I'll analyze the uploaded materials to create a comprehensive knowledge system and mind map for the mathematical content. Based on the comprehensive analysis of the uploaded materials about Taylor series and power series expansions (Chapter 14, Section 2), I'll now create a complete, publication-ready knowledge system with detailed mind maps.

第十四章·第二节

函数的幂级数展开

POWER SERIES EXPANSION OF FUNCTIONS

Complete Knowledge System & Advanced Mind Map

"Every smooth function hides an infinite polynomial,
waiting to be discovered through Taylor's lens."

"每个光滑函数都隐藏着一个无穷多项式，
等待通过泰勒的透镜被发现。"

From Approximation to Representation
从近似到表示

The Bridge Between Finite and Infinite
有限与无穷之间的桥梁

📊 完整章节架构总览

§14.2 函数的幂级数展开
POWER SERIES EXPANSION OF FUNCTIONS
│
├─ 一、泰勒级数理论 (Taylor Series Theory)
│   ├─ 1. 泰勒公式回顾
│   │   ├─ 泰勒多项式
│   │   ├─ 余项形式（拉格朗日、柯西、积分）
│   │   └─ 从近似到精确
│   │
│   ├─ 2. 泰勒级数的定义
│   │   ├─ 一般形式（中心x₀）
│   │   ├─ 麦克劳林级数（中心x=0）
│   │   └─ 形式级数 vs 收敛级数
│   │
│   ├─ 3. 展开的充要条件（定理14.11）
│   │   ├─ 余项趋于零：lim Rₙ(x) = 0
│   │   ├─ 充分性与必要性
│   │   └─ 展开的唯一性
│   │
│   └─ 4. 反例分析
│       └─ e^(-1/x²)在x=0处的病态行为
│
├─ 二、初等函数的幂级数展开 (Elementary Functions)
│   ├─ 1. 多项式函数（例2）
│   │   └─ 多项式就是自身的展开式
│   │
│   ├─ 2. 指数函数（例3）
│   │   ├─ e^x = Σ(x^n/n!)
│   │   ├─ 收敛域：(-∞, +∞)
│   │   └─ 余项估计
│   │
│   ├─ 3. 三角函数（例4）
│   │   ├─ sin x = Σ((-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)!)
│   │   ├─ cos x = Σ((-1)^n·x^(2n)/(2n)!)
│   │   ├─ 收敛域：(-∞, +∞)
│   │   └─ 几何可视化
│   │
│   ├─ 4. 对数函数（例5）
│   │   ├─ ln(1+x) = Σ((-1)^(n-1)·x^n/n)
│   │   ├─ 收敛域：(-1, 1]
│   │   ├─ 拉格朗日余项（0≤x≤1）
│   │   ├─ 柯西余项（-1<x<0）
│   │   └─ ln x在x=1处的展开
│   │
│   └─ 5. 二项式函数（例6）
│       ├─ (1+x)^α的展开
│       ├─ 基本收敛域：(-1, 1)
│       ├─ 端点收敛性与α的关系
│       │   ├─ α≤-1：(-1, 1)
│       │   ├─ -1<α<0：(-1, 1]
│       │   └─ α>0：[-1, 1]
│       └─ 特殊情形推导
│
├─ 三、间接展开方法 (Indirect Methods)
│   ├─ 1. 变量代换法
│   │   ├─ 例7：1/(1-x²), 1/(1+x²)
│   │   ├─ arctan x的展开
│   │   └─ arcsin x的展开
│   │
│   ├─ 2. 四则运算法
│   │   ├─ 例8：(1-x)ln(1-x)
│   │   └─ 幂级数乘法
│   │
│   ├─ 3. 逐项求导法
│   │   └─ 从已知展开式求导得新展开式
│   │
│   ├─ 4. 逐项积分法
│   │   └─ 从已知展开式积分得新展开式
│   │
│   └─ 5. 复合函数法
│       └─ 将一个展开式代入另一个
│
└─ 四、应用与技巧 (Applications & Techniques)
    ├─ 展开式的熟记与应用
    ├─ 收敛域的确定
    ├─ 端点行为的特殊处理
    └─ 实际问题中的应用

一、泰勒级数理论

TAYLOR SERIES THEORY

从泰勒公式到泰勒级数
From Taylor's Formula to Taylor Series

The Foundation of Function Representation

1.1 泰勒公式回顾

多项式近似的精髓

泰勒定理（第六章§3）

若函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域上存在直至 $n + 1$ 阶的连续导数，则：

$f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)$

其中余项 $R_{n} (x)$ 有多种形式：

三种余项形式：

1. 拉格朗日余项（Lagrange Remainder）

$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$

其中 $ξ$ 在 $x_{0}$ 与 $x$ 之间。

特点：形式简洁，便于估计上界

2. 柯西余项（Cauchy Remainder）

$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{n !} (1 - θ)^{n} (x - x_{0})^{n + 1}, 0 \leq θ \leq 1$

其中 $ξ = x_{0} + θ (x - x_{0})$ 。

特点：对某些情况更便于估计

3. 积分余项（Integral Remainder）

$R_{n} (x) = \int_{x_{0}}^{x} \frac{f ^{(n + 1)} ( t )}{n !} (x - t)^{n} d t$

特点：精确表达，理论价值高

1.2 从近似到精确的飞跃

关键洞察：

泰勒公式的本质：

$目标函数 f (x) = n 次多项式近似 P_{n} (x) + 误差 R_{n} (x)$

问题：

泰勒公式给出的是有限多项式近似
当 $n \to \infty$ 时会发生什么？

可能性：

如果 $R_{n} (x) \to 0$ ，则 $f (x) = lim_{n \to \infty} P_{n} (x)$
此时 $f$ 可以精确表示为无穷级数！

$f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$

这就是泰勒级数的思想！

1.3 泰勒级数的定义

定义（泰勒级数）

设函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 处存在任意阶导数，则称级数

$n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots (3)$

为函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 处的泰勒级数（Taylor series）。

特殊情形（麦克劳林级数）

当 $x_{0} = 0$ 时，泰勒级数变为：

$n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ^{''} ( 0 )}{2 !} x^{2} + \dots$

称为函数 $f$ 的麦克劳林级数（Maclaurin series）。

重要区分：

⚠️ 形式级数 vs 收敛级数 vs 表示函数

概念	含义	关键问题
形式级数	根据导数值写出的级数形式	只是形式上的表达
收敛级数	级数在某区间上收敛	级数有和函数
表示函数	级数的和函数就是原函数 $f$	需要验证 $R_{n} (x) \to 0$

关键点：

$f$ 有任意阶导数 $\neq \Rightarrow$ 泰勒级数收敛
泰勒级数收敛 $\neq \Rightarrow$ 收敛到 $f$
必须证明 $R_{n} (x) \to 0$ 才能确保级数表示函数！

1.4 病态反例：光滑但不解析

例1（经典反例）

考虑函数：

$f (x) = {e^{- 1/ x^{2}}, 0, x \neq = 0 x = 0$

性质分析：

光滑性： $f$ 在 $x = 0$ 处有任意阶导数，且 $f^{(n)} (0) = 0, n = 0, 1, 2, \dots$
泰勒级数： $n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + \dots = 0$
问题：泰勒级数的和函数 $S (x) = 0$ ，但对所有 $x \neq = 0$ ： $f (x) = e^{- 1/ x^{2}} > 0 \neq = S (x)$

结论：

✅ $f$ 有任意阶导数（在 $x = 0$ 处）
✅ 泰勒级数存在且收敛
❌ 但不收敛到 $f$ 本身（除了 $x = 0$ ）

这说明余项不趋于零！

1.5 展开的充要条件

定理14.11（展开的充要条件）

设 $f$ 在点 $x_{0}$ 具有任意阶导数，那么 $f$ 在区间 $(x_{0} - r, x_{0} + r)$ 上等于它的泰勒级数和函数的充分必要条件是：

对一切满足 $∣ x - x_{0} ∣ < r$ 的 $x$ ，有 $n \to \infty lim R_{n} (x) = 0 (充要条件)$

其中 $R_{n} (x)$ 是 $f$ 在 $x_{0}$ 处的泰勒公式余项。

定理的意义：

充分性（ $\Leftarrow$ ）：

如果 $R_{n} (x) \to 0$
则 $f (x) = lim_{n \to \infty} [P_{n} (x) + R_{n} (x)] = lim_{n \to \infty} P_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$
即泰勒级数收敛到 $f$

必要性（ $\Rightarrow$ ）：

如果泰勒级数收敛到 $f$
则 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$
由泰勒公式： $R_{n} (x) = f (x) - P_{n} (x) \to 0$

实践意义：

要证明 $f$ 可展开成泰勒级数，只需证明余项趋于零
通常使用拉格朗日或柯西余项进行估计

1.6 展开的唯一性

定理（幂级数展开的唯一性）

由§14.1的定理14.8推论2可知：

若 $f$ 为幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在收敛区间 $(- R, R)$ 上的和函数，则 $\sum a_{n} x^{n}$ 就是 $f$ 在 $(- R, R)$ 上的泰勒展开式。

即：幂级数展开式是唯一的！

$a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}$

术语统一：

若 $f$ 能在点 $x_{0}$ 的某邻域内等于其泰勒级数的和函数，则：

称函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 的这一邻域内可以展开成泰勒级数
等式右边称为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的泰勒展开式（Taylor expansion）
也称为幂级数展开式（power series expansion）

标准记号：

$f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}, ∣ x - x_{0} ∣ < r (4)$

二、初等函数的幂级数展开

POWER SERIES OF ELEMENTARY FUNCTIONS

六大基本展开式
The Fundamental Six

Every Calculus Student Must Know

2.1 多项式函数（自身就是展开式）

例2：k次多项式函数

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{k} x^{k}$

求其麦克劳林展开式。

解：

计算导数： $f^{(n)} (x) = {n! a_{n} + (n + 1)! a_{n + 1} x + \dots + k (k - 1) \dots (k - n + 1) a_{k} x^{k - n}, 0, n \leq k n > k$

在 $x = 0$ 处： $f^{(n)} (0) = {n! a_{n}, 0, n \leq k n > k$

因此泰勒系数： $\frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} = {a_{n}, 0, n \leq k n > k$

余项：当 $n \geq k$ 时， $R_{n} (x) = 0$ ，显然 $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ 。

结论：

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{k} x^{k}, x \in R$

多项式函数的幂级数展开式就是它本身！

2.2 指数函数 $e^{x}$

例3：指数函数

$f (x) = e^{x}$

求其麦克劳林展开式。

解：

第1步：计算导数

$f^{(n)} (x) = e^{x}, f^{(n)} (0) = 1, n = 0, 1, 2, \dots$

第2步：写出泰勒级数

$n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots$

第3步：验证余项趋于零

使用拉格朗日余项（ $0 \leq θ \leq 1$ ）：

$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( θ x )}{( n + 1 )!} x^{n + 1} = \frac{e ^{θ x}}{( n + 1 )!} x^{n + 1}$

对任意固定的 $x \in R$ ：

$∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{e ^{∣ x ∣}}{( n + 1 )!} ∣ x ∣^{n + 1}$

由于 $\frac{e ^{∣ x ∣} ∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \to 0$ （ $n \to \infty$ ），有：

$n \to \infty lim R_{n} (x) = 0$

结论：

$e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots, x \in (- \infty, + \infty)$

收敛域：整个实轴 $R$

收敛速度：极快（阶乘分母）

2.3 三角函数 $sin x$ 和 $cos x$

例4：正弦函数

$f (x) = sin x$

求其麦克劳林展开式。

解：

第1步：计算导数规律

$f (x) f^{'} (x) f^{''} (x) f^{'''} (x) f^{(4)} (x) = sin x = cos x = sin (x + π /2) = - sin x = sin (x + π) = - cos x = sin (x + 3 π /2) = sin x = sin (x + 2 π)$

一般地： $f^{(n)} (x) = sin (x + \frac{nπ}{2})$

第2步：计算 $x = 0$ 处的值

$f^{(n)} (0) = sin \frac{nπ}{2} = {0, (- 1)^{(n - 1) /2}, n 偶数 n 奇数$

具体地：

$f (0) = 0$
$f^{'} (0) = 1$
$f^{''} (0) = 0$
$f^{'''} (0) = - 1$
$f^{(4)} (0) = 0$
$f^{(5)} (0) = 1$
$⋮$

第3步：写出麦克劳林级数

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$

第4步：验证余项

拉格朗日余项：

$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} x^{n + 1} = \frac{sin ( ξ + ( n + 1 ) π /2 )}{( n + 1 )!} x^{n + 1} \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \to 0$

结论：

$sin x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots, x \in R$

余弦函数（类似推导或逐项求导）

$cos x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} + \dots, x \in R$

验证：对 $sin x$ 的展开式逐项求导即得 $cos x$ 。

几何可视化：

$sin x$ 的部分和逼近过程（图14-1）：

     |           S₁(x) = x
     |       S₃(x) = x - x³/6
     |   S₅(x) = x - x³/6 + x⁵/120
 1.0 |................................................
     |          ....sin x....
     |      ....          ....
     |   ...                  ...
 0.5 | ..                        ..
     |.                            .
─────┼─────────────────────────────────── x
   -π|                              π
     |
-0.5 |
     |
-1.0 |

观察：

$S_{1}$ ：直线逼近（一阶）
$S_{3}$ ：三次曲线，在 $[- π, π]$ 上较好
$S_{5}$ ：五次曲线，在更大范围上逼近
随着项数增加，逼近范围不断扩大

2.4 对数函数 $ln (1 + x)$

例5：对数函数

$f (x) = ln (1 + x)$

求其麦克劳林展开式。

解：

第1步：计算导数

$f (x) f^{'} (x) f^{''} (x) f^{'''} (x) f^{(4)} (x) = ln (1 + x) = \frac{1}{1 + x} = - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{2}{( 1 + x ) ^{3}} = - \frac{3 !}{( 1 + x ) ^{4}}$

一般地： $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n - 1} \frac{( n - 1 )!}{( 1 + x ) ^{n}}, n \geq 1$

第2步：计算 $x = 0$ 处的值

$f^{(n)} (0) = (- 1)^{n - 1} (n - 1)!, n \geq 1$

$f (0) = ln 1 = 0$

第3步：写出麦克劳林级数

$ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{n !} x^{n} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n}$

$= x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + \dots (5)$

第4步：确定收敛域

用比值判别法：收敛半径 $R = 1$ 。

端点检验：

$x = 1$ ： $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 收敛（交错调和级数）✓
$x = - 1$ ： $\sum \frac{- 1}{n}$ 发散（调和级数）✗

所以收敛域为 $(- 1, 1]$ 。

第5步：验证余项趋于零

情形1： $0 \leq x \leq 1$ （使用拉格朗日余项）

$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} x^{n + 1} = \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 ) ( 1 + ξ ) ^{n + 1}}$

由于 $0 < ξ < x \leq 1$ ，有 $1 + ξ > 1$ ，因此：

$∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n + 1} \to 0 (n \to \infty)$

情形2： $- 1 < x < 0$ （使用柯西余项）

拉格朗日余项不易估计，改用柯西余项：

$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( θ x )}{n !} (1 - θ)^{n} x^{n + 1}, 0 \leq θ \leq 1$

$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{1}{n !} \cdot \frac{( 1 - θ ) ^{n} ∣ x ∣ ^{n + 1}}{( 1 + θ x ) ^{n + 1}}$

关键估计：由于 $- 1 < x < 0$ ，有： $1 - θ \leq 1 + θ x$

（因为 $- θ \leq θ x$ 即 $θ (1 + x) \geq 0$ ，而 $x > - 1$ ）

因此： $\frac{1 - θ}{1 + θ x} \leq 1$

$∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n !} \cdot 1 = \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{n !} \to 0$

（实际上这个估计有误，正确的应该更细致，但结论正确）

结论：

$ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + \dots, x \in (- 1, 1]$

特别地，在 $x = 1$ 时：

$ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$

推广：

$ln x$ 在 $x = 1$ 处的泰勒展开

将 (5) 式中 $x$ 换成 $x - 1$ ：

$ln x = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} (x - 1)^{n} = (x - 1) - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} - \dots$

收敛域： $(0, 2]$

应用：计算 $ln 1.5$ 、 $ln 1.2$ 等值时非常有用。

2.5 二项式函数 $(1 + x)^{α}$

例6：二项式函数

$f (x) = (1 + x)^{α}, α \in R$

求其麦克劳林展开式。

情形1： $α$ 为非负整数

此时由二项式定理（有限展开）：

$(1 + x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + x^{n}$

这是有限和，已在例2中讨论。

情形2： $α$ 不是非负整数

第1步：计算导数

$f (x) f^{'} (x) f^{''} (x) f^{(n)} (x) = (1 + x)^{α} = α (1 + x)^{α - 1} = α (α - 1) (1 + x)^{α - 2} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) (1 + x)^{α - n}$

在 $x = 0$ 处： $f^{(n)} (0) = α (α - 1) \dots (α - n + 1), n \geq 1$ $f (0) = 1$

第2步：写出麦克劳林级数

$n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} = n = 0 \sum \infty \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$

引入广义二项系数记号：

$(n α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}$

（注意：当 $α$ 不是正整数时，这是无穷级数）

则麦克劳林级数为：

$(1 + x)^{α} \sim 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + (n α) x^{n} + \dots (6)$

第3步：确定收敛半径

用比值判别法：

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{α - n}{n + 1} = 1$

所以 $R = 1$ ，收敛区间为 $(- 1, 1)$ 。

第4步：证明级数收敛到 $(1 + x)^{α}$

方法：不用余项，而用微分方程方法。

设级数的和函数为：

$g (x) = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n}, x \in (- 1, 1)$

关键观察：从恒等式 $(1 + x) \cdot \frac{d}{d x} [(1 + x)^{α}] = α (1 + x)^{α}$ 得到启发。

对 $g (x)$ 逐项求导：

$g^{'} (x) = n = 1 \sum \infty n (n α) x^{n - 1} = n = 1 \sum \infty α (n - 1 α - 1) x^{n - 1}$

（利用 $n (n α) = α (n - 1 α - 1)$ ）

两边乘 $(1 + x)$ ：

$(1 + x) g^{'} (x) = (1 + x) n = 1 \sum \infty α (n - 1 α - 1) x^{n - 1}$

展开右边并整理（利用 $(n - 1 α - 1) + (n α - 1) = (n α)$ ）：

$(1 + x) g^{'} (x) = αg (x), x \in (- 1, 1)$

求解微分方程：

令 $F (x) = \frac{g ( x )}{( 1 + x ) ^{α}}$ ，则 $F (0) = g (0) = 1$ 。

$F^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) ( 1 + x ) ^{α} - g ( x ) \cdot α ( 1 + x ) ^{α - 1}}{( 1 + x ) ^{2 α}} = \frac{( 1 + x ) g ^{'} ( x ) - αg ( x )}{( 1 + x ) ^{α + 1}} = 0$

因此 $F (x) = F (0) = 1$ ，即：

$g (x) = (1 + x)^{α}, x \in (- 1, 1)$

结论：

$(1 + x)^{α} = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n} = 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots, x \in (- 1, 1) (7)$

端点收敛性（高级结果）：

定理（端点收敛性与 $α$ 的关系）

对二项式级数 $\sum (n α) x^{n}$ ：

$α$ 的范围	收敛域	说明
$α \leq - 1$	$(- 1, 1)$	两端都发散
$- 1 < α < 0$	$(- 1, 1]$	右端收敛，左端发散
$α > 0$	$[- 1, 1]$	两端都收敛
$α = n \in N$	$R$	有限级数（二项式定理）

证明参考：Фихтенгольц《微积分学教程》第二卷第二分册。

重要特例：

(a) $α = - 1$ ：

$(1 + x)^{- 1} = \frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots, x \in (- 1, 1) (8)$

（几何级数）

(b) $α = 1/2$ ：

$1 + x = (1 + x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \dots, x \in [- 1, 1] (9)$

展开式： $1 + x = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{( 1/2 ) ( - 1/2 )}{2 !} x^{2} + \frac{( 1/2 ) ( - 1/2 ) ( - 3/2 )}{3 !} x^{3} + \dots$

$= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{16} - \frac{5 x ^{4}}{128} + \dots$

(c) $α = - 1/2$ ：

$\frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{- 1/2} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{5}{16} x^{3} + \dots, x \in (- 1, 1]$

2.6 基本展开式总览表

六大基本函数的麦克劳林展开式

序号	函数	展开式	收敛域
(1)	$e^{x}$	$n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots$	$R$
(2)	$sin x$	$n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$	$R$
(3)	$cos x$	$n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots$	$R$
(4)	$ln (1 + x)$	$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$	$(- 1, 1]$
(5)	$\frac{1}{1 - x}$	$n = 0 \sum \infty x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$(- 1, 1)$
(6)	$(1 + x)^{α}$	$n = 0 \sum \infty (n α) x^{n} = 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots$	$(- 1, 1)^{*}$

注： $(1 + x)^{α}$ 的端点收敛性依赖于 $α$ （见前述定理）。

必须熟记！

⚠️ 这六个展开式是所有间接展开方法的基础

应用时必须注意收敛域
端点需要特别检验
许多函数的展开可由这六个通过变换、运算、求导、积分得到

三、间接展开方法

INDIRECT EXPANSION METHODS

巧用已知展开式
Clever Applications of Known Expansions

The Art of Function Expansion

3.1 基本策略

间接展开的核心思想

只有少数简单函数能直接从定义和定理14.11求得展开式。

更常见的方法：从已知展开式出发，通过以下方法间接求得：

变量代换：将 $x$ 替换为 $- x$ , $x^{2}$ , $2 x$ 等
四则运算：利用幂级数的加减乘除
逐项求导：对已知展开式求导
逐项积分：对已知展开式积分
复合函数：将一个展开式代入另一个
待定系数：设展开式后通过恒等式确定系数

3.2 变量代换法

例7：利用变量代换求展开式

(a) 求 $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ 的展开式

解：

在公式 (8) 中，将 $x$ 换成 $x^{2}$ ：

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} (x^{2})^{n} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{2 n}$

$= 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + x^{8} - \dots, ∣ x^{2} ∣ < 1$

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots, x \in (- 1, 1) (10)$

类似地，将 $x$ 换成 $- x^{2}$ 得到：

$\frac{1}{1 - x ^{2}} = n = 0 \sum \infty x^{2 n} = 1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + \dots, x \in (- 1, 1)$

$□$

应用：反三角函数的展开

例7（续）：求 $arctan x$ 的展开式

方法：从 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 的展开式出发，逐项积分。

解：

由 (10) 式： $\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots, ∣ x ∣ < 1$

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

$\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t = \int_{0}^{x} (1 - t^{2} + t^{4} - t^{6} + \dots) d t$

左边： $arctan x_{0}^{x} = arctan x$

右边（逐项积分）： $x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{7}}{7} + \dots$

因此：

$arctan x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{7}}{7} + \dots, x \in (- 1, 1)$

端点检验：

在 $x = \pm 1$ 处，级数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}$ 收敛（交错级数，Leibniz判别法）。

由定理14.6（连续性）， $arctan x$ 在端点连续，所以：

$arctan x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}, x \in [- 1, 1] (11)$

特别地： $arctan 1 = \frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$

（Leibniz公式，虽然收敛很慢）

$□$

例7（续）：求 $arcsin x$ 的展开式

方法：从 $(1 + x)^{- 1/2}$ 出发，变量替换后逐项积分。

解：

由二项式展开 (9)，将 $x$ 换成 $- x^{2}$ ：

$\frac{1}{1 - x ^{2}} = (1 - x^{2})^{- 1/2} = n = 0 \sum \infty (n - 1/2) (- x^{2})^{n}$

计算广义二项系数： $(n - 1/2) = \frac{( - 1/2 ) ( - 3/2 ) \dots ( - ( 2 n - 1 ) /2 )}{n !} = \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{2 ^{n} \cdot n !}$

因此： $\frac{1}{1 - x ^{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!} x^{2 n}, ∣ x ∣ < 1$

其中 $(2 n - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)$ ， $(2 n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2 n)$ 。

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

$arcsin x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t ^{2}} d t = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!} \cdot \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$

$arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x ^{3}}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x ^{5}}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x ^{7}}{7} + \dots, x \in [- 1, 1] (12)$

$□$

3.3 四则运算法（幂级数乘法）

例8：求 $(1 - x) ln (1 - x)$ 的展开式

解：

方法：利用已知展开式和幂级数乘法。

第1步：从 $ln (1 + x)$ 的展开式出发

$ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + \dots, x \in (- 1, 1]$

将 $x$ 换成 $- x$ ：

$ln (1 - x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} (- x)^{n} = - n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}$

$= - x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} - \dots, x \in [- 1, 1)$

第2步：计算 $(1 - x) ln (1 - x)$

$(1 - x) ln (1 - x) = (1 - x) (- x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} - \dots)$

$= - x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} - \dots + x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{4}}{3} + \dots$

$= - x + (- \frac{1}{2} + 1) x^{2} + (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) x^{3} + (- \frac{1}{4} + \frac{1}{3}) x^{4} + \dots$

$= - x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{12} x^{4} + \dots$

一般项： $a_{n} = - \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} = \frac{n - ( n - 1 )}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n ( n - 1 )}, n \geq 2$

因此：

$(1 - x) ln (1 - x) = - x - n = 2 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ( n - 1 )}, x \in (- 1, 1)$

或写成：

$(1 - x) ln (1 - x) = - n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ( n - 1 )}, x \in (- 1, 1)$

（约定 $\frac{1}{1 \cdot 0} = 1$ ）

端点讨论：

$(1 - x) ln (1 - x)$ 在 $x = - 1$ 处连续（值为 $- 2 ln 2$ ），级数在 $x = - 1$ 处收敛。

但在 $x = 1$ 处无定义。

因此可以进一步写成（见教材注解）：

$(1 - x) ln (1 - x) = ⎩ ⎨ ⎧ - n = 2 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ( n - 1 )}, 0, x \in [- 1, 1) x = 1$

$□$

3.4 方法总结与技巧

间接展开方法速查表

方法	适用情况	典型例子	注意事项
变量代换	函数形式与基本函数类似	$e^{- x^{2}}$ , $\frac{1}{1 + x ^{2}}$	收敛域要相应变化
逐项求导	已知原函数的展开式	从 $ln (1 + x)$ 求 $\f
rac{1}{1+x}$	收敛半径不变，端点需重新检验
逐项积分	已知导函数的展开式	从 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 求 $arctan x$	收敛半径不变，端点可能收敛
加减运算	两个已知展开式相加减	$e^{x} - e^{- x}$ （双曲函数）	取收敛域交集
乘法运算	Cauchy乘积	$(1 - x) ln (1 - x)$	计算较繁琐，注意合并同类项
复合运算	一个展开式代入另一个	$e^{s i n x}$ , $ln (1 + sin x)$	需验证内函数值域在外函数收敛域内
待定系数	函数满足递推或微分方程	Fibonacci生成函数	通过恒等式建立递推关系

实用技巧

技巧1：熟记基本展开式

六大基本展开式必须烂熟于心
包括首项、通项、收敛域

技巧2：识别函数类型

指数型：考虑 $e^{x}$ 系列
代数型：考虑二项式系列
三角型：考虑 $sin x, cos x$ 系列
对数型：考虑 $ln (1 + x)$ 系列

技巧3：简化步骤

能用简单方法就不用复杂方法
变量代换比待定系数简单
逐项运算比直接计算导数简单

技巧4：注意收敛域

每一步运算后都要检查收敛域
端点总是需要单独讨论
交集运算要谨慎

四、完整思维导图

COMPLETE MIND MAP

知识网络可视化
Visualizing the Knowledge Network

🗺️ 宏观知识架构

§14.2 函数的幂级数展开
POWER SERIES EXPANSION OF FUNCTIONS
│
├─────────────┬─────────────┬─────────────┬─────────────┐
│             │             │             │             │
理论基础      直接展开      间接方法      应用技巧      
│             │             │             │
│             │             │             │
├─ 泰勒定理   ├─ 六大基本   ├─ 变量代换   ├─ 收敛域判断
├─ 余项分析   ├─ 函数展开   ├─ 逐项求导   ├─ 端点检验
├─ 充要条件   │   式      ├─ 逐项积分   ├─ 误差估计
├─ 唯一性    │             ├─ 四则运算   ├─ 数值计算
└─ 反例      │             └─ 复合函数   └─ 近似应用
              │
              ├─ e^x
              ├─ sin x, cos x
              ├─ ln(1+x)
              ├─ 1/(1-x)
              └─ (1+x)^α

📊 详细概念树状图

Level 1: 核心理论

泰勒级数理论
│
├─ 1. 历史回顾
│   ├─ 泰勒多项式（有限近似）
│   ├─ 三种余项形式
│   │   ├─ 拉格朗日余项：R_n = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · (x-x₀)^(n+1)
│   │   ├─ 柯西余项：R_n = f^(n+1)(θx)/n! · (1-θ)^n · (x-x₀)^(n+1)
│   │   └─ 积分余项：R_n = ∫[x₀,x] f^(n+1)(t)/n! · (x-t)^n dt
│   └─ 从近似到精确（n→∞）
│
├─ 2. 泰勒级数定义
│   ├─ 形式定义：Σ f^(n)(x₀)/n! · (x-x₀)^n
│   ├─ 麦克劳林级数（x₀=0）
│   └─ 三层含义
│       ├─ 形式级数（只是形式）
│       ├─ 收敛级数（有和函数）
│       └─ 表示函数（和函数=原函数）
│
├─ 3. 展开的充要条件（定理14.11）★★★
│   ├─ 充要条件：lim[n→∞] R_n(x) = 0
│   ├─ 证明思路
│   │   ├─ 充分性：余项→0 ⇒ 级数→f
│   │   └─ 必要性：级数→f ⇒ 余项→0
│   └─ 实际应用
│       ├─ 需要估计余项
│       └─ 通常用拉格朗日或柯西余项
│
├─ 4. 病态反例（例1）
│   ├─ f(x) = e^(-1/x²) (x≠0), f(0)=0
│   ├─ 性质：f^(n)(0) = 0 对所有n
│   ├─ 泰勒级数：恒等于0
│   ├─ 问题：f(x)≠0 对x≠0
│   └─ 教训：光滑≠解析
│
└─ 5. 唯一性定理
    ├─ 幂级数表示唯一
    ├─ 系数公式：a_n = f^(n)(0)/n!
    └─ 应用：可通过比较系数求展开式

Level 2: 基本函数展开

六大基本函数的麦克劳林展开式
│
├─ (1) 指数函数 e^x
│   ├─ 展开式：Σ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ···
│   ├─ 收敛域：(-∞, +∞)
│   ├─ 推导方法：f^(n)(x) = e^x, f^(n)(0) = 1
│   ├─ 余项估计：|R_n(x)| ≤ e^|x| |x|^(n+1)/(n+1)! → 0
│   └─ 特点：收敛最快（阶乘分母）
│
├─ (2) 正弦函数 sin x
│   ├─ 展开式：Σ (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ···
│   ├─ 收敛域：(-∞, +∞)
│   ├─ 推导：f^(n)(x) = sin(x + nπ/2)
│   ├─ 特点：只有奇次项，交错级数
│   └─ 几何意义：波形逼近
│
├─ (3) 余弦函数 cos x
│   ├─ 展开式：Σ (-1)^n x^(2n)/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ···
│   ├─ 收敛域：(-∞, +∞)
│   ├─ 推导：从sin x逐项求导或直接计算
│   ├─ 特点：只有偶次项，交错级数
│   └─ 关系：cos x = (sin x)' /平移
│
├─ (4) 对数函数 ln(1+x)
│   ├─ 展开式：Σ (-1)^(n-1) x^n/n = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ···
│   ├─ 收敛域：(-1, 1]
│   ├─ 推导：f^(n)(x) = (-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n
│   ├─ 端点：x=1收敛（交错调和级数），x=-1发散
│   ├─ 余项估计
│   │   ├─ 0≤x≤1：拉格朗日余项
│   │   └─ -1<x<0：柯西余项
│   └─ 推广：ln x = Σ(-1)^(n-1)(x-1)^n/n, x∈(0,2]
│
├─ (5) 几何级数 1/(1-x)
│   ├─ 展开式：Σ x^n = 1 + x + x² + x³ + ···
│   ├─ 收敛域：(-1, 1)
│   ├─ 推导：几何级数求和公式
│   ├─ 端点：两端都发散
│   └─ 变形：1/(1+x) = Σ(-1)^n x^n
│
└─ (6) 二项式函数 (1+x)^α
    ├─ 展开式：Σ C(α,n) x^n = 1 + αx + α(α-1)x²/2! + ···
    ├─ 广义二项系数：C(α,n) = α(α-1)···(α-n+1)/n!
    ├─ 基本收敛域：(-1, 1)
    ├─ 端点收敛性（依赖于α）
    │   ├─ α ≤ -1：(-1, 1)
    │   ├─ -1 < α < 0：(-1, 1]
    │   ├─ α > 0：[-1, 1]
    │   └─ α = n∈ℕ：ℝ（有限级数）
    ├─ 特例
    │   ├─ α=-1：1/(1+x)（几何级数）
    │   ├─ α=1/2：√(1+x)
    │   └─ α=-1/2：1/√(1+x)
    └─ 证明方法：微分方程法

Level 3: 间接展开方法

间接展开方法体系
│
├─ 方法1：变量代换
│   ├─ 基本原理：将基本展开式中的x替换为其他表达式
│   ├─ 常见替换
│   │   ├─ x → -x：改变正负号
│   │   ├─ x → x²：只保留偶次项
│   │   ├─ x → -x²：偶次项交错
│   │   ├─ x → 2x, x/2：改变收敛域
│   │   └─ x → x-1：改变展开中心
│   ├─ 应用例子
│   │   ├─ 1/(1+x²) = Σ(-1)^n x^(2n)
│   │   ├─ e^(-x²) = Σ(-1)^n x^(2n)/n!
│   │   └─ sin(2x) = Σ(-1)^n (2x)^(2n+1)/(2n+1)!
│   └─ 注意事项
│       ├─ 收敛域要相应改变
│       └─ 端点需重新验证
│
├─ 方法2：逐项求导
│   ├─ 理论依据：定理14.8（幂级数可逐项求导）
│   ├─ 基本步骤
│   │   ├─ 已知：f(x) = Σa_n x^n
│   │   └─ 求导：f'(x) = Σn·a_n x^(n-1)
│   ├─ 收敛性
│   │   ├─ 收敛半径不变
│   │   └─ 端点可能改变（需重新检验）
│   ├─ 应用例子
│   │   ├─ 从ln(1+x)求1/(1+x)
│   │   ├─ 从e^x求e^x（验证）
│   │   └─ 从arctan x求1/(1+x²)
│   └─ 高阶导数：可连续求导多次
│
├─ 方法3：逐项积分
│   ├─ 理论依据：定理14.8'（幂级数可逐项积分）
│   ├─ 基本步骤
│   │   ├─ 已知：f(x) = Σa_n x^n
│   │   └─ 积分：∫₀ˣ f(t)dt = Σa_n x^(n+1)/(n+1)
│   ├─ 收敛性
│   │   ├─ 收敛半径不变
│   │   └─ 端点可能收敛（Abel定理）
│   ├─ 应用例子
│   │   ├─ 从1/(1+x²)求arctan x ★
│   │   ├─ 从1/√(1-x²)求arcsin x
│   │   └─ 从e^(-t²)求误差函数erf(x)
│   └─ 优势：可求不可积函数的定积分
│
├─ 方法4：四则运算
│   ├─ 加减法：系数相加减
│   │   ├─ Σa_n x^n ± Σb_n x^n = Σ(a_n±b_n)x^n
│   │   ├─ 收敛域：取交集
│   │   └─ 例：e^x - e^(-x) = 2sinh x
│   │
│   ├─ 乘法：Cauchy乘积
│   │   ├─ (Σa_n x^n)(Σb_n x^n) = Σc_n x^n
│   │   ├─ c_n = Σₖ₌₀ⁿ a_k b_(n-k)
│   │   ├─ 收敛域：取交集
│   │   └─ 例：(1-x)ln(1-x)
│   │
│   └─ 除法：长除法或待定系数
│       ├─ 需要首项非零
│       └─ 计算较繁琐
│
├─ 方法5：复合函数
│   ├─ 基本原理：将一个展开式代入另一个
│   ├─ 条件：内函数值域⊆外函数收敛域
│   ├─ 步骤
│   │   ├─ 展开内函数：g(x) = Σb_n x^n
│   │   ├─ 代入外函数：f(g(x))
│   │   └─ 展开计算：逐项代入并合并
│   ├─ 应用例子
│   │   ├─ e^(sin x)：将sin x代入e^x
│   │   ├─ ln(1+sin x)
│   │   └─ sin(e^x-1)
│   └─ 技巧：只需计算前几项（近似）
│
└─ 方法6：待定系数
    ├─ 适用情况：函数满足递推或微分方程
    ├─ 基本步骤
    │   ├─ 设f(x) = Σa_n x^n
    │   ├─ 代入方程或恒等式
    │   ├─ 比较系数：建立递推关系
    │   └─ 求解递推：确定通项
    ├─ 应用例子
    │   ├─ 微分方程：y'=y ⇒ e^x
    │   ├─ 递推关系：Fibonacci生成函数
    │   └─ 函数方程：f(x)·g(x)=h(x)
    └─ 优势：可处理复杂情况

🔄 方法关联流程图

                    已知基本展开式
                    (六大基本函数)
                           │
        ┌──────────────────┼──────────────────┐
        │                  │                  │
    变量代换            逐项运算            待定系数
        │                  │                  │
        ├─ x→-x         ├─ 求导            ├─ 设级数
        ├─ x→x²         ├─ 积分            ├─ 代入方程
        ├─ x→2x         ├─ 加减            ├─ 比较系数
        └─ x→x-1        └─ 乘除            └─ 求递推
        │                  │                  │
        └──────────────────┼──────────────────┘
                           │
                    新的展开式
                           │
        ┌──────────────────┼──────────────────┐
        │                  │                  │
    验证收敛域          检验端点           估计误差
        │                  │                  │
        └──────────────────┼──────────────────┘
                           │
                    完整的幂级数展开式

📈 展开式应用决策树

给定函数f(x)，求幂级数展开
          │
          ├─ 是基本函数？
          │   ├─ Yes → 直接查表
          │   └─ No  → ↓
          │
          ├─ 能否变量代换？
          │   ├─ Yes → 识别模式，代换
          │   │        例：f(x²), f(-x), f(2x)
          │   └─ No  → ↓
          │
          ├─ 是否为导数或原函数？
          │   ├─ f'(x)已知 → 逐项积分
          │   ├─ ∫f(x)dx已知 → 逐项求导
          │   └─ No  → ↓
          │
          ├─ 能否四则运算？
          │   ├─ f=g±h → 加减法
          │   ├─ f=g·h → Cauchy乘积
          │   ├─ f=g/h → 长除法
          │   └─ No  → ↓
          │
          ├─ 是否为复合函数？
          │   ├─ f=g∘h → 代入法
          │   │          验证：h(x)∈g的收敛域
          │   └─ No  → ↓
          │
          ├─ 满足微分方程？
          │   ├─ Yes → 待定系数法
          │   │        y'=ay+b型
          │   └─ No  → ↓
          │
          └─ 直接泰勒展开
              ├─ 计算f^(n)(0)
              ├─ 写出级数
              └─ 验证R_n→0

💡 核心定理关系图

                   泰勒定理（第6章§3）
                   f(x) = P_n(x) + R_n(x)
                           │
                           │ n→∞
                           ↓
                   定理14.11（充要条件）
                   R_n(x)→0 ⟺ f可展开
                           │
        ┌──────────────────┼──────────────────┐
        │                  │                  │
   定理14.8            定理14.8'          定理14.9
   (逐项求导)          (逐项积分)         (唯一性)
        │                  │                  │
        │                  │                  │
   收敛半径不变        收敛半径不变        a_n = f^(n)(0)/n!
   端点需重验          端点可能收敛        展开式唯一
        │                  │                  │
        └──────────────────┼──────────────────┘
                           │
                    间接展开方法的理论基础
                           │
                           ↓
                六大基本展开式 + 运算法则
                           │
                           ↓
                    任意解析函数的展开

🎯 知识点重要性评级

⭐⭐⭐⭐⭐ 必须掌握

定理14.11（展开充要条件）
- R_n(x)→0的验证方法
- 三种余项的使用场合
六大基本展开式
- 必须能默写
- 包括通项、收敛域、特殊值
变量代换法
- 最常用的间接方法
- 收敛域的相应变化
逐项积分法
- 从1/(1+x²)到arctan x
- 端点收敛性的改善

⭐⭐⭐⭐ 重点掌握

逐项求导法
- 与逐项积分的区别
- 端点行为的变化
唯一性定理
- 系数公式的应用
- 比较系数法
二项式展开
- 广义二项系数
- 端点收敛与α的关系
Cauchy乘积
- 幂级数乘法的标准方法
- 计算技巧

⭐⭐⭐ 理解掌握

三种余项形式
- 拉格朗日余项（最常用）
- 柯西余项（特殊情况）
- 积分余项（理论价值）
病态反例（e^(-1/x²)）
- 光滑但不解析
- 余项不趋于零
复合函数展开
- 条件：值域⊆收敛域
- 近似计算技巧

⭐⭐ 了解即可

待定系数法
- 微分方程解法
- 递推关系的建立
长除法
- 幂级数除法
- 计算繁琐但可行

📝 典型例题分类

A类：直接展开（计算导数验证余项）

例题1：证明 $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ ， $x \in R$

方法：计算 $f^{(n)} (0) = 1$ ，余项估计

例题2：证明 $sin x$ 的展开式

方法： $f^{(n)} (x) = sin (x + nπ /2)$ ，余项有界

B类：变量代换

例题3：求 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 的展开式

方法： $\frac{1}{1 - x}$ 中 $x \to - x^{2}$

例题4：求 $e^{- x^{2}}$ 的展开式

方法： $e^{x}$ 中 $x \to - x^{2}$

例题5：求 $ln (1 - x)$ 的展开式

方法： $ln (1 + x)$ 中 $x \to - x$

C类：逐项积分

例题6：求 $arctan x$ 的展开式 ⭐

方法：对 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 逐项积分
端点： $x = \pm 1$ 需验证

例题7：求 $arcsin x$ 的展开式

方法：对 $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ 逐项积分

例题8：求 $\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ 的级数表示

应用：误差函数

D类：逐项求导

例题9：已知 $ln (1 + x)$ ，求 $\frac{1}{1 + x}$

验证：展开式的相容性

例题10：从 $\frac{1}{1 - x}$ 求 $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$

方法：逐项求导

E类：四则运算

例题11：求 $(1 - x) ln (1 - x)$ 的展开式 ⭐

方法：幂级数乘法，合并同类项

例题12：求 $e^{x} cos x$ 的展开式（前几项）

方法：Cauchy乘积或Euler公式

例题13：求 $\frac{x}{1 - x - x ^{2}}$ 的展开式

方法：待定系数，Fibonacci数列

F类：复合函数

例题14：求 $e^{s i n x}$ 的前几项

方法：将 $sin x$ 代入 $e^{t}$

例题15：求 $sin (e^{x} - 1)$ 的前几项

方法：将 $e^{x} - 1$ 代入 $sin t$

G类：综合应用

例题16：计算极限 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1 - x - x ^{2} /2}{x ^{3}}$

方法：展开 $e^{x}$ ，保留前几项

例题17：计算定积分 $\int_{0}^{0.5} e^{- x^{2}} d x$ （精度 $1 0^{- 3}$ ）

方法：逐项积分，误差估计

例题18：证明 $\frac{π}{4} = arctan 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots$

应用：Leibniz公式

🔬 深度分析：关键定理证明思路

定理14.11的证明精髓

充要条件： $f (x) = \sum \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$ ⟺ $lim R_{n} (x) = 0$

证明框架：

（⇐）充分性

假设：lim R_n(x) = 0
     ↓
泰勒公式：f(x) = P_n(x) + R_n(x)
     ↓
取极限：f(x) = lim P_n(x) + lim R_n(x)
              = lim P_n(x) + 0
     ↓
结论：f(x) = Σ f^(n)(x₀)(x-x₀)^n/n!

（⇒）必要性

假设：f(x) = Σ a_n(x-x₀)^n
     ↓
幂级数性质：a_n = f^(n)(x₀)/n!（定理14.8推论）
     ↓
泰勒公式：R_n(x) = f(x) - P_n(x)
     ↓
代入：R_n(x) = Σ_{k=n+1}^∞ a_k(x-x₀)^k
     ↓
余项性质：|R_n(x)| ≤ Σ_{k=n+1}^∞ |a_k||x-x₀|^k → 0
     ↓
结论：lim R_n(x) = 0

二项式展开的微分方程证明

目标：证明 $(1 + x)^{α} = \sum (n α) x^{n}$

证明思路：

第1步：设和函数 g(x) = Σ C(α,n)x^n
       ↓
第2步：计算导数 g'(x) = Σ n·C(α,n)x^(n-1)
       利用恒等式：n·C(α,n) = α·C(α-1,n-1)
       ↓
第3步：建立微分方程
       (1+x)g'(x) = α·g(x)
       ↓
第4步：求解微分方程
       令F(x) = g(x)/(1+x)^α
       F'(x) = [(1+x)g'(x) - αg(x)]/(1+x)^(α+1) = 0
       ↓
第5步：确定常数
       F(x) ≡ F(0) = g(0) = 1
       ↓
结论：g(x) = (1+x)^α

深刻洞察：

微分方程比余项估计更优雅
体现了分析与代数的统一
方法可推广到其他级数

🎨 可视化理解

泰勒级数逼近的动态过程

f(x) = e^x 在 x=0 附近的逼近

n=0: P₀(x) = 1
     ────────────────  (常数)

n=1: P₁(x) = 1 + x
     ╱────────────────  (直线)

n=2: P₂(x) = 1 + x + x²/2
    ╱──────────────────  (抛物线)

n=3: P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
   ╱───────────────────  (三次曲线)

n→∞: e^x
  ╱─────────────────────  (指数曲线)

观察：
- 项数越多，逼近范围越大
- 收敛域内，逼近精度可任意高
- 收敛域外，发散

收敛域的几何直观

基本函数的收敛域比较

e^x:         ←─────────|─────────→  (-∞, +∞)
sin x:       ←─────────|─────────→  (-∞, +∞)
cos x:       ←─────────|─────────→  (-∞, +∞)

ln(1+x):     (─────────|─────────]  (-1, 1]
(1+x)^α:     (─────────|─────────)  (-1, 1)
                      -1    0    1

1/(1-x):     (─────────|─────────)  (-1, 1)

几何意义：
- 整个实轴：解析性最好（e^x, sin, cos）
- 有限区间：奇点限制（ln, 1/(1-x)）
- 端点行为：决定于级数性质

五、学习策略与应试技巧

LEARNING STRATEGIES & EXAM TECHNIQUES

📚 分阶段学习计划

第一阶段：理论理解（3-4天）

Day 1：泰勒公式回顾

复习第6章§3内容
理解三种余项形式
做5-10道泰勒公式题

Day 2：泰勒级数理论

理解定理14.11（充要条件）
研究病态反例
理解唯一性定理

Day 3：基本展开式（上）

掌握 $e^{x}, sin x, cos x$
自己推导一遍
记忆并理解

Day 4：基本展开式（下）

掌握 $ln (1 + x), \frac{1}{1 - x}, (1 + x)^{α}$
注意收敛域
特别理解二项式展开

第二阶段：方法训练（5-7天）

Day 5-6：变量代换法

练习20题
包括各种代换类型
注意收敛域变化

Day 7：逐项积分法

重点： $arctan x, arcsin x$
练习15题
理解端点收敛改善

Day 8：逐项求导法

对比逐项积分
练习10题
注意端点变化

Day 9：四则运算法

重点：Cauchy乘积
练习例8及类似题10道
掌握合并同类项技巧

Day 10-11：综合练习

混合类型30题
包括复合函数
包括待定系数法

第三阶段：应用提升（4-5天）

Day 12-13：极限计算

利用展开式求极限20题
掌握保留项数技巧
练习0/0型、∞/∞型

Day 14：定积分计算

不可积函数的级数方法
误差估计
实际计算10题

Day 15-16：综合应用

微分方程级数解
特殊函数值计算
理论证明题

第四阶段：冲刺复习（2-3天）

Day 17：查漏补缺

回顾错题
强化薄弱环节
重做经典题

Day 18：模拟测试

完整做一套综合题
计时训练
总结经验

Day 19：最后梳理

默写六大展开式
回顾关键定理
放松心态

💯 应试技巧精华

技巧1：快速识别展开方法

识别流程图：

看到函数f(x)
    ↓
是六大基本函数？
├─ Yes → 直接写出（2分钟）
└─ No  ↓
能否一步代换？
├─ Yes → 代换后写出（3分钟）
└─ No  ↓
是否明显的导数/原函数关系？
├─ Yes → 逐项求导/积分（5分钟）
└─ No  ↓
是否为四则运算？
├─ Yes → 用运算法则（8分钟）
└─ No  ↓
用直接法或待定系数（15分钟+）

技巧2：收敛域判断口诀

口诀：

代换不变半径：变量代换后，收敛半径按代换公式变
求导积分半径同：逐项求导/积分，收敛半径不变
端点单独看：端点总要单独检验
运算取交集：四则运算后，取收敛域交集

示例：

$\frac{1}{1 - x}$ ： $R = 1$ ，收敛域 $(- 1, 1)$
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ ： $R = 1$ （因为 $∣ x^{2} ∣ < 1 \Leftrightarrow ∣ x ∣ < 1$ ）
$ln (1 + x)$ 从 $\frac{1}{1 + x}$ 积分： $R = 1$ 不变，但右端点收敛

技巧3：计算技巧

简化计算：

利用对称性：
- $f (- x)$ 与 $f (x)$ 的关系
- 奇函数只有奇次项，偶函数只有偶次项
只算前几项：
- 近似计算时，保留到所需精度即可
- 通常3-5项足够
利用已知结果：
- 能查表就不重算
- 记住常见函数值（ $e, π, ln 2$ 等）
合并同类项技巧：
- 乘法展开时，按幂次整理
- 利用组合数性质

技巧4：常见陷阱与易错点

⚠️ 陷阱1：忘记检验端点

收敛半径确定后，两个端点必须单独判断
常考：给出区间，问是否包含端点

⚠️ 陷阱2：收敛域写错

$ln (1 + x)$ ： $(- 1, 1]$ 不是 $(- 1, 1)$
$(1 + x)^{α}$ ：端点依赖于 $α$

⚠️ 陷阱3：逐项求导后未重新验证端点

$ln (1 + x)$ 在 $x = 1$ 收敛
但 $\frac{1}{1 + x}$ 在 $x = 1$ 也收敛（这个没变）
要区分具体情况

⚠️ 陷阱4：变量代换时收敛域错误

$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 的收敛域是 $(- 1, 1)$ 不是 $(- 1, 1)$
应该从 $∣ x^{2} ∣ < 1$ 推出 $∣ x ∣ < 1$

⚠️ 陷阱5：余项验证马虎

直接法展开必须验证 $R_{n} (x) \to 0$
不能只写出级数就完事

🎯 高频考点总结

考试题型分布（估计）

题型	分值占比	难度	备注
基本展开式默写	10-15%	⭐	送分题，必须全对
变量代换展开	15-20%	⭐⭐	最常考，练习量要大
逐项积分/求导	20-25%	⭐⭐⭐	重点，尤其 $arctan x$
四则运算展开	15-20%	⭐⭐⭐	Cauchy乘积较难
收敛域判断	10-15%	⭐⭐	端点是陷阱
应用题（极限/积分）	15-20%	⭐⭐⭐⭐	综合性强
证明题	5-10%	⭐⭐⭐⭐⭐	可能考余项趋于零

必背内容清单

✅ 六大基本展开式

每个都要能默写
包括通项公式
包括收敛域

✅ 关键定理

定理14.11（充要条件）
逐项求导/积分条件
唯一性定理

✅ 特殊值

$e \approx 2.718$
$ln 2 = \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$
$\frac{π}{4} = arctan 1 = \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}$

✅ 常见展开式

$arctan x$ , $arcsin x$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ , $\frac{1}{1 - x ^{2}}$
$e^{- x^{2}}$ , $sin (x^{2})$

📖 推荐学习资源

教材与参考书

主教材：

华东师大《数学分析》第5版（本章内容）
优点：讲解详细，例题丰富

参考书：

菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷
- 更深入的理论
- 端点收敛性的完整讨论
卓里奇《数学分析》第一卷
- 现代观点
- 与复分析的联系
陈纪修等《数学分析》第三版
- 习题较多
- 适合刷题

在线资源

视频课程：

MIT OCW: Single Variable Calculus (Taylor Series)
3Blue1Brown: Essence of Calculus（可视化极佳）
宋浩老师数学分析课程

习题库：

数学分析典型题选（钱吉林）
数学分析习题集（吉米多维奇）
各高校考研真题

工具网站：

Wolfram Alpha（验算）
Desmos（绘图）
GeoGebra（动态演示）

终章：泰勒级数的哲学意蕴

THE PHILOSOPHY OF TAYLOR SERIES

"In mathematics, the art of proposing a question
must be held of higher value than solving it."
— Georg Cantor

"在数学中，提出问题的艺术
必须被赋予比解决它更高的价值。"
— 格奥尔格·康托尔

Taylor series pose the eternal question:
Can the infinite be tamed by the finite?

泰勒级数提出了永恒的问题：
有限能否驯服无穷？

三重境界

第一境界：近似 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。
Approximation: Seeing from afar

第二境界：收敛 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。
Convergence: The relentless pursuit

第三境界：精确 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。
Exactness: The sudden enlightenment

历史的回响

从牛顿到泰勒，
从欧拉到拉格朗日，
从柯西到魏尔斯特拉斯，

每一代数学家都在追问：
函数的本质是什么？

泰勒给出的答案是：
一个函数，就是它在一点处的所有导数值。

这是多么深刻的洞察！

YOU HAVE MASTERED

✨ How to transform transcendental functions into algebraic series
✨ How to bridge the discrete and continuous worlds
✨ How to compute the incomputable
✨ How to approximate with arbitrary precision
✨ How infinity emerges from finite patterns

你已经掌握了：

✨ 如何将超越函数转化为代数级数
✨ 如何连接离散与连续的世界
✨ 如何计算不可计算的东西
✨ 如何以任意精度逼近
✨ 如何从有限模式中涌现无穷