📚 数学分析完整知识体系

第一章第四节：具有特殊性质的函数

适用于高等数学、数学分析课程的完整教材级知识体系
为大学本科及考研学生精心编写

🎯 总体思维导图：特殊函数性质体系

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║          第一章 §4：具有某些特性的函数                            ║
║              Functions with Special Properties                     ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
                                │
                    ┌───────────┴───────────┐
                    │   特殊函数性质总览    │
                    └───────────┬───────────┘
                                │
        ┌───────────────────────┼───────────────────────┐
        │                       │                       │
   ┌────▼─────┐          ┌─────▼──────┐        ┌──────▼──────┐
   │  有界性  │          │  单调性    │        │  周期性     │
   │ Bounded  │          │ Monotonic  │        │  Periodic   │
   └────┬─────┘          └─────┬──────┘        └──────┬──────┘
        │                      │                      │
   ┌────▼─────────┐    ┌──────▼────────┐    ┌────────▼────────┐
   │• 上界/下界   │    │• 递增/递减    │    │• 周期 T         │
   │• 有界函数    │    │• 严格单调性   │    │• 基本周期       │
   │• 上/下确界   │    │• 反函数存在性 │    │• f(x±T)=f(x)   │
   │• 确界原理    │    │• 单调性保持   │    │• 三角函数       │
   └──────────────┘    └───────────────┘    └─────────────────┘
        │                      │                      │
        └──────────────────────┼──────────────────────┘
                               │
                    ┌──────────▼───────────┐
                    │   奇偶性 Even/Odd    │
                    └──────────┬───────────┘
                               │
                    ┌──────────▼───────────┐
                    │• f(-x) = f(x): 偶函数│
                    │• f(-x) = -f(x): 奇函数│
                    │• 图像对称性质        │
                    └──────────────────────┘

📖 第一部分：有界函数理论

§1.1 有界函数的基本定义

有界性是函数最基础的性质之一，在极限理论、积分理论中都有重要应用。

定义 1.1（有上界和有下界函数）

正式表述：

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数。

(i) 有上界函数：
若存在数 $M \in R$ ，使得对每一个 $x \in D$ ，有 $f (x) \leq M,$ 则称 $f$ 为 $D$ 上的有上界函数， $M$ 称为 $f$ 在 $D$ 上的一个上界。

(ii) 有下界函数：
若存在数 $L \in R$ ，使得对每一个 $x \in D$ ，有 $f (x) \geq L,$ 则称 $f$ 为 $D$ 上的有下界函数， $L$ 称为 $f$ 在 $D$ 上的一个下界。

📊 关键理解：

根据定义， $f$ 在 $D$ 上有上（下）界，意味着值域 $f (D)$ 是一个有上（下）界的数集。

又若 $M$ （ $L$ ）为 $f$ 在 $D$ 上的上（下）界，则任何大于（小于） $M$ （ $L$ ）的数也是 $f$ 在 $D$ 上的上（下）界。

定义 1.2（有界函数）

正式表述：

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数。若存在正数 $M > 0$ ，使得对每一个 $x \in D$ ，有 $∣ f (x) ∣ \leq M, (1)$ 则称 $f$ 为 $D$ 上的有界函数。

🎨 几何意义：

若 $f$ 为 $D$ 上的有界函数，则 $f$ 的图像完全落在直线 $y = M$ 与 $y = - M$ 之间。

      y
      │
    M ├─────────────────────── 上界线
      │    函数图像
      │  ╱──╲    ╱──╲
      │ ╱    ╲  ╱    ╲
    0 ├────────────────────── x
      │╲      ╱╲      ╱
      │ ╲    ╱  ╲    ╱
   -M ├─────────────────────── 下界线
      │

定理 1.1（有界性的等价条件）

表述：
根据定义，不难验证： $f$ 在 $D$ 上有界的充要条件是 $f$ 在 $D$ 上既有上界又有下界。

证明：

必要性（ $\Rightarrow$ ）：
若 $f$ 在 $D$ 上有界，则存在 $M > 0$ 使得 $∣ f (x) ∣ \leq M$ 对所有 $x \in D$ 成立。

这等价于： $- M \leq f (x) \leq M$

取上界为 $M$ ，下界为 $- M$ ，则 $f$ 既有上界又有下界。

充分性（ $\Leftarrow$ ）：
若 $f$ 在 $D$ 上有上界 $M_{1}$ 和下界 $L_{1}$ ，即： $L_{1} \leq f (x) \leq M_{1}, \forall x \in D$

取 $M = max {∣ M_{1} ∣, ∣ L_{1} ∣}$ ，则： $∣ f (x) ∣ \leq M, \forall x \in D$

因此 $f$ 有界。∎

§1.2 经典例题分析

例 1：典型有界函数

三角函数：

正弦函数 $sin x$ 和余弦函数 $cos x$ 为 $R$ 上的有界函数，因为对每一个 $x \in R$ ，都有： $∣ sin x ∣ \leq 1 和 ∣ cos x ∣ \leq 1$

分析：

定义域： $D = R$
值域： $f (D) = [- 1, 1]$
上界： $M = 1$
下界： $L = - 1$
有界性常数：可取 $M = 1$

图像：

    y
  1 ├─────●─────○─────●─────○───── sin x
    │    ╱ ╲   ╱ ╲   ╱ ╲   ╱ ╲
  0 ├───────○─────●─────○─────●── x
    │  ╱     ╲ ╱     ╲ ╱     ╲ ╱
 -1 ├○─────●─────○─────●─────○───
    0   π/2   π   3π/2  2π   5π/2

例 2：证明无上界函数

问题： 证明 $f (x) = \frac{1}{x}$ 为 $(0, 1]$ 上的无上界函数。

📝 无上界函数的定义：

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数。若对任何 $M$ （无论 $M$ 多大），都存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) > M$ ，则称 $f$ 为 $D$ 上的无上界函数。

证明：

任给正数 $M > 0$ （无论多大）。

取 $x_{0} = \frac{1}{M + 1}$ 。

验证 (i)： $x_{0} \in (0, 1]$

因为 $M > 0$ ，所以 $M + 1 > 1$ ，从而： $0 < x_{0} = \frac{1}{M + 1} < 1$

即 $x_{0} \in (0, 1]$ 。✓

验证 (ii)： $f (x_{0}) > M$

$f (x_{0}) = \frac{1}{x _{0}} = \frac{1}{\frac{1}{M + 1}} = M + 1 > M$

结论：
对任意 $M > 0$ ，都能找到 $x_{0} \in (0, 1]$ 使得 $f (x_{0}) > M$ 。

故按定义， $f$ 为 $(0, 1]$ 上的无上界函数。∎

🎨 几何理解：

      y
      │     f(x) = 1/x
      │    │
    M │────┼───────────  ← 任意上界 M
      │    │╲
      │    │ ╲
      │    │  ╲   总能找到 x₀ 
      │    │   ╲  使 f(x₀) > M
      │    │    ╲___
      └────┼──────────── x
         x₀ 1/2    1
    
    当 x → 0⁺ 时，f(x) → +∞

§1.3 函数的确界

定义 1.3（上确界与下确界）

记号与术语：

前面已经指出， $f$ 在其定义域 $D$ 上有上界，是指值域 $f (D)$ 为有上界的数集。于是由确界原理，数集 $f (D)$ 有上确界。

上确界：
通常，我们把 $f (D)$ 的上确界记为 $x \in D sup f (x) 或简记为 sup f (x)$ 并称之为 $f$ 在 $D$ 上的上确界。

下确界：
类似地，若 $f$ 在其定义域 $D$ 上有下界，则 $f$ 在 $D$ 上的下确界记为 $x \in D in f f (x) 或简记为 in f f (x)$

📊 确界的关键性质：

性质	上确界	下确界
定义	最小的上界	最大的下界
比较	$f (x) \leq sup f (x)$	$f (x) \geq in f f (x)$
唯一性	唯一确定	唯一确定
可达性	不一定能取到	不一定能取到

例 3：有界函数确界的不等式

问题： 设 $f$ ， $g$ 为 $D$ 上的有界函数。证明：

(i) $x \in D in f f (x) + x \in D in f g (x) \leq x \in D in f [f (x) + g (x)]$

(ii) $x \in D sup [f (x) + g (x)] \leq x \in D sup f (x) + x \in D sup g (x)$

证明 (i)：

对任何 $x \in D$ ，有： $f (x) \geq x \in D in f f (x) 且 g (x) \geq x \in D in f g (x)$

两式相加得： $f (x) + g (x) \geq x \in D in f f (x) + x \in D in f g (x)$

上式表明，数 $in f f (x) + in f g (x)$ 是函数 $f + g$ 在 $D$ 上的一个下界。

而 $in f [f (x) + g (x)]$ 是 $f + g$ 的最大下界（下确界），从而： $x \in D in f [f (x) + g (x)] \geq x \in D in f f (x) + x \in D in f g (x)$

这正是要证的不等式。∎

证明 (ii)：

对任何 $x \in D$ ，有： $f (x) \leq x \in D sup f (x) 且 g (x) \leq x \in D sup g (x)$

两式相加得： $f (x) + g (x) \leq x \in D sup f (x) + x \in D sup g (x)$

这说明 $sup f (x) + sup g (x)$ 是 $f + g$ 的一个上界。

而 $sup [f (x) + g (x)]$ 是 $f + g$ 的最小上界（上确界），从而： $x \in D sup [f (x) + g (x)] \leq x \in D sup f (x) + x \in D sup g (x)$

∎

重要注记：不等式可以严格成立

例 3 中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立。

示例：

设 $f (x) = x, g (x) = - x, x \in [- 1, 1]$

计算各确界：

$∣ x ∣ \leq 1 in f f (x) = - 1, ∣ x ∣ \leq 1 in f g (x) = - 1$

$∣ x ∣ \leq 1 sup f (x) = 1, ∣ x ∣ \leq 1 sup g (x) = 1$

$∣ x ∣ \leq 1 in f [f (x) + g (x)] = ∣ x ∣ \leq 1 in f 0 = 0$

$∣ x ∣ \leq 1 sup [f (x) + g (x)] = ∣ x ∣ \leq 1 sup 0 = 0$

验证不等式：

(i) $- 1 + (- 1) = - 2 < 0 = in f [f (x) + g (x)]$

严格不等号成立！✓

(ii) $0 = sup [f (x) + g (x)] < 1 + 1 = 2$

严格不等号成立！✓

🔑 几何理解：

$f (x) = x$ 和 $g (x) = - x$ 互相"抵消"，使得和函数为常数 $0$ 。这导致确界关系发生显著变化。

📖 第二部分：单调函数理论

§2.1 单调函数的定义与分类

单调性是函数最重要的性质之一，直接关系到函数的反函数、极值、积分等重要概念。

定义 2.1（单调函数）

正式表述：

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数。若对任何 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有：

(i) 递增函数：
若 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称 $f$ 为 $D$ 上的**（递）增函数**。

特别地，当成立严格不等式 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 时，称 $f$ 为 $D$ 上的严格（递）增函数。

(ii) 递减函数：
若 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ，则称 $f$ 为 $D$ 上的**（递）减函数**。

特别地，当成立严格不等式 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 时，称 $f$ 为 $D$ 上的严格（递）减函数。

术语总结：

增函数和减函数统称为单调函数
严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数

可视化分类

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│              单调函数分类体系                            │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘

        单调函数 (Monotonic Functions)
                │
        ┌───────┴────────┐
        │                │
    递增函数          递减函数
   (Increasing)      (Decreasing)
        │                │
    ┌───┴───┐        ┌───┴───┐
    │       │        │       │
  非严格  严格      非严格  严格
  (≤)    (<)       (≥)    (>)

图像特征：

严格递增      递增(非严格)   严格递减     递减(非严格)
    ╱            ╱──╱           ╲            ╲──╲
   ╱            ╱  ╱             ╲            ╲  ╲
  ╱            ╱──╱               ╲            ╲──╲
 ╱            ╱                    ╲            ╲

§2.2 单调函数的经典例题

例 4：严格递增的幂函数

问题： 证明函数 $y = x^{3}$ 在 $R$ 上是严格递增的。

证明：

对任何 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，考虑：

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = x_{2}^{3} - x_{1}^{3}$

使用立方差公式： $x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2})$

分析两个因子的符号：

(i) $x_{2} - x_{1} > 0$ （由 $x_{1} < x_{2}$ 给定）

(ii) 对于 $x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2}$ ，配方得： $x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} = (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} + \frac{3 x _{2}^{2}}{4} > 0$

（注意：即使 $x_{1}, x_{2}$ 可能为负，这个式子也恒为正）

更直接地： $x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} = x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + \frac{x _{2}^{2}}{4} + \frac{3 x _{2}^{2}}{4} = (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} + \frac{3 x _{2}^{2}}{4} \geq 0$

等号仅在 $x_{1} = x_{2} = 0$ 时成立，但我们有 $x_{1} < x_{2}$ ，所以严格大于 $0$ 。

结论： $x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2}) > 0$

即 $x_{1}^{3} < x_{2}^{3}$ 。

因此， $f (x) = x^{3}$ 在 $R$ 上是严格递增的。∎

例 5：取整函数（非严格单调）

问题： 分析函数 $y = [x]$ （取整函数）的单调性。

分析：

函数 $y = [x]$ 在 $R$ 上是递增的，但不是严格递增的。

证明递增性：

对任何 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，显然有： $[x_{1}] \leq [x_{2}]$

（因为不超过 $x_{1}$ 的最大整数不会大于不超过 $x_{2}$ 的最大整数）

所以 $[x]$ 是递增函数。✓

不是严格递增：

反例：取 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 0.5$ 。

则 $x_{1} < x_{2}$ ，但： $[x_{1}] = [0] = 0 = [0.5] = [x_{2}]$

不满足 $[x_{1}] < [x_{2}]$ 。

所以 $[x]$ 不是严格递增函数。∎

🎨 图像：

    y
  3 ●──────────  [3, 4)
    │
  2 ●──────────  [2, 3)
    │
  1 ●──────────  [1, 2)
    │
  0 ●──────────  [0, 1)
    │
 -1 ●──────────  [-1, 0)
    │
 -2 ●──────────  [-2, -1)
    └─────┼────┼────┼────┼──── x
        -1    0    1    2    3
    
    （阶梯函数，每段水平）

关键特征：

在每个整数点有跳跃
在每个区间 $[n, n + 1)$ 上为常数 $n$
全局递增，但不严格

§2.3 反函数与单调性

单调性的最重要应用之一就是保证反函数的存在。

定理 2.1（反函数的存在性与单调性）

表述：

设 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 为严格递增（减）函数，则：

(i) $f$ 必有反函数 $f^{- 1}$ ，且反函数 $f^{- 1}$ 定义在 $f (D)$ 上。

(ii) 反函数 $f^{- 1}$ 在其定义域 $f (D)$ 上也是严格递增（减）函数。

🔑 核心思想：

严格单调性 $\Rightarrow$ 一一对应 $\Rightarrow$ 反函数存在 $\Rightarrow$ 反函数也严格单调

证明（严格递增情形）：

设 $f$ 在 $D$ 上严格递增。

第一步：证明反函数存在

对任一 $y \in f (D)$ ，有 $x \in D$ 使 $f (x) = y$ 。

关键：证明这样的 $x$ 唯一。

假设存在 $x^{'} \in D$ 且 $x^{'} \neq = x$ ，使得 $f (x^{'}) = y$ 。

若 $x^{'} < x$ ：由 $f$ 严格递增， $f (x^{'}) < f (x) = y$ ，矛盾。
若 $x^{'} > x$ ：由 $f$ 严格递增， $f (x^{'}) > f (x) = y$ ，矛盾。

因此， $x^{'}$ 不存在，即对每个 $y \in f (D)$ ，都只存在唯一的 $x \in D$ 使得 $f (x) = y$ 。

这就定义了反函数： $x = f^{- 1} (y), y \in f (D)$

第二步：证明反函数严格递增

任取 $y_{1}, y_{2} \in f (D)$ ， $y_{1} < y_{2}$ 。

设 $x_{1} = f^{- 1} (y_{1})$ ， $x_{2} = f^{- 1} (y_{2})$ ，则： $y_{1} = f (x_{1}), y_{2} = f (x_{2})$

我们要证明： $x_{1} < x_{2}$

反证法：
假设 $x_{1} \geq x_{2}$ 。

若 $x_{1} = x_{2}$ ：则 $y_{1} = f (x_{1}) = f (x_{2}) = y_{2}$ ，与 $y_{1} < y_{2}$ 矛盾。
若 $x_{1} > x_{2}$ ：由 $f$ 严格递增， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，即 $y_{1} > y_{2}$ ，与 $y_{1} < y_{2}$ 矛盾。

因此假设不成立，必有 $x_{1} < x_{2}$ ，即： $f^{- 1} (y_{1}) < f^{- 1} (y_{2})$

所以反函数 $f^{- 1}$ 是严格递增的。∎

严格递减情形的证明类似。

几何理解：图像关于 $y = x$ 对称

      y
      │     y=x
      │    ╱│
      │   ╱ │
      │  ╱  │ f⁻¹(x)
      │ ╱  ╱│
      │╱  ╱ │
      ╱──╱  │
     ╱│ ╱   │
    ╱ │╱    │
   ╱  │ f(x)│
  ╱   │     │
 ╱    │     │
──────┴─────┴──── x

函数与反函数关于 y=x 对称

例 6：幂函数与根式函数

分析： $y = x^{2}$ 与反函数 $y = x$

问题： 函数 $y = x^{2}$ 在什么条件下有反函数？

分析：

(1) 在 $R$ 上：

$y = x^{2}$ 在 $R$ 上不是单调的：

在 $(- \infty, 0]$ 上严格递减
在 $[0, + \infty)$ 上严格递增

因此在 $R$ 上不存在反函数。

(2) 在 $[0, + \infty)$ 上：

$y = x^{2}$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递增，因此有反函数： $y = x, x \in [0, + \infty)$

由定理 2.1， $x$ 也在 $[0, + \infty)$ 上严格递增。

(3) 在 $(- \infty, 0]$ 上：

$y = x^{2}$ 在 $(- \infty, 0]$ 上严格递减，因此有反函数： $y = - x, x \in [0, + \infty)$

🔑 关键教训：

同一个函数在不同的定义域上可能有不同的单调性，从而反函数的存在性也不同！

§2.4 指数函数的单调性

上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）的定义域拓广到整个实数集 $R$ 。

下面证明指数函数在 $R$ 上的严格单调性。

例 7：证明指数函数的单调性

定理： 证明 $y = a^{x}$ 当 $a > 1$ 时在 $R$ 上严格递增，当 $0 < a < 1$ 时在 $R$ 上严格递减。

证明（ $a > 1$ 情形）：

设 $a > 1$ 。给定 $x_{1}, x_{2} \in R$ ， $x_{1} < x_{2}$ 。

步骤 1：利用有理数稠密性

由有理数集的稠密性（定理 1.1，第一章第一节例 1），可取到有理数 $r_{1}, r_{2}$ ，使： $x_{1} < r_{1} < r_{2} < x_{2}$

步骤 2：应用实指数幂定义

由 $a^{x}$ 对实数 $x$ 的定义（作为有理指数幂的上确界或下确界）：

当 $a > 1$ 时： $a^{x_{1}} = sup {a^{r} ∣ r \in Q, r \leq x_{1}}$

因为 $r_{1} \leq x_{1}$ （实际上 $r_{1} > x_{1}$ ，这里需要修正）

让我重新表述：

由实指数幂的定义，对于 $a > 1$ ： $a^{x_{1}} = sup {a^{r} ∣ r \in Q, r < x_{1}}$

因为 $r_{1} < r_{2} < x_{2}$ ，而对有理数，我们已知 $a > 1$ 时 $a^{r_{1}} < a^{r_{2}}$ 。

由上确界的性质： $a^{x_{1}} \leq a^{r_{1}} < a^{r_{2}} \leq a^{x_{2}}$

因此 $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ 。

这就证明了 $y = a^{x}$ 当 $a > 1$ 时在 $R$ 上严格递增。∎

$0 < a < 1$ 情形的证明类似。

推论：对数函数的单调性

注：因为 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）的值域为 $(0, + \infty)$ ，所以由例 7 及定理 2.1 还可得出结论：

对数函数的单调性：

$y = lo g_{a} x {当 a > 1 时在 (0, + \infty) 上严格递增当 0 < a < 1 时在 (0, + \infty) 上严格递减$

对数的换底性质：

另外，在第四章中将证明关于实指数幂的一个基本性质 $(a^{α})^{β} = a^{α β}$ （定理 4.10），从而相应地有： $lo g_{a} x^{α} = α lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1, x > 0, α \in R) (2)$

📖 第三部分：奇函数和偶函数

§3.1 定义与基本性质

定义 3.1（奇函数与偶函数）

正式表述：

设 $D$ 为对称于原点的数集（即 $x \in D \Rightarrow - x \in D$ ）， $f$ 为定义在 $D$ 上的函数。

(i) 奇函数：
若对每一个 $x \in D$ ，有 $f (- x) = - f (x),$ 则称 $f$ 为 $D$ 上的奇函数。

(ii) 偶函数：
若对每一个 $x \in D$ ，有 $f (- x) = f (x),$ 则称 $f$ 为 $D$ 上的偶函数。

⚠️ 重要前提：

定义域 $D$ 必须关于原点对称，否则奇偶性无意义！

几何性质

定理 3.1（图像对称性）

(i) 奇函数： 图像关于原点对称

若点 $(x, y)$ 在图像上，则点 $(- x, - y)$ 也在图像上。

      y
      │    ╱
      │   ╱
      │  ╱
      │ ╱
──────┼────── x  (原点对称)
     ╱│
    ╱ │
   ╱  │
  ╱   │

(ii) 偶函数： 图像关于 $y$ 轴对称

若点 $(x, y)$ 在图像上，则点 $(- x, y)$ 也在图像上。

      y
      │
    ╱─┼─╲
   ╱  │  ╲
  ╱   │   ╲
─────┼───── x  (y轴对称)
     │

§3.2 经典例题

例 8：常见的奇函数与偶函数

奇函数：

(1) 正弦函数 $y = sin x$

验证： $sin (- x) = - sin x$

(2) 正切函数 $y = tan x$

验证： $tan (- x) = \frac{sin ( - x )}{cos ( - x )} = \frac{- sin x}{cos x} = - tan x$

(3) 符号函数 $y = sgn (x)$

$sgn (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 0, - 1, x > 0 x = 0 x < 0$

验证： $sgn (- x) = - sgn (x)$

偶函数：

(1) 余弦函数 $y = cos x$

验证： $cos (- x) = cos x$

(2) 绝对值函数 $y = ∣ x ∣$

验证： $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$

(3) 幂函数 $y = x^{2 n}$ （ $n$ 为正整数）

验证： $(- x)^{2 n} = x^{2 n}$

例 9：既非奇函数也非偶函数

函数： $f (x) = sin x + cos x$

分析：

取 $x_{0} = \frac{π}{4}$ ：

$f (\frac{π}{4}) = sin \frac{π}{4} + cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2$

$f (- \frac{π}{4}) = sin (- \frac{π}{4}) + cos (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 0$

验证：

$f (- x_{0}) = 0 \neq = - f (x_{0}) = - 2$ （不满足奇函数）

$f (- x_{0}) = 0 \neq = f (x_{0}) = 2$ （不满足偶函数）

结论： $f (x) = sin x + cos x$ 既不是奇函数，也不是偶函数。

§3.3 奇偶函数的运算性质

定理 3.2（奇偶性的代数运算）

设 $f$ ， $g$ 均为定义在对称域 $D$ 上的函数。

运算	奇 + 奇	偶 + 偶	奇 $\times$ 奇	偶 $\times$ 偶	奇 $\times$ 偶
结果	奇	偶	偶	偶	奇

证明举例（奇 $\times$ 奇 = 偶）：

设 $f$ ， $g$ 均为奇函数，令 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ 。

则： $h (- x) = f (- x) \cdot g (- x) = [- f (x)] \cdot [- g (x)] = f (x) \cdot g (x) = h (x)$

所以 $h$ 是偶函数。∎

📖 第四部分：周期函数

§4.1 周期函数的定义

定义 4.1（周期函数）

正式表述：

设 $f$ 为定义在数集 $D$ 上的函数。若存在 $ω > 0$ ，使得对一切 $x \in D$ ：

(i) $x \pm ω \in D$ （平移性）

(ii) $f (x \pm ω) = f (x)$ （函数值不变）

则称 $f$ 为周期函数， $ω$ 称为 $f$ 的一个周期。

基本周期：

显然，若 $ω$ 为 $f$ 的周期，则 $nω$ （ $n$ 为正整数）也是 $f$ 的周期。

若在周期函数 $f$ 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 $f$ 的基本周期，或简称周期。

§4.2 经典例题

例 10：三角函数的周期

(1) 正弦与余弦函数：

$sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x$

基本周期： $T = 2 π$

(2) 正切与余切函数：

$tan (x + π) = tan x, cot (x + π) = cot x$

基本周期： $T = π$

🎨 图像：

sin x 的周期：
    1 ├─╱─╲─╱─╲─╱─╲─  T = 2π
      │╱   ╲╱   ╲╱   ╲
    0 ├────────────────
      ╲   ╱╲   ╱╲   ╱
   -1  ╲─╱──╲─╱──╲─╱
        0   π   2π  3π

tan x 的周期：
      │ ╱│ ╱│ ╱│      T = π
      │╱ │╱ │╱ │
   ───┼──┼──┼──┼───
     ╱│ ╱│ ╱│ ╱│
    ╱ │╱ │╱ │╱ │
  -π/2 0 π/2 π 3π/2

例 11：锯齿波函数

函数： $f (x) = x - [x], x \in R$

分析周期性：

对任意 $x \in R$ ： $f (x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = (x + 1) - ([x] + 1) = x - [x] = f (x)$

因此 $f$ 的周期为 $1$ 。

基本周期： $T = 1$

🎨 图像：

    y
  1 ├    ╱│   ╱│   ╱│
    │   ╱ │  ╱ │  ╱ │
    │  ╱  │ ╱  │ ╱  │
    │ ╱   │╱   │╱   │
  0 ├────┼────┼────┼──── x
       -1    0    1    2

（锯齿波，周期为 1）

例 12：有周期但无基本周期的函数

狄利克雷函数：

$D (x) = {1, 0, x \in Q x \in R ∖ Q$

分析：

对任意有理数 $r > 0$ 和任意 $x \in R$ ：

若 $x \in Q$ ，则 $x + r \in Q$ ，故 $D (x + r) = 1 = D (x)$
若 $x \in / Q$ ，则 $x + r \in / Q$ （当 $r \in Q$ 时），故 $D (x + r) = 0 = D (x)$

因此，任意正有理数都是 $D (x)$ 的周期！

结论： $D (x)$ 是周期函数，但不存在基本周期（因为正有理数没有最小值）。

§4.3 周期函数的性质

定理 4.1（周期函数的运算）

设 $f$ ， $g$ 均为周期函数，周期分别为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 。

(i) 若 $\frac{T _{1}}{T _{2}}$ 为有理数，则 $f + g$ ， $f \cdot g$ 也是周期函数。

(ii) 若 $T_{1} = T_{2}$ ，则 $f + g$ ， $f \cdot g$ 的周期为 $T_{1}$ （或其约数）。

🎓 完整知识体系总结

核心知识架构图

╔═══════════════════════════════════════════════════════════╗
║          第一章第四节：特殊函数性质完整体系               ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════╝

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    1. 有界性理论                        │
│                                                         │
│  定义体系：上界 → 下界 → 有界                          │
│  确界理论：sup f(x), inf f(x)                          │
│  不等式：确界的加法性质                                 │
│  应用：函数分析的基础工具                               │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
                        ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    2. 单调性理论                        │
│                                                         │
│  定义分类：递增/递减、严格/非严格                       │
│  反函数：严格单调 ⟺ 反函数存在                        │
│  保持性：f 严格增 ⟹ f⁻¹ 严格增                       │
│  应用：指数/对数函数的单调性                            │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
                        ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    3. 奇偶性理论                        │
│                                                         │
│  定义：f(-x) = ±f(x)                                   │
│  对称性：原点对称 vs y轴对称                            │
│  运算性质：奇偶性的代数规则                             │
│  应用：简化计算、图像绘制                               │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
                        ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    4. 周期性理论                        │
│                                                         │
│  定义：f(x + T) = f(x)                                 │
│  基本周期：最小正周期                                   │
│  特例：有周期但无基本周期                               │
│  应用：三角函数、信号处理                               │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘

重要定理汇总

编号	定理名称	内容	重要性
1.1	有界性等价条件	$f$ 有界 ⟺ $f$ 既有上界又有下界	★★★★★
1.2	确界不等式	$in f f + in f g \leq in f (f + g) \leq sup (f + g) \leq sup f + sup g$	★★★★
2.1	反函数存在性	严格单调函数必有反函数	★★★★★
2.2	单调性保持	严格单调函数的反函数保持单调性	★★★★★
3.1	图像对称性	奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称	★★★★
3.2	奇偶性运算	奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇	★★★
4.1	周期函数性质	$f (x + n T) = f (x)$ ， $n \in Z$	★★★★

典型例题类型总结

类型一：有界性判定

方法：

直接法：找到 $M$ 使 $∣ f (x) ∣ \leq M$
确界法：证明 $sup f (x)$ 和 $in f f (x)$ 存在
反证法：证明无界（找任意大的函数值）

例题：

三角函数 $∣ sin x ∣ \leq 1$
$f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无上界

类型二：单调性证明

方法：

定义法： $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
导数法： $f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f$ 严格递增（需学习微分学后使用）
差值法：分析 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的符号

例题：

$y = x^{3}$ 严格递增
$y = [x]$ 递增但不严格

类型三：反函数求解

步骤：

验证严格单调性
解方程 $y = f (x)$ 得 $x = f^{- 1} (y)$
交换变量： $y = f^{- 1} (x)$
确定定义域为原函数值域

例题：

$y = x^{2}$ （ $x \geq 0$ ）的反函数是 $y = x$
$y = a^{x}$ 的反函数是 $y = lo g_{a} x$

类型四：奇偶性判定

步骤：

检查定义域是否关于原点对称
计算 $f (- x)$
比较 $f (- x)$ 与 $f (x)$ 、 $- f (x)$ 的关系

例题：

$sin x$ 是奇函数
$cos x$ 是偶函数
$sin x + cos x$ 既非奇也非偶

类型五：周期性验证

步骤：

找候选周期 $T$
验证 $f (x + T) = f (x)$ 对所有 $x$ 成立
寻找最小正周期

例题：

$sin x$ 的周期是 $2 π$
$tan x$ 的周期是 $π$
$x - [x]$ 的周期是 $1$

常见错误与注意事项

❌ 错误 1：混淆有界与有上界

错误理解： 函数有上界就是有界

正确理解： 有界需要同时有上界和下界

例子： $f (x) = - \frac{1}{x}$ ， $x \in (0, 1]$

有上界（如 $M = 0$ ）
无下界（ $x \to 0^{+}$ 时 $f (x) \to - \infty$ ）
因此无界

❌ 错误 2：单调与严格单调不分

错误： 认为单调函数都有反函数

正确： 只有严格单调函数才必有反函数

例子： $f (x) = [x]$ 单调但不严格单调，没有反函数

❌ 错误 3：忽略定义域对称性

错误： 对任意函数判断奇偶性

正确： 只有定义域关于原点对称的函数才谈奇偶性

例子： $f (x) = x^{2}$ ， $x \in [0, 1]$

定义域不对称
谈奇偶性无意义

❌ 错误 4：周期叠加的误区

错误： 认为两个周期函数之和的周期是两周期之和

正确： 需要周期比为有理数，公共周期才存在

例子：

$sin x$ （周期 $2 π$ ）+ $sin (2 x)$ （周期 $2 π$ ）
周期比 $\frac{2 π}{2 π} = 2$ 是无理数
和函数不是周期函数！

📚 学习路径建议

第一阶段：基础理解（1-2周）

目标： 掌握基本定义和简单判定

任务清单：

理解有界、单调、奇偶、周期的定义
能判断基本初等函数的这四种性质
掌握三角函数、幂函数的性质
完成教材基础习题

推荐练习：

判断10个函数的有界性
判断10个函数的单调性
判断10个函数的奇偶性
求5个函数的周期

第二阶段：定理证明（2-3周）

目标： 理解核心定理并能证明

任务清单：

证明确界不等式
证明反函数存在性定理
证明单调性保持定理
理解指数函数单调性证明

推荐练习：

自行证明3个单调性
求5个反函数
证明奇偶性运算规则

第三阶段：综合应用（3-4周）

目标： 解决复杂综合问题

任务清单：

分析复合函数的性质
证明函数不等式（利用单调性）
构造具有特定性质的函数
综合运用多种性质

推荐练习：

复合函数的奇偶性判定
利用单调性证明不等式
构造反例说明定理条件的必要性

🎯 与后续章节的联系

第一章第四节
    │
    ├─→ 第二章（极限理论）
    │   • 有界性与极限存在性
    │   • 单调有界定理
    │   • 周期函数的极限性质
    │
    ├─→ 第三章（连续性）
    │   • 连续函数的有界性定理
    │   • 单调连续函数的性质
    │   • 反函数的连续性
    │
    ├─→ 第四章（导数）
    │   • 单调性与导数符号
    │   • 极值判定
    │   • 奇偶函数的导数
    │
    └─→ 第五章（积分）
        • 有界函数的可积性
        • 奇偶函数的积分性质
        • 周期函数的积分

💡 深度拓展思考题

思考题 1：构造特殊函数

问题： 是否存在函数 $f : R \to R$ ，满足：

在 $R$ 上有界
在任意区间上都不单调
不是周期函数

提示： 考虑狄利克雷函数的变形

思考题 2：反函数链

问题： 设 $f$ 在 $R$ 上严格递增，且 $f (f (x)) = x$ 。证明 $f (x) = x$ 。

提示： 利用反函数的唯一性

思考题 3：周期与单调的关系

问题： 证明：若 $f$ 是 $R$ 上的非常值周期函数，则 $f$ 在 $R$ 上不单调。

提示： 反证法，利用周期性

📖 参考文献与拓展阅读

教材

华东师范大学数学系《数学分析》（第五版）
本文主要依据教材
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》
经典的俄罗斯数学分析教材，对函数性质有深入论述
Walter Rudin《数学分析原理》
严谨的现代分析教材，适合深入学习

专题论文

单调函数的性质与应用
关注单调函数在不等式证明中的作用
周期函数的傅里叶分析
周期函数在调和分析中的应用
函数的对称性与守恒律
物理学中奇偶性的深刻意义

🔬 高级专题：函数性质的深化理论

专题 A：凸函数理论（预备知识）

虽然凸函数的严格定义需要导数理论，但我们可以初步了解。

定义 A.1（凸函数的几何定义）

直观表述：

函数 $f$ 在区间 $I$ 上称为凸函数，如果对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 和 $0 \leq λ \leq 1$ ，有： $f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2})$

几何意义： 函数图像上任意两点连线位于图像上方

      y
      │     (x₂,f(x₂))
      │          ●
      │         ╱│
      │        ╱ │  线段
      │       ╱  │
      │      ●───● 中点在曲线上方
      │     ╱   ╱
      │    ╱  ╱
      │   ●──╱  凸函数曲线
      │  (x₁,f(x₁))
      └────────────── x

经典例子：

$f (x) = x^{2}$ 是凸函数
$f (x) = ∣ x ∣$ 是凸函数
$f (x) = e^{x}$ 是凸函数

专题 B：单调性的推广——拟单调函数

定义 B.1（拟单调函数）

定义：

函数 $f$ 在 $D$ 上称为拟单调递增，如果对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ： $f (x_{1}) < f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} < x_{2}$

这比严格单调性弱，但仍保留重要性质。

与单调性的关系：

严格单调递增 ⟹ 拟单调递增 ⟹ 可能有反函数
     ↑                              ↓
  x₁<x₂ ⟹ f(x₁)<f(x₂)    f(x₁)<f(x₂) ⟹ x₁<x₂

专题 C：有界变差函数（BV函数）

定义 C.1（有界变差）

定义：

设 $f$ 定义在 $[a, b]$ 上。对 $[a, b]$ 的任意分划： $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$

定义总变差： $V_{a}^{b} (f) = sup i = 1 \sum n ∣ f (x_{i}) - f (x_{i - 1} ∣$

其中上确界对所有可能的分划取得。

若 $V_{a}^{b} (f) < \infty$ ，则称 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数。

关键定理：

定理 C.1（Jordan分解）
有界变差函数可分解为两个单调递增函数之差。

应用： 在Riemann-Stieltjes积分理论中有重要作用

📊 函数性质速查表

表1：基本初等函数性质总览

函数	定义域	值域	有界性	单调性	奇偶性	周期性
$x^{n}$ ( $n$ 偶)	$R$	$[0, + \infty)$	无界	在 $(0, + \infty)$ 增	偶	无
$x^{n}$ ( $n$ 奇)	$R$	$R$	无界	严格增	奇	无
$sin x$	$R$	$[- 1, 1]$	有界	在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 增	奇	$2 π$
$cos x$	$R$	$[- 1, 1]$	有界	在 $[0, π]$ 减	偶	$2 π$
$tan x$	$x \neq = \frac{π}{2} + kπ$	$R$	无界	在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 增	奇	$π$
$a^{x}$ ( $a > 1$ )	$R$	$(0, + \infty)$	无界	严格增	无	无
$lo g_{a} x$ ( $a > 1$ )	$(0, + \infty)$	$R$	无界	严格增	无	无
$∥ x ∥$	$R$	$[0, + \infty)$	无界	在 $[0, + \infty)$ 增	偶	无

表2：复合函数性质判定规则

有界性：

$f$ 有界	$g$ 有界	$f \circ g$
✓	✓	✓
✓	✗	不确定
✗	✓	不确定

例子：

$f (x) = sin x$ 有界， $g (x) = x$ 无界，但 $f (g (x)) = sin x$ 有界 ✓
$f (x) = e^{x}$ 无界， $g (x) = x$ 无界， $f (g (x)) = e^{x}$ 无界 ✗

单调性：

$f$	$g$	$f \circ g$
增	增	增
增	减	减
减	增	减
减	减	增

记忆口诀： "同增异减"

例子：

$f (x) = x^{2}$ （ $x \geq 0$ ，增）， $g (x) = x$ （增）
$f (g (x)) = (x)^{2} = x$ （增）✓

奇偶性：

$f$	$g$	$f \circ g$
奇	奇	奇
奇	偶	偶
偶	奇	偶
偶	偶	偶

记忆口诀： "奇奇得奇，其余皆偶"

证明（奇+奇=奇）：

设 $f$ ， $g$ 都是奇函数，令 $h (x) = f (g (x))$ 。

则： $h (- x) = f (g (- x)) = f (- g (x)) = - f (g (x)) = - h (x)$

所以 $h$ 是奇函数。∎

周期性：

$f$ 周期	$g$ 周期	$f \circ g$ 周期
$T_{1}$	$T_{2}$	$T_{2}$
$T$	无	不确定

注意： 若 $f$ 周期为 $T_{1}$ ， $g$ 周期为 $T_{2}$ ，则 $f (g (x))$ 周期为 $T_{2}$ 。

例子：

$f (x) = sin x$ （周期 $2 π$ ）， $g (x) = 2 x$ （无周期）
$f (g (x)) = sin 2 x$ （周期 $π$ ）

🧩 综合应用：典型例题详解

例题 13：多性质综合判定

问题： 判断函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ 的所有性质。

解答：

（1）定义域与值域

定义域： $D = R$ （分母 $1 + x^{2} \neq = 0$ 恒成立）

值域： 我们将通过分析函数性质来确定。

（2）有界性

方法一：配方法

$f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$

令 $y = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ ，解关于 $x$ 的方程：

$y (1 + x^{2}) = x$ $y x^{2} - x + y = 0$

要使 $x$ 有实数解，判别式 $Δ \geq 0$ ：

$Δ = 1 - 4 y^{2} \geq 0$ $- \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}$

结论： $f$ 在 $R$ 上有界，值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 。

方法二：均值不等式

对 $x > 0$ ： $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{x} + x} \leq \frac{1}{2 \frac{1}{x} \cdot x} = \frac{1}{2}$

等号在 $\frac{1}{x} = x$ ，即 $x = 1$ 时成立。

类似地，对 $x < 0$ ， $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ 。

（3）单调性

分析 $f^{'} (x)$ （使用导数，或用定义）：

考虑 $x_{1} < x_{2}$ ：

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{x _{2}}{1 + x _{2}^{2}} - \frac{x _{1}}{1 + x _{1}^{2}}$

$= \frac{x _{2} ( 1 + x _{1}^{2} ) - x _{1} ( 1 + x _{2}^{2} )}{( 1 + x _{1}^{2} ) ( 1 + x _{2}^{2} )}$

$= \frac{x _{2} + x _{2} x _{1}^{2} - x _{1} - x _{1} x _{2}^{2}}{( 1 + x _{1}^{2} ) ( 1 + x _{2}^{2} )}$

$= \frac{( x _{2} - x _{1} ) + x _{1} x _{2} ( x _{1} - x _{2} )}{( 1 + x _{1}^{2} ) ( 1 + x _{2}^{2} )}$

$= \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( 1 - x _{1} x _{2} )}{( 1 + x _{1}^{2} ) ( 1 + x _{2}^{2} )}$

分区间讨论：

(i) 在 $(- 1, 1)$ 上：

若 $- 1 < x_{1} < x_{2} < 1$ ，则：

$x_{2} - x_{1} > 0$
若 $x_{1}, x_{2} > 0$ ： $x_{1} x_{2} < 1$ ，故 $1 - x_{1} x_{2} > 0$
若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ： $x_{1} x_{2} < 0 < 1$ ，故 $1 - x_{1} x_{2} > 0$
若 $x_{1}, x_{2} < 0$ ： $∣ x_{1} ∣, ∣ x_{2} ∣ < 1$ ，故 $x_{1} x_{2} < 1$ ， $1 - x_{1} x_{2} > 0$

因此 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ ，即 $f$ 在 $(- 1, 1)$ 上严格递增。

(ii) 在 $(1, + \infty)$ 上：

若 $1 < x_{1} < x_{2}$ ，则：

$x_{2} - x_{1} > 0$
$x_{1} x_{2} > 1$ ，故 $1 - x_{1} x_{2} < 0$

因此 $f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0$ ，即 $f$ 在 $(1, + \infty)$ 上严格递减。

类似地， $f$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上严格递减。

结论：

在 $(- 1, 1)$ 上严格递增
在 $(- \infty, - 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 上严格递减
在 $x = \pm 1$ 处取得极值

（4）奇偶性

验证：

$f (- x) = \frac{- x}{1 + ( - x ) ^{2}} = \frac{- x}{1 + x ^{2}} = - f (x)$

结论： $f$ 是奇函数。

推论： 图像关于原点对称，只需研究 $x \geq 0$ 的情况。

（5）周期性

分析： $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ 不是周期函数。

证明（反证法）：

假设 $f$ 有周期 $T > 0$ ，即对所有 $x$ ， $f (x + T) = f (x)$ 。

取 $x = 0$ ： $f (T) = f (0) = 0$ $\frac{T}{1 + T ^{2}} = 0 \Rightarrow T = 0$

这与 $T > 0$ 矛盾。

结论： $f$ 不是周期函数。

（6）图像草图

    y
    │
 1/2├─ ─ ─ ─●─ ─ ─ ─  (上确界)
    │       ╱ ╲
    │      ╱   ╲
    │     ╱     ╲___
    │    ╱           ╲___
    ├───╱─────┼─────────╲─── x
    │ ╱       0          ╲
    │╱                    ╲
-1/2├─ ─ ─ ─●─ ─ ─ ─ ─ ─  (下确界)
    │
   -1  0   1   2   3
    
性质：
• 奇函数（关于原点对称）
• 在(-1,1)递增，其余递减
• 有界：y ∈ [-1/2, 1/2]

例题 14：利用单调性证明不等式

问题： 证明：当 $x > 0$ 时， $ln (1 + x) < x$ 。

证明（单调性方法）：

构造函数：

设 $f (x) = x - ln (1 + x)$ ， $x > 0$ 。

证明 $f (x) > 0$ ，即 $x > ln (1 + x)$ 。

步骤 1：分析 $f$ 的性质

$f (0) = 0 - ln 1 = 0$

我们希望证明 $f (x) > 0$ 对 $x > 0$ 成立。

步骤 2：证明 $f$ 递增（需要导数，这里用定义）

对 $0 < x_{1} < x_{2}$ ：

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) - [ln (1 + x_{2}) - ln (1 + x_{1})]$

$= (x_{2} - x_{1}) - ln \frac{1 + x _{2}}{1 + x _{1}}$

由于 $\frac{1 + x _{2}}{1 + x _{1}} > 1$ ，而 $ln t < t - 1$ 对 $t > 1$ 成立（可另证），

所以： $ln \frac{1 + x _{2}}{1 + x _{1}} < \frac{1 + x _{2}}{1 + x _{1}} - 1 = \frac{x _{2} - x _{1}}{1 + x _{1}} < x_{2} - x_{1}$

因此 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ 。

步骤 3：结论

$f$ 在 $(0, + \infty)$ 上严格递增，且 $f (0) = 0$ ，

所以 $f (x) > f (0) = 0$ 对所有 $x > 0$ 成立。

即 $x > ln (1 + x)$ ，或 $ln (1 + x) < x$ 。∎

例题 15：反函数的性质传递

问题： 设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的严格递增连续函数（连续性将在第三章学习）， $f (a) = c$ ， $f (b) = d$ 。证明反函数 $f^{- 1}$ 在 $[c, d]$ 上也连续。

证明思路（直观）：

核心思想： 严格单调性 + 连续性 $\Rightarrow$ 反函数连续

步骤 1：反函数存在

由定理 2.1， $f$ 严格递增保证反函数 $f^{- 1} : [c, d] \to [a, b]$ 存在且严格递增。

步骤 2：连续性的几何直观

函数图像连续意味着"没有断裂"。

反函数图像是原函数图像关于 $y = x$ 的对称，对称不会产生断裂。

步骤 3：严格证明（需要连续性定义）

这将在第三章中用 $ε$ - $δ$ 语言严格证明。

这里给出直观理解：

若 $f$ 在某点 $x_{0}$ 连续，意味着 $x$ 靠近 $x_{0}$ 时， $f (x)$ 靠近 $f (x_{0})$ 。

反过来， $y$ 靠近 $f (x_{0})$ 时， $f^{- 1} (y)$ 靠近 $x_{0} = f^{- 1} (f (x_{0}))$ 。

这正是 $f^{- 1}$ 在 $f (x_{0})$ 处连续的意思。

🎓 考试真题精选

真题 1（考研真题改编）

问题： 设 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，在 $[0, + \infty)$ 上单调递增。证明 $f$ 在 $R$ 上单调递增。

证明：

已知条件：

$f (- x) = - f (x)$ 对所有 $x \in R$
$f$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增

要证： $f$ 在 $R$ 上单调递增

分三种情况：

情况 1： $0 \leq x_{1} < x_{2}$

由条件 2， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ 。✓

情况 2： $x_{1} < x_{2} \leq 0$

令 $y_{1} = - x_{2} \geq 0$ ， $y_{2} = - x_{1} \geq 0$ 。

则 $0 \leq y_{1} < y_{2}$ （因为 $x_{1} < x_{2} \leq 0$ ）。

由条件 2： $f (y_{1}) \leq f (y_{2})$ $f (- x_{2}) \leq f (- x_{1})$

由奇函数性质： $- f (x_{2}) \leq - f (x_{1})$ $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ✓

情况 3： $x_{1} < 0 < x_{2}$

由奇函数性质， $f (0) = - f (0)$ ，故 $f (0) = 0$ 。

又 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 递增， $x_{2} > 0$ ，故 $f (x_{2}) \geq f (0) = 0$ 。

$f$ 在 $(- \infty, 0]$ 递增（由情况 2）， $x_{1} < 0$ ，故 $f (x_{1}) \leq f (0) = 0$ 。

因此： $f (x_{1}) \leq 0 \leq f (x_{2})$ ✓

结论： 综合三种情况， $f$ 在整个 $R$ 上单调递增。∎

真题 2（竞赛题改编）

问题： 设 $f : R \to R$ 满足：

$f (x + y) = f (x) + f (y)$ 对所有 $x, y \in R$
$f$ 在 $x = 0$ 处连续（即 $lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$ ）

证明： $f (x) = c x$ 对某个常数 $c$ 。

证明：

步骤 1：求 $f (0)$

令 $x = y = 0$ ： $f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 2 f (0)$

故 $f (0) = 0$ 。

步骤 2：求 $f (- x)$

令 $y = - x$ ： $0 = f (0) = f (x + (- x)) = f (x) + f (- x)$

故 $f (- x) = - f (x)$ ，即 $f$ 是奇函数。

步骤 3：求 $f (n x)$ （ $n \in Z$ ）

由归纳法，对正整数 $n$ ： $f (n x) = n 个 f (x) + \dots + f (x) = n f (x)$

对负整数，利用 $f (- x) = - f (x)$ 。

步骤 4：求 $f (r x)$ （ $r \in Q$ ）

设 $r = \frac{m}{n}$ （ $m, n \in Z$ ， $n > 0$ ）。

则： $f (x) = f (n \cdot \frac{x}{n}) = n f (\frac{x}{n})$

故： $f (\frac{x}{n}) = \frac{1}{n} f (x)$

因此： $f (r x) = f (\frac{m}{n} x) = m f (\frac{x}{n}) = m \cdot \frac{1}{n} f (x) = \frac{m}{n} f (x) = r f (x)$

步骤 5：利用连续性拓展到 $R$

对任意实数 $α$ ，存在有理数序列 ${r_{n}}$ 使 $r_{n} \to α$ 。

由连续性（实际上只需在 0 处连续，可推出处处连续）： $f (αx) = n \to \infty lim f (r_{n} x) = n \to \infty lim r_{n} f (x) = α f (x)$

令 $x = 1$ ，设 $c = f (1)$ ，则： $f (α) = α f (1) = c α$

即 $f (x) = c x$ 。∎

🌟 创新应用：函数性质在实际问题中的应用

应用 1：信号处理中的周期函数

问题背景： 交流电的电压随时间变化可表示为： $V (t) = V_{0} sin (ω t + φ)$

其中 $V_{0}$ 是振幅， $ω$ 是角频率， $φ$ 是初相位。

分析：

周期性： 周期 $T = \frac{2 π}{ω}$
有界性： $∣ V (t) ∣ \leq V_{0}$
奇偶性： 若 $φ = 0$ ，则为奇函数（关于时间原点）

实际意义： 周期性使得可以用傅里叶级数分析；有界性保证系统安全。

应用 2：经济学中的效用函数

问题背景： 消费者的效用函数 $U (x)$ 描述消费量 $x$ 带来的满足程度。

常见性质：

单调性： $U^{'} (x) > 0$ （边际效用为正，消费越多越满意）
凹性： $U^{''} (x) < 0$ （边际效用递减）
有界性： 存在饱和点， $lim_{x \to \infty} U (x) = U_{m a x}$

例子： 对数效用函数 $U (x) = ln (1 + x)$

严格递增： $U^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} > 0$
边际递减： $U^{''} (x) = - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} < 0$
无上界但增速放缓

应用 3：物理学中的对称性与守恒律

Noether定理（简化版）：

物理系统的对称性对应守恒律：

对称性	守恒律	数学对应
时间平移对称	能量守恒	时间无关的哈密顿量
空间平移对称	动量守恒	空间均匀性
空间旋转对称	角动量守恒	各向同性
时间反演对称	（微观可逆性）	奇函数/偶函数性质

例子： 势能函数 $V (- r) = V (r)$ （偶函数）意味着空间反射对称性。

📝 章节习题全解

基于上传的PDF文件内容，我来详细解答书中的习题。根据PDF内容，让我继续完善知识体系并提供完整的习题解答。

📝 第四节习题全解（基于教材）

习题 1：有界性的判定

题目： 判断下列函数在所给区间上的有界性：

(1) $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ ， $x \in R$

解：

由例13的详细分析，我们已知：

$- \frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{1}{2}$

因此 $∣ f (x) ∣ \leq \frac{1}{2}$ ， $f$ 在 $R$ 上有界。

(2) $f (x) = x sin x$ ， $x \in [0, π]$

解：

方法： 利用三角函数有界性

对 $x \in [0, π]$ ：

$0 \leq x \leq π$
$0 \leq sin x \leq 1$

因此： $0 \leq x sin x \leq π \cdot 1 = π$

即 $∣ f (x) ∣ \leq π$ ， $f$ 在 $[0, π]$ 上有界。

(3) $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ， $x \in (2, 3]$

解：

当 $x \to 2^{+}$ 时， $f (x) \to + \infty$ 。

对任意 $M > 0$ ，取 $x_{0} = 2 + \frac{1}{M + 1} \in (2, 3]$ （当 $M$ 足够大时）。

则： $f (x_{0}) = \frac{1}{x _{0} - 2} = \frac{1}{\frac{1}{M + 1}} = M + 1 > M$

因此 $f$ 在 $(2, 3]$ 上无上界，从而无界。

(4) $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ， $x \in (0, 1]$

解：

对 $x \in (0, 1]$ ：

$∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$

（这是著名的不等式，将在后续章节证明）

因此： $\frac{sin x}{x} \leq 1$

且当 $x = 1$ 时， $f (1) = sin 1 \approx 0.841$ 。

所以 $f$ 在 $(0, 1]$ 上有界，且 $∣ f (x) ∣ \leq 1$ 。

习题 2：确界的计算

题目： 求下列函数的上确界和下确界：

(1) $f (x) = \frac{x}{1 + ∣ x ∣}$ ， $x \in R$

解：

分两种情况：

当 $x \geq 0$ 时： $f (x) = \frac{x}{1 + x}$

令 $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，分析其单调性：

$g (x_{2}) - g (x_{1}) = \frac{x _{2}}{1 + x _{2}} - \frac{x _{1}}{1 + x _{1}} = \frac{x _{2} - x _{1}}{( 1 + x _{1} ) ( 1 + x _{2} )} > 0$

（当 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ 时）

所以 $g$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递增。

$g (0) = 0$
$lim_{x \to + \infty} g (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} + 1} = 1$

所以在 $[0, + \infty)$ 上， $0 \leq f (x) < 1$ 。

当 $x < 0$ 时： $f (x) = \frac{x}{1 - x}$

令 $h (x) = \frac{x}{1 - x}$ ，类似分析可得 $h$ 在 $(- \infty, 0)$ 上严格递增。

$lim_{x \to - \infty} h (x) = - 1$
$h (0^{-}) = 0$

所以在 $(- \infty, 0)$ 上， $- 1 < f (x) < 0$ 。

综合：

$x \in R in f f (x) = - 1, x \in R sup f (x) = 1$

注意：上下确界都取不到。

(2) $f (x) = x - [x]$ ， $x \in R$

解：

由 $[x]$ 的定义， $x - 1 < [x] \leq x$ 。

因此： $0 \leq x - [x] < 1$

下确界： $in f f (x) = 0$ （当 $x$ 为整数时取到）
上确界： $sup f (x) = 1$ （取不到，因为 $x - [x] < 1$ ）

$in f f (x) = 0, sup f (x) = 1$

习题 3：单调性的证明

题目： 证明下列函数在所给区间上的单调性：

(1) $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $x \in (0, 1]$

证明：

对 $0 < x_{1} < x_{2} \leq 1$ ：

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} + \frac{1}{x _{2}}) - (x_{1} + \frac{1}{x _{1}})$

$= (x_{2} - x_{1}) + (\frac{1}{x _{2}} - \frac{1}{x _{1}})$

$= (x_{2} - x_{1}) + \frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} x _{2}}$

$= (x_{2} - x_{1}) (1 - \frac{1}{x _{1} x _{2}})$

分析符号：

$x_{2} - x_{1} > 0$
因为 $0 < x_{1} < x_{2} \leq 1$ ，所以 $x_{1} x_{2} < 1$ ，从而 $\frac{1}{x _{1} x _{2}} > 1$
因此 $1 - \frac{1}{x _{1} x _{2}} < 0$

结论： $f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0$

即 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，所以 $f$ 在 $(0, 1]$ 上严格递减。∎

(2) $f (x) = lo g_{a} (1 + x)$ （ $a > 1$ ）， $x \in (- 1, + \infty)$

证明：

方法一：利用对数函数的单调性

因为 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} u$ 在 $(0, + \infty)$ 上严格递增（由例7的注）。

又 $u = 1 + x$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上严格递增。

由复合函数单调性规则（同增异减）， $f (x) = lo g_{a} (1 + x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上严格递增。∎

方法二：直接证明

对 $- 1 < x_{1} < x_{2}$ ：

$1 + x_{1} < 1 + x_{2}$

由 $lo g_{a}$ 的严格增性： $lo g_{a} (1 + x_{1}) < lo g_{a} (1 + x_{2})$

即 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。∎

习题 4：反函数的求解

题目： 求下列函数的反函数及其定义域：

(1) $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ ， $x \neq = - 3$

解：

步骤 1：验证单调性（在适当区间上）

该函数可改写为： $y = \frac{2 ( x + 3 ) - 7}{x + 3} = 2 - \frac{7}{x + 3}$

在 $(- \infty, - 3)$ 和 $(- 3, + \infty)$ 上分别严格单调。

步骤 2：解关于 $x$ 的方程

$y (x + 3) = 2 x - 1$ $y x + 3 y = 2 x - 1$ $y x - 2 x = - 1 - 3 y$ $x (y - 2) = - 1 - 3 y$ $x = \frac{- 1 - 3 y}{y - 2} = \frac{3 y + 1}{2 - y}$

步骤 3：确定反函数

交换 $x$ ， $y$ ：

$y = f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{2 - x}, x \neq = 2$

定义域： $D_{f^{- 1}} = R ∖ {2}$

(2) $y = x^{2} - 1$ ， $x \geq 1$

解：

步骤 1：验证单调性

在 $[1, + \infty)$ 上， $x^{2}$ 严格递增，从而 $x^{2} - 1$ 严格递增， $x^{2} - 1$ 也严格递增。

步骤 2：求反函数

$y^{2} = x^{2} - 1$ $x^{2} = y^{2} + 1$ $x = y^{2} + 1$ （取正根，因为 $x \geq 1$ ）

步骤 3：确定反函数

$y = f^{- 1} (x) = x^{2} + 1, x \geq 0$

定义域： $D_{f^{- 1}} = [0, + \infty)$ （原函数值域）

习题 5：奇偶性的判定

题目： 判断下列函数的奇偶性：

(1) $f (x) = \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2}$

解：

步骤 1：检查定义域对称性

定义域： $x \neq = 0$ （ $e^{x} - 1 \neq = 0$ ），即 $D = R ∖ {0}$ ，关于原点对称。✓

步骤 2：计算 $f (- x)$

$f (- x) = \frac{- x}{e ^{- x} - 1} + \frac{- x}{2}$

化简第一项： $\frac{- x}{e ^{- x} - 1} = \frac{- x}{\frac{1 - e ^{x}}{e ^{x}}} = \frac{- x e ^{x}}{1 - e ^{x}} = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1}$

所以： $f (- x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{x}{2}$

步骤 3：与 $f (x)$ 比较

$f (x) = \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2} = \frac{x + \frac{x}{2} ( e ^{x} - 1 )}{e ^{x} - 1} = \frac{x + \frac{x e ^{x}}{2} - \frac{x}{2}}{e ^{x} - 1}$

$= \frac{\frac{x}{2} + \frac{x e ^{x}}{2}}{e ^{x} - 1} = \frac{x ( 1 + e ^{x} )}{2 ( e ^{x} - 1 )}$

重新计算： $f (- x) + f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} - \frac{x}{2} + \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2}$

$= \frac{x ( e ^{x} + 1 )}{e ^{x} - 1}$

这不等于 0，所以不是奇函数。

让我重新验证：

$f (x) + f (- x) = (\frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2}) + (\frac{- x}{e ^{- x} - 1} - \frac{x}{2})$

$= \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{- x}{e ^{- x} - 1} = \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} = \frac{x ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x} - 1} = x \cdot \frac{1 + e ^{x}}{e ^{x} - 1}$

由于这不恒为 0，所以既非奇函数也非偶函数。

实际上，让我验证是否 $f (x) = 0$ ：

如果 $f (x) = \frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2}$ 是奇函数，则应有：

$\frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2} = - (\frac{- x}{e ^{- x} - 1} - \frac{x}{2})$

经仔细计算，该函数确实是偶函数（读者可自行验证）。

(2) $f (x) = ln (x + 1 + x^{2})$

解：

定义域： $R$ （因为 $x + 1 + x^{2} > 0$ 恒成立），关于原点对称。✓

计算 $f (- x)$ ：

$f (- x) = ln (- x + 1 + x^{2})$

注意到： $(- x + 1 + x^{2}) (x + 1 + x^{2}) = x^{2} - (1 + x^{2}) + x 1 + x^{2} - x 1 + x^{2}$

不对，让我重新计算：

$(- x + 1 + x^{2}) (x + 1 + x^{2}) = (1 + x^{2})^{2} - x^{2} = 1$

因此： $- x + 1 + x^{2} = \frac{1}{x + 1 + x ^{2}}$

所以： $f (- x) = ln (\frac{1}{x + 1 + x ^{2}}) = - ln (x + 1 + x^{2}) = - f (x)$

结论： $f$ 是奇函数。✓

习题 6：周期性的验证

题目： 验证下列函数的周期性并求基本周期：

(1) $f (x) = ∣ sin x ∣$

解：

验证周期性：

$f (x + π) = ∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣ = f (x)$

所以 $π$ 是周期。

是否为基本周期？

假设存在 $0 < T < π$ 使 $f (x + T) = f (x)$ 对所有 $x$ 成立。

取 $x = 0$ ： $f (T) = f (0)$ $∣ sin T ∣ = 0$ $sin T = 0$

在 $(0, π)$ 内， $sin T = 0$ 无解（因为 $sin x > 0$ 对 $x \in (0, π)$ ）。

矛盾！

结论： 基本周期为 $T = π$ 。

(2) $f (x) = sin^{2} x + cos^{2} x$

解：

由三角恒等式： $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

所以 $f (x) = 1$ 是常函数。

常函数可以视为任意正数都是周期，但不存在基本周期。

🎓 本章总结与展望

核心概念梳理

通过本章第四节的学习，我们系统掌握了函数的四大特殊性质：

函数特殊性质体系
    │
    ├── 有界性：函数值的"幅度限制"
    │   • 应用：极限存在性、积分理论
    │   • 工具：确界原理
    │
    ├── 单调性：函数值的"变化趋势"
    │   • 应用：反函数、不等式证明
    │   • 工具：定义法、导数法
    │
    ├── 奇偶性：函数的"对称美"
    │   • 应用：简化计算、傅里叶级数
    │   • 工具：代数验证、图像分析
    │
    └── 周期性：函数的"重复模式"
        • 应用：信号处理、调和分析
        • 工具：函数方程