第九章 §4：定积分的性质 | Properties of Definite Integrals

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定积分的性质是积分理论与应用的核心工具。本节系统建立定积分的八大基本性质（线性性、可加性、保号性等）和两大中值定理，这些性质不仅简化了积分计算，更揭示了积分与函数性质的深刻联系。特别是积分中值定理，为后续的微积分基本定理（变限积分函数）奠定了关键基础。

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定积分性质体系 (Properties of Definite Integrals)
│
├─── 基本性质层 (Basic Properties)
│    ├─ 性质1：数乘性（齐次性）
│    │  ├─ 内容：∫ₐᵇkf(x)dx = k∫ₐᵇf(x)dx
│    │  ├─ 证明：利用积分和的性质
│    │  └─ 意义：常数可提出积分号
│    │
│    ├─ 性质2：可加性（线性性）
│    │  ├─ 内容：∫ₐᵇ[f(x)±g(x)]dx = ∫ₐᵇf(x)dx ± ∫ₐᵇg(x)dx
│    │  ├─ 证明：利用积分和的极限性质
│    │  └─ 推广：∫ₐᵇ[αf(x)+βg(x)]dx = α∫ₐᵇf(x)dx + β∫ₐᵇg(x)dx
│    │
│    ├─ 性质1+2：线性性质★★★
│    │  ├─ 合并表述：积分是线性泛函
│    │  ├─ 意义：将复杂积分分解为简单积分之和
│    │  └─ 应用：分段函数、多项式积分
│    │
│    ├─ 性质3：乘积可积性
│    │  ├─ 内容：f,g可积 ⟹ f·g可积
│    │  ├─ 证明思路
│    │  │  ├─ 利用不等式：|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')| 
│    │  │  │                ≤ |f(x')-f(x'')|·|g(x')| + |f(x'')|·|g(x')-g(x'')|
│    │  │  ├─ 控制振幅：ω(f·g) ≤ B·ω(f) + A·ω(g)
│    │  │  └─ 应用可积准则
│    │  │
│    │  └─ 注意：∫f(x)g(x)dx ≠ ∫f(x)dx · ∫g(x)dx（一般情况）
│    │
│    ├─ 性质4：区间可加性★★★
│    │  ├─ 充要条件版本
│    │  │  ├─ f在[a,b]上可积 ⟺ f在[a,c]和[c,b]上都可积
│    │  │  └─ 其中c∈(a,b)
│    │  │
│    │  ├─ 等式版本
│    │  │  └─ ∫ₐᵇf(x)dx = ∫ₐᶜf(x)dx + ∫ᶜᵇf(x)dx
│    │  │
│    │  ├─ 几何意义
│    │  │  └─ 曲边梯形面积的可加性（图9-10）
│    │  │
│    │  ├─ 扩展规定
│    │  │  ├─ 规定1：∫ₐᵃf(x)dx = 0（上下限相等）
│    │  │  └─ 规定2：∫ₐᵇf(x)dx = -∫ᵇᵃf(x)dx（上下限交换）
│    │  │
│    │  └─ 推广应用
│    │     └─ 等式(3)对a,b,c任何大小顺序都成立
│    │
│    ├─ 性质5：保号性★★★
│    │  ├─ 基本形式
│    │  │  ├─ 条件：f(x)≥0, x∈[a,b]
│    │  │  └─ 结论：∫ₐᵇf(x)dx ≥ 0
│    │  │
│    │  ├─ 证明
│    │  │  ├─ f的积分和≥0
│    │  │  ├─ 积分和的极限≥0
│    │  │  └─ 保序性原理
│    │  │
│    │  └─ 推论：积分不等式性
│    │     ├─ 条件：f(x)≤g(x), x∈[a,b]
│    │     └─ 结论：∫ₐᵇf(x)dx ≤ ∫ₐᵇg(x)dx
│    │
│    ├─ 性质6：绝对值不等式★★★
│    │  ├─ 第一部分：|f|可积性
│    │  │  ├─ 条件：f可积
│    │  │  └─ 结论：|f|可积
│    │  │
│    │  ├─ 第二部分：三角不等式
│    │  │  └─ |∫ₐᵇf(x)dx| ≤ ∫ₐᵇ|f(x)|dx
│    │  │
│    │  ├─ 证明关键
│    │  │  ├─ ||f(x')|−|f(x'')|| ≤ |f(x')−f(x'')|
│    │  │  ├─ ω(|f|) ≤ ω(f)
│    │  │  └─ 应用不等式：−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
│    │  │
│    │  └─ 注意：逆命题不成立
│    │     └─ 反例：f(x)={1,x∈ℚ; −1,x∉ℚ}
│    │
│    └─ 性质7：估值定理（后续）
│       └─ 将在积分中值定理中详述
│
├─── 应用技巧层 (Application Techniques)
│    ├─ 技巧1：分段函数积分
│    │  ├─ 例1：∫₋₁¹f(x)dx，f分段定义
│    │  ├─ 方法：利用性质4拆分
│    │  ├─ ∫₋₁¹ = ∫₋₁⁰ + ∫₀¹
│    │  └─ 每段单独计算后相加
│    │
│    ├─ 技巧2：利用对称性
│    │  ├─ 奇函数：∫₋ₐᵃf(x)dx = 0
│    │  ├─ 偶函数：∫₋ₐᵃf(x)dx = 2∫₀ᵃf(x)dx
│    │  └─ 周期函数的周期性
│    │
│    ├─ 技巧3：比较积分大小
│    │  ├─ 利用性质5（保号性）
│    │  ├─ 比较被积函数大小关系
│    │  └─ 得出积分大小关系
│    │
│    └─ 技巧4：积分估值
│       ├─ 利用性质6（绝对值不等式）
│       ├─ 找被积函数的上下界
│       └─ 得出积分的范围
│
├─── 中值定理层 (Mean Value Theorems)
│    ├─ 定理9.7：积分第一中值定理★★★
│    │  ├─ 内容（基本版）
│    │  │  ├─ 条件：f在[a,b]上连续
│    │  │  ├─ 结论：∃ξ∈[a,b]，使得
│    │  │  │        ∫ₐᵇf(x)dx = f(ξ)(b−a)
│    │  │  └─ 简记：积分 = 平均值 × 区间长度
│    │  │
│    │  ├─ 证明思路
│    │  │  ├─ 第1步：f有最大值M和最小值m
│    │  │  ├─ 第2步：m≤f(x)≤M ⟹ m(b−a)≤∫≤M(b−a)
│    │  │  ├─ 第3步：m ≤ (1/(b−a))∫f(x)dx ≤ M
│    │  │  └─ 第4步：由介值定理，∃ξ使f(ξ)等于这个值
│    │  │
│    │  ├─ 几何意义（图9-11）
│    │  │  ├─ 曲边梯形面积 = 矩形面积
│    │  │  ├─ 高度f(ξ)是某个"平均高度"
│    │  │  └─ ξ称为积分中值点
│    │  │
│    │  ├─ 积分平均值概念
│    │  │  ├─ 定义：f̄ = (1/(b−a))∫ₐᵇf(x)dx
│    │  │  ├─ 意义：连续函数在区间上的平均值
│    │  │  └─ 推广了有限个数的算术平均
│    │  │
│    │  └─ 注记
│    │     ├─ 中值点ξ实际上可在(a,b)内取得
│    │     └─ 证明留作习题
│    │
│    └─ 定理9.8：推广的积分第一中值定理★★★
│       ├─ 内容（加权平均版）
│       │  ├─ 条件1：f,g在[a,b]上连续
│       │  ├─ 条件2：g(x)在[a,b]上不变号
│       │  ├─ 结论：∃ξ∈[a,b]，使得
│       │  │        ∫ₐᵇf(x)g(x)dx = f(ξ)∫ₐᵇg(x)dx
│       │  └─ 特殊情况：g(x)=1时退化为定理9.7
│       │
│       ├─ 证明思路（设g(x)≥0）
│       │  ├─ 第1步：mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)
│       │  ├─ 第2步：积分得m∫g≤∫fg≤M∫g
│       │  ├─ 第3步：分情况
│       │  │  ├─ 若∫g=0，则∫fg=0，公式成立
│       │  │  └─ 若∫g>0，则m≤(∫fg)/(∫g)≤M
│       │  └─ 第4步：由介值定理得结论
│       │
│       ├─ 几何意义
│       │  ├─ g(x)作为"权重函数"
│       │  └─ f(ξ)是加权平均值
│       │
│       └─ 应用场景
│          ├─ 物理：质心计算
│          ├─ 概率：期望计算
│          └─ 分析：不等式证明
│
├─── 典型例题层 (Example Problems)
│    ├─ 例1：分段函数积分
│    │  ├─ 问题：∫₋₁¹f(x)dx，其中
│    │  │        f(x) = {2x−1, x∈[−1,0)
│    │  │               {e^x,    x∈[0,1]
│    │  │
│    │  ├─ 解法：利用性质4
│    │  │  └─ ∫₋₁¹ = ∫₋₁⁰(2x−1)dx + ∫₀¹e^x dx
│    │  │         = [x²−x]₋₁⁰ + [e^x]₀¹
│    │  │         = (0−0)−(1+1) + (e−1)
│    │  │         = −2 + e − 1 = e − 3
│    │  │
│    │  └─ 注记
│    │     ├─ 注1：分段点的函数值不影响积分
│    │     └─ 注2：可用牛顿-莱布尼茨公式的推广形式
│    │
│    ├─ 例2：积分为零的条件★重要★
│    │  ├─ 问题：若f≥0连续，∫ₐᵇf(x)dx=0，则f≡0？
│    │  │
│    │  ├─ 证明（反证法）
│    │  │  ├─ 假设∃x₀使f(x₀)>0
│    │  │  ├─ 由连续性，在x₀邻域内f(x)≥f(x₀)/2>0
│    │  │  ├─ 在该邻域上积分>0
│    │  │  └─ 矛盾于∫f=0
│    │  │
│    │  └─ 推广
│    │     └─ 若f可积≥0，在某点连续且>0，则∫f>0
│    │
│    ├─ 例3：求函数平均值
│    │  ├─ 问题：求sin x在[0,π]上的平均值
│    │  │
│    │  ├─ 解：f̄ = (1/π)∫₀^π sin x dx
│    │  │         = (1/π)[−cos x]₀^π
│    │  │         = (1/π)[−(−1)−(−1)]
│    │  │         = 2/π
│    │  │
│    │  └─ 意义：正弦曲线一拱的平均高度
│    │
│    └─ 例4：极限与积分结合★★★
│       ├─ 问题：设f在[0,1]上连续，求lim(n→∞)n∫₁/ₙ¹f(x)dx
│       │
│       ├─ 解法：应用积分中值定理
│       │  ├─ 对n≥2，∃ξₙ∈(1/n,1)使
│       │  │   ∫₁/ₙ¹f(x)dx = f(ξₙ)(1−1/n)
│       │  │
│       │  ├─ 因此 n∫₁/ₙ¹f(x)dx = n·f(ξₙ)·(1−1/n)
│       │  │                      = f(ξₙ)·n(n−1)/n
│       │  │                      = f(ξₙ)·(n−1)
│       │  │
│       │  ├─ 当n→∞时，ξₙ→1（夹逼）
│       │  └─ 由f连续：lim f(ξₙ) = f(1)
│       │     lim n(n−1)/n = 1
│       │     所以原极限 = f(1)·1 = f(1)
│       │
│       └─ 技巧：中值定理将积分转化为函数值
│
├─── 性质应用专题 (Special Applications)
│    ├─ 应用1：不等式证明
│    │  ├─ 基本方法
│    │  │  ├─ 构造辅助函数
│    │  │  ├─ 利用积分保号性
│    │  │  └─ 应用中值定理
│    │  │
│    │  └─ 典型题型
│    │     ├─ 证明积分不等式
│    │     ├─ 估计积分上下界
│    │     └─ 比较两个积分大小
│    │
│    ├─ 应用2：几何应用
│    │  ├─ 面积计算
│    │  │  ├─ 利用区间可加性分段
│    │  │  └─ 利用对称性简化
│    │  │
│    │  └─ 平均值问题
│    │     ├─ 函数平均值
│    │     ├─ 几何图形的质心
│    │     └─ 平均速度、平均温度等
│    │
│    ├─ 应用3：物理应用
│    │  ├─ 变力做功：W = ∫F(x)dx
│    │  ├─ 质心坐标：x̄ = (∫xρ(x)dx)/(∫ρ(x)dx)
│    │  └─ 平均值定理的物理解释
│    │
│    └─ 应用4：极限计算
│       ├─ 积分上限函数的极限
│       ├─ 含参积分的极限
│       └─ 利用中值定理简化
│
├─── 证明技巧层 (Proof Techniques)
│    ├─ 技巧1：利用积分和定义
│    │  ├─ 适用于：基本性质的证明
│    │  ├─ 步骤
│    │  │  ├─ 写出积分和表达式
│    │  │  ├─ 应用代数运算
│    │  │  └─ 取极限得结论
│    │  └─ 实例：性质1、性质2
│    │
│    ├─ 技巧2：利用振幅不等式
│    │  ├─ 适用于：可积性证明
│    │  ├─ 关键不等式
│    │  │  ├─ ||f|−|g|| ≤ |f−g|
│    │  │  └─ ω(f·g) ≤ B·ω(f) + A·ω(g)
│    │  └─ 实例：性质3、性质6
│    │
│    ├─ 技巧3：反证法
│    │  ├─ 适用于：唯一性、等于零的问题
│    │  ├─ 步骤
│    │  │  ├─ 假设结论不成立
│    │  │  ├─ 利用连续性、保号性
│    │  │  └─ 导出矛盾
│    │  └─ 实例：例2的证明
│    │
│    └─ 技巧4：介值定理应用
│       ├─ 适用于：中值定理证明
│       ├─ 步骤
│       │  ├─ 建立不等式m≤某值≤M
│       │  ├─ 应用连续函数介值定理
│       │  └─ 得出存在中值点
│       └─ 实例：定理9.7、9.8
│
└─── 深化拓展层 (Advanced Topics)
     ├─ 推广1：积分第二中值定理
     │  ├─ 内容：∫ₐᵇf(x)g(x)dx = f(a)∫ₐᶜg(x)dx + f(b)∫ᶜᵇg(x)dx
     │  ├─ 条件：f单调，g可积
     │  └─ 应用：更精细的估计
     │
     ├─ 推广2：推广的积分中值定理
     │  ├─ 柯西-施瓦茨不等式
     │  │  └─ (∫fg)² ≤ ∫f² · ∫g²
     │  │
     │  └─ 赫尔德不等式
     │     └─ ∫|fg| ≤ (∫|f|^p)^(1/p) · (∫|g|^q)^(1/q)
     │
     ├─ 应用深化：变限积分函数
     │  ├─ 定义：Φ(x) = ∫ₐˣf(t)dt
     │  ├─ 性质：Φ'(x) = f(x)（微积分基本定理）
     │  └─ 中值定理的作用：建立导数与积分的联系
     │
     └─ 历史注记
        ├─ 牛顿-莱布尼茨：积分与微分的联系
        ├─ 柯西：定积分的严格定义与性质
        └─ 黎曼：现代积分理论的奠基

第一部分：定积分的基本性质 | Basic Properties

1.1 性质1：数乘性（齐次性）

定理表述

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$k$ 为常数，则 $kf$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且

$$\boxed{{\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(1)}$$

证明

情况1：当 $k=0$ 时，结论显然成立（$0\cdot f\equiv 0$，积分为0）。

情况2：当 $k\ne 0$ 时。

设 $J={\int }_a^{b}f(x)dx$，则

$$\left|\sum _{i=1}^{n}kf({\xi }_i)\Delta x_i-kJ\right|=|k|\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|$$

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，根据定义，任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，有

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|<\frac{\epsilon }{|k|}$$

从而

$$\left|\sum _{i=1}^{n}kf({\xi }_i)\Delta x_i-kJ\right|<|k|\cdot \frac{\epsilon }{|k|}=\epsilon$$

这证明了 $kf$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

$${\int }_a^{b}kf(x)dx=kJ=k{\int }_a^{b}f(x)dx$$

证毕。✓

几何意义

当 $k>0$ 时：曲边梯形的高度变为原来的 $k$ 倍，面积也变为 $k$ 倍。

当 $k<0$ 时：函数图像关于 $x$ 轴对称，面积反号。

1.2 性质2：可加性（线性性）

定理表述

若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上可积，则 $f\pm g$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且

$$\boxed{{\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx}\text{\hspace{1em}(2)}$$

证明

证明类似于性质1，利用积分和的线性性质：

$$\sum _{i=1}^n[f({\xi }_i)\pm g({\xi }_i)]\Delta x_i=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\pm \sum _{i=1}^{n}g({\xi }_i)\Delta x_i$$

当 $\Vert T\Vert \to 0$ 时，两边同时取极限即可。（详细证明留给读者）✓

1.3 性质1+2：线性性质 ★★★

合并表述

性质1与性质2合并，即为定积分的线性性质：

$$\boxed{{\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx}$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为常数。

推广

对于有限个函数 $f_1,f_2,\dots ,f_n$，有

$${\int }_a^b\sum _{i=1}^n{c}_i{f}_i(x)dx=\sum _{i=1}^n{c}_i{\int }_a^b{f}_i(x)dx$$

意义

1. 计算简化：将复杂积分分解为简单积分之和
2. 理论工具：积分作为线性泛函的性质
3. 应用广泛：多项式积分、分段函数积分等

1.4 性质3：乘积可积性

定理表述

若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上可积，则 $f\cdot g$ 在 $[a,b]$ 上也可积。

证明

由 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上可积，从而都有界，设

$$A=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)|,B=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|g(x)|$$

且 $A>0,B>0$（否则 $f,g$ 中至少有一个恒为零，结论显然成立）。

第1步：建立振幅不等式

对于 $[a,b]$ 的任一分割 $T$ 所属的小区间 ${\Delta }_i$，有

$${\omega }_{f\cdot g}(x)=\underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_i}{\sup }|f(x^{\prime })g(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })g(x^{\prime \prime })|$$

利用恒等式

$$f(x^{\prime })g(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })g(x^{\prime \prime })=[f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })]g(x^{\prime })+f(x^{\prime \prime })[g(x^{\prime })-g(x^{\prime \prime })]$$

取绝对值：

$$|f(x^{\prime })g(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })g(x^{\prime \prime })|\le |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|\cdot |g(x^{\prime })|+|f(x^{\prime \prime })|\cdot |g(x^{\prime })-g(x^{\prime \prime })|$$

$$\le B\cdot |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|+A\cdot |g(x^{\prime })-g(x^{\prime \prime })|$$

因此

$${\omega }_{f\cdot g}({\Delta }_i)\le B\cdot {\omega }_f({\Delta }_i)+A\cdot {\omega }_g({\Delta }_i)$$

第2步：应用可积准则

任给 $\epsilon >0$，由 $f,g$ 可积，分别存在分割 $T_1,T_2$，使得

$$\sum _{T_1}{\omega }_f({\Delta }_i)\Delta x_i<\frac{\epsilon }{2B},\sum _{T_2}{\omega }_g({\Delta }_i)\Delta x_i<\frac{\epsilon }{2A}$$

令 $T=T_1+T_2$（将 $T_1,T_2$ 的所有分割点合并）。

对于 $T$ 所属的每个 ${\Delta }_i$，由习题9.3第1题（分割加细后振幅和不增），有

$$\sum _T{\omega }_{f\cdot g}({\Delta }_i)\Delta x_i\le B\sum _T{\omega }_f({\Delta }_i)\Delta x_i+A\sum _T{\omega }_g({\Delta }_i)\Delta x_i$$

$$<B\cdot \frac{\epsilon }{2B}+A\cdot \frac{\epsilon }{2A}=\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

由定理9.3'（振幅准则），证得 $f\cdot g$ 在 $[a,b]$ 上可积。✓

重要注意

在一般情形下，

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ne {\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^{b}g(x)dx}$$

反例：$f(x)=g(x)=x$，$[a,b]=[0,1]$

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3},{\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$

显然 $\frac{1}{3}\ne \frac{1}{4}$。

1.5 性质4：区间可加性 ★★★

定理表述（充要条件版）

$f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：任给 $c\in (a,b)$，$f$ 在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上都可积。

此时又有等式

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx}\text{\hspace{1em}(3)}$$

证明

充分性（$\Leftarrow$）：

由于 $f$ 在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上都可积，故任给 $\epsilon >0$，分别存在对 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的分割 $T^{\prime },T^{\prime \prime }$，使得

$$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i^{\prime }\Delta x_i^{\prime }<\frac{\epsilon }{2},\sum _{T^{\prime \prime }}{\omega }_i^{\prime \prime }\Delta x_i^{\prime \prime }<\frac{\epsilon }{2}$$

现令 $T=T^{\prime }+T^{\prime \prime }$（在 $c$ 处连接），它是对 $[a,b]$ 的一个分割，则有

$$\sum _T{\omega }_i\Delta x_i=\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i^{\prime }\Delta x_i^{\prime }+\sum _{T^{\prime \prime }}{\omega }_i^{\prime \prime }\Delta x_i^{\prime \prime }<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

由此证得 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。✓

必要性（$\Rightarrow$）：

已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，故任给 $\epsilon >0$，存在对 $[a,b]$ 的某分割 $T$，使得

$$\sum _T{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

在 $T$ 上再增加一个分点 $c$（如果 $c$ 不在 $T$ 中），得到一个新的分割 $T^{\ast }$。

由习题9.3第1题（分割加细性质），又有

$$\sum _{T^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

分割 $T^{\ast }$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上的部分分别构成对 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 的分割，记为 $T^{\prime }$ 和 $T^{\prime \prime }$，则有

$$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i^{\prime }\Delta x_i^{\prime }\le \sum _{T^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

$$\sum _{T^{\prime \prime }}{\omega }_i^{\prime \prime }\Delta x_i^{\prime \prime }\le \sum _{T^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$$

这就证得 $f$ 在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上都可积。✓

等式(3)的证明：

在证得上面结果的基础上，对 $[a,b]$ 作分割 $T$，恒使点 $c$ 为其中的一个分点。

这时 $T$ 在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上的部分各自构成对 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的分割，分别记为 $T^{\prime }$ 与 $T^{\prime \prime }$。

由于

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{T^{\prime }}f({\xi }_i^{\prime })\Delta x_i^{\prime }+\sum _{T^{\prime \prime }}f({\xi }_i^{\prime \prime })\Delta x_i^{\prime \prime }$$

因此当 $\Vert T\Vert \to 0$（同时有 $\Vert T^{\prime }\Vert \to 0,\Vert T^{\prime \prime }\Vert \to 0$）时，对上式取极限，就得到(3)式成立。✓

几何意义

当 $f(x)\ge 0$ 时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性。

如图9-10所示，曲边梯形 $AabB$ 的面积等于曲边梯形 $AacC$ 的面积与 $CcbB$ 的面积之和。

    y
    │     y=f(x)
    │    ╱──────╲
    │   ╱        ╲
    │  ╱          ╲
    │ ╱            ╲
    │╱______________╲___
    A  a    c    b  B  x
    
    S(AabB) = S(AacC) + S(CcbB)

1.6 扩展规定

按定积分的定义，记号 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 只有当 $a<b$ 时才有意义，而当 $a=b$ 或 $a>b$ 时本来是没有意义的。

但为了运用上的方便，对它作如下规定：

规定1：上下限相等

当 $a=b$ 时，令

$$\boxed{{\int }_a^{a}f(x)dx=0}$$

理由：区间退化为一点，"面积"为零。

规定2：上下限交换

当 $a>b$ 时，令

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx}$$

理由：积分方向改变，符号相反。

规定的意义

有了这些规定之后，等式(3)对于 $a,b,c$ 的任何大小顺序都能成立。

例如，当 $a<b<c$ 时，只要 $f$ 在 $[a,c]$ 上可积，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$$

变形得

$${\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_b^{c}f(x)dx$$

1.7 性质5：保号性 ★★★

基本形式

设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的可积函数。若 $f(x)\ge 0$，$x\in [a,b]$，则有

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

证明

由于在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，因此 $f$ 的任一积分和都为非负：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$$

由 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$$

（极限的保序性）证毕。✓

推论：积分不等式性

若 $f$ 与 $g$ 为 $[a,b]$ 上的两个可积函数，且 $f(x)\le g(x)$，$x\in [a,b]$，则有

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx}\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明：

令 $F(x)=g(x)-f(x)\ge 0$，$x\in [a,b]$。

由性质2知道 $F$ 在 $[a,b]$ 上可积，且由性质5推得

$${\int }_a^{b}F(x)dx\ge 0$$

即

$${\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$$

不等式(5)得证。✓

1.8 性质6：绝对值不等式 ★★★

定理表述（两部分）

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $|f|$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且

$$\boxed{\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx}\text{\hspace{1em}(6)}$$

证明

第一部分：证明 $|f|$ 可积

任给 $\epsilon >0$，由 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，存在某分割 $T$，使得

$$\sum {\omega }_f({\Delta }_i)\Delta x_i<\epsilon$$

由绝对值不等式

$$||f(x^{\prime })|-|f(x^{\prime \prime })||\le |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|$$

可得

$${\omega }_{|f|}({\Delta }_i)\le {\omega }_f({\Delta }_i)$$

于是有

$$\sum {\omega }_{|f|}({\Delta }_i)\Delta x_i\le \sum {\omega }_f({\Delta }_i)\Delta x_i<\epsilon$$

从而证得 $|f|$ 在 $[a,b]$ 上可积。✓

第二部分：证明不等式(6)

由不等式

$$-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$$

应用性质5（推论），即证得

$$-{\int }_a^b|f(x)|dx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

这等价于不等式(6)。✓

注意：逆命题不成立

这个性质的逆命题一般不成立。

反例：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ -1,& x\text{ 为无理数}\end{array}$$

在 $[0,1]$ 上不可积（类似于狄利克雷函数，积分和有两个极限值 $1$ 和 $-1$）。

但 $|f(x)|=1$，它在 $[0,1]$ 上可积（常函数），且

$${\int }_0^1|f(x)|dx={\int }_0^{1}1dx=1$$

第二部分：性质的应用技巧 | Application Techniques

2.1 例1：分段函数的积分

问题

求 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$，其中

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& -1\le x<0\\ e^x,& 0\le x\le 1\end{array}$$

解法：利用区间可加性

对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{1}f(x)dx$$

$$={\int }_{-1}^0(2x-1)dx+{\int }_0^1{e}^{x}dx$$

计算第一部分：

$${\int }_{-1}^0(2x-1)dx=[x^2-x{]}_{-1}^0=(0-0)-(1+1)=-2$$

计算第二部分：

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1$$

合并：

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=-2+(e-1)=\boxed{e-3}$$

注1：分段点的函数值

上述解法中取

$${\int }_{-1}^{0}f(x)dx={\int }_{-1}^0(2x-1)dx$$

其中被积函数在 $x=0$ 处的值已由原来的 $f(0)=e^0=1$ 改为 $2\cdot 0-1=-1$。

由习题9.3的第3题知道，这一改动并不影响 $f$ 在 $[-1,0]$ 上的可积性和定积分的值。

原因：有限个点的函数值改变不影响定积分（几乎处处相等）。

注2：推广的牛顿-莱布尼茨公式

如果要求直接在 $[-1,1]$ 上使用牛顿-莱布尼茨公式来计算

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-1)$$

这时 $F(x)$ 应取怎样的函数？

答案：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x,& -1\le x<0\\ e^x-1+(0-0),& 0\le x\le 1\end{array}$$

需要在分段点处保证 $F$ 的连续性：

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }F(x)=0-0=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=e^0-1+C=1-1+C$$

取 $C=0$ 使 $F$ 连续。

然后

$$F(1)-F(-1)=(e-1)-(1+1)=e-3$$

（读者可对照习题9.2的第3题来回答）

2.2 例2：积分为零的条件 ★重要★

问题

证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)\ge 0$，${\int }_a^{b}f(x)dx=0$，则 $f(x)=0$，$x\in [a,b]$。

证明（反证法）

用反证法。倘若有某 $x_0\in [a,b]$，使 $f(x_0)>0$。

由连续函数的局部保号性，存在 $x_0$ 的某邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$（当 $x_0=a$ 或 $x_0=b$ 时，则为右邻域或左邻域），使在其中

$$f(x)\ge \frac{f(x_0)}{2}>0$$

由性质4（区间可加性）和性质5（保号性）推知

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{x_0-\delta }f(x)dx+{\int }_{x_0-\delta }^{x_0+\delta }f(x)dx+{\int }_{x_0+\delta }^{b}f(x)dx$$

$$\ge 0+{\int }_{x_0-\delta }^{x_0+\delta }f(x)dx+0$$

$$\ge {\int }_{x_0-\delta }^{x_0+\delta }\frac{f(x_0)}{2}dx=\frac{f(x_0)}{2}\cdot 2\delta =f(x_0)\delta >0$$

这与假设 ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$ 相矛盾。

所以 $f(x)=0$，$x\in [a,b]$。证毕。✓

注：推广

从此例证明中看到，即使 $f$ 为一非负可积函数，只要它在某一点 $x_0$ 处连续，且 $f(x_0)>0$，则必有

$${\int }_a^{b}f(x)dx>0$$

（至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅习题9.6的第7题。）

第三部分：积分中值定理 | Mean Value Theorems

3.1 定理9.7：积分第一中值定理 ★★★

定理表述

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)}\text{\hspace{1em}(7)}$$

证明

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，因此存在最大值 $M$ 和最小值 $m$。

由

$$m\le f(x)\le M,x\in [a,b]$$

使用积分不等式性质（性质5推论）得到

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

或

$$\boxed{m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M}\text{\hspace{1em}(7’)}$$

再由连续函数的介值性（介值定理），至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得

$$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

这就证得(7)式成立。证毕。✓

几何意义

积分第一中值定理的几何意义如图9-11所示：

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上非负连续，则 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的曲边梯形面积等于以 $(7^{\prime })$ 所示的 $f(\xi )$ 为高，$[a,b]$ 为底的矩形面积。

    y
    │     y=f(x)
    M├─────────────
    │    ╱──╲
    │   ╱    ╲
f(ξ)├──┬──────┬──  ← 矩形高度 = f(ξ)
    │  │      │
    m├──┴──────┴──
    └──────────────→ x
       a   ξ   b
    
    曲边梯形面积 = 矩形面积
    ∫ₐᵇf(x)dx = f(ξ)·(b-a)

积分平均值概念

等式(7')中的

$$\boxed{\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

可理解为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上所有函数值的平均值。

这是通常有限个数的算术平均值的推广：

$$\text{有限个数平均值：}\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

$$\text{连续函数平均值：}\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

3.2 例3：求函数平均值

问题

试求 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上的平均值。

解

所求平均值为

$$\bar{f}=\frac{1}{\pi -0}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\frac{1}{\pi }[-\cos x{]}_0^{\pi }$$

$$=\frac{1}{\pi }[-\cos \pi -(-\cos 0)]=\frac{1}{\pi }[-(-1)+1]=\frac{1}{\pi }\cdot 2=\boxed{\frac{2}{\pi }}$$

几何意义

这是正弦曲线一拱的平均高度。

    y
  1 │  ╱───╲
    │ ╱     ╲
2/π ├─┬─────┬─  ← 平均高度
    │ │     │
    └─┴─────┴───→ x
      0     π

3.3 定理9.8：推广的积分第一中值定理 ★★★

定理表述（加权平均版）

若 $f$ 与 $g$ 都在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx}\text{\hspace{1em}(8)}$$

（当 $g(x)=1$ 时，即为定理9.7。）

证明

不妨设 $g(x)\ge 0$，$x\in [a,b]$。

设 $M,m$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大、最小值。

这时有

$$mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x),x\in [a,b]$$

由定积分的不等式性质（性质5推论），得到

$$m{\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le M{\int }_a^{b}g(x)dx$$

情况1：若 ${\int }_a^{b}g(x)dx=0$，则由上式知 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$，从而对任何 $\xi \in [a,b]$，(8)式都成立。

情况2：若 ${\int }_a^{b}g(x)dx>0$，则得

$$m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}\le M$$

由连续函数的介值性，必至少有一点 $\xi \in [a,b]$，使得

$$f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}$$

这就证得(8)式成立。证毕。✓

注记

事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点 $\xi$ 必能在开区间 $(a,b)$ 上取得（证明留作习题）。

提示：若 $\xi$ 恰为端点 $a$ 或 $b$，由于 $f$ 连续，可在内部找到接近 $f(a)$ 或 $f(b)$ 的点。

3.4 例4：极限与积分结合 ★★★

问题

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，求

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_{1/n}^{1}f(x)dx$$

解法：应用积分中值定理

对于任意的正整数 $n\ge 2$，根据积分第一中值定理，存在 ${\xi }_n\in \left(\frac{1}{n},1\right)$，使得

$${\int }_{1/n}^{1}f(x)dx=f({\xi }_n)\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)$$

因此

$$n{\int }_{1/n}^{1}f(x)dx=n\cdot f({\xi }_n)\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)=f({\xi }_n)\cdot n\cdot \frac{n-1}{n}=f({\xi }_n)\cdot (n-1)$$

当 $n\to \infty$ 时，由于

$$\frac{1}{n}<{\xi }_n<1$$

由夹逼定理，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\xi }_n=1$$

由 $f$ 在 $x=1$ 处连续，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=f(1)$$

又

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(n-1)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(1-\frac{1}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n}\right)=\infty \cdot 1$$

但这样不对，我们需要更仔细：

正确处理：

$$n{\int }_{1/n}^{1}f(x)dx=f({\xi }_n)\cdot \frac{n(n-1)}{n}=f({\xi }_n)\cdot \left(n-1\right)$$

但这样 $n-1\to \infty$，不对。

重新审视：

$$n{\int }_{1/n}^{1}f(x)dx=n\cdot f({\xi }_n)\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)$$

当 $n\to \infty$ 时：

• $f({\xi }_n)\to f(1)$
• $1-\frac{1}{n}\to 1$
• 但 $n\to \infty$

所以形式是 $\infty \cdot f(1)\cdot 1=\infty$（如果 $f(1)>0$）。

这似乎有问题，让我重新理解题目。

重新解读（可能题目有误）：

如果题目是求

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^{1/n}f(x)dx$$

那么：

$${\int }_0^{1/n}f(x)dx=f({\xi }_n)\cdot \frac{1}{n},{\xi }_n\in \left(0,\frac{1}{n}\right)$$

因此

$$n{\int }_0^{1/n}f(x)dx=n\cdot f({\xi }_n)\cdot \frac{1}{n}=f({\xi }_n)$$

当 $n\to \infty$ 时，${\xi }_n\to 0$，由 $f$ 连续，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^{1/n}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=f(0)$$

答案：$\boxed{f(0)}$

技巧总结：

• 积分中值定理将积分转化为函数值
• 结合夹逼定理确定中值点的极限
• 利用连续性求函数值的极限

第四部分：性质应用专题 | Special Applications

4.1 应用1：不等式证明

例5：证明积分不等式

问题：证明对于 $x\in [0,\pi /2]$，有

$$\frac{2}{\pi }x\le \sin x\le x$$

并求

$${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx$$

的估值。

证明：

第一部分：证明 $\sin x\le x$

构造函数 $g(x)=x-\sin x$，$x\in [0,\pi /2]$。

$$g^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$$

所以 $g(x)$ 递增，又 $g(0)=0$，故 $g(x)\ge 0$，即 $\sin x\le x$。✓

第二部分：证明 $\frac{2}{\pi }x\le \sin x$

构造函数 $h(x)=\sin x-\frac{2}{\pi }x$，$x\in [0,\pi /2]$。

$$h(0)=0,h\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=0$$

$$h^{\prime }(x)=\cos x-\frac{2}{\pi }$$

令 $h^{\prime }(x)=0$，得 $\cos x=\frac{2}{\pi }$。

设 $x_0=\arccos \frac{2}{\pi }\in (0,\pi /2)$。

当 $x\in (0,x_0)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (x_0,\pi /2)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$。

所以 $h(x)$ 在 $[0,x_0]$ 上递增，在 $[x_0,\pi /2]$ 上递减，且两端点值为0，故 $h(x)\ge 0$。✓

第三部分：估值

由不等式，对 $x\in [0,\pi /2]$ 积分：

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{2}{\pi }xdx\le {\int }_0^{\pi /2}\sin xdx\le {\int }_0^{\pi /2}xdx$$

计算：

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{2}{\pi }xdx=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{2}{x}^2{|}_0^{\pi /2}=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^2}{4}=\frac{\pi }{4}$$

$${\int }_0^{\pi /2}xdx=\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{8}$$

因此

$$\boxed{\frac{\pi }{4}\le {\int }_0^{\pi /2}\sin xdx\le \frac{{\pi }^2}{8}}$$

实际值为 ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$，可验证 $\frac{\pi }{4}\approx 0.785<1<\frac{{\pi }^2}{8}\approx 1.234$。✓

4.2 应用2：比较积分大小

例6

比较下列各组积分的大小（不计算具体值）：

(1) ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 与 ${\int }_0^1{x}^{3}dx$

(2) ${\int }_0^{\pi /4}\sin xdx$ 与 ${\int }_0^{\pi /4}\cos xdx$

解：

(1) 在 $[0,1]$ 上，当 $0\le x\le 1$ 时，$x^3\le x^2$（因为 $x^2(1-x)\ge 0$）。

由性质5（保号性），

$${\int }_0^1{x}^{3}dx\le {\int }_0^1{x}^{2}dx$$

答案：$\boxed{{\int }_0^1{x}^{3}dx<{\int }_0^1{x}^{2}dx}$

(2) 在 $[0,\pi /4]$ 上，$0<x<\pi /4<1<\frac{\pi }{2}$，有 $\cos x>\sin x$。

由性质5，

$${\int }_0^{\pi /4}\sin xdx<{\int }_0^{\pi /4}\cos xdx$$

答案：$\boxed{{\int }_0^{\pi /4}\sin xdx<{\int }_0^{\pi /4}\cos xdx}$

4.3 应用3：利用对称性简化计算

定理：奇偶函数的积分性质

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上可积。

(1) 奇函数：若 $f(-x)=-f(x)$，则

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0}$$

(2) 偶函数：若 $f(-x)=f(x)$，则

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx}$$

证明：

利用区间可加性和换元法（或几何对称性）。

(1)

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx$$

令 $x=-t$，则第一个积分

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx=-{\int }_a^{0}f(-t)dt=-{\int }_a^0(-f(t))dt=-{\int }_0^{a}f(t)dt$$

（用了奇函数性质）

因此

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx=0$$

(2) 类似地，

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(t)dt$$

（用偶函数性质）

因此

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$

证毕。✓

例7：利用对称性

计算 ${\int }_{-1}^1(x^3+x\sin x+\cos x)dx$。

解：

将被积函数分解：

$$f(x)=x^3+x\sin x+\cos x=\underset{\text{奇函数}}{\underbrace{(x^3+x\sin x)}}+\underset{\text{偶函数}}{\underbrace{\cos x}}$$

因此

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^1(x^3+x\sin x)dx+{\int }_{-1}^1\cos xdx$$

$$=0+2{\int }_0^1\cos xdx=2[\sin x{]}_0^1=\boxed{2\sin 1}$$

4.4 应用4：积分估值

例8：估计积分值

估计 ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ 的值。

解法1：利用不等式

在 $[0,1]$ 上，$1\le 1+x^2\le 2$，因此

$$\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^2}\le 1$$

积分得

$$\frac{1}{2}(1-0)\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1\cdot (1-0)$$

即

$$\boxed{\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1}$$

实际值为 $\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi }{4}\approx 0.785$，在估计范围内。✓

解法2：利用平均值

由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使

$${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{1+{\xi }^2}\cdot 1$$

由于 $\frac{1}{2}<\frac{1}{1+{\xi }^2}<1$，得同样结论。

第五部分：证明技巧总结 | Proof Techniques Summary

5.1 技巧1：利用积分和定义

适用场景：证明基本性质（线性性、可加性等）

步骤：

1. 写出积分和：${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$
2. 应用代数运算（加法、数乘等）
3. 对积分和取极限：${\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}$
4. 得出定积分的性质

实例：性质1、性质2的证明

5.2 技巧2：利用振幅不等式

适用场景：证明可积性（乘积、绝对值等）

关键不等式：

• $||f|-|g||\le |f-g|$
• $\omega (|f|)\le \omega (f)$
• $\omega (f\cdot g)\le B\omega (f)+A\omega (g)$

步骤：

1. 建立振幅之间的不等关系
2. 对振幅和进行估计
3. 应用可积准则（定理9.3'）

实例：性质3、性质6的证明

5.3 技巧3：利用介值定理

适用场景：证明存在性（中值定理）

步骤：

1. 建立不等式：$m\le \text{某表达式}\le M$
2. 确认 $m,M$ 是函数的最小、最大值
3. 应用连续函数介值定理
4. 得出存在中值点 $\xi$

实例：定理9.7、定理9.8的证明

5.4 技巧4：反证法

适用场景：证明函数恒为零、唯一性等

步骤：

1. 假设结论不成立
2. 利用连续性、保号性导出矛盾
3. 否定假设，得出结论

实例：例2的证明

5.5 技巧5：分段讨论

适用场景：分段函数、有特殊点的函数

步骤：

1. 利用区间可加性分段
2. 在各段上分别处理
3. 合并结果

实例：例1的计算

第六部分：习题精选与解析 | Selected Exercises

6.1 基础题

习题1

证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积且 $f(x)\ge 0$，则 $\sqrt{f(x)}$ 也可积。

证明思路：

利用不等式

$$|\sqrt{f(x^{\prime })}-\sqrt{f(x^{\prime \prime })}|=\frac{|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|}{\sqrt{f(x^{\prime })}+\sqrt{f(x^{\prime \prime })}}\le \frac{|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|}{\min \{\sqrt{f(x^{\prime })},\sqrt{f(x^{\prime \prime })}\}}$$

但这需要 $f$ 有正的下界。更一般的做法：

利用

$$|\sqrt{f(x^{\prime })}-\sqrt{f(x^{\prime \prime })}|\le \sqrt{|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|}$$

（施瓦茨不等式）

因此

$$\omega (\sqrt{f})\le \sqrt{\omega (f)}$$

由 $f$ 可积，$\sum {\omega }_f\Delta x_i<{\epsilon }^2$，则

$$\sum {\omega }_{\sqrt{f}}\Delta x_i\le \sum \sqrt{{\omega }_f}\cdot \Delta x_i$$

需进一步估计（具体证明较复杂，可用一致连续性）。✓

习题2

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx=0$$

证明：

由 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故有界：$|f(x)|\le M$。

因此

$$\left|{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\right|\le {\int }_0^1{x}^n|f(x)|dx\le M{\int }_0^1{x}^{n}dx=M\cdot \frac{1}{n+1}\to 0$$