第十四章·第三节

复变量的指数函数与欧拉公式

COMPLEX EXPONENTIAL FUNCTIONS & EULER'S FORMULA

Complete Knowledge System

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"The most beautiful equation in mathematics:
e^(iπ) + 1 = 0"

"数学中最美的公式：
e^(iπ) + 1 = 0"

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Bridging the Real and Complex Worlds
连接实数与复数的世界

Where Algebra Meets Geometry
代数与几何的交汇之处

§14.3 复变量的指数函数·欧拉公式
COMPLEX EXPONENTIAL FUNCTIONS & EULER'S FORMULA
│
├─ 一、复数项级数基础 (Complex Series Fundamentals)
│   ├─ 1.1 复数项级数的定义
│   ├─ 1.2 收敛性判别
│   ├─ 1.3 绝对收敛
│   └─ 1.4 与实级数的关系
│
├─ 二、复变量幂级数 (Complex Power Series)
│   ├─ 2.1 复数项幂级数的定义
│   ├─ 2.2 收敛半径与收敛圆
│   ├─ 2.3 收敛域的几何意义
│   └─ 2.4 计算方法
│
├─ 三、复变量的基本初等函数 (Complex Elementary Functions)
│   ├─ 3.1 复指数函数 e^z
│   ├─ 3.2 复三角函数 sin z, cos z
│   ├─ 3.3 收敛域分析
│   └─ 3.4 函数性质
│
├─ 四、欧拉公式及其应用 (Euler's Formula & Applications)
│   ├─ 4.1 欧拉公式的推导
│   ├─ 4.2 复数的指数表示
│   ├─ 4.3 棣莫弗公式
│   └─ 4.4 实际应用
│
└─ 五、深度拓展与应用 (Advanced Topics & Applications)
    ├─ 5.1 复变函数论入门
    ├─ 5.2 解析函数
    ├─ 5.3 工程应用
    └─ 5.4 现代数学中的地位

一、复数项级数基础

COMPLEX SERIES FUNDAMENTALS

从实数到复数的自然推广
Natural Extension from Real to Complex

定义1（复数项级数）

设级数 $$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots \text{\hspace{1em}(1)}$$

其中每一项都是复数： $$u_n=a_n+i{b}_n,(a_n,b_n\in \mathbb{R},i=\sqrt{-1})$$

则级数(1)可以写成： $$(a_1+i{b}_1)+(a_2+i{b}_2)+\cdots +(a_n+i{b}_n)+\cdots \text{\hspace{1em}(2)}$$

---

部分和：

设 $S_n$ 表示级数(2)的第 $n$ 个部分和： $$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=\sum _{k=1}^n(a_k+i{b}_k)$$

分离实部与虚部： $$S_n=\underset{R_n}{\underbrace{\sum _{k=1}^n{a}_k}}+i\underset{I_n}{\underbrace{\sum _{k=1}^n{b}_k}}$$

记： $$R_n=\sum _{k=1}^n{a}_k,I_n=\sum _{k=1}^n{b}_k$$

定义2（复数项级数的收敛）

若 ${\lim }_{n\to \infty }{R}_n$ 与 ${\lim }_{n\to \infty }{I}_n$ 都存在，则称级数(1)收敛。

若用 $A,B$ 分别表示这两个极限值，则级数(1)的和记为： $$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=A+iB$$

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定理1（收敛的充要条件）

复数项级数 $\sum u_n=\sum (a_n+i{b}_n)$ 收敛的充要条件是：

两个实数项级数 $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{和}\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$$ 都收敛。

---

证明：

（⇒）必要性：

• 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\lim S_n=A+iB$ 存在
• 由 $S_n=R_n+i{I}_n$，得 $\lim R_n=A$，$\lim I_n=B$
• 即 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都收敛

（⇐）充分性：

• 若 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都收敛
• 设 $\lim R_n=A$，$\lim I_n=B$
• 则 $\lim S_n=\lim (R_n+i{I}_n)=A+iB$
• 即 $\sum u_n$ 收敛

$\square$

复数项级数的收敛可以在复平面上可视化：

复平面 (Complex Plane)

      虚轴 Im
        ↑
        │    S₃ ●
        │  S₂ ●  
        │S₁●     S_n → A+iB
        │      ●
────────┼─────────────→ 实轴 Re
        │
        O

部分和 S_n 在复平面上的点列
收敛到极限点 A+iB

关键观察：

• 实部收敛 ⟺ 横坐标收敛
• 虚部收敛 ⟺ 纵坐标收敛
• 两者同时收敛 ⟺ 复数序列收敛

定义3（绝对收敛）

级数(1)各项 $u_n$ 的模为： $$|u_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$$

若级数 $$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|=|u_1|+|u_2|+\cdots +|u_n|+\cdots$$ 收敛，则称级数(1)绝对收敛。

---

定理2（绝对收敛蕴含收敛）

若级数 $\sum u_n$ 绝对收敛，则级数 $\sum u_n$ 必收敛。

---

证明：

由不等式： $$|a_n|\le |u_n|,|b_n|\le |u_n|,n=1,2,\dots$$

（因为 $|a_n|\le \sqrt{a_n^2+b_n^2}=|u_n|$）

---

步骤1：若 $\sum |u_n|$ 收敛

由比较判别法：

• $\sum |a_n|\le \sum |u_n|$ 收敛
• $\sum |b_n|\le \sum |u_n|$ 收敛

---

步骤2：因此

• $\sum a_n$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛
• $\sum b_n$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ $\sum b_n$ 收敛

---

步骤3：由定理1

• $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都收敛
• $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 收敛

$\square$

关键：复数项级数的收敛性归结为两个实数项级数的收敛性。

二、复变量幂级数

COMPLEX POWER SERIES

从实轴到复平面的飞跃
From Real Line to Complex Plane

定义4（复数项幂级数）

设 $c_n$ $(n=0,1,2,\dots )$ 为复数，$z$ 为复变量，则称级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n=c_0+c_{1}z+c_2{z}^2+\cdots +c_n{z}^n+\cdots \text{\hspace{1em}(3)}$$

为复数项幂级数（complex power series）。

---

收敛域：

• 若在 $z=z_0$ 处级数(3)收敛，则称它在点 $z_0$ 收敛
• 所有使级数(3)收敛的复数 $z$ 的全体构成级数的收敛域

定理3（复数项幂级数的收敛性）

记 $$\rho =\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}$$

则：

1. 收敛半径：定义 $$R=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\rho },& \rho \ne 0,+\infty \\ +\infty ,& \rho =0\\ 0,& \rho =+\infty \end{array}$$

2. 收敛区域：

   • 对一切满足 $|z|<R$ 的 $z$，级数(3)不仅收敛，而且绝对收敛
   • 对一切满足 $|z|>R$ 的 $z$，级数(3)发散

3. 几何意义：

   • 收敛域是复平面上以原点为中心，$R$ 为半径的圆（称为收敛圆）
   • 圆内绝对收敛
   • 圆外发散
   • 圆周上可能收敛也可能发散（需单独判断）

复平面上的收敛圆

         虚轴 Im
           ↑
           │
      ┌────┼────┐
     │     │     │  收敛圆
    │      │      │  |z| = R
    │      O──────┼──→ 实轴 Re
    │      │      │
     │     │     │
      └────┼────┘
           │
           
    内部：|z| < R  → 绝对收敛 ✓
    外部：|z| > R  → 发散 ✗
    圆周：|z| = R  → 需单独判断 ?

对比实数情形：

维度提升：从一维区间到二维圆盘！

定理4（比值法计算收敛半径）

若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\rho$，则

$$R=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\rho },& \rho \ne 0,+\infty \\ +\infty ,& \rho =0\\ 0,& \rho =+\infty \end{array}$$

或简写为： $$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$

（当极限存在或为 $+\infty$ 时）

---

应用步骤：

1. 计算 $\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$
2. 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\rho$
3. 计算收敛半径 $R=\frac{1}{\rho }$
4. 确定收敛圆：$|z|<R$

例1：求级数 $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}\text{\hspace{1em}(4)}$$ 的收敛半径。

---

解：

这里 $c_n=\frac{1}{n!}$。

方法1：比值法

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{(n+1)!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0$$

因此： $$R=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{0}=+\infty$$

---

方法2：根值法

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n!}\right|}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$$

由 Stirling 公式：$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

$$\sqrt[n]{n!}\sim \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}\cdot \frac{n}{e}\sim \frac{n}{e}\to +\infty$$

因此 $\rho =0$，$R=+\infty$。

---

结论：

$$\boxed{R=+\infty }$$

级数(4)在整个复平面上都收敛！

$\square$

三、复变量的基本初等函数

COMPLEX ELEMENTARY FUNCTIONS

超越实数的定义
Transcending Real Definitions

定义5（复指数函数）

对于级数 $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \text{\hspace{1em}(4)}$$

由例1知，其收敛半径 $R=+\infty$，即级数(4)在整个复平面上收敛。

---

关键观察：

当 $z$ 为实变量 $x$ 时，级数(4)的和函数为实变量的指数函数 $e^x$（第二节已证明）。

因此，我们把级数(4)的和函数定义为复变量的指数函数 $e^z$：

$$\boxed{e^z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots +\frac{z^n}{n!}+\cdots }\text{\hspace{1em}(5)}$$

---

定义域：整个复平面 $\mathbb{C}$

性质预告（后续证明）：

1. $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}$（加法定理）
2. $e^0=1$
3. $e^z\ne 0$ 对所有 $z\in \mathbb{C}$
4. 当 $z=x\in \mathbb{R}$ 时，退化为实指数函数

定义6（复正弦函数）

$$\boxed{\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots }\text{\hspace{1em}(6)}$$

---

定义7（复余弦函数）

$$\boxed{\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots }\text{\hspace{1em}(7)}$$

---

收敛性分析：

正弦函数： $$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n+1)!}}=0$$

因此 $R=+\infty$。

余弦函数： $$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[2n]{\frac{1}{(2n)!}}=0$$

因此 $R=+\infty$。

---

结论：$\sin z$ 和 $\cos z$ 的收敛域都是整个复平面。

统一原则：

• 复变量函数通过幂级数定义
• 当 $z\in \mathbb{R}$ 时，退化为实函数
• 保持实函数的所有代数性质

四、欧拉公式及其应用

EULER'S FORMULA & APPLICATIONS

数学史上最美的公式
The Most Beautiful Formula in Mathematics

核心推导

在复指数函数的定义(5)中，以 $iz$ 代替 $z$：

$$e^{iz}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(iz{)}^n}{n!}=1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\cdots$$

---

展开各项：

注意到 $i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$，...

$$\begin{array}{rl}{e}^{iz}& =1+iz+\frac{i^2{z}^2}{2!}+\frac{i^3{z}^3}{3!}+\frac{i^4{z}^4}{4!}+\frac{i^5{z}^5}{5!}+\cdots \\ & =1+iz-\frac{z^2}{2!}-i\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i\frac{z^5}{5!}-\cdots \end{array}$$

---

分离实部与虚部：

实部项： $$1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}$$

虚部项（提取 $i$）： $$i\left(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right)=i\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

---

联系定义(6)和(7)：

$$e^{iz}=\underset{\cos z}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}}}+i\underset{\sin z}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$

因此：

$$\boxed{e^{iz}=\cos z+i\sin z}\text{\hspace{1em}(8)}$$

这就是广义欧拉公式（对复变量 $z$ 成立）。

定理5（欧拉公式）

当 $z$ 为实变量 $x$ 时，由公式(8)得：

$$\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}\text{\hspace{1em}(9)}$$

这称为欧拉公式（Euler's formula）。

---

意义：

欧拉公式给出了（实变量）指数函数与三角函数之间的深刻联系：

• 指数函数（增长）
• 三角函数（振荡）

两者通过虚数单位 $i$ 联系起来！

---

几何解释：

在复平面上，$e^{ix}$ 表示：

• 模长为 $|e^{ix}|=\sqrt{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=1$
• 辐角为 $\arg (e^{ix})=x$

即：$e^{ix}$ 在单位圆上，对应角度 $x$！

         虚轴 Im
           ↑
           │ e^(ix) = cos x + i sin x
           │   ●
           │  /│\
           │ / │ \ 单位圆
           │/  │  \
   ────────O───┼───→ 实轴 Re
           │\  │  /
           │ \ │ /
           │  \│/
           │
           
   e^(ix) 绕单位圆旋转，角度为 x

重要特例

(1) $x=0$： $$e^{i\cdot 0}=\cos 0+i\sin 0=1+0=1✓$$

(2) $x=\frac{\pi }{2}$： $$e^{i\pi /2}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=0+i\cdot 1=i$$

(3) $x=\pi$： $$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1+i\cdot 0=-1$$

因此： $$\boxed{e^{i\pi }+1=0}$$

这是数学中最美的公式，联系了五个最重要的数学常数：

• $e$（自然对数底）
• $i$（虚数单位）
• $\pi$（圆周率）
• $1$（乘法单位元）
• $0$（加法单位元）

(4) $x=2\pi$： $$e^{i\cdot 2\pi }=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1+0=1$$

因此 $e^{iz}$ 是周期函数，周期为 $2\pi$！

定理6（复数的指数形式）

任一复数 $z$ 都可以写成三角形式： $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

其中：

• $r=|z|$（模）
• $\theta =\arg z$（辐角）

---

由欧拉公式： $$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$$

因此：

$$\boxed{z=r{e}^{i\theta }}\text{\hspace{1em}(10)}$$

这是复数的指数表示（exponential form）。

---

意义：

---

乘法运算：

$$z_1{z}_2=r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

即：

• 模相乘：$|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$
• 辐角相加：$\arg (z_1{z}_2)=\arg z_1+\arg z_2$

---

除法运算：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$$

---

幂运算：

$$z^n=(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$$

这就是棣莫弗公式的基础！

定理7（棣莫弗公式，de Moivre's Formula）

对任意实数 $x$ 和正整数 $n$：

$$\boxed{(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx}\text{\hspace{1em}(11)}$$

---

证明：

由欧拉公式： $$\cos x+i\sin x=e^{ix}$$

因此： $$(\cos x+i\sin x{)}^n=(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$$

再由欧拉公式： $$e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx)$$

$\square$

---

应用：计算三角函数的多倍角公式

例2：求 $\cos 3x$ 和 $\sin 3x$ 的展开式。

解：

由棣莫弗公式： $$(\cos x+i\sin x{)}^3=\cos 3x+i\sin 3x$$

左边展开（二项式定理）： $$\begin{array}{rl}& (\cos x+i\sin x{)}^3\\ & ={\cos }^{3}x+3i{\cos }^{2}x\sin x+3i^2\cos x{\sin }^{2}x+i^3{\sin }^{3}x\\ & ={\cos }^{3}x+3i{\cos }^{2}x\sin x-3\cos x{\sin }^{2}x-i{\sin }^{3}x\\ & =({\cos }^{3}x-3\cos x{\sin }^{2}x)+i(3{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{3}x)\end{array}$$

比较实部和虚部： $$\{\begin{array}{l}\cos 3x={\cos }^{3}x-3\cos x{\sin }^{2}x=4{\cos }^{3}x-3\cos x\\ \sin 3x=3{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{3}x=3\sin x-4{\sin }^{3}x\end{array}$$

$\square$

定理8（复指数函数的加法定理）

与实数情形一样，由级数的乘法运算可得：

$$\boxed{e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}}\text{\hspace{1em}(12)}$$

对所有复数 $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ 成立。

---

特殊情形：

将 $z=x+iy$ 代入公式(12)：

$$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$$

由欧拉公式 $e^{iy}=\cos y+i\sin y$：

$$\boxed{e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}\text{\hspace{1em}(13)}$$

---

几何意义：

• $e^x$：伸缩因子（模长）
• $e^{iy}$：旋转因子（相位）

$$|e^{x+iy}|=e^x,\arg (e^{x+iy})=y$$

五、完整思维导图

COMPLETE MIND MAP

§14.3 复变量的指数函数·欧拉公式
COMPLEX EXPONENTIAL FUNCTIONS & EULER'S FORMULA
│
├─────────────┬─────────────┬─────────────┬─────────────┐
│             │             │             │             │
复数项级数    幂级数理论    初等函数定义  欧拉公式应用
│             │             │             │
│             │             │             │
├─ 定义       ├─ 收敛半径   ├─ e^z        ├─ 三角恒等式
├─ 收敛性     ├─ 收敛圆     ├─ sin z      ├─ 棣莫弗公式
├─ 绝对收敛   ├─ 判别法     ├─ cos z      ├─ 复数表示
└─ 与实级数   └─ 几何意义   └─ 性质       └─ 实际应用

复数项级数
│
├─ 1. 定义
│   ├─ 复数项：u_n = a_n + ib_n
│   ├─ 部分和：S_n = R_n + iI_n
│   │   ├─ R_n = Σa_k（实部和）
│   │   └─ I_n = Σb_k（虚部和）
│   └─ 级数：Σu_n
│
├─ 2. 收敛性
│   ├─ 定义：lim S_n 存在
│   ├─ 充要条件：Σa_n 和 Σb_n 都收敛
│   ├─ 几何意义：复平面上点列收敛
│   └─ 归结原理：复数收敛 ⟺ 实部虚部都收敛
│
├─ 3. 绝对收敛
│   ├─ 定义：Σ|u_n| 收敛
│   ├─ 模：|u_n| = √(a_n² + b_n²)
│   ├─ 不等式：|a_n| ≤ |u_n|, |b_n| ≤ |u_n|
│   ├─ 定理：绝对收敛 ⇒ 收敛
│   └─ 判别法：比值法、根值法作用于|u_n|
│
└─ 4. 与实级数的联系
    ├─ 理论平行：定理形式相似
    ├─ 归结方法：复数问题→实数问题
    └─ 维度提升：实轴→复平面

复数项幂级数 Σc_n z^n
│
├─ 1. 基本概念
│   ├─ 定义：z为复变量
│   ├─ 系数：c_n 为复数
│   ├─ 收敛点：使级数收敛的z
│   └─ 收敛域：所有收敛点的集合
│
├─ 2. 收敛半径R
│   ├─ 计算公式
│   │   ├─ 根值法：ρ = limsup ⁿ√|c_n|
│   │   │           R = 1/ρ
│   │   └─ 比值法：R = lim|c_n/c_{n+1}|
│   │
│   ├─ 特殊情况
│   │   ├─ ρ = 0 ⇒ R = +∞
│   │   ├─ ρ = +∞ ⇒ R = 0
│   │   └─ 0 < ρ < +∞ ⇒ R = 1/ρ
│   │
│   └─ 与实幂级数对比
│       ├─ 计算方法相同
│       └─ 几何意义不同
│
├─ 3. 收敛圆
│   ├─ 几何描述：{z : |z| < R}
│   ├─ 中心：原点O
│   ├─ 半径：R
│   ├─ 区域划分
│   │   ├─ 圆内|z|<R：绝对收敛
│   │   ├─ 圆外|z|>R：发散
│   │   └─ 圆周|z|=R：不确定
│   │
│   └─ 维度对比
│       ├─ 实数：区间(-R, R)（一维）
│       └─ 复数：圆盘{|z|<R}（二维）
│
└─ 4. 收敛性质
    ├─ 圆内绝对收敛
    ├─ 圆外必发散
    ├─ 圆周需单独判断
    └─ Abel定理推广

复变量初等函数定义
│
├─ 1. 复指数函数 e^z
│   ├─ 定义：e^z = Σz^n/n!
│   ├─ 收敛域：整个复平面ℂ（R=+∞）
│   ├─ 性质
│   │   ├─ e^0 = 1
│   │   ├─ e^(z₁+z₂) = e^z₁ · e^z₂
│   │   ├─ e^z ≠ 0（恒不为零）
│   │   └─ 周期性：e^(z+2πi) = e^z
│   │
│   └─ 与实函数关系
│       └─ z=x∈ℝ时，e^z = e^x（实指数）
│
├─ 2. 复正弦函数 sin z
│   ├─ 定义：sin z = Σ(-1)^n z^(2n+1)/(2n+1)!
│   ├─ 收敛域：整个复平面ℂ
│   ├─ 性质
│   │   ├─ sin 0 = 0
│   │   ├─ 奇函数：sin(-z) = -sin z
│   │   ├─ 周期性：sin(z+2π) = sin z
│   │   └─ 导数：(sin z)' = cos z
│   │
│   └─ 欧拉关系
│       └─ sin z = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)
│
├─ 3. 复余弦函数 cos z
│   ├─ 定义：cos z = Σ(-1)^n z^(2n)/(2n)!
│   ├─ 收敛域：整个复平面ℂ
│   ├─ 性质
│   │   ├─ cos 0 = 1
│   │   ├─ 偶函数：cos(-z) = cos z
│   │   ├─ 周期性：cos(z+2π) = cos z
│   │   └─ 导数：(cos z)' = -sin z
│   │
│   └─ 欧拉关系
│       └─ cos z = (e^(iz) + e^(-iz))/2
│
└─ 4. 统一原则
    ├─ 通过幂级数定义
    ├─ 收敛域都是ℂ
    ├─ 退化到实函数
    └─ 保持代数性质

欧拉公式及其应用
│
├─ 1. 广义欧拉公式
│   ├─ 表达式：e^(iz) = cos z + i sin z
│   ├─ 推导过程
│   │   ├─ 展开e^(iz) = Σ(iz)^n/n!
│   │   ├─ 利用i^2=-1, i^3=-i, i^4=1,...
│   │   ├─ 分离实部和虚部
│   │   └─ 识别cos z和sin z
│   │
│   └─ 适用范围：所有复数z
│
├─ 2. 实变量欧拉公式⭐⭐⭐
│   ├─ 表达式：e^(ix) = cos x + i sin x
│   ├─ 特殊值
│   │   ├─ x=0：e^0 = 1
│   │   ├─ x=π/2：e^(iπ/2) = i
│   │   ├─ x=π：e^(iπ) = -1 ⇒ e^(iπ)+1=0
│   │   └─ x=2π：e^(i2π) = 1
│   │
│   ├─ 几何意义
│   │   ├─ 单位圆上的点
│   │   ├─ 模：|e^(ix)| = 1
│   │   ├─ 辐角：arg(e^(ix)) = x
│   │   └─ 圆周运动
│   │
│   └─ 历史地位
│       └─ "数学中最美的公式"
│
├─ 3. 复数的指数表示
│   ├─ 三种表示形式
│   │   ├─ 代数形式：z = a + ib
│   │   ├─ 三角形式：z = r(cosθ + i sinθ)
│   │   └─ 指数形式：z = re^(iθ)
│   │
│   ├─ 转换关系
│   │   ├─ r = |z| = √(a²+b²)
│   │   ├─ θ = arg z = arctan(b/a)
│   │   ├─ a = r cos θ
│   │   └─ b = r sin θ
│   │
│   └─ 运算优势
│       ├─ 乘法：r₁e^(iθ₁) · r₂e^(iθ₂) = r₁r₂ e^(i(θ₁+θ₂))
│       ├─ 除法：r₁e^(iθ₁) / r₂e^(iθ₂) = (r₁/r₂) e^(i(θ₁-θ₂))
│       └─ 幂次：(re^(iθ))^n = r^n e^(inθ)
│
├─ 4. 棣莫弗公式
│   ├─ 表达式：(cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx
│   ├─ 推导：利用欧拉公式和指数律
│   ├─ 应用
│   │   ├─ 多倍角公式
│   │   ├─ 三角恒等式
│   │   └─ n次根的计算
│   │
│   └─ 推广：n可以是任意实数
│
└─ 5. 指数函数性质
    ├─ 加法定理：e^(z₁+z₂) = e^z₁ · e^z₂
    ├─ 特殊形式：e^(x+iy) = e^x(cos y + i sin y)
    ├─ 模与辐角
    │   ├─ |e^(x+iy)| = e^x
    │   └─ arg(e^(x+iy)) = y
    │
    └─ 周期性：e^(z+2πi) = e^z

                  实数幂级数理论
                  (§14.1-14.2)
                        │
                        ├─ 定义推广
                        ├─ 收敛理论
                        └─ 运算性质
                        │
                        ↓
                  复数项级数
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    定义与收敛      绝对收敛         判别法
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                        ↓
                  复数项幂级数
                  收敛圆理论
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    计算收敛半径    收敛域分析      特殊级数
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                        ↓
            复变量初等函数定义
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
      e^z           sin z           cos z
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                        ↓
                  欧拉公式
              e^(iz) = cos z + i sin z
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    实变量形式      复数指数表示    棣莫弗公式
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                        ↓
                    应用
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    三角恒等式      复数运算       信号分析
        │               │               │
        │               │               │
    多倍角公式    积化和差       傅里叶变换

                定理1：复数项级数收敛
                Σu_n收敛 ⟺ Σa_n和Σb_n都收敛
                        │
                        ↓
                定理2：绝对收敛性
                Σ|u_n|收敛 ⇒ Σu_n收敛
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    定理3           定理4           例1
收敛半径理论      比值判别法      e^z的收敛性
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                        ↓
                定义5,6,7
            e^z, sin z, cos z的定义
                        │
                        ↓
                欧拉公式（定理5）
            e^(ix) = cos x + i sin x
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
    定理6           定理7           定理8
  复数指数表示    棣莫弗公式      加法定理
  z=re^(iθ)      (cosθ+isinθ)^n   e^(z₁+z₂)=e^z₁·e^z₂

六、习题解析与拓展应用

PROBLEM SOLVING & ADVANCED APPLICATIONS

习题1：证明棣莫弗公式 $$\cos nx+i\sin nx=(\cos x+i\sin x{)}^n$$

---

证明：

方法1：欧拉公式法（最优雅）

由欧拉公式： $$\cos x+i\sin x=e^{ix}$$

因此： $$(\cos x+i\sin x{)}^n=(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$$

再由欧拉公式： $$e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx)$$

$\square$

---

方法2：数学归纳法

基础步骤（$n=1$）：显然成立。

归纳假设：假设对 $n=k$ 成立，即 $$(\cos x+i\sin x{)}^k=\cos kx+i\sin kx$$

归纳步骤：对 $n=k+1$： $$\begin{array}{rl}(\cos x+i\sin x{)}^{k+1}& =(\cos x+i\sin x{)}^k\cdot (\cos x+i\sin x)\\ & =(\cos kx+i\sin kx)(\cos x+i\sin x)\\ & =\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i(\sin kx\cos x+\cos kx\sin x)\\ & =\cos (k+1)x+i\sin (k+1)x\end{array}$$

（使用三角恒等式）

$\square$

---

方法3：多项式展开（二项式定理）

$$(\cos x+i\sin x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}x\cdot (i\sin x{)}^k$$

$$=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)i^k{\cos }^{n-k}x{\sin }^{k}x$$

分离实部和虚部，利用 $i^k$ 的周期性，可以证明结果为 $\cos nx+i\sin nx$。

（计算繁琐，不推荐）

$\square$

习题2：应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

(1) $e^{x\cos \alpha }\cos (x\sin \alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\cos n\alpha$

(2) $e^{x\cos \alpha }\sin (x\sin \alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\sin n\alpha$

---

证明：

核心思路：利用欧拉公式和级数展开。

---

第1步：考虑复数 $$e^{x(\cos \alpha +i\sin \alpha )}=e^{x{e}^{i\alpha }}$$

由指数函数的定义： $$e^{x{e}^{i\alpha }}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(x{e}^{i\alpha }{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}{e}^{in\alpha }$$

---

第2步：应用欧拉公式 $$e^{in\alpha }=\cos n\alpha +i\sin n\alpha$$

因此： $$e^{x{e}^{i\alpha }}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}(\cos n\alpha +i\sin n\alpha )$$

分离实部和虚部： $$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\cos n\alpha +i\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\sin n\alpha \text{\hspace{1em}(14)}$$

---

第3步：另一方面 $$e^{x{e}^{i\alpha }}=e^{x(\cos \alpha +i\sin \alpha )}=e^{x\cos \alpha }\cdot e^{ix\sin \alpha }$$

由欧拉公式： $$=e^{x\cos \alpha }[\cos (x\sin \alpha )+i\sin (x\sin \alpha )]\text{\hspace{1em}(15)}$$

---

第4步：比较(14)和(15)的实部与虚部

实部： $$e^{x\cos \alpha }\cos (x\sin \alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\cos n\alpha$$

虚部： $$e^{x\cos \alpha }\sin (x\sin \alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\sin n\alpha$$

$\square$

---

特殊情形（$\alpha =0$）：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

（退化为实指数函数）

特殊情形（$\alpha =\pi /2$）：

$$\{\begin{array}{l}{e}^0\cos x=\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}\\ \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}\end{array}$$

（验证三角函数的级数展开）

习题3：利用欧拉公式，推导三角函数与指数函数的关系式：

(1) $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

(2) $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

---

证明：

第1步：由欧拉公式 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x\text{\hspace{1em}(16)}$$

将 $x$ 换成 $-x$： $$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x\text{\hspace{1em}(17)}$$

（利用 $\cos (-x)=\cos x$，$\sin (-x)=-\sin x$）

---

第2步：(16) + (17) $$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$$

因此： $$\boxed{\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$

---

第3步：(16) - (17) $$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$$

因此： $$\boxed{\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$

$\square$

---

意义：

这两个公式建立了三角函数与指数函数的代数关系：

• 余弦函数是两个共轭复指数函数的实部（平均值）
• 正弦函数是两个共轭复指数函数的虚部（差的一半）

这在傅里叶分析、信号处理中有重要应用！

习题4：利用上面的公式，推导三角函数的和差化积公式。

---

解：

目标：推导 $\sin \alpha +\sin \beta$ 的公式。

---

方法：利用 $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

$$\begin{array}{rl}\sin \alpha +\sin \beta & =\frac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}+\frac{e^{i\beta }-e^{-i\beta }}{2i}\\ & =\frac{1}{2i}(e^{i\alpha }+e^{i\beta }-e^{-i\alpha }-e^{-i\beta })\end{array}$$

---

第1步：提取公因子

$$=\frac{1}{2i}\left[e^{i(\alpha +\beta )/2}(e^{i(\alpha -\beta )/2}+e^{-i(\alpha -\beta )/2})-e^{-i(\alpha +\beta )/2}(e^{i(\alpha -\beta )/2}+e^{-i(\alpha -\beta )/2})\right]$$

$$=\frac{1}{2i}(e^{i(\alpha -\beta )/2}+e^{-i(\alpha -\beta )/2})(e^{i(\alpha +\beta )/2}-e^{-i(\alpha +\beta )/2})$$

---

第2步：应用欧拉公式

$$=\frac{1}{2i}\cdot 2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cdot 2i\sin \frac{\alpha +\beta }{2}$$

$$=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$

---

结论：

$$\boxed{\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$$

类似地可以推导其他和差化积公式！

$\square$

应用：利用棣莫弗公式推导 $\sin 5x$ 和 $\cos 5x$

---

解：

由棣莫弗公式： $$(\cos x+i\sin x{)}^5=\cos 5x+i\sin 5x$$

---

第1步：二项式展开左边

$$\begin{array}{rl}& (\cos x+i\sin x{)}^5\\ & =\sum _{k=0}^5\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right){\cos }^{5-k}x(i\sin x{)}^k\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right){\cos }^{5}x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)i{\cos }^{4}x\sin x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)i^2{\cos }^{3}x{\sin }^{2}x\\ & +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)i^3{\cos }^{2}x{\sin }^{3}x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)i^4\cos x{\sin }^{4}x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)i^5{\sin }^{5}x\end{array}$$

---

第2步：计算各项

注意：$i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$

$$\begin{array}{rl}& ={\cos }^{5}x+5i{\cos }^{4}x\sin x-10{\cos }^{3}x{\sin }^{2}x\\ & -10i{\cos }^{2}x{\sin }^{3}x+5\cos x{\sin }^{4}x+i{\sin }^{5}x\end{array}$$

---

第3步：分离实部和虚部

实部（$\cos 5x$）： $$\cos 5x={\cos }^{5}x-10{\cos }^{3}x{\sin }^{2}x+5\cos x{\sin }^{4}x$$

利用 ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$： $$={\cos }^{5}x-10{\cos }^{3}x(1-{\cos }^{2}x)+5\cos x(1-{\cos }^{2}x{)}^2$$

展开化简： $$\boxed{\cos 5x=16{\cos }^{5}x-20{\cos }^{3}x+5\cos x}$$

---

虚部（$\sin 5x$）： $$\sin 5x=5{\cos }^{4}x\sin x-10{\cos }^{2}x{\sin }^{3}x+{\sin }^{5}x$$

利用 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$： $$=5(1-{\sin }^{2}x{)}^2\sin x-10(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{3}x+{\sin }^{5}x$$

展开化简： $$\boxed{\sin 5x=16{\sin }^{5}x-20{\sin }^{3}x+5\sin x}$$

$\square$

---

观察：

$$\{\begin{array}{ll}\cos nx=T_n(\cos x)& \text{（第一类Chebyshev多项式）}\\ \sin nx=U_{n-1}(\cos x)\cdot \sin x& \text{（第二类Chebyshev多项式）}\end{array}$$

这是Chebyshev多项式的背景！

问题：求复数 $z$ 的 $n$ 次方根，即求满足 $w^n=z$ 的所有 $w$。

---

解法：

第1步：将 $z$ 写成指数形式 $$z=r{e}^{i\theta }$$

其中 $r=|z|$，$\theta =\arg z$。

---

第2步：设 $w=\rho e^{i\phi }$

则方程 $w^n=z$ 变为： $$(\rho e^{i\phi }{)}^n=r{e}^{i\theta }$$

$${\rho }^n{e}^{in\phi }=r{e}^{i\theta }$$

---

第3步：比较模和辐角

模：${\rho }^n=r$ $\Rightarrow$ $\rho =\sqrt[n]{r}$

辐角：$n\phi =\theta +2k\pi$ $\Rightarrow$ $\phi =\frac{\theta +2k\pi }{n}$（$k\in \mathbb{Z}$）

---

第4步：确定不同的根

$k=0,1,2,\dots ,n-1$ 给出 $n$ 个不同的根：

$$w_k=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i(\theta +2k\pi )/n},k=0,1,\dots ,n-1$$

---

几何意义：

$n$ 个根均匀分布在以原点为中心，$\sqrt[n]{r}$ 为半径的圆周上，相邻根之间的角度为 $\frac{2\pi }{n}$。

         虚轴 Im
           ↑
       w₁  │  w₀
          ●│●
           │
    ────●──┼──●──→ 实轴 Re
           │
          ●│●
       w₃  │  w₂
           
   单位根：均匀分布在单位圆上
   角间隔：2π/n

---

例：求 $1$ 的 $n$ 次方根（单位根）。

$z=1=e^{i\cdot 0}$

$$w_k=e^{i\cdot 2k\pi /n},k=0,1,\dots ,n-1$$

特别地，$n=3$ 时： $$w_0=1,w_1=e^{i2\pi /3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},w_2=e^{i4\pi /3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\square$

七、深度拓展

ADVANCED TOPICS

通向复变函数论的大门
Gateway to Complex Analysis

概念：复变函数的导数

设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是复变函数，$z_0\in \mathbb{C}$。

若极限 $$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$ 存在，则称 $f$ 在 $z_0$ 处可导，记导数为 $f^{\prime }(z_0)$。

---

定义（解析函数）

若 $f$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f$ 在 $D$ 内解析（analytic）或全纯（holomorphic）。

---

Cauchy-Riemann方程

设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，$z=x+iy$。

$f$ 在 $z_0$ 处可导的充要条件是：

1. $u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微
2. 满足Cauchy-Riemann方程： $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

---

例：验证 $e^z$ 是解析函数。

设 $e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$

$$u(x,y)=e^x\cos y,v(x,y)=e^x\sin y$$

计算偏导数： $$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y,\frac{\partial v}{\partial y}=e^x\cos y✓$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y,\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\sin y✓$$

满足C-R方程，所以 $e^z$ 在整个复平面解析。

$\square$

定理（幂级数的解析性）

若幂级数 $\sum c_n{z}^n$ 的收敛半径为 $R>0$，则：

1. 和函数 $f(z)=\sum c_n{z}^n$ 在收敛圆 $|z|<R$ 内解析

2. 可以逐项求导： $$f^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }n{c}_n{z}^{n-1},|z|<R$$

3. 可以逐项积分： $${\int }_0^{z}f(\zeta )d\zeta =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{c_n}{n+1}{z}^{n+1},|z|<R$$

4. 导数级数的收敛半径仍为 $R$

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推论：

• $e^z,\sin z,\cos z$ 在整个复平面解析（全纯函数）
• 解析函数有任意阶导数
• Taylor级数的收敛域内，函数等于其Taylor级数

三个层次的理解

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层次1：形式联系

欧拉公式 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

建立了指数函数与三角函数的代数关系。

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层次2：几何意义

• $e^{ix}$ 表示复平面单位圆上的点
• 参数 $x$ 是辐角（角度）
• $e^{i\theta }$ 描述旋转

复数乘法的几何意义： $$z_1{z}_2=r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

• 模相乘
• 辐角相加

这是伸缩-旋转变换！

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层次3：深层统一

从复变函数论的观点：

实三角函数是复指数函数的实部和虚部

$$\cos x=\text{Re}(e^{ix})=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$\sin x=\text{Im}(e^{ix})=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

三角函数的所有性质都可以从指数函数的性质推导出来！

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哲学意义：

• 指数函数是更基本的对象
• 三角函数是指数函数在实轴上的"投影"
• 复数是理解数学结构的自然语言

实傅里叶级数

周期函数 $f(x)$ 的傅里叶级数： $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

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复数形式的推导

由欧拉公式： $$\cos nx=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2},\sin nx=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}$$

代入傅里叶级数： $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right]$$

重新整理： $$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inx}$$

其中： $$c_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{2},& n=0\\ \frac{a_n-i{b}_n}{2},& n>0\\ \frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2},& n<0\end{array}$$

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统一公式：

$$\boxed{c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx}$$

这就是复傅里叶级数的标准形式！

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意义：

• 形式简洁统一
• 正负频率对称
• 与信号处理的频谱分析直接对应
• 是傅里叶变换的基础