完整知识体系：重积分的应用

📊 核心知识思维导图

重积分的应用 (Applications of Multiple Integrals)
│
├─── 一、曲面面积
│    ├─── 1.1 问题引入
│    │    ├─── 平面区域面积 → 曲面面积
│    │    ├─── 微元法思想
│    │    └─── 切平面逼近
│    │
│    ├─── 1.2 显式曲面 z = f(x,y)
│    │    ├─── 面积公式
│    │    │    └─── S = ∬_D √(1 + f_x² + f_y²) dxdy
│    │    │
│    │    ├─── 法向量形式
│    │    │    └─── dS = dxdy/|cos(n,z)|
│    │    │
│    │    └─── 几何意义
│    │         ├─── 切平面与xy平面夹角
│    │         └─── 投影面积放大因子
│    │
│    ├─── 1.3 参数曲面
│    │    ├─── 参数方程
│    │    │    └─── x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
│    │    │
│    │    ├─── 面积公式
│    │    │    └─── S = ∬_D' √(EG - F²) dudv
│    │    │
│    │    └─── 第一基本形式系数
│    │         ├─── E = x_u² + y_u² + z_u²
│    │         ├─── F = x_u·x_v + y_u·y_v + z_u·z_v
│    │         └─── G = x_v² + y_v² + z_v²
│    │
│    ├─── 1.4 旋转曲面
│    │    ├─── 绕x轴旋转
│    │    │    └─── S = 2π ∫_a^b f(x)√(1 + f'²(x)) dx
│    │    │
│    │    ├─── 证明方法
│    │    │    ├─── 参数化
│    │    │    └─── 化为二重积分
│    │    │
│    │    └─── 典型例题
│    │         ├─── 球面面积
│    │         └─── 圆锥面面积
│    │
│    └─── 1.5 典型实例
│         ├─── 例1：圆锥面在圆柱内部分
│         ├─── 例2：旋转曲面面积证明
│         └─── 例3：球面两经纬线间面积
│
├─── 二、质心计算
│    ├─── 2.1 物理背景
│    │    ├─── 质量分布的平衡点
│    │    ├─── 重心概念
│    │    └─── 离散质点系 → 连续分布
│    │
│    ├─── 2.2 空间立体质心
│    │    ├─── 质量公式
│    │    │    └─── M = ∭_V ρ(x,y,z) dV
│    │    │
│    │    ├─── 质心坐标
│    │    │    ├─── x̄ = (1/M)∭_V xρ dV
│    │    │    ├─── ȳ = (1/M)∭_V yρ dV
│    │    │    └─── z̄ = (1/M)∭_V zρ dV
│    │    │
│    │    └─── 均匀密度简化
│    │         └─── x̄ = (1/V)∭_V x dV
│    │
│    ├─── 2.3 平面薄板质心
│    │    ├─── 质量公式
│    │    │    └─── M = ∬_D ρ(x,y) dxdy
│    │    │
│    │    ├─── 质心坐标
│    │    │    ├─── x̄ = (1/M)∬_D xρ dxdy
│    │    │    └─── ȳ = (1/M)∬_D yρ dxdy
│    │    │
│    │    └─── 均匀密度情况
│    │         ├─── x̄ = (1/A)∬_D x dxdy
│    │         └─── ȳ = (1/A)∬_D y dxdy
│    │
│    ├─── 2.4 对称性利用
│    │    ├─── 几何对称性
│    │    ├─── 密度对称性
│    │    └─── 化简计算
│    │
│    └─── 2.5 典型实例
│         └─── 例4：均匀上半椭球体质心
│
├─── 三、转动惯量
│    ├─── 3.1 物理概念
│    │    ├─── 质点转动惯量：J = mr²
│    │    ├─── 刚体转动的惯性度量
│    │    └─── 分布系统的转动惯性
│    │
│    ├─── 3.2 空间立体转动惯量
│    │    ├─── 对坐标轴
│    │    │    ├─── J_x = ∭_V (y² + z²)ρ dV
│    │    │    ├─── J_y = ∭_V (x² + z²)ρ dV
│    │    │    └─── J_z = ∭_V (x² + y²)ρ dV
│    │    │
│    │    ├─── 对坐标平面
│    │    │    ├─── J_xy = ∭_V z²ρ dV
│    │    │    ├─── J_xz = ∭_V y²ρ dV
│    │    │    └─── J_yz = ∭_V x²ρ dV
│    │    │
│    │    └─── 对原点（极转动惯量）
│    │         └─── J_O = ∭_V (x² + y² + z²)ρ dV
│    │
│    ├─── 3.3 平面薄板转动惯量
│    │    ├─── 对x轴：J_x = ∬_D y²ρ dxdy
│    │    ├─── 对y轴：J_y = ∬_D x²ρ dxdy
│    │    └─── 对任意轴l：J_l = ∬_D r²(x,y)ρ dxdy
│    │
│    ├─── 3.4 转动惯量定理
│    │    ├─── 平行轴定理（Steiner定理）
│    │    ├─── 垂直轴定理
│    │    └─── 转动惯量关系
│    │
│    └─── 3.5 典型实例
│         ├─── 例5：圆环对中心轴转动惯量
│         ├─── 例6：圆盘对直径转动惯量
│         └─── 例7：变密度球体对切平面转动惯量
│
├─── 四、引力计算
│    ├─── 4.1 物理背景
│    │    ├─── 万有引力定律
│    │    ├─── 连续质量分布
│    │    └─── 矢量积分
│    │
│    ├─── 4.2 引力基本公式
│    │    ├─── 微元引力
│    │    │    └─── dF = k·(dm/r²)·r̂
│    │    │
│    │    ├─── 引力分量
│    │    │    ├─── F_x = k∭_V (ξ-x)/r³ ρ dV
│    │    │    ├─── F_y = k∭_V (η-y)/r³ ρ dV
│    │    │    └─── F_z = k∭_V (ζ-z)/r³ ρ dV
│    │    │
│    │    └─── 距离公式
│    │         └─── r = √[(x-ξ)² + (y-η)² + (z-ζ)²]
│    │
│    ├─── 4.3 引力矢量
│    │    └─── F⃗ = F_x i⃗ + F_y j⃗ + F_z k⃗
│    │
│    ├─── 4.4 引力势
│    │    ├─── 定义：φ = -k∭_V ρ/r dV
│    │    └─── 关系：F⃗ = -∇φ
│    │
│    └─── 4.5 典型实例
│         └─── 例8：均匀球体对球外质点引力
│
└─── 五、方法论与技巧
     ├─── 5.1 微元法思想
     │    ├─── 分割区域
     │    ├─── 局部近似
     │    ├─── 求和累加
     │    └─── 取极限
     │
     ├─── 5.2 坐标系选择
     │    ├─── 直角坐标
     │    ├─── 极坐标（平面）
     │    ├─── 柱坐标（空间）
     │    └─── 球坐标（空间）
     │
     ├─── 5.3 对称性利用
     │    ├─── 几何对称
     │    ├─── 密度对称
     │    └─── 奇偶性判断
     │
     ├─── 5.4 积分计算技巧
     │    ├─── 累次积分
     │    ├─── 换元积分
     │    ├─── 分部积分
     │    └─── 特殊函数处理
     │
     └─── 5.5 物理量量纲分析
          ├─── 质量：[M]
          ├─── 面积：[L²]
          ├─── 转动惯量：[ML²]
          └─── 引力：[MLT⁻²]

第一章：曲面的面积

1.1 问题的提出

从平面到曲面

我们已经知道如何计算平面区域的面积，现在要研究空间曲面的面积。这是从二维到三维的自然推广。

基本问题

设 $D$ 为可求面积的平面有界闭区域，函数 $f (x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的一阶偏导数，求由方程

$z = f (x, y), (x, y) \in D$

所确定的曲面 $S$ 的面积。

1.2 曲面面积的定义（微元法）

定义思路

采用经典的分割-近似-求和-取极限四步法：

步骤1：分割

对平面区域 $D$ 作分割 $T$ ，将 $D$ 分成 $n$ 个小区域： $σ_{1}, σ_{2}, \dots, σ_{n}$

相应地，曲面 $S$ 也被分成 $n$ 个小曲面片： $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}$

步骤2：切平面近似

在每个小曲面片 $S_{i}$ 上任取一点 $M_{i} (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i})$ ，作曲面在该点的切平面 $π_{i}$ 。

在切平面 $π_{i}$ 上取出一小块 $Δ_{i}$ ，使得 $Δ_{i}$ 与 $S_{i}$ 在 $x y$ 平面上的投影都是 $σ_{i}$ 。

关键近似：当分割充分细（ $∥ T ∥ \to 0$ ）时， $Δ S_{i} \approx Δ Δ_{i}$

其中 $Δ S_{i}$ 是小曲面片 $S_{i}$ 的面积， $Δ Δ_{i}$ 是切平面小块 $Δ_{i}$ 的面积。

步骤3：求和

曲面 $S$ 的面积近似为： $S \approx i = 1 \sum n Δ Δ_{i}$

步骤4：取极限

当 $∥ T ∥ \to 0$ 时，上述和式的极限就定义为曲面 $S$ 的面积： $S = ∥ T ∥ \to 0 lim i = 1 \sum n Δ Δ_{i}$

1.3 显式曲面面积公式的推导

1.3.1 计算切平面面积元

第一步：法向量

曲面 $z = f (x, y)$ 在点 $M (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i})$ 处的法向量为： $n = (- f_{x}, - f_{y}, 1) = (- \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1)$

单位法向量： $\overset{n}{^} = \frac{( - f _{x} , - f _{y} , 1 )}{1 + f _{x}^{2} + f _{y}^{2}}$

第二步：与z轴夹角

设法向量与 $z$ 轴正向的夹角为 $γ_{i}$ ，则： $cos γ_{i} = \frac{∣ n \cdot k ∣}{∣ n ∣ \cdot ∣ k ∣} = \frac{1}{1 + f _{x}^{2} ( ξ _{i} , η _{i} ) + f _{y}^{2} ( ξ _{i} , η _{i} )}$

第三步：投影关系

切平面小块 $Δ_{i}$ 在 $x y$ 平面上的投影面积为 $Δ σ_{i}$ ，由投影关系： $Δ σ_{i} = Δ Δ_{i} \cdot cos γ_{i}$

因此： $Δ Δ_{i} = \frac{Δ σ _{i}}{cos γ _{i}} = 1 + f_{x}^{2} (ξ_{i}, η_{i}) + f_{y}^{2} (ξ_{i}, η_{i}) \cdot Δ σ_{i}$

1.3.2 积分和与极限

积分和为： $i = 1 \sum n Δ Δ_{i} = i = 1 \sum n 1 + f_{x}^{2} (ξ_{i}, η_{i}) + f_{y}^{2} (ξ_{i}, η_{i}) \cdot Δ σ_{i}$

这正是连续函数 $1 + f_{x}^{2} (x, y) + f_{y}^{2} (x, y)$ 在区域 $D$ 上的积分和。

当 $∥ T ∥ \to 0$ 时，由二重积分定义：

$S = \iint_{D} 1 + f_{x}^{2} (x, y) + f_{y}^{2} (x, y) d x d y$

这是显式曲面面积的基本公式。

1.4 曲面面积公式的其他形式

形式1：法向量形式

$d S = \frac{d x d y}{∣ cos ( n , z ) ∣}$

其中 $cos (n, z)$ 是曲面法向量 $n$ 与 $z$ 轴正向的夹角余弦。

$S = \iint_{D} \frac{d x d y}{∣ cos ( n , z ) ∣}$

几何意义： $\frac{1}{∣ c o s ( n , z ) ∣}$ 是倾斜面积元对水平投影面积元的放大因子。

形式2：梯度形式

若曲面方程为 $F (x, y, z) = 0$ （隐式），则法向量为 $\nabla F = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$ 。

若能解出 $z = f (x, y)$ ，即 $F (x, y, z) = z - f (x, y) = 0$ ，则： $\nabla F = (- f_{x}, - f_{y}, 1)$

$∣\nabla F ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1$

因此： $S = \iint_{D} ∣\nabla F ∣ d x d y = \iint_{D} 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y$

1.5 例题1：圆锥面在圆柱内的面积

例1：求圆锥 $z = x^{2} + y^{2}$ 在圆柱体 $x^{2} + y^{2} \leq x$ 内那一部分的面积。

解：

第一步：确定投影区域

圆柱面 $x^{2} + y^{2} = x$ 可改写为： $(x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$

这是以 $(\frac{1}{2}, 0)$ 为圆心、半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆。

投影区域： $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq x}$

第二步：计算偏导数

曲面方程： $z = x^{2} + y^{2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$

$1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} = 1 + \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = 1 + 1 = 2$

第三步：计算面积

$S = \iint_{D} 2 d x d y = 2 \cdot Area (D)$

区域 $D$ 的面积： $Area (D) = π \cdot (\frac{1}{2})^{2} = \frac{π}{4}$

因此： $S = 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{2 π}{4}$

1.6 旋转曲面的面积

1.6.1 定理陈述

定理：设平面光滑曲线的方程为 $y = f (x), x \in [a, b], f (x) > 0$

则此曲线绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为：

$S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'2} (x) d x$

注：这个公式在一元微积分中用微元法给出过，现在用二重积分给予严格证明。

1.6.2 证明

旋转面方程

绕 $x$ 轴旋转得到的上半旋转面方程为： $z = f^{2} (x) - y^{2}, y^{2} + z^{2} = f^{2} (x)$

计算偏导数

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f ( x ) f ^{'} ( x )}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- y}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}}$

$1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} = 1 + \frac{f ^{2} ( x ) f ^{'2} ( x )}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}} + \frac{y ^{2}}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}}$

$= \frac{f ^{2} ( x ) - y ^{2} + f ^{2} ( x ) f ^{'2} ( x ) + y ^{2}}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}} = \frac{f ^{2} ( x ) ( 1 + f ^{'2} ( x ))}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}}$

计算面积（上半部分）

$S_{上} = \iint_{D} \frac{f ^{2} ( x ) ( 1 + f ^{'2} ( x ))}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}} d x d y$

其中 $D = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, - f (x) \leq y \leq f (x)}$

$= \int_{a}^{b} d x \int_{- f (x)}^{f (x)} \frac{f ( x ) 1 + f ^{'2} ( x )}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}} d y$

令 $y = f (x) sin t$ ， $d y = f (x) cos t d t$ ：

$\int_{- f (x)}^{f (x)} \frac{d y}{f ^{2} ( x ) - y ^{2}} = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{f ( x ) cos t d t}{f ( x ) cos t} = π$

因此： $S_{上} = \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'2} (x) \cdot π d x = π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'2} (x) d x$

考虑下半部分

由对称性，下半部分面积相同，所以： $S = 2 \times S_{上} = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'2} (x) d x$

证毕。

1.7 参数曲面的面积

1.7.1 参数方程

若空间曲面 $S$ 由参数方程给出： $⎩ ⎨ ⎧ x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v), (u, v) \in D^{'}$

其中 $x (u, v), y (u, v), z (u, v)$ 在 $D^{'}$ 上具有连续的一阶偏导数，且 $\frac{\partial ( y , z )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( z , x )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}$ 中至少有一个不等于零。

1.7.2 法向量

曲面在点 $(x, y, z)$ 的法线方向向量为：

$n = (\frac{\partial ( y , z )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( z , x )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )})$

注：这是由两个切向量的叉积得到的： $$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}$$

1.7.3 与z轴夹角的余弦

$∣ cos (n, z) ∣ = \frac{\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}}{( \frac{\partial ( y , z )}{\partial ( u , v )} ) ^{2} + ( \frac{\partial ( z , x )}{\partial ( u , v )} ) ^{2} + ( \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} ) ^{2}}$

1.7.4 第一基本形式

引入微分几何中的第一基本形式系数：

$E = x_{u}^{2} + y_{u}^{2} + z_{u}^{2} = ∣ r_{u} ∣^{2}$ $F = x_{u} x_{v} + y_{u} y_{v} + z_{u} z_{v} = r_{u} \cdot r_{v}$ $G = x_{v}^{2} + y_{v}^{2} + z_{v}^{2} = ∣ r_{v} ∣^{2}$

则： $∣ r_{u} \times r_{v} ∣^{2} = ∣ r_{u} ∣^{2} ∣ r_{v} ∣^{2} - (r_{u} \cdot r_{v})^{2} = EG - F^{2}$

1.7.5 参数曲面面积公式

当 $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} \neq = 0$ 时，对面积公式 $d S = \frac{d x d y}{∣ c o s ( n , z ) ∣}$ 作变换 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ ：

$d x d y = \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v$

因此： $d S = \frac{\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v}{∣ cos ( n , z ) ∣} = EG - F^{2} d u d v$

参数曲面面积公式：

$S = \iint_{D^{'}} EG - F^{2} d u d v$

1.8 例题3：球面上两经纬线间的面积

例3：求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面面积（图21-40中阴影部分）。

解：

球面参数方程

$⎩ ⎨ ⎧ x = R cos φ cos θ y = R cos φ sin θ z = R sin φ$

其中 $R$ 是球的半径， $φ$ 是纬度角（与赤道平面夹角）， $θ$ 是经度角。

计算第一基本形式系数

$E = x_{φ}^{2} + y_{φ}^{2} + z_{φ}^{2} = R^{2} sin^{2} φ + R^{2} sin^{2} φ + R^{2} cos^{2} φ = R^{2}$

$F = x_{φ} x_{θ} + y_{φ} y_{θ} + z_{φ} z_{θ}$ $= (- R sin φ cos θ) (- R cos φ sin θ) + (- R sin φ sin θ) (R cos φ cos θ) + 0$ $= R^{2} sin φ cos φ (cos θ sin θ - sin θ cos θ) = 0$

$G = x_{θ}^{2} + y_{θ}^{2} + z_{θ}^{2} = R^{2} cos^{2} φ sin^{2} θ + R^{2} cos^{2} φ cos^{2} θ = R^{2} cos^{2} φ$

因此： $EG - F^{2} = R^{2} \cdot R^{2} cos^{2} φ - 0 = R^{2} ∣ cos φ ∣$

计算面积

设经度角范围为 $[θ_{1}, θ_{2}]$ ，纬度角范围为 $[φ_{1}, φ_{2}]$ （假设 $- π /2 \leq φ_{1} < φ_{2} \leq π /2$ ）：

$S = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} R^{2} cos φ d φ$

$= R^{2} (θ_{2} - θ_{1}) \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} cos φ d φ$

$= R^{2} (θ_{2} - θ_{1}) [sin φ]_{φ_{1}}^{φ_{2}}$

$= R^{2} (θ_{2} - θ_{1}) (sin φ_{2} - sin φ_{1})$

特殊情况：

整个球面： $θ_{1} = 0, θ_{2} = 2 π, φ_{1} = - π /2, φ_{2} = π /2$ $S = R^{2} \cdot 2 π \cdot 2 = 4 π R^{2}$
球冠：固定 $φ_{0} \leq φ \leq π /2$ ， $0 \leq θ \leq 2 π$ $S = 2 π R^{2} (1 - sin φ_{0})$

第二章：质心的计算

2.1 物理背景与概念

质心（Center of Mass）

质心是质量分布系统的"平衡点"或"重心"，它描述了系统质量的平均位置。

离散质点系的质心

$n$ 个质点 $M_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i})$ 的质量分别为 $m_{i}$ ，则质心坐标为：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} m _{i} x _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} m _{i}}, \overset{y}{ˉ} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} m _{i} y _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} m _{i}}, \overset{z}{ˉ} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} m _{i} z _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} m _{i}}$

连续分布的质心

当物体质量连续分布时，需要用积分来定义质心。

2.2 空间立体的质心

2.2.1 问题设定

设 $V$ 是空间立体，密度函数为 $ρ (x, y, z)$ （连续）。求质心坐标 $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ})$ 。

2.2.2 微元法推导

分割：将 $V$ 分成 $n$ 个小块 $Δ V_{1}, \dots, Δ V_{n}$

近似：在每个小块 $Δ V_{i}$ 内取点 $(ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i})$ ，小块质量近似为： $Δ m_{i} \approx ρ (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ V_{i}$

质点系近似：把 $V$ 近似为 $n$ 个质点组成的质点系，质心坐标为： $\overset{x}{ˉ}_{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ξ _{i} ρ ( ξ _{i} , η _{i} , ζ _{i} ) Δ V _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} ρ ( ξ _{i} , η _{i} , ζ _{i} ) Δ V _{i}}$

取极限：当 $∥ T ∥ \to 0$ 时，分子分母分别趋于积分。

2.2.3 质心公式

质量： $M = ∭_{V} ρ (x, y, z) d V$

质心坐标：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{V} x ρ (x, y, z) d V$

$\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{V} y ρ (x, y, z) d V$

$\overset{z}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{V} z ρ (x, y, z) d V$

均匀密度情况（ $ρ = ρ_{0} =$ 常数）：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{V} ∭_{V} x d V, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{V} ∭_{V} y d V, \overset{z}{ˉ} = \frac{1}{V} ∭_{V} z d V$

其中 $V$ 是立体的体积。

2.3 平面薄板的质心

2.3.1 公式

设平面薄板 $D$ 的密度分布为 $ρ (x, y)$ （连续）。

质量： $M = \iint_{D} ρ (x, y) d x d y$

质心坐标：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{M} \iint_{D} x ρ (x, y) d x d y$

$\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{M} \iint_{D} y ρ (x, y) d x d y$

均匀密度情况（ $ρ =$ 常数）：

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{A} \iint_{D} x d x d y, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{A} \iint_{D} y d x d y$

其中 $A$ 是薄板的面积。

2.4 对称性的利用

几何对称性

若区域 $V$ （或 $D$ ）关于某平面（或直线）对称，且密度分布也关于该平面（或直线）对称，则质心在该对称平面（或直线）上。

常见情况：

关于 $z$ 轴对称： $\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0$
关于 $x oy$ 平面对称： $\overset{z}{ˉ} = 0$
球心在原点的球体（均匀密度）： $\overset{x}{ˉ} = \overset{y}{ˉ} = \overset{z}{ˉ} = 0$

2.5 例题4：均匀上半椭球体的质心

例4：求密度均匀的上半椭球体的质心。

解：

椭球体方程

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1, z \geq 0$

对称性分析

由于椭球体关于 $x oz$ 平面和 $yoz$ 平面对称，且密度均匀，所以： $\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0$

只需计算 $\overset{z}{ˉ}$ 。

计算 $\overset{z}{ˉ}$

由均匀密度（设 $ρ =$ 常数）：

$\overset{z}{ˉ} = \frac{∭ _{V} z d V}{∭ _{V} 1 d V} = \frac{∭ _{V} z d V}{V}$

计算分子（参见§5例6的计算）：

用广义球坐标变换： $x = a r sin φ cos θ, y = b r sin φ sin θ, z = cr cos φ$

Jacobian： $J = ab c r^{2} sin φ$

区域变为： $0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ \leq π /2, 0 \leq θ \leq 2 π$

$∭_{V} z d V = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π /2} sin φ d φ \int_{0}^{1} (cr cos φ) \cdot ab c r^{2} d r$

$= ab c^{2} \cdot 2 π \int_{0}^{π /2} sin φ cos φ d φ \int_{0}^{1} r^{3} d r$

$= 2 πab c^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{πab c ^{2}}{4}$

计算分母（上半椭球体体积）：

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 πab c}{3} = \frac{2 πab c}{3}$

质心坐标：

$\overset{z}{ˉ} = \frac{πab c ^{2} /4}{2 πab c /3} = \frac{πab c ^{2}}{4} \cdot \frac{3}{2 πab c} = \frac{3 c}{8}$

因此，均匀上半椭球体的质心为： $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ}) = (0, 0, \frac{3 c}{8})$

特殊情况：上半球（ $a = b = c = R$ ）： $\overset{z}{ˉ} = \frac{3 R}{8}$

第三章：转动惯量

3.1 物理背景

转动惯量（Moment of Inertia）

转动惯量是刚体转动时的"惯性"度量，类似于平动时的质量。

质点的转动惯量

质点 $A$ 对于转动轴 $l$ 的转动惯量为： $J = m r^{2}$

其中 $m$ 是质量， $r$ 是质点到轴的距离。

刚体的转动惯量

对于连续分布的刚体，需要用积分来定义。

3.2 空间立体的转动惯量

3.2.1 对坐标轴的转动惯量

设空间立体 $V$ 的密度分布为 $ρ (x, y, z)$ （连续）。

对 $x$ 轴： $J_{x} = ∭_{V} (y^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V$

对 $y$ 轴： $J_{y} = ∭_{V} (x^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V$

对 $z$ 轴： $J_{z} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y, z) d V$

说明： $y^{2} + z^{2}$ 是点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离平方。

3.2.2 对坐标平面的转动惯量

对 $x y$ 平面： $J_{x y} = ∭_{V} z^{2} ρ (x, y, z) d V$

对 $x z$ 平面： $J_{x z} = ∭_{V} y^{2} ρ (x, y, z) d V$

对 $yz$ 平面： $J_{yz} = ∭_{V} x^{2} ρ (x, y, z) d V$

3.2.3 对原点的转动惯量（极转动惯量）

$J_{O} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V$

重要关系： $J_{O} = J_{x} + J_{y} + J_{z}$

（由于 $2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (y^{2} + z^{2}) + (x^{2} + z^{2}) + (x^{2} + y^{2})$ ... 注意这里需调整）

实际上： $J_{x y} + J_{x z} + J_{yz} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ρ d V = J_{O}$

3.3 平面薄板的转动惯量

设平面薄板 $D$ 的密度分布为 $ρ (x, y)$ 。

对 $x$ 轴： $J_{x} = \iint_{D} y^{2} ρ (x, y) d x d y$

对 $y$ 轴： $J_{y} = \iint_{D} x^{2} ρ (x, y) d x d y$

对原点（ $z$ 轴）： $J_{O} = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y) d x d y$

对任意轴 $l$ ： $J_{l} = \iint_{D} r^{2} (x, y) ρ (x, y) d x d y$

其中 $r (x, y)$ 是点 $(x, y)$ 到轴 $l$ 的距离。

垂直轴定理（仅适用于平面薄板）：

若薄板在 $x y$ 平面内，则： $J_{z} = J_{x} + J_{y}$

3.4 例题5：圆环对中心轴的转动惯量

例5：求密度均匀的圆环 $D$ 对于垂直于圆环面通过中心的轴的转动惯量（图21-41）。

解：

圆环区域

$D = {(x, y) ∣ R_{1}^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq R_{2}^{2}}$

设密度为 $ρ$ （常数）。

转动轴

垂直于圆环面通过中心的轴就是 $z$ 轴（若圆环在 $x y$ 平面内）。

计算转动惯量

$J_{z} = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) ρ d x d y$

转极坐标： $x = r cos θ, y = r sin θ$

$= ρ \int_{0}^{2 π} d θ \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{2} \cdot r d r = 2 π ρ \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} d r$

$= 2 π ρ [\frac{r ^{4}}{4}]_{R_{1}}^{R_{2}} = \frac{π ρ}{2} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4})$

$= \frac{π ρ}{2} (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) (R_{2}^{2} + R_{1}^{2})$

用质量表示

圆环质量： $m = ρ \cdot Area (D) = ρ π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})$

因此： $J_{z} = \frac{π ρ ( R _{2}^{2} - R _{1}^{2} ) ( R _{2}^{2} + R _{1}^{2} )}{2} = \frac{m ( R _{2}^{2} + R _{1}^{2} )}{2}$

$J_{z} = \frac{1}{2} m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$

特殊情况：

薄圆环（ $R_{1} \approx R_{2} = R$ ）： $J_{z} \approx m R^{2}$
圆盘（ $R_{1} = 0, R_{2} = R$ ）： $J_{z} = \frac{1}{2} m R^{2}$

3.5 例题6：圆盘对直径的转动惯量

例6：求均匀圆盘 $D$ 对于其直径的转动惯量（图21-42）。

解：

圆盘区域

$D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}$

设密度为 $ρ$ （常数），求对 $y$ 轴的转动惯量。

计算

$J_{y} = \iint_{D} x^{2} ρ d x d y$

转极坐标：

$= ρ \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R} (r cos θ)^{2} \cdot r d r$

$= ρ \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ \int_{0}^{R} r^{3} d r$

$= ρ \cdot π \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{π ρ R ^{4}}{4}$

用质量表示

圆盘质量： $m = ρ π R^{2}$

$J_{y} = \frac{π ρ R ^{4}}{4} = \frac{m}{π R ^{2}} \cdot \frac{π R ^{4}}{4} = \frac{1}{4} m R^{2}$

验证垂直轴定理

由对称性： $J_{x} = J_{y} = \frac{1}{4} m R^{2}$

对 $z$ 轴（垂直于圆盘）： $J_{z} = \frac{1}{2} m R^{2}$

确实有： $J_{z} = J_{x} + J_{y} = \frac{1}{4} m R^{2} + \frac{1}{4} m R^{2} = \frac{1}{2} m R^{2}$ ✓

3.6 例题7：变密度球体对切平面的转动惯量

例7：设某球体的密度与到球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量。

解：

球体与密度

球体： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$

密度函数： $ρ (x, y, z) = k x^{2} + y^{2} + z^{2} = k r$ （ $k$ 为比例常数）

切平面

设切平面为 $x = R$ （与球在 $(R, 0, 0)$ 处相切）。

点到平面距离

点 $(x, y, z)$ 到平面 $x = R$ 的距离为 $∣ R - x ∣$ 。

转动惯量

$J = ∭_{V} (R - x)^{2} \cdot k r d V$

转球坐标

$x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ$

$d V = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

球体： $0 \leq r \leq R, 0 \leq φ \leq π, 0 \leq θ \leq 2 π$

$J = k \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{R} (R - r sin φ cos θ)^{2} \cdot r \cdot r^{2} d r$

展开积分

$(R - r sin φ cos θ)^{2} = R^{2} - 2 R r sin φ cos θ + r^{2} sin^{2} φ cos^{2} θ$

对 $θ$ 积分

$\int_{0}^{2 π} cos θ d θ = 0$

$\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = π$

$\int_{0}^{2 π} 1 d θ = 2 π$

因此：

$J = k \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{R} [2 π R^{2} r^{3} + π r^{5} sin^{2} φ] d r$

$= 2 πk \int_{0}^{π} sin φ d φ [R^{2} \cdot \frac{R ^{4}}{4} + sin^{2} φ \cdot \frac{R ^{6}}{6}]$

$= 2 πk [\frac{R ^{6}}{4} \cdot 2 + \frac{R ^{6}}{6} \int_{0}^{π} sin^{3} φ d φ]$

计算 $\int_{0}^{π} sin^{3} φ d φ = \frac{4}{3}$ ：

$J = 2 πk [\frac{R ^{6}}{2} + \frac{R ^{6}}{6} \cdot \frac{4}{3}] = 2 πk R^{6} [\frac{1}{2} + \frac{2}{9}]$

$= 2 πk R^{6} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13 πk R ^{6}}{9}$

第四章：引力计算

4.1 万有引力基本原理

万有引力定律

两个质点之间的引力大小为： $F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

其中 $G$ 是万有引力常数， $r$ 是两质点间的距离。

引力方向

沿着连线，指向吸引的一方。

4.2 连续分布物体的引力

4.2.1 问题设定

求密度为 $ρ (x, y, z)$ 的立体 $V$ 对立体外质量为 $1$ 的质点 $A (ξ, η, ζ)$ 的引力。

4.2.2 微元法

微元引力

$V$ 中质量微元 $d m = ρ (x, y, z) d V$ 对 $A$ 的引力大小为： $d F = k \frac{d m}{r ^{2}} = k \frac{ρ d V}{r ^{2}}$

其中 $r = (x - ξ)^{2} + (y - η)^{2} + (z - ζ)^{2}$ 是距离， $k$ 是引力系数。

引力方向

从 $(x, y, z)$ 指向 $(ξ, η, ζ)$ ，单位方向向量为： $\overset{r}{^} = \frac{( ξ - x , η - y , ζ - z )}{r}$

引力矢量

$d F = k \frac{ρ}{r ^{2}} \cdot \frac{( ξ - x , η - y , ζ - z )}{r} d V = k \frac{ρ ( ξ - x , η - y , ζ - z )}{r ^{3}} d V$

4.2.3 引力分量

$x$ 分量： $F_{x} = k ∭_{V} \frac{( ξ - x ) ρ ( x , y , z )}{r ^{3}} d V$

$y$ 分量： $F_{y} = k ∭_{V} \frac{( η - y ) ρ ( x , y , z )}{r ^{3}} d V$

$z$ 分量： $F_{z} = k ∭_{V} \frac{( ζ - z ) ρ ( x , y , z )}{r ^{3}} d V$

引力矢量： $F = F_{x} i + F_{y} j + F_{z} k$

4.3 例题8：均匀球体对球外质点的引力

例8：设球体 $V$ 具有均匀的密度 $ρ$ ，求 $V$ 对球外一点 $A$ （质量为1）的引力（引力系数为 $k$ ）。

解：

球体与点的位置

球体： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$

球外点： $A (0, 0, a)$ ，其中 $a > R$

对称性分析

由于球体关于 $z$ 轴旋转对称，球外点在 $z$ 轴上，所以： $F_{x} = 0, F_{y} = 0$

只需计算 $F_{z}$ 。

计算 $F_{z}$

$F_{z} = k ∭_{V} \frac{( a - z ) ρ}{[ x ^{2} + y ^{2} + ( z - a ) ^{2} ] ^{3/2}} d x d y d z$

转柱坐标

$x = r cos θ, y = r sin θ, z = z$

$d V = r d r d θ d z$

球体： $r^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ ，即 $0 \leq r \leq R^{2} - z^{2}$ ， $- R \leq z \leq R$

$F_{z} = k ρ \int_{- R}^{R} d z \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R^{2} - z^{2}} \frac{( a - z ) r}{[ r ^{2} + ( z - a ) ^{2} ] ^{3/2}} d r$

对 $θ$ 积分： $\int_{0}^{2 π} d θ = 2 π$

对 $r$ 积分：

令 $u = r^{2} + (z - a)^{2}$ ， $d u = 2 r d r$

$\int_{0}^{R^{2} - z^{2}} \frac{r d r}{[ r ^{2} + ( z - a ) ^{2} ] ^{3/2}} = \frac{1}{2} \int_{(z - a)^{2}}^{R^{2} - z^{2} + (z - a)^{2}} u^{- 3/2} d u$

$= \frac{1}{2} [- 2 u^{- 1/2}]_{(z - a)^{2}}^{R^{2} + a^{2} - 2 a z}$

$= - [\frac{1}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z} - \frac{1}{∣ a - z ∣}]$

由于 $a > R \geq ∣ z ∣$ ，所以 $a - z > 0$ ， $∣ a - z ∣ = a - z$

$= \frac{1}{a - z} - \frac{1}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z}$

对 $z$ 积分

$F_{z} = 2 πk ρ \int_{- R}^{R} (a - z) [\frac{1}{a - z} - \frac{1}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z}] d z$

$= 2 πk ρ \int_{- R}^{R} [1 - \frac{a - z}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z}] d z$

$= 2 πk ρ [2 R - \int_{- R}^{R} \frac{a - z}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z} d z]$

计算第二项：令 $w = R^{2} + a^{2} - 2 a z$ ， $d w = 2 a d z$

$\int_{- R}^{R} \frac{a - z}{w} \cdot \frac{d w}{- 2 a} = - \frac{1}{2 a} \int w d w = - \frac{1}{2 a} \cdot \frac{2}{3} w^{3/2}$

$= - \frac{1}{3 a} [R^{2} + a^{2} - 2 a z]^{3/2}_{- R}^{R}$

$= - \frac{1}{3 a} [(R - a)^{2}]^{3/2} - [(R + a)^{2}]^{3/2}]$

由于 $a > R > 0$ ，所以 $R - a < 0$ ， $(R - a)^{2} = (a - R)^{2}$

$= - \frac{1}{3 a} [(a - R)^{3} - (a + R)^{3}]$

展开： $(a - R)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} R + 3 a R^{2} - R^{3}$ $(a + R)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} R + 3 a R^{2} + R^{3}$

$(a - R)^{3} - (a + R)^{3} = - 6 a^{2} R - 2 R^{3} = - 2 R (3 a^{2} + R^{2})$

因此： $\int_{- R}^{R} \frac{a - z}{R ^{2} + a ^{2} - 2 a z} d z = - \frac{1}{3 a} \cdot (- 2 R) (3 a^{2} + R^{2}) = \frac{2 R ( 3 a ^{2} + R ^{2} )}{3 a}$

代入 $F_{z}$ 表达式

$F_{z} = 2 πk ρ [2 R - \frac{2 R ( 3 a ^{2} + R ^{2} )}{3 a}]$

$= 2 πk ρ \cdot 2 R [1 - \frac{3 a ^{2} + R ^{2}}{3 a}]$

$= 4 πk ρR [\frac{3 a - 3 a ^{2} - R ^{2}}{3 a}]$

等等，让我们重新整理计算。实际上有更简单的方法。

使用球坐标的对称性方法

由于是均匀球体，根据牛顿壳层定理（Shell Theorem）：

均匀球体对球外质点的引力，等效于把球体全部质量集中在球心产生的引力。

球体质量

$M = ρ \cdot \frac{4 π R ^{3}}{3}$

引力大小

$F_{z} = k \frac{M \cdot 1}{a ^{2}} = k \frac{4 π ρ R ^{3}}{3 a ^{2}}$

最终结果

$F_{z} = \frac{4 πk ρ R ^{3}}{3 a ^{2}}$

引力方向沿 $z$ 轴负方向（指向球心），引力矢量为：

$F = - \frac{4 πk ρ R ^{3}}{3 a ^{2}} k$

物理意义

这个结果证明了：均匀球体对球外质点的引力，与把球体全部质量集中在球心时的引力相同。这是万有引力理论的一个重要结论。

4.4 引力势

4.4.1 引力势的定义

质量分布 $V$ （密度 $ρ (x, y, z)$ ）对空间一点 $A (ξ, η, ζ)$ 产生的引力势定义为：

$Φ (ξ, η, ζ) = - k ∭_{V} \frac{ρ ( x , y , z )}{r} d V$

其中 $r = (x - ξ)^{2} + (y - η)^{2} + (z - ζ)^{2}$ 。

负号：引力是吸引力，势能取负值。

4.4.2 引力与引力势的关系

引力是引力势的负梯度：

$F = - \nablaΦ = - (\frac{\partial Φ}{\partial ξ}, \frac{\partial Φ}{\partial η}, \frac{\partial Φ}{\partial ζ})$

即： $F_{x} = - \frac{\partial Φ}{\partial ξ}, F_{y} = - \frac{\partial Φ}{\partial η}, F_{z} = - \frac{\partial Φ}{\partial ζ}$

验证

$\frac{\partial Φ}{\partial ξ} = - k ∭_{V} ρ \frac{\partial}{\partial ξ} (\frac{1}{r}) d V$

$= - k ∭_{V} ρ \cdot (- \frac{1}{r ^{2}}) \cdot \frac{ξ - x}{r} d V = k ∭_{V} \frac{ρ ( ξ - x )}{r ^{3}} d V = F_{x}$

因此 $F_{x} = - \frac{\partial Φ}{\partial ξ}$ ✓

第五章：综合方法论与技巧

5.1 微元法的一般步骤

**微元法（Infinitesimal Method）**是计算物理量的核心思想，步骤如下：

步骤1：分割（Partition）

将研究对象（区域、曲线、曲面等）分割成许多微小部分。

步骤2：近似（Approximation）

在每个微小部分上，用简单的模型近似代替：

曲面 → 切平面
变密度 → 常密度
变力 → 恒力

步骤3：求和（Summation）

将所有微小部分的贡献求和，得到积分和。

步骤4：取极限（Limit）

当分割无限细化时，积分和的极限就是所求的积分。

$∥ T ∥ \to 0 lim i = 1 \sum n f (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ V_{i} = ∭_{V} f (x, y, z) d V$

5.2 坐标系选择原则

选择合适的坐标系可以大大简化计算。

5.2.1 直角坐标系

适用情况：

区域边界为平面或代数曲面
被积函数为 $x, y, z$ 的简单多项式

体积元： $d V = d x d y d z$

5.2.2 柱坐标系

坐标变换： $x = r cos θ, y = r sin θ, z = z$

体积元： $d V = r d r d θ d z$

适用情况：

区域绕 $z$ 轴旋转对称
被积函数含 $x^{2} + y^{2}$
圆柱、圆锥、旋转抛物面

典型区域：

圆柱： $r = R$
圆锥： $z = k r$
抛物面： $z = a r^{2}$

5.2.3 球坐标系

坐标变换： $x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ$

体积元： $d V = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

适用情况：

球体、球壳
锥面区域
被积函数含 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

参数范围：

$r \geq 0$ ：径向距离
$0 \leq φ \leq π$ ：极角（与 $z$ 轴夹角）
$0 \leq θ < 2 π$ ：方位角

坐标面：

$r = r_{0}$ ：球面
$φ = φ_{0}$ ：圆锥面
$θ = θ_{0}$ ：半平面

5.3 对称性的利用

对称性可以简化计算，甚至直接得出结果。

5.3.1 几何对称性

定理：若区域 $V$ 关于某平面对称，且被积函数 $f$ 关于该平面为奇函数，则积分为零。

示例1：球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$

$∭_{V} x d V = 0$

因为球体关于 $yoz$ 平面对称， $f (x, y, z) = x$ 关于该平面为奇函数。

示例2：质心计算

若均匀立体关于 $x oy$ 平面对称，则 $\overset{z}{ˉ} = 0$ 。

5.3.2 密度对称性

若区域和密度都关于某平面对称，则质心在该平面上。

5.3.3 旋转对称性

若问题具有旋转对称性，优先选择柱坐标或球坐标。

5.4 积分计算技巧

5.4.1 累次积分的次序选择

根据区域形状选择最简单的积分次序：

原则：

使积分限尽量简单
避免分片积分
内层积分函数尽量可积

示例：圆锥 $z = x^{2} + y^{2}$ 在 $z \leq h$ 内的体积

方法1（先 $z$ 后 $x y$ ）： $V = \iint_{x^{2} + y^{2} \leq h^{2}} d x d y \int_{x^{2} + y^{2}}^{h} d z$
方法2（先 $x y$ 后 $z$ ）： $V = \int_{0}^{h} d z \iint_{x^{2} + y^{2} \leq z^{2}} d x d y = \int_{0}^{h} π z^{2} d z = \frac{π h ^{3}}{3}$

方法2更简单！

5.4.2 换元积分

极坐标换元（二重积分）： $\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ$

柱坐标换元（三重积分）： $∭_{V} f (x, y, z) d V = ∭_{V^{'}} f (r cos θ, r sin θ, z) r d r d θ d z$

球坐标换元（三重积分）： $∭_{V} f (x, y, z) d V = ∭_{V^{'}} f (\dots) r^{2} sin φ d r d φ d θ$

5.4.3 分部积分

当被积函数含有 $x, y, z$ 的高次项时，考虑分部积分。

示例：计算 $∭_{V} x yz d V$ ， $V : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$

由对称性，积分为零（因为球体关于坐标平面对称， $x yz$ 为奇函数）。

5.4.4 利用已知结果

常用体积公式：

球体： $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
椭球体： $V = \frac{4 πab c}{3}$
圆锥： $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$
圆柱： $V = π R^{2} h$

常用面积公式：

球面： $S = 4 π R^{2}$
圆锥面（侧面）： $S = π Rl$ （ $l$ 为母线长）

5.5 物理量的量纲分析

量纲分析可以帮助检验结果的正确性。

物理量	量纲	积分形式
质量	$[M]$	$∭ ρ d V$
体积	$[L^{3}]$	$∭ 1 d V$
面积	$[L^{2}]$	$\iint 1 d S$
质心坐标	$[L]$	$\frac{1}{M} ∭ x ρ d V$
转动惯量	$[M L^{2}]$	$∭ r^{2} ρ d V$
引力	$[M L T^{- 2}]$	$k ∭ \frac{ρ}{r ^{2}} d V$
引力势	$[M L^{2} T^{- 2}]$	$- k ∭ \frac{ρ}{r} d V$

检验方法：

确定每个物理量的量纲
检查公式两边量纲是否一致
检查特殊情况是否合理

示例：转动惯量公式 $J = ∭ (x^{2} + y^{2}) ρ d V$

$[J] = [L^{2}] \cdot [M / L^{3}] \cdot [L^{3}] = [M L^{2}]$ ✓

第六章：典型应用综合实例

6.1 曲面面积综合例题

例题A：旋转抛物面的面积

问题：求旋转抛物面 $z = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2 a}$ （ $a > 0$ ）在 $0 \leq z \leq h$ 之间的面积。

解：

方法1：显式曲面公式

$f (x, y) = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2 a}, f_{x} = \frac{x}{a}, f_{y} = \frac{y}{a}$

$1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1 + \frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}}$

投影区域： $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 ah}$

$S = \iint_{D} 1 + \frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} d x d y$

转极坐标：

$= \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 ah} 1 + \frac{r ^{2}}{a ^{2}} r d r$

$= 2 π \int_{0}^{2 ah} r 1 + \frac{r ^{2}}{a ^{2}} d r$

令 $u = 1 + \frac{r ^{2}}{a ^{2}}$ ， $d u = \frac{2 r}{a ^{2}} d r$ ：

$= 2 π \cdot \frac{a ^{2}}{2} \int_{1}^{1 + 2 h / a} u d u = π a^{2} [\frac{2 u ^{3/2}}{3}]_{1}^{1 + 2 h / a}$

$= \frac{2 π a ^{2}}{3} [(1 + \frac{2 h}{a})^{3/2} - 1]$

$= \frac{π a ^{2}}{3} [(1 + \frac{2 h}{a})^{3/2} - 1] \times 2$

简化：

$= \frac{πa}{3} [(a + 2 h)^{3/2} - a^{3/2}]$

方法2：旋转曲面公式

抛物线 $z = \frac{r ^{2}}{2 a}$ （ $r = x^{2} + y^{2}$ ）绕 $z$ 轴旋转。

参数化： $r = r (z)$ ，即 $r = 2 a z$ ， $\frac{d r}{d z} = \frac{a}{2 a z}$

$S = 2 π \int_{0}^{h} r 1 + (\frac{d r}{d z})^{2} d z$

$= 2 π \int_{0}^{h} 2 a z 1 + \frac{a ^{2}}{2 a z} d z = 2 π \int_{0}^{h} 2 a z + a^{2} d z$

令 $u = 2 a z + a^{2}$ ， $d u = 2 a d z$ ：

$= 2 π \cdot \frac{1}{2 a} \int_{a^{2}}^{2 ah + a^{2}} u d u = \frac{π}{a} \cdot \frac{2}{3} [u^{3/2}]_{a^{2}}^{a^{2} + 2 ah}$

$= \frac{2 π}{3 a} [(a^{2} + 2 ah)^{3/2} - a^{3}]$

$= \frac{πa}{3} [(a + 2 h)^{3/2} - a^{3/2}]$ ✓

6.2 质心计算综合例题

例题B：变密度半球的质心

问题：半球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ ， $z \geq 0$ ，密度 $ρ (x, y, z) = z$ （与高度成正比）。求质心。

解：

对称性： $\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0$

计算质量

$M = ∭_{V} z d V$

球坐标： $z = r cos φ$ ， $d V = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

$= \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π /2} sin φ d φ \int_{0}^{R} r cos φ \cdot r^{2} d r$

$= 2 π \int_{0}^{π /2} sin φ cos φ d φ \int_{0}^{R} r^{3} d r$

$= 2 π \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{π R ^{4}}{4}$

计算 $\overset{z}{ˉ}$

$\overset{z}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{V} z \cdot z d V = \frac{1}{M} ∭_{V} z^{2} d V$

$= \frac{4}{π R ^{4}} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π /2} sin φ d φ \int_{0}^{R} (r cos φ)^{2} \cdot r^{2} d r$

$= \frac{4}{π R ^{4}} \cdot 2 π \int_{0}^{π /2} sin φ cos^{2} φ d φ \int_{0}^{R} r^{4} d r$

$= \frac{8}{R ^{4}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{8 R}{15}$

答案： $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ}) = (0, 0, \frac{8 R}{15})$

6.3 转动惯量综合例题

例题C：空心球壳的转动惯量

问题：球壳 $R_{1} \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R_{2}$ ，均匀密度 $ρ$ 。求对直径的转动惯量。

解：

由对称性，对任意直径的转动惯量相同，取 $z$ 轴（直径在 $z$ 轴上）。

对 $z$ 轴的转动惯量

$J_{z} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2}) ρ d V$

球坐标： $x^{2} + y^{2} = r^{2} sin^{2} φ$

$= ρ \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{2} sin^{2} φ \cdot r^{2} d r$

$= 2 π ρ \int_{0}^{π} sin^{3} φ d φ \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{4} d r$

$\int_{0}^{π} sin^{3} φ d φ = \frac{4}{3}$

$\int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{4} d r = \frac{R _{2}^{5} - R _{1}^{5}}{5}$

$J_{z} = 2 π ρ \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{R _{2}^{5} - R _{1}^{5}}{5} = \frac{8 π ρ ( R _{2}^{5} - R _{1}^{5} )}{15}$

用质量表示

球壳质量： $m = ρ \cdot \frac{4 π}{3} (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})$

$J_{z} = \frac{8 π ρ ( R _{2}^{5} - R _{1}^{5} )}{15} = \frac{2 m ( R _{2}^{5} - R _{1}^{5} )}{5 ( R _{2}^{3} - R _{1}^{3} )}$

但实际上对直径的转动惯量（非 $z$ 轴）需要用垂直轴定理修正。

对直径的转动惯量（如 $x$ 轴）

$J_{x} = ∭_{V} (y^{2} + z^{2}) ρ d V$

由球对称性： $J_{x} = J_{y} = J_{z}$

且 $J_{O} = J_{x} + J_{y} + J_{z} = 3 J_{x}$ （不对，需要重新考虑）

实际上，对于三维立体： $J_{O} = ∭ (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ρ d V$

而 $J_{x} + J_{y} + J_{z} = 2 J_{O}$ （因为每个坐标出现两次）

所以 $J_{x} = \frac{2 J _{O}}{3}$ （对球对称情况）

经计算： $J_{x} = \frac{2 m ( R _{2}^{5} - R _{1}^{5} )}{5 ( R _{2}^{3} - R _{1}^{3} )}$

💡 核心公式速查表

曲面面积

类型	公式
显式曲面 $z = f (x, y)$	$S = \iint_{D} 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y$
参数曲面	$S = \iint_{D^{'}} EG - F^{2} d u d v$
旋转曲面（绕 $x$ 轴）	$S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'2} (x) d x$
球面区域	$S = R^{2} (θ_{2} - θ_{1}) (sin φ_{2} - sin φ_{1})$

质心坐标

类型	公式
空间立体	$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{V} x ρ d V$
平面薄板	$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{M} \iint_{D} x ρ d x d y$
均匀密度	$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{V} ∭_{V} x d V$

转动惯量

类型	公式
对 $z$ 轴	$J_{z} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2}) ρ d V$
对原点	$J_{O} = ∭_{V} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ρ d V$
薄板对 $z$ 轴	$J_{z} = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) ρ d x d y$
垂直轴定理	$J_{z} = J_{x} + J_{y}$ （平面薄板）

常用坐标变换

坐标系	变换	Jacobian	体积元
柱坐标	$x = r cos θ$ $y = r sin θ$ $z = z$	$r$	$r d r d θ d z$
球坐标	$x = r sin φ cos θ$ $y = r sin φ sin θ$ $z = r cos φ$	$r^{2} sin φ$	$r^{2} sin φ d r d φ d θ$

常用几何量

图形	体积	表面积
球 $(r \leq R)$	$\frac{4 π R ^{3}}{3}$	$4 π R^{2}$
椭球	$\frac{4 πab c}{3}$	复杂积分
圆锥	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R R^{2} + h^{2}$
圆柱	$π R^{2} h$	$2 π R h + 2 π R^{2}$

决策树：
├─ 有圆、球 → 考虑极坐标/柱坐标/球坐标
├─ 旋转对称 → 柱坐标或球坐标
├─ 含 x²+y² → 柱坐标
├─ 含 x²+y²+z² → 球坐标
└─ 都不满足 → 直角坐标

策略2：充分利用对称性

几何对称：区域关于平面/轴对称
密度对称：密度分布对称
函数奇偶性：被积函数为奇/偶函数

结论：对称区域上奇函数的积分为零

策略3：积分次序的选择

观察积分限：选择使积分限最简单的次序
避免分片：一次积分完成，不要分段
考虑可积性：内层积分函数要有初等原函数

策略4：分解复杂问题

区域分解： $V = V_{1} \cup V_{2}$
密度分解：均匀部分 + 变化部分
坐标分解：不同区域用不同坐标系

策略5：量纲检验

计算完成后，检查结果的量纲是否正确：

面积： $[L^{2}]$
体积： $[L^{3}]$
质量： $[M]$
转动惯量： $[M L^{2}]$

⚠️ 常见错误与注意事项

错误1：忘记Jacobian因子

❌ 错误：柱坐标 $d V = d r d θ d z$

✅ 正确：柱坐标 $d V = r d r d θ d z$

❌ 错误：球坐标 $d V = d r d φ d θ$

✅ 正确：球坐标 $d V = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

错误2：积分限写错

❌ 错误：球坐标极角 $0 \leq φ \leq 2 π$

✅ 正确：球坐标极角 $0 \leq φ \leq π$

❌ 错误：方位角 $0 \leq θ \leq π$

✅ 正确：方位角 $0 \leq θ \leq 2 π$ （完整一圈）

被积函数是否为奇函数
密度分布是否对称

反例：球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ 上 $∭_{V} x^{2} d V \neq = 0$ （ $x^{2}$ 是偶函数）

第二类曲面积分（对坐标）： $\iint_{S} P d y d z + Q d z d x + R d x d y$

拓展3：物理应用

流体力学：质量、动量、能量的积分
电磁学：电荷分布、电场、磁场
热力学：热量分布、温度场
固体力学：应力、应变、弹性能

拓展4：数值方法

当积分无法解析求解时，可用数值方法：

蒙特卡洛方法
有限元方法
Simpson法则的推广

📚 学习建议

基础阶段

熟练掌握三种坐标系的变换
记住常用的Jacobian因子
练习写积分限

提高阶段

学会选择最优坐标系
利用对称性简化计算
掌握累次积分的换序

应用阶段

理解物理意义
建立实际问题的数学模型
综合运用多种技巧

🎓 本章总结

重积分的应用是数学分析的重要内容，核心思想是微元法：

曲面面积：切平面近似 → 投影放大因子
质心：质量加权平均位置
转动惯量：质量距离平方的积分
引力：矢量积分，考虑方向

关键能力：

建立积分模型
选择坐标系
利用对称性
正确计算

通过本章学习，你将能够： ✅ 计算各种曲面的面积 ✅ 求解质心和重心问题 ✅ 计算转动惯量 ✅ 处理引力等物理问题 ✅ 将实际问题转化为积分问题

结语

重积分的应用展示了数学在物理、工程中的强大力量。掌握这些方法，你将能够解决大量实际问题。记住：理解物理意义，选择合适工具，仔细计算，验证结果。

祝学习顺利！ 🚀

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