└─────────────────────────────────┘

9.4 常见错误与注意事项

❌ 错误1：认为有界就可积

反例：狄利克雷函数 $D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$

有界但不可积。

❌ 错误2：认为无穷多间断点就不可积

反例：黎曼函数有无穷多间断点（所有有理点），但可积。

正确理解：可积性关键看间断点的"分布"和函数的"振幅"。

❌ 错误3：混淆达布和与积分和

• 达布和：$S(T), s(T)$ 只与分割有关
• 积分和：$\sum f(\xi_i)\Delta x_i$ 还与点集 ${\xi_i}$ 有关

❌ 错误4：忽略一致连续性的作用

在定理9.4的证明中，一致连续性是关键，它保证了：

• 在所有小区间上同时控制振幅
• 普通连续性无法保证这一点

✓ 正确做法

第十部分：学习建议与练习 | Study Guide

10.1 学习路径

第1阶段：理解必要条件（1天）

1. ✅ 掌握定理9.2：可积必有界
2. ✅ 理解狄利克雷函数反例
3. ✅ 认识到"有界 ≠ 可积"

第2阶段：掌握达布和理论（2-3天）

4. ✅ 理解达布上和、下和的定义
5. ✅ 理解振幅的概念
6. ✅ 掌握达布和的几何意义
7. ✅ 理解达布和与积分和的关系

第3阶段：掌握充要条件（2天）

8. ✅ 理解定理9.3（达布准则）
9. ✅ 理解定理9.3'（振幅准则）
10. ✅ 理解两者的等价性

第4阶段：掌握充分条件（3-4天）

11. ✅ 掌握定理9.4：连续函数可积★★★
    • 理解证明中一致连续性的作用
12. ✅ 掌握定理9.5：有限个间断点可积
    • 理解"隔离坏点"的证明技巧
13. ✅ 掌握定理9.6：单调函数可积★★★
    • 理解Telescoping求和技巧

第5阶段：典型例题（2-3天）

14. ✅ 阶梯函数可积（两种方法）
15. ✅ 黎曼函数可积（精妙证明）★★★
16. ✅ 狄利克雷函数不可积

第6阶段：综合应用（2天）

17. ✅ 判定各种函数的可积性
18. ✅ 构造分割验证可积准则
19. ✅ 完成习题9.3

10.2 重点难点突破

难点1：达布准则的理解

关键：

• $S(T) - s(T)$ 刻画外接与内接矩形的差
• $\sum \omega_i \Delta x_i$ 刻画总体波动
• 可积 ⟺ 通过细分可使总体波动任意小

突破方法：

1. 画图理解几何意义
2. 计算具体函数的上和、下和
3. 对比连续函数与不连续函数的差异

难点2：一致连续性的作用

问题：为什么定理9.4需要一致连续性？

回答：

• 普通连续性：对每个点 $x_0$，$\delta$ 依赖于 $x_0$
• 一致连续性：一个 $\delta$ 对所有点同时有效
• 证明需要：在所有小区间上同时控制振幅

突破方法：

1. 对比一致连续与普通连续
2. 找反例：连续但不一致连续的函数
3. 理解康托定理的重要性

难点3：黎曼函数的证明

精妙之处：

1. "画水平线"的创意（$y = \varepsilon$）
2. 线上方只有有限个点
3. 分类讨论控制贡献

突破方法：

1. 画出函数图像
2. 理解"大值点有限"的关键性
3. 模仿这种"分类控制"的思想

10.3 练习题推荐

基础题（必做）

1. 证明 $f(x) = \begin{cases} x, & x \in [0,1) \ 2, & x = 1 \end{cases}$ 在 $[0,1]$ 上可积。

2. 判断并证明：$f(x) = \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & x \in (0,1] \ 0, & x = 0 \end{cases}$ 的可积性。

3. 证明：若 $f, g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f+g$ 也可积。

4. 证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$c$ 为常数，则 $cf$ 也可积。

5. 证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积且 $f(x) \geq 0$，则 $\sqrt{f}$ 也可积。

提高题（选做）

6. 设 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, & x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^+ \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，证明 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积。

7. 构造一个在 $[0,1]$ 上有界但不可积的函数（不同于狄利克雷函数）。

8. 证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $|f|$ 也可积，且 $$\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx$$

9. 证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f \cdot g$ 可积。

10. 研究函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(\pi x)$ 在 $[0,1]$ 上的可积性。

    提示：$f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Z} \ 0, & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$ 在 $(0,1)$ 内

挑战题（竞赛水平）

11. 康威基底13函数：构造一个处处不连续但黎曼可积的函数（提示：修改黎曼函数）。

12. 达布定理：完整证明定理9.3（需补充材料）。

13. 勒贝格定理：了解"不连续点测度为零"的意义，并尝试理解证明思路。

📚 本节总结语 | Concluding Remarks

定积分的可积性理论是积分学的理论基石，它系统回答了"什么函数可积"这一根本问题。

三个层次的理解

1. 必要条件层：

   • 可积必有界（定理9.2）
   • 排除无界函数

2. 充要条件层：

   • 达布准则（定理9.3, 9.3'）
   • 提供理论判定工具

3. 充分条件层：

   • 连续函数可积（定理9.4）★★★
   • 单调函数可积（定理9.6）★★★
   • 有限个间断点可积（定理9.5）
   • 涵盖绝大多数实际应用

核心思想

可积性本质上要求函数的"总体波动"可以通过细分而变得任意小： $$\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$$

这种思想体现了：

• 局部与整体的辩证关系
• 连续性概念的深化（从点连续到一致连续）
• 测度论思想的萌芽（不连续点的"大小"）

理论价值

1. 完善积分理论：明确可积函数类的范围
2. 连接不同分支：联系拓扑学（连续性）、测度论（测度为零）
3. 启发推广：为勒贝格积分等更一般理论铺路

实用价值

1. 判定工具：提供系统的可积性判定方法
2. 计算保障：确保积分计算的合法性
3. 应用基础：为几何、物理应用提供理论支撑

恭喜！您已掌握定积分可积性的完整理论体系。 🎉

这套理论虽然抽象，但它是理解现代分析学的关键。通过本节学习，您不仅掌握了判定可积性的工具，更重要的是领悟了数学分析中处理"连续"与"间断"、"局部"与"整体"关系的深刻思想。

继续前进，下一节我们将学习定积分的性质与计算方法，将理论转化为实用技巧！ 🚀