数学分析完整知识体系：数集与确界原理

📘 教学导言

亲爱的学习者，欢迎进入数学分析的核心理论——数集与确界原理的学习。这一章节是整个数学分析大厦的地基，看似简单的概念背后蕴含着深刻的数学思想。

让我们像建造房屋一样，从最基础的"砖块"（区间与邻域）开始，逐步搭建起"墙壁"（有界集），最后完成"屋顶"（确界原理）。每一步都将用生动的例子、清晰的图示和循序渐进的解释来帮助你建立深刻的理解。

🎯 整体知识架构思维导图

mindmap
  root((§2 数集·确界原理))
    [一、区间与邻域]
      (区间的分类)
        {有限区间}
          开区间 (a,b)
          闭区间 [a,b]
          半开半闭区间
        {无限区间}
          [a,+∞)
          (-∞,b]
          (-∞,+∞)=ℝ
      (邻域的类型)
        {点的邻域}
          δ邻域 U(a,δ)
          空心δ邻域 U°(a,δ)
        {单侧邻域}
          右邻域 U₊(a,δ)
          左邻域 U₋(a,δ)
        {无穷邻域}
          ∞邻域 U(∞)
          +∞邻域 U(+∞)
          -∞邻域 U(-∞)
    [二、有界集]
      (基本概念)
        {有上界}
          上界的定义
          上界的非唯一性
        {有下界}
          下界的定义
          下界的非唯一性
        {有界集}
          同时有上界和下界
        {无界集}
          不是有界集的集合
      (典型例子)
        自然数集ℕ
        有限区间
        无限区间
    [三、确界原理]
      (确界的定义)
        {上确界 sup S}
          最小上界
          唯一性
          存在性条件
        {下确界 inf S}
          最大下界
          唯一性
          存在性条件
      (确界原理)
        {基本定理}
          有上界必有上确界
          有下界必有下确界
        {实数完备性}
          与有理数的区别
          理论基础地位
      (确界的性质)
        {与集合的关系}
          确界可能属于集合
          确界可能不属于集合
        {与最值的关系}
          sup S = max S ⟺ sup S ∈ S
          inf S = min S ⟺ inf S ∈ S
    [四、重要应用]
      集合的并的确界
      集合的和的确界
      实数存在性证明

📚 第一部分：区间与邻域（基础概念）

1.1 为什么需要区间和邻域？

在开始严格定义之前，让我们先理解为什么这些概念如此重要：

🤔 思考场景：

• 当我们说"函数在某点附近连续"，这个"附近"如何精确描述？
• 当我们说"数列收敛到某个值"，如何表达"足够接近"？
• 如何描述"所有大于3的实数"这样的无限集合？

答案：区间和邻域！它们是数学分析中描述"范围"和"局部性质"的基本语言。

1.2 区间的完整体系

1.2.1 有限区间（Finite Intervals）

设 $a,b\in \mathbb{R}$，且 $a<b$。

📐 几何直观：

数轴表示：
        a              b
开区间：  ○============○
闭区间：  ●============●
左闭右开：●============○
左开右闭：○============●

其中 ● 表示包含该点，○ 表示不包含

1.2.2 无限区间（Infinite Intervals）

为了描述"所有大于某数的实数"或"所有实数"，我们引入符号 $\infty$（无穷大）。

⚠️ 重要提醒：$+\infty$ 和 $-\infty$ 不是实数，只是符号！

定义与规定：

• 对任何实数 $a$，规定：$a<+\infty$ 和 $a>-\infty$
• 规定：$-\infty <+\infty$

无限区间的分类：

📊 数轴表示：

[a, +∞):     ●═══════════════════════→
(a, +∞):     ○═══════════════════════→
(-∞, b]:   ←═══════════════════════●
(-∞, b):   ←═══════════════════════○
(-∞, +∞): ←═══════════════════════════→

🔑 关键理解：

• 为什么 $+\infty$ 和 $-\infty$ 总是用圆括号？
  • 因为它们不是实数，永远不能"取到"
  • 这与有限区间的端点不同（有限端点可以取到）

1.3 邻域的完整体系

邻域是数学分析中描述"局部性质"的核心工具。让我们从最直观的理解开始。

1.3.1 δ邻域（最基本的邻域）

直观理解：想象你站在数轴上的点 $a$，$\delta$ 邻域就是你"向左右各走 $\delta$ 步所能到达的范围"。

定义 1.1（δ邻域）：

设 $a\in \mathbb{R}$，$\delta >0$。称集合 $$U(a,\delta )=\{x\mid |x-a|<\delta \}=(a-\delta ,a+\delta )$$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，简记为 $U(a)$。

• 中心（Center）：$a$
• 半径（Radius）：$\delta$

🎨 可视化：

        a-δ      a      a+δ
         |-------|-------|
         ○       ●       ○
         └───────┴───────┘
          U(a, δ)
          
关键特征：
1. 以 a 为中心对称
2. 长度为 2δ
3. 包含中心点 a
4. 不包含端点 a±δ

📝 等价表达：

$$|x-a|<\delta \iff a-\delta <x<a+\delta$$

这个等价关系非常重要，是连接绝对值不等式和区间的桥梁！

1.3.2 空心δ邻域（去心邻域）

为什么需要"去心"？

在研究函数极限时，我们关心"$x$ 无限接近 $a$ 但 $x\ne a$"时的情况。此时需要排除中心点。

定义 1.2（空心δ邻域）：

$$\mathring{U}(a,\delta )=\{x\mid 0<|x-a|<\delta \}=(a-\delta ,a)\cup (a,a+\delta )$$

🎨 可视化：

        a-δ      a      a+δ
         |-------|-------|
         ○       ×       ○
         └───┬───┴───┬───┘
             |       |
        (a-δ,a)  (a,a+δ)
        
关键特征：
• 中心点 a 被"挖空"
• 由两个开区间组成
• 条件：0 < |x-a| < δ

🔑 对比理解：

1.3.3 单侧邻域

应用场景：研究单侧极限（如 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$）时需要。

定义 1.3（单侧邻域）：

右邻域（Right Neighborhood）： $$U_{+}(a,\delta )=\{x\mid a<x<a+\delta \}=(a,a+\delta )$$

左邻域（Left Neighborhood）： $$U_{-}(a,\delta )=\{x\mid a-\delta <x<a\}=(a-\delta ,a)$$

空心右邻域： $${\mathring{U}}_{+}(a,\delta )=(a,a+\delta )=U_{+}(a,\delta )$$ （注意：右邻域本身就不包含 $a$，所以"空心"与否相同）

空心左邻域： $${\mathring{U}}_{-}(a,\delta )=(a-\delta ,a)=U_{-}(a,\delta )$$

🎨 可视化对比：

完整邻域 U(a, δ):
    a-δ      a      a+δ
     |-------|-------|
     ○       ●       ○

左邻域 U₋(a, δ):
    a-δ      a
     |-------|
     ○       ○

右邻域 U₊(a, δ):
             a      a+δ
             |-------|
             ○       ○

关系：U(a,δ) \ {a} = U₋(a,δ) ∪ U₊(a,δ)

1.3.4 无穷邻域

为什么需要？ 描述"足够大的数"或"足够小的数"。

定义 1.4（无穷邻域）：

1. $\infty$ 邻域： $$U(\infty )=\{x\mid |x|>M\}$$ 其中 $M$ 为充分大的正数。

   几何意义：距离原点足够远的所有点。

2. $+\infty$ 邻域： $$U(+\infty )=\{x\mid x>M\}$$

   几何意义：足够大的所有正数。

3. $-\infty$ 邻域： $$U(-\infty )=\{x\mid x<-M\}$$

   几何意义：足够小的所有负数（绝对值足够大的负数）。

🎨 可视化：

U(+∞): 只包含足够大的数
      0         M
      ├─────────●═════════════→

U(-∞): 只包含足够小的数
    ←═════════════●─────────┤
                 -M         0

U(∞): 包含绝对值足够大的数
   ←═════●─────────●═════→
        -M         M

1.4 区间与邻域的综合应用

例题 1：用区间表示不等式解集

求不等式 $|1-x|-x\ge 0$ 的解。

解题步骤：

步骤1：分类讨论绝对值

$$|1-x|=\{\begin{array}{ll}1-x,& x\le 1\\ x-1,& x>1\end{array}$$

步骤2：分情况求解

情况1：$x\le 1$ 时 $$(1-x)-x\ge 0\Rightarrow 1-2x\ge 0\Rightarrow x\le \frac{1}{2}$$

结合 $x\le 1$，得 $x\le \frac{1}{2}$。

情况2：$x>1$ 时 $$(x-1)-x\ge 0\Rightarrow -1\ge 0$$

这不可能成立。

步骤3：综合结果

解集为 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$。■

例题 2：三个数的大小关系不等式

求不等式 $(x-a)(x-b)(x-c)>0$ 的解，其中 $a<b<c$。

解题思路：使用"穿根法"（数轴标根法）

步骤1：标出三个根

数轴：  ●─────●─────●─────
       a     b     c

步骤2：判断各区间符号

• 当 $x>c$ 时：三个因子都为正 → 乘积为正 ✓
• 当 $b<x<c$ 时：前两个正，第三个负 → 乘积为负 ✗
• 当 $a<x<b$ 时：第一个正，后两个负 → 乘积为正 ✓
• 当 $x<a$ 时：三个因子都为负 → 乘积为负 ✗

结果： $$x\in (a,b)\cup (c,+\infty )$$

🎨 符号图示：

      a     b     c
  ─────●─────●─────●─────
   -   +   -   +   
   ✗   ✓   ✗   ✓

📚 第二部分：有界集（核心概念）

2.1 为什么研究有界性？

🤔 思考问题：

• 哪些数集是"有限大小"的？
• 如何判断一个数集"不会无限扩散"？
• 有界性与数列收敛有什么关系？

核心思想：有界性是数学分析中研究收敛性的第一步！

2.2 有界集的严格定义

定义 2.1（有上界的数集）：

设 $S\subset \mathbb{R}$ 为非空数集。若存在数 $M$ 使得对一切 $x\in S$ 都有 $$x\le M$$ 则称 $S$ 为有上界的数集，$M$ 称为 $S$ 的一个上界。

定义 2.2（有下界的数集）：

若存在数 $L$ 使得对一切 $x\in S$ 都有 $$x\ge L$$ 则称 $S$ 为有下界的数集，$L$ 称为 $S$ 的一个下界。

定义 2.3（有界集）：

若数集 $S$ 既有上界又有下界，则称 $S$ 为有界集。

等价定义： $$S\text{ 有界}\iff \exists M>0,\forall x\in S:|x|\le M$$

证明等价性：

⇒ 方向：若 $S$ 有上界 $M_2$ 和下界 $M_1$，取 $$M=\max \{|M_1|,|M_2|\}$$ 则对所有 $x\in S$： $$M_1\le x\le M_2\Rightarrow |x|\le M$$

⇐ 方向：若 $|x|\le M$ 对所有 $x\in S$ 成立，则 $$-M\le x\le M$$ 所以 $M$ 是上界，$-M$ 是下界。■

定义 2.4（无界集）：

不是有界集的集合称为无界集。

逻辑表达： $$S\text{ 无界}\iff \forall M>0,\exists x\in S:|x|>M$$

任何有限区间都是有界集,无限区间是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.

2.3 典型例子深度分析

例子 1：自然数集 $\mathbb{N}$

命题：$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ 有下界但无上界。

证明：

Part 1：有下界 对所有 $n\in \mathbb{N}$，显然 $n\ge 1$。 所以 1 是下界。实际上，任何 $\le 1$ 的实数都是下界。

Part 2：无上界（重点！） 需要证明：对任何 $M\in \mathbb{R}$，存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $n>M$。

构造性证明： 设 $M$ 为任意实数，取 $n_0=[M]+1$（$[M]$ 是不超过 $M$ 的最大整数）。

则 $n_0\in \mathbb{N}$（因为是正整数），且 $$n_0=[M]+1>M$$

这就证明了 $M$ 不是上界。由于 $M$ 的任意性，$\mathbb{N}$ 无上界。■

🔑 关键思想：这个证明体现了阿基米德性——无论 $M$ 多大，总能找到更大的自然数！

例子 2：有限区间

命题：任何有限区间都是有界集。

证明（以 $(a,b)$ 为例）：

设 $S=(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$。

对任何 $x\in S$： $$a<x<b$$

所以 $b$ 是 $S$ 的上界，$a$ 是 $S$ 的下界。

因此 $(a,b)$ 是有界集。

一般结论：对于任何有限区间（开、闭、半开半闭），取其端点作为界即可。■

例子 3：无限区间

命题：任何无限区间都是无界集。

证明（以 $[a,+\infty )$ 为例）：

设 $S=[a,+\infty )=\{x\mid x\ge a\}$。

对任何 $M\in \mathbb{R}$，取 $x_0=\max \{a,M+1\}$。

则 $x_0\in S$（因为 $x_0\ge a$），且 $x_0>M$。

所以 $S$ 无上界，因此是无界集。■

例子 4：特殊数列集

例 2.1：设 $$S=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right\}$$

分析：

• 上界：最大元素是 $\frac{1}{1}=1$，所以 1 是上界（也是最小上界）
• 下界：所有元素都为正，所以 0 是下界（但不属于集合）

结论：$S$ 是有界集。

例 2.2：设 $$S=\left\{x=(-1{)}^n\left(1-\frac{1}{n}\right)\mid n\in \mathbb{N}\right\}$$

展开前几项： $$S=\left\{0,\frac{2}{3},-\frac{3}{4},\frac{4}{5},-\frac{5}{6},\dots \right\}$$

分析：

• 当 $n$ 为偶数：$x_n=1-\frac{1}{n}\to 1^{-}$（从下方趋于1）
• 当 $n$ 为奇数：$x_n=-\left(1-\frac{1}{n}\right)\to -1^{+}$（从上方趋于-1）

结论：

• 上界：1（最小上界）
• 下界：-1（最大下界）
• $S$ 是有界集

2.4 有界性的判定技巧

技巧 1：利用不等式放缩

若能证明 $|x|\le M$ 对所有 $x\in S$ 成立，则 $S$ 有界。

技巧 2：分解为有界部分

若 $S\subset T$ 且 $T$ 有界，则 $S$ 有界。

技巧 3：利用函数的性质

若 $S=\{f(x)\mid x\in D\}$ 且 $f$ 在 $D$ 上有界，则 $S$ 有界。

练习题：判断下列数集是否有界

1. $S_1=\{x\mid x^2<2\}$

   解：由 $x^2<2$ 得 $|x|<\sqrt{2}$，所以有界。✓

2. $S_2=\{x\mid x=n!,n\in \mathbb{N}\}$

   解：$n!$ 随 $n$ 增长趋于无穷，无上界。✗

3. $S_3=\{x\mid x\text{ 为 }(0,1)\text{ 上的无理数}\}$

   解：$S_3\subset (0,1)$，而 $(0,1)$ 有界，所以 $S_3$ 有界。✓

📚 第三部分：确界理论（核心定理）

3.1 从直观到严格：为什么需要确界？

🤔 思考情境：

考虑集合 $S=\{x\mid 0<x<1\}$（开区间）。

问题1：$S$ 有没有上界？ 答案：有！例如 1, 2, 3, ... 都是上界。

问题2：$S$ 有没有最小的上界？ 答案：有！应该是 1（虽然 $1\notin S$）。

问题3：如何严格定义"最小上界"？ 答案：这就是上确界的概念！

3.2 上确界的严格定义

定义 3.1（上确界）：

设 $S\subset \mathbb{R}$ 为非空数集，$S$ 有上界。若数 $\eta$ 满足：

(i) $\eta$ 是 $S$ 的上界： $$\forall x\in S:x\le \eta$$

(ii) $\eta$ 是最小上界： $$\forall \alpha <\eta ,\exists x_0\in S:x_0>\alpha$$

则称 $\eta$ 为数集 $S$ 的上确界，记作 $$\eta =\sup S$$

（$\sup$ 是拉丁文 supremum 的缩写，意为"最高点"）

🔑 条件 (ii) 的等价表述：

$$\forall \epsilon >0,\exists x_0\in S:x_0>\eta -\epsilon$$

几何意义：

• 在 $\eta$ 的任意小的左邻域内，都能找到 $S$ 中的点
• 这保证了 $\eta$ 是"紧贴"$S$ 的最小上界

🎨 可视化：

数轴：  ───●───●───●───●────
       x₁  x₂  x₃  x₄      η = sup S

关键特征：
• 所有 xᵢ ≤ η (上界性质)
• 在 η-ε 和 η 之间必有 S 中的点 (最小性)
• 如果把 η 稍微减小，就不再是上界

3.3 下确界的严格定义

定义 3.2（下确界）：

设 $S\subset \mathbb{R}$ 为非空数集，$S$ 有下界。若数 $\xi$ 满足：

(i) $\xi$ 是 $S$ 的下界： $$\forall x\in S:x\ge \xi$$

(ii) $\xi$ 是最大下界： $$\forall \beta >\xi ,\exists x_0\in S:x_0<\beta$$

则称 $\xi$ 为数集 $S$ 的下确界，记作 $$\xi =\inf S$$

（$\inf$ 是拉丁文 infimum 的缩写，意为"最低点"）

等价表述： $$\forall \epsilon >0,\exists x_0\in S:x_0<\xi +\epsilon$$

3.4 确界的基本性质

性质 1：唯一性

若上（下）确界存在，则必唯一。

证明（反证法）： 假设 ${\eta }_1$ 和 ${\eta }_2$ 都是 $S$ 的上确界，且 ${\eta }_1<{\eta }_2$。

由 ${\eta }_1=\sup S$ 的条件 (ii)，在 ${\eta }_1$ 附近必有 $S$ 中的点大于 ${\eta }_1$。 但这与 ${\eta }_2$ 是上界矛盾（因为 ${\eta }_1<{\eta }_2$）。

所以 ${\eta }_1={\eta }_2$。■

性质 2：确界与最值的关系

定理 3.1：设 $S$ 有上确界，则 $$\sup S\in S\iff \sup S=\max S$$

证明：

⇒ 方向：设 $\eta =\sup S\in S$。

• 由条件 (i)：对所有 $x\in S$ 有 $x\le \eta$
• 又 $\eta \in S$
• 所以 $\eta$ 是 $S$ 中最大的数，即 $\eta =\max S$

⇐ 方向：设 $\eta =\max S$，则 $\eta \in S$。

验证 $\eta =\sup S$：

• (i) 对所有 $x\in S$ 有 $x\le \eta$（因为 $\eta$ 是最大值）
• (ii) 对任何 $\alpha <\eta$，取 $x_0=\eta \in S$，则 $x_0=\eta >\alpha$

所以 $\eta =\sup S$。■

类似地： $$\inf S\in S\iff \inf S=\min S$$

性质 3：确界的大小关系

若 $S$ 既有上确界又有下确界，则 $$\inf S\le \sup S$$

证明： 由定义，$\sup S$ 是上界，$\inf S$ 是下界。 对任何 $x\in S$： $$\inf S\le x\le \sup S$$

所以 $\inf S\le \sup S$。■

特殊情况：

• 若 $S=\{a\}$（单点集），则 $\inf S=\sup S=a$
• 若 $S=\varnothing$（空集），确界无定义

3.5 确界的计算实例

例题 3：验证确界

例 3.1：设 $S=\{x\mid x\text{ 为 }(0,1)\text{ 上的有理数}\}$。验证 $\sup S=1$，$\inf S=0$。

解：

验证 $\sup S=1$：

(i) 1 是上界： 对任何 $x\in S$，由 $x\in (0,1)$ 知 $x<1$，所以 $x\le 1$。

(ii) 1 是最小上界： 对任何 $\alpha <1$：

• 若 $\alpha \le 0$，任取 $x\in S$（如 $x=\frac{1}{2}$），都有 $x>\alpha$
• 若 $0<\alpha <1$，由有理数的稠密性，在 $(\alpha ,1)$ 中存在有理数 $x_0$
  • 则 $x_0\in S$ 且 $x_0>\alpha$

所以 $\sup S=1$。✓

验证 $\inf S=0$（类似论证）：

(i) 0 是下界：显然。

(ii) 0 是最大下界：对任何 $\beta >0$，若 $\beta \ge 1$，任取 $x\in S$ 都有 $x<\beta$；若 $0<\beta <1$，在 $(0,\beta )$ 中存在有理数 $x_0\in S$，且 $x_0<\beta$。

所以 $\inf S=0$。✓

例题 4：计算确界

例 3.2：求集合 $S=\left\{\frac{n}{n+1}\mid n\in \mathbb{N}\right\}$ 的上、下确界。

解：

Step 1：展开前几项 $$S=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots \right\}$$

Step 2：分析变化趋势 $$x_n=\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$$

随着 $n$ 增大，$\frac{1}{n}$ 减小，所以 $x_n$ 递增，且 $x_n\to 1$。

Step 3：确定下确界 最小值为 $x_1=\frac{1}{2}$，所以 $$\inf S=\frac{1}{2}\in S\Rightarrow \min S=\frac{1}{2}$$

Step 4：确定上确界 由于 $x_n<1$ 对所有 $n$ 成立，且 $x_n\to 1$，猜测 $\sup S=1$。

验证：

• (i) 对所有 $n$：$\frac{n}{n+1}<1$，所以 1 是上界

• (ii) 对任何 $\alpha <1$，需找 $n$ 使 $\frac{n}{n+1}>\alpha$

  $$\frac{n}{n+1}>\alpha \iff n>\alpha (n+1)\iff n(1-\alpha )>\alpha \iff n>\frac{\alpha }{1-\alpha }$$

  取 $n_0>\frac{\alpha }{1-\alpha }$ 即可。

结论： $$\inf S=\frac{1}{2},\sup S=1\notin S$$

3.6 确界原理（实数完备性的核心）

3.6.1 确界原理的陈述

定理 3.2（确界原理，Completeness Axiom）：

设 $S\subset \mathbb{R}$ 为非空数集。

(1) 若 $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界，即 $\sup S$ 存在；

(2) 若 $S$ 有下界，则 $S$ 必有下确界，即 $\inf S$ 存在。

3.6.2 确界原理的重要性

🎯 理论地位：

1. 实数完备性的体现：有理数集 $\mathbb{Q}$ 不满足确界原理！

   反例：$S=\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中有上界但无上确界（因为 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$）。

2. 极限理论的基础：

   • 单调有界定理
   • 闭区间套定理
   • Cauchy收敛准则
   • Bolzano-Weierstrass定理

   这些重要定理都基于确界原理。

3. 连续性理论的基础：

   • 闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）

   都依赖于确界原理。

3.6.3 确界原理的证明思路

证明策略：利用实数的无限小数表示。

证明（以上确界为例）：

设 $S\subset \mathbb{R}$ 非空且有上界。不妨设 $S$ 含非负数。

Step 1：确定整数部分

由于 $S$ 有上界，存在非负整数 $n_0$ 使得：

1. 对所有 $x\in S$：$x<n_0+1$
2. 存在 $a\in S$：$a\ge n_0$

Step 2：确定第一位小数

将区间 $[n_0,n_0+1)$ 10等分： $$[n_0,n_0.1),[n_0.1,n_0.2),\dots ,[n_0.9,n_0+1)$$

存在 $n_1\in \{0,1,2,\dots ,9\}$ 使得：

1. 对所有 $x\in S$：$x<n_0.n_1+0.1$
2. 存在 $a\in S$：$a\ge n_0.n_1$

Step 3：继续10等分

对每个 $k=1,2,3,\dots$，重复上述过程，得到数字 $n_k\in \{0,1,2,\dots ,9\}$。

Step 4：构造上确界

令 $\eta =n_0.n_1{n}_2{n}_3\dots$

Step 5：验证 $\eta =\sup S$

(i) $\eta$ 是上界： 假设存在 $x\in S$ 使 $x>\eta$。 则存在 $k$ 使得 $x$ 的 $k$ 位不足近似 $x_k>{\eta }_k$（$\eta$ 的 $k$ 位不足近似）。 但这与构造过程矛盾。

(ii) $\eta$ 是最小上界： 对任何 $\alpha <\eta$，存在 $k$ 使 $\eta$ 的 $k$ 位不足近似 ${\eta }_k>\alpha$。 由构造，存在 $a\in S$ 使 $a\ge {\eta }_k>\alpha$。

所以 $\eta =\sup S$。■

🔑 关键思想：

• 利用实数的无限小数表示
• 逐位确定上确界的数字
• 体现了"逼近"的思想

3.7 确界原理的应用

应用 1：证明实数的存在性

例题 5：证明 $\sqrt{2}$ 的存在性。

证明：

设 $S=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0,x^2<2\}$。

Step 1：$S$ 非空 $1\in S$（因为 $1^2=1<2$）。

Step 2：$S$ 有上界 对任何 $x\ge 2$，有 $x^2\ge 4>2$，所以 $x\notin S$。 因此 2 是 $S$ 的上界。

Step 3：由确界原理 $\sup S$ 存在，设 $\alpha =\sup S$。

Step 4：证明 ${\alpha }^2=2$（反证法）

情况1：假设 ${\alpha }^2<2$

令 $\epsilon =\frac{2-{\alpha }^2}{2\alpha +1}>0$，取 $\delta =\min \{\epsilon ,1\}$。

则： $$(\alpha +\delta {)}^2={\alpha }^2+2\alpha \delta +{\delta }^2\le {\alpha }^2+2\alpha \delta +\delta <{\alpha }^2+(2\alpha +1)\epsilon =2$$

所以 $\alpha +\delta \in S$，与 $\alpha =\sup S$ 矛盾。

情况2：假设 ${\alpha }^2>2$

令 $\epsilon =\frac{{\alpha }^2-2}{2\alpha }>0$。

对任何 $0<\delta <\epsilon$： $$(\alpha -\delta {)}^2={\alpha }^2-2\alpha \delta +{\delta }^2>{\alpha }^2-2\alpha \delta >{\alpha }^2-2\alpha \epsilon =2$$

所以对所有 $x\in S$：$x^2<2<(\alpha -\delta {)}^2$，即 $x<\alpha -\delta$。

这说明 $\alpha -\delta$ 是 $S$ 的上界，与 $\alpha =\sup S$ 是最小上界矛盾。

结论：${\alpha }^2=2$，即 $\alpha =\sqrt{2}$ 存在。■

应用 2：两个数集的大小关系

例题 6：设 $A,B$ 为非空数集，满足：对一切 $x\in A$ 和 $y\in B$ 有 $x\le y$。证明： $$\sup A\le \inf B$$

证明：

Step 1：确界存在性

• 对任何 $y\in B$，$y$ 是 $A$ 的上界（因为 $x\le y$ 对所有 $x\in A$ 成立）
• 对任何 $x\in A$，$x$ 是 $B$ 的下界

由确界原理，$\sup A$ 和 $\inf B$ 都存在。

Step 2：证明不等式 对任何 $y\in B$：

• $y$ 是 $A$ 的上界
• $\sup A$ 是最小上界
• 所以 $\sup A\le y$

这对所有 $y\in B$ 成立，说明 $\sup A$ 是 $B$ 的下界。

因此： $$\sup A\le \inf B$$ （因为 $\inf B$ 是最大下界）。■

🎨 几何直观：

数轴：  A的元素    B的元素
      ●●●       ■■■
      ↓         ↓
    sup A ≤ inf B

关键：A完全在B的"左边"

应用 3：集合并的确界

例题 7：设 $A,B$ 为非空有界数集，$S=A\cup B$。证明： $$\sup S=\max \{\sup A,\sup B\}$$ $$\inf S=\min \{\inf A,\inf B\}$$

证明（以上确界为例）：

Step 1：$\sup S\le \max \{\sup A,\sup B\}$

对任何 $x\in S$：

• 要么 $x\in A\Rightarrow x\le \sup A$
• 要么 $x\in B\Rightarrow x\le \sup B$

总之 $x\le \max \{\sup A,\sup B\}$。

所以 $\max \{\sup A,\sup B\}$ 是 $S$ 的上界，因此： $$\sup S\le \max \{\sup A,\sup B\}$$

Step 2：$\sup S\ge \max \{\sup A,\sup B\}$

不失一般性，设 $\sup A\ge \sup B$，即 $\max \{\sup A,\sup B\}=\sup A$。

对任何 $\epsilon >0$，由 $\sup A$ 的定义，存在 $a\in A$ 使： $$a>\sup A-\epsilon$$

又 $a\in A\subset S$，所以： $$\sup S\ge a>\sup A-\epsilon$$

由 $\epsilon$ 的任意性（定理1.1）： $$\sup S\ge \sup A=\max \{\sup A,\sup B\}$$

结论： $$\sup S=\max \{\sup A,\sup B\}$$

下确界的证明类似。■

3.8 扩充的确界概念

定义 3.3（非正常确界）：

将符号 $+\infty$ 和 $-\infty$ 补充到实数集中，并规定：

• 若 $S$ 无上界，定义 $\sup S=+\infty$（非正常上确界）
• 若 $S$ 无下界，定义 $\inf S=-\infty$（非正常下确界）

推广的确界原理：

任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。

例子：

• $\sup \mathbb{N}=+\infty$，$\inf \mathbb{N}=1$
• 对于 $S=\{y\mid y=2-x^2,x\in \mathbb{R}\}$：
  • $\sup S=2$（当 $x=0$ 时取到）
  • $\inf S=-\infty$（$x\to \pm \infty$ 时 $y\to -\infty$）

🎓 知识体系总结

核心概念关系图

graph TB
    A[实数系统R] --> B[数集]
    B --> C[区间]
    B --> D[邻域]
    B --> E[有界集]
    
    C --> C1[有限区间]
    C --> C2[无限区间]
    
    D --> D1[点邻域]
    D --> D2[无穷邻域]
    
    E --> F[确界]
    F --> G[上确界 sup]
    F --> H[下确界 inf]
    
    I[确界原理] --> J[实数完备性]
    J --> K[极限理论基础]
    J --> L[连续性理论基础]
    
    G --> M[与最大值关系]
    H --> N[与最小值关系]
    
    style I fill:#ff6b6b
    style J fill:#4ecdc4
    style K fill:#ffe66d
    style L fill:#ffe66d

关键定理速查表

常见误区与正确理解

学习路径建议

第一阶段：概念理解（1-2周）

• ✅ 掌握区间和邻域的符号表示
• ✅ 理解有界性的定义
• ✅ 区分上界与上确界

第二阶段：定理证明（2-3周）

• ✅ 理解确界定义的两个条件
• ✅ 掌握确界的验证方法
• ✅ 理解确界原理的证明思路

第三阶段：综合应用（2-3周）

• ✅ 运用确界原理证明存在性
• ✅ 处理复杂数集的确界问题
• ✅ 为极限理论打基础

📝 精选习题详解

基础题

习题 1：用区间表示不等式 $|x-2|<3$ 的解。

解： $$|x-2|<3\iff -3<x-2<3\iff -1<x<5$$

答案：$(-1,5)$

习题 2：求集合 $S=\{x\mid x^2<2\}$ 的上、下确界。

解：

$x^2<2\Rightarrow |x|<\sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$

所以 $S=(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。

• $\sup S=\sqrt{2}$（验证：(i) $x<\sqrt{2}$ ∀x∈S；(ii) 对任何 α<√2，取 x₀ = (α+√2)/2 ∈ S，则 x₀>α）
• $\inf S=-\sqrt{2}$

提高题

习题 3：设 $S$ 为非空数集。证明 $-S=\{-x\mid x\in S\}$ 满足： $$\sup (-S)=-\inf S,\inf (-S)=-\sup S$$

证明：

设 $\alpha =\inf S$。验证 $-\alpha =\sup (-S)$：

(i) $-\alpha$ 是 $-S$ 的上界： 对任何 $y\in -S$，存在 $x\in S$ 使 $y=-x$。 因为 $x\ge \alpha$（$\alpha$ 是 $S$ 的下界）， 所以 $y=-x\le -\alpha$。

(ii) $-\alpha$ 是最小上界： 对任何 $\beta >-\alpha$，即 $-\beta <\alpha$。 由 $\alpha =\inf S$ 的定义，存在 $x_0\in S$ 使 $x_0<-\beta$。 令 $y_0=-x_0\in -S$，则 $y_0=-x_0>\beta$。

所以 $-\alpha =\sup (-S)$，即 $\sup (-S)=-\inf S$。

类似可证另一式。■

习题 4：设 $A,B$ 为非空有界数集，定义 $$A+B=\{z\mid z=x+y,x\in A,y\in B\}$$

证明： $$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$$

证明：

记 $\alpha =\sup A$，$\beta =\sup B$。

Step 1：$\sup (A+B)\le \alpha +\beta$

对任何 $z\in A+B$，存在 $x\in A$ 和 $y\in B$ 使 $z=x+y$。

因为 $x\le \alpha$ 且 $y\le \beta$，所以： $$z=x+y\le \alpha +\beta$$

所以 $\alpha +\beta$ 是 $A+B$ 的上界，因此 $\sup (A+B)\le \alpha +\beta$。

Step 2：$\sup (A+B)\ge \alpha +\beta$

对任何 $\epsilon >0$：

• 存在 $x_0\in A$ 使 $x_0>\alpha -\frac{\epsilon }{2}$
• 存在 $y_0\in B$ 使 $y_0>\beta -\frac{\epsilon }{2}$

令 $z_0=x_0+y_0\in A+B$，则： $$z_0=x_0+y_0>\left(\alpha -\frac{\epsilon }{2}\right)+\left(\beta -\frac{\epsilon }{2}\right)=\alpha +\beta -\epsilon$$

所以 $\sup (A+B)>\alpha +\beta -\epsilon$。

由 $\epsilon$ 的任意性，$\sup (A+B)\ge \alpha +\beta$。

结论：$\sup (A+B)=\alpha +\beta =\sup A+\sup B$。■

🎯 本章核心价值

理论基础：

• 确界原理是实数完备性的体现
• 是极限理论、连续性理论的基石

思想方法：

• 逼近思想：用有限逼近无限
• 反证法：证明唯一性的利器
• ε-语言：数学分析的核心语言

哲学启示：

• 从离散到连续
• 从有限到无限
• 从直观到严格

这一章看似抽象，实则是数学分析大厦的地基。希望通过这份详细的讲解，你能建立起对数集与确界理论的深刻理解！

📚 参考文献：

• 华东师范大学数学科学学院《数学分析》（第5版）
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
• 陈纪修等，《数学分析》（第二版）

✍️ 学习建议：

1. 反复阅读定义，理解每个条件的含义
2. 多做习题，特别是验证确界的题目
3. 尝试用自己的话解释概念
4. 将抽象概念与几何直观结合

祝学习顺利！💪