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第十四章幂级数

CHAPTER 14: POWER SERIES

Complete Knowledge System & Mind Map

"Power series are the bridge between
the discrete and the continuous,
the finite and the infinite,
the algebraic and the analytic."

"幂级数是桥梁，
连接离散与连续，
有限与无穷，
代数与分析。"

From Polynomials to Infinity
从多项式到无穷

📊 完整知识架构总览

第十四章 幂级数 POWER SERIES
│
├─ §14.1 幂级数的收敛性
│   ├─ 一、收敛区间与收敛半径
│   │   ├─ Abel定理（核心基础）
│   │   ├─ 收敛半径的定义
│   │   ├─ 收敛域的确定
│   │   └─ 端点的收敛性判别
│   │
│   ├─ 二、收敛半径的计算
│   │   ├─ 比值判别法（定理14.2）
│   │   ├─ 根值判别法（Cauchy-Hadamard定理14.3）
│   │   ├─ 缺项级数的处理
│   │   └─ 特殊情形（R=0, R=∞）
│   │
│   └─ 三、一致收敛性
│       ├─ 收敛区间内的一致收敛（定理14.4）
│       ├─ 端点处的一致收敛（定理14.5）
│       └─ Abel判别法的应用
│
├─ §14.2 幂级数的性质
│   ├─ 一、连续性
│   │   ├─ 收敛区间内的连续性（定理14.6(i)）
│   │   ├─ 端点的单侧连续性（定理14.6(ii)）
│   │   └─ 和函数的连续性
│   │
│   ├─ 二、可微性（逐项求导）
│   │   ├─ 导函数级数的收敛半径（定理14.7）
│   │   ├─ 逐项求导定理（定理14.8(i)）
│   │   ├─ 可以逐项求导任意次（推论1）
│   │   └─ Taylor系数的确定（推论2）
│   │
│   ├─ 三、可积性（逐项积分）
│   │   ├─ 积分级数的收敛半径（定理14.7）
│   │   ├─ 逐项积分定理（定理14.8(ii)）
│   │   └─ 原函数的幂级数表示
│   │
│   └─ 四、幂级数的运算
│       ├─ 幂级数相等的定义（定义1）
│       ├─ 系数唯一性定理（定理14.9）
│       ├─ 加减运算（定理14.10）
│       ├─ 乘法运算（Cauchy乘积）
│       └─ 复合运算
│
├─ §14.3 幂级数展开
│   ├─ 一、Taylor级数
│   ├─ 二、初等函数的展开
│   ├─ 三、展开式的应用
│   └─ 四、欧拉公式
│
└─ §14.4 应用
    ├─ 函数值的近似计算
    ├─ 微分方程的级数解
    ├─ 极限计算
    └─ 积分计算

§14.1 幂级数的收敛性

CONVERGENCE OF POWER SERIES

从Abel定理到收敛半径
The Foundation of Power Series Theory

一、基本概念与定义

1.1 幂级数的定义

定义（幂级数）

形如 $n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n} = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + \dots (1)$

的函数项级数称为幂级数（power series），其中：

$a_{n}$ 称为系数（coefficients）
$x_{0}$ 称为中心（center）
$x$ 是变量

标准形式：

通过变量替换 $t = x - x_{0}$ ，可将 (1) 化为以原点为中心的幂级数：

$n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + \dots (2)$

本章主要讨论标准形式 (2)，一般情形可通过平移得到。

几何意义：

幂级数可以看作多项式的无穷延伸：

$P_{0} (x) P_{1} (x) P_{2} (x) P_{n} (x) f (x) = a_{0} = a_{0} + a_{1} x = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} ⋮ = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} ⋮ = n \to \infty lim P_{n} (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$

问题：这个极限在哪里存在？如何收敛？

二、Abel定理：收敛性的基础

2.1 定理陈述

定理14.1（Abel定理）

设幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。

(I) 收敛推断：若幂级数在 $x = x_{1} \neq = 0$ 处收敛，则对所有满足 $∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣$ 的 $x$ ，幂级数绝对收敛。

(II) 发散推断：若幂级数在 $x = x_{2}$ 处发散，则对所有满足 $∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣$ 的 $x$ ，幂级数发散。

证明（第一部分）：

设 $\sum a_{n} x_{1}^{n}$ 收敛，则 ${a_{n} x_{1}^{n}}$ 收敛于零，特别地， ${a_{n} x_{1}^{n}}$ 有界：

$\exists M > 0, ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \leq M, \forall n \geq 0$

对任意 $∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣$ ，设 $r = \frac{∣ x ∣}{∣ x _{1} ∣} < 1$ ，则：

$∣ a_{n} x^{n} ∣ = ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \cdot \frac{x}{x _{1}}^{n} \leq M r^{n}$

由于几何级数 $\sum M r^{n}$ 收敛（ $r < 1$ ），由比较判别法， $\sum ∣ a_{n} x^{n} ∣$ 收敛，即幂级数在 $x$ 处绝对收敛。 $□$

证明（第二部分）：

用反证法。设 $\sum a_{n} x_{2}^{n}$ 发散。

假设存在 $x_{0}$ 满足 $∣ x_{0} ∣ > ∣ x_{2} ∣$ 且 $\sum a_{n} x_{0}^{n}$ 收敛。

由第一部分， $\sum a_{n} x^{n}$ 在 $∣ x ∣ < ∣ x_{0} ∣$ 上绝对收敛。

特别地，在 $x = x_{2}$ 处（ $∣ x_{2} ∣ < ∣ x_{0} ∣$ ）应该绝对收敛。

这与假设 $\sum a_{n} x_{2}^{n}$ 发散矛盾！

因此，对所有 $∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣$ ，幂级数必发散。 $□$

2.2 Abel定理的几何意义

        发散区域     |  收敛区域  |    收敛区域    |  发散区域
    ←---------------|------------|----------------|-------------→
                   -R           0               R
    
    |x| > R: 发散
    |x| < R: 绝对收敛
    x = ±R: 需要具体判断

核心洞察：

Abel定理揭示了幂级数收敛性的"中心对称性"：

如果在某点收敛，则在更靠近原点的所有点都收敛
如果在某点发散，则在更远离原点的所有点都发散
收敛域必定是以原点为中心的区间

这是幂级数与一般函数项级数的根本区别！

三、收敛半径与收敛区间

3.1 基本定义

定义（收敛半径）

设幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ 的收敛域为某区间 $I$ ，定义：

$R = sup {∣ x ∣ : x \in I}$

称 $R$ 为该幂级数的收敛半径（radius of convergence）。

收敛区间（interval of convergence）： $(- R, R)$

收敛域（domain of convergence）：可能包含端点 $\pm R$

三种情况：

收敛半径	收敛区间	收敛域可能形式	例子
$R = 0$	${0}$	${0}$	$\sum n! x^{n}$
$0 < R < \infty$	$(- R, R)$	$(- R, R)$ , $[- R, R)$ , $(- R, R]$ , $[- R, R]$	$\sum \frac{x ^{n}}{n}$
$R = \infty$	$(- \infty, \infty)$	$(- \infty, \infty)$	$\sum \frac{x ^{n}}{n !}$

3.2 端点的收敛性

重要注意

在端点 $x = R$ 或 $x = - R$ 处，幂级数可能收敛也可能发散，需要具体判断！

Abel定理只保证了开区间 $(- R, R)$ 内的收敛性。

四种端点情况：

端点行为	收敛域	典型例子
两端都收敛	$[- R, R]$	$\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$
两端都发散	$(- R, R)$	$\sum x^{n}$
左端收敛，右端发散	$[- R, R)$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{n}}{n}$
左端发散，右端收敛	$(- R, R]$	$\sum \frac{x ^{n}}{n}$

四、收敛半径的计算方法

4.1 比值判别法

定理14.2（比值法求收敛半径）

对于幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ ，若 $n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ρ$ 存在，则：

(i) 当 $0 < ρ < \infty$ 时， $R = \frac{1}{ρ}$

(ii) 当 $ρ = 0$ 时， $R = + \infty$

(iii) 当 $ρ = + \infty$ 时， $R = 0$

证明：

对级数 $\sum ∣ a_{n} x^{n} ∣$ ，应用比值判别法（定理12.7）：

$n \to \infty lim \frac{∣ a _{n + 1} x ^{n + 1} ∣}{∣ a _{n} x ^{n} ∣} = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \cdot ∣ x ∣ = ρ ∣ x ∣$

当 $ρ ∣ x ∣ < 1$ 时，级数绝对收敛 $\Rightarrow ∣ x ∣ < \frac{1}{ρ} = R$
当 $ρ ∣ x ∣ > 1$ 时，级数发散 $\Rightarrow ∣ x ∣ > \frac{1}{ρ} = R$
因此 $R = \frac{1}{ρ}$

特殊情况：

$ρ = 0 \Rightarrow$ 对所有 $x$ 都有 $ρ ∣ x ∣ = 0 < 1 \Rightarrow R = \infty$
$ρ = \infty \Rightarrow$ 对 $x \neq = 0$ 都有 $ρ ∣ x ∣ = \infty > 1 \Rightarrow R = 0$

$□$

4.2 根值判别法（Cauchy-Hadamard定理）

定理14.3（Cauchy-Hadamard定理）

对于幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ ，设 $ρ = n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ (5)$ 则：

(i) 当 $0 < ρ < \infty$ 时， $R = \frac{1}{ρ}$

(ii) 当 $ρ = 0$ 时， $R = + \infty$

(iii) 当 $ρ = + \infty$ 时， $R = 0$

优势：

上极限 $lim sup$ 总是存在（可能为 $\infty$ ）
即使 $lim n ∣ a_{n} ∣$ 不存在，定理仍然适用
是最一般的收敛半径公式

证明思路：

应用根值判别法（定理12.8）：

$n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} x^{n} ∣ = n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ \cdot ∣ x ∣ = ρ ∣ x ∣$

$ρ ∣ x ∣ < 1 \Rightarrow$ 绝对收敛
$ρ ∣ x ∣ > 1 \Rightarrow$ 发散
因此 $R = \frac{1}{ρ}$

$□$

4.3 计算方法对比

方法	公式	适用情况	优点	缺点
比值法	$R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$	极限存在时	计算简单	极限可能不存在
根值法	$R = \frac{1}{lim sup n ∥ a _{n} ∥}$	总是适用	普适性强	上极限计算复杂

使用建议：

优先尝试比值法（简单）
比值法不适用时用根值法
缺项级数特殊处理

五、典型例题详解

例1：基本幂级数

例1：求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ 的收敛域。

解：

第1步：计算收敛半径

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{n ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}} = 1$

因此 $R = \frac{1}{1} = 1$ ，收敛区间为 $(- 1, 1)$ 。

第2步：检验端点

在 $x = 1$ 时： $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$ 这是收敛的 $p$ -级数（ $p = 2 > 1$ ）。✓

在 $x = - 1$ 时： $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ 绝对收敛（同上）。✓

结论：收敛域为 $[- 1, 1]$ 。 $□$

例2：交错级数

例2：求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$ 的收敛域。

解：

第1步：计算收敛半径

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1$

因此 $R = 1$ ，收敛区间为 $(- 1, 1)$ 。

第2步：检验端点

在 $x = 1$ 时： $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 这是交错调和级数，由Leibniz判别法，条件收敛。✓

在 $x = - 1$ 时： $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} \cdot ( - 1 ) ^{n}}{n} = n = 1 \sum \infty \frac{- 1}{n} = - n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$ 这是调和级数，发散。✗

结论：收敛域为 $(- 1, 1]$ （半开区间）。 $□$

例3：阶乘级数

例3：讨论级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ 和 $\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$ 的收敛半径。

解：

(a) $\sum \frac{x ^{n}}{n !}$ ：

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{n !}{( n + 1 )!} = n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0$

因此 $R = \frac{1}{0} = + \infty$ ，在整个实轴 $(- \infty, \infty)$ 上收敛。

（这是指数函数 $e^{x}$ 的幂级数展开！）

(b) $\sum n! x^{n}$ ：

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 )!}{n !} = n \to \infty lim (n + 1) = + \infty$

因此 $R = \frac{1}{\infty} = 0$ ，只在 $x = 0$ 处收敛。

$□$

例4：缺项级数

例4：求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{2 n}}{( n - 3 ) 2 ^{n}}$ 的收敛域。

解：

这是缺项级数（只有偶次幂），不能直接用比值法。

方法1：变量替换

令 $y = x^{2}$ ，级数变为： $n = 1 \sum \infty \frac{y ^{n}}{( n - 3 ) 2 ^{n}}$

对 $y$ 的级数： $n \to \infty lim \frac{( n - 3 ) 2 ^{n}}{( n - 2 ) 2 ^{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{n - 3}{2 ( n - 2 )} = \frac{1}{2}$

因此 $R_{y} = 2$ ，即 $∣ y ∣ < 2 \Rightarrow ∣ x^{2} ∣ < 2 \Rightarrow ∣ x ∣ < 2$ 。

检验端点： $x = \pm 2$ 时， $y = 2$ ，级数为： $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n - 3}$

当 $n \geq 4$ 时，类似调和级数，发散。

结论：收敛域为 $(- 2, 2)$ 。 $□$

方法2：直接估计

注意到当 $∣ x ∣ < 2$ 时： $\frac{x ^{2 (n + 1)}}{( n - 2 ) 2 ^{n + 1}} \div \frac{x ^{2 n}}{( n - 3 ) 2 ^{n}} = \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \frac{x ^{2}}{2}$

当 $n$ 充分大时， $\approx \frac{x ^{2}}{2}$ 。

$\frac{x ^{2}}{2} < 1 \Rightarrow ∣ x ∣ < 2$ ：收敛
$\frac{x ^{2}}{2} > 1 \Rightarrow ∣ x ∣ > 2$ ：发散

$□$

例5：一般幂级数

例5：求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( x - 1 ) ^{n}}{2 ^{n} \cdot n}$ 的收敛域。

解：

这是中心在 $x_{0} = 1$ 的幂级数。

令 $t = x - 1$ ，级数变为： $n = 1 \sum \infty \frac{t ^{n}}{2 ^{n} \cdot n}$

第1步：计算收敛半径

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{2 ^{n} \cdot n}{2 ^{n + 1} \cdot ( n + 1 )} = n \to \infty lim \frac{n}{2 ( n + 1 )} = \frac{1}{2}$

因此 $R = \frac{1}{1/2} = 2$ ，即 $∣ t ∣ < 2 \Rightarrow ∣ x - 1∣ < 2$ 。

收敛区间： $- 1 < x < 3$ 。

第2步：检验端点

在 $x = - 1$ 时（ $t = - 2$ ）： $n = 1 \sum \infty \frac{( - 2 ) ^{n}}{2 ^{n} \cdot n} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ 交错调和级数，条件收敛。✓

在 $x = 3$ 时（ $t = 2$ ）： $n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{2 ^{n} \cdot n} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$ 调和级数，发散。✗

结论：收敛域为 $[- 1, 3)$ 。 $□$

六、一致收敛性

6.1 收敛区间内的一致收敛

定理14.4（内部一致收敛）

若幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，则该幂级数在收敛区间 $(- R, R)$ 内的任何闭区间 $[a, b]$ 上都一致收敛。

证明：

设 $x_{0} = max {∣ a ∣, ∣ b ∣} < R$ ，则对 $[a, b]$ 上任意 $x$ ： $∣ a_{n} x^{n} ∣ \leq ∣ a_{n} x_{0}^{n} ∣$

由于 $\sum a_{n} x_{0}^{n}$ 在 $x_{0}$ 处绝对收敛，数值级数 $\sum ∣ a_{n} x_{0}^{n} ∣$ 收敛。

由Weierstrass M判别法（定理13.4）， $\sum a_{n} x^{n}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。 $□$

几何理解：

         ←―――――[a, b]―――――→
    ────|──────────────────|────
       -R      -x₀  0  x₀       R
       
在 [a,b] 上：|aₙxⁿ| ≤ |aₙx₀ⁿ| ≤ Mₙ
级数 ΣMₙ 收敛 → 一致收敛

6.2 端点处的一致收敛

定理14.5（端点一致收敛）

若幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，且在 $x = R$ 处收敛，则该幂级数在区间 $[0, R]$ 上一致收敛。

类似地，若在 $x = - R$ 处收敛，则在 $[- R, 0]$ 上一致收敛。

证明：

设 $\sum a_{n} R^{n}$ 收敛。对任意 $x \in [0, R]$ ，有 $0 \leq x \leq R$ ，因此： $0 \leq a_{n} x^{n} \leq a_{n} R^{n} (假设 a_{n} \geq 0)$

对于一般情况，考虑部分和余项： $R_{n} (x) = k = n + 1 \sum \infty a_{k} x^{k}$

由Abel判别法（定理13.7）：

数列 ${x^{n}}$ 在 $[0, R]$ 上单调有界
级数 $\sum a_{n} R^{n}$ 收敛

因此 $\sum a_{n} x^{n}$ 在 $[0, R]$ 上一致收敛。 $□$

重要注意：

⚠️ 注意区别

定理14.4：在 $(- R, R)$ 内部任何闭区间上一致收敛（不包含端点）
定理14.5：若端点收敛，则在包含端点的区间上一致收敛

关键：端点的收敛性决定了能否将一致收敛延拓到端点。

例子：

级数	收敛域	一致收敛域
$\sum \frac{x ^{n}}{n}$	$(- 1, 1]$	$(- r, r]$ 对任意 $0 < r < 1$ ，以及 $[0, 1]$
$\sum x^{n}$	$(- 1, 1)$	$[- r, r]$ 对任意 $0 < r < 1$ （不含端点）
$\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$	$[- 1, 1]$	$[- 1, 1]$ （整个收敛域）

七、小结：§14.1核心要点

§14.1 幂级数收敛性·核心要点

一、Abel定理（基石）

收敛点内部：绝对收敛
发散点外部：发散
收敛域：以原点为中心的区间

二、收敛半径

定义： $R = sup {∣ x ∣ : x \in 收敛域}$
比值法： $R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$ （极限存在时）
根值法： $R = \frac{1}{lim sup n ∣ a _{n} ∣}$ （总适用）

三、收敛域确定

计算收敛半径 $R$
得到收敛区间 $(- R, R)$
分别检验端点 $x = \pm R$
确定收敛域（四种可能）

四、一致收敛性

内部任何闭区间：一致收敛
端点：若收敛，则一致收敛可延拓至端点

五、计算流程图

给定幂级数 Σaₙxⁿ
    ↓
计算 ρ = lim |aₙ₊₁/aₙ| 或 limsup ⁿ√|aₙ|
    ↓
求 R = 1/ρ
    ↓
收敛区间：(-R, R)
    ↓
检验端点 x = ±R
    ↓
确定收敛域

§14.2 幂级数的性质

PROPERTIES OF POWER SERIES

从收敛到应用：解析性质的揭示
The Analytic Nature of Power Series

一、连续性定理

1.1 基本定理

定理14.6（连续性）

设幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，和函数为 $S (x)$ 。

(i) $S (x)$ 在收敛区间 $(- R, R)$ 内连续。

(ii) 若幂级数在 $x = R$ 处收敛，则 $S (x)$ 在 $x = R$ 处左连续： $x \to R^{-} lim S (x) = S (R)$

类似地，若在 $x = - R$ 处收敛，则 $S (x)$ 在 $x = - R$ 处右连续。

证明：

(i) 由定理14.4，幂级数在 $(- R, R)$ 内任何闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛。

每一项 $a_{n} x^{n}$ 都是连续函数。

由定理13.9（一致收敛保持连续性）， $S (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

由 $a, b$ 的任意性， $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 上连续。

(ii) 若级数在 $x = R$ 处收敛，由定理14.5，级数在 $[0, R]$ 上一致收敛。

由定理13.9， $S (x)$ 在 $[0, R]$ 上连续，特别地在 $x = R$ 处左连续。 $□$

1.2 连续性的意义

核心洞察：

幂级数的和函数在收敛区间内自动成为连续函数，这是幂级数的重要优势！

多项式（有限和）连续
幂级数（无穷和）也连续
这是从有限到无穷的完美过渡

应用举例：

例6：证明 $S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ 在 $x = 1$ 处左连续。

证明：

由例2知，级数在 $x = 1$ 处收敛，收敛域为 $(- 1, 1]$ 。

由定理14.6(ii)， $S (x)$ 在 $x = 1$ 处左连续： $x \to 1^{-} lim S (x) = S (1) = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} \cdot \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{1} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$

（这实际上等于 $ln 2$ ，我们将在§14.3中证明） $□$

二、可微性定理（逐项求导）

2.1 导函数级数的收敛半径

定理14.7（导数级数的收敛半径）

若幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则其导函数级数 $n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} (6)$ 的收敛半径也是 $R$ 。

证明：

对导函数级数应用根值判别法： $n \to \infty lim sup n ∣ n a_{n} ∣ = n \to \infty lim sup n n \cdot n ∣ a_{n} ∣$

由于 $n n \to 1$ （ $n \to \infty$ ），有： $n \to \infty lim sup n ∣ n a_{n} ∣ = 1 \cdot n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ = n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣$

因此导函数级数的收敛半径与原级数相同。 $□$

重要注意：

⚠️ 端点行为可能不同

虽然收敛半径相同，但在端点处的收敛性可能改变！

例子：

原级数： $\sum \frac{x ^{n}}{n}$ 在 $x = 1$ 处收敛
导函数级数： $\sum x^{n - 1}$ 在 $x = 1$ 处发散

端点需要重新判断！

2.2 逐项求导定理

定理14.8（逐项求导）

设幂级数 $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，则：

(i) $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内可导，且导数可以逐项求： $S^{'} (x) = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} = n = 1 \sum \infty (a_{n} x^{n})^{'} (7)$

(ii) $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内具有各阶导数，可以逐项求导任意次。

证明：

(i) 由定理14.7，导函数级数的收敛半径也是 $R$ 。

由定理14.4，导函数级数在 $(- R, R)$ 内任何闭区间上一致收敛。

每一项 $(a_{n} x^{n})^{'} = n a_{n} x^{n - 1}$ 连续。

由定理13.11（逐项求导定理）： $S^{'} (x) = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1}$

(ii) 对 $S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ 再次应用 (i)： $S^{''} (x) = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$

由数学归纳法， $S (x)$ 有各阶导数： $S^{(k)} (x) = n = k \sum \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} x^{n - k}$

$□$

2.3 重要推论

推论1（无穷次可微性）

幂级数的和函数在收敛区间内是无穷次可微的（即解析函数）。

推论2（系数公式）

若 $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(- R, R)$ 内，则： $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !} (8)$

推论2的证明：

在 $x = 0$ 处求 $k$ 阶导数： $S^{(k)} (0) = n = k \sum \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} \cdot 0^{n - k}$

只有 $n = k$ 项非零： $S^{(k)} (0) = k (k - 1) \dots 1 \cdot a_{k} = k! \cdot a_{k}$

因此： $a_{k} = \frac{S ^{(k)} ( 0 )}{k !}$

$□$

意义：

推论2揭示了深刻的事实：

幂级数的系数完全由和函数在原点的各阶导数值决定！

这是Taylor级数理论的基础（§14.3将详细讨论）。

$a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !} \Rightarrow S (x) = n = 0 \sum \infty \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$

这就是Taylor展开式！

三、可积性定理（逐项积分）

3.1 积分级数的收敛半径

定理14.7'（积分级数的收敛半径）

若幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则其积分级数 $n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} (9)$ 的收敛半径也是 $R$ 。

证明：类似定理14.7。 $□$

3.2 逐项积分定理

定理14.8'（逐项积分）

设 $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，则对任意 $x \in (- R, R)$ ： $\int_{0}^{x} S (t) d t = n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} = n = 0 \sum \infty \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t (10)$

证明：

由定理14.4， $\sum a_{n} t^{n}$ 在 $[0, x]$ （或 $[x, 0]$ ）上一致收敛。

每一项 $a_{n} t^{n}$ 连续。

由定理13.10（逐项积分定理）： $\int_{0}^{x} n = 0 \sum \infty a_{n} t^{n} d t = n = 0 \sum \infty \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t = n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$

$□$

3.3 应用举例

例7：求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ 的和函数。

解：

第1步：考虑导函数

设 $S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ ，则： $S^{'} (x) = n = 1 \sum \infty x^{n - 1} = n = 0 \sum \infty x^{n}$

这是几何级数，收敛半径 $R = 1$ 。

在 $∣ x ∣ < 1$ 时： $S^{'} (x) = \frac{1}{1 - x}$

第2步：积分得到和函数

$S (x) = \int_{0}^{x} S^{'} (t) d t = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t} d t = - ln (1 - x)_{0}^{x} = - ln (1 - x)$

因此： $S (x) = - ln (1 - x), ∣ x ∣ < 1$

第3步：利用连续性求端点值

在 $x = 1$ 处，级数收敛（交错调和级数）。

由定理14.6(ii)， $S (x)$ 在 $x = 1$ 处左连续： $S (1) = x \to 1^{-} lim (- ln (1 - x)) = - ln 0^{+} = + \infty$

矛盾？不，因为 $- ln (1 - x) \to + \infty$ 当 $x \to 1^{-}$ 。

但级数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 收敛，所以需要重新考虑...

修正：注意到 $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = ln 2$

所以在 $x = 1$ 时， $S (1) = ln 2$ ，而 $- ln (1 - 1)$ 不确定。

实际上， $S (x) = - ln (1 - x)$ 仅在 $(- 1, 1)$ 内成立。

通过连续性延拓到端点： $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2$

$□$

四、幂级数的运算

4.1 幂级数相等的定义

定义1（幂级数相等）

若两个幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} 和 n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n}$ 在某个区间 $(- δ, δ)$ （ $δ > 0$ ）上收敛到相同的和函数，则称这两个幂级数相等，记作： $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n}$

4.2 系数唯一性定理

定理14.9（系数唯一性）

若两个幂级数在 $(- δ, δ)$ 上相等，则它们的对应系数必相等： $a_{n} = b_{n}, n = 0, 1, 2, \dots$

证明：

设 $S (x) = \sum a_{n} x^{n} = \sum b_{n} x^{n}$ 在 $(- δ, δ)$ 上。

由推论2（系数公式）： $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}, b_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}$

因此 $a_{n} = b_{n}$ 。 $□$

意义：

函数的幂级数表示是唯一的！

如果一个函数能展开成幂级数，展开式是唯一确定的（在收敛区间内）。

这为Taylor级数的唯一性提供了理论基础。

4.3 幂级数的加减法

定理14.10（加减运算）

设幂级数 $\sum a_{n} x^{n}$ 和 $\sum b_{n} x^{n}$ 的收敛半径分别为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ，令 $R = min {R_{1}, R_{2}}$ 。

则在 $(- R, R)$ 内： $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} \pm n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty (a_{n} \pm b_{n}) x^{n} (11)$

证明：显然。 $□$

4.4 幂级数的乘法（Cauchy乘积）

定理14.11（乘法运算）

设 $\sum a_{n} x^{n}$ 和 $\sum b_{n} x^{n}$ 的收敛半径分别为 $R_{1}, R_{2} > 0$ ，令 $R = min {R_{1}, R_{2}}$ 。

则在 $∣ x ∣ < R$ 内： $(n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}) (n = 0 \sum \infty b_{n} x^{n}) = n = 0 \sum \infty c_{n} x^{n} (12)$

其中 $c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} = a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{0}$

称为Cauchy乘积系数。

证明思路：

在收敛半径内，两个幂级数都绝对收敛。

由Cauchy乘积定理（定理12.18），绝对收敛级数的乘积等于Cauchy乘积。 $□$

应用举例：

例8：利用 $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ ，验证 $e^{x} \cdot e^{x} = e^{2 x}$ 。

解：

$e^{x} \cdot e^{x} = (n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !})^{2} = n = 0 \sum \infty c_{n} x^{n}$

其中 $c_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \cdot \frac{1}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) = \frac{2 ^{n}}{n !}$

因此 $e^{x} \cdot e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{2 ^{n} x ^{n}}{n !} = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 x ) ^{n}}{n !} = e^{2 x}$

✓ $□$

4.5 幂级数的复合

定理14.12（复合运算）

设 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $∣ x ∣ < R_{1}$ 内收敛， $g (t) = \sum_{m = 0}^{\infty} b_{m} t^{m}$ 在 $∣ t ∣ < R_{2}$ 内收敛。

若 $∣ f (x) ∣ < R_{2}$ 对 $∣ x ∣ < r < R_{1}$ 成立，则复合函数 $g (f (x))$ 在 $∣ x ∣ < r$ 内可展开为幂级数。

应用举例：

例9：求 $e^{s i n x}$ 的前几项展开。

解：

已知： $e^{t} = 1 + t + \frac{t ^{2}}{2 !} + \frac{t ^{3}}{3 !} + \dots$ $sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$

代入 $t = sin x$ ： $e^{s i n x} = 1 + sin x + \frac{( sin x ) ^{2}}{2} + \frac{( sin x ) ^{3}}{6} + \dots$

$= 1 + (x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots) + \frac{1}{2} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots)^{2} + \dots$

$= 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + (- \frac{1}{6} + \frac{1}{6}) x^{3} + \dots$

$= 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + O (x^{4})$

$□$

五、小结：§14.2核心要点

§14.2 幂级数性质·核心要点

一、三大解析性质

性质	定理	核心内容
连续性	14.6	收敛区间内连续；端点若收敛则单侧连续
可微性	14.8	可逐项求导任意次；无穷次可微
可积性	14.8'	可逐项积分；原函数也是幂级数

二、关键定理

收敛半径不变性（定理14.7）
- 导函数级数与原级数有相同收敛半径
- 积分级数与原级数有相同收敛半径
- 但端点行为可能改变！
系数唯一性（定理14.9）
- 幂级数表示唯一
- $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}$
运算封闭性（定理14.10-14.12）
- 加减：系数相加减
- 乘法：Cauchy乘积
- 复合：逐项代入

三、应用流程

问题：求 S(x) = Σaₙxⁿ 的和函数
    ↓
方法1：逐项求导
    S'(x) = Σnaₙx^(n-1) → 识别几何级数等
    → 积分回去 → S(x)
    
方法2：逐项积分
    ∫S(x)dx = Σ(aₙ/(n+1))x^(n+1) → 识别
    → 求导回去 → S(x)
    
方法3：运算法
    S(x) = S₁(x) ± S₂(x) → 已知S₁, S₂
    S(x) = S₁(x) · S₂(x) → Cauchy乘积

四、注意事项

⚠️ 逐项求导后端点需重新判断 ⚠️ 连续性可用于求端点处级数和 ⚠️ 系数唯一性是Taylor理论基础

§14.3 函数的幂级数展开

TAYLOR SERIES EXPANSION

从函数到级数：Taylor的遗产
The Crown Jewel of Calculus

一、Taylor级数基本理论

1.1 Taylor级数的定义

定义2（Taylor级数）

设函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 的某邻域内有任意阶导数，则形式幂级数 $n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} (13)$ 称为 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的Taylor级数。

特别地，当 $x_{0} = 0$ 时，称为Maclaurin级数： $n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} (14)$

1.2 Taylor展开的条件

核心问题

函数 $f (x)$ 的Taylor级数是否收敛到 $f (x)$ ？

即是否有 $f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} ?$

定理14.13（Taylor展开定理）

$f (x)$ 能在 $(x_{0} - R, x_{0} + R)$ 内展开成Taylor级数的充要条件是：

Taylor公式的余项 $R_{n} (x) \to 0$ ( $n \to \infty$ )，即： $n \to \infty lim R_{n} (x) = n \to \infty lim \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1} = 0 (15)$

其中 $ξ$ 在 $x_{0}$ 与 $x$ 之间。

证明：

由Taylor公式（定理7.3）： $f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} + R_{n} (x)$

$f (x)$ 等于其Taylor级数 $⟺$ $R_{n} (x) \to 0$ 。 $□$

1.3 常用判别准则

准则1（导数有界）

若存在常数 $M$ ，使得对一切 $n$ 和 $∣ x - x_{0} ∣ < R$ ： $∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M (16)$

则 $f (x)$ 在 $(x_{0} - R, x_{0} + R)$ 内可展开成Taylor级数。

证明：

$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1} \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1}$

由于 $\frac{∣ x - x _{0} ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \to 0$ （ $n \to \infty$ ），有 $R_{n} (x) \to 0$ 。 $□$

准则2（特殊形式）

若对某个 $a > 0$ ，余项可表示为： $∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{a ^{n}}{n !} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1} (17)$

则 $R_{n} (x) \to 0$ 。

二、初等函数的Taylor展开

2.1 指数函数

定理14.14

$e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots, x \in R (18)$

证明：

$f (x) = e^{x}$ ，则 $f^{(n)} (x) = e^{x}$ 对所有 $n$ 。

对任意 $x \in R$ ，取 $M = e^{∣ x ∣}$ ，则： $∣ f^{(n)} (t) ∣ = e^{t} \leq e^{∣ x ∣} = M, \forall t \in [0, x]$

由准则1， $e^{x}$ 在 $R$ 上可展开。

由推论2（系数公式）： $a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} = \frac{e ^{0}}{n !} = \frac{1}{n !}$

因此得到展开式 (18)。 $□$

2.2 三角函数

定理14.15

$sin x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots, x \in R (19)$

$cos x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} + \dots, x \in R (20)$

证明（以 $sin x$ 为例）：

$f (x) = sin x$ ，则： $f^{(n)} (x) = sin (x + nπ /2)$

因此 $∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq 1$ 对所有 $x, n$ 。

由准则1， $sin x$ 在 $R$ 上可展开。

计算系数： $f^{(2 n)} (0) = sin (nπ) = 0$ $f^{(2 n + 1)} (0) = sin ((2 n + 1) π /2) = (- 1)^{n}$

因此： $a_{2 n} = 0, a_{2 n + 1} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!}$

得到展开式 (19)。 $□$

2.3 对数函数

定理14.16

$ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + \dots, x \in (- 1, 1] (21)$

证明方法1（逐项积分）：

由几何级数： $\frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n}, ∣ x ∣ < 1$

逐项积分（定理14.8'）： $\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t} d t = \int_{0}^{x} n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} t^{n} d t = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$

即： $ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n}, ∣ x ∣ < 1$

端点 $x = 1$ ：

级数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 收敛（交错调和级数）。

由定理14.6(ii)， $ln (1 + x)$ 在 $x = 1$ 处左连续： $ln 2 = x \to 1^{-} lim ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$

因此展开式在 $x = 1$ 处也成立。 $□$

2.4 幂函数（二项级数）

定理14.17（二项级数）

对任意实数 $α$ ： $(1 + x)^{α} = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n}, ∣ x ∣ < 1 (22)$

其中广义二项系数： $(n α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}$

特殊情形：

$α = - 1$ : $(1 + x)^{- 1} = \sum (- 1)^{n} x^{n} = \frac{1}{1 + x}$
$α = 1/2$ : $(1 + x)^{1/2} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{16} - \dots$
$α = n \in N$ : 有限项，即二项定理

2.5 反三角函数

定理14.18

$arctan x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{7}}{7} + \dots, ∣ x ∣ \leq 1 (23)$

证明（逐项积分）：

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{2 n}, ∣ x ∣ < 1$

逐项积分： $arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$

端点 $x = \pm 1$ 的收敛性可由Abel判别法验证。 $□$

2.6 常用展开式总结

函数	Maclaurin展开式	收敛域
$e^{x}$	$\sum \frac{x ^{n}}{n !}$	$R$
$sin x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$	$R$
$cos x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$	$R$
$ln (1 + x)$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$	$(- 1, 1]$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum x^{n}$	$(- 1, 1)$
$\frac{1}{1 + x}$	$\sum (- 1)^{n} x^{n}$	$(- 1, 1)$
$(1 + x)^{α}$	$\sum (n α) x^{n}$	$(- 1, 1)$
$arctan x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$	$[- 1, 1]$

三、展开式的间接方法

3.1 基本策略

当直接用Taylor公式困难时，可以利用：

已知展开式（上表中的基本函数）
幂级数运算（加减、乘除、复合）
逐项求导/积分

3.2 典型例题

例10：展开 $f (x) = \frac{x}{1 - x - x ^{2}}$ 。

解：

注意到 $1 - x - x^{2} = (1 - x) (1 + x) - x^{2} = \dots$ 不易处理。

方法：待定系数+递推

设 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则： $x = f (x) (1 - x - x^{2}) = (\sum a_{n} x^{n}) (1 - x - x^{2})$

展开右边并比较系数： $x = a_{0} + (a_{1} - a_{0}) x + (a_{2} - a_{1} - a_{0}) x^{2} + \dots$

比较系数：

$x^{0}$ : $a_{0} = 0$
$x^{1}$ : $a_{1} - a_{0} = 1 \Rightarrow a_{1} = 1$
$x^{n}$ ( $n \geq 2$ ): $a_{n} - a_{n - 1} - a_{n - 2} = 0$

递推关系： $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （Fibonacci数列！）

初值： $a_{0} = 0, a_{1} = 1$

因此： $a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, \dots$

结论： $\frac{x}{1 - x - x ^{2}} = n = 1 \sum \infty F_{n} x^{n}$

其中 $F_{n}$ 是第 $n$ 个Fibonacci数。 $□$

例11：展开 $e^{x} cos x$ 。

解方法1（乘法）：

$e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}, cos x = \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$

Cauchy乘积...（计算繁琐）

解方法2（复数）：

利用Euler公式（将在下节介绍）： $e^{i x} = cos x + i sin x$

因此： $cos x = Re (e^{i x})$

$e^{x} cos x = Re (e^{x} \cdot e^{i x}) = Re (e^{(1 + i) x})$

$= Re (\sum \frac{( 1 + i ) ^{n} x ^{n}}{n !})$

展开 $(1 + i)^{n}$ 并取实部...

解方法3（微分方程）：

设 $y = e^{x} cos x$ ，求导： $y^{'} = e^{x} (cos x - sin x)$ $y^{''} = e^{x} (- 2 sin x) = - 2 e^{x} sin x$

结合 $y^{'} = e^{x} (cos x - sin x)$ ，可得： $y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0$

这是线性微分方程，可以用级数解法...（见§14.4）

$□$

四、欧拉公式

4.1 复数幂级数

定义：对复数 $z = x + i y$ ，定义：

$e^{z} = n = 0 \sum \infty \frac{z ^{n}}{n !} (24)$

（收敛半径 $R = \infty$ ，在整个复平面收敛）

4.2 欧拉公式

定理14.19（Euler公式）

对任意实数 $x$ ： $e^{i x} = cos x + i sin x (25)$

证明：

$e^{i x} = n = 0 \sum \infty \frac{( i x ) ^{n}}{n !} = n = 0 \sum \infty \frac{i ^{n} x ^{n}}{n !}$

分离实部和虚部：

$i^{2 n} = (- 1)^{n}$ （实）
$i^{2 n + 1} = i \cdot (- 1)^{n}$ （虚）

$e^{i x} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!} + i n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$

$= cos x + i sin x$

$□$

4.3 重要推论

推论1（三角函数的指数表示）：

$cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}, sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i} (26)$

推论2（欧拉恒等式）：

取 $x = π$ ： $e^{iπ} = cos π + i sin π = - 1$

即： $e^{iπ} + 1 = 0$

这被誉为"数学中最美的公式"，将五个最重要的数学常数联系在一起：

$e$ （自然对数的底）
$i$ （虚数单位）
$π$ （圆周率）
$1$ （乘法单位元）
$0$ （加法单位元）

推论3（复指数的性质）：

$e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}} \cdot e^{z_{2}}$

（可由幂级数乘法验证）

五、小结：§14.3核心要点

§14.3 幂级数展开·核心要点

一、Taylor展开理论

定义： $\sum \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$
充要条件：余项 $R_{n} (x) \to 0$
充分条件： $∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M$ 或其他控制条件

二、基本函数展开式（必须记忆！）

指数： $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ ， $x \in R$
三角： $sin x, cos x$ ， $x \in R$
对数： $ln (1 + x) = \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$ ， $x \in (- 1, 1]$
几何： $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ ， $∣ x ∣ < 1$
二项： $(1 + x)^{α} = \sum (n α) x^{n}$ ， $∣ x ∣ < 1$
反正切： $arctan x = \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ ， $∣ x ∣ \leq 1$

三、间接展开方法

利用已知展开式
幂级数运算（加减乘除复合）
逐项求导/积分
待定系数法

四、欧拉公式

$e^{i x} = cos x + i sin x$
$e^{iπ} + 1 = 0$ （最美公式）
连接代数、几何、分析

§14.4 幂级数的应用

APPLICATIONS OF POWER SERIES

从理论到实践：级数的威力
The Power of Series in Action

一、函数值的近似计算

1.1 基本方法

原理：

若 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x = x_{0}$ 处收敛，则： $f (x_{0}) \approx S_{N} (x_{0}) = n = 0 \sum N a_{n} x_{0}^{n}$

误差估计： $∣ f (x_{0}) - S_{N} (x_{0}) ∣ = ∣ R_{N} (x_{0}) ∣ \leq n = N + 1 \sum \infty ∣ a_{n} x_{0}^{n} ∣$

对于交错级数，误差不超过首项： $∣ R_{N} (x_{0}) ∣ \leq ∣ a_{N + 1} x_{0}^{N + 1} ∣$

1.2 应用举例

例12：计算 $e$ 精确到小数点后6位。

解：

$e = e^{1} = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !}$

这是正项级数，余项： $R_{N} = n = N + 1 \sum \infty \frac{1}{n !} < \frac{1}{( N + 1 )!} (1 + \frac{1}{N + 2} + \frac{1}{( N + 2 ) ^{2}} + \dots)$

$= \frac{1}{( N + 1 )!} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{N + 2}} = \frac{N + 2}{( N + 1 )! \cdot ( N + 1 )}$

要求 $R_{N} < 0.5 \times 1 0^{- 6}$ ：

$N = 9$ : $\frac{11}{10 ! \cdot 10} \approx 3 \times 1 0^{- 8}$ ✓

计算： $S_{9} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} + \frac{1}{40320} + \frac{1}{362880}$

$\approx 2.718282$

因此 $e \approx 2.718282$ （准确到小数点后6位）。 $□$

例13：计算 $ln 2$ 精确到小数点后3位。

解：

由 $ln (1 + x) = \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$ ，取 $x = 1$ ： $ln 2 = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

这是交错级数，余项估计： $∣ R_{N} ∣ \leq \frac{1}{N + 1}$

要求 $∣ R_{N} ∣ < 0.5 \times 1 0^{- 3}$ ：

$N = 1999$ : $\frac{1}{2000} = 0.0005$ ✓

问题：需要计算2000项！太慢了。

改进方法：利用恒等式 $ln 2 = ln \frac{3}{2} + ln \frac{4}{3} = ln (1 + \frac{1}{2}) - ln (1 - \frac{1}{3})$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{24} - \dots) - (- \frac{1}{3} - \frac{1}{18} - \frac{1}{81} - \dots)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{18} + \frac{1}{24} + \frac{1}{81} - \dots$

收敛快得多，只需十几项即可。 $□$

二、微分方程的级数解法

2.1 基本思想

方法：

设微分方程的解为幂级数： $y = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$

代入方程，比较系数，建立 ${a_{n}}$ 的递推关系。

2.2 典型例题

例14：用级数方法解 $y^{'} - y = 0$ ， $y (0) = 1$ 。

解：

设 $y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则： $y^{'} = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1}$

代入方程 $y^{'} - y = 0$ ： $n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} - n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = 0$

调整指标，令 $m = n - 1$ 在第一个和中： $m = 0 \sum \infty (m + 1) a_{m + 1} x^{m} - n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = 0$

$n = 0 \sum \infty [(n + 1) a_{n + 1} - a_{n}] x^{n} = 0$

由系数唯一性（定理14.9）： $(n + 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0 \Rightarrow a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{n + 1}$

初值条件： $y (0) = a_{0} = 1$

递推： $a_{1} = \frac{a _{0}}{1} = 1$ $a_{2} = \frac{a _{1}}{2} = \frac{1}{2 !}$ $a_{3} = \frac{a _{2}}{3} = \frac{1}{3 !}$ $⋮$ $a_{n} = \frac{1}{n !}$

因此： $y = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$

验证： $e^{x}$ 确实满足 $y^{'} - y = 0$ 和 $y (0) = 1$ 。✓ $□$

例15：求解 $y^{''} + y = 0$ ， $y (0) = 0$ ， $y^{'} (0) = 1$ 。

解：

设 $y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则： $y^{'} = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1}$ $y^{''} = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$

代入方程： $n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} + n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = 0$

令 $m = n - 2$ 在第一个和中： $m = 0 \sum \infty (m + 2) (m + 1) a_{m + 2} x^{m} + n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = 0$

$n = 0 \sum \infty [(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + a_{n}] x^{n} = 0$

递推关系： $a_{n + 2} = - \frac{a _{n}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$

初值条件：

$y (0) = a_{0} = 0$
$y^{'} (0) = a_{1} = 1$

偶数项（ $n = 2 k$ ）： $a_{0} = 0 \Rightarrow a_{2} = 0 \Rightarrow a_{4} = 0 \Rightarrow \dots \Rightarrow a_{2 k} = 0$

奇数项（ $n = 2 k + 1$ ）： $a_{1} = 1$ $a_{3} = - \frac{a _{1}}{3 \cdot 2} = - \frac{1}{3 !}$ $a_{5} = - \frac{a _{3}}{5 \cdot 4} = \frac{1}{5 !}$ $a_{7} = - \frac{a _{5}}{7 \cdot 6} = - \frac{1}{7 !}$ $⋮$ $a_{2 k + 1} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )!}$

因此： $y = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )!} x^{2 k + 1} = sin x$

验证： $sin x$ 确实满足条件。✓ $□$

三、极限计算

3.1 基本方法

原理：

利用幂级数展开，可以：

化简复杂表达式
应用等价无穷小
计算不定型极限

常用技巧：

保留前几项展开
利用 $o (x^{n})$ 记号
约去公因子

3.2 典型例题

例16：计算 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{3}}$ 。

解：

利用 $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$ ：

$e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots$

$= \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{4}}{24} + \frac{x ^{5}}{120} + \dots$

$= x^{3} (\frac{1}{6} + \frac{x}{24} + \frac{x ^{2}}{120} + \dots)$

因此： $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{3}} = x \to 0 lim (\frac{1}{6} + \frac{x}{24} + \dots) = \frac{1}{6}$

$□$

例17：计算 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x - x + \frac{x ^{3}}{6}}{x ^{5}}$ 。

解：

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots$

$sin x - x + \frac{x ^{3}}{6} = \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots = \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{7}}{5040} + \dots$

$= x^{5} (\frac{1}{120} - \frac{x ^{2}}{5040} + \dots)$

因此： $x \to 0 lim \frac{sin x - x + \frac{x ^{3}}{6}}{x ^{5}} = \frac{1}{120}$

$□$

例18：计算 $lim_{x \to 0} \frac{t a n x - s i n x}{x ^{3}}$ 。

解方法1（展开）：

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots$

$cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} - \dots$

$tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots}{1 - \frac{x ^{2}}{2} + \dots}$

使用长除法或级数乘法： $tan x = (x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots) (1 + \frac{x ^{2}}{2} + \dots)$

$= x + \frac{x ^{3}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5}) = x + \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5})$

因此： $tan x - sin x = (x + \frac{x ^{3}}{3} + \dots) - (x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots)$

$= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5}) = \frac{x ^{3}}{2} + O (x^{5})$

$x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}} = \frac{1}{2}$

$□$

解方法2（更精确的展开）：

已知： $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + \frac{17 x ^{7}}{315} + \dots$

（这可以从 $tan x$ 的Taylor级数得到）

因此： $tan x - sin x = (x + \frac{x ^{3}}{3} + \dots) - (x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots) = \frac{x ^{3}}{2} + \dots$

同样得到 $lim = \frac{1}{2}$ 。 $□$

四、积分计算

4.1 不可积初等函数

问题：

某些初等函数的不定积分无法用初等函数表示，例如：

$\int e^{- x^{2}} d x$ （Gauss积分）
$\int \frac{s i n x}{x} d x$ （正弦积分）
$\int \frac{1}{l n x} d x$ （对数积分）

解决方案：利用幂级数逐项积分！

4.2 典型例题

例19：计算 $\int_{0}^{0.5} e^{- x^{2}} d x$ ，精确到 $1 0^{- 3}$ 。

解：

第1步：展开被积函数

$e^{- x^{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{( - x ^{2} ) ^{n}}{n !} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{n !}$

收敛半径 $R = \infty$ 。

第2步：逐项积分

$\int_{0}^{0.5} e^{- x^{2}} d x = \int_{0}^{0.5} n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{n !} d x$

$= n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} \int_{0}^{0.5} x^{2 n} d x$

$= n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} \cdot \frac{( 0.5 ) ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$

$= n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ! ( 2 n + 1 )} \cdot \frac{1}{2 ^{2 n + 1}}$

第3步：计算前几项

$a_{0} = \frac{1}{1 \cdot 1 \cdot 2} = 0.5$

$a_{1} = \frac{- 1}{1 \cdot 3 \cdot 8} = - 0.041 \overline{6}$

$a_{2} = \frac{1}{2 \cdot 5 \cdot 32} = 0.003125$

$a_{3} = \frac{- 1}{6 \cdot 7 \cdot 128} = - 0.000186$

$a_{4} = \frac{1}{24 \cdot 9 \cdot 512} = 0.0000090$

第4步：估计余项

这是交错级数，余项： $∣ R_{4} ∣ \leq ∣ a_{5} ∣ = \frac{1}{120 \cdot 11 \cdot 2048} < 0.0000004 < 1 0^{- 3}$

第5步：求和

$\int_{0}^{0.5} e^{- x^{2}} d x \approx 0.5 - 0.0417 + 0.0031 - 0.0002 = 0.4612$

精确到 $1 0^{- 3}$ ： $0.461$ $□$

例20：计算 $\int_{0}^{1} \frac{s i n x}{x} d x$ ，精确到 $1 0^{- 4}$ 。

解：

第1步：展开

$\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n + 1 )!}$

注意： $\frac{s i n x}{x}$ 在 $x = 0$ 处有可去间断点，可定义为1，因此整个函数连续。

第2步：逐项积分

$\int_{0}^{1} \frac{sin x}{x} d x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} \int_{0}^{1} x^{2 n} d x$

$= n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )! \cdot ( 2 n + 1 )}$

$= n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 ) ^{2} \cdot ( 2 n )!}$

第3步：计算

$a_{0} = \frac{1}{1 ^{2} \cdot 1} = 1$

$a_{1} = \frac{- 1}{3 ^{2} \cdot 2} = - \frac{1}{18} \approx - 0.0556$

$a_{2} = \frac{1}{5 ^{2} \cdot 24} = \frac{1}{600} \approx 0.0017$

$a_{3} = \frac{- 1}{7 ^{2} \cdot 720} = - \frac{1}{35280} \approx - 0.000028$

$a_{4} = \frac{1}{9 ^{2} \cdot 40320} \approx 0.0000003$

余项 $∣ R_{4} ∣ < 1 0^{- 6} < 1 0^{- 4}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{sin x}{x} d x \approx 1 - 0.0556 + 0.0017 - 0.00003 = 0.9461$

精确到 $1 0^{- 4}$ ： $0.9461$ $□$

五、特殊常数的计算

5.1 圆周率 π

Leibniz公式

由 $arctan x = \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ ，取 $x = 1$ ：

$\frac{π}{4} = arctan 1 = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots (27)$

问题：收敛太慢！需要数百万项才能得到几位小数。

改进方法：

利用恒等式： $\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} - arctan \frac{1}{239} (Machin 公式)$

代入级数展开，收敛极快！

5.2 自然对数底 e

已在例12中计算： $e = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

收敛快，易于计算。

5.3 欧拉常数 γ

定义：

$γ = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - ln n) \approx 0.5772$

称为Euler-Mascheroni常数。

利用幂级数可以计算其近似值，但直接计算较困难。

六、综合应用举例

6.1 Stirling公式的推导

问题：估计 $n!$ 对大 $n$ 的渐近行为。

Stirling公式： $n! \sim 2 πn (\frac{n}{e})^{n} (n \to \infty)$

证明思路（使用幂级数）：

考虑 $ln (n!) = k = 1 \sum n ln k$

用积分近似： $ln (n!) \approx \int_{1}^{n} ln x d x + 修正项$

利用Euler-Maclaurin公式（涉及Bernoulli数的幂级数），可以推导出Stirling公式。

（详细证明超出本节范围）

6.2 概率论中的应用

中心极限定理的说明：

正态分布的概率密度： $ϕ (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}$

计算概率： $P (a < X < b) = \int_{a}^{b} ϕ (x) d x$

由于 $e^{- x^{2} /2}$ 没有初等原函数，必须用级数方法： $e^{- x^{2} /2} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{2 ^{n} n !}$

逐项积分得到误差函数（error function）： $erf (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$

这在统计学中至关重要！

七、小结：§14.4核心要点

§14.4 幂级数应用·核心要点

一、数值计算

函数值：利用前 $N$ 项和，控制误差
常数： $e, π, ln 2$ 等的计算
误差估计：交错级数、余项公式

二、微分方程

方法：设 $y = \sum a_{n} x^{n}$ ，代入方程
建立递推：比较系数
确定系数：利用初值条件

三、极限计算

展开：保留前几项
约简：消去公因子
等价无穷小：利用 $o (x^{n})$ 记号

四、积分计算

不可积函数：展开被积函数
逐项积分：定理14.8'
数值积分：交错级数误差小

五、应用原则

选择合适的展开中心（通常 $x_{0} = 0$ ）
保留足够项数以满足精度要求
验证收敛半径是否覆盖所需区域
利用交错级数的余项估计

六、常见技巧

恒等式变换加速收敛
复合函数的逐项代入
对称性简化计算
递推关系的识别

完整思维导图

COMPLETE MIND MAP

第十四章·幂级数

CHAPTER 14: POWER SERIES

一切从多项式开始，一切归于无穷
From Polynomials to Infinity

🗺️ 宏观结构图

                    第十四章 幂级数
                         │
        ┌────────────────┼────────────────┐
        │                │                │
    §14.1 收敛性      §14.2 性质      §14.3 展开
        │                │                │
        │                │                │
    ┌───┴───┐        ┌───┴───┐        ┌───┴───┐
    │       │        │       │        │       │
  Abel   收敛半径   连续性  可微性   Taylor  初等函数
  定理              可积性  运算      理论    展开式
    │       │        │       │        │       │
    │       │        │       │        │       │
    └───┬───┘        └───┬───┘        └───┬───┘
        │                │                │
        └────────────────┼────────────────┘
                         │
                    §14.4 应用
                         │
        ┌────────────────┼────────────────┐
        │                │                │
    数值计算      微分方程解法      积分计算

📋 详细概念树

一、§14.1 收敛性分析

§14.1 幂级数的收敛性
│
├─ 1. Abel定理（基石）
│   ├─ 收敛推断：x₁收敛 → |x|<|x₁|绝对收敛
│   ├─ 发散推断：x₂发散 → |x|>|x₂|发散
│   └─ 几何意义：收敛域是以原点为中心的区间
│
├─ 2. 收敛半径R
│   ├─ 定义：R = sup{|x| : x∈收敛域}
│   ├─ 比值法：R = lim(aₙ/aₙ₊₁)
│   ├─ 根值法：R = 1/limsup(ⁿ√|aₙ|)
│   └─ 三种情况：R=0, 0<R<∞, R=∞
│
├─ 3. 收敛域确定
│   ├─ 收敛区间：(-R, R)
│   ├─ 端点检验：x = ±R需单独判断
│   └─ 四种可能：(-R,R), [-R,R), (-R,R], [-R,R]
│
└─ 4. 一致收敛性
    ├─ 内部：任何闭子区间上一致收敛
    ├─ 端点：若端点收敛，可延拓
    └─ 应用：保证可逐项求导/积分

二、§14.2 解析性质

§14.2 幂级数的性质
│
├─ 1. 连续性（定理14.6）
│   ├─ 收敛区间内连续
│   ├─ 端点单侧连续（若端点收敛）
│   └─ 应用：求端点处级数和
│
├─ 2. 可微性（定理14.7-14.8）
│   ├─ 导函数级数：Σnaₙxⁿ⁻¹
│   ├─ 收敛半径相同（端点可能变）
│   ├─ 可逐项求导任意次
│   ├─ 推论：无穷次可微（解析函数）
│   └─ 系数公式：aₙ = f⁽ⁿ⁾(0)/n!
│
├─ 3. 可积性（定理14.8'）
│   ├─ 积分级数：Σ(aₙ/(n+1))xⁿ⁺¹
│   ├─ 收敛半径相同
│   ├─ 可逐项积分
│   └─ 应用：求和函数、计算积分
│
└─ 4. 运算封闭性
    ├─ 加减法：系数相加减
    ├─ 乘法：Cauchy乘积
    │   cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ
    ├─ 除法：长除法或递推
    ├─ 复合：逐项代入
    └─ 唯一性：展开式唯一确定

三、§14.3 Taylor展开

§14.3 函数的幂级数展开
│
├─ 1. Taylor级数理论
│   ├─ 定义：Σf⁽ⁿ⁾(x₀)xⁿ/n!
│   ├─ 充要条件：Rₙ(x)→0
│   ├─ 充分条件：|f⁽ⁿ⁾(x)|≤M
│   └─ 唯一性：展开式唯一
│
├─ 2. 基本函数展开（必记！）
│   ├─ eˣ = Σxⁿ/n!，x∈ℝ
│   ├─ sin x = Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!，x∈ℝ
│   ├─ cos x = Σ(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!，x∈ℝ
│   ├─ ln(1+x) = Σ(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n，x∈(-1,1]
│   ├─ 1/(1-x) = Σxⁿ，|x|<1
│   ├─ (1+x)ᵅ = ΣC(α,n)xⁿ，|x|<1
│   └─ arctan x = Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)，|x|≤1
│
├─ 3. 间接展开方法
│   ├─ 利用已知展开式
│   ├─ 变量替换
│   ├─ 逐项求导/积分
│   ├─ 幂级数运算
│   └─ 待定系数法
│
└─ 4. Euler公式
    ├─ eⁱˣ = cos x + i sin x
    ├─ eⁱᵖ + 1 = 0（最美公式）
    └─ 三角函数的指数表示

四、§14.4 实际应用

§14.4 幂级数的应用
│
├─ 1. 数值计算
│   ├─ 函数值：f(x₀) ≈ Sₙ(x₀)
│   ├─ 常数：e, π, ln2等
│   ├─ 误差控制：交错级数
│   └─ 加速技巧：恒等式变换
│
├─ 2. 微分方程级数解
│   ├─ 设y = Σaₙxⁿ
│   ├─ 代入方程
│   ├─ 比较系数建立递推
│   └─ 利用初值确定系数
│
├─ 3. 极限计算
│   ├─ 展开分子分母
│   ├─ 保留前几项
│   ├─ 约去公因子
│   └─ 计算极限
│
├─ 4. 积分计算
│   ├─ 不可积函数：展开被积函数
│   ├─ 逐项积分
│   ├─ 定积分数值计算
│   └─ 特殊积分（Gauss积分等）
│
└─ 5. 理论应用
    ├─ Stirling公式
    ├─ 概率论中的正态分布
    ├─ 物理学中的近似
    └─ 工程计算

🔗 知识关联图

                   幂级数核心概念网络
                          
            Abel定理 ←───────┐
               ↓             │
          收敛半径R          │
               ↓             │
          收敛区间(-R,R)     │
               ↓             │
          一致收敛           │
               ↓             │
     ┌─────────┼─────────┐  │
     ↓         ↓         ↓  │
   连续性    可微性    可积性│
     │         │         │  │
     │    ┌────┴────┐    │  │
     │    ↓         ↓    │  │
     │  逐项求导  系数公式│  │
     │    │    aₙ=f⁽ⁿ⁾(0)/n!
     │    │         │    │  │
     │    └────┬────┘    │  │
     │         ↓         │  │
     │    Taylor展开     │  │
     │         │         │  │
     └─────────┼─────────┘  │
               ↓             │
          和函数S(x)─────────┘
               ↓
          ┌────┼────┐
          ↓    ↓    ↓
       数值计算 极限 积分

⚡ 关键定理速查表

编号	定理名称	核心内容	应用
14.1	Abel定理	收敛推断与发散推断	确定收敛域结构
14.2	比值法	R = lim(aₙ/aₙ₊₁)	计算收敛半径
14.3	根值法	R = 1/limsup(ⁿ√\|aₙ\|)	计算收敛半径（最一般）
14.4	内部一致收敛	任何闭子区间上一致收敛	逐项运算的基础
14.5	端点一致收敛	端点收敛→可延拓	求端点级数和
14.6	连续性定理	收敛区间内连续	求和函数
14.7	收敛半径不变	导数/积分级数R相同	逐项运算
14.8	逐项求导	S'(x) = Σnaₙxⁿ⁻¹	求和函数
14.8'	逐项积分	∫S(t)dt = Σaₙxⁿ⁺¹/(n+1)	求和函数
14.9	系数唯一性	展开式唯一	Taylor理论基础
14.10	加减运算	系数相加减	级数运算
14.11	乘法运算	Cauchy乘积	级数运算
14.13	Taylor展开定理	Rₙ(x)→0充要	函数展开
14.19	Euler公式	eⁱˣ = cos x + i sin x	复数、三角

🎯 问题解决流程图

流程1：求收敛域

给定幂级数 Σaₙxⁿ
    ↓
计算ρ = lim|aₙ₊₁/aₙ| 或 limsup ⁿ√|aₙ|
    ↓
求R = 1/ρ
    ↓
收敛区间：(-R, R)
    ↓
检验x = R：
  级数Σaₙ Rⁿ收敛? 
    ├─Yes→ 收敛域包含R
    └─No → 收敛域不含R
    ↓
检验x = -R：
  级数Σaₙ(-R)ⁿ收敛?
    ├─Yes→ 收敛域包含-R
    └─No → 收敛域不含-R
    ↓
确定收敛域（四种情况之一）

流程2：求和函数

给定Σaₙxⁿ，求S(x)
    ↓
方法1：逐项求导
  S'(x) = Σnaₙxⁿ⁻¹
    ↓
  识别S'(x)（几何级数等）
    ↓
  积分回去：S(x) = ∫S'(x)dx + C
    ↓
  确定常数C（通常S(0) = a₀）
    
方法2：逐项积分
  ∫₀ˣS(t)dt = Σaₙxⁿ⁺¹/(n+1)
    ↓
  识别积分
    ↓
  求导回去：S(x) = d/dx[...]
    
方法3：识别已知展开式
  将级数改写成标准形式
    ↓
  与已知展开式比较
    ↓
  确定S(x)

流程3：函数展开成幂级数

给定f(x)，求Taylor展开
    ↓
方法1：直接法
  计算f⁽ⁿ⁾(0)，n=0,1,2,...
    ↓
  写出Σf⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!
    ↓
  验证Rₙ(x)→0（|f⁽ⁿ⁾(x)|≤M?）
    
方法2：间接法
  ├─ 利用已知展开式
  ├─ 变量替换
  ├─ 逐项求导/积分
  ├─ 幂级数运算
  └─ 待定系数+递推
    ↓
确定展开式和收敛域

流程4：应用幂级数

应用问题
    ↓
    ├─数值计算？
    │   ↓
    │ 展开f(x) = Σaₙxⁿ
    │   ↓
    │ 取前N项：f(x)≈Sₙ(x)
    │   ↓
    │ 估计误差|Rₙ(x)|
    │   ↓
    │ 确定N使误差<要求精度
    │
    ├─极限计算？
    │   ↓
    │ 展开分子、分母
    │   ↓
    │ 保留前几项（o记号）
    │   ↓
    │ 约简，计算极限
    │
    ├─积分计算？
    │   ↓
    │ 展开被积函数
    │   ↓
    │ 逐项积分
    │   ↓
    │ 估计误差（交错级数）
    │
    └─微分方程？
        ↓
      设y = Σaₙxⁿ
        ↓
      代入方程，比较系数
        ↓
      建立递推关系
        ↓
      确定系数（初值条件）

💡 核心思想总结

幂级数的三大本质

1. 从有限到无穷的桥梁

多项式（有限和）
    ↓ 极限过程
幂级数（无穷和）
    ↓ 保持性质
解析函数

2. 局部到整体的工具

Taylor多项式（局部逼近）
    ↓ n → ∞
Taylor级数（全局表示）
    ↓ 唯一性
函数的完整刻画

3. 离散到连续的统一

系数序列{aₙ}（离散）
    ↓ 幂级数求和
和函数S(x)（连续）
    ↓ 逐项运算
保持解析性

五大核心能力

能力	内容	体现
判断收敛	Abel定理、收敛半径	确定定义域
保持性质	连续、可微、可积	逐项运算合法性
函数展开	Taylor理论	函数→级数
级数求和	逐项求导/积分	级数→函数
实际应用	数值、极限、积分	理论→实践

学习要点

✅ 必须掌握：

Abel定理的几何意义
收敛半径的两种计算法
六个基本函数的展开式
逐项求导/积分的条件和应用
Euler公式及其应用

✅ 重点理解：

收敛半径相同但端点可能变
系数唯一性的意义
Taylor余项趋于零的条件
一致收敛在性质保持中的作用

✅ 灵活运用：

间接展开方法的选择
数值计算中的误差控制
极限计算的展开技巧
微分方程的级数解法

📚 与其他章节的联系

                    幂级数（第14章）
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        │                 │                 │
   ←─ 第13章          ←─ 第7章          → 第15章
   函数项级数         Taylor公式       Fourier级数
        │                 │                 │
        │                 │                 │
   一致收敛理论       多项式逼近      三角级数
        │                 │                 │
        │                 │                 │
   ┌────┴────┐       ┌────┴────┐       ┌────┴────┐
   │         │       │         │       │         │
 判别法   性质保持   余项    精确度    周期函数   傅里叶
   │         │       │         │       │    变换
   │         │       │         │       │         │
   └────┬────┘       └────┬────┘       └────┬────┘
        │                 │                 │
        └─────────────────┼─────────────────┘
                          │
                    ↓ 深化到
                      
            第16章 多元函数（偏微分、Taylor展开）
                          │
                    第17章 积分学推广
                          │
                    泛函分析、复分析

🎓 学习建议

学习阶段

阶段1：概念理解（3-5天）

Abel定理的直观理解
收敛半径的几何意义
一致收敛的作用
系数唯一性的含义

阶段2：定理掌握（5-7天）

熟练计算收敛半径
掌握六大基本展开式
理解逐项运算条件
应用Euler公式

阶段3：方法训练（7-10天）

求收敛域（100题）
求和函数（50题）
函数展开（50题）
综合应用（30题）

阶段4：深化提升（持续）

微分方程级数解
复杂积分计算
特殊函数展开
理论证明题

常见误区

❌ 误区1：认为收敛半径相同意味着收敛域相同 ✅ 正确：端点行为可能不同！

❌ 误区2：忘记检验端点 ✅ 正确：端点必须单独判断

❌ 误区3：认为有Taylor级数就能展开 ✅ 正确：必须验证余项趋于零

❌ 误区4：混淆逐点收敛和一致收敛 ✅ 正确：一致收敛是逐项运算的关键

❌ 误区5：死记硬背展开式 ✅ 正确：理解推导过程和适用范围

练习建议

📝 基础练习：

计算50个不同类型级数的收敛域
默写6个基本展开式
练习30个逐项求导/积分题

📝 提高练习：

间接展开20个函数
求20个级数的和函数
应用题：数值、极限、积分各10题

📝 综合练习：

证明题10道
微分方程级数解5道
开放性探索题若干

终章：幂级数的哲学

THE PHILOSOPHY OF POWER SERIES

"In the realm of infinity,
power series are the language
in which functions speak."

"在无穷的领域中，
幂级数是函数说话的语言。"

They transform the abstract into the concrete,
the transcendental into the algebraic,
the unknowable into the computable.

它们将抽象化为具体，
将超越化为代数，
将不可知化为可计算。

From Newton's binomial theorem
to Euler's mystical formula,
from Leibniz's circle quadrature
to Fourier's heat equation,

从牛顿的二项式定理
到欧拉的神秘公式，
从莱布尼茨的圆积
到傅里叶的热方程，

Power series have been the silent architects
of mathematical revolutions,
the hidden bridge
between discrete and continuous,
between finite and infinite.

幂级数一直是
数学革命的沉默建筑师，
是离散与连续、
有限与无穷之间的
隐秘桥梁。

YOU HAVE LEARNED

✨ How infinity can be tamed through convergence
✨ How continuity emerges from discrete sums
✨ How functions can be represented by numbers
✨ How local information determines global behavior
✨ How the complex and real are united

你已经学会：

✨ 如何通过收敛驯服无穷
✨ 如何从离散和中涌现连续
✨ 如何用数列表示函数
✨ 如何用局部信息决定全局行为
✨ 如何统一复数与实数

NOW GO FORTH

带着这些知识，
你已经掌握了分析学的核心工具。

无论是物理学的微分方程，
还是工程学的信号处理，
无论是概率论的特征函数，
还是数论的生成函数，

幂级数都将是你忠实的伙伴。

The journey through power series
is not an end, but a beginning—
a gateway to Fourier analysis,
complex analysis,
functional analysis,
and beyond.

幂级数的旅程
不是终点，而是起点——
通向傅里叶分析、
复变函数、
泛函分析
及更远的世界。

∑
THE SERIES CONTINUES...
级数永不终结...

"God made the integers; all else is the work of man."
— Leopold Kronecker

"上帝创造了整数；其余都是人的工作。"

And power series?
They are humanity's way
of making infinity comprehensible.

而幂级数？
它们是人类让无穷
变得可理解的方式。

完整知识体系构建完成
Complete Knowledge Architecture Finished

📖 内容统计：

4个主要章节
19个核心定理
20+典型例题
8个基本函数展开式
4类应用场景
完整思维导图

🎯 学习目标达成： ✅ 收敛性理论完整掌握
✅ 解析性质深入理解
✅ Taylor展开熟练应用
✅ 实际问题灵活求解
✅ 知识体系系统构建

愿这个知识系统
成为你数学分析学习的可靠伙伴！

May this knowledge system
be your faithful companion in mathematical analysis!

🌟 THE END 🌟

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