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第二十一章：重积分完整知识体系

📚 知识体系总览

本章节围绕多重积分理论展开，从二重积分扩展到n重积分，涵盖理论基础、计算方法、物理应用及反常积分。这是高等数学中连接几何、物理与分析的核心内容。

🗺️ 思维导图

                                重积分体系
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        ┌───────────────────────────┼───────────────────────────┐
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    基础理论                    计算方法                    应用问题
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n重积分   几何量          逐次积分        换元法        物理应用    反常积分
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定义    n维体积        累次积分      变量变换      质心·转动    无界区域
概念    n维球体        积分顺序      雅可比行列式  惯量·引力    无界函数
性质    单纯形        区域类型      球坐标变换    密度分布      收敛判别
存在性  曲面面积                   柱坐标变换

📖 第一部分：n重积分基础理论

1.1 n重积分的定义

1.1.1 物理背景：万有引力问题

考虑两个三维物体 $V_1$ 和 $V_2$ 之间的引力计算：

• $V_1$ 中点的坐标：$(x_1,y_1,z_1)$，密度函数：${\rho }_1(x_1,y_1,z_1)$
• $V_2$ 中点的坐标：$(x_2,y_2,z_2)$，密度函数：${\rho }_2(x_2,y_2,z_2)$

两个质量微元之间的万有引力在 $x$ 轴上的投影为：

$$\frac{{\rho }_1{\rho }_2(x_1-x_2)}{r^3}d{x}_{1}d{y}_{1}d{z}_{1}d{x}_{2}d{y}_{2}d{z}_2$$

其中距离 $r=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$

总引力在 x 轴上的投影：

$${\int }_{V_1\times V_2}\frac{{\rho }_1(x_1,y_1,z_1){\rho }_2(x_2,y_2,z_2)(x_1-x_2)}{r^3}d{x}_{1}d{y}_{1}d{z}_{1}d{x}_{2}d{y}_{2}d{z}_2$$

这是一个六重积分，在六维空间 $V=V_1\times V_2$ 上进行积分。

1.1.2 n维区域的体积

n维长方体： $$V=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$$

体积定义为： $$\text{Vol}(V)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots (b_n-a_n)$$

n维单纯形： $$T_n:\{\begin{array}{l}{x}_1\ge 0,x_2\ge 0,\dots ,x_n\ge 0\\ x_1+x_2+\cdots +x_n\le h\end{array}$$

n维球体： $$B_n:x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le R^2$$

1.1.3 n重积分的定义

设 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 定义在n维可求体积的区域 $V$ 上，通过：

1. 分割：将 $V$ 分割成小区域
2. 近似求和：在每个小区域上取函数值与体积的乘积
3. 取极限：当分割无限细化

得到n重积分：

$$\underset{n个}{\underbrace{\int \cdots \int }}f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$

存在性定理：若 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 在n维有界闭区域 $V$ 上连续，则n重积分必存在。

1.2 n重积分的计算

1.2.1 累次积分法（逐次积分）

长方体区域： $$V=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$$

则： $${\int }_{V}fd{x}_1\cdots d{x}_n={\int }_{a_1}^{b_1}\left[{\int }_{a_2}^{b_2}\cdots \left[{\int }_{a_n}^{b_n}fd{x}_n\right]\cdots d{x}_2\right]d{x}_1$$

一般区域： 若 $V$ 由不等式组表示： $$\{\begin{array}{l}{a}_1\le x_1\le b_1\\ a_2(x_1)\le x_2\le b_2(x_1)\\ ⋮\\ a_n(x_1,\dots ,x_{n-1})\le x_n\le b_n(x_1,\dots ,x_{n-1})\end{array}$$

则： $${\int }_{V}fd{x}_1\cdots d{x}_n={\int }_{a_1}^{b_1}d{x}_1{\int }_{a_2(x_1)}^{b_2(x_1)}d{x}_2\cdots {\int }_{a_n(x_1,\dots ,x_{n-1})}^{b_n(x_1,\dots ,x_{n-1})}fd{x}_n$$

1.2.2 换元法（变量替换）

变换公式：

设变换： $$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_1({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\\ x_2=x_2({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\\ ⋮\\ x_n=x_n({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\end{array}$$

把n维 $\xi$ 空间区域 $V^{\prime }$ 一对一映射到n维 $x$ 空间区域 $V$，则：

$${\int }_{V}f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n={\int }_{V^{\prime }}f(x_1(\xi ),\dots ,x_n(\xi ))|J|d{\xi }_1\cdots d{\xi }_n$$

其中雅可比行列式：

$$J = \frac{\partial(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{\partial(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \frac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial \xi_n} \ \frac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \frac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial \xi_n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial x_n}{\partial \xi_1} & \frac{\partial x_n}{\partial \xi_2} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial \xi_n} \end{vmatrix}$$

1.3 n维球坐标变换

n维球坐标系：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=r\cos {\phi }_1\\ x_2=r\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2\\ x_3=r\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\cos {\phi }_3\\ ⋮\\ x_{n-1}=r\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\cdots \sin {\phi }_{n-2}\cos {\phi }_{n-1}\\ x_n=r\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\cdots \sin {\phi }_{n-2}\sin {\phi }_{n-1}\end{array}$$

取值范围： $$0\le r\le R,0\le {\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_{n-2}\le \pi ,0\le {\phi }_{n-1}\le 2\pi$$

雅可比行列式： $$J=r^{n-1}{\sin }^{n-2}{\phi }_1{\sin }^{n-3}{\phi }_2\cdots {\sin }^2{\phi }_{n-3}\sin {\phi }_{n-2}$$

📖 第二部分：经典例题详解

例1：n维单纯形的体积

问题：求n维单纯形 $T_n$ 的体积： $$T_n:x_1\ge 0,x_2\ge 0,\dots ,x_n\ge 0,x_1+x_2+\cdots +x_n\le h$$

解法：

体积表达式： $$\Delta T_n=\underset{n个}{\underbrace{\int \cdots \int }}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$

步骤1：线性变换

令 $x_i=h{\xi }_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$，雅可比行列式 $J=h^n$

$$\Delta T_n=h^n\underset{D_n}{\underbrace{\int \cdots \int }}d{\xi }_{1}d{\xi }_2\cdots d{\xi }_n$$

其中 $D_n:{\xi }_1+{\xi }_2+\cdots +{\xi }_n\le 1,{\xi }_i\ge 0$

步骤2：建立递推关系

记 ${\alpha }_n$ 为n维单位单纯形体积：

$${\alpha }_n={\int }_0^{1}d{\xi }_n\underset{T_{n-1}}{\underbrace{\int \cdots \int }}d{\xi }_1\cdots d{\xi }_{n-1}$$

其中 $T_{n-1}:{\xi }_1+\cdots +{\xi }_{n-1}\le 1-{\xi }_n,{\xi }_i\ge 0$

步骤3：再次变换

令 ${\xi }_i=(1-{\xi }_n){\eta }_i$ $(i=1,\dots ,n-1)$，$J=(1-{\xi }_n{)}^{n-1}$

$${\alpha }_n={\int }_0^1(1-{\xi }_n{)}^{n-1}d{\xi }_n\cdot {\alpha }_{n-1}=\frac{1}{n}{\alpha }_{n-1}$$

步骤4：递推求解

由 ${\alpha }_1=1$，得： $${\alpha }_n=\frac{1}{n!}$$

最终结果： $$\boxed{\Delta T_n=\frac{h^n}{n!}}$$

几何意义：这是n维空间中"标准单纯形"的体积公式，是三角形面积和四面体体积在高维空间的推广。

例2：n维球体的体积

问题：求n维球体 $V_n:x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le R^2$ 的体积。

解法一：递推法

$$\Delta V_n=\underset{V_n}{\underbrace{\int \cdots \int }}d{x}_1\cdots d{x}_n$$

线性变换：$x_i=R{\xi }_i$，$J=R^n$

$$\Delta V_n=R^n{\beta }_n$$

其中 ${\beta }_n$ 是n维单位球体积。

建立递推关系：

$${\beta }_n=\underset{{\xi }_1^2+\cdots +{\xi }_{n-1}^2\le 1-{\xi }_n^2}{\underbrace{\int \cdots \int }}d{\xi }_1\cdots d{\xi }_{n-1}d{\xi }_n$$

内层是半径为 $\sqrt{1-{\xi }_n^2}$ 的 $(n-1)$ 维球体体积：

$${\beta }_n={\int }_{-1}^1{\beta }_{n-1}(1-{\xi }_n^2{)}^{(n-1)/2}d{\xi }_n$$

换元：${\xi }_n=\cos \theta$

$${\beta }_n=2{\beta }_{n-1}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^n\theta d\theta$$

利用Wallis公式： $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^n\theta d\theta =\{\begin{array}{ll}\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n=2m\\ \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!},& n=2m+1\end{array}$$

由 ${\beta }_1=2,{\beta }_2=\pi$，递推得：

最终公式：

$$\boxed{\Delta V_n=\{\begin{array}{ll}\frac{{\pi }^m{R}^{2m}}{m!},& n=2m\\ \frac{2(2\pi {)}^m{R}^{2m+1}}{(2m+1)!!},& n=2m+1\end{array}}$$

特殊情况：

• $n=1$: $\Delta V_1=2R$ （线段长度）
• $n=2$: $\Delta V_2=\pi R^2$ （圆面积）
• $n=3$: $\Delta V_3=\frac{4\pi R^3}{3}$ （球体积）
• $n=4$: $\Delta V_4=\frac{{\pi }^2{R}^4}{2}$ （四维超球）

解法二：n维球坐标法

使用球坐标变换，积分区域： $$0\le r\le R,0\le {\phi }_i\le \pi (i=1,\dots ,n-2),0\le {\phi }_{n-1}\le 2\pi$$

$$\Delta V_n={\int }_0^R{r}^{n-1}dr{\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-2}{\phi }_{1}d{\phi }_1\cdots {\int }_0^{\pi }\sin {\phi }_{n-2}d{\phi }_{n-2}{\int }_0^{2\pi }d{\phi }_{n-1}$$

分离变量： $$\Delta V_n=\frac{R^n}{n}\cdot 2\pi \cdot \prod _{k=1}^{n-2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^k\theta d\theta$$

结果与解法一一致。

例3：n维单位球面的面积

问题：求n维单位球面 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$ 的面积。

理论基础：

n维空间中曲面 $x_n=f(x_1,\dots ,x_{n-1})$ 的面积元素：

$$dS=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}\right)}^2}d{x}_1\cdots d{x}_{n-1}$$

解法：

对于上半球面：$x_n=\sqrt{1-(x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2)}$

$$\frac{\partial x_n}{\partial x_i}=\frac{-x_i}{\sqrt{1-(x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2)}}$$

$$dS=\frac{d{x}_1\cdots d{x}_{n-1}}{\sqrt{1-(x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2)}}$$

上半球面积： $$\Delta S_{上}=\underset{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\le 1}{\underbrace{\int \cdots \int }}\frac{d{x}_1\cdots d{x}_{n-1}}{\sqrt{1-(x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2)}}$$

球坐标变换求解：

经过积分变换和递推，得到：

$$\boxed{\Delta S_n=2\pi {\beta }_{n-2}=\{\begin{array}{ll}\frac{2{\pi }^m}{(m-1)!},& n=2m\\ \frac{2(2\pi {)}^m}{(2m-1)!!},& n=2m+1\end{array}}$$

特殊情况：

• $n=2$: $\Delta S_2=2\pi$ （圆周长）
• $n=3$: $\Delta S_3=4\pi$ （球面积）

关系式： $$\Delta S_n=n\cdot \frac{\Delta V_n}{R}=\frac{d(\Delta V_n)}{dR}$$

这揭示了n维球面积与球体积的微分关系。

📖 第三部分：物理应用

3.1 质心计算

均匀密度物体质心坐标：

$$\bar{x}=\frac{{\iiint }_{V}xdV}{{\iiint }_{V}dV},\bar{y}=\frac{{\iiint }_{V}ydV}{{\iiint }_{V}dV},\bar{z}=\frac{{\iiint }_{V}zdV}{{\iiint }_{V}dV}$$

应用例题：

(1) 半椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+z^2\le 1,z\ge 0$ 的质心

(2) 四面体：由坐标面及平面 $x+2y-z=1$ 所围

3.2 转动惯量

定义：物体对轴的转动惯量 $$I={\iiint }_V{r}^2\rho dV$$

其中 $r$ 是质点到转轴的距离，$\rho$ 是密度。

应用例题：

(1) 半径为R的圆盘对其切线的转动惯量

(2) 平行四边形薄板（边长 $a,b$，夹角 $\alpha$）对底边的转动惯量

(3) 边长为a的立方体对任一棱边的转动惯量

解答思路（立方体）：

建立坐标系，设棱边为 $z$ 轴，立方体为 $0\le x,y,z\le a$

$$I={\int }_0^a{\int }_0^a{\int }_0^a(x^2+y^2)\rho dxdydz=\rho a{\int }_0^a{\int }_0^a(x^2+y^2)dxdy$$

$$=\rho a\cdot a\cdot 2{\int }_0^a{x}^{2}dx=2\rho a^2\cdot \frac{a^3}{3}=\frac{2\rho a^5}{3}$$

若质量 $M=\rho a^3$，则： $$\boxed{I=\frac{2M{a}^2}{3}}$$

3.3 万有引力计算

引力公式：

物体 $V$ 对点 $P$ 的引力： $$\vec{F}=G{\iiint }_V\frac{\rho (\vec{r})}{|\vec{r}-{\vec{r}}_P{|}^3}({\vec{r}}_P-\vec{r})dV$$

应用例题：

(1) 均匀薄片 $x^2+y^2\le R^2,z=0$ 对轴上点 $(0,0,c)$ 的引力

解答：利用对称性，$F_x=F_y=0$，只需计算 $F_z$

$$F_z=G\rho {\iint }_{x^2+y^2\le R^2}\frac{c}{(x^2+y^2+c^2{)}^{3/2}}dxdy$$

极坐标：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

$$F_z=2\pi G\rho c{\int }_0^R\frac{rdr}{(r^2+c^2{)}^{3/2}}=2\pi G\rho c{\left[-\frac{1}{\sqrt{r^2+c^2}}\right]}_0^R$$

$$\boxed{F_z=2\pi G\rho \left(1-\frac{c}{\sqrt{R^2+c^2}}\right)}$$

(2) 均匀柱体 $x^2+y^2\le a^2,0\le z\le h$ 对点 $P(0,0,c)$ $(c>h)$ 的引力

(3) 正圆锥体（高 $h$，底半径 $R$）对顶点处质点的引力

3.4 曲面面积

参数曲面面积：

曲面由参数方程给出： $$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

面积元素： $$dS=|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|dudv$$

应用例题：

环面（螺旋环面）： $$\{\begin{array}{l}x=(b+a\cos v)\cos u\\ y=(b+a\cos v)\sin u\\ z=a\sin v\end{array}0\le u,v\le 2\pi$$

螺旋面： $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=b\theta \end{array}0\le r\le a,0\le \theta \le 2\pi$$

📖 第四部分：反常二重积分

4.1 无界区域上的二重积分

定义：设 $f(x,y)$ 定义在无界区域 $D$ 上。对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 $\gamma$，记 $\gamma$ 所围有界区域与 $D$ 的交集为 $D_{\gamma }$。

若极限： $$\underset{\gamma \to \infty }{\lim }{\iint }_{D_{\gamma }}f(x,y)dxdy$$

存在且与曲线族 $\gamma$ 的选取无关，则称此极限为反常二重积分，记作： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

常用方法：用圆盘序列 $\{x^2+y^2\le R^2\}$（$R\to \infty$）逼近

4.2 无界函数的二重积分

定义：若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)\in D$ 处无界，但在 $D\setminus \{(x_0,y_0)\}$ 上连续。

若极限： $$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }{\iint }_{D\setminus B_{ϵ}(x_0,y_0)}f(x,y)dxdy$$

存在，则称为反常二重积分。

4.3 收敛判别法

比较判别法： 若 $0\le f(x,y)\le g(x,y)$，且 ${\iint }_{D}g(x,y)dxdy$ 收敛，则 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$ 收敛。

极坐标下的判别： 对于 ${\iint }_{R^2}f(x,y)dxdy$，转为极坐标： $${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

若内层积分收敛，则原积分可能收敛。

例题：判断 ${\iint }_{x^2+y^2\ge 1}\frac{1}{(x^2+y^2{)}^p}dxdy$ 的收敛性

极坐标： $${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_1^{\infty }\frac{r}{r^{2p}}dr=2\pi {\int }_1^{\infty }{r}^{1-2p}dr$$

• 当 $1-2p<-1$，即 $p>1$ 时收敛
• 当 $p\le 1$ 时发散

📖 第五部分：习题精选与方法总结

5.1 典型习题

习题21.7-1：计算五重积分 $$\iiiii_V x dy dz du dv$$ 其中 $V:x^2+y^2+z^2+u^2+v^2\le r^2$

方法：五维球坐标变换

习题21.7-2：计算四重积分 $$\iiiint_V \sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2 - u^2} dx dy dz du$$ 其中 $V:x^2+y^2+z^2+u^2\le 1$

方法：四维球坐标，$J=r^3{\sin }^2{\phi }_1\sin {\phi }_2$

习题21.7-3：求n维角锥体积 $$x_i\ge 0,\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots +\frac{x_n}{a_n}\le 1$$

方法：变换 ${\xi }_i=x_i/a_i$，化为单纯形

$$\text{体积}=a_1{a}_2\cdots a_n\cdot \frac{1}{n!}$$

习题21.7-4：化n重积分为单重积分 $$\iint \cdots {\int }_{x_1^2+\cdots +x_n^2\le R^2}f(\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2})d{x}_1\cdots d{x}_n$$

方法：球坐标变换，利用对称性

$$=\Delta S_{n-1}{\int }_0^{R}f(r)r^{n-1}dr=n{\beta }_n{R}^{n-1}{\int }_0^{R}f(r)r^{n-1}dr$$

其中 ${\beta }_n$ 是n维单位球体积，$\Delta S_{n-1}=n{\beta }_n$ 是 $(n-1)$ 维单位球面面积。

5.2 方法论总结

🎯 核心公式速查表

n维几何体体积

n维球相关公式

$${\beta }_n=\{\begin{array}{ll}\frac{{\pi }^m}{m!},& n=2m\\ \frac{2(2\pi {)}^m}{(2m+1)!!},& n=2m+1\end{array}$$

$$\Delta S_n=n\cdot {\beta }_n\cdot R^{n-1}$$

Wallis积分

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{奇数}\end{array}$$

🌟 深层理解与拓展

6.1 几何直观

• n维单纯形：是高维空间中最简单的"锥形"结构
• n维球体体积增长：达到最大维度（约n=5.2）后开始衰减趋于0
• 雅可比行列式：度量坐标变换对"体积元素"的伸缩

6.2 与其他理论的联系

• 概率论：多元正态分布的归一化常数涉及n维球体积
• 物理学：相空间积分、统计力学配分函数
• 测度论：Lebesgue测度的具体计算
• 微分几何：Riemann流形上的体积元素

6.3 计算技巧汇总

1. 对称性优先：利用区域和函数对称性简化
2. 坐标系选择：球坐标适合球形区域，柱坐标适合旋转体
3. 递推思想：将n维问题化为 $(n-1)$ 维
4. 分离变量：多元函数积分化为一元积分乘积
5. 换元降维：巧妙变换降低积分复杂度

📚 参考文献与延伸阅读

1. 经典教材：

   • 华东师范大学《数学分析》（第四版）
   • Walter Rudin《数学分析原理》
   • Tom Apostol《Mathematical Analysis》

2. 专题研究：

   • 高维几何中的体积问题
   • 积分变换理论
   • 特殊函数与Wallis公式

3. 应用方向：

   • 理论物理中的路径积分
   • 高维数据分析中的体积计算
   • 优化理论中的积分不等式

✅ 学习检查清单

• 理解n重积分的定义与存在性条件
• 掌握累次积分法的应用
• 熟练使用换元法和雅可比行列式
• 记忆n维球体积和球面积公式
• 会计算n维单纯形体积
• 理解物理应用（质心、转动惯量、引力）
• 掌握反常积分的收敛判别
• 能够独立完成综合题目

结语：本章内容是多元微积分的高级篇章，将积分理论推广到任意维度，既有深刻的理论意义，也有广泛的实际应用。通过系统学习，您将建立起从低维到高维的完整积分理论体系，为进一步学习现代数学和理论物理打下坚实基础。