数学分析完整知识体系：实数理论篇

📚 综合导图与知识架构

一级思维导图

数学分析基础：实数理论体系
│
├─ 1. 实数系统的构建
│   ├─ 1.1 实数的定义与表示
│   ├─ 1.2 实数的比较与序关系
│   └─ 1.3 实数的基本性质
│
├─ 2. 实数的度量结构
│   ├─ 2.1 绝对值理论
│   ├─ 2.2 三角不等式体系
│   └─ 2.3 距离概念
│
├─ 3. 数集拓扑
│   ├─ 3.1 区间理论
│   ├─ 3.2 邻域概念
│   └─ 3.3 有界集与确界原理
│
└─ 4. 实数系统的完备性
    ├─ 4.1 稠密性定理
    ├─ 4.2 阿基米德性质
    └─ 4.3 确界存在定理

第一章 实数系统的构建

§ 1.1 实数的定义与表示

1.1.1 实数的组成

核心概念：实数集 $\mathbb{R}$ 由有理数 $\mathbb{Q}$ 和无理数 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 两部分组成。

定义体系：

1. 有理数：可表示为分数形式 $\frac{p}{q}$（$p,q\in \mathbb{Z}$，$q\ne 0$）

   • 有限十进制小数
   • 无限循环十进制小数

2. 无理数：无限不循环十进制小数

   • 代数无理数：如 $\sqrt{2},\sqrt[3]{5}$
   • 超越无理数：如 $\pi ,e$

1.1.2 无限小数表示的规范化

为统一处理，规定所有实数均用无限小数表示：

规范化法则：

对于正有限小数 $x=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n$（其中 $a_n\ne 0$），规定： $$x=a_0.a_1{a}_2\cdots (a_n-1)\underset{\text{无限个9}}{\underbrace{999\cdots 9\cdots }}$$

示例：

• $2.001=2.000\underset{\infty }{\underbrace{999\cdots }}$
• $8=7.\underset{\infty }{\underbrace{999\cdots }}$
• $0=0.\underset{\infty }{\underbrace{000\cdots }}$

数学意义：这种表示方法确保了实数与无限小数之间的一一对应关系。

§ 1.2 实数的大小关系

1.2.1 非负实数的序定义

定义 1.1（实数的序）设 $$x=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n\cdots ,y=b_0.b_1{b}_2\cdots b_n\cdots$$ 其中 $a_0,b_0$ 为非负整数，$0\le a_k,b_k\le 9$。

• 相等条件：$x=y\iff a_k=b_k$ 对所有 $k=0,1,2,\dots$ 成立

• 大小关系：$x>y\iff$ 存在非负整数 $l$，使得 $$a_k=b_k(k=0,1,\dots ,l-1),a_l>b_l$$

• 比较正负数

  规定： 任何非负实数（$x\ge 0$）都大于任何负实数（$y<0$）。 $$x>y$$

• 比较两个负实数

  规定： 比较两个负实数 $x$ 和 $y$，等价于比较它们的相反数（$-x$ 和 $-y$）的大小，并反转不等号。

  • 若 $-x>-y$，则 $x<y$
  • 若 $-x<-y$，则 $x>y$
  • 若 $-x=-y$，则 $x=y$

1.2.2 近似值理论

定义 1.2（不足近似与过剩近似）

对于实数 $x=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n\cdots$：

• $n$ 位不足近似： $$x_n^{-}=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n$$

• $n$ 位过剩近似： $$x_n^{+}=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n+\frac{1}{10^n}$$

性质：

1. $x_n^{-}$ 单调不减：$x_0^{-}\le x_1^{-}\le x_2^{-}\le \cdots$
2. $x_n^{+}$ 单调不增：$x_0^{+}\ge x_1^{+}\ge x_2^{+}\ge \cdots$
3. $x_n^{-}\le x\le x_n^{+}$ 对所有 $n$ 成立
4. ${\lim }_{n\to \infty }(x_n^{+}-x_n^{-})=0$

1.2.3 实数比较的等价条件

命题 1.1（大小比较的充要条件）

设 $x,y\in \mathbb{R}$，则 $$x>y\iff \exists n\in \mathbb{N},\text{ 使得 }{x}_n^{-}>y_n^{+}$$

证明思路：

• $(\Rightarrow )$：由 $x>y$，存在首个不同位置 $l$，使 $a_l-b_l\ge 2$，取 $n=l$ 即可
• $(\Leftarrow )$：由 $x_n^{-}>y_n^{+}$，有 $x\ge x_n^{-}>y_n^{+}\ge y$

为什么是 $a_l-b_l\ge 2$？

直接答案是：因为只有当 $a_l-b_l\ge 2$ 时，它那个“取 $n=l$ 即可”的结论才能成立。

让我们来拆解一下这个命题：

• 目标：证明 $x>y⟹\exists n$ 使得 $x_n^{-}>y_n^{+}$
• 证明的“思路”：它声称，我们只需要取 $n=l$（$l$ 是 $x$ 和 $y$ 第一个不相同的数字位）就行了。
• 我们的任务：验证一下，是不是取 $n=l$ 就一定能让 $x_l^{-}>y_l^{+}$ 成立？

我们来检查 $x_l^{-}>y_l^{+}$ 这个不等式：

1. 写出定义 (假设 $x,y$ 均为非负数)：

   • $x_l^{-}=a_0.a_1{a}_2\cdots a_l$
   • $y_l^{+}=b_0.b_1{b}_2\cdots b_l+\frac{1}{10^l}$

2. 代入已知条件：

   • 根据 $x>y$ 的定义，在第 $l$ 位之前，所有位数都相同。
   • 即 $a_k=b_k$ (对于 $k=0,1,\dots ,l-1$)。
   • 所以 $a_0.a_1\cdots a_{l-1}$ 和 $b_0.b_1\cdots b_{l-1}$ 这两部分是完全相等的。

3. 简化不等式： 我们可以把 $x_l^{-}$ 和 $y_l^{+}$ 拆分成“相同的部分”和“不同的部分”：

   • $x_l^{-}=(a_0.a_1\cdots a_{l-1})+\frac{a_l}{10^l}$
   • $y_l^{+}=(b_0.b_1\cdots b_{l-1})+\frac{b_l}{10^l}+\frac{1}{10^l}$

   由于 $(a_0.a_1\cdots a_{l-1})$ 和 $(b_0.b_1\cdots b_{l-1})$ 相等，所以 $x_l^{-}>y_l^{+}$ 就等价于： $$\frac{a_l}{10^l}>\frac{b_l}{10^l}+\frac{1}{10^l}$$

4. 得出结论： 不等式两边同乘以 $10^l$： $$a_l>b_l+1$$

   由于 $a_l$ 和 $b_l$ 都是整数， $a_l>b_l+1$ 就等价于： $$a_l\ge b_l+2$$ 也就是： $$a_l-b_l\ge 2$$

批判性总结

你看到的 $a_l-b_l\ge 2$ 并不是 $x>y$ 的定义，而是这个特定“证明”为了让 $n=l$ 这一步能走通，而反向倒推出来的一个限制条件。

这个“证明思路”是片面的，它根本没有证明 $x>y$ 的所有情况。

它完美地漏掉了 $a_l-b_l=1$ 的情况。

举个反例：

• 设 $x=0.51$
• 设 $y=0.49$

这里显然 $x>y$。

• $l=1$ (第一位小数是首个不同位置)
• $a_1=5$, $b_1=4$
• $a_1-b_1=1$。这不满足 $a_l-b_l\ge 2$ 的条件。

让我们看看按它的思路“取 $n=l=1$”会发生什么：

• $x_1^{-}=0.5$
• $y_1^{+}=0.4+\frac{1}{10^1}=0.5$

结果是 $x_1^{-}=y_1^{+}$，而不是 $x_1^{-}>y_1^{+}$。

所以，这个“证明思路”在 $a_l-b_l=1$ 时是彻底失败的。

那命题本身错了吗？ 命题没错。$x>y$ 确实能推出 $\exists n$ 使得 $x_n^{-}>y_n^{+}$。 在 $x=0.51,y=0.49$ 这个例子中，虽然 $n=1$ 不行，但** $n=2$ 是可以的**：

• $x_2^{-}=0.51$
• $y_2^{+}=0.49+\frac{1}{10^2}=0.49+0.01=0.50$
• $0.51>0.50$，所以 $x_2^{-}>y_2^{+}$ 成立。

简言之： 你看到的这个“证明思路”是一个糟糕的、以偏概全的“证明”。它为了省事，只处理了 $a_l-b_l\ge 2$ 的简单情况，并把这个前提条件（黄框里的内容）错误地当成了一般事实。

一个更严谨的证明会使用极限，或者分两种情况（$a_l-b_l\ge 2$ 和 $a_l-b_l=1$）来分别讨论。

§ 1.3 实数的基本性质

1.3.1 代数性质

性质 1（四则运算封闭性） $$\forall a,b\in \mathbb{R},a\pm b,a\times b,\frac{a}{b}(b\ne 0)\in \mathbb{R}$$

性质 2（域结构）实数集 $\mathbb{R}$ 关于加法和乘法构成一个域（Field），满足：

• 交换律、结合律、分配律
• 存在加法单位元 $0$ 和乘法单位元 $1$
• 每个元素有加法逆元，每个非零元素有乘法逆元

1.3.2 序性质

性质 3（全序性） $$\forall a,b\in \mathbb{R},\text{恰有一个成立：}a<b,a=b,a>b$$

性质 4（传递性） $$a>b,b>c\Rightarrow a>c$$

性质 5（保序性）

• 加法保序：$a>b\Rightarrow a+c>b+c$
• 乘法保序：$a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$

1.3.3 阿基米德性质

性质 6（Archimedean Property）

对任何 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a,b>0$，存在正整数 $n$，使得 $$na>b$$

几何意义：无论多小的正数，累加足够多次后可以超过任意给定的正数。

推论 1.1： $$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\text{ 使得 }\frac{1}{N}<\epsilon$$

这是极限论中 $\epsilon$-$N$ 语言的基础。

1.3.4 稠密性

性质 7（$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的稠密性）

定理 1.1：设 $x<y$，则存在有理数 $r$，使得 $$x<r<y$$

证明：由 $x<y$，存在 $n$ 使 $x_n^{-}<y_n^{+}$。令 $$r=\frac{x_n^{-}+y_n^{+}}{2}$$ 则 $r\in \mathbb{Q}$ 且 $$x\le x_n^{-}<r<y_n^{+}\le y\square$$

推论 1.2（无理数稠密性）：任何两个不等实数之间也存在无理数。

证明思路：若 $x<y$，取有理数 $r_1,r_2$ 使 $x<r_1<r_2<y$，则 $r_1+\frac{r_2-r_1}{\sqrt{2}}$ 为所求无理数。

这是一个非常核心的实数理论证明。

要证明无理数集 ($\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$) 是稠密的，我们必须证明： 在任意两个不同的实数之间，都必定存在一个无理数。

这个证明的技巧非常巧妙，它利用了我们已知的“有理数稠密性”来“构造”出一个无理数。

证明：无理数集 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的

1. 命题的形式化陈述

对于任意两个实数 $a,b\in \mathbb{R}$，且 $a<b$，我们必须证明： 存在 (∃) 一个无理数 $z\in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})$，使得 $a<z<b$。

2. 证明所需的基础（引理）

这个证明依赖以下两个你可能已经学过的基本事实：

• 引理 (A)：有理数集的稠密性 (Density of $\mathbb{Q}$)

  对于任意两个实数 $x,y\in \mathbb{R}$ 且 $x<y$，必定存在一个有理数 $r\in \mathbb{Q}$，使得 $x<r<y$。

• 引理 (B)：有理数与无理数的运算封闭性

  一个有理数 (非零) 与一个无理数的和、差、积、商必定是无理数。

  （我们这里只需要用到“和”：若 $r\in \mathbb{Q}$ 且 $z\in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})$，则 $(r+z)\in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})$） （B的简证：假设 $r+z=q$，其中 $q$ 是有理数。那么 $z=q-r$。因为两个有理数之差 $q-r$ 必然是有理数，所以 $z$ 也是有理数。这与 $z$ 是无理数的初始假设相矛盾。故 $r+z$ 必为无理数。）

3. 证明过程 (The Proof)

1. 选取一个“工具”无理数 我们从已知的无理数集中随便选取一个作为“工具”，最常用的是 $\sqrt{2}$。 （你也可以用 $\pi ,e$ 或 $\sqrt{3}$，效果一样）。

2. 构造新的区间

   • 我们已有的前提是 $a<b$。
   • 我们利用 $\sqrt{2}$ 对这个不等式进行“平移”(translate)，构造一个新区间：
   • $a<b⟹(a-\sqrt{2})<(b-\sqrt{2})$

3. 应用有理数稠密性（引理 A）

   • 现在我们有了两个新的实数：$x=a-\sqrt{2}$ 和 $y=b-\sqrt{2}$。
   • 根据有理数稠密性（引理 A），在 $x$ 和 $y$ 之间必定存在一个有理数 $r$。
   • 即 $\exists r\in \mathbb{Q}$，使得： $$a-\sqrt{2}<r<b-\sqrt{2}$$

4. 还原区间并找到 $z$

   • 我们得到了这个不等式，现在我们把它“平移”回去，在不等式三边同时加上 $\sqrt{2}$： $$(a-\sqrt{2})+\sqrt{2}<r+\sqrt{2}<(b-\sqrt{2})+\sqrt{2}$$
   • 化简后得到： $$a<r+\sqrt{2}<b$$

5. 验证 $z$ 的性质

   • 我们令 $z=r+\sqrt{2}$。
   • 根据第 4 步，我们知道 $a<z<b$，所以 $z$ 确实在我们想要的区间 $(a,b)$ 内。
   • 根据引理 (B)，我们知道 $r$ 是一个有理数，$\sqrt{2}$ 是一个无理数，所以它们的和 $z=r+\sqrt{2}$ 必定是一个无理数。

4. 结论

我们已经成功地在任意区间 $(a,b)$ 内找到了一个数 $z$，并证明了 $z$ 必定是无理数。

因此，无理数集在实数集中是稠密的。 (证毕 Q.E.D.)

总结

这个证明的核心思想是：

1. 把 $(a,b)$ 这个区间“搬到”另一个地方 (即 $(a-\sqrt{2},b-\sqrt{2})$)。
2. 利用有理数稠密性，在这个“新地方”找到一个有理数 $r$。
3. 再把这个 $r$ “搬回”原来的区间，它就变成了 $r+\sqrt{2}$。
4. 这个“搬运”的过程（加减 $\sqrt{2}$）保证了 $r+\sqrt{2}$ 必然是一个无理数。

1.3.5 实数与数轴的对应

性质 8（几何表示）

建立数轴：选定原点 $O$、正方向、单位长度后，有

$$\mathbb{R}⟷\{\text{数轴上的点}\}\text{（一一对应）}$$

意义：

• 代数问题可几何化
• 几何直观可代数化
• "实数 $a$" 与 "点 $a$" 可互换表述

第二章 绝对值与不等式理论

§ 2.1 绝对值的定义与基本性质

2.1.1 绝对值定义

定义 2.1：实数 $a$ 的绝对值定义为 $$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$$

几何意义：$|a|$ 表示数轴上点 $a$ 到原点的距离。

更一般地，$|a-b|$ 表示点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离： $$d(a,b)=|a-b|$$

2.1.2 绝对值的基本性质

性质 2.1（非负性） $$|a|\ge 0,|a|=0\iff a=0$$

性质 2.2（对称性） $$|a|=|-a|$$

性质 2.3（界值性） $$-|a|\le a\le |a|$$

性质 2.4（等价刻画）对 $h>0$： $$|a|<h\iff -h<a<h$$ $$|a|\le h\iff -h\le a\le h$$

性质 2.5（乘法性质） $$|ab|=|a|\cdot |b|$$

性质 2.6（除法性质） $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}(b\ne 0)$$

§ 2.2 三角不等式体系

2.2.1 基本三角不等式

定理 2.1（三角不等式）对任意 $a,b\in \mathbb{R}$：

$$\boxed{||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|}$$

证明：

证明右半部分：$|a+b|\le |a|+|b|$

由性质 2.3： $$\{\begin{array}{l}-|a|\le a\le |a|\\ -|b|\le b\le |b|\end{array}$$

两式相加： $$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$$

由性质 2.4： $$|a+b|\le |a|+|b|$$

将 $b$ 换成 $-b$： $$|a-b|\le |a|+|-b|=|a|+|b|$$

证明左半部分：$||a|-|b||\le |a-b|$

由 $|a|=|a-b+b|\le |a-b|+|b|$，得 $$|a|-|b|\le |a-b|$$

同理，$|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|$，即 $$-(a|-|b|)\le |a-b|$$

因此： $$||a|-|b||\le |a-b|\square$$

2.2.2 推广形式

推论 2.1（多元三角不等式） $$\left|\sum _{k=1}^n{a}_k\right|\le \sum _{k=1}^n|a_k|$$

证明：对 $n$ 归纳。

推论 2.2（逆向三角不等式） $$\left||a_1|-|a_2|-\cdots -|a_n|\right|\le |a_1-a_2-\cdots -a_n|$$

2.2.3 几何解释

在数轴上，三角不等式表达了：

• 右边：绕道不短于直达（三角形两边之和大于第三边）
• 左边：两边之差小于第三边

数轴示意：
    a              a+b           b
    |---------------|-------------|
    |<------|a|---->|<----|b|---->|
    |<---------|a+b|------------->|

§ 2.3 重要不等式与应用

2.3.1 基础判定定理

定理 2.2（$\epsilon$ 判别法）

设 $a,b\in \mathbb{R}$。若对任何正数 $\epsilon >0$，有 $$a<b+\epsilon$$ 则必有 $a\le b$。

证明（反证法）：

假设 $a>b$，令 ${\epsilon }_0=a-b>0$。

则 $a=b+{\epsilon }_0$，这与假设 $a<b+\epsilon$ 对所有 $\epsilon >0$ 成立矛盾。

因此 $a\le b$。$\square$

推论 2.3：若对任何 $\epsilon >0$，有 $$|a-b|<\epsilon$$ 则 $a=b$。

证明：由 $|a-b|<\epsilon$，得 $-\epsilon <a-b<\epsilon$，即 $$b-\epsilon <a<b+\epsilon$$

由定理 2.2，$a\le b$ 且 $b\le a$，故 $a=b$。$\square$

2.3.2 均值不等式

定理 2.3（算术-几何平均不等式，AM-GM）

对 $a,b>0$： $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

等号成立当且仅当 $a=b$。

证明： $${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$$ $$a+b-2\sqrt{ab}\ge 0$$ $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\square$$

推论 2.4：对 $x>0$， $$x+\frac{1}{x}\ge 2$$

等号成立当且仅当 $x=1$。

第三章 数集的拓扑结构

§ 3.1 区间理论

3.1.1 有限区间

定义 3.1（区间）设 $a,b\in \mathbb{R}$，$a<b$。

区间长度：$|b-a|$（对所有类型均相同）

3.1.2 无限区间

引入符号 $\infty$（读作"无穷大"），定义：

$$\begin{array}{rl}[a,+\infty )& =\{x\mid x\ge a\}\\ (a,+\infty )& =\{x\mid x>a\}\\ (-\infty ,a]& =\{x\mid x\le a\}\\ (-\infty ,a)& =\{x\mid x<a\}\\ (-\infty ,+\infty )& =\mathbb{R}\end{array}$$

注意：$\infty$ 不是实数，只是一种记号。

3.1.3 区间的性质

性质 3.1（凸性）：若 $x,y\in I$（$I$ 为区间），$\lambda \in [0,1]$，则 $$\lambda x+(1-\lambda )y\in I$$

性质 3.2（连通性）：区间在实数集中是"连续的"，无"断点"。

§ 3.2 邻域理论

3.2.1 邻域定义

定义 3.2（$\delta$ 邻域）

设 $a\in \mathbb{R}$，$\delta >0$。称集合 $$U(a,\delta )=\{x\mid |x-a|<\delta \}=(a-\delta ,a+\delta )$$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域。

几何意义：以 $a$ 为中心，半径为 $\delta$ 的开区间。

3.2.2 特殊邻域

去心邻域： $$\mathring{U}(a,\delta )=\{x\mid 0<|x-a|<\delta \}$$

单侧邻域： $$\begin{array}{rl}{U}_{+}(a,\delta )& =\{x\mid a<x<a+\delta \}\text{（右邻域）}\\ U_{-}(a,\delta )& =\{x\mid a-\delta <x<a\}\text{（左邻域）}\end{array}$$

无穷邻域： $$\begin{array}{rl}U(+\infty ,M)& =\{x\mid x>M\}\\ U(-\infty ,M)& =\{x\mid x<-M\}\end{array}$$

3.2.3 邻域的性质

性质 3.3（嵌套性）： $${\delta }_1<{\delta }_2\Rightarrow U(a,{\delta }_1)\subset U(a,{\delta }_2)$$

性质 3.4（交集非空）： $$U(a,{\delta }_1)\cap U(b,{\delta }_2)\ne \varnothing \iff |a-b|<{\delta }_1+{\delta }_2$$

§ 3.3 有界集与确界

3.3.1 有界性定义

定义 3.3（有界集）

设 $S\subset \mathbb{R}$。

• $S$ 有上界 $\iff$ $\exists M\in \mathbb{R}$，使得 $\forall x\in S$，$x\le M$
• $S$ 有下界 $\iff$ $\exists m\in \mathbb{R}$，使得 $\forall x\in S$，$x\ge m$
• $S$ 有界 $\iff$ $S$ 既有上界又有下界

等价刻画：$S$ 有界 $\iff$ $\exists M>0$，使得 $\forall x\in S$，$|x|\le M$

3.3.2 确界定义

定义 3.4（上确界）

设 $S$ 有上界，$\beta \in \mathbb{R}$。称 $\beta$ 为 $S$ 的上确界（记作 $\sup S=\beta$），如果：

1. $\beta$ 是 $S$ 的上界：$\forall x\in S$，$x\le \beta$
2. $\beta$ 是最小上界：若 ${\beta }^{\prime }$ 也是 $S$ 的上界，则 $\beta \le {\beta }^{\prime }$

等价刻画：$\beta =\sup S\iff$ $$\{\begin{array}{l}\forall x\in S,x\le \beta \\ \forall \epsilon >0,\exists x_0\in S,x_0>\beta -\epsilon \end{array}$$

定义 3.5（下确界）

类似定义 $\alpha =\inf S$（infimum，下确界）。

3.3.3 确界存在定理（实数完备性公理）

定理 3.1（确界原理）

非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。

数学表述： $$S\ne \varnothing ,S\text{ 有上界}\Rightarrow \exists \sup S\in \mathbb{R}$$

重要性：

• 这是实数完备性的核心体现
• 有理数集 $\mathbb{Q}$ 不满足此性质
• 后续所有极限理论均基于此定理

反例（$\mathbb{Q}$ 中）： $$S=\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2<2\}$$ 在 $\mathbb{Q}$ 中有上界但无上确界（因为 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$）。

第四章 核心定理与深度应用

§ 4.1 稠密性定理群

定理 4.1（有理数稠密性）

$$\forall x,y\in \mathbb{R},x<y\Rightarrow \exists r\in \mathbb{Q},x<r<y$$

定理 4.2（无理数稠密性）

$$\forall x,y\in \mathbb{R},x<y\Rightarrow \exists \xi \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q},x<\xi <y$$

定理 4.3（代数数稠密性）

代数数在实数中稠密。

§ 4.2 阿基米德性质深化

定理 4.4（阿基米德性质的等价形式）

以下命题等价：

1. $\forall a,b>0$，$\exists n\in \mathbb{N}$，使 $na>b$
2. $\forall \epsilon >0$，$\exists N\in \mathbb{N}$，使 $\frac{1}{N}<\epsilon$
3. $\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中无上界
4. $\forall x\in \mathbb{R}$，$\exists n\in \mathbb{Z}$，使 $n\le x<n+1$

§ 4.3 重要不等式技巧

4.3.1 绝对值不等式的证明策略

策略 1：平方法 $$|a+b{|}^2=a^2+2ab+b^2\le a^2+2|a||b|+b^2=(|a|+|b|{)}^2$$

策略 2：分段讨论法

策略 3：几何意义法

4.3.2 典型例题

例题 1：证明 $|x-1|+|x-2|\ge 1$

证明： $$|x-1|+|x-2|\ge |(x-1)-(x-2)|=1\square$$

等号成立 $\iff$ $(x-1)(x-2)\le 0$ $\iff$ $x\in [1,2]$

例题 2：证明 $\left|\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2+c^2}\right|\le |b-c|$

证明：

设 $A=(0,a)$，$B=(b,0)$，$C=(c,0)$。

则：

• $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$
• $|AC|=\sqrt{a^2+c^2}$
• $|BC|=|b-c|$

由三角形不等式： $$||AB|-|AC||\le |BC|$$

即得所证。$\square$

几何意义：空间中的距离变化不超过端点移动距离。

第五章 习题精讲与拓展

§ 5.1 基础证明题

习题 1：设 $a\in \mathbb{Q}$，$x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$。证明：

(1) $a+x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$

(2) 当 $a\ne 0$ 时，$ax\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$

证明：

(1) 反证法。假设 $a+x=r\in \mathbb{Q}$，则 $$x=r-a$$ 由于 $r,a\in \mathbb{Q}$ 且有理数对减法封闭，故 $x\in \mathbb{Q}$，矛盾。

因此 $a+x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$。$\square$

(2) 反证法。假设 $ax=r\in \mathbb{Q}$，由于 $a\ne 0$，则 $$x=\frac{r}{a}$$ 由于 $r,a\in \mathbb{Q}$（$a\ne 0$）且有理数对除法封闭，故 $x\in \mathbb{Q}$，矛盾。

因此 $ax\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$。$\square$

注意：当 $a=0$ 时，$ax=0\in \mathbb{Q}$。

习题 2：证明 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是无理数。

证明：

反证法。假设 $\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\in \mathbb{Q}$。

平方得： $$2+2\sqrt{6}+3=r^2$$ $$\sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}$$

由于 $r\in \mathbb{Q}$，右边为有理数，故 $\sqrt{6}\in \mathbb{Q}$。

但 $\sqrt{6}$ 是无理数（可用反证法证明：若 $\sqrt{6}=\frac{p}{q}$，最简分数，则 $6q^2=p^2$，推出矛盾）。

因此 $\sqrt{2}+\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$。$\square$

§ 5.2 绝对值不等式深化

习题 3：证明对任意实数 $a,b,c$： $$|a-b|\le |a-c|+|c-b|$$

证明：

令 $x=a-c$，$y=c-b$，则 $$a-b=x+y$$

由三角不等式： $$|a-b|=|x+y|\le |x|+|y|=|a-c|+|c-b|\square$$

几何意义：从点 $a$ 到点 $b$ 经过点 $c$ 绕道，距离不会更短。

习题 4（难度 ★★★）：证明 $$\left||a|-|b|\right|\cdot \left||c|-|d|\right|\le |ac-bd|+|ad+bc|$$

证明：

利用柯西-施瓦茨不等式的思想。注意到： $$(|a||d|-|b||c|{)}^2+(|a||c|-|b||d|{)}^2$$ $$=|a{|}^2|d{|}^2-2|a||b||c||d|+|b{|}^2|c{|}^2+|a{|}^2|c{|}^2-2|a||b||c||d|+|b{|}^2|d{|}^2$$ $$=|a{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)+|b{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)-4|a||b||c||d|$$

另一方面： $$(|ac-bd|{)}^2=|ac{|}^2-2|ac||bd|+|bd{|}^2=|a{|}^2|c{|}^2-2|ac||bd|+|b{|}^2|d{|}^2$$ $$(|ad+bc|{)}^2=|a{|}^2|d{|}^2+2|ad||bc|+|b{|}^2|c{|}^2$$

相加： $$(|ac-bd|{)}^2+(|ad+bc|{)}^2$$ $$=|a{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)+|b{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)-2|ac||bd|+2|ad||bc|$$ $$\ge |a{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)+|b{|}^2(|c{|}^2+|d{|}^2)-4|a||b||c||d|$$

（因为 $-2|ac||bd|+2|ad||bc|\ge -2|a||b||c||d|-2|a||b||c||d|$）

因此： $$(|ac-bd|{)}^2+(|ad+bc|{)}^2\ge (|a{|}^2-|b{|}^2{)}^2\cdot \frac{|c{|}^2+|d{|}^2}{|c{|}^2+|d{|}^2}$$

实际上，更直接的方法：

由三角不等式： $$||a||c|-|b||d||\le |ac-bd|$$ $$||a||d|-|b||c||\le |ad-bc|=|ad+bc|$$（当 $bc<0$ 时）

平方后相加并开方即可得证。$\square$

注：此题较难，展示了绝对值不等式的复杂应用。

§ 5.3 确界理论应用

习题 5：设 $A,B\subset \mathbb{R}$ 非空有上界。定义 $$A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$$

证明：$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$

证明：

令 $\alpha =\sup A$，$\beta =\sup B$。

第一步：证明 $\alpha +\beta$ 是 $A+B$ 的上界。

$\forall a\in A,b\in B$，有 $a\le \alpha$，$b\le \beta$，故 $$a+b\le \alpha +\beta$$

因此 $\alpha +\beta$ 是 $A+B$ 的上界。

第二步：证明 $\alpha +\beta$ 是最小上界。

$\forall \epsilon >0$，由上确界定义：

• $\exists a_0\in A$，使得 $a_0>\alpha -\frac{\epsilon }{2}$
• $\exists b_0\in B$，使得 $b_0>\beta -\frac{\epsilon }{2}$

则： $$a_0+b_0>\alpha +\beta -\epsilon$$

即 $a_0+b_0\in A+B$ 且 $a_0+b_0>\alpha +\beta -\epsilon$。

由上确界的等价刻画，$\alpha +\beta =\sup (A+B)$。$\square$

习题 6：设 $A,B\subset \mathbb{R}$ 非空有界。定义 $$A\cdot B=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$$

问：$\sup (A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B$ 是否成立？

解答：

不一定成立。需要附加条件。

反例：设 $A=B=[-2,1]$。

则：

• $\sup A=\sup B=1$，故 $\sup A\cdot \sup B=1$
• 但 $A\cdot B$ 包含 $(-2)\times (-2)=4$
• 因此 $\sup (A\cdot B)\ge 4>1$

正确命题：若 $A,B$ 中所有元素均非负，则 $$\sup (A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B$$

证明（在非负条件下）：

令 $\alpha =\sup A\ge 0$，$\beta =\sup B\ge 0$。

第一步：$\forall a\in A,b\in B$，有 $0\le a\le \alpha$，$0\le b\le \beta$，故 $$ab\le \alpha \beta$$

因此 $\alpha \beta$ 是 $A\cdot B$ 的上界。

第二步：$\forall \epsilon >0$，若 $\alpha ,\beta >0$，取 $\delta =\min \left\{\frac{\epsilon }{2\alpha },\frac{\epsilon }{2\beta }\right\}$。

由上确界定义：

• $\exists a_0\in A$，使得 $a_0>\alpha -\delta$
• $\exists b_0\in B$，使得 $b_0>\beta -\delta$

则： $$a_0{b}_0>(\alpha -\delta )(\beta -\delta )=\alpha \beta -\alpha \delta -\beta \delta +{\delta }^2$$ $$>\alpha \beta -\frac{\epsilon }{2}-\frac{\epsilon }{2}=\alpha \beta -\epsilon$$

因此 $\sup (A\cdot B)=\alpha \beta$。$\square$

结论：确界运算与集合运算的交互需要仔细分析条件。

§ 5.4 邻域与极限预备

习题 7：证明：$\forall a\in \mathbb{R}$，$\forall \epsilon >0$，存在 $r\in \mathbb{Q}$，使得 $$r\in U(a,\epsilon )$$

证明：

即证：$\exists r\in \mathbb{Q}$，使得 $|r-a|<\epsilon$，即 $a-\epsilon <r<a+\epsilon$。

由有理数稠密性（定理 4.1），在 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 之间存在有理数 $r$。

因此命题成立。$\square$

意义：这说明任何实数的任意小邻域内都包含有理数，是极限论中"有理逼近"的基础。

习题 8（重要）：设 $\{I_n\}$ 是一列闭区间， 满足：

1. $I_{n+1}\subset I_n$ （嵌套性）
2. ${\lim }_{n\to \infty }|I_n|=0$ （长度趋于0）

证明：${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n$ 恰好包含一个点。

证明：

设 $I_n=[a_n,b_n]$，由条件：

1. $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$，即 $a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$
2. ${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$

第一步：证明交集非空。

由嵌套性：$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le \cdots \le b_n\le \cdots \le b_2\le b_1$

数列 $\{a_n\}$ 单调递增有上界（$b_1$），数列 $\{b_n\}$ 单调递减有下界（$a_1$）。

由确界原理，$\exists \alpha =\sup \{a_n\}$，$\exists \beta =\inf \{b_n\}$。

显然 $\alpha \le \beta$。由条件2： $$\beta -\alpha \le b_n-a_n\to 0(n\to \infty )$$

因此 $\alpha =\beta$，记为 $c$。

容易验证 $c\in I_n$ 对所有 $n$ 成立，故 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n\ne \varnothing$。

第二步：证明交集至多包含一个点。

假设 $x,y\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n$ 且 $x\ne y$，不妨设 $x<y$。

则 $|y-x|>0$。但由于 $x,y\in I_n=[a_n,b_n]$，有 $$|y-x|\le b_n-a_n\to 0(n\to \infty )$$

这与 $|y-x|>0$ 矛盾。

因此 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n=\{c\}$。$\square$

定理名称：闭区间套定理（Nested Intervals Theorem）

重要性：

• 体现了实数系统的完备性
• 是后续Cantor定理、Bolzano-Weierstrass定理等的基础
• 在构造特殊数（如Cantor集合）中有重要应用

第六章 高级专题与现代观点

§ 6.1 实数构造理论概述

6.1.1 Dedekind分割

基本思想：用有理数的"分割"定义实数。

定义 6.1（Dedekind分割）

$\mathbb{Q}$ 的一个分割是一对非空子集 $(A,B)$，满足：

1. $A\cup B=\mathbb{Q}$，$A\cap B=\varnothing$
2. $\forall a\in A,b\in B$，有 $a<b$

每个分割 $(A,B)$ 定义一个实数。

**示例 **：

• 有理数 $r$：$A=\{q\in \mathbb{Q}\mid q<r\}$，$B=\{q\in \mathbb{Q}\mid q\ge r\}$
• 无理数 $\sqrt{2}$：$A=\{q\in \mathbb{Q}\mid q<0\text{ 或 }{q}^2<2\}$，$B=\{q\in \mathbb{Q}\mid q>0\text{ 且 }{q}^2\ge 2\}$

优点：严格构造了完备的实数系统。

6.1.2 Cauchy序列构造

基本思想：用有理Cauchy序列的等价类定义实数。

定义 6.2（Cauchy序列）

有理数序列 $\{r_n\}$ 称为Cauchy序列，如果： $$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m,n>N:|r_m-r_n|<\epsilon$$

等价关系：$\{r_n\}\sim \{s_n\}\iff {\lim }_{n\to \infty }|r_n-s_n|=0$

每个等价类定义一个实数。

优点：自然推广到一般度量空间的完备化。

§ 6.2 实数系统的公理化

6.2.1 完备有序域公理

公理系统：实数集 $\mathbb{R}$ 是满足以下公理的完备有序域：

域公理（14条）：

• 加法、乘法满足交换律、结合律、分配律
• 存在加法单位元0、乘法单位元1
• 每个元素有加法逆元、每个非零元素有乘法逆元

序公理（4条）：

• 全序关系：$\forall a,b$，恰有一个成立：$a<b$, $a=b$, $a>b$
• 传递性：$a<b,b<c\Rightarrow a<c$
• 加法保序：$a<b\Rightarrow a+c<b+c$
• 乘法保序：$a<b,c>0\Rightarrow ac<bc$

完备性公理（1条）：

• 确界原理：非空有上界集合必有上确界

唯一性定理：满足上述公理的数系在同构意义下是唯一的。

6.2.2 其他完备性等价形式

以下命题与确界原理等价：

形式1（单调有界原理）：单调有界数列必收敛

形式2（闭区间套定理）：嵌套的闭区间序列有唯一交点

形式3（Bolzano-Weierstrass定理）：有界无限点集必有聚点

形式4（Cauchy收敛准则）：序列收敛当且仅当它是Cauchy序列

形式5（Heine-Borel定理）：闭有界集的任何开覆盖有有限子覆盖

§ 6.3 不可数性理论

6.3.1 Cantor对角线方法

定理 6.1（实数不可数性）

实数集 $\mathbb{R}$ 是不可数的。

证明 **（反证法）：

假设 $\mathbb{R}$ 可数，则区间 $(0,1)$ 也可数。

设 $(0,1)$ 中所有数可列举为： $$x_1=0.a_{11}{a}_{12}{a}_{13}\cdots$$ $$x_2=0.a_{21}{a}_{22}{a}_{23}\cdots$$ $$x_3=0.a_{31}{a}_{32}{a}_{33}\cdots$$ $$⋮$$

构造数 $y=0.b_1{b}_2{b}_3\cdots$，其中： $$b_k=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若 }{a}_{kk}\ne 1\\ 2,& \text{若 }{a}_{kk}=1\end{array}$$

则 $y\in (0,1)$ 但 $y\ne x_k$（对任何 $k$），因为 $y$ 的第 $k$ 位与 $x_k$ 的第 $k$ 位不同。

矛盾！因此 $\mathbb{R}$ 不可数。$\square$

6.3.2 基数理论初步

定义 6.3（基数）

• $|\mathbb{N}|={\aleph }_0$（可数无穷）
• $|\mathbb{R}|=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（连续统基数）

性质：

• $|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$（有理数可数）
• $|\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}|=\mathfrak{c}$（无理数不可数）
• $|[0,1]|=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$（等基数）

连续统假设：不存在基数 $\kappa$ 使得 ${\aleph }_0<\kappa <\mathfrak{c}$

（Gödel和Cohen证明：此假设在ZFC公理系统中既不可证也不可否证）

§ 6.4 实数的测度理论

6.4.1 Lebesgue外测度

定义 6.4（外测度）

对 $E\subset \mathbb{R}$，定义： $$m^{\ast }(E)=\inf \left\{\sum _{n=1}^{\infty }|I_n|:E\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{I}_n,I_n\text{为开区间}\right\}$$

性质：

• 非负性：$m^{\ast }(E)\ge 0$
• 单调性：$A\subset B\Rightarrow m^{\ast }(A)\le m^{\ast }(B)$
• 次可列可加性：$m^{\ast }\left({\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n\right)\le {\sum }_{n=1}^{\infty }{m}^{\ast }(E_n)$
• 平移不变性：$m^{\ast }(E+a)=m^{\ast }(E)$

6.4.2 Lebesgue可测集

定义 6.5（Carathéodory条件）

集合 $E$ 称为Lebesgue可测，如果对任何 $A\subset \mathbb{R}$： $$m^{\ast }(A)=m^{\ast }(A\cap E)+m^{\ast }(A\cap E^c)$$

重要结果：

• 开集、闭集、Borel集都可测
• 可测集构成 $\sigma$-代数
• 存在不可测集（需要选择公理构造）

测度性质：

• 可列可加性：若 $\{E_n\}$ 两两不交且可测，则 $$m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(E_n)$$

例子：

• $m([a,b])=b-a$（区间长度）
• $m(\mathbb{Q})=0$（可数集测度为0）
• $m(\text{Cantor集})=0$（但不可数）

§ 6.5 现代分析中的实数应用

6.5.1 拓扑学观点

标准拓扑：$\mathbb{R}$ 上的标准拓扑由开区间生成。

拓扑性质：

• 连通性：$\mathbb{R}$ 是连通的
• 完备性：每个Cauchy序列收敛
• 局部紧致性：每点有紧邻域
• 可分性：$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密
• 第二可数性：有可数拓扑基

6.5.2 代数拓扑联系

基本群：${\pi }_1(\mathbb{R})=0$（单连通）

同伦等价：$\mathbb{R}\simeq \{\text{点}\}$

同调群： $$H_n(\mathbb{R})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& n=0\\ 0,& n>0\end{array}$$

6.5.3 函数分析预备

Banach空间结构：$(\mathbb{R},|\cdot |)$ 是完备赋范线性空间

内积空间：$(\mathbb{R},⟨x,y⟩=xy)$ 是Hilbert空间

对偶空间：${\mathbb{R}}^{\ast }\cong \mathbb{R}$

第七章 综合练习与竞赛题选

§ 7.1 高难度证明题

题目1（IMO风格）：设 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$。证明： $$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}$$

解答：

由 $abc=1$，可设 $a=\frac{x}{y}$，$b=\frac{y}{z}$，$c=\frac{z}{x}$，其中 $x,y,z>0$。

原不等式变为： $$\frac{y^3}{x^3}\cdot \frac{z}{y+z}+\frac{z^3}{y^3}\cdot \frac{x}{z+x}+\frac{x^3}{z^3}\cdot \frac{y}{x+y}\ge \frac{3}{2}$$

即： $$\frac{y^{3}z}{x^3(y+z)}+\frac{z^{3}x}{y^3(z+x)}+\frac{x^{3}y}{z^3(x+y)}\ge \frac{3}{2}$$

由Cauchy-Schwarz不等式： $$\sum \frac{y^{3}z}{x^3(y+z)}\cdot \frac{x^3(y+z)}{y^{3}z}\ge \left(\sum \frac{y^{3}z}{x^3(y+z)}\right)\left(\sum \frac{x^3(y+z)}{y^{3}z}\right)\ge 9$$