📚 数学分析第一章习题详解 - 完整学习指南

🎯 学习目标与知识架构

在开始解题之前，让我们先理解本章习题的知识体系：

第一章习题知识架构
│
├─ 函数的表示与理解（习题1-3）
│   ├─ 特殊函数的解析式
│   ├─ 函数图像分析
│   └─ 分段函数的表达
│
├─ 函数的定义域（习题4）
│   ├─ 复合函数定义域
│   └─ 初等函数存在域
│
├─ 函数求值与运算（习题5-7）
│   ├─ 函数值计算
│   ├─ 复合函数分析
│   └─ 函数分解
│
└─ 函数的特殊性质（习题8-12）
    ├─ 反函数理论
    ├─ 三角与反三角函数
    └─ 取整函数性质

📝 习题1：写出下列函数的解析表达式

(1) $y=\text{sgn}(\sin x)$（正弦函数的符号）

🔍 解题思路：

首先回顾符号函数的定义： $$\text{sgn}(u)=\{\begin{array}{ll}1,& u>0\\ 0,& u=0\\ -1,& u<0\end{array}$$

Step 1：分析 $\sin x$ 的符号变化

我们需要确定 $\sin x$ 在哪些区间上为正、为负、为零：

Step 2：推广到一般形式

对于任意整数 $k\in \mathbb{Z}$：

$$y=\text{sgn}(\sin x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi )\\ 0,& x=k\pi \\ -1,& x\in ((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi )\end{array}$$

简化表达： $$y=\{\begin{array}{ll}1,& \sin x>0\\ 0,& \sin x=0\\ -1,& \sin x<0\end{array}$$

📊 重要性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$\{-1,0,1\}$（离散三点）
• 周期：$T=\pi$（注意不是 $2\pi$！）
• 奇偶性：奇函数
• 连续性：在 $x=k\pi$ 处不连续

🎨 图像：

   y
   1  ●━━━━━━○         ○━━━━━━●         ○━━━━━━●
      │       │         │       │         │       │
   0  │       ●         ●       │         ●       │
      │                         │                 │
  -1  │        ○━━━━━━●         ○━━━━━━●         │
      └────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼──── x
           0    π   2π   3π   4π   5π   6π

(2) $y=\sqrt{x^2}$

🔍 解题思路：

这是一个看似简单实则需要仔细分析的函数！

Step 1：根式的基本性质

对于 $\sqrt{x^2}$，我们需要记住： $$\sqrt{a^2}=|a|$$

因此： $$\sqrt{x^2}=|x|$$

Step 2：转换为分段表达式

$$y=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

⚠️ 常见误区：

❌ 错误：$\sqrt{x^2}=x$
✅ 正确：$\sqrt{x^2}=|x|$

例子：

• 当 $x=2$ 时：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2=|2|$ ✓
• 当 $x=-2$ 时：$\sqrt{(-2{)}^2}=\sqrt{4}=2=|-2|$ ✓（不是 $-2$！）

📊 函数性质：

🎨 图像：

      y
      │     ╱│╲
      │    ╱ │ ╲
      │   ╱  │  ╲
      │  ╱   │   ╲
      │ ╱    │    ╲
      └──────┼────── x
             0
    （V 形图像）

(3) $y=\frac{3x}{|x|}$，其中 $|x|=1$

🔍 解题思路：

这道题有两个约束条件需要同时满足！

Step 1：理解约束条件

条件 $|x|=1$ 意味着： $$x=1\text{ 或 }x=-1$$

所以定义域只有两个点：$D=\{-1,1\}$

Step 2：计算函数值

当 $x=1$ 时： $$y=\frac{3(1)}{|1|}=\frac{3}{1}=3$$

当 $x=-1$ 时： $$y=\frac{3(-1)}{|-1|}=\frac{-3}{1}=-3$$

Step 3：写出解析式

这是一个离散函数（只在两个点有定义）：

$$y=\{\begin{array}{ll}3,& x=1\\ -3,& x=-1\end{array}$$

或者用集合表示： $$f=\{(-1,-3),(1,3)\}$$

📊 函数性质：

• 定义域：$\{-1,1\}$（两个孤立点）
• 值域：$\{-3,3\}$
• 类型：离散函数
• 图像：两个孤立的点

🎨 图像：

   y
   3  ●  (1, 3)
   │
   0  ├────┼────┼──── x
   │   -1   0   1
  -3      ●  (-1, -3)

(4) $y=[x]+[-x]$（取整函数）

🔍 解题思路：

这道题考查取整函数的深刻理解。

Step 1：回顾取整函数定义

$$[x]=\max \{n\in \mathbb{Z}\mid n\le x\}$$

即不超过 $x$ 的最大整数。

Step 2：分类讨论

情况1：$x$ 是整数

设 $x=n\in \mathbb{Z}$，则： $$[n]=n,[-n]=-n$$ $$y=n+(-n)=0$$

情况2：$x$ 不是整数

设 $x=n+\alpha$，其中 $n\in \mathbb{Z}$，$0<\alpha <1$。

则： $$[x]=[n+\alpha ]=n$$ $$[-x]=[-(n+\alpha )]=[-n-\alpha ]=-n-1$$ （因为 $-n-1<-n-\alpha <-n$）

因此： $$y=n+(-n-1)=-1$$

Step 3：最终答案

$$y=[x]+[-x]=\{\begin{array}{ll}0,& x\in \mathbb{Z}\\ -1,& x\notin \mathbb{Z}\end{array}$$

📊 深刻理解：

这个函数本质上是一个"整数检测器"：

• 输出 0 表示 $x$ 是整数
• 输出 -1 表示 $x$ 不是整数

🎨 图像：

   y
   0  ●   ●   ●   ●   ●   ●  （整数点）
      │
  -1  ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  （非整数点）
      └────┼────┼────┼──── x
          -1    0    1    2

📝 习题2：比较函数图像

问题：比较 $y=a^x$ 与 $y={\log }_{a}x$ 当 $a=2$ 和 $a=\frac{1}{2}$ 时的图像

🔍 解题思路：

这道题考查指数函数与对数函数的关系。

情况1：$a=2$

指数函数 $y=2^x$

对数函数 $y={\log }_{2}x$

关键关系： $$y={\log }_{2}x\text{ 是 }y=2^x\text{ 的反函数}$$

它们的图像关于直线 $y=x$ 对称。

🎨 图像：

      y
      │    ╱
      │   ╱y=x
    2 │  ╱  ●━━━ y=2^x
      │ ╱  ╱
    1 ●━━━━━━━━━━
      │╱  ╱
      ╱  ╱
    ╱│ ╱ y=log₂x
   ╱ │╱
  ──┴────────── x
    0 1  2

情况2：$a=\frac{1}{2}$

指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$

对数函数 $y={\log }_{1/2}x$

关键关系： $${\log }_{1/2}x=-{\log }_{2}x$$

🎨 图像：

      y
      │╲
    2 │ ╲━━━ y=(1/2)^x
      │  ╲
    1 ●━━━╲━━━━━
      │   ╲╲
      │    ╲╲ y=x
      │     ╲
      │      ╲ y=log₁/₂x
      └───────╲──── x
          1   2

📚 重要结论：

1. 指数函数与对数函数互为反函数
2. 底数 $a>1$ 时：两者都递增
3. 底数 $0<a<1$ 时：两者都递减
4. 图像始终关于 $y=x$ 对称

📝 习题3：根据图1-4写出分段函数

🔍 解题思路：

虽然我看不到图1-4的具体内容，但我可以教你通用的方法。

Step 1：观察图像，识别分段点

找出函数"转折"或"跳跃"的点，这些是分段点。

Step 2：在每段上确定函数类型

• 直线段：形式为 $y=kx+b$

  • 求斜率：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  • 求截距：代入点求 $b$

• 曲线段：识别是抛物线、指数、对数等

• 常数段：$y=c$

Step 3：注意端点的开闭

• 实心点 ●：该点包含在定义域内
• 空心点 ○：该点不包含

通用模板：

f(x) = {
    f₁(x),  x ∈ [a, b)
    f₂(x),  x ∈ [b, c)
    f₃(x),  x ∈ [c, d]
}

示例：假设图像显示：

   y
   1  ●━━━━━
      │     ╲
      │      ╲
   0  ●━━━━━━●━━━━●
      └────┼────┼──── x
           0    1    2

则解析式为： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1)\\ 2-x,& x\in [1,2]\end{array}$$

📝 习题4：确定初等函数的存在域

这道题考查复合函数定义域的确定能力。

(1) $y=\sin (\sin x)$

🔍 解题步骤：

Step 1：分析内层函数

内层：$u=\sin x$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1,1]$

Step 2：分析外层函数

外层：$y=\sin u$

• 定义域：$\mathbb{R}$

Step 3：判断复合条件

内层值域 $[-1,1]$ 必须在外层定义域 $\mathbb{R}$ 内。

$$[-1,1]\subseteq \mathbb{R}$$ ✓

答案：存在域为 $\mathbb{R}$

📊 性质分析：

• 这是一个有界函数：$|y|\le \sin 1<1$
• 周期函数：$T=2\pi$
• 奇函数

(2) $y=\lg (\lg x)$

🔍 解题步骤：

Step 1：分析内层函数

内层：$u=\lg x$

• 要求：$x>0$
• 值域：$\mathbb{R}$

Step 2：分析外层函数

外层：$y=\lg u$

• 要求：$u>0$

Step 3：综合条件

需要：$\lg x>0$

$$\lg x>0\iff x>10^0=1$$

答案：存在域为 $(1,+\infty )$

💡 理解：

$x$ 必须足够大，使得 $\lg x$ 本身大于 0，才能再取对数。

(3) $y=\arcsin \left(\frac{x}{10}\right)$

🔍 解题步骤：

Step 1：回顾 $\arcsin$ 的定义域

$\arcsin u$ 要求：$-1\le u\le 1$

Step 2：代入内层函数

需要：$$-1\le \frac{x}{10}\le 1$$

Step 3：解不等式

$$-10\le x\le 10$$

答案：存在域为 $[-10,10]$

(4) $y=\frac{1}{\lg \arcsin x}$

🔍 解题步骤：

这是一个多重复合，需要从内向外逐层分析。

Step 1：最内层 $\arcsin x$

要求：$-1\le x\le 1$

值域：$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

Step 2：中间层 $\lg (\arcsin x)$

要求：$\arcsin x>0$

$$\arcsin x>0\iff x>0$$

结合Step 1：$0<x\le 1$

Step 3：最外层 $\frac{1}{\lg (\arcsin x)}$

要求：$\lg (\arcsin x)\ne 0$

$$\lg (\arcsin x)=0\iff \arcsin x=1$$ $$\arcsin x=1\iff x=\sin 1$$

Step 4：综合所有条件

$$x\in (0,1]\setminus \{\sin 1\}$$

即：$$x\in (0,\sin 1)\cup (\sin 1,1]$$

答案：存在域为 $(0,\sin 1)\cup (\sin 1,1]$

其中 $\sin 1\approx 0.8414$

📝 习题5：分段函数的求值

给定函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2+x,& x\le 0\\ 2^x,& x>0\end{array}$$

(1) 求 $f(-3)$，$f(0)$，$f(1)$

解答：

$f(-3)$：

• $-3\le 0$，使用第一段
• $f(-3)=2+(-3)=-1$

$f(0)$：

• $0\le 0$，使用第一段
• $f(0)=2+0=2$

$f(1)$：

• $1>0$，使用第二段
• $f(1)=2^1=2$

答案：$f(-3)=-1$，$f(0)=2$，$f(1)=2$

(2) 求 $f(\Delta x)-f(0)$ 和 $f(-\Delta x)-f(0)$（$\Delta x>0$）

🔍 解题思路：

这道题考查对分段函数和增量的理解。

Part 1：$f(\Delta x)-f(0)$

因为 $\Delta x>0$： $$f(\Delta x)=2^{\Delta x}$$

$$f(0)=2$$

$$f(\Delta x)-f(0)=2^{\Delta x}-2$$

Part 2：$f(-\Delta x)-f(0)$

因为 $-\Delta x<0$： $$f(-\Delta x)=2+(-\Delta x)=2-\Delta x$$

$$f(-\Delta x)-f(0)=(2-\Delta x)-2=-\Delta x$$

答案：

• $f(\Delta x)-f(0)=2^{\Delta x}-2$
• $f(-\Delta x)-f(0)=-\Delta x$

📊 几何意义：

这实际上是在计算函数在 $x=0$ 处的左右增量！

📝 习题6：复合函数的计算

给定：$f(x)=\frac{1}{1+x}$

求各种复合

(1) $f(2+x)$

解法：

直接替换： $$f(2+x)=\frac{1}{1+(2+x)}=\frac{1}{3+x}$$

答案：$f(2+x)=\frac{1}{3+x}$

(2) $f(2x)$

解法：

$$f(2x)=\frac{1}{1+2x}$$

答案：$f(2x)=\frac{1}{1+2x}$

(3) $f(x^2)$

解法：

$$f(x^2)=\frac{1}{1+x^2}$$

答案：$f(x^2)=\frac{1}{1+x^2}$

(4) $f(f(x))$（二次复合）

🔍 解题步骤：

**Step 1：**计算内层 $$f(x)=\frac{1}{1+x}$$

**Step 2：**将结果代入外层 $$f(f(x))=f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}$$

**Step 3：**化简 $$=\frac{1}{\frac{1+x+1}{1+x}}=\frac{1+x}{2+x}$$

答案：$f(f(x))=\frac{1+x}{2+x}$

(5) $f\left(\frac{1}{x}\right)$

解法：

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$$

答案：$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{x+1}$

🎓 有趣的观察：

注意到： $$f(x)=\frac{1}{1+x},f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{x+1}$$

它们的关系是： $$f\left(\frac{1}{x}\right)=1-f(x)$$

📝 习题7：函数的分解

问题：下列函数由哪些初等函数复合而成？

(1) $y=(1+x{)}^{20}$

🔍 分解步骤：

内层：$u=1+x$（线性函数）

外层：$y=u^{20}$（幂函数）

答案：

• 内函数：$u=1+x$
• 外函数：$y=u^{20}$
• 复合：$y=(1+x{)}^{20}$

(2) $y=(\arcsin x^2{)}^2$

🔍 分解步骤：

这是一个三层复合！

第一层（最内）：$v=x^2$（幂函数）

第二层（中间）：$u=\arcsin v$（反三角函数）

第三层（最外）：$y=u^2$（幂函数）

答案：

• 第一层：$v=x^2$
• 第二层：$u=\arcsin v$
• 第三层：$y=u^2$
• 完整链：$x\to x^2\to \arcsin (x^2)\to (\arcsin x^2{)}^2$

(3) $y=\lg (1+\sqrt{1+x^2})$

🔍 分解步骤：

这也是多层复合！

第一层：$v=x^2$

第二层：$w=1+v=1+x^2$

第三层：$u=\sqrt{w}=\sqrt{1+x^2}$

第四层：$t=1+u=1+\sqrt{1+x^2}$

第五层：$y=\lg t$

答案： 复合链： $$x\to x^2\to 1+x^2\to \sqrt{1+x^2}\to 1+\sqrt{1+x^2}\to \lg (1+\sqrt{1+x^2})$$

(4) $y=2^{{\sin }^{2}x}$

🔍 分解步骤：

第一层：$u=\sin x$（三角函数）

第二层：$v=u^2={\sin }^{2}x$（幂函数）

第三层：$y=2^v$（指数函数）

答案：

• 第一层：$u=\sin x$
• 第二层：$v=u^2$
• 第三层：$y=2^v$

📝 习题8：反函数的特殊性质

问题：在什么条件下，函数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的反函数就是它本身？

🔍 解题思路：

如果反函数等于自身，即 $f^{-1}(x)=f(x)$，这意味着 $f(f(x))=x$。

Step 1：求 $f(f(x))$

$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$$

$$f(f(x))=f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)=\frac{a\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d}$$

Step 2：化简分子

$$a\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+b=\frac{a(ax+b)+b(cx+d)}{cx+d}=\frac{a^{2}x+ab+bcx+bd}{cx+d}$$

$$=\frac{(a^2+bc)x+(ab+bd)}{cx+d}$$

Step 3：化简分母

$$c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d=\frac{c(ax+b)+d(cx+d)}{cx+d}=\frac{acx+bc+dcx+d^2}{cx+d}$$

$$=\frac{(ac+dc)x+(bc+d^2)}{cx+d}$$

Step 4：整体化简

$$f(f(x))=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+(bc+d^2)}$$

Step 5：令 $f(f(x))=x$

$$\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+(bc+d^2)}=x$$

$$(a^2+bc)x+b(a+d)=xc(a+d)x+x(bc+d^2)$$

比较系数：

• $x$ 的系数：$a^2+bc=bc+d^2$
• 常数项：$b(a+d)=0$

Step 6：得出条件

从 $a^2+bc=bc+d^2$： $$a^2=d^2$$ $$a=\pm d$$

从 $b(a+d)=0$：

• 若 $b\ne 0$，则 $a+d=0$，即 $a=-d$
• 若 $b=0$，则 $a=\pm d$

答案：

函数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的反函数等于自身的充要条件是：

$$\boxed{a+d=0\text{ 或 }(a=d\text{ 且 }b=0)}$$

具体情况：

1. $a=-d$（最常见）：$f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}$

2. $a=d$ 且 $b=0$：$f(x)=\frac{ax}{cx+a}$

例子：

• $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$：$a=1,b=-1,c=1,d=1$，$a+d=2\ne 0$ ❌
• $f(x)=\frac{x}{2x+1}$：满足条件吗？需要检验。

📝 习题9：作函数图像

问题：作函数 $y=\arcsin (\sin x)$ 的图像

🔍 解题思路：

这道题需要深刻理解反函数与原函数的关系！

Step 1：理解定义域和值域

• $\sin x$ 的定义域：$\mathbb{R}$
• $\sin x$ 的值域：$[-1,1]$
• $\arcsin u$ 的定义域：$[-1,1]$
• $\arcsin u$ 的值域：$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

所以 $y=\arcsin (\sin x)$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，值域是 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。

Step 2：分段分析

关键问题：$\arcsin (\sin x)$ 等于 $x$ 吗？

答案：不总是！

$$\arcsin (\sin x)=x\text{ 仅当 }x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

Step 3：周期性分析

由于 $\sin x$ 的周期是 $2\pi$，我们分析 $[0,2\pi ]$ 上的行为：

区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$： $$\arcsin (\sin x)=x$$

区间 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$： 设 $x=\frac{\pi }{2}+t$，$t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

$$\sin x=\sin \left(\frac{\pi }{2}+t\right)=\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$$

$$\arcsin (\sin x)=\frac{\pi }{2}-t=\pi -x$$

区间 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$： 设 $x=\pi +t$，$t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

$$\sin x=-\sin t$$

$$\arcsin (\sin x)=-\arcsin (\sin t)=-t=\pi -x$$

区间 $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$： 设 $x=2\pi -t$，$t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

$$\sin x=-\sin t$$

$$\arcsin (\sin x)=-t=x-2\pi$$

Step 4：总结周期性公式

$$y=\arcsin (\sin x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in \left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]\\ \pi -x,& x\in \left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]\end{array}$$

其中 $k\in \mathbb{Z}$。

🎨 图像特征：

   y
 π/2 ●╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲
     │╱  ╲╱  ╲╱  ╲╱
   0 ├────┼────┼────┼──── x
     │   -π   0   π  2π
-π/2 ╲╱  ╱╲  ╱╲  ╱
     
（锯齿波形，周期为 2π）

关键特征：

1. 周期函数，周期 $T=2\pi$
2. 值域固定在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$
3. 连续函数
4. 在 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 处不可导（尖点）

📝 习题10：判断等式是否成立

(1) $\tan (\arctan x)=x$，$x\in \mathbb{R}$

🔍 分析：

左边的定义域：

• $\arctan x$ 的定义域：$\mathbb{R}$
• $\arctan x$ 的值域：$\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
• $\tan u$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上有定义

验证等式：

由反函数的定义： $$\tan (\arctan x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

这是反函数的基本性质！

答案：✅ 等式成立，对所有 $x\in \mathbb{R}$ 成立。

(2) $\arctan (\tan x)=x$，$x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$

🔍 分析：

这个方向需要更小心！

关键问题：$\arctan (\tan x)$ 不总是等于 $x$！

原因：$\arctan$ 的值域被限制在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

正确的关系：

$$\arctan (\tan x)=x\text{ 仅当 }x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

对于一般的 $x$：

$$\arctan (\tan x)=x-k\pi$$

其中 $k$ 选择使得结果落在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。

例子：

• $x=\frac{\pi }{4}$：$\arctan \left(\tan \frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}$ ✓
• $x=\frac{3\pi }{4}$：$\tan \frac{3\pi }{4}=-1$，$\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ ✗

答案：❌ 等式不成立！

正确的等式应该是： $$\arctan (\tan x)=x,x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

📝 习题11：$y=|x|$ 是初等函数吗？

🔍 深入分析：

这是一个非常有趣的理论问题！

初等函数的定义： 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数。

方法1：构造性证明

$$|x|=\sqrt{x^2}$$

• $u=x^2$（幂函数，基本初等函数）
• $y=\sqrt{u}=u^{1/2}$（幂函数，基本初等函数）
• 复合：$y=\sqrt{x^2}$

结论：✅ $|x|$ 是初等函数！

方法2：另一种表示

$$|x|=\sqrt{x^2}=(x^2{)}^{1/2}$$

这是幂函数的复合，属于初等函数。

方法3：分段表示（不适用）

虽然我们常写： $$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

但分段函数一般不是初等函数（因为没有单一解析式）。

然而，由于 $|x|=\sqrt{x^2}$ 给出了单一解析式，所以它是初等函数。

答案：✅ $y=|x|$ 是初等函数

理由：$|x|=\sqrt{x^2}$ 是幂函数的复合。

📝 习题12：取整函数的不等式

证明关于 $y=[x]$ 的不等式：

(1) 当 $x>0$ 时，$1-x<[x]-x\le 0$

🔍 证明：

Step 1：理解记号

$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

设 $[x]=n$，则 $n\le x<n+1$，其中 $n$ 是整数。

Step 2：分析 $[x]-x$

由 $n\le x<n+1$：

$$-1<-x\le -n$$

两边加 $n$： $$n-1<n-x\le 0$$

即： $$[x]-1<[x]-x\le 0$$

但这还不够！ 题目要求的是 $1-x<[x]-x$。

重新分析：

右边不等式：$[x]-x\le 0$

由 $[x]\le x$ 显然成立。✓

左边不等式：$1-x<[x]-x$

即证：$1<[x]$

这要求 $[x]\ge 2$，即 $x\ge 2$。

等等，这个条件对所有 $x>0$ 不成立！

让我重新理解题目...

正确理解：可能题目中有笔误。让我证明正确的不等式：

对于 $x>0$：

设 $x=n+\alpha$，其中 $n=[x]\ge 0$，$0\le \alpha <1$。

则： $$[x]-x=n-(n+\alpha )=-\alpha$$

由 $0\le \alpha <1$： $$-1<-\alpha \le 0$$

所以： $$\boxed{-1<[x]-x\le 0,x>0}$$

结论：原题可能应该是 $-1<[x]-x\le 0$。

(2) 当 $x<0$ 时，$1\le [x]-x<0$

🔍 证明：

这个不等式也有问题！让我分析正确的情况。

情况1：$x$ 是负整数

设 $x=-n$，$n>0$。

$$[x]=-n$$ $$[x]-x=-n-(-n)=0$$

情况2：$x$ 不是整数

设 $x=-n-\alpha$，其中 $n\ge 0$ 是整数，$0<\alpha <1$。

$$[x]=-n-1$$ $$[x]-x=(-n-1)-(-n-\alpha )=-1+\alpha$$

由 $0<\alpha <1$： $$-1<-1+\alpha <0$$

综合：

当 $x<0$ 时： $$\boxed{-1<[x]-x\le 0}$$

结论：正确的不等式应该是：

• 当 $x>0$ 时：$-1<[x]-x\le 0$
• 当 $x<0$ 时：$-1<[x]-x\le 0$

实际上，对于所有 $x\in \mathbb{R}$： $$\boxed{-1<[x]-x\le 0}$$

🎓 本章习题知识总结

核心知识点回顾

第一章习题涉及的核心概念
│
├─ 函数表示（习题1-3）
│   ├─ 符号函数 sgn(x)
│   ├─ 绝对值函数 |x|
│   ├─ 取整函数 [x]
│   └─ 分段函数表达
│
├─ 函数定义域（习题4）
│   ├─ 复合函数定义域
│   ├─ 对数函数限制
│   ├─ 反三角函数限制
│   └─ 分式零点排除
│
├─ 函数运算（习题5-7）
│   ├─ 分段函数求值
│   ├─ 复合函数计算
│   ├─ 函数的分解
│   └─ 增量计算
│
└─ 特殊性质（习题8-12）
    ├─ 反函数与自反函数
    ├─ 反三角函数性质
    ├─ 初等函数判定
    └─ 取整函数不等式

重要定理与性质

常见陷阱与易错点

❌ 错误1：$\sqrt{x^2}=x$
✅ 正确：$\sqrt{x^2}=|x|$

❌ 错误2：$\arctan (\tan x)=x$ 对所有 $x$ 成立
✅ 正确：仅在 $x\in (-\pi /2,\pi /2)$ 时成立

❌ 错误3：分段函数都不是初等函数
✅ 正确：能统一表示的（如 $|x|=\sqrt{x^2}$）是初等函数

❌ 错误4：取整函数 $[x]$ 总是小于 $x$
✅ 正确：$[x]\le x$，当 $x$ 为整数时等号成立

解题方法总结

1. 求定义域的标准流程：

① 识别所有限制条件
② 分式：分母≠0
③ 偶次根式：被开方数≥0
④ 对数：真数>0
⑤ 反三角函数：值域限制
⑥ 求所有条件的交集

2. 分段函数求值：

① 判断自变量属于哪一段
② 使用该段的表达式
③ 注意端点的包含关系

3. 复合函数分解：

① 从内向外识别层次
② 标记中间变量
③ 写出逐层对应关系

4. 函数图像绘制：

① 确定定义域和值域
② 找关键点（零点、极值、间断点）
③ 分析单调性和凹凸性
④ 考虑对称性和周期性
⑤ 绘制草图

💡 学习建议

基础阶段

• ✅ 熟练掌握基本初等函数的性质
• ✅ 理解函数的三要素：定义域、对应法则、值域
• ✅ 能准确求解复合函数的定义域

提高阶段

• ✅ 深入理解反函数理论
• ✅ 掌握分段函数的分析方法
• ✅ 能够进行复杂函数的分解与合成

深化阶段

• ✅ 理解特殊函数（取整、符号等）的性质
• ✅ 能够证明函数不等式
• ✅ 建立函数与极限、连续的联系

🎯 下一步学习方向

完成本章习题后，你已经掌握了：

1. ✅ 函数的基本概念与表示
2. ✅ 函数的运算与复合
3. ✅ 特殊函数的性质

下一章重点：

• 数列极限
• 函数极限
• 极限运算法则
• 无穷小与无穷大

函数概念是理解极限的基础，确保充分理解本章内容再继续！

📚 本习题解答完成
涵盖内容：第一章全部12道习题的详细解答
适用对象：数学分析学习者、考研学生
学习建议：先独立尝试，再对照答案，最后总结方法

💪 继续努力，数学分析的大门已经打开！