收敛数列的性质：完整知识体系与思维导图

——数学分析核心理论的系统性建构

📚 知识体系总览

本章节深入探讨收敛数列的基本性质，建立从极限定义到实际应用的完整理论框架。这些性质不仅是理论数学的基石，更是后续微积分学习的核心工具。

第一部分：收敛数列的五大基本性质

一、唯一性（Uniqueness）

1.1 定理陈述

定理 2.2（唯一性）：若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则它只有一个极限。

1.2 严格证明

证明（反证法）：

设 $a$ 是 $\{a_n\}$ 的一个极限。我们证明：对任何数 $b\ne a$，$b$ 不是 $\{a_n\}$ 的极限。

【构造策略】

取 ${\epsilon }_0=\frac{|b-a|}{2}>0$（关键：取两个不同点距离的一半）

【应用定义1'】

由于 $\lim a_n=a$，按定义1'，在 $U(a;{\epsilon }_0)$ 之外至多只有 $\{a_n\}$ 中有限个项。

【几何分析】

邻域 $U(a;{\epsilon }_0)$ 和 $U(b;{\epsilon }_0)$ 是不相交的（因为它们的距离为 $|a-b|$，而半径仅为 $\frac{|a-b|}{2}$）。

    U(a; ε₀)      U(b; ε₀)
       |            |
   a-ε₀  a  a+ε₀  b-ε₀  b  b+ε₀
   [====]        [====]
   ←————— |a-b| —————→

因此，在 $U(b;{\epsilon }_0)$ 内至多只有 $\{a_n\}$ 中有限个项。

【结论】

所以 $b$ 不是 $\{a_n\}$ 的极限。这就证明了收敛数列只能有一个极限。□

1.3 深度理解

为什么取 ${\epsilon }_0=\frac{|b-a|}{2}$？

1. 避免重叠：确保两个邻域不相交
2. 对称性：对 $a$ 和 $b$ 公平
3. 最优性：这是能保证不相交的最小半径

哲学意义：

收敛意味着确定性——数列的走向是唯一的、不可改变的。这反映了数学中的决定论思想。

二、有界性（Boundedness）

2.1 定理陈述

定理 2.3（有界性）：若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 为有界数列，即存在正数 $M$，使得对一切正整数 $n$，都有 $$|a_n|\le M$$

2.2 严格证明

证明：设 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$。

【步骤1：控制尾部】

取 $\epsilon =1$（具体值不重要，取任意正数都可以），存在正数 $N$，对一切 $n>N$，有 $$|a_n-a|<1$$

即： $$a-1<a_n<a+1$$

【步骤2：列举头部】

前 $N$ 项是有限个，它们的最大值记为： $$M_1=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_N|\}$$

【步骤3：综合界定】

记 $$M=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_N|,|a-1|,|a+1|\}$$

则对一切正整数 $n$，都有 $|a_n|\le M$。□

2.3 重要注记

⚠️ 有界性只是收敛的必要条件，而非充分条件！

经典反例： $$\{(-1{)}^n\}=\{-1,1,-1,1,\dots \}$$

• 有界：$|(-1{)}^n|=1\le 1$
• 不收敛：奇偶子列极限不同

记忆口诀：

收敛必有界，有界未必敛。

2.4 几何直观

             头部（有限项）         尾部（无限项）
                                   
    ━━━━━━━━━━┃━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
    a₁ a₂ ... aₙ   | a-1 ← 几乎全在 → a+1
                   N
    ←—— M₁ ——→    ←———— M₂ ————→
    
    整体界：M = max{M₁, M₂}

三、保号性（Sign-Preserving Property）

3.1 定理陈述

定理 2.4（保号性）：若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a>0$（或 $<0$），则对任何 $a^{\prime }\in (0,a)$（或 $a^{\prime }\in (a,0)$），存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $$a_n>a^{\prime }\text{（或 }{a}_n<a^{\prime }\text{）}$$

3.2 严格证明

证明：设 $a>0$。

【构造 ε】

取 $\epsilon =a-a^{\prime }>0$（恰好是 $a$ 与 $a^{\prime }$ 之间的距离）

【应用极限定义】

由 $\lim a_n=a$，存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时： $$|a_n-a|<\epsilon =a-a^{\prime }$$

【推导不等式】

$$|a_n-a|<a-a^{\prime }⟹a-(a-a^{\prime })<a_n<a+(a-a^{\prime })$$

即： $$a^{\prime }<a_n<2a-a^{\prime }$$

特别地，$a_n>a^{\prime }$。

对于 $a<0$ 的情形，也可类似地证明。□

3.3 推论（比较原理）

推论：设 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$，$a<b$，则存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $$a_n<b_n$$

证明思路：

1. 取 $c=\frac{a+b}{2}$（中点）
2. 由保号性，$\exists N_1$，当 $n>N_1$ 时，$a_n<c$
3. 由保号性，$\exists N_2$，当 $n>N_2$ 时，$b_n>c$
4. 取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则 $a_n<c<b_n$

3.4 应用技巧

常见应用场景：

3.5 可视化理解

    极限为正数 a > 0 的情况：
    
    0    a'    a/2     a    2a
    |━━━━|━━━━━|━━━━━━|━━━━|
         ↑     ↑       ↑
         |     |       极限值
         |     常取 a/2
         任意 a' ∈ (0, a)
         
    从某项开始，所有项都在 a' 右侧（为正）

四、保不等式性（Inequality Preservation）

4.1 定理陈述

定理 2.5（保不等式性）：设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为收敛数列。若存在正数 $N_0$，使得当 $n>N_0$ 时，有 $$a_n\le b_n$$ 则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$

4.2 严格证明

证明：设 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$。

【反证法】

假设 $a>b$，则 $a-b>0$。

【应用极限定义】

任给 $\epsilon >0$（特别取 $\epsilon =\frac{a-b}{2}$），分别存在正数 $N_1$ 与 $N_2$，使得：

当 $n>N_1$ 时： $$|a_n-a|<\epsilon ⟹a_n>a-\epsilon$$

当 $n>N_2$ 时： $$|b_n-b|<\epsilon ⟹b_n<b+\epsilon$$

【导出矛盾】

取 $N=\max \{N_0,N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时： $$a_n>a-\epsilon =a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$$ $$b_n<b+\epsilon =b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$$

因此 $a_n>b_n$，这与假设 $a_n\le b_n$ 矛盾！

所以 $a\le b$。□

4.3 关键思考题

🤔 问：如果把定理2.5中的条件 $a_n\le b_n$ 换成严格不等式 $a_n<b_n$，那么能否把结论换成 $\lim a_n<\lim b_n$？

答：不能！

反例： $$a_n=0,b_n=\frac{1}{n}$$

显然 $a_n<b_n$（对所有 $n$），但： $$\lim a_n=0=\lim b_n$$

结论：

严格不等式 → 非严格不等式（等号可能出现）

4.4 重要应用

例 1：设 $a_n\ge 0$（$n=1,2,\dots$）。证明：若 $\lim a_n=a$，则 $$\lim \sqrt{a_n}=\sqrt{a}$$

证明：

【非负性保持】

由定理 2.5（取 $b_n=0$），可得 $a\ge 0$。

【情况 1】：$a=0$

由 $\lim a_n=0$，任给 $\epsilon >0$，存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时： $$a_n<{\epsilon }^2$$

因此： $$\sqrt{a_n}<\epsilon$$

即 $|\sqrt{a_n}-0|<\epsilon$，故 $\lim \sqrt{a_n}=0$。

【情况 2】：$a>0$

利用恒等式： $$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|=\frac{|a_n-a|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}\le \frac{|a_n-a|}{\sqrt{a}}$$

任给 $\epsilon >0$，由 $\lim a_n=a$，存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时： $$|a_n-a|<\sqrt{a}\cdot \epsilon$$

从而： $$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|\le \frac{|a_n-a|}{\sqrt{a}}<\epsilon$$

因此 $\lim \sqrt{a_n}=\sqrt{a}$。□

五、迫敛性（Squeeze Theorem / Sandwich Theorem）

5.1 定理陈述

定理 2.6（迫敛性/夹逼定理）：设收敛数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 都以 $a$ 为极限，数列 $\{c_n\}$ 满足：存在正数 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，有 $$a_n\le c_n\le b_n$$ 则数列 $\{c_n\}$ 收敛，且 $\lim c_n=a$。

5.2 严格证明

证明：任给 $\epsilon >0$。

【应用两端极限】

由 $\lim a_n=\lim b_n=a$，分别存在正数 $N_1$ 与 $N_2$，使得：

当 $n>N_1$ 时： $$|a_n-a|<\epsilon ⟹a-\epsilon <a_n$$

当 $n>N_2$ 时： $$|b_n-a|<\epsilon ⟹b_n<a+\epsilon$$

【综合三个条件】

取 $N=\max \{N_0,N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时，不等式 $$a-\epsilon <a_n\le c_n\le b_n<a+\epsilon$$ 同时成立。

因此： $$a-\epsilon <c_n<a+\epsilon$$

即 $|c_n-a|<\epsilon$。

这就证得 $\lim c_n=a$。□

5.3 几何直观

              夹逼原理的可视化
              
    a+ε ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
        ↗        bₙ         ↗
    a  ━┿━━━━━━━━cₙ━━━━━━━┿━━
        ↘        aₙ         ↘
    a-ε ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
    
    |←———— N₀之后 ————→|
    
    cₙ 被 aₙ 和 bₙ 夹在中间
    当两端都趋于 a 时，cₙ 无处可逃！

5.4 典型应用

例 2：求数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 的极限。

解：

【步骤1：设置辅助量】

记 $a_n=\sqrt[n]{n}=1+h_n$，这里 $h_n>0$（$n>1$）。

【步骤2：利用二项式定理】

$$n=(1+h_n{)}^n\ge 1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}{h}_n^2$$

因此： $$\frac{n(n-1)}{2}{h}_n^2\le n$$

即： $$h_n^2\le \frac{2}{n-1}$$

所以： $$0\le h_n\le \sqrt{\frac{2}{n-1}}$$

【步骤3：夹逼】

$$1\le a_n=1+h_n\le 1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}$$

由于： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)=1+0=1$$

【结论】

由迫敛性定理： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$

□

例 3：证明：${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0$（$a$ 为任意常数）。

证明（利用迫敛性）：

对于任给的正数 $\epsilon$，因为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0$（已知结论），

所以由极限的保号性定理及推论，存在 $N$，当 $n>N$ 时： $$\frac{a^n}{n!}<\epsilon$$

因此： $$0\le \frac{a^n}{\sqrt{n!}}\le \sqrt{\frac{a^n}{n!}}\to 0$$

由迫敛性： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{\sqrt{n!}}=0$$

□

第二部分：四则运算法则

六、极限的四则运算

6.1 定理陈述

定理 2.7（四则运算法则）：若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 为收敛数列，则 $\{a_n+b_n\}$，$\{a_n-b_n\}$，$\{a_n\cdot b_n\}$ 也都是收敛数列，且有：

【加减法】 $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\pm \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$

【乘法】 $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$

【数乘】

特别当 $b_n$ 为常数 $c$ 时： $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n+c)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n+c$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }(c\cdot a_n)=c\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$$

【除法】

若再假设 $b_n\ne 0$ 及 $\lim b_n\ne 0$，则 $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$ 也是收敛数列，且有： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{{\lim }_{n\to \infty }{a}_n}{{\lim }_{n\to \infty }{b}_n}$$

6.2 证明要点

证明思路：

由于 $a_n-b_n=a_n+(-1)\cdot b_n$ 及 $\frac{a_n}{b_n}=a_n\cdot \frac{1}{b_n}$，

因此我们只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可。

【1. 加法的证明】

设 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$。

任给 $\epsilon >0$，分别存在正数 $N_1$ 与 $N_2$，使得：

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2},\text{当 }n>N_1$$ $$|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2},\text{当 }n>N_2$$

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时： $$|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\le |a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

因此 $\lim (a_n+b_n)=a+b$。□

【2. 乘法的证明】

$$|a_n{b}_n-ab|=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|\le |a_n-a|\cdot |b_n|+|a|\cdot |b_n-b|$$

由收敛数列的有界性定理，存在正数 $M$，对一切 $n$ 有 $|b_n|<M$。

任给 $\epsilon >0$，存在 $N_1,N_2$，使得： $$|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2M},n>N_1$$ $$|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2(|a|+1)},n>N_2$$

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时： $$|a_n{b}_n-ab|<M\cdot \frac{\epsilon }{2M}+|a|\cdot \frac{\epsilon }{2(|a|+1)}<\epsilon$$

因此 $\lim (a_n{b}_n)=ab$。□

【3. 倒数的证明】

设 $\lim b_n=b\ne 0$。

关键：先证明 $\left|\frac{1}{b_n}\right|$ 有界。

由 $\lim b_n=b\ne 0$，根据收敛数列的保号性，存在正数 $N_0$，使得当 $n>N_0$ 时： $$|b_n|>\frac{|b|}{2}$$

因此： $$\left|\frac{1}{b_n}\right|<\frac{2}{|b|}$$

任给 $\epsilon >0$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时： $$|b_n-b|<\frac{|b{|}^2\epsilon }{2}$$

取 $N=\max \{N_0,N_1\}$，则当 $n>N$ 时： $$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b_n-b|}{|b_n|\cdot |b|}<\frac{|b_n-b|}{\frac{|b|}{2}\cdot |b|}=\frac{2|b_n-b|}{|b{|}^2}<\epsilon$$

因此 $\lim \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}$。□

6.3 典型应用

例 4：求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_m{n}^m+a_{m-1}{n}^{m-1}+\cdots +a_{1}n+a_0}{b_k{n}^k+b_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +b_{1}n+b_0}$

其中 $m\le k$，$a_m\ne 0$，$b_k\ne 0$。

解：

【分子分母同除 $n^k$】

$$\text{原式}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_m{n}^{m-k}+a_{m-1}{n}^{m-1-k}+\cdots +a_0{n}^{-k}}{b_k+b_{k-1}{n}^{-1}+\cdots +b_0{n}^{-k}}$$

【利用 $\lim \frac{1}{n^{\alpha }}=0$】

当 $\alpha >0$ 时，$\lim n^{-\alpha }=0$。

【情况 1】：$m=k$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_m+a_{m-1}{n}^{-1}+\cdots +a_0{n}^{-m}}{b_k+b_{k-1}{n}^{-1}+\cdots +b_0{n}^{-k}}=\frac{a_m+0+\cdots +0}{b_k+0+\cdots +0}=\frac{a_m}{b_k}$$

【情况 2】：$m<k$

分子首项为 $a_m{n}^{m-k}\to 0$，所有其他项也趋于 0。

分母首项为 $b_k$（常数），所以： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0+0+\cdots }{b_k+0+\cdots }=\frac{0}{b_k}=0$$

【综合结论】

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_m{n}^m+\cdots +a_0}{b_k{n}^k+\cdots +b_0}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_m}{b_k},& m=k\\ 0,& m<k\end{array}$$

□

例 5：求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^a}{(a+1{)}^n}$（其中 $a\ne -1$）

解：

【情况 1】：$a=1$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=0$$

（阶乘型已知结果）

【情况 2】：$|a|<1$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^a}{(a+1{)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(a+1{)}^n}=0\cdot 0=0$$

（因为 $|a+1|<2$）

【情况 3】：$|a|>1$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^a}{(a+1{)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(a+1{)}^n\cdot n^{-a}}=\frac{1}{\infty \cdot 0}\to 0$$

（分母指数增长）

□

例 6：求 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

解：

【分子有理化】

$$\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n}\cdot \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

$$=\sqrt{n}\cdot \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

【分子分母同除 $\sqrt{n}$】

$$=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$$

【求极限】

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$$

□

第三部分：子列理论

七、子列的概念与性质

7.1 子列的定义

定义 1：设 $\{a_n\}$ 为数列，$\{n_k\}$ 为正整数集 $\mathbb{N}$ 的无限子集，且 $$n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$$ 则数列 $$\{a_{n_k}\}=a_{n_1},a_{n_2},\dots ,a_{n_k},\dots$$ 称为数列 $\{a_n\}$ 的一个子列，记为 $\{a_{n_k}\}$。

7.2 子列的特征

重要性质：

1. 选取性：子列的各项都选自原数列
2. 顺序性：保持这些项在原数列中的先后次序
3. 无限性：子列必须包含无穷多项
4. 指标关系：$\{a_{n_k}\}$ 中的第 $k$ 项是 $\{a_n\}$ 中的第 $n_k$ 项，故总有 $n_k\ge k$

7.3 典型子列

例子：

1. 偶数子列：$\{a_{2k}\}=a_2,a_4,a_6,\dots$

   • $n_k=2k$

2. 奇数子列：$\{a_{2k-1}\}=a_1,a_3,a_5,\dots$

   • $n_k=2k-1$

3. 平方子列：$\{a_{k^2}\}=a_1,a_4,a_9,a_{16},\dots$

   • $n_k=k^2$

4. 本身：$\{a_n\}$ 本身也是自己的一个子列

   • $n_k=k$

7.4 可视化

原数列：  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇  a₈  ...
          ↓       ↓       ↓       ↓
偶数子列： a₂      a₄      a₆      a₈  ...

原数列：  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇  a₈  ...
          ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓
本身：    a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇  a₈  ...

八、子列收敛定理

8.1 定理陈述

定理 2.8：数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：$\{a_n\}$ 的任何子列都收敛。

8.2 严格证明

证明：

【充分性】

因为 $\{a_n\}$ 也是自身的一个子列（取 $n_k=k$），所以结论是显然的。

【必要性】

设 $\lim a_n=a$，$\{a_{n_k}\}$ 是 $\{a_n\}$ 的任一个子列。

对任给的正数 $\epsilon$，存在正数 $N$，当 $n>N$ 时： $$|a_n-a|<\epsilon$$

【关键观察】：由于 $n_k\ge k$（子列指标的单调性），

所以当 $k>N$ 时，必有 $n_k\ge k>N$，因此： $$|a_{n_k}-a|<\epsilon$$

这就证明了 $\{a_{n_k}\}$ 收敛（且与 $\{a_n\}$ 有相同的极限 $a$）。□

8.3 推论与应用

推论 1：若数列 $\{a_n\}$ 的任何子列都收敛，则所有这些子列与 $\{a_n\}$ 必收敛于同一个极限。

推论 2（发散判定）：

若数列 $\{a_n\}$ 满足以下任一条件，则 $\{a_n\}$ 一定发散：

1. 有一个子列发散
2. 有两个子列收敛而极限不相等

8.4 应用举例

例 A：证明 $\{(-1{)}^n\}$ 发散。

证明：

• 偶数子列：$\{(-1{)}^{2k}\}=\{1\}\to 1$
• 奇数子列：$\{(-1{)}^{2k-1}\}=\{-1\}\to -1$

两个子列极限不相等（$1\ne -1$），因此 $\{(-1{)}^n\}$ 发散。□

例 B：证明 $\left\{\sin \frac{n\pi }{2}\right\}$ 发散。

数列展开：$0,1,0,-1,0,1,0,-1,\dots$

证明：

• 子列 $\left\{\sin \frac{(4k-3)\pi }{2}\right\}=\{0\}\to 0$
• 子列 $\left\{\sin \frac{(4k-2)\pi }{2}\right\}=\{1\}\to 1$

两个子列极限不相等，因此原数列发散。□

例 C：证明 $\left\{\sin \frac{n\pi }{4}\right\}$ 发散。

这是一个更复杂的例子，子列有： $$\sin 0,\sin \frac{\pi }{4},\sin \frac{\pi }{2},\sin \frac{3\pi }{4},\sin \pi ,\dots$$

有多个不同的极限值。□

8.5 重要注意事项

⚠️ 注意：若数列 $\{a_n\}$ 满足 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n-1}=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}=A$$

则由定理可知： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A$$

证明思路：任给 $\epsilon >0$，

• 存在 $N_1$，当 $k>N_1$ 时，$|a_{2k-1}-A|<\epsilon$（奇数项）
• 存在 $N_2$，当 $k>N_2$ 时，$|a_{2k}-A|<\epsilon$（偶数项）

取 $N=2\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时，无论 $n$ 是奇是偶，都有 $|a_n-A|<\epsilon$。

第四部分：思维导图与知识网络

📊 完整思维导图

                    收敛数列的性质
                          |
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        |                 |                 |
    基本性质          运算性质          子列理论
        |                 |                 |
    ┌───┴───┬───┬───┐    |            ┌────┴────┐
    |       |   |   |    |            |         |
  唯一性 有界性 保号 保不  四则运算    子列定义  收敛定理
         必要条件   等式                        2.8
    |       |   |   |    |            |         |
  定理2.2 定理2.3 2.4 2.5 定理2.7   选取+顺序   充要条件
    |       |   |   |    |            |         |
  反证法  头尾法  取中点  反证   加减乘除    n_k≥k    任何子列
    |       |   |   |    |            |         |
  ε₀=|a-b|  M    ε=a-a'  利用三角    倒数需   无限子集  同一极限
    2                   不等式      非零                |
                        |           |              ┌────┴────┐
                    典型应用      典型应用        应用1    应用2
                        |           |              |         |
                    例1:√a_n    例4-6:求极限    发散判定  奇偶子列
                    迫敛定理                      |
                    定理2.6                   子列发散
                        |                     或
                    夹逼原理                极限不同
                        |
                    例2:ⁿ√n=1
                    例3:aⁿ/√n!


              证明技巧体系
                    |
        ┌───────────┼───────────┐
        |           |           |
    反证法      构造法      夹逼法
        |           |           |
    唯一性     保号性      迫敛性
    保不等式    倒数        ⁿ√n

🎯 知识关系图谱

graph TB
    A[收敛数列的性质] --> B[基本性质]
    A --> C[运算性质]
    A --> D[子列理论]
    
    B --> B1[唯一性 2.2]
    B --> B2[有界性 2.3]
    B --> B3[保号性 2.4]
    B --> B4[保不等式性 2.5]
    B --> B5[迫敛性 2.6]
    
    B1 --> E1[反证法: ε₀=|a-b|/2]
    B2 --> E2[头尾分离法]
    B3 --> E3[取 ε=a-a']
    B4 --> E4[反证+三角不等式]
    B5 --> E5[夹逼原理]
    
    B2 --> F1[必要非充分]
    B2 --> F2[反例: -1^n有界但不收敛]
    
    B3 --> G1[推论: 比较原理]
    B3 --> G2[取 a'=a/2 常用]
    
    B5 --> H1[例2: lim ⁿ√n = 1]
    B5 --> H2[例3: lim aⁿ/√n! = 0]
    
    C --> C1[加减法]
    C --> C2[乘法]
    C --> C3[除法]
    
    C1 --> I1[分别控制 ε/2]
    C2 --> I2[利用有界性]
    C3 --> I3[先证倒数, 需保号性]
    
    C --> J1[例4: 有理分式极限]
    C --> J2[例5: 指数比幂次]
    C --> J3[例6: 根式化简]
    
    D --> D1[子列定义]
    D --> D2[收敛定理 2.8]
    
    D1 --> K1[n_k ≥ k]
    D1 --> K2[保持顺序]
    D1 --> K3[偶数/奇数子列]
    
    D2 --> L1[充要条件]
    D2 --> L2[任何子列收敛]
    D2 --> L3[同一极限]
    
    D2 --> M1[发散判定1: 子列发散]
    D2 --> M2[发散判定2: 极限不同]
    
    M1 --> N1[例: sin nπ/2]
    M2 --> N2[例: -1^n]
    
    style A fill:#ff6b6b
    style B fill:#4ecdc4
    style C fill:#95e1d3
    style D fill:#f9ca24
    style B5 fill:#ff9ff3

第五部分：定理关系与逻辑链

九、定理依赖关系

9.1 逻辑先后顺序

极限定义 (ε-N)
    ↓
唯一性定理 2.2 ←───────┐
    ↓                  |
有界性定理 2.3         |
    ↓                  |
保号性定理 2.4         |  相互独立
    ↓                  |  (都基于定义)
保不等式性 2.5 ←───────┘
    ↓
迫敛性定理 2.6 (需要 2.5)
    ↓
四则运算 2.7 (需要 2.3, 2.4)
    ↓
子列定理 2.8 (基于定义)

9.2 证明技巧地图

十、常见错误与误区

10.1 有界性的误用

❌ 错误：认为有界数列一定收敛

反例：$\{(-1{)}^n\}$ 有界但发散

✅ 正确：收敛 $\Rightarrow$ 有界（单向推理）

10.2 保不等式性的误用

❌ 错误：认为 $a_n<b_n\Rightarrow \lim a_n<\lim b_n$

反例：$a_n=0$，$b_n=\frac{1}{n}$，有 $0<\frac{1}{n}$ 但 $\lim 0=\lim \frac{1}{n}=0$

✅ 正确：$a_n\le b_n\Rightarrow \lim a_n\le \lim b_n$（等号可能出现）

10.3 四则运算的前提

❌ 错误：认为 $\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{\lim b_n}$ 总成立

问题：需要 $\lim b_n\ne 0$ 且 $b_n\ne 0$

✅ 正确：先验证分母极限非零

10.4 子列的选取

❌ 错误：认为有限个项可以构成子列

✅ 正确：子列必须包含无穷多项

第六部分：综合应用与进阶

十一、综合证明题选讲

问题 1：交错数列的收敛条件

问题：设 $\lim x_n=a$，$\lim y_n=b$，定义 $$z_n=\{\begin{array}{ll}{x}_n,& n\text{ 为奇数}\\ y_n,& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

证明：$\{z_n\}$ 收敛 $⟺$ $a=b$。

证明：

【充分性】（$a=b\Rightarrow \{z_n\}$ 收敛）

设 $a=b$。任给 $\epsilon >0$：

• $\{x_n\}$ 在 $U(a;\epsilon )$ 外至多有限项
• $\{y_n\}$ 在 $U(a;\epsilon )$ 外至多有限项

因此 $\{z_n\}$ 在 $U(a;\epsilon )$ 外也至多有限项（有限+有限=有限）。

所以 $\lim z_n=a$。

【必要性】（$\{z_n\}$ 收敛 $\Rightarrow$ $a=b$）

设 $\lim z_n=c$。

• 奇数子列 $\{z_{2k-1}\}=\{x_k\}$ 是 $\{z_n\}$ 的子列
• 偶数子列 $\{z_{2k}\}=\{y_k\}$ 是 $\{z_n\}$ 的子列

由子列定理，两个子列都收敛于 $c$，即： $$a=\lim x_n=c,b=\lim y_n=c$$

因此 $a=b$。□

问题 2：递推数列的收敛性

问题：设 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$（$n\ge 1$）。证明 $\{a_n\}$ 收敛并求其极限。

证明：

【步骤 1：单调性】

猜测：$\{a_n\}$ 单调递增。

• $a_1=1<2=\sqrt{2+1}<a_2$
• 若 $a_n<a_{n+1}$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+a_{n+1}}=a_{n+2}$

由数学归纳法，$\{a_n\}$ 单调递增。

【步骤 2：有界性】

猜测：$a_n\le 2$（上界）。

• $a_1=1\le 2$
• 若 $a_n\le 2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\le \sqrt{2+2}=2$

由数学归纳法，$a_n\le 2$。

【步骤 3：应用单调有界定理】

（这是下一章内容，这里先用）

单调递增且有上界 $\Rightarrow$ 收敛。

设 $\lim a_n=a$，则： $$\lim a_{n+1}=\lim \sqrt{2+a_n}$$

由连续性（或例1）： $$a=\sqrt{2+a}$$

解方程： $$a^2=2+a⟹a^2-a-2=0⟹(a-2)(a+1)=0$$

因为 $a_n>0$，所以 $a=2$。

答：$\lim a_n=2$。□

十二、学习路径与建议

12.1 学习阶段

第一阶段：理解定理（1周）

• 熟记五大基本性质的陈述
• 理解每个定理的几何意义
• 掌握典型应用例题

第二阶段：掌握证明（2周）

• 逐字推敲每个定理的证明
• 总结证明技巧模式
• 练习类似定理的证明

第三阶段：综合应用（2周）

• 求复杂极限
• 证明收敛性
• 处理递推数列

12.2 重点难点

十三、习题2.2精选

问题选讲

**（1）**求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{4n^3+2n+3}{n^3+1}$

解： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^3+2n+3}{n^3+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}=\frac{4+0+0}{1+0}=4$$

**（2）**求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2{)}^{n+1}+3^{n+1}}$

解： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2{)}^{n+1}+3^{n+1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{3}\cdot \frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2{)}^n+3^n}=\frac{1}{3}$$

（因为分子分母同除 $3^n$ 后，${\left(\frac{-2}{3}\right)}^n\to 0$）

**（4）**求 ${\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n^2+n}-n)$

解： $$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

总结与展望

核心知识点清单

金句摘录

"收敛的数列是有界的，但有界的数列未必收敛——这是必要条件与充分条件的经典案例。"

"保号性告诉我们：极限的符号会传递到几乎所有的项上。"

"夹逼定理是求极限的利器——当直接计算困难时，不妨寻找两个简单的数列来夹住它。"

"子列是观察数列的窗口——通过子列的行为，我们可以判断整体的收敛性。"

下一步学习方向

1. 数列极限的判定准则（单调有界定理、Cauchy准则）
2. 函数极限（从数列到函数的推广）
3. 上下极限（更精细的刻画）
4. 级数理论（无穷求和）

本知识体系完整覆盖了收敛数列的所有重要性质，从定理陈述到严格证明，从典型应用到综合提升，适合作为数学分析课程的学习指南或复习材料。 📚✨