数学分析完整知识体系：函数概念

🎯 整体知识架构思维导图（树状结构）

数学分析基础：§3 函数概念
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├─ 1. 函数的基本定义
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│   ├─ 1.1 函数的严格定义
│   │   ├─ 映射的观点
│   │   │   ├─ 定义域 D（自变量的取值范围）
│   │   │   ├─ 值域 f(D)（函数值的全体）
│   │   │   ├─ 对应法则 f（核心要素）
│   │   │   └─ 目标集合 M（陪域）
│   │   ├─ 函数的记号
│   │   │   ├─ f: D → M（映射形式）
│   │   │   ├─ x ↦ y（对应关系）
│   │   │   ├─ y = f(x), x∈D（常用形式）
│   │   │   └─ 有序对集合 G = {(x,y) | y=f(x), x∈D}
│   │   └─ 函数相等的条件
│   │       ├─ 定义域相同
│   │       └─ 对应法则相同（表达形式可不同）
│   │
│   ├─ 1.2 函数的基本术语
│   │   ├─ 自变量（Independent Variable）
│   │   │   └─ 记为 x，取值于定义域 D
│   │   ├─ 因变量（Dependent Variable）
│   │   │   └─ 记为 y，取值于值域 f(D)
│   │   ├─ 函数值 f(x)
│   │   │   └─ 自变量 x 对应的值
│   │   ├─ 象与原象
│   │   │   ├─ f(a) 是 a 在映射 f 下的象
│   │   │   └─ a 是 f(a) 的原象
│   │   └─ 存在域
│   │       └─ 使表达式有意义的自变量全体
│   │
│   ├─ 1.3 单值函数与多值函数
│   │   ├─ 单值函数（本书研究对象）
│   │   │   └─ 每个 x∈D 对应唯一的 y
│   │   └─ 多值函数（不在本书讨论范围）
│   │       └─ 同一个 x 可对应多个 y
│   │       └─ 例：y² = x 在 x>0 时对应 y=±√x
│   │
│   └─ 1.4 函数与映射的关系
│       ├─ 函数是实数集之间的映射
│       ├─ 映射是更一般的概念
│       └─ 记号对比
│           ├─ 映射：f: A → B
│           └─ 函数：y = f(x), x∈D
│
├─ 2. 函数的表示方法
│   │
│   ├─ 2.1 解析法（公式法）
│   │   ├─ 用数学表达式表示
│   │   ├─ 优点：精确、便于运算
│   │   ├─ 缺点：不是所有函数都能解析表示
│   │   └─ 例子
│   │       ├─ y = x²（幂函数）
│   │       ├─ y = sin x（三角函数）
│   │       └─ y = eˣ（指数函数）
│   │
│   ├─ 2.2 列表法
│   │   ├─ 用表格列出对应关系
│   │   ├─ 优点：直观清晰
│   │   ├─ 缺点：只适用于离散情形
│   │   └─ 应用：统计数据、实验结果
│   │
│   ├─ 2.3 图像法
│   │   ├─ 在坐标平面上绘制函数图形
│   │   ├─ 优点：几何直观
│   │   ├─ 理论基础
│   │   │   └─ 函数图形 = {(x, f(x)) | x∈D}
│   │   └─ 关键性质：竖线检验
│   │       └─ 任意竖线与图像至多交于一点
│   │
│   ├─ 2.4 分段函数
│   │   ├─ 定义
│   │   │   └─ 在定义域不同部分用不同公式
│   │   ├─ 符号函数（Sign Function）
│   │   │   │      ⎧  1,  x > 0
│   │   │   │ sgn x = ⎨  0,  x = 0
│   │   │   │      ⎩ -1,  x < 0
│   │   │   └─ 应用：判断数的符号
│   │   ├─ 绝对值函数
│   │   │   │      ⎧  x,  x ≥ 0
│   │   │   │ |x| = ⎨
│   │   │   │      ⎩ -x,  x < 0
│   │   │   └─ 也可表示为 |x| = x·sgn x
│   │   └─ 特点
│   │       ├─ 分段点处需特别注意
│   │       └─ 连续性需单独讨论
│   │
│   └─ 2.5 语言描述法
│       ├─ 用自然语言描述对应关系
│       ├─ 狄利克雷函数（Dirichlet Function）
│       │   │      ⎧ 1, x 为有理数
│       │   │ D(x) = ⎨
│       │   │      ⎩ 0, x 为无理数
│       │   └─ 特点：处处不连续
│       └─ 黎曼函数（Riemann Function）
│           │      ⎧ 1/q, x = p/q（既约真分数）
│           │ R(x) = ⎨
│           │      ⎩ 0,   x = 0, 1 或无理数
│           └─ 特点：无理点处连续，有理点处不连续
│
├─ 3. 函数的运算
│   │
│   ├─ 3.1 四则运算
│   │   ├─ 定义域的确定
│   │   │   └─ D = D₁ ∩ D₂ ≠ ∅
│   │   ├─ 加法
│   │   │   └─ (f + g)(x) = f(x) + g(x), x∈D
│   │   ├─ 减法
│   │   │   └─ (f - g)(x) = f(x) - g(x), x∈D
│   │   ├─ 乘法
│   │   │   └─ (f · g)(x) = f(x) · g(x), x∈D
│   │   ├─ 除法
│   │   │   ├─ (f/g)(x) = f(x)/g(x), x∈D*
│   │   │   └─ D* = D ∩ {x | g(x) ≠ 0}
│   │   └─ 注意事项
│   │       ├─ 定义域必须有交集
│   │       ├─ 除法需排除分母为零的点
│   │       └─ 例：f(x)=√(1-x²), g(x)=√(x²-4)
│   │           ├─ D₁ = [-1, 1], D₂ = (-∞,-2]∪[2,+∞)
│   │           ├─ D₁∩D₂ = ∅
│   │           └─ f + g 无定义
│   │
│   ├─ 3.2 复合运算
│   │   ├─ 定义
│   │   │   ├─ 外函数：y = f(u), u∈D_f
│   │   │   ├─ 内函数：u = g(x), x∈E
│   │   │   ├─ 可复合条件：E* = {x | g(x)∈D_f} ∩ E ≠ ∅
│   │   │   └─ 复合函数：y = f(g(x)) = (f∘g)(x), x∈E*
│   │   ├─ 记号
│   │   │   ├─ f∘g（读作"f圈g"）
│   │   │   ├─ f 为外函数
│   │   │   ├─ g 为内函数
│   │   │   └─ u 为中间变量
│   │   ├─ 定义域的确定
│   │   │   ├─ 内函数值域与外函数定义域要有交集
│   │   │   └─ E* = E ∩ g⁻¹(D_f)
│   │   ├─ 例子
│   │   │   ├─ y = √u, u∈[0,+∞); u = 1-x², x∈ℝ
│   │   │   ├─ 复合函数：y = √(1-x²)
│   │   │   └─ 定义域：E* = [-1, 1]
│   │   ├─ 多重复合
│   │   │   └─ y = sin√(1/x), x∈[-1,1]\{0}
│   │   │       ├─ 第一步：u = 1/x
│   │   │       ├─ 第二步：v = √u
│   │   │       └─ 第三步：y = sin v
│   │   └─ 不可复合的情况
│   │       └─ 例：y = arcsin u, u∈[-1,1]; u = 2+x², x∈ℝ
│   │           ├─ 内函数值域：[2,+∞)
│   │           ├─ 外函数定义域：[-1,1]
│   │           └─ 无交集 → 不能复合
│   │
│   └─ 3.3 复合运算的性质
│       ├─ 一般不满足交换律：f∘g ≠ g∘f
│       ├─ 满足结合律：(f∘g)∘h = f∘(g∘h)
│       └─ 恒等函数 I(x)=x 是复合的单位元
│           ├─ f∘I = f
│           └─ I∘f = f
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├─ 4. 反函数理论
│   │
│   ├─ 4.1 反函数的定义
│   │   ├─ 前提条件
│   │   │   └─ 对每个 y∈f(D)，存在唯一的 x∈D 使 f(x)=y
│   │   ├─ 逆映射的观点
│   │   │   ├─ f: D → f(D) 是一一映射（双射）
│   │   │   └─ f⁻¹: f(D) → D 是逆映射
│   │   ├─ 记号
│   │   │   ├─ f⁻¹: f(D) → D, y ↦ x
│   │   │   ├─ x = f⁻¹(y), y∈f(D)
│   │   │   └─ 习惯记法：y = f⁻¹(x), x∈f(D)
│   │   └─ 注意
│   │   │   ├─ f⁻¹ 不是 1/f
│   │   │   └─ 反函数记号 f⁻¹ 与倒数记号不同
│   │
│   ├─ 4.2 反函数的性质
│   │   ├─ 互为反函数
│   │   │   ├─ f 是 f⁻¹ 的反函数
│   │   │   └─ f⁻¹ 是 f 的反函数
│   │   ├─ 复合关系
│   │   │   ├─ f⁻¹(f(x)) = x, x∈D
│   │   │   └─ f(f⁻¹(y)) = y, y∈f(D)
│   │   ├─ 定义域与值域的关系
│   │   │   ├─ Dom(f⁻¹) = Range(f) = f(D)
│   │   │   └─ Range(f⁻¹) = Dom(f) = D
│   │   └─ 图像关系
│   │       └─ 关于直线 y=x 对称
│   │
│   ├─ 4.3 反函数存在的条件
│   │   ├─ 充要条件
│   │   │   └─ f 是一一映射（单射且满射）
│   │   ├─ 单射性（一对一）
│   │   │   └─ f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂
│   │   └─ 满射性（到上）
│   │       └─ 对每个 y∈M，存在 x∈D 使 f(x)=y
│   │
│   ├─ 4.4 典型例子
│   │   ├─ 线性函数的反函数
│   │   │   ├─ y = ax + b (a≠0)
│   │   │   └─ x = (y-b)/a 即 y = (x-b)/a
│   │   ├─ 指数函数与对数函数
│   │   │   ├─ y = aˣ (a>0, a≠1)
│   │   │   └─ x = log_a y 即 y = log_a x
│   │   ├─ 三角函数与反三角函数
│   │   │   ├─ y = sin x, x∈[-π/2, π/2]
│   │   │   └─ x = arcsin y 即 y = arcsin x
│   │   └─ 幂函数的反函数
│   │       ├─ y = x^n (n≥2, x≥0)
│   │       └─ x = ⁿ√y 即 y = ⁿ√x
│   │
│   └─ 4.5 n次方根的存在性
│       ├─ 定理：方程 x^n = a (a>0, n≥2) 有唯一正解
│       ├─ 证明思路（以 n=2 为例）
│       │   ├─ 构造集合 E = {x | x>0, x²<a}
│       │   ├─ E 非空（a∈E 当 a<1；a/2∈E 当 a≥1）
│       │   ├─ E 有上界（1 是上界当 a<1；a 是上界当 a≥1）
│       │   ├─ 由确界原理：c = sup E 存在
│       │   ├─ 证明 c² = a
│       │   │   ├─ 若 c²<a：构造 c+δ∈E 矛盾
│       │   │   └─ 若 c²>a：c-δ 是更小上界矛盾
│       │   └─ 证明唯一性：b≠c ⟹ b²≠a
│       ├─ 记号：ⁿ√a 或 a^(1/n)
│       └─ 推广：a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)
│
├─ 5. 无理指数幂的定义
│   │
│   ├─ 5.1 问题的提出
│   │   ├─ 中学只定义了有理指数幂
│   │   ├─ 如何定义 2^√2, e^π 等？
│   │   └─ 需要利用确界原理
│   │
│   ├─ 5.2 无理指数幂的定义
│   │   ├─ 当 a>1 时
│   │   │   └─ aˣ = sup{aʳ | r<x, r为有理数}
│   │   ├─ 当 0<a<1 时
│   │   │   └─ aˣ = inf{aʳ | r<x, r为有理数}
│   │   └─ 理论依据
│   │       ├─ 有理数集在实数中稠密
│   │       ├─ 确界原理保证上述确界存在
│   │       └─ 与有理指数幂保持一致性
│   │
│   ├─ 5.3 定义的合理性
│   │   ├─ 注1：集合非空且有界
│   │   │   ├─ 对无理数 x，必有有理数 r₀>x
│   │   │   ├─ 当 a>1：aʳ⁰ 是上界
│   │   │   └─ 由确界原理，sup 存在
│   │   └─ 注2：统一表示
│   │       ├─ 若将 r<x 改为 r≤x
│   │       └─ 则有理数和无理数可统一表示
│   │
│   └─ 5.4 实指数幂的性质
│       ├─ 保持有理指数幂的运算法则
│       │   ├─ aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ
│       │   ├─ (aˣ)ʸ = aˣʸ
│       │   └─ (ab)ˣ = aˣ · bˣ
│       ├─ 单调性
│       │   ├─ a>1: x<y ⟹ aˣ<aʸ
│       │   └─ 0<a<1: x<y ⟹ aˣ>aʸ
│       └─ 连续性
│           └─ 为后续极限理论铺路
│
├─ 6. 基本初等函数
│   │
│   ├─ 6.1 六类基本初等函数
│   │   ├─ 常量函数
│   │   │   ├─ y = c (c为常数)
│   │   │   ├─ 定义域：ℝ
│   │   │   └─ 值域：{c}
│   │   ├─ 幂函数
│   │   │   ├─ y = xᵅ (α为实数)
│   │   │   ├─ α>0：定义域 [0,+∞) 或 (0,+∞)
│   │   │   ├─ α<0：定义域 (0,+∞)
│   │   │   └─ α为正整数：定义域 ℝ
│   │   ├─ 指数函数
│   │   │   ├─ y = aˣ (a>0, a≠1)
│   │   │   ├─ 定义域：ℝ
│   │   │   ├─ 值域：(0,+∞)
│   │   │   └─ 性质：单调性取决于 a
│   │   ├─ 对数函数
│   │   │   ├─ y = log_a x (a>0, a≠1)
│   │   │   ├─ 定义域：(0,+∞)
│   │   │   ├─ 值域：ℝ
│   │   │   └─ 是指数函数的反函数
│   │   ├─ 三角函数
│   │   │   ├─ y = sin x（正弦函数）
│   │   │   │   ├─ 定义域：ℝ
│   │   │   │   ├─ 值域：[-1, 1]
│   │   │   │   └─ 周期：2π
│   │   │   ├─ y = cos x（余弦函数）
│   │   │   │   ├─ 定义域：ℝ
│   │   │   │   ├─ 值域：[-1, 1]
│   │   │   │   └─ 周期：2π
│   │   │   ├─ y = tan x（正切函数）
│   │   │   │   ├─ 定义域：ℝ \ {π/2+kπ}
│   │   │   │   ├─ 值域：ℝ
│   │   │   │   └─ 周期：π
│   │   │   └─ y = cot x（余切函数）
│   │   │       ├─ 定义域：ℝ \ {kπ}
│   │   │       ├─ 值域：ℝ
│   │   │       └─ 周期：π
│   │   └─ 反三角函数
│   │       ├─ y = arcsin x（反正弦函数）
│   │       │   ├─ 定义域：[-1, 1]
│   │       │   └─ 值域：[-π/2, π/2]
│   │       ├─ y = arccos x（反余弦函数）
│   │       │   ├─ 定义域：[-1, 1]
│   │       │   └─ 值域：[0, π]
│   │       ├─ y = arctan x（反正切函数）
│   │       │   ├─ 定义域：ℝ
│   │       │   └─ 值域：(-π/2, π/2)
│   │       └─ y = arccot x（反余切函数）
│   │           ├─ 定义域：ℝ
│   │           └─ 值域：(0, π)
│   │
│   ├─ 6.2 初等函数的定义
│   │   ├─ 定义
│   │   │   └─ 由基本初等函数经有限次四则运算与复合运算
│   │   │       所得到的函数统称为初等函数
│   │   ├─ 特点
│   │   │   ├─ 可用一个解析式表示
│   │   │   ├─ 在定义域内可用有限步运算表达
│   │   │   └─ 包含绝大多数常见函数
│   │   └─ 例子
│   │       ├─ y = √(1-x²)（复合）
│   │       ├─ y = e^(sin x)（复合）
│   │       ├─ y = x²/(1+x²)（四则+复合）
│   │       └─ y = ln(x + √(x²+1))（四则+复合）
│   │
│   └─ 6.3 非初等函数
│       ├─ 定义
│       │   └─ 不是初等函数的函数
│       ├─ 典型例子
│       │   ├─ 狄利克雷函数 D(x)
│       │   ├─ 黎曼函数 R(x)
│       │   ├─ 分段函数（多数情况）
│       │   └─ 特殊函数：Γ函数、ζ函数等
│       └─ 特点
│           ├─ 无法用有限个基本初等函数表示
│           ├─ 往往通过极限、级数定义
│           └─ 在高等数学中有重要应用
│
└─ 7. 函数概念的拓展与应用
    │
    ├─ 7.1 函数概念的历史发展
    │   ├─ 早期：几何曲线
    │   ├─ 欧拉时期：解析表达式
    │   ├─ 狄利克雷：任意对应关系
    │   └─ 现代：集合论观点（映射）
    │
    ├─ 7.2 函数在数学分析中的地位
    │   ├─ 研究对象
    │   │   └─ 极限、连续、微分、积分的载体
    │   ├─ 理论基础
    │   │   └─ 建立在实数完备性之上
    │   └─ 应用工具
    │       └─ 刻画变量之间的依赖关系
    │
    ├─ 7.3 函数与映射的推广
    │   ├─ 多元函数：f: ℝⁿ → ℝ
    │   ├─ 向量值函数：f: ℝ → ℝⁿ
    │   ├─ 泛函：F: 函数空间 → ℝ
    │   └─ 算子：T: 空间1 → 空间2
    │
    └─ 7.4 函数概念的应用领域
        ├─ 物理学：运动方程、波动方程
        ├─ 工程学：信号处理、控制理论
        ├─ 经济学：效用函数、需求函数
        └─ 计算机科学：算法、编程函数

📊 核心概念关系图谱

                    函数概念（核心）
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        │                 │                 │
    定义域 D          对应法则 f         值域 f(D)
        │                 │                 │
        └─────────────────┴─────────────────┘
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        │                 │                 │
    函数的表示        函数的运算        函数的性质
        │                 │                 │
    ├─解析法          ├─四则运算        ├─单调性
    ├─列表法          ├─复合运算        ├─有界性
    ├─图像法          └─反函数          ├─奇偶性
    ├─分段函数                          ├─周期性
    └─语言描述                          └─连续性
        │                 │                 │
        └─────────────────┴─────────────────┘
                          │
                    初等函数体系
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        │                 │                 │
    基本初等函数      初等函数         非初等函数
        │            （复合+四则）           │
    ├─常量函数            │             ├─狄利克雷函数
    ├─幂函数          有限次运算        ├─黎曼函数
    ├─指数函数            │             └─特殊函数
    ├─对数函数        解析表达式
    ├─三角函数
    └─反三角函数

📚 第一部分：函数的基本定义

1.1 函数定义的现代观点

1.1.1 严格的数学定义

定义 3.1（函数）：

给定两个实数集 $D$ 和 $M$，若有对应法则 $f$，使对每一个 $x\in D$，都有唯一的 $y\in M$ 与它相对应，则称 $f$ 是定义在数集 $D$ 上的函数，记作

$$f:D\to M,x\mapsto y$$

或

$$y=f(x),x\in D$$

核心要素：

关系： $$f(D)=\{y\mid y=f(x),x\in D\}\subseteq M$$

1.1.2 函数的记号系统

记号 1：映射形式 $$f:D\to M$$ 表示按法则 $f$ 建立数集 $D$ 到 $M$ 的函数关系。

记号 2：对应关系 $$x\mapsto y\text{或}x\mapsto f(x)$$ 表示元素之间的对应关系。

记号 3：函数值形式 $$y=f(x),x\in D$$ 这是最常用的记号。

记号 4：有序对集合 $$G=\{(x,y)\mid y=f(x),x\in D\}$$ 这是函数的图形，也是函数的集合论表示。

1.1.3 函数相等的判定

定义 3.2（函数相等）：

两个函数 $f$ 和 $g$ 相等，当且仅当：

1. 定义域相同：$\text{Dom}(f)=\text{Dom}(g)$
2. 对应法则相同：对所有 $x\in D$，有 $f(x)=g(x)$

🔑 关键理解：

✅ 相同的函数：

• $f(x)=|x|$，$x\in \mathbb{R}$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$，$x\in \mathbb{R}$
• 虽然表达形式不同，但定义域和对应法则相同

❌ 不同的函数：

• $f(x)=1$，$x\in \mathbb{R}$ 和 $g(x)=1$，$x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$
• 对应法则相同但定义域不同

1.2 函数的基本术语

1.2.1 变量的概念

自变量（Independent Variable）：

• 记号：通常用 $x$ 表示
• 取值范围：定义域 $D$
• 含义：可以独立取值的变量

因变量（Dependent Variable）：

• 记号：通常用 $y$ 表示
• 取值范围：值域 $f(D)$
• 含义：依赖于自变量的变量

🎨 几何理解：

自变量 x ────┬──→ 对应法则 f ──→ 因变量 y = f(x)
             │
        定义域 D                    值域 f(D)

1.2.2 象与原象

定义：

设 $a\in D$，则：

• $f(a)$ 称为 $a$ 在映射 $f$ 下的象（Image）
• $a$ 称为 $f(a)$ 的原象（Pre-image）

推广：

对于集合 $A\subseteq D$： $$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\mid \exists x\in A,y=f(x)\}$$ 称为 $A$ 在 $f$ 下的象集。

对于集合 $B\subseteq M$： $$f^{-1}(B)=\{x\in D\mid f(x)\in B\}$$ 称为 $B$ 的原象集或逆象。

注意：$f^{-1}(B)$ 表示原象集，不一定意味着反函数存在！

1.2.3 存在域

定义 3.3（存在域）：

当函数用解析式表示时，使该表达式有意义的自变量值的全体，称为函数的存在域或自然定义域。

🤔 常见限制条件：

例题 1：求函数的存在域

求函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}+\ln (x+1)$ 的存在域。

解：

条件1：$\sqrt{1-x^2}$ 要求 $1-x^2\ge 0$ $$x^2\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1$$

条件2：$\ln (x+1)$ 要求 $x+1>0$ $$x>-1$$

综合：$x\in (-1,1]\cap [-1,1]=(-1,1]$

答案：存在域为 $(-1,1]$。■

1.3 单值函数与多值函数

1.3.1 单值函数

定义：若对每一个 $x\in D$，只有唯一的一个 $y$ 值与它对应，则称这个函数为单值函数。

特点：

• 满足函数定义的基本要求
• 本书只研究单值函数
• 图像满足"竖线检验"

🎨 竖线检验：

任何一条竖直线与函数图像至多交于一点。

单值函数图像：        多值函数图像：
    y                    y
    │                    │
    │    ●               │    ●
    │   ╱                │   ╱ ╲
    │  ╱                 │  ╱   ╲
    │ ╱                  │ ╱     ╲
    └────── x            └────────── x
每条竖线交一点        某些竖线交多点

1.3.2 多值函数

定义：若同一个 $x$ 值可以对应多于一个的 $y$ 值，则称这种函数为多值函数。

例子：

方程 $y^2=x$（$x\ge 0$）确定的"函数"： $$y=\pm \sqrt{x}$$

对每个 $x>0$，有两个对应的 $y$ 值：$+\sqrt{x}$ 和 $-\sqrt{x}$。

处理方法：

将多值函数分解为多个单值函数：

• $y_1=+\sqrt{x}$（主支）
• $y_2=-\sqrt{x}$（副支）

应用：

• 复变函数论中的多值函数（如复对数）
• 反三角函数的多值性（需限制主值范围）

📚 第二部分：函数的表示方法

2.1 解析法（公式法）

2.1.1 基本概念

定义：用数学表达式（公式）来表示函数的对应关系。

优点：

• ✅ 精确无歧义
• ✅ 便于数学运算
• ✅ 便于理论分析

缺点：

• ❌ 并非所有函数都能解析表示
• ❌ 某些表达式复杂难懂

标准形式： $$y=f(x),x\in D$$

当定义域为存在域时，可省略不写。

2.1.2 典型例子

例1：多项式函数 $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$ 存在域：$\mathbb{R}$

例2：有理函数 $$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n{x}^n+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+\cdots +b_0}$$ 存在域：$\{x\mid Q(x)\ne 0\}$

例3：根式函数 $$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$ 存在域：$[-1,1]$

例4：超越函数 $$f(x)=e^x\sin x$$ 存在域：$\mathbb{R}$

2.2 列表法

2.2.1 基本概念

定义：用表格形式列出自变量与函数值的对应关系。

适用情况：

• 离散的自变量
• 实验数据
• 统计资料

优点：

• ✅ 直观清晰
• ✅ 易于查阅

缺点：

• ❌ 只能表示有限个或可数个点
• ❌ 不能看出整体趋势

2.2.2 实例

例：某城市日最高气温记录（°C）

这张表格定义了一个函数 $T:\{1,2,3,4,5,6,7\}\to \mathbb{R}$。

2.3 图像法

2.3.1 理论基础

定义：在坐标平面上绘制函数的图形。

理论依据： 函数 $y=f(x)$，$x\in D$ 的图形是点集 $$G=\{(x,y)\mid y=f(x),x\in D\}$$

🎨 几何意义：

函数图形是坐标平面上的一条曲线（或若干条曲线），它直观地反映了函数的性质。

2.3.2 竖线检验

定理：平面曲线是函数图像的充要条件是：任意竖直线与曲线至多交于一点。

证明思路：

• 必要性：若是函数图像，则每个 $x$ 对应唯一 $y$，故竖线至多交一点
• 充分性：若竖线至多交一点，则每个 $x$ 至多对应一个 $y$，满足函数定义

🎨 图示：

✅ 是函数图像：           ❌ 不是函数图像：
    y                        y
    │   ╱─╲                  │     ○
    │  ╱   ╲                 │    ╱ ╲
    │ ╱     ╲                │   │   │
    │╱       ╲               │    ╲ ╱
    └─────────── x            └─────○── x
  任意竖线交一点            某竖线交两点（圆）

2.4 分段函数

2.4.1 基本概念

定义 3.4（分段函数）：

若函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，则称这类函数为分段函数。

一般形式： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in D_1\\ f_2(x),& x\in D_2\\ ⋮& ⋮\\ f_n(x),& x\in D_n\end{array}$$

其中 $D=D_1\cup D_2\cup \cdots \cup D_n$，且 $D_i\cap D_j=\varnothing$（$i\ne j$）。

2.4.2 符号函数（Sign Function）

定义： $$\text{sgn }x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$$

性质：

1. 定义域：$\mathbb{R}$
2. 值域：$\{-1,0,1\}$
3. 奇函数：$\text{sgn}(-x)=-\text{sgn }x$
4. 应用：$|x|=x\cdot \text{sgn }x$

🎨 图像：

    y
    1 ●────────────
    0     ●
   -1 ────────────●
    └──────┼────── x
           0

2.4.3 绝对值函数

定义： $$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

等价表达： $$|x|=x\cdot \text{sgn }x=\sqrt{x^2}$$

性质：

1. 定义域：$\mathbb{R}$
2. 值域：$[0,+\infty )$
3. 偶函数：$|-x|=|x|$
4. 在 $x=0$ 处连续但不可导

🎨 图像：

    y
    │  ╱│╲
    │ ╱ │ ╲
    │╱  │  ╲
    └───┼─── x
        0
    V形图像

2.5 语言描述法

2.5.1 狄利克雷函数

定义（Dirichlet Function）： $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ 0,& x\text{ 为无理数}\end{array}$$

性质：

1. 定义域：$\mathbb{R}$
2. 值域：$\{0,1\}$
3. 处处不连续（重要性质！）
4. 无法用初等函数表示
5. 以任意正有理数为周期，任何无理数都不是周期

🎨 示意图：

    y
    1 ●●●●●●●●●●●●●  ← 有理数点
    │
    0 ○○○○○○○○○○○○○  ← 无理数点
    └───────────── x

🔑 理论意义：

• 证明"连续"不是函数的必然性质
• 展示了"病态"函数的存在
• 黎曼积分不可积

2.5.2 黎曼函数

定义（Riemann Function）：

在 $[0,1]$ 上定义： $$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q}(\text{既约真分数})\\ 0,& x=0,1\text{ 或 }(0,1)\text{ 内的无理数}\end{array}$$

性质：

1. 定义域：$[0,1]$
2. 值域：$\{0\}\cup \{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}$
3. 在无理点处连续，在有理点处不连续
4. 黎曼可积

🎨 示意图：

    y
  1 ●              ← x = 1/1
1/2 ●              ← x = 1/2
1/3 ●    ●         ← x = 1/3, 2/3
1/4 ●  ●  ●        ← x = 1/4, 2/4=1/2, 3/4
  0 ●────────●     ← 无理数和0,1
    └─────────── x
    0          1

🔑 理论意义：

• 展示连续性与有理性的微妙关系
• 证明可积函数可以有不连续点
• 是实变函数论的重要例子

📚 第三部分：函数的运算

3.1 四则运算

3.1.1 基本定义

给定两个函数：

• $f:D_1\to \mathbb{R}$
• $g:D_2\to \mathbb{R}$

记 $D=D_1\cap D_2$，并设 $D\ne \varnothing$。

加法： $$(f+g)(x)=f(x)+g(x),x\in D$$

减法： $$(f-g)(x)=f(x)-g(x),x\in D$$

乘法： $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D$$

除法： $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D^{\ast }=D\cap \{x\mid g(x)\ne 0\}$$

3.1.2 定义域的确定

关键原则：

1. 四则运算前提：$D_1\cap D_2\ne \varnothing$
2. 除法的额外限制：分母不为零

🔑 特别注意：

若 $D_1\cap D_2=\varnothing$，则四则运算无定义！

3.1.3 典型例题

例题 2：四则运算的定义域

设 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=\sqrt{x^2-4}$。讨论 $f+g$，$f-g$，$f\cdot g$，$\frac{f}{g}$ 的定义域。

解：

Step 1：确定各函数定义域

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$： $$1-x^2\ge 0\Rightarrow x^2\le 1\Rightarrow D_1=[-1,1]$$

$g(x)=\sqrt{x^2-4}$： $$x^2-4\ge 0\Rightarrow x^2\ge 4\Rightarrow D_2=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$$

Step 2：求交集

$$D=D_1\cap D_2=[-1,1]\cap ((-\infty ,-2]\cup [2,+\infty ))=\varnothing$$

Step 3：结论

因为 $D_1\cap D_2=\varnothing$，所以：

• $(f+g)(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-4}$ 无定义
• $(f-g)(x)$ 无定义
• $(f\cdot g)(x)$ 无定义
• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$ 无定义

🎨 数轴图示：

D₁: ●───────●
   -1       1
D₂: ●──────     ──────●
   -∞    -2         2   +∞

两者无交集！

■

例题 3：有交集的情况

设 $f(x)=\sqrt{x+1}$，$g(x)=\sqrt{4-x}$。求 $f+g$，$\frac{f}{g}$ 的定义域。

解：

Step 1：定义域

$D_1=[-1,+\infty )$（由 $x+1\ge 0$）

$D_2=(-\infty ,4]$（由 $4-x\ge 0$）

Step 2：交集

$$D=D_1\cap D_2=[-1,+\infty )\cap (-\infty ,4]=[-1,4]$$

Step 3：各运算定义域

$(f+g)(x)$：定义域为 $D=[-1,4]$

$\left(\frac{f}{g}\right)(x)$：需排除 $g(x)=0$ 的点 $$g(x)=0\Rightarrow 4-x=0\Rightarrow x=4$$

所以定义域为 $D^{\ast }=[-1,4)$。■

3.2 复合运算

3.2.1 复合函数的定义

定义 3.5（复合函数）：

设有两个函数：

• 外函数：$y=f(u)$，$u\in D_f$
• 内函数：$u=g(x)$，$x\in E$

记 $E^{\ast }=\{x\in E\mid g(x)\in D_f\}=E\cap g^{-1}(D_f)$。

若 $E^{\ast }\ne \varnothing$，则对每一个 $x\in E^{\ast }$：

1. 通过 $g$ 对应到 $u=g(x)\in D_f$
2. 通过 $f$ 对应到 $y=f(u)=f(g(x))$

这就确定了一个定义在 $E^{\ast }$ 上的函数： $$y=f(g(x))=(f\circ g)(x),x\in E^{\ast }$$

称为函数 $f$ 和 $g$ 的复合函数。

3.2.2 复合的记号

记号系统：

角色：

• $f$：外函数
• $g$：内函数
• $u$：中间变量

3.2.3 定义域的确定

关键条件：$E^{\ast }=E\cap g^{-1}(D_f)\ne \varnothing$

步骤：

1. 确定内函数定义域 $E$
2. 确定外函数定义域 $D_f$
3. 求内函数值域与外函数定义域的交集
4. 求满足条件的 $x$

🎨 示意图：

x ∈ E  ──g──→  u ∈ g(E)
                 │
                 ↓ 需要 g(E) ∩ D_f ≠ ∅
                 │
              u ∈ D_f  ──f──→  y ∈ f(D_f)

3.2.4 典型例题

例题 4：基本复合

函数 $y=f(u)=\sqrt{u}$，$u\in [0,+\infty )$ 与 $u=g(x)=1-x^2$，$x\in \mathbb{R}$ 的复合函数。

解：

Step 1：确定可复合条件

需要 $g(x)\in D_f=[0,+\infty )$： $$1-x^2\ge 0\Rightarrow x^2\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1$$

Step 2：写出复合函数

$$y=f(g(x))=\sqrt{1-x^2},x\in [-1,1]$$

答案：$(f\circ g)(x)=\sqrt{1-x^2}$，定义域 $E^{\ast }=[-1,1]$。■

例题 5：多重复合

由三个函数 $y=\sin u$，$u=\sqrt{v}$，$v=\frac{1}{x}$ 相继复合的函数。

解：

Step 1：从内向外复合

第一步复合：$v=\frac{1}{x}$，$x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$

第二步复合：$u=\sqrt{v}=\sqrt{\frac{1}{x}}$

需要 $\frac{1}{x}\ge 0$，即 $x>0$

第三步复合：$y=\sin u=\sin \sqrt{\frac{1}{x}}$

答案： $$y=\sin \sqrt{\frac{1}{x}},x\in (0,+\infty )$$

或写为： $$y=\sin \frac{1}{\sqrt{x}},x>0$$

■

例题 6：不能复合的情况

设 $y=\arcsin u$，$u\in [-1,1]$ 为外函数，$u=2+x^2$，$x\in \mathbb{R}$ 为内函数。能否复合？

解：

内函数值域： $$g(E)=\{2+x^2\mid x\in \mathbb{R}\}=[2,+\infty )$$

外函数定义域： $$D_f=[-1,1]$$

检查交集： $$g(E)\cap D_f=[2,+\infty )\cap [-1,1]=\varnothing$$

结论：不能复合！因为内函数的值域与外函数的定义域无交集。■

3.2.5 复合运算的性质

性质 1：一般不满足交换律

通常 $f\circ g\ne g\circ f$

例：

• $f(x)=x^2$，$g(x)=x+1$
• $(f\circ g)(x)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$
• $(g\circ f)(x)=x^2+1$
• 显然 $(f\circ g)(x)\ne (g\circ f)(x)$

性质 2：满足结合律

$$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$$

证明思路： 两边都是 $f(g(h(x)))$， 只要定义域相同即可。

性质 3：恒等函数是单位元

设恒等函数 $I(x)=x$，则： $$f\circ I=I\circ f=f$$

证明： $$(f\circ I)(x)=f(I(x))=f(x)$$ $$(I\circ f)(x)=I(f(x))=f(x)$$

3.2.6 复合函数的分解

问题：给定函数 $h(x)$，如何将其分解为 $f\circ g$？

策略：

1. 识别内层结构作为内函数
2. 外层操作作为外函数
3. 引入中间变量

例题 7：复合函数的分解

将下列函数分解为基本函数的复合：

(1) $y={\sin }^{2}x$

解：

• 设 $u=\sin x$（内函数）
• 则 $y=u^2$（外函数）

分解：$y=f(u)=u^2$，$u=g(x)=\sin x$

或简写：$y=(\sin x{)}^2=u^2$ 其中 $u=\sin x$。■

(2) $y=e^{\sin x}$

解：

• 设 $u=\sin x$（内函数）
• 则 $y=e^u$（外函数）

分解：$y=f(u)=e^u$，$u=g(x)=\sin x$。■

(3) $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

解：

方法1：一次分解

• 设 $u=x+\sqrt{x^2+1}$
• 则 $y=\ln u$

方法2：多重分解

• 设 $v=x^2+1$
• 设 $w=\sqrt{v}$
• 设 $u=x+w$
• 则 $y=\ln u$

链条：$x\to v=x^2+1\to w=\sqrt{v}\to u=x+w\to y=\ln u$。■

📚 第四部分：反函数理论

4.1 反函数的定义

4.1.1 直观引入

🤔 动机问题：

对于函数 $y=f(x)$：

• 给定 $x$，能求出唯一的 $y$
• 反过来，给定 $y$，能否求出唯一的 $x$？

若能，这就建立了从 $y$ 到 $x$ 的新函数，称为反函数。

4.1.2 严格定义

定义 3.6（反函数）：

设函数 $f:D\to f(D)$ 满足：

条件：对每一个 $y\in f(D)$，存在唯一的 $x\in D$ 使得 $f(x)=y$

则可定义从 $f(D)$ 到 $D$ 的函数： $$f^{-1}:f(D)\to D,y\mapsto x$$

称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的反函数（Inverse Function）。

4.1.3 记号说明

标准记号：$f^{-1}$

⚠️ 重要警告：

$$f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}$$

习惯记法：

虽然反函数定义为 $x=f^{-1}(y)$，$y\in f(D)$，但习惯上交换字母写成： $$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$$

这样自变量仍用 $x$ 表示，因变量仍用 $y$ 表示。

4.2 反函数的性质

4.2.1 基本性质

性质 1：互为反函数

若 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，则 $f$ 也是 $f^{-1}$ 的反函数，即： $$(f^{-1}{)}^{-1}=f$$

性质 2：复合关系

$$f^{-1}(f(x))=x,\forall x\in D$$ $$f(f^{-1}(y))=y,\forall y\in f(D)$$

几何意义：

• $f$ 和 $f^{-1}$ 的复合是恒等函数
• $f\circ f^{-1}=I_{f(D)}$
• $f^{-1}\circ f=I_D$

性质 3：定义域与值域的关系

即： $$\text{Dom}(f^{-1})=\text{Range}(f)=f(D)$$ $$\text{Range}(f^{-1})=\text{Dom}(f)=D$$

关系式： $$\text{Dom}(f^{-1})=f(\text{Dom}(f))$$ $$\text{Range}(f^{-1})=f^{-1}(\text{Range}(f^{-1}))$$

性质 4：图像关系

定理 4.1：函数 $y=f(x)$ 与其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。

证明：

设点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上，则 $b=f(a)$。

由反函数定义，$a=f^{-1}(b)$，即点 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的图像上。

而点 $(a,b)$ 和 $(b,a)$ 关于直线 $y=x$ 对称。■

🎨 几何图示：

    y
    │     y = x
    │    ╱
    │   ╱ (b,a) ●
    │  ╱    ╱│
    │ ╱   ╱  │  y = f⁻¹(x)
    │╱  ╱    │
  ──●──────── x
   (a,b)
    │
y = f(x)

4.3 反函数存在的条件

4.3.1 充要条件

定理 4.2（反函数存在定理）：

函数 $f:D\to M$ 有反函数的充要条件是 $f$ 是一一映射（双射）。

详细说明：

需要同时满足：

1. 单射性（Injective，一对一）： $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$$

或等价地： $$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

几何意义：任何水平线与函数图像至多交于一点。

2. 满射性（Surjective，到上）： $$\forall y\in M,\exists x\in D:f(x)=y$$

即 $f(D)=M$（值域等于陪域）。

几何意义：函数能取到目标集合 $M$ 中的所有值。

4.3.2 单射性的判定

方法 1：定义法

直接验证 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$。

例：$f(x)=2x+1$

设 $f(x_1)=f(x_2)$： $$2x_1+1=2x_2+1\Rightarrow 2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2$$

所以 $f$ 是单射。✓

方法 2：单调性法

定理：严格单调函数必为单射。

• 若 $f$ 严格递增：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
• 若 $f$ 严格递减：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

则 $f$ 是单射。

证明（以递增为例）：

假设 $x_1\ne x_2$，不妨设 $x_1<x_2$。

由严格递增性，$f(x_1)<f(x_2)$，故 $f(x_1)\ne f(x_2)$。

所以 $f$ 是单射。■

方法 3：水平线检验

图像与任何水平线至多交一点 $\iff$ 函数是单射。

4.4 反函数的典型例子

4.4.1 线性函数

原函数： $$y=ax+b(a\ne 0),x\in \mathbb{R}$$

求反函数：

由 $y=ax+b$ 解出 $x$： $$x=\frac{y-b}{a}$$

交换字母： $$y=\frac{x-b}{a}$$

反函数： $$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a},x\in \mathbb{R}$$

验证： $$f^{-1}(f(x))=\frac{(ax+b)-b}{a}=\frac{ax}{a}=x$$ ✓

4.4.2 指数函数与对数函数

指数函数： $$y=a^x(a>0,a\ne 1),x\in \mathbb{R}$$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(0,+\infty )$
• 严格单调（$a>1$ 时递增，$0<a<1$ 时递减）

对数函数（反函数）： $$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1),x\in (0,+\infty )$$

• 定义域：$(0,+\infty )$
• 值域：$\mathbb{R}$

关系： $${\log }_a(a^x)=x,x\in \mathbb{R}$$ $$a^{{\log }_{a}x}=x,x\in (0,+\infty )$$

4.4.3 三角函数与反三角函数

正弦函数的限制：

原函数 $y=\sin x$（$x\in \mathbb{R}$）不是单射，需要限制定义域。

主值分支： $$y=\sin x,x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

此时严格递增，有反函数。

反正弦函数： $$y=\arcsin x,x\in [-1,1]$$

• 定义域：$[-1,1]$
• 值域：$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

关系： $$\arcsin (\sin x)=x,x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$ $$\sin (\arcsin x)=x,x\in [-1,1]$$

反余弦函数：

$$y=\arccos x,x\in [-1,1]$$

• 定义域：$[-1,1]$
• 值域：$[0,\pi ]$
• 原函数：$y=\cos x$，$x\in [0,\pi ]$

反正切函数：

$$y=\arctan x,x\in \mathbb{R}$$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
• 原函数：$y=\tan x$，$x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

性质： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$$ $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$

反余切函数：

$$y=\text{arccot }x,x\in \mathbb{R}$$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(0,\pi )$
• 原函数：$y=\cot x$，$x\in (0,\pi )$

4.4.4 幂函数与根式函数

幂函数（$n$ 为正整数）： $$y=x^n,x\in [0,+\infty )$$

严格递增，有反函数。

$n$ 次方根函数： $$y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n},x\in [0,+\infty )$$

关系： $$\sqrt[n]{x^n}=x,x\ge 0$$ $$(\sqrt[n]{x}{)}^n=x,x\ge 0$$

4.5 n 次方根的存在性

4.5.1 定理陈述

定理 4.3（$n$ 次方根存在性）：

设 $a>0$，$n\ge 2$ 为正整数。则方程 $$x^n=a$$ 有唯一的正实数解。

记号：这个唯一解记作 $\sqrt[n]{a}$ 或 $a^{1/n}$。

4.5.2 证明（以 $n=2$ 为例）

定理：对任意 $a>0$，方程 $x^2=a$ 有唯一正解。

证明：

Step 1：构造集合

定义 $$E=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0,x^2<a\}$$

Step 2：$E$ 非空

情况1：若 $a\ge 1$，取 $x_0=\frac{a}{2}$（或更小的正数）

$$x_0^2=\frac{a^2}{4}<a(\text{当 }a\ge 1)$$

情况2：若 $0<a<1$，取 $x_0=a$

$$x_0^2=a^2<a(\text{因为 }a<1)$$

总之，$E\ne \varnothing$。

Step 3：$E$ 有上界

情况1：若 $a\ge 1$，取上界 $M=a$

对任何 $x\in E$：$x^2<a\le a$ 且 $x>0$

若 $x>a$，则 $x^2>a^2\ge a$，矛盾。

所以 $x\le a$，即 $a$ 是上界。

情况2：若 $0<a<1$，取上界 $M=1$

对任何 $x\in E$：若 $x\ge 1$，则 $x^2\ge 1>a$，矛盾。

所以 $x<1$，即 $1$ 是上界。

总之，$E$ 有上界。

Step 4：应用确界原理

由确界原理，$\sup E$ 存在，记 $c=\sup E$。

Step 5：证明 $c^2=a$（反证法）

情况1：假设 $c^2<a$

令 $\epsilon =\frac{a-c^2}{2c+1}>0$。

取 $\delta =\min \{\epsilon ,1\}$。

计算： $$(c+\delta {)}^2=c^2+2c\delta +{\delta }^2\le c^2+2c\delta +\delta$$ $$<c^2+(2c+1)\delta \le c^2+(2c+1)\epsilon =c^2+(a-c^2)=a$$

所以 $c+\delta \in E$，与 $c=\sup E$ 矛盾！

情况2：假设 $c^2>a$

令 $\epsilon =\frac{c^2-a}{2c}>0$。

对任何 $0<\delta <\epsilon$： $$(c-\delta {)}^2=c^2-2c\delta +{\delta }^2>c^2-2c\delta >c^2-2c\epsilon =c^2-(c^2-a)=a$$

这说明对所有 $x\in E$： $$x^2<a<(c-\delta {)}^2\Rightarrow x<c-\delta$$

即 $c-\delta$ 是 $E$ 的上界，与 $c=\sup E$ 是最小上界矛盾！

结论：$c^2=a$。

Step 6：证明唯一性

假设 $b>0$ 也满足 $b^2=a$。

若 $b\ne c$，不妨设 $b>c>0$（或 $c>b>0$）。

则： $$b^2=a=c^2\Rightarrow b^2-c^2=0\Rightarrow (b-c)(b+c)=0$$

因为 $b,c>0$，所以 $b+c>0$，故 $b-c=0$，即 $b=c$。

矛盾！所以正解唯一。■

推广：类似方法可证明对任意 $n\ge 2$，方程 $x^n=a$（$a>0$）有唯一正解。

证明目标

我们要证明： $$a^{\frac{pm}{pn}}=a^{\frac{m}{n}}$$

根据题目给出的定义，这等价于要证明： $$(a^{\frac{1}{pn}}{)}^{pm}=(a^{\frac{1}{n}}{)}^m$$

证明过程

Step 1: 引入辅助变量 令 $x=a^{\frac{1}{pn}}$。 根据 $n$ 次根的定义（这里是 $pn$ 次根），这意味着 $x$ 是唯一的正实数满足： $$x^{pn}=a\dots \text{(1)}$$

令 $y=a^{\frac{1}{n}}$。 同理，根据定义，$y$ 是唯一的正实数满足： $$y^n=a\dots \text{(2)}$$

Step 2: 转化目标 我们需要证明的等式现在变成了： $$x^{pm}=y^m$$

Step 3: 利用幂运算性质（整数幂） 由于 $a>0$，所有的底数 $x,y$ 均为正数。要证明两个正数的 $m$ 次幂相等（$x^{pm}=y^m$），或者更进一步，要证明这两个数本身相等，我们可以考察它们的 $n$ 次幂是否相等。

让我们计算等式左边项 $(x^{pm})$ 的 $n$ 次幂： $$[(x^{pm}){]}^n=x^{pm\cdot n}=x^{pmn}$$ 利用整数幂的交换律 $x^{ab}=(x^a{)}^b$： $$x^{pmn}=(x^{pn}{)}^m$$ 将 (1) 式代入： $$(x^{pn}{)}^m=a^m$$

现在计算等式右边项 $(y^m)$ 的 $n$ 次幂： $$[(y^m){]}^n=y^{mn}=(y^n{)}^m$$ 将 (2) 式代入： $$(y^n{)}^m=a^m$$

Step 4: 结论 我们发现： $$[(a^{\frac{1}{pn}}{)}^{pm}{]}^n=a^m$$ $$[(a^{\frac{1}{n}}{)}^m{]}^n=a^m$$

由于 $f(t)=t^n$ 在 $t>0$ 时是单调递增函数（单射），如果两个正数的 $n$ 次幂相等，那么这两个数本身相等。 因此： $$(a^{\frac{1}{pn}}{)}^{pm}=(a^{\frac{1}{n}}{)}^m$$ 即： $$a^{\frac{pm}{pn}}=a^{\frac{m}{n}}$$

Q.E.D.

这里的“坑”在哪里？

很多人会直接把分数的 $p$ 约掉，说 $\frac{pm}{pn}=\frac{m}{n}$ 所以得证。 错！ 这道题的语境是在定义分数指数幂。你不能用“分数约分”这个算术性质来直接推导“指数定义的合理性”，那是循环论证。你必须像上面那样，回到“整数次幂”和“根号”的原始定义去“硬算”，证明它们殊途同归。

4.5.3 有理指数幂

定义：设 $a>0$，$m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$，定义：

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$$

性质：

1. $a^{m/n}\cdot a^{p/q}=a^{(m/n)+(p/q)}$

2. $(a^{m/n}{)}^{p/q}=a^{(m/n)(p/q)}$

3. $(ab{)}^{m/n}=a^{m/n}\cdot b^{m/n}$

📚 第五部分：无理指数幂的定义

5.1 问题的提出

5.1.1 已有的定义

在中学阶段，我们已经定义了：

• 正整数指数幂：$a^n=\underset{n\text{个}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$

• 负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\ne 0$）

• 零指数幂：$a^0=1$（$a\ne 0$）

• 有理指数幂：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$（$a>0$）

5.1.2 悬而未决的问题

🤔 问题：如何定义无理指数幂？

例如：

• $2^{\sqrt{2}}$ 是什么意思？
• $e^{\pi }$ 如何理解？
• ${\pi }^e$ 又该如何定义？

这些在中学阶段都没有严格定义！

5.2 无理指数幂的严格定义

5.2.1 核心思想

关键思想：用有理数逼近无理数，再用确界原理定义。

理论基础：

1. 有理数在实数中稠密
2. 确界原理保证上（下）确界存在

5.2.2 定义

定义 3.7（无理指数幂）：

设 $a>0$，$a\ne 1$，$\alpha$ 为无理数。

当 $a>1$ 时： $$a^{\alpha }=\sup \{a^r\mid r<\alpha ,r\in \mathbb{Q}\}$$

当 $0<a<1$ 时： $$a^{\alpha }=\inf \{a^r\mid r<\alpha ,r\in \mathbb{Q}\}$$

5.2.3 定义的合理性

注1：集合非空且有界

当 $a>1$ 时：

设 $S=\{a^r\mid r<\alpha ,r\in \mathbb{Q}\}$。

• 非空性：由有理数稠密性，存在有理数 $r_0<\alpha$，则 $a^{r_0}\in S$

• 有界性：由稠密性，存在有理数 $r_1>\alpha$，则对所有 $r<\alpha$： $$a^r<a^{r_1}(\text{因为 }a>1)$$

  所以 $a^{r_1}$ 是上界

由确界原理，$\sup S$ 存在。

当 $0<a<1$ 时：类似论证，$\inf S$ 存在。

注2：统一表示

若将定义中的 $r<\alpha$ 改为 $r\le \alpha$，则：

• 当 $\alpha$ 为有理数时，$\sup \{a^r\mid r\le \alpha \}=a^{\alpha }$（已定义的有理指数幂）
• 当 $\alpha$ 为无理数时，$\sup \{a^r\mid r<\alpha \}=\sup \{a^r\mid r\le \alpha \}$

所以可以统一为： $$a^{\alpha }=\sup \{a^r\mid r\le \alpha ,r\in \mathbb{Q}\}(a>1)$$

5.3 计算实例

例题 8：理解定义

用定义解释 $2^{\sqrt{2}}$ 的意义。

解：

$\sqrt{2}\approx 1.414213\dots$ 是无理数。

取有理数序列逼近：

• $r_1=1.4$
• $r_2=1.41$
• $r_3=1.414$
• $r_4=1.4142$
• $\cdots$

计算相应的幂：

• $2^{1.4}=2^{14/10}\approx 2.639$
• $2^{1.41}\approx 2.657$
• $2^{1.414}\approx 2.665$
• $2^{1.4142}\approx 2.665$
• $\cdots$

由定义： $$2^{\sqrt{2}}=\sup \{2^r\mid r<\sqrt{2},r\in \mathbb{Q}\}\approx 2.665144$$

几何意义：用有理指数幂"从下方"逼近无理指数幂。■

5.4 实指数幂的性质

定理 5.1：对 $a>0$，$a\ne 1$，任意实数 $x,y$，有：

(1) 运算性质： $$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$ $$(a^x{)}^y=a^{xy}$$ $$(ab{)}^x=a^x\cdot b^x(b>0)$$

(2) 单调性：

• 当 $a>1$ 时：$x<y\iff a^x<a^y$（严格递增）
• 当 $0<a<1$ 时：$x<y\iff a^x>a^y$（严格递减）

(3) 连续性（将在后续章节证明）： $$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=a^{x_0}$$

证明：

运算性质的证明较复杂，需要分情况讨论（有理+有理、有理+无理、无理+无理），并利用确界的运算性质。这里从略。

单调性可由确界定义和有理指数幂的单调性推出。■

📚 第六部分：基本初等函数

6.1 六类基本初等函数

6.1.1 常量函数

定义： $$y=c(c\text{ 为常数})$$

性质：

🎨 图像：

    y
    │
  c ●─────────────
    │
    └──────────── x

6.1.2 幂函数

定义： $$y=x^{\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})$$

定义域：取决于 $\alpha$

典型例子：

(1) $y=x$ （一次函数）

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 奇函数，严格递增

(2) $y=x^2$ （抛物线）

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 偶函数，$x>0$ 时递增

(3) $y=x^3$ （三次函数）

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 奇函数，严格递增

(4) $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$

• 定义域：$[0,+\infty )$
• 严格递增

(5) $y=\frac{1}{x}=x^{-1}$ （反比例函数）

• 定义域：$\mathbb{R}\setminus \{0\}$
• 奇函数，在 $(0,+\infty )$ 和 $(-\infty ,0)$ 上严格递减

6.1.3 指数函数

定义： $$y=a^x(a>0,a\ne 1)$$

性质：

渐近线：

• $a>1$ 时：$x\to -\infty$，$a^x\to 0^{+}$（$x$ 轴是水平渐近线）
• $0<a<1$ 时：$x\to +\infty$，$a^x\to 0^{+}$

🎨 图像对比：

a > 1 时：          0 < a < 1 时：
    y                  y
    │  ╱               │╲
    │ ╱                │ ╲
  1 ●─────             1 ●──────
    │                  │   ╲
    └────── x          └────╲─── x

6.1.4 对数函数

定义： $$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$$

性质：

与指数函数的关系： $$y={\log }_{a}x\iff x=a^y$$

换底公式： $${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}=\frac{\ln x}{\ln a}$$

特殊对数：

(1) 自然对数： $$\ln x={\log }_{e}x$$ 其中 $e=2.71828\dots$ 是自然对数的底（欧拉数）。

(2) 常用对数： $$\lg x={\log }_{10}x$$

6.1.5 三角函数

(1) 正弦函数

$$y=\sin x$$

(2) 余弦函数

$$y=\cos x$$

(3) 正切函数

$$y=\tan x$$