反常二重积分完整知识体系

📚 知识体系总览

本章深入探讨反常二重积分（Improper Double Integrals）理论，将定积分从有界区域上的有界函数扩展到无界区域或无界函数情形。这是数学分析中处理"无穷"问题的核心工具，在概率论、物理学、工程学中有广泛应用。

🗺️ 思维导图

                           反常二重积分体系
                                  |
                 ┌────────────────┼────────────────┐
                 |                                 |
          无界区域上的积分                    无界函数的积分
                 |                                 |
        ┌────────┴────────┐              ┌─────────┴─────────┐
        |                 |              |                   |
     基础理论          收敛判别        瑕点理论            收敛判别
        |                 |              |                   |
    定义与极限        比较判别法      瑕点定义          柯西判别法
    存在性定理        柯西判别法      极限定义          积分收敛性
    充要条件          累次积分法      充要条件          应用技巧
        |                 |              |                   |
        └─────────────────┴──────────────┴───────────────────┘
                                  |
                          ┌───────┴───────┐
                          |               |
                      经典应用         计算技巧
                          |               |
                    Γ函数与B函数      极坐标变换
                    高斯积分          分区域讨论
                    概率论应用        参数判别

📖 第一部分：无界区域上的反常二重积分

1.1 基本概念与定义

1.1.1 问题的提出

在实际问题中，常需要在无界区域上计算积分：

• 物理学：计算延伸到无穷远的力场能量
• 概率论：求连续型随机变量的概率密度函数的归一化
• 工程学：分析无限大平板的电场、热传导

例：计算平面上全部点 $(x,y)$ 处的函数 $e^{-(x^2+y^2)}$ 的积分

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

这需要建立无界区域上积分的理论。

1.1.2 严格定义

定义1（无界区域上的反常二重积分）

设 $f(x,y)$ 定义在无界区域 $D$ 上。对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 $\gamma$，记：

• $E_{\gamma }$：曲线 $\gamma$ 所围的有界区域
• $D_{\gamma }=E_{\gamma }\cap D$：$\gamma$ 所围区域与 $D$ 的交集
• $d_{\gamma }=\inf \{\sqrt{x^2+y^2}\mid (x,y)\in \gamma \}$：$\gamma$ 上点到原点的最小距离

若极限 $$\underset{d_{\gamma }\to +\infty }{\lim }{\iint }_{D_{\gamma }}f(x,y)d\sigma$$

存在且有限，且与曲线族 $\{\gamma \}$ 的选取无关，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分收敛，记作：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{d_{\gamma }\to +\infty }{\lim }{\iint }_{D_{\gamma }}f(x,y)d\sigma$$

否则称该反常二重积分发散。

几何意义：

• 用越来越大的闭曲线去"逼近"整个无界区域
• 要求积分值的极限存在且与逼近方式无关
• 常用圆盘序列 $\{x^2+y^2\le R^2\}$（$R\to +\infty$）作为标准逼近

图1：用圆盘序列逼近无界区域

1.2 存在性理论

1.2.1 非负函数的收敛定理

定理21.17（存在性判定）

设在无界区域 $D$ 上 $f(x,y)\ge 0$，$\{{\gamma }_n\}$ 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足：

(i) $d_n=\inf \{\sqrt{x^2+y^2}\mid (x,y)\in {\gamma }_n\}\to +\infty$ （$n\to \infty$）

(ii) $I={\sup }_n{\iint }_{D_n}f(x,y)d\sigma <+\infty$

其中 $D_n$ 为 ${\gamma }_n$ 所围区域与 $D$ 的交集。

则反常二重积分收敛，且 $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =I$$

证明要点：

1. 夹逼原理：对任意光滑曲线 ${\gamma }^{\prime }$，由于 $f(x,y)\ge 0$，必有 $${\iint }_{D^{\prime }}f(x,y)d\sigma \le I$$

2. 充分大性质：当 $d_{{\gamma }^{\prime }}$ 足够大时，存在 $n_0$ 使得 $D_{n_0}\subset D^{\prime }\subset D$

3. 逼近性：对任意 $\epsilon >0$，存在 $n$ 使得 $${\iint }_{D_n}f(x,y)d\sigma >I-\epsilon$$

   当 $d_{{\gamma }^{\prime }}$ 充分大时， $$I-\epsilon <{\iint }_{D^{\prime }}f(x,y)d\sigma \le I$$

4. 结论：极限存在且等于 $I$。 $\square$

1.2.2 充要条件

定理21.18（收敛的充要条件）

设在无界区域 $D$ 上 $f(x,y)\ge 0$，则反常二重积分收敛的充要条件是：

$$\text{在 }D\text{ 的任何有界子区域上 }f(x,y)\text{ 可积，且积分值有上界}$$

直观理解：

• 必要性：收敛 $\Rightarrow$ 局部可积且有界
• 充分性：局部积分有界 $\Rightarrow$ 极限存在

应用价值：将无穷问题转化为局部有界性判断

1.2.3 一般函数的收敛定理

定理21.19（绝对收敛与条件收敛）

函数 $f(x,y)$ 在无界区域 $D$ 上的反常二重积分收敛的充要条件是：

$${\iint }_D|f(x,y)|d\sigma \text{ 收敛}$$

证明思路：

1. 充分性：设 ${\iint }_D|f(x,y)|d\sigma =M<+\infty$

   构造辅助函数： $$f^{+}(x,y)=\frac{|f(x,y)|+f(x,y)}{2},f^{-}(x,y)=\frac{|f(x,y)|-f(x,y)}{2}$$

   显然 $0\le f^{\pm }\le |f|$，在任何有界子区域 $D^{\prime }$ 上： $${\iint }_{D^{\prime }}{f}^{\pm }d\sigma \le {\iint }_{D^{\prime }}|f|d\sigma \le M$$

   由定理21.18，$f^{+}$ 和 $f^{-}$ 的积分都收敛，因此 $$f=f^{+}-f^{-}$$ 的积分也收敛。

2. 必要性：需用更深入的测度论工具（略）$\square$

1.3 收敛判别法

1.3.1 比较判别法

原理：若 $0\le f(x,y)\le g(x,y)$，且 ${\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$ 收敛，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 收敛。

应用：常与标准积分比较（如 $\frac{1}{r^p}$）

1.3.2 柯西判别法（极坐标形式）

定理21.20（柯西判别法）

设 $D$ 是平面上的无界区域，$r=\sqrt{x^2+y^2}$ 是点 $(x,y)$ 到原点的距离。

(i) 收敛性：若当 $r$ 足够大时， $$|f(x,y)|\le \frac{c}{r^p}$$ 其中 $c>0$ 为常数，则当 $p>2$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 收敛。

(ii) 发散性：若在包含原点的无限扇形区域内， $$|f(x,y)|\ge \frac{c}{r^p}$$ 则当 $p\le 2$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 发散。

理论依据：

在极坐标下： $${\iint }_{r\ge r_0}\frac{1}{r^p}d\sigma ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_{r_0}^{\infty }\frac{1}{r^p}\cdot rdr=2\pi {\int }_{r_0}^{\infty }{r}^{1-p}dr$$

该积分收敛 $\iff$ $1-p<-1$ $\iff$ $p>2$

记忆口诀：

• 二重积分：$p>2$ 收敛（比一重积分 $p>1$ 多1）
• 三重积分：$p>3$ 收敛
• n重积分：$p>n$ 收敛

1.3.3 判别法应用实例

例题1：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\ge 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^p}dxdy$ 的收敛性。

解： 令 $r^2=x^2+y^2$，极坐标变换： $${\iint }_{r\ge 1}\frac{1}{r^{2p}}dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_1^{\infty }\frac{r}{r^{2p}}dr=2\pi {\int }_1^{\infty }{r}^{1-2p}dr$$

• 当 $1-2p<-1$，即 $p>1$ 时收敛
• 当 $p\le 1$ 时发散

结论：$p>1$ 时收敛。$\square$

例题2：判断 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\frac{x^2{y}^2}{(x^2+y^2{)}^3}dxdy$ 的收敛性。

解： $$\frac{x^2{y}^2}{(x^2+y^2{)}^3}\le \frac{(x^2+y^2{)}^2}{4(x^2+y^2{)}^3}=\frac{1}{4(x^2+y^2)}$$

这里 $p=1\ngtr 2$，可能发散。实际上：

$${\iint }_{r\ge 1}\frac{r^4{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta }{r^6}\cdot rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta {\int }_1^{\infty }\frac{dr}{r}$$

内层积分发散，故原积分发散。$\square$

1.4 经典应用

1.4.1 高斯积分（Gaussian Integral）

例1：证明反常二重积分 $${\iint }_D{e}^{-(x^2+y^2)}d\sigma$$ 收敛，其中 $D=[0,+\infty )\times [0,+\infty )$（第一象限）。

证明：

步骤1：建立区域逼近

设 $D_R$ 是以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆与第一象限的交集（$\frac{1}{4}$ 圆）。

由于 $e^{-(x^2+y^2)}>0$，积分值随 $R$ 增大单调递增。

步骤2：极坐标计算

$${\iint }_{D_R}{e}^{-(x^2+y^2)}d\sigma ={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^R{e}^{-r^2}rdr$$

$$=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{R}r{e}^{-r^2}dr=\frac{\pi }{2}{\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^R=\frac{\pi }{4}(1-e^{-R^2})$$

步骤3：取极限

$$\underset{R\to +\infty }{\lim }{\iint }_{D_R}{e}^{-(x^2+y^2)}d\sigma =\underset{R\to +\infty }{\lim }\frac{\pi }{4}(1-e^{-R^2})=\frac{\pi }{4}$$

因此积分收敛，且 $$\boxed{{\iint }_{[0,+\infty {)}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{4}}$$

推论：全平面积分 $${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\pi$$

1.4.2 著名的 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

推导：

记 $I={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$，则 $$I^2=\left({\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_0^{+\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\iint }_{[0,+\infty {)}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{4}$$

因此 $$I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

最终结果： $$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=2I=\sqrt{\pi }}$$

这是概率论中正态分布归一化常数的理论基础！

几何意义图解：

     ┌────────────────┐
     │                │  正方形 S_a = [0,a]×[0,a]
     │    ●D_a        │  扇形 D_a（1/4圆，半径a）
     │   ╱ ╲          │  扇形 D_{√2a}（1/4圆，半径√2a）
     │  ╱   ╲         │
     │ ╱  Sa ╲        │
     │╱       ╲●D√2a  │
     └────────────────┘

由包含关系：$D_a\subset S_a\subset D_{\sqrt{2}a}$

$${\iint }_{D_a}{e}^{-(x^2+y^2)}\le {\int }_0^a{e}^{-x^2}dx{\int }_0^a{e}^{-y^2}dy\le {\iint }_{D_{\sqrt{2}a}}{e}^{-(x^2+y^2)}$$

$$\frac{\pi }{4}(1-e^{-a^2})\le {\left({\int }_0^a{e}^{-x^2}dx\right)}^2\le \frac{\pi }{4}(1-e^{-2a^2})$$

令 $a\to +\infty$，夹逼得到结果。

1.4.3 Γ函数与B函数的关系

例2（Gamma-Beta关系式）：若 $p>0,q>0$，证明 $$\Gamma (p)\Gamma (q)=B(p,q)\Gamma (p+q)$$

证明：

步骤1：Γ函数的改写

对于Γ函数： $$\Gamma (p)={\int }_0^{\infty }{x}^{p-1}{e}^{-x}dx$$

令 $x=u^2$，则 $dx=2udu$： $$\Gamma (p)=2{\int }_0^{\infty }{u}^{2p-1}{e}^{-u^2}du$$

类似地： $$\Gamma (q)=2{\int }_0^{\infty }{v}^{2q-1}{e}^{-v^2}dv$$

步骤2：构造二重积分

$$\Gamma (p)\Gamma (q)=4{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{u}^{2p-1}{v}^{2q-1}{e}^{-(u^2+v^2)}dudv$$

这是在第一象限上的反常二重积分。

步骤3：极坐标变换

令 $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$，雅可比行列式 $J=r$：

$$\Gamma (p)\Gamma (q)=4{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{\infty }{r}^{2p-1}{\cos }^{2p-1}\theta \cdot r^{2q-1}{\sin }^{2q-1}\theta \cdot e^{-r^2}\cdot rdrd\theta$$

$$=4{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2p-1}\theta {\sin }^{2q-1}\theta d\theta \cdot {\int }_0^{\infty }{r}^{2(p+q)-1}{e}^{-r^2}dr$$

步骤4：分离变量

角度积分： $${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2p-1}\theta {\sin }^{2q-1}\theta d\theta =\frac{1}{2}B(p,q)$$

径向积分： $${\int }_0^{\infty }{r}^{2(p+q)-1}{e}^{-r^2}dr=\frac{1}{2}\Gamma (p+q)$$

步骤5：结论

$$\Gamma (p)\Gamma (q)=4\cdot \frac{1}{2}B(p,q)\cdot \frac{1}{2}\Gamma (p+q)=B(p,q)\Gamma (p+q)$$

$$\boxed{B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}$$

这是概率论、统计学中Beta分布与Gamma分布关系的数学基础！$\square$

📖 第二部分：无界函数的反常二重积分

2.1 瑕点与瑕积分

2.1.1 问题引入

考虑积分： $${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy$$

被积函数在原点 $(0,0)$ 处无界（趋于无穷），但积分可能有意义。

物理背景：

• 点电荷产生的电势
• 引力场的势能
• 奇异核的积分方程

2.1.2 严格定义

定义2（无界函数的反常二重积分）

设 $P_0(x_0,y_0)$ 为有界区域 $D$ 的一个聚点，$f(x,y)$ 在 $D\setminus \{P_0\}$ 上有定义，且在 $P_0$ 的任何空心邻域内无界。

对于 $D$ 中任何含有 $P_0$ 的小区域 $\Delta$，$f(x,y)$ 在 $D\setminus \Delta$ 上可积。

记 $d_{\Delta }$ 为 $\Delta$ 的直径： $$d_{\Delta }=\sup \{\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}\mid (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \Delta \}$$

若极限 $$\underset{d_{\Delta }\to 0}{\lim }{\iint }_{D\setminus \Delta }f(x,y)d\sigma$$

存在且有限，且与 $\Delta$ 的选取无关，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分收敛，记作：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{d_{\Delta }\to 0}{\lim }{\iint }_{D\setminus \Delta }f(x,y)d\sigma$$

否则称该积分发散。

点 $P_0$ 称为瑕点（奇点）。

几何意义：

• 在瑕点周围挖去越来越小的邻域
• 在剩余区域上计算积分
• 要求积分值的极限存在且与挖法无关

图2：挖去瑕点邻域的积分

2.2 柯西判别法

2.2.1 主要定理

定理21.21（柯西判别法）

设 $f(x,y)$ 在有界区域 $D$ 上除点 $P_0(x_0,y_0)$ 外处处有定义，$P_0$ 为瑕点，$r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$。

(i) 收敛性：若在 $P_0$ 的充分小邻域内， $$|f(x,y)|\le \frac{c}{r^{\alpha }}$$ 其中 $c>0$ 为常数，则当 $\alpha <2$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 收敛。

(ii) 发散性：若在 $P_0$ 的充分小邻域内， $$|f(x,y)|\ge \frac{c}{r^{\alpha }}$$ 则当 $\alpha \ge 2$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 发散。

证明思路（收敛性）：

不失一般性，设 $P_0=(0,0)$。在点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域内：

$${\iint }_{r\le \delta }|f(x,y)|d\sigma \le c{\iint }_{r\le \delta }\frac{1}{r^{\alpha }}d\sigma$$

极坐标： $$=c{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\delta }\frac{r}{r^{\alpha }}dr=2\pi c{\int }_0^{\delta }{r}^{1-\alpha }dr$$

• 当 $1-\alpha >-1$，即 $\alpha <2$ 时： $${\int }_0^{\delta }{r}^{1-\alpha }dr={\left[\frac{r^{2-\alpha }}{2-\alpha }\right]}_0^{\delta }=\frac{{\delta }^{2-\alpha }}{2-\alpha }<+\infty$$

  积分收敛。$\square$

比较表格：

记忆规律：临界指数等于积分维度！

2.3 应用实例

例题1：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy$ 的收敛性

解： 被积函数在原点 $(0,0)$ 处无界，为瑕点。

$$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{r}$$

这里 $\alpha =1<2$，由柯西判别法，积分收敛。

验证计算： $${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1\frac{r}{r}dr=2\pi {\int }_0^{1}dr=2\pi$$

$\square$

例题2：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^m}dxdy$ 的收敛性

解： $$|f(x,y)|=\frac{1}{r^{2m}}$$

这里 $\alpha =2m$。

由柯西判别法：

• 当 $2m<2$，即 $m<1$ 时，积分收敛
• 当 $2m\ge 2$，即 $m\ge 1$ 时，积分发散

结论：$m<1$ 时收敛。$\square$

例题3：判断 ${\iint }_{0\le x,y\le 1}\frac{1}{(1-x^2-y^2{)}^m}dxdy$ 的收敛性

解： 被积函数在单位圆周 $x^2+y^2=1$ 上无界，但只需考虑在 $D=\{x^2+y^2\le 1,x,y\ge 0\}$ 内部。

在 $(1,0)$ 点附近，令 $u=1-x,v=y$，则 $$1-x^2-y^2=1-(1-u{)}^2-v^2\approx 2u-u^2-v^2\approx 2u$$

（当 $u,v$ 很小时）

$$f\sim \frac{1}{(2u{)}^m}$$

这是一维奇点，不能直接用二维柯西判别法。需要更细致的分析。

正确方法：在单位圆盘内部，设 $x^2+y^2={\rho }^2$，$\rho <1$。

令 $r=1-\rho$（到圆周的距离），则 $$1-x^2-y^2=1-{\rho }^2=(1-\rho )(1+\rho )\approx 2r$$

在圆环 $1-\delta <\rho <1$ 内： $${\iint }_{1-\delta <\rho <1}\frac{1}{(1-{\rho }^2{)}^m}dxdy\sim {\int }_0^{\delta }\frac{1}{(2r{)}^m}\cdot 2\pi \rho dr$$

其中 $\rho \approx 1$，所以 $$\sim 2\pi {\int }_0^{\delta }{r}^{-m}dr$$

• 当 $-m>-1$，即 $m<1$ 时收敛
• 当 $m\ge 1$ 时发散

结论：$m<1$ 时收敛。$\square$

📖 第三部分：综合应用与高级技巧

3.1 累次积分与反常积分

3.1.1 累次积分顺序的重要性

对于反常二重积分，累次积分的顺序可能影响结果！

例：考虑 $${\iint }_{[0,1{]}^2}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy$$

若先积 $y$ 后积 $x$： $${\int }_0^{1}dx{\int }_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy$$

若先积 $x$ 后积 $y$： $${\int }_0^{1}dy{\int }_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dx$$

两个结果可能不同！原因是被积函数在原点有奇点。

Fubini定理的限制：只有当 ${\iint }_D|f(x,y)|dxdy<+\infty$ 时，才能交换积分顺序。

3.1.2 正确的处理方法

原则：先判断绝对收敛性，再进行累次积分。

1. 检验 ${\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$ 是否收敛
2. 若收敛，则可任意交换积分顺序
3. 若不收敛，需谨慎处理，结果可能依赖于取极限的方式

3.2 对称性的利用

3.2.1 奇偶对称

例题：计算 $${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xy{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

解： 被积函数关于 $x$ 和 $y$ 都是奇函数： $$f(-x,y)=-f(x,y),f(x,-y)=-f(x,y)$$

积分区域关于坐标轴对称，因此积分值为 0。$\square$

3.2.2 旋转对称

例题：计算 $${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}\cos (x^2+y^2)dxdy$$

解： 被积函数只依赖于 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，使用极坐标：

$$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}\cos (r^2)\cdot rdr$$

$$=2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}\cos (r^2)dr$$

令 $u=r^2$，$du=2rdr$： $$=\pi {\int }_0^{\infty }{e}^{-u}\cos udu=\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$$

（利用了 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u}\cos udu=\frac{1}{2}$）$\square$

3.3 参数积分法

例题：计算 Frullani型积分

$$I(a)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy,a>0$$

解： 极坐标： $$I(a)={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}rdr=2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-a{r}^2}dr$$

令 $u=a{r}^2$，$du=2ardr$： $$I(a)=2\pi {\int }_0^{\infty }\frac{e^{-u}}{2a}du=\frac{\pi }{a}$$

验证：当 $a=1$ 时，$I(1)=\pi$ ✓

推广： $$\boxed{{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{a}}$$

应用：多元正态分布的归一化。$\square$

📖 第四部分：习题详解

4.1 无界区域积分的收敛性判断

习题21.8-1(1)：讨论 ${\iint }_{x^2+y^2\ge 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^p}dxdy$ 的收敛性

解： 极坐标： $${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_1^{\infty }\frac{r}{r^{2p}}dr=2\pi {\int }_1^{\infty }{r}^{1-2p}dr$$

• 当 $1-2p<-1$，即 $p>1$ 时： $${\int }_1^{\infty }{r}^{1-2p}dr={\left[\frac{r^{2-2p}}{2-2p}\right]}_1^{\infty }=\frac{1}{2p-2}$$ 收敛。

• 当 $p\le 1$ 时发散。

答案：$p>1$ 时收敛。$\square$

习题21.8-1(2)：讨论 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^m}dxdy$ 的收敛性

解： 这是瑕积分，瑕点在原点。

$${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1\frac{r}{r^{2m}}dr=2\pi {\int }_0^1{r}^{1-2m}dr$$

• 当 $1-2m>-1$，即 $m<1$ 时： $${\int }_0^1{r}^{1-2m}dr={\left[\frac{r^{2-2m}}{2-2m}\right]}_0^1=\frac{1}{2-2m}$$ 收敛。

• 当 $m\ge 1$ 时发散。

答案：$m<1$ 时收敛。$\square$

习题21.8-1(3)：若 $0<m\le |\phi (x,y)|\le M$，讨论 $${\iint }_D\phi (x,y)dxdy$$ 的收敛性，其中 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le \frac{1}{1+x^2+y^2}\}$

解： 区域 $D$ 是无界的，但被函数有界。

关键：判断区域的"大小"。

注意到 $y\le \frac{1}{1+x^2+y^2}$，即 $$y(1+x^2+y^2)\le 1$$ $$y+y{x}^2+y^3\le 1$$

当 $y$ 固定时，$x$ 可取的范围是 $x^2\le \frac{1-y-y^3}{y}$（当分母大于0时）。

简化分析： $${\iint }_D|\phi |dxdy\le M\cdot \text{Area}(D)$$

计算区域面积： $$\text{Area}(D)={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_0^{\frac{1}{1+x^2+y^2}}dy$$

这需要更细致的计算，但由于 $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 衰减很快，积分收敛。

答案：收敛。$\square$

4.2 反常积分的计算

习题21.8-2：计算 $${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}\cos (x^2+y^2)dxdy$$

解： 极坐标： $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}\cos (r^2)\cdot rdr=2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}\cos (r^2)dr$$

令 $u=r^2$，$du=2rdr$： $$=\pi {\int }_0^{\infty }{e}^{-u}\cos udu$$

复数方法： $${\int }_0^{\infty }{e}^{-u}\cos udu=\text{Re}\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-u}{e}^{iu}du\right)=\text{Re}\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-(1-i)u}du\right)$$

$$=\text{Re}\left(\frac{1}{1-i}\right)=\text{Re}\left(\frac{1+i}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

答案： $$\boxed{{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}\cos (x^2+y^2)dxdy=\frac{\pi }{2}}$$

$\square$

4.3 瑕积分的判别

习题21.8-3(1)：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^m}dxdy$ 的敛散性

解：已在前面解决，$m<1$ 时收敛。$\square$

习题21.8-3(2)：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{1}{(1-x^2-y^2{)}^m}dxdy$ 的敛散性

解： 极坐标：$x^2+y^2=r^2$，$1-x^2-y^2=1-r^2$

$${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1\frac{r}{(1-r^2{)}^m}dr=2\pi {\int }_0^1\frac{r}{(1-r^2{)}^m}dr$$

令 $u=1-r^2$，$du=-2rdr$，当 $r:0\to 1$ 时，$u:1\to 0$：

$$=2\pi {\int }_1^0\frac{-1}{2u^m}du=\pi {\int }_0^1{u}^{-m}du$$

• 当 $-m>-1$，即 $m<1$ 时收敛
• 当 $m\ge 1$ 时发散

答案：$m<1$ 时收敛。$\square$

🎯 核心知识速查表

收敛判别法总结

重要积分公式

计算技巧汇总

1. 极坐标优先：涉及 $x^2+y^2$ 的积分
2. 对称性简化：奇偶性、旋转对称
3. 参数积分法：引入参数后求导或积分
4. 复数方法：处理三角函数与指数函数的组合
5. 分区域讨论：瑕点或无界区域分段处理
6. 换元降维：适当变换简化问题

🌟 深层理解与拓展

5.1 测度论视角

反常积分本质上是Lebesgue积分理论的特例：

• Riemann积分：针对有界区域上的有界函数
• 反常Riemann积分：通过极限扩展到无界情形
• Lebesgue积分：统一处理，基于测度理论

优势：

• Lebesgue积分的单调收敛定理、控制收敛定理更强大
• 可以处理更广泛的函数类
• Fubini定理在Lebesgue意义下更完善

5.2 与概率论的联系

正态分布： $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}}$$

归一化条件： $${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}f(x,y)dxdy=1$$

正是利用了高斯积分的结果。

Gamma分布、Beta分布： 通过Γ函数与B函数的关系定义，反常积分是其理论基础。

5.3 物理应用

电磁学：点电荷的电势 $$\varphi (\vec{r})=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

场能量： $$W=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\iiint }_{{\mathbb{R}}^3}|\vec{E}{|}^{2}dV$$

涉及无界区域积分。

引力场：牛顿引力定律的积分形式

量子力学：波函数的归一化条件 $${\iiint }_{{\mathbb{R}}^3}|\psi (\vec{r}){|}^{2}dV=1$$

5.4 数值计算

挑战：

• 无界区域难以直接离散化
• 奇点附近数值不稳定

方法：

1. 截断法：在有限区域上计算，估计误差
2. 变量替换：将无穷区间变换到有限区间
   • $x=\tan t$，$x\in [0,+\infty )\to t\in [0,\pi /2)$
3. 自适应网格：在奇点附近加密网格
4. 特殊求积公式：Gauss-Laguerre求积（处理 $e^{-x}$ 权函数）

✅ 学习检查清单

理论掌握

• 理解无界区域上反常积分的定义（定义1）
• 理解无界函数反常积分的定义（定义2）
• 掌握非负函数收敛的充要条件（定理21.18）
• 掌握绝对收敛的充要条件（定理21.19）
• 理解柯西判别法的两种形式（定理21.20、21.21）

计算能力

• 会用极坐标计算涉及 $x^2+y^2$ 的反常积分
• 会判断无界区域积分的收敛性（$p$ 判别法）
• 会判断瑕积分的收敛性（$\alpha$ 判别法）
• 掌握高斯积分的推导
• 掌握Γ-B关系的证明

应用理解

• 理解反常积分在概率论中的应用
• 理解反常积分在物理场论中的意义
• 能够处理对称性问题
• 能够灵活选择坐标系

📚 参考文献与延伸阅读

经典教材

1. 华东师范大学《数学分析》（第四版）第21章
2. 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第三卷第一分册
3. Walter Rudin《Real and Complex Analysis》
4. Tom Apostol《Mathematical Analysis》

专题研究

1. Lebesgue积分理论：测度论基础
2. 特殊函数：Γ函数、B函数的深入性质
3. 渐近分析：Laplace方法、鞍点法
4. 奇异积分理论：Cauchy主值、Hadamard有限部分

应用领域

1. 概率论：连续型随机变量理论
2. 数理统计：参数估计、假设检验
3. 量子力学：波函数、散射理论
4. 偏微分方程：Green函数方法

🎓 总结与展望

反常二重积分理论是数学分析的高级篇章，它：

1. 扩展了积分概念：从有限到无限，从有界到无界
2. 统一了处理方法：极限思想贯穿始终
3. 连接多个分支：分析、几何、概率、物理
4. 提供实用工具：解决科学与工程中的实际问题

学习要点：

• 概念先行：深刻理解定义中的"与取法无关"
• 判别为主：熟练运用柯西判别法
• 计算为辅：掌握极坐标、对称性等技巧
• 应用为本：联系物理、概率背景加深理解

通过系统学习本章内容，您将建立起处理无穷问题的完整框架，为进一步学习测度论、泛函分析、偏微分方程等现代数学打下坚实基础。

结语：反常积分如同数学中的"望远镜"，让我们能够看到无穷远处的风景；又如"显微镜"，让我们能够观察奇点附近的细微结构。掌握这一工具，您将拥有探索无限世界的钥匙！