重积分变量变换公式的严格证明

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本章节深入探讨重积分变量变换公式（Change of Variables Formula for Multiple Integrals）在一般条件下的严格证明。这是多元微积分中最重要的理论之一，将经典的"换元法"从一元积分推广到多重积分，为实际计算提供了强大工具。

核心问题：在何种条件下，坐标变换前后的积分关系成立？如何严格证明雅可比行列式的作用？

🗺️ 思维导图

                     重积分变量变换公式
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        ┌───────────────────┼───────────────────┐
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    问题背景            理论基础              严格证明
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   ┌────┴────┐         ┌────┴────┐        ┌────┴────┐
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换元动机  几何意义   引理叙述  条件分析  证明策略  技术细节
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极坐标   面积变换   映射性质  可微性    四步归纳  逼近论证
球坐标   雅可比式   一对一性  连续性    分割细化  闭域套
一般变换  线性逼近   边界性质  非退化性  面积估计  测度极限
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                应用拓展         理论意义
                    |               |
                高维推广         现代观点
                曲线坐标         微分流形
                数值积分         Radon测度

📖 第一部分：问题的提出与理论背景

1.1 变量变换的必要性

1.1.1 动机实例

在实际计算中，直角坐标系往往不是最佳选择。考虑计算圆盘上的积分：

$${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}f(x,y)dxdy$$

若采用极坐标变换： $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}(r\ge 0,0\le \theta <2\pi )$$

积分变为： $${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdr$$

关键问题：为什么出现因子 $r$？它从何而来？

1.1.2 几何直观

面积元素的变换：

在直角坐标系中，微元矩形的面积是： $$dA=dxdy$$

在极坐标系中，对应的微元是扇环（annular sector）：

• 内半径：$r$
• 外半径：$r+dr$
• 角度范围：$[\theta ,\theta +d\theta ]$

扇环面积近似为： $$dA\approx rdrd\theta$$

这里的 $r$ 正是雅可比行列式的绝对值！

        ┌────────┐
        │  dy    │  直角坐标微元
    dx  │        │  面积 = dx·dy
        └────────┘

          ╱╲
         ╱  ╲     极坐标微元
        ╱ dθ ╲    面积 ≈ r·dr·dθ
       ╱──────╲
      r    dr

1.2 变量变换公式的经典形式

1.2.1 二重积分的变换公式

定理21.13（变量变换公式）

设变换 $T:\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$ 满足：

(i) $T$ 把 $uv$ 平面上的区域 $\Delta$ 一对一地映成 $xy$ 平面上的区域 $D$

(ii) $x(u,v),y(u,v)$ 在 $\Delta$ 上有一阶连续偏导数

(iii) 雅可比行列式在 $\Delta$ 上不为零： $$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \neq 0, \quad (u,v) \in \Delta$$

则： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$$

1.2.2 雅可比行列式的几何意义

定义：雅可比行列式（Jacobian determinant） $$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v \ y_u & y_v \end{pmatrix}$$

几何解释：

1. 线性逼近：在点 $(u_0,v_0)$ 附近，变换 $T$ 可以用线性映射逼近： $$\begin{pmatrix} dx \ dy \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} x_u & x_v \ y_u & y_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du \ dv \end{pmatrix}$$

2. 面积伸缩因子：雅可比矩阵把 $uv$ 平面上的单位正方形变为 $xy$ 平面上的平行四边形，行列式的绝对值等于平行四边形的面积。

3. 局部膨胀率：$|J(u,v)|$ 度量了变换 $T$ 在点 $(u,v)$ 处的局部面积放大倍数。

1.3 证明的历史与困难

1.3.1 经典证明的缺陷

在早期教材中（包括本书第21.4节），证明变量变换公式时引用了一个引理：

若变换 $T$ 把区域 $\Delta$ 一对一地映成区域 $D$，且 $x(u,v),y(u,v)$ 有二阶连续偏导数，则 $D$ 的面积满足： $$\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

问题：

• 要求二阶连续偏导数过于强
• 许多实际变换（如极坐标在原点）只有一阶连续偏导数
• 理论上应该只需要一阶连续偏导数即足够

1.3.2 本节的目标

核心任务：在仅有一阶连续偏导数的条件下，证明上述引理。

意义：

1. 降低条件：从二阶降至一阶，使理论更精确
2. 完善理论：填补经典证明的漏洞
3. 技术创新：引入更精细的逼近和分割方法

📖 第二部分：引理的精确陈述与证明策略

2.1 引理的重新表述

引理（变换下的面积公式）

设变换 $T:\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$ 满足：

(H1) $T$ 把 $uv$ 平面上由分段光滑封闭曲线所围的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $xy$ 平面上的闭区域 $D$

(H2) $x(u,v),y(u,v)$ 在 $\Delta$ 上分别具有一阶连续偏导数

(H3) 雅可比行列式在 $\Delta$ 上处处非零： $$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\ne 0,\forall (u,v)\in \Delta$$

则区域 $D$ 的面积为： $$\boxed{\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv}$$

2.2 证明的总体结构

四步证明法（Four-Step Proof Strategy）

证明分为四个递进的步骤，逐步建立面积公式：

第1步：局部逼近
    对任意内点，用线性变换局部控制面积变化
    ↓
第2步：内部正方形
    推广到任意内部正方形
    ↓
第3步：上界估计
    证明 μ(D) ≤ ∫∫ |J(u,v)| du dv
    ↓
第4步：下界估计
    利用逆变换，证明 μ(D) ≥ ∫∫ |J(u,v)| du dv
    ↓
结论：μ(D) = ∫∫ |J(u,v)| du dv

每一步都建立在前一步的基础上，使用逼近论证和测度极限技术。

📖 第三部分：证明的详细展开

3.1 第一步：局部线性逼近

3.1.1 目标陈述

命题1（局部面积控制）

对任意内点 $(u_0,v_0)\in \text{int}\Delta$，任意 $\epsilon >0$，存在 $(u_0,v_0)$ 的邻域 $G$，使得当正方形 $I\subset G$ 且 $(u_0,v_0)\in I$ 时， $$\mu (T(I))\le {\int }_I|J(u,v)|dudv+\epsilon \mu (I)$$

直观意义：变换后的面积不超过雅可比积分加一个小误差项。

3.1.2 证明的核心思想

策略：在点 $(u_0,v_0)$ 附近，用线性映射逼近非线性变换 $T$。

步骤概览：

1. 构造线性逼近：定义仿射变换 $L$
2. 估计误差：控制 $T$ 与 $L$ 的差异
3. 包含关系：证明 $T(I)\subset L(I^{\prime })$（$I^{\prime }$ 是稍大的正方形）
4. 面积计算：利用线性变换的面积公式

3.1.3 详细证明

步骤1：选择参数

给定 $\epsilon >0$，取正数 $\eta <|J(u_0,v_0)|$ 满足： $$(1+\eta {)}^2|J(u_0,v_0)|<|J(u_0,v_0)|-\eta +\epsilon$$

目的：控制放大倍数，确保误差项可控。

步骤2：连续性保证

由于 $J(u,v)$ 在 $(u_0,v_0)$ 连续，存在邻域 $G_0\subset \text{int}\Delta$，使得当 $(u,v)\in G_0$ 时： $$|J(u,v)|>|J(u_0,v_0)|-\eta$$

这确保雅可比行列式在小邻域内不会退化。

步骤3：定义线性逼近

定义仿射变换（一阶泰勒展开）： $$L(u,v) = \begin{pmatrix} \bar{x}(u,v) \ \bar{y}(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(u_0, v_0) \ y(u_0, v_0) \end{pmatrix} + J(u_0, v_0) \begin{pmatrix} u - u_0 \ v - v_0 \end{pmatrix}$$

即： $$\{\begin{array}{l}\bar{x}(u,v)=x(u_0,v_0)+x_u(u_0,v_0)(u-u_0)+x_v(u_0,v_0)(v-v_0)\\ \bar{y}(u,v)=y(u_0,v_0)+y_u(u_0,v_0)(u-u_0)+y_v(u_0,v_0)(v-v_0)\end{array}$$

其中雅可比矩阵： $$J(u_0, v_0) = \begin{pmatrix} x_u(u_0, v_0) & x_v(u_0, v_0) \ y_u(u_0, v_0) & y_v(u_0, v_0) \end{pmatrix}$$

步骤4：可微性带来的误差控制

由于 $x(u,v),y(u,v)$ 在 $(u_0,v_0)$ 可微，有： $$\begin{array}{rl}|x(u,v)-\bar{x}(u,v)|& =o(\rho )(\rho \to 0)\\ |y(u,v)-\bar{y}(u,v)|& =o(\rho )(\rho \to 0)\end{array}$$

其中 $\rho =\sqrt{(u-u_0{)}^2+(v-v_0{)}^2}$ 是到中心点的距离。

结论：存在更小的邻域 $G_1\subset G_0$，当 $(u,v)\in G_1$ 时： $$|x(u,v)-\bar{x}(u,v)|<\frac{\epsilon }{2\sqrt{2}M},|y(u,v)-\bar{y}(u,v)|<\frac{\epsilon }{2\sqrt{2}M}$$

其中 $M$ 是雅可比矩阵的逆矩阵元素绝对值之和（假设 $J^{-1}(u_0, v_0) = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$，$M=|a|+|b|+|c|+|d|$）。

步骤5：逆映射估计

取正方形 $I\subset G_1$，边长为 $\beta$，中心在 $(u_0,v_0)$。

对任意 $(x(u,v),y(u,v))\in T(I)$（其中 $(u,v)\in I$），定义逆映射： $$(\bar{u},\bar{v})=L^{-1}(x(u,v),y(u,v))$$

即： $$\begin{pmatrix} \bar{u} \ \bar{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_0 \ v_0 \end{pmatrix} + J^{-1}(u_0, v_0) \begin{pmatrix} x(u,v) - x(u_0, v_0) \ y(u,v) - y(u_0, v_0) \end{pmatrix}$$

关键估计：由于 $$\begin{pmatrix} \bar{x}(u,v) - x(u,v) \ \bar{y}(u,v) - y(u,v) \end{pmatrix} = -J(u_0, v_0) \begin{pmatrix} \bar{u} - u \ \bar{v} - v \end{pmatrix}$$

逆推得： $$\begin{pmatrix} \bar{u} - u \ \bar{v} - v \end{pmatrix} = J^{-1}(u_0, v_0) \begin{pmatrix} x(u,v) - \bar{x}(u,v) \ y(u,v) - \bar{y}(u,v) \end{pmatrix}$$

因此： $$\begin{array}{rl}|\bar{u}-u|& \le |a|\cdot |x(u,v)-\bar{x}(u,v)|+|b|\cdot |y(u,v)-\bar{y}(u,v)|\\ & <(|a|+|b|)\cdot \frac{\epsilon }{2\sqrt{2}M}\\ & \le \frac{\epsilon }{2\sqrt{2}}\cdot \frac{M}{M}=\frac{\epsilon }{2\sqrt{2}}\end{array}$$

同理 $|\bar{v}-v|<\frac{\epsilon }{2\sqrt{2}}$。

由于 $(u,v)\in I$ 且 $I$ 的边长为 $\beta$，有 $|u-u_0|,|v-v_0|\le \frac{\beta }{2}$，从而 $\rho \le \frac{\sqrt{2}\beta }{2}$。

包含关系：$(\bar{u},\bar{v})$ 与 $(u,v)$ 的距离小于 $\frac{\epsilon \beta }{2}$，因此 $(\bar{u},\bar{v})$ 仍在以 $(u_0,v_0)$ 为中心、边长为 $(1+\eta )\beta$ 的正方形 $I^{\prime }$ 内。

结论： $$T(I)\subset L(I^{\prime })$$

步骤6：面积计算

设 $I$ 的两条邻边向量为 $\overrightarrow{l_1},\overrightarrow{l_2}$（边长 $\beta$ 的正交向量）。

由于 $L$ 是仿射变换，$L(I^{\prime })$ 是以 $L({\overrightarrow{l_1}}^{\prime }),L({\overrightarrow{l_2}}^{\prime })$ 为邻边的平行四边形，其中 ${\overrightarrow{l_i}}^{\prime }$ 是 $I^{\prime }$ 的邻边向量（边长 $(1+\eta )\beta$）。

平行四边形面积： $$\mu (L(I^{\prime }))=|L({\overrightarrow{l_1}}^{\prime })\times L({\overrightarrow{l_2}}^{\prime })|=|J(u_0,v_0)||{\overrightarrow{l_1}}^{\prime }\times {\overrightarrow{l_2}}^{\prime }|=|J(u_0,v_0)|\mu (I^{\prime })$$

其中 $\mu (I^{\prime })=(1+\eta {)}^2{\beta }^2=(1+\eta {)}^2\mu (I)$。

因此： $$\mu (T(I))\le \mu (L(I^{\prime }))=|J(u_0,v_0)|(1+\eta {)}^2\mu (I)$$

步骤7：结合积分估计

另一方面，由于 $|J(u,v)|>|J(u_0,v_0)|-\eta$ 在 $I$ 上成立： $${\int }_I|J(u,v)|dudv\ge (|J(u_0,v_0)|-\eta )\mu (I)$$

结合参数选择： $$(1+\eta {)}^2|J(u_0,v_0)|<|J(u_0,v_0)|-\eta +\epsilon$$

得到： $$\begin{array}{rl}\mu (T(I))& \le |J(u_0,v_0)|(1+\eta {)}^2\mu (I)\\ & <(|J(u_0,v_0)|-\eta +\epsilon )\mu (I)\\ & \le {\int }_I|J(u,v)|dudv+\epsilon \mu (I)\end{array}$$

第一步证毕。$\square$

3.2 第二步：推广到任意内部正方形

3.2.1 目标陈述

命题2（内部正方形的面积估计）

对任意正方形 $I\subset \text{int}\Delta$，有： $$\mu (T(I))\le {\int }_I|J(u,v)|dudv$$

意义：去掉第一步中对特定点的依赖，推广到任意内部正方形。

3.2.2 反证法与闭域套定理

证明：

假设存在正方形 $I\subset \text{int}\Delta$，使得： $$\mu (T(I))-{\int }_I|J(u,v)|dudv=\delta >0$$

策略：通过二分法构造正方形序列，导出矛盾。

步骤1：二分分割

将 $I$ 等分为4个小正方形（每条边对半分）。

由抽屉原理（鸽巢原理），至少有一个小正方形 $I_1$ 满足： $$\mu (T(I_1))-{\int }_{I_1}|J(u,v)|dudv\ge \frac{\delta }{4}$$

理由：若4个小正方形都不满足，即 $$\mu (T(I_k))-{\int }_{I_k}|J|dudv<\frac{\delta }{4},k=1,2,3,4$$

则： $$\mu (T(I))=\sum _{k=1}^4\mu (T(I_k))<\sum _{k=1}^4\left({\int }_{I_k}|J|dudv+\frac{\delta }{4}\right)={\int }_I|J|dudv+\delta$$

与假设矛盾。

步骤2：归纳构造

重复上述过程：将 $I_1$ 再等分为4个小正方形，必有一个 $I_2$ 满足： $$\mu (T(I_2))-{\int }_{I_2}|J(u,v)|dudv\ge \frac{\delta }{4^2}$$

继续归纳，得到正方形序列 $\{I_n\}$，满足：

(i) $I_{n+1}\subset I_n$（嵌套）

(ii) $I_n$ 的边长为 $\frac{\beta }{2^n}$（$\beta$ 是 $I$ 的边长）

(iii) $\mu (T(I_n))-{\int }_{I_n}|J(u,v)|dudv\ge \frac{\delta }{4^n}$

步骤3：闭域套定理

由闭域套定理（Nested Closed Set Theorem，定理16.2），存在唯一点： $$(u_0,v_0)\in \bigcap _{n=1}^{\infty }{I}_n\subset \text{int}\Delta$$

步骤4：应用第一步结论

由第一步，对 $(u_0,v_0)$ 和任意 $\epsilon >0$，存在邻域 $G$ 使得当正方形 $I^{\prime }\subset G$ 且 $(u_0,v_0)\in I^{\prime }$ 时： $$\mu (T(I^{\prime }))\le {\int }_{I^{\prime }}|J(u,v)|dudv+\epsilon \mu (I^{\prime })$$

当 $n$ 充分大时，$I_n\subset G$（因为 $I_n$ 的直径 $\to 0$），因此： $$\mu (T(I_n))\le {\int }_{I_n}|J(u,v)|dudv+\epsilon \mu (I_n)$$

但由构造： $$\mu (T(I_n))-{\int }_{I_n}|J(u,v)|dudv\ge \frac{\delta }{4^n}$$

即： $$\epsilon \mu (I_n)\ge \frac{\delta }{4^n}$$

而 $\mu (I_n)=\frac{{\beta }^2}{4^n}$，故： $$\epsilon \ge \frac{\delta }{{\beta }^2}$$

由于 $\epsilon$ 可任意小，矛盾！

结论：不存在满足假设的正方形，即对所有 $I\subset \text{int}\Delta$： $$\mu (T(I))\le {\int }_I|J(u,v)|dudv$$

第二步证毕。$\square$

3.3 第三步：区域的上界估计

3.3.1 目标陈述

命题3（总面积的上界）

$$\mu (D)\le {\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

策略：用内部正方形逼近整个区域，处理边界的影响。

3.3.2 分割与逼近

步骤1：网格分割

用平行于坐标轴的直线将 $uv$ 平面分割成大小相等的闭正方形。

设与 $\text{int}\Delta$ 相交的正方形为 $I_1,I_2,\dots ,I_n$，其中：

• 完全在 $\text{int}\Delta$ 内的正方形：$I_1,\dots ,I_s$
• 不完全在 $\text{int}\Delta$ 内的正方形（与边界 $\partial \Delta$ 相交）：$I_{s+1},\dots ,I_n$

步骤2：构造分割

作 $\Delta$ 的分割： $$T_{\Delta }=\{I_i\cap \Delta \mid i=1,2,\dots ,n\}$$

作 $D$ 的分割： $$T_D=\{T(I_i\cap \Delta )\mid i=1,2,\dots ,n\}$$

性质：由于 $T$ 在 $\Delta$ 上一致连续，当分割模 $|T_{\Delta }|\to 0$ 时，$|T_D|\to 0$。

步骤3：边界项的控制

关键引理： $$\underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\sum _{i=s+1}^n\mu (I_i\cap \Delta )=0$$ $$\underset{|T_D|\to 0}{\lim }\sum _{i=s+1}^n\mu (T(I_i\cap \Delta ))=0$$

证明思路：

定义指示函数： $$\chi (u,v)=\{\begin{array}{ll}1,& (u,v)\in \text{int}\Delta \\ 0,& (u,v)\in \partial \Delta \end{array}$$

由于 $\chi$ 仅在零面积集 $\partial \Delta$ 上不连续，根据定理21.7（Riemann可积的充要条件），$\chi$ 在 $\Delta$ 上可积。

由定理21.4（Riemann和的极限），有： $$\underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\sum _{i=s+1}^n{\omega }_i\mu (I_i\cap \Delta )=0$$

其中 ${\omega }_i$ 是 $\chi$ 在 $I_i\cap \Delta$ 上的振幅。

注意到：

• 若 $I_i$ 完全在 $\text{int}\Delta$ 内，则 ${\omega }_i=0$
• 若 $I_i$ 与边界相交（即 $i>s$），则 ${\omega }_i=1$

因此： $$\underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\sum _{i=s+1}^n\mu (I_i\cap \Delta )=0$$

类似可证第二式（利用 $T$ 的连续性和一致连续性）。$\square$

步骤4：雅可比积分的控制

设 $|J(u,v)|$ 在 $\Delta$ 上的上确界为 $M$（由连续性和紧性，上确界存在）。

则： $$\sum _{i=s+1}^n{\int }_{I_i\cap \Delta }|J(u,v)|dudv\le M\sum _{i=s+1}^n\mu (I_i\cap \Delta )\to 0(|T_{\Delta }|\to 0)$$

步骤5：极限论证

由第二步，对 $i=1,\dots ,s$（完全在内部的正方形）： $$\mu (T(I_i))\le {\int }_{I_i}|J(u,v)|dudv$$

（注意：$I_i\cap \Delta =I_i$ 且 $I_i\subset \text{int}\Delta$）

因此： $$\begin{array}{rl}\mu (D)& =\underset{|T_D|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu (T(I_i\cap \Delta ))\\ & =\underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\left[\sum _{i=1}^s\mu (T(I_i))+\sum _{i=s+1}^n\mu (T(I_i\cap \Delta ))\right]\\ & \le \underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^s{\int }_{I_i}|J(u,v)|dudv+0\\ & =\underset{|T_{\Delta }|\to 0}{\lim }\left[\sum _{i=1}^n{\int }_{I_i\cap \Delta }|J|dudv-\sum _{i=s+1}^n{\int }_{I_i\cap \Delta }|J|dudv\right]\\ & ={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv-0\\ & ={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv\end{array}$$

第三步证毕。$\square$

3.4 第四步：下界估计与最终结论

3.4.1 目标陈述

命题4（总面积的下界）

$$\mu (D)\ge {\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

结合第三步，得到： $$\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

3.4.2 逆变换的应用

证明思路：考虑逆变换 $T^{-1}:D\to \Delta$。

步骤1：逆变换的雅可比行列式

设逆变换为： $$\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}$$

其雅可比行列式： $$J_0(x,y) = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_y \end{vmatrix}$$

关键关系（定理18.5，反函数定理的推论）： $$J(u,v)\cdot J_0(x(u,v),y(u,v))=1$$

即： $$|J(u,v)|\cdot |J_0(x,y)|=1$$

直观解释：正变换和逆变换的雅可比行列式互为倒数。

步骤2：应用第三步于逆变换

将第三步的结论应用于逆变换 $T^{-1}$（以 $D$ 代替 $\Delta$，以 $\Delta$ 代替 $D$）： $$\mu (\Delta )\le {\iint }_D|J_0(x,y)|dxdy$$

步骤3：区域分割与中值定理

对 $D$ 作正方形分割（类似第三步），设完全在 $\text{int}D$ 内的正方形为 $I_1^{\prime },\dots ,I_s^{\prime }$。

由积分中值定理，存在 $(x_i,y_i)\in T(I_i)$ 使得： $${\int }_{T(I_i)}|J_0(x,y)|dxdy=|J_0(x_i,y_i)|\mu (T(I_i)),i=1,\dots ,s$$

（这里假设 $T(I_i)$ 是连通的，由 $T$ 的连续性保证）

步骤4：雅可比行列式的关系

设 $(u_i,v_i)\in I_i$ 满足 $(x_i,y_i)=T(u_i,v_i)$。

由关系 $|J(u,v)|\cdot |J_0(x,y)|=1$： $$|J_0(x_i,y_i)|=\frac{1}{|J(u_i,v_i)|}$$

因此： $$\mu (I_i)\le {\int }_{T(I_i)}|J_0(x,y)|dxdy=|J_0(x_i,y_i)|\mu (T(I_i))=\frac{\mu (T(I_i))}{|J(u_i,v_i)|}$$

即： $$|J(u_i,v_i)|\mu (I_i)\le \mu (T(I_i))$$

步骤5：求和与取极限

对所有内部正方形求和： $$\sum _{i=1}^s|J(u_i,v_i)|\mu (I_i)\le \sum _{i=1}^s\mu (T(I_i))$$

当分割模 $|T_{\Delta }|\to 0$ 时：

• 左边趋于 ${\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$（Riemann和的极限）
• 右边趋于 $\mu (D)$（面积的分割逼近）

因此： $${\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv\le \mu (D)$$

第四步证毕。$\square$

3.4.3 最终结论

结合第三步和第四步： $$\mu (D)\le {\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv\text{且}\mu (D)\ge {\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

因此： $$\boxed{\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv}$$

引理证毕。$\square$

📖 第四部分：理论意义与拓展

4.1 证明的创新与技术要点

4.1.1 降低条件的意义

对比：

意义：

1. 理论精确性：一阶连续偏导数是保证可微性的必要且充分条件
2. 应用广泛性：许多实际变换（如极坐标在原点的延拓）只满足一阶条件
3. 理论完备性：填补了经典证明的逻辑缺陷

4.1.2 核心技术

关键技巧总结：

1. 局部线性逼近：利用可微性，在小邻域内用仿射变换逼近
2. 闭域套定理：处理无限过程，保证极限点的存在
3. 测度论方法：边界项的零面积性质，指示函数的可积性
4. 逆变换对偶：利用 $J\cdot J_0=1$ 建立下界
5. Riemann和的极限：将离散求和过渡到连续积分

4.2 推广到高维空间

4.2.1 n重积分的变换公式

定理（n维变量变换）

设变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$： $$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_1(u_1,\dots ,u_n)\\ ⋮\\ x_n=x_n(u_1,\dots ,u_n)\end{array}$$

满足条件（类似二维情形），则： $$\underset{D}{\underbrace{\int \cdots \int }}f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n=\underset{\Delta }{\underbrace{\int \cdots \int }}f(x_1(\mathbf{u}),\dots ,x_n(\mathbf{u}))|J(\mathbf{u})|d{u}_1\cdots d{u}_n$$

其中雅可比行列式： $$J(\mathbf{u})=\det {\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)}_{i,j=1}^n=\frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (u_1,\dots ,u_n)}$$

证明：完全类似，用n维体积代替面积。

4.2.2 曲线坐标系

常用坐标系的雅可比行列式：

4.3 现代数学的视角

4.3.1 微分流形理论

在微分几何中，变量变换公式是流形上积分理论的基础。

核心概念：

• 流形（Manifold）：局部看起来像欧氏空间的几何对象
• 坐标卡（Chart）：从流形的一部分到 ${\mathbb{R}}^n$ 的一一映射
• 转移函数（Transition Function）：不同坐标卡之间的变换

积分的定义： 流形上的积分通过微分形式（Differential Form）定义，变换公式自然成立： $${\int }_M\omega ={\int }_{\varphi (U)}{\varphi }^{\ast }\omega$$

其中 ${\varphi }^{\ast }$ 是拉回（Pullback）操作，自动包含雅可比行列式。

4.3.2 Lebesgue积分理论

在测度论（Measure Theory）中，变量变换公式推广为Radon-Nikodym定理。

测度变换定理： 设 $T:{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是可测映射，$\mu$ 是 ${\Omega }_1$ 上的测度，定义推前测度（Pushforward Measure）： $$T_{\ast }\mu (E)=\mu (T^{-1}(E))$$

若 $T$ 是光滑的，则： $$d(T_{\ast }\mu )=|J_T|d\mu$$

这正是积分变换公式的测度论表述。

4.4 数值计算与应用

4.4.1 数值积分的坐标变换

实际问题：计算复杂区域上的积分 $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

策略：

1. 选择合适变换：将 $D$ 映射到规则区域（如正方形、圆盘）
2. 计算雅可比：确定权重因子
3. 数值求积：在规则区域上应用Gauss求积公式

优势：

• 规则区域便于离散化
• 可利用对称性减少计算量

4.4.2 物理应用实例

例1：电磁场计算

球对称场强： $$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\hat{r}$$

计算通量： $$\Phi ={\iint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$

使用球坐标 $(r,\theta ,\phi )$，面积元： $$dA=r^2\sin \theta d\theta d\phi$$

（这里 $r^2\sin \theta$ 正是雅可比行列式）

例2：量子力学中的概率

计算波函数 $\psi (x,y,z)$ 在区域 $V$ 中的概率： $$P={\iiint }_V|\psi {|}^{2}dxdydz$$

对于氢原子，波函数具有球对称性，使用球坐标： $$P={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }|\psi (r,\theta ,\phi ){|}^2{r}^2\sin \theta drd\theta d\phi$$

🎯 核心知识速查表

变量变换公式

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$$

条件：

1. $T$ 是一对一映射
2. $x(u,v),y(u,v)$ 有一阶连续偏导数
3. $J(u,v)\ne 0$ 在 $\Delta$ 上

常用坐标系

证明技术总结

✅ 学习检查清单

理论理解

• 理解雅可比行列式的几何意义（面积/体积伸缩因子）
• 掌握变量变换公式的三个条件
• 理解一阶可微条件为何充分
• 理解四步证明的逻辑结构

技术掌握

• 会计算常见坐标系的雅可比行列式
• 理解线性逼近的误差控制
• 掌握闭域套定理的应用
• 理解逆变换的对偶作用

应用能力

• 能选择合适的坐标系简化计算
• 能处理含参数的变换
• 理解物理问题中的坐标变换
• 能推广到高维情形

📚 参考文献与延伸阅读

经典教材

1. **华东师范大学《数学分析》（第四版）**第21章第9节
2. **菲赫金哥尔茨《微积分学教程》**第三卷：多重积分理论
3. **卓里奇《数学分析》**第二卷：多元函数与积分
4. Rudin《数学分析原理》：抽象测度论视角

专题研究

1. 微分几何：Do Carmo《微分几何》，Lee《光滑流形导论》
2. 测度论：Folland《Real Analysis》，Royden《实分析》
3. 数值分析：Press《数值方法》，Numerical Recipes

历史发展

1. Jacobi（1841）：首次系统研究变量变换与行列式
2. Riemann（1854）：Riemann积分理论奠基
3. Lebesgue（1902）：测度论与Lebesgue积分
4. Cartan（1945）：微分形式理论

🌟 总结与展望

核心贡献

本节的证明实现了三个重要突破：

1. 条件最优化：将可微性要求从二阶降至一阶，达到理论上的最小必要条件
2. 方法创新：引入局部逼近、闭域套、测度极限等精细技术
3. 理论完善：填补了经典证明的缺陷，使重积分理论更加严密

现代意义

变量变换公式是：

• 微分几何中流形积分的基础
• 测度论中Radon-Nikodym定理的特例
• 数值分析中坐标自适应技术的理论依据
• 物理学中守恒律（如电荷守恒、能量守恒）的数学表达

学习启示

1. 严谨性：数学证明需要满足最小必要条件，避免过强假设
2. 技巧性：复杂问题需要分步处理、逐层深入
3. 联系性：看似孤立的定理往往是更大理论体系的一部分
4. 实用性：抽象理论最终服务于具体计算和实际应用

结语：重积分变量变换公式是分析学中的"瑰宝"，它连接了代数（雅可比行列式）、几何（坐标变换）、分析（积分理论）三大领域。通过本节的严格证明，我们不仅掌握了一个强大的计算工具，更领悟了现代数学追求精确性、简洁性、一般性的精神。这正是数学之美的真谛！