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第六章 微分中值定理及其应用：完整知识体系

Chapter 6: Mean Value Theorems and Their Applications - Complete Knowledge System

知识体系导读 | System Overview
微分中值定理是连接函数与其导数的桥梁，揭示了函数整体性质与局部性质之间的深刻联系。本章系统构建微分中值定理的完整理论框架，从罗尔定理到拉格朗日定理、柯西定理，再到泰勒定理，形成递进式的知识体系。这些定理不仅是理论数学的基石，更是解决实际问题的强大工具，在函数单调性、极值、不等式证明、近似计算等方面有广泛应用。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

微分中值定理体系 (Mean Value Theorems)
│
├─── 基础定理层 (Fundamental Theorems) ★核心★
│    ├─ 罗尔定理 (Rolle's Theorem)
│    │  ├─ 三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点值相等
│    │  ├─ 结论：存在ξ使f'(ξ)=0
│    │  ├─ 几何意义：水平切线
│    │  └─ 应用：方程根的存在性
│    │
│    ├─ 拉格朗日中值定理 (Lagrange's MVT) ★★★
│    │  ├─ 条件：闭区间连续、开区间可导
│    │  ├─ 结论：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
│    │  ├─ 几何意义：切线平行于弦
│    │  ├─ 多种表达形式
│    │  └─ 推论：导数为零→常函数
│    │
│    └─ 柯西中值定理 (Cauchy's MVT)
│       ├─ 参数方程形式
│       ├─ 结论：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
│       └─ 洛必达法则的基础
│
├─── 推广与深化层 (Extensions)
│    ├─ 泰勒定理 (Taylor's Theorem)
│    │  ├─ 带拉格朗日余项
│    │  ├─ 带佩亚诺余项
│    │  └─ 泰勒展开式
│    │
│    ├─ 达布定理 (Darboux's Theorem)
│    │  ├─ 导函数的介值性
│    │  └─ 导数不一定连续但有介值性
│    │
│    └─ 导数极限定理
│       ├─ f'(x₀)存在⟺左右导数极限相等
│       └─ 分段函数求导的利器
│
├─── 应用层次一：函数性质研究
│    ├─ 单调性判定 ★★★
│    │  ├─ f'>0 ⟹ 严格递增
│    │  ├─ f'<0 ⟹ 严格递减
│    │  ├─ f'≥0 ⟹ 递增（充要条件）
│    │  └─ 严格单调的充要条件
│    │
│    ├─ 极值判定
│    │  ├─ 一阶导数判别法
│    │  ├─ 二阶导数判别法
│    │  └─ 高阶导数判别法
│    │
│    ├─ 凹凸性与拐点
│    │  ├─ f''>0 ⟹ 凹函数
│    │  ├─ f''<0 ⟹ 凸函数
│    │  └─ 拐点的判定
│    │
│    └─ 函数作图
│       ├─ 定义域、奇偶性、周期性
│       ├─ 渐近线
│       ├─ 单调区间、极值
│       └─ 凹凸区间、拐点
│
├─── 应用层次二：不等式与方程
│    ├─ 不等式证明
│    │  ├─ 利用单调性
│    │  ├─ 利用极值
│    │  └─ 利用凹凸性
│    │
│    ├─ 方程根的讨论
│    │  ├─ 根的存在性
│    │  ├─ 根的唯一性
│    │  └─ 根的个数
│    │
│    └─ 近似计算
│       ├─ 线性近似
│       ├─ 泰勒近似
│       └─ 误差估计
│
└─── 应用层次三：洛必达法则
     ├─ 0/0型未定式
     ├─ ∞/∞型未定式
     ├─ 其他类型转化
     └─ 应用技巧与注意事项

第一部分：罗尔中值定理 | Rolle's Mean Value Theorem

1.1 定理的引入与动机

在微分学中，我们已经学习了如何由函数 $f(x)$ 求导数 $f^{\prime }(x)$（局部→全局）。现在我们要反过来研究：如何由导数 $f^{\prime }(x)$ 的性质推断函数 $f(x)$ 的性质（全局→局部）？

微分中值定理正是解决这一问题的核心工具。

1.2 罗尔定理 ★基础定理★

定理 6.1（罗尔中值定理，Rolle's Mean Value Theorem）

若函数 $f$ 满足如下条件：

1. $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导
3. $f(a)=f(b)$（端点值相等）

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$\boxed{f^{\prime }(\xi )=0}\text{\hspace{1em}(1)}$$

几何意义

        y
        │     A●─────────●B
        │    ╱           ╲
        │   ╱      ●      ╲
        │  ╱   (ξ,f(ξ))   ╲
        │ ╱    水平切线     ╲
        │╱                  ╲
────────┴─────────────────────→ x
        a       ξ          b
        
    (端点等高，必有水平切线)

解读：在一段连续可导的曲线上，如果两端点高度相等，则曲线上至少存在一点，该点的切线是水平的（即导数为零）。

证明

由于 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最大最小值定理（定理 4.6），$f$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值 $M$ 和最小值 $m$。

分两种情况讨论：

情况 1：若 $m=M$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必为常函数，此时对任意 $\xi \in (a,b)$，都有 $f^{\prime }(\xi )=0$，结论成立。✓

情况 2：若 $m<M$，则由于 $f(a)=f(b)$，最大值 $M$ 与最小值 $m$ 至少有一个在开区间 $(a,b)$ 内某点 $\xi$ 处取得。

不失一般性，设 $f$ 在 $\xi \in (a,b)$ 处取得最大值（最小值情况类似）。

则 $\xi$ 是 $f$ 的极大值点，由费马定理（定理 5.3），有 $$f^{\prime }(\xi )=0$$

证毕。✓

定理条件的必要性分析

三个条件缺一不可，下面通过反例说明：

缺条件(i)         缺条件(ii)        缺条件(iii)
    y                 y                 y
    │   ●             │  ╱│╲             │    ╱
    │   │             │ ╱ │ ╲            │   ╱
    │───●             │╱  │  ╲           │  ╱
    └─────→ x         └───┴───→ x        └─────→ x
    (跳跃)            (尖点)             (不等高)

1.3 罗尔定理的应用

应用一：方程根的存在性

例 1：设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的可导函数，证明：若方程 $f^{\prime }(x)=0$ 没有实根，则方程 $f(x)=0$ 至多只有一个实根。

证明（反证法）：

假设 $f(x)=0$ 有两个不同的实根 $x_1$ 和 $x_2$（设 $x_1<x_2$），即： $$f(x_1)=f(x_2)=0$$

则函数 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上满足罗尔定理的三个条件：

1. $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，故在 $[x_1,x_2]$ 上连续 ✓
2. $f$ 在 $(x_1,x_2)$ 上可导 ✓
3. $f(x_1)=f(x_2)=0$ ✓

由罗尔定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得 $$f^{\prime }(\xi )=0$$

这与"方程 $f^{\prime }(x)=0$ 没有实根"的假设矛盾。✗

因此，$f(x)=0$ 至多只有一个实根。✓

应用二：证明方程根的存在性

例 2：证明方程 $x^5+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

证明：

令 $f(x)=x^5+x-1$。

存在性：

• $f(0)=-1<0$
• $f(1)=1+1-1=1>0$

由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi )=0$。✓

唯一性： $$f^{\prime }(x)=5x^4+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$$

因此 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，故零点唯一。✓

（也可用反证法结合罗尔定理：若有两个根，则存在 $\xi$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$，矛盾。）

第二部分：拉格朗日中值定理 | Lagrange's Mean Value Theorem

2.1 定理陈述 ★★★最重要★★★

定理 6.2（拉格朗日中值定理，Lagrange's MVT）

若函数 $f$ 满足如下条件：

1. $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$\boxed{f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

注意：与罗尔定理相比，取消了"端点值相等"的条件。

几何意义

        y
        │        B●(b,f(b))
        │       ╱│
        │      ╱ │
        │     ╱  │
        │    ●P  │ ← 切线平行于AB
        │   ╱(ξ,f(ξ))
        │  ╱     │
        │ ╱      │
        │●A      │
        │(a,f(a))│
        └─────────┴────→ x
              ξ
    
    (切线斜率 = 弦斜率)

解读：在满足条件的曲线 $y=f(x)$ 上，至少存在一点 $P(\xi ,f(\xi ))$，该点的切线平行于连接曲线两端点的弦 $AB$。

切线斜率 = 弦的斜率 = $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

2.2 定理证明

证明思路：构造辅助函数，使其满足罗尔定理的条件。

构造辅助函数：

弦 $AB$ 的方程为： $$y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

令辅助函数： $$F(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]$$

几何意义：$F(x)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 与弦 $AB$ 之间的纵向距离。

验证罗尔定理的条件：

1. $F$ 在 $[a,b]$ 上连续 ✓（$f$ 连续，线性函数连续）
2. $F$ 在 $(a,b)$ 上可导 ✓
3. $F(a)=f(a)-f(a)=0$，$F(b)=f(b)-f(b)=0$ ✓

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$F^{\prime }(\xi )=0$$

而： $$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

因此： $$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$

即： $$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

证毕。✓

2.3 拉格朗日公式的多种形式

拉格朗日中值定理有以下等价表达形式，在不同场合使用：

形式一（标准形式）

$$\boxed{f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},a<\xi <b}\text{\hspace{1em}(2)}$$

形式二（有限增量公式）

$$\boxed{f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),a<\xi <b}\text{\hspace{1em}(3)}$$

形式三（比例形式）

$$\boxed{f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\xi =a+\theta (b-a)$，$\theta$ 是介于 0 和 1 之间的某个数。

形式四（增量形式）

令 $h=b-a$，$b=a+h$，则： $$\boxed{f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)\cdot h,0<\theta <1}\text{\hspace{1em}(5)}$$

重要说明：

1. 公式 (2)-(5) 对 $a<b$ 和 $a>b$ 都成立
2. $\xi$ 总是介于 $a$ 与 $b$ 之间
3. $\theta$ 的具体值通常未知，但其存在性足以推导重要结论

2.4 拉格朗日定理的重要推论

推论 1（导数为零则为常函数）

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f^{\prime }(x)=0$ 对所有 $x\in I$ 成立，则 $f$ 为 $I$ 上的常函数。

证明：

任取 $x_1,x_2\in I$（设 $x_1<x_2$），在区间 $[x_1,x_2]$ 上应用拉格朗日定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)\subset I$，使得： $$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)=0\cdot (x_2-x_1)=0$$

因此 $f(x_2)=f(x_1)$。

由于 $x_1,x_2$ 的任意性，$f$ 在 $I$ 上任意两点的函数值相等，即 $f$ 为常函数。✓

推论 2（导数相等则相差常数）

若函数 $f$ 和 $g$ 均在区间 $I$ 上可导，且 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ 对所有 $x\in I$ 成立，则在区间 $I$ 上： $$\boxed{f(x)=g(x)+C}$$

其中 $C$ 为某常数。

证明：

令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则： $$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$$

由推论 1，$h(x)=C$（常数），即： $$f(x)-g(x)=C⟹f(x)=g(x)+C$$

证毕。✓

应用：这是不定积分理论的基础——两个导数相同的函数只相差一个常数。

推论 3（导数极限定理）★重要★

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上连续，在 $U^{\circ }(x_0)$（去心邻域）上可导，且极限 $$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=k$$ 存在，则 $f$ 在点 $x_0$ 可导，且 $$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=k}\text{\hspace{1em}(6)}$$

证明：

分别按左导数和右导数来证明。

（1）右导数：

任取 $x\in U(x_0)$ 且 $x>x_0$，$f$ 在 $[x_0,x]$ 上满足拉格朗日定理的条件，存在 $\xi \in (x_0,x)$，使得： $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(\xi )\text{\hspace{1em}(7)}$$

由于 $x_0<\xi <x$，当 $x\to x_0^{+}$ 时，$\xi \to x_0$。

对 (7) 式两边取极限： $$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{\xi \to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=k$$

（2）左导数：

类似地，任取 $x<x_0$，应用拉格朗日定理，可得： $$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{\xi \to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=k$$

因为 $f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)=k$，所以 $f^{\prime }(x_0)$ 存在且等于 $k$。✓

应用价值：导数极限定理特别适合于求分段函数在分段点处的导数。

2.5 拉格朗日定理的应用示例

例 3：求分段函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+\sin x^2,& x\le 0\\ \ln (1+x),& x>0\end{array}$$ 的导数。

解：

Step 1：在非分段点处求导

当 $x<0$ 时： $$f^{\prime }(x)=1+2x\cos x^2$$

当 $x>0$ 时： $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}$$

Step 2：检验 $x=0$ 处的连续性

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+\sin x^2)=0$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (1+x)=0$$

$$f(0)=0+\sin 0=0$$

因此 $f$ 在 $x=0$ 连续。✓

Step 3：利用导数极限定理求 $f^{\prime }(0)$

计算左右导数极限： $$f^{\prime }(0-0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(1+2x\cos x^2)=1$$

$$f^{\prime }(0+0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+x}=1$$

由于 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=1$ 存在，根据导数极限定理，$f$ 在 $x=0$ 处可导，且： $$\boxed{f^{\prime }(0)=1}$$

完整答案： $$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1+2x\cos x^2,& x<0\\ 1,& x=0\\ \frac{1}{1+x},& x>0\end{array}$$

例 4：证明不等式 $\arctan b-\arctan a\le b-a$，其中 $a<b$。

证明：

设 $f(x)=\arctan x$，则： $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

在区间 $[a,b]$ 上应用拉格朗日定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得： $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)=\frac{1}{1+{\xi }^2}(b-a)$$

即： $$\arctan b-\arctan a=\frac{b-a}{1+{\xi }^2}$$

由于 $1+{\xi }^2\ge 1>0$，有： $$\frac{1}{1+{\xi }^2}\le 1$$

因此： $$\arctan b-\arctan a=\frac{b-a}{1+{\xi }^2}\le b-a$$

证毕。✓

第三部分：函数的单调性 | Monotonicity of Functions

3.1 单调性判别定理

利用拉格朗日中值定理，我们可以建立函数单调性与导数符号之间的关系。

定理 6.3（单调性的充要条件）

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则：

1. $f(x)$ 在 $I$ 上递增 $⟺$ $f^{\prime }(x)\ge 0$ 对所有 $x\in I$ 成立

2. $f(x)$ 在 $I$ 上递减 $⟺$ $f^{\prime }(x)\le 0$ 对所有 $x\in I$ 成立

证明：

必要性（$\Rightarrow$）：

若 $f$ 为递增函数，则对每个 $x_0\in I$，当 $x\ne x_0$ 时： $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$

（$x>x_0$ 时，分子分母同号；$x<x_0$ 时，分子分母同号）

令 $x\to x_0$，取极限得： $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$

充分性（$\Leftarrow$）：

若 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $I$ 上恒成立，任取 $x_1,x_2\in I$（设 $x_1<x_2$），在区间 $[x_1,x_2]$ 上应用拉格朗日定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)\subset I$，使得： $$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)\ge 0$$

（因为 $f^{\prime }(\xi )\ge 0$，$x_2-x_1>0$）

因此 $f(x_2)\ge f(x_1)$，即 $f$ 在 $I$ 上递增。✓

递减的情况类似可证。

3.2 严格单调性判别

定理 6.4（严格单调性的充要条件）

设函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上**严格递增（递减）**的充要条件是：

1. 对一切 $x\in (a,b)$，有 $f^{\prime }(x)\ge 0$（$f^{\prime }(x)\le 0$）
2. 在 $(a,b)$ 的任何子区间上 $f^{\prime }(x)\not\equiv 0$

推论（充分条件）：

若 $f$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f^{\prime }(x)>0$（$f^{\prime }(x)<0$）对所有 $x\in I$ 成立，则 $f$ 在 $I$ 上严格递增（严格递减）。

证明：显然 $f^{\prime }(x)>0$ 满足定理 6.4 的两个条件。✓

注意：

• $f^{\prime }(x)>0\Rightarrow$ 严格单调递增
• 但严格单调递增 $\nRightarrow f^{\prime }(x)>0$（反例：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(0)=0$ 但严格递增）

3.3 单调性应用示例

例 5：证明不等式 $e^x>1+x$，$x\ne 0$。

证明：

设 $f(x)=e^x-1-x$，则： $$f^{\prime }(x)=e^x-1$$

当 $x>0$ 时： $$f^{\prime }(x)=e^x-1>0$$

因此 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递增。

当 $x<0$ 时： $$f^{\prime }(x)=e^x-1<0$$

因此 $f$ 在 $(-\infty ,0)$ 上严格递减。

又因为 $f$ 在 $x=0$ 连续，且 $f(0)=e^0-1-0=0$，所以：

• 当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$
• 当 $x<0$ 时，$f(x)>f(0)=0$

因此，当 $x\ne 0$ 时： $$f(x)>0⟹e^x-1-x>0⟹e^x>1+x$$

证毕。✓

例 6：设 $f(x)=x^2-x$，讨论函数 $f$ 的单调区间。

解：

$$f^{\prime }(x)=2x-1$$

令 $f^{\prime }(x)=0$： $$2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$$

列表分析：

结论：

• $f$ 在 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$ 上递减
• $f$ 在 $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上递增
• $x=\frac{1}{2}$ 是极小值点，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$

    y
    │       ╱
    │      ╱
    │     ╱
────┼────●────→ x
    │   ╱ (1/2, -1/4)
    │  ╱
    │ ╱  极小值点

第四部分：达布定理与导函数性质 | Darboux's Theorem

4.1 达布定理（导函数的介值性）

定理 6.5（达布定理，Darboux's Theorem）

若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f^{\prime }(a)\ne f^{\prime }(b)$，$k$ 为介于 $f^{\prime }(a)$ 与 $f^{\prime }(b)$ 之间的任一实数，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得： $$\boxed{f^{\prime }(\xi )=k}$$

几何意义：导函数 $f^{\prime }(x)$ 虽然可能不连续，但具有介值性——介于两端点导数值之间的任何值都能取到。

重要结论：导函数不一定连续，但一定具有介值性（这是导函数的特殊性质）。

证明：

设 $F(x)=f(x)-kx$，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导，且： $$F^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-k,F^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-k$$

不妨设 $f^{\prime }(a)<k<f^{\prime }(b)$，则： $$F^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-k<0,F^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-k>0$$

由导数的保号性（第五章例 8），分别存在 $x_1\in U^{+}(a)$，$x_2\in U^{-}(b)$，且 $x_1<x_2$，使得： $$F(x_1)<F(a),F(x_2)<F(b)\text{\hspace{1em}(8)}$$

（导数为负，函数局部递减；导数为正，函数局部递增）

因为 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导，故连续。根据最大最小值定理，$F$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值。

由 (8) 式，最大值不可能在 $a$ 或 $b$ 处取得，因此必在某点 $\xi \in (a,b)$ 取得。

则 $\xi$ 是 $F$ 的极大值点，由费马定理： $$F^{\prime }(\xi )=0$$

即： $$f^{\prime }(\xi )-k=0⟹f^{\prime }(\xi )=k$$

证毕。✓

4.2 达布定理的推论

推论（严格单调的充要条件）

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，若 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 对所有 $x\in I$ 成立，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调。

证明：

由达布定理，若存在 $x_1,x_2\in I$ 使得 $f^{\prime }(x_1)>0$ 而 $f^{\prime }(x_2)<0$，则存在 $\xi$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$，与条件矛盾。

因此 $f^{\prime }(x)$ 在 $I$ 上要么恒正，要么恒负，从而 $f$ 严格单调。✓

第五部分：柯西中值定理 | Cauchy's Mean Value Theorem

5.1 定理陈述

定理 6.6（柯西中值定理，Cauchy's MVT）

若函数 $f,g$ 满足如下条件：

1. $f,g$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. $f,g$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ 对所有 $x\in (a,b)$ 成立

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得： $$\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

几何意义：

考虑参数方程： $$\{\begin{array}{l}x=g(t)\\ y=f(t)\end{array},t\in [a,b]$$

则 $\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}$。

柯西中值定理说：曲线上存在一点，该点的切线斜率等于连接起点和终点的弦的斜率。

    y
    │    B●(g(b),f(b))
    │   ╱
    │  ╱  ●P
    │ ╱  (g(ξ),f(ξ))
    │╱
    ●A(g(a),f(a))
    └───────────→ x
    
    (参数曲线的切线平行于弦)

5.2 证明

证明：

构造辅助函数： $$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$$

可以验证：

1. $F$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $F$ 在 $(a,b)$ 上可导
3. $F(a)=F(b)=0$

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F^{\prime }(\xi )=0$，即： $$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(\xi )=0$$

因为 $g^{\prime }(\xi )\ne 0$，整理得： $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

证毕。✓

5.3 与拉格朗日定理的关系

特殊情况：当 $g(x)=x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{1}=f^{\prime }(\xi )$$

因此，拉格朗日定理是柯西定理的特例。

第六部分：完整知识体系总结 | Complete System Summary

6.1 中值定理体系层次结构

微分中值定理金字塔
         │
      泰勒定理
    (n阶导数)
         │
    ┌────┴────┐
    │         │
柯西定理   洛必达法则
    │         │
    └────┬────┘
         │
   拉格朗日定理 ← 核心
         │
    罗尔定理 ← 基础
         │
    费马定理

6.2 三大中值定理对比

6.3 导数与函数性质关系总表

6.4 典型应用类型总结

应用一：不等式证明

策略：

1. 构造辅助函数 $F(x)=f(x)-g(x)$
2. 求导判断单调性
3. 比较函数值

例：证明 $e^x>1+x$（$x\ne 0$）

应用二：方程根的讨论

策略：

1. 存在性：零点定理
2. 唯一性：罗尔定理或单调性

例：$f^{\prime }(x)=0$ 无实根 $\Rightarrow$ $f(x)=0$ 至多一根

应用三：函数单调性分析

步骤：

1. 求 $f^{\prime }(x)$
2. 解方程 $f^{\prime }(x)=0$，找驻点
3. 判断各区间上 $f^{\prime }(x)$ 的符号
4. 得出单调区间

应用四：分段函数求导

技巧：使用导数极限定理

条件：${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=k$ 存在

结论：$f^{\prime }(x_0)=k$

6.5 证明技巧总结

技巧一：构造辅助函数

技巧二：反证法

适用于证明唯一性问题。

模板：

1. 假设有两个满足条件的点
2. 应用中值定理
3. 导出矛盾

技巧三：区间缩放法

处理复杂区间时，通过变量代换转化为标准区间。

6.6 常见错误与注意事项

❌ 常见错误

1. 混淆条件：

   • 罗尔定理需要 $f(a)=f(b)$
   • 拉格朗日定理不需要

2. 忽略开闭区间：

   • 连续性要求在闭区间
   • 可导性要求在开区间

3. 单调性判断失误：

   • $f^{\prime }(x)>0\Rightarrow$ 严格递增（充分）
   • 严格递增 $\nRightarrow f^{\prime }(x)>0$（反例：$x^3$）

4. 中值点 $\xi$ 的位置：

   • $\xi$ 在开区间内
   • $\xi$ 的具体值通常未知

5. 导数极限定理的条件：

   • 需要 $f$ 在 $x_0$ 连续
   • 需要 $\lim f^{\prime }(x)$ 存在

✓ 关键注意

1. 中值定理的三个条件缺一不可
2. 构造辅助函数是证明的关键
3. $\xi$ 的存在性足够，不必求具体值
4. 单调性判定要注意严格性与非严格性
5. 导数极限定理简化分段函数求导

6.7 知识图谱可视化

        费马定理
            ↓
        罗尔定理 ──────→ 方程根
            ↓              的讨论
     拉格朗日定理
      ↙    ↓    ↘
   推论1  推论2  推论3
     │     │      │
   常函数 相差  导数极限
         常数   定理
      ↓          ↓
    单调性  ←  分段函数
      ↓          求导
   严格单调
      ↓
   达布定理
      ↓
  导函数介值性
      │
      └──→ 应用
            ├─ 不等式证明
            ├─ 函数性质研究
            ├─ 方程根讨论
            └─ 近似计算

📚 推荐学习路径

基础阶段（必须掌握）

1. ✅ 罗尔定理（条件、结论、几何意义）
2. ✅ 拉格朗日中值定理（核心定理）
3. ✅ 拉格朗日公式的多种形式
4. ✅ 三个重要推论
5. ✅ 单调性判别定理

提高阶段（重点理解）

6. ✅ 导数极限定理及应用
7. ✅ 达布定理（导函数介值性）
8. ✅ 柯西中值定理
9. ✅ 辅助函数的构造技巧
10. ✅ 不等式证明方法

深化阶段（高级应用）

11. 🔷 泰勒定理（第七章）
12. 🔷 洛必达法则（第七章）
13. 🔷 函数的凹凸性
14. 🔷 函数作图
15. 🔷 曲率理论

应用阶段（综合训练）

16. 🎯 复杂不等式证明
17. 🎯 方程根的精细讨论
18. 🎯 最优化问题
19. 🎯 物理中的应用
20. 🎯 经济学中的边际分析

🎓 章末总结语

微分中值定理是微积分学的核心桥梁，它连接了函数的局部性质（导数）与全局性质（函数值的变化）。

三个核心认识：

1. 定理的层次性：罗尔 → 拉格朗日 → 柯西，逐层推广
2. 证明的统一性：构造辅助函数，化归为罗尔定理
3. 应用的广泛性：从理论证明到实际计算，无处不在

中值定理的美：

• 存在性之美：不求具体值，但保证存在
• 几何直观之美：抽象定理有清晰的几何解释
• 应用普遍之美：解决各类问题的通用工具

学习建议：

• 深刻理解每个定理的条件与结论
• 掌握辅助函数的构造技巧
• 多做证明题，培养逻辑思维
• 关注应用，体会理论的实用价值
• 建立知识间的联系，形成体系

恭喜！您已完成微分中值定理的完整知识体系构建。 🎉

这是数学分析最精华的内容之一，为后续的泰勒展开、洛必达法则、积分理论奠定了坚实基础。中值定理不仅是数学工具，更是数学思维的典范——从局部到全局，从特殊到一般，从存在到构造。继续深入探索，您将发现数学分析的无穷魅力！💪

附录：中值定理速查卡

┌───────────────────────────────────────┐
│      微分中值定理速查表                  │
├───────────────────────────────────────┤
│ 罗尔定理：                              │
│   f(a)=f(b) ⟹ ∃ξ: f'(ξ)=0            │
│                                       │
│ 拉格朗日定理：                          │
│   f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)              │
│                                       │
│ 柯西定理：                              │
│   [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)│
│                                       │
│ 单调性：                                │
│   f'>0 ⟹ 严格↗                       │
│   f'<0 ⟹ 严格↘                       │
│                                       │
│ 导数极限定理：                          │
│   lim f'(x) = k ⟹ f'(x₀) = k         │
└───────────────────────────────────────┘

参考文献

1. 华东师范大学数学系，《数学分析》（第5版）上册
2. 菲赫金哥尔茨，《微积分学教程》
3. Rudin, Principles of Mathematical Analysis
4. 陈纪修等，《数学分析》（第二版）
5. Apostol, Calculus, Volume 1

本章核心页码参考：

• 第122页：罗尔定理与拉格朗日定理
• 第123页：拉格朗日公式的多种形式
• 第124页：重要推论与导数极限定理
• 第125页：单调性判别定理
• 第126页：达布定理与严格单调性