习题 2.1 详细解答

让我用耐心、教育性的方式为您逐题解答，帮助您深入理解数列极限的 ε-N 定义。

📝 第1题：理解 N 与 ε 的关系

题目：设 $a_{n} = \frac{1}{n}$ ， $n = 1, 2, \dots$ ， $a = 0$ 。

(1) 对下列 ε 分别求出极限定义中相应的 N

给定： $ε_{1} = 0.1$ ， $ε_{2} = 0.01$ ， $ε_{3} = 0.001$

💡 解题思路

我们需要证明 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，即找到 $N$ ，使得当 $n > N$ 时： $\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} < ε$

解这个不等式： $\frac{1}{n} < ε ⟹ n > \frac{1}{ε}$

因此，我们可以取： $N = [\frac{1}{ε}]$ （取整数部分即可）

📊 具体计算

① 当 $ε_{1} = 0.1$ 时： $N_{1} = [\frac{1}{0.1}] = [10] = 10$

验证：当 $n > 10$ 时， $\frac{1}{n} < \frac{1}{10} = 0.1$ ✓

② 当 $ε_{2} = 0.01$ 时： $N_{2} = [\frac{1}{0.01}] = [100] = 100$

验证：当 $n > 100$ 时， $\frac{1}{n} < \frac{1}{100} = 0.01$ ✓

③ 当 $ε_{3} = 0.001$ 时： $N_{3} = [\frac{1}{0.001}] = [1000] = 1000$

验证：当 $n > 1000$ 时， $\frac{1}{n} < \frac{1}{1000} = 0.001$ ✓

ε	N	含义
0.1	10	第10项之后， $a_{n}$ 与 0 的距离 < 0.1
0.01	100	第100项之后， $a_{n}$ 与 0 的距离 < 0.01
0.001	1000	第1000项之后， $a_{n}$ 与 0 的距离 < 0.001

(2) 对 $ε_{2}$ ， $ε_{3}$ 可找到相应的 N，这是否证明了 $a_{n}$ 趋于 0？应该怎样做才对？

⚠️ 关键理解

答：不能证明！

原因分析：

定义要求："对任给的 $ε > 0$ "——不是对某几个特定的 ε
找到两个例子：只是验证了定义在某些情况下成立
遗漏无穷多个：还有 $ε = 0.0001$ 、 $ε = \frac{1}{π}$ 、 $ε = 1 0^{- 100}$ 等无穷多个情况

✅ 正确做法

需要证明：对任意的 $ε > 0$ （不管 ε 是多少），都能找到相应的 $N$ 。

标准证明：

证明：任给 $ε > 0$ ，

由于 $\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$ ，为使 $\frac{1}{n} < ε$ ，只需： $n > \frac{1}{ε}$

取 $N = [\frac{1}{ε}]$ （或 $N = [\frac{1}{ε}] + 1$ ），

则当 $n > N$ 时，有： $\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq ε$

因此， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . □

要点：用含 ε 的表达式给出 $N = N (ε)$ ，而不是具体数值。

(3) 对给定的 ε 是否只能找到一个 N？

💡 答案：不是！N 不唯一！

理由：

定义只要求存在性：只要存在一个 $N$ 满足条件即可
更大的也行：如果 $N = 100$ 满足，那么 $N = 101, 102, \dots$ 也都满足

🔍 具体例子

对于 $ε = 0.01$ ：

可以取 $N = 100$ （因为 $n > 100 ⟹ \frac{1}{n} < 0.01$ ）
也可以取 $N = 200$ （因为 $n > 200 ⟹ \frac{1}{n} < 0.01$ ）
甚至取 $N = 10000$ （只要满足条件都可以）

📌 原则

求 N 时：通常取最小的满足条件的 N（便于计算）
定义中：不要求 N 唯一，只要求存在

比喻：就像说"我跑得快"，你证明能在10秒内跑完，也可以说在20秒内跑完，都是对的，但10秒更精确。

【步骤1：估计】 $\frac{3 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} - 3 = \frac{3 n ^{2} - 1 - 3 ( n ^{2} + 1 )}{n ^{2} + 1} = \frac{3 n ^{2} - 1 - 3 n ^{2} - 3}{n ^{2} + 1} = \frac{- 4}{n ^{2} + 1} = \frac{4}{n ^{2} + 1}$

【步骤2：放缩】 $\frac{4}{n ^{2} + 1} < \frac{4}{n ^{2}}$

当 $n \geq 2$ 时（为了进一步放缩）： $\frac{4}{n ^{2}} \leq \frac{4}{n}$

更保守地，为了便于计算，我们直接用： $\frac{4}{n ^{2} + 1} < \frac{4}{n} (n \geq 1)$

（也可以用 $\frac{4}{n ^{2} + 1} < \frac{6}{n}$ 当 $n \geq 2$ ）

【步骤3：求 N】

为使 $\frac{4}{n} < ε$ ，只需： $n > \frac{4}{ε}$

【步骤4：取 N】

取 $N = [\frac{4}{ε}] + 1$ （或简单取 $N = \frac{4}{ε}$ ）

【步骤5：验证】

当 $n > N$ 时，由上述估计： $\frac{3 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} - 3 = \frac{4}{n ^{2} + 1} < \frac{4}{n} < ε$

因此， $lim_{n \to \infty} \frac{3 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} = 3$ . □

(2) 证明： $lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$

证明：任给 $ε > 0$ ，

【估计】 $\frac{n}{n + 1} - 1 = \frac{n - ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$

【放缩】 $\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}$

【求 N】

为使 $\frac{1}{n} < ε$ ，需： $n > \frac{1}{ε}$

【取 N 并验证】

取 $N = [\frac{1}{ε}]$ ，则当 $n > N$ 时： $\frac{n}{n + 1} - 1 = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} < ε$

因此， $lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$ . □

(3) 证明： $lim_{n \to \infty} \frac{2 ^{n}}{n !} = 0$

这是阶乘型极限，需要特殊技巧。

证明：任给 $ε > 0$ ，

【关键想法】：阶乘增长远快于指数增长。

取 $k = 4$ （选择一个合适的分界点），当 $n > k = 4$ 时：

$\frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{2 ^{4} \cdot 2 ^{n - 4}}{4 ! \cdot 5 \cdot 6 \dots n}$

【放缩】

对于 $n > 4$ ： $\frac{2 ^{n}}{n !} \leq \frac{2 ^{4}}{4 !} \cdot \frac{2 ^{n - 4}}{5 ^{n - 4}} = \frac{16}{24} \cdot (\frac{2}{5})^{n - 4}$

设 $q = \frac{2}{5} < 1$ ， $K = \frac{2}{3}$ ，则： $\frac{2 ^{n}}{n !} \leq K \cdot q^{n - 4} = K \cdot q^{- 4} \cdot q^{n}$

【利用已知】

由例4知： $lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$ （ $∣ q ∣ < 1$ ），

因此存在 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时： $q^{n} < \frac{ε}{K \cdot q ^{- 4}}$

【取 N】

取 $N = max {4, N_{0}}$ ，则当 $n > N$ 时： $\frac{2 ^{n}}{n !} - 0 = \frac{2 ^{n}}{n !} < K \cdot q^{- 4} \cdot q^{n} < ε$

因此， $lim_{n \to \infty} \frac{2 ^{n}}{n !} = 0$ . □

🔍 简化方法（更直接）：

$\frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n}$

当 $n \geq 5$ 时： $\frac{2 ^{n}}{n !} = 有界 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot 每项 < \frac{2}{5} \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{6} \dots \frac{2}{n}$

$\leq \frac{16}{3} \cdot (\frac{2}{5})^{n - 4} \to 0$

(4) 证明： $lim_{n \to \infty} sin \frac{1}{n} = 0$

证明：任给 $ε > 0$ ，

【利用不等式】

对于 $x \in (0, 1)$ ，有： $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$

因此： $sin \frac{1}{n} - 0 = sin \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}$

【求 N】

为使 $\frac{1}{n} < ε$ ，需 $n > \frac{1}{ε}$ 。

取 $N = [\frac{1}{ε}]$ ，则当 $n > N$ 时： $sin \frac{1}{n} - 0 \leq \frac{1}{n} < ε$

因此， $lim_{n \to \infty} sin \frac{1}{n} = 0$ . □

(5) 证明： $lim_{n \to \infty} \frac{1}{a ^{n}} = 0$ （ $a > 1$ ）

证明：任给 $ε > 0$ ，

【方法一：二项式不等式】

设 $h = a - 1 > 0$ ，则 $a = 1 + h$ 。

由二项式定理： $(1 + h)^{n} = 1 + nh + \frac{n ( n - 1 )}{2} h^{2} + \dots \geq 1 + nh$

因此： $\frac{1}{a ^{n}} = \frac{1}{( 1 + h ) ^{n}} \leq \frac{1}{1 + nh} < \frac{1}{nh}$

【求 N】

为使 $\frac{1}{nh} < ε$ ，需： $n > \frac{1}{ε h} = \frac{1}{ε ( a - 1 )}$

取 $N = [\frac{1}{ε ( a - 1 )}] + 1$ 。

【验证】

当 $n > N$ 时： $\frac{1}{a ^{n}} - 0 < \frac{1}{nh} < ε$

【方法二：对数法】

$\frac{1}{a ^{n}} < ε ⟺ a^{n} > \frac{1}{ε} ⟺ n ln a > ln \frac{1}{ε} = - ln ε$

因为 $a > 1$ ，所以 $ln a > 0$ ，因此： $n > \frac{- ln ε}{ln a}$

取 $N = [\frac{- l n ε}{l n a}] + 1$ 即可。□

📝 第3题：利用已知结果求极限

根据例2、例4、例5的结果：

例2： $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{α}} = 0$ ( $α > 0$ )
例4： $lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$ ( $∣ q ∣ < 1$ )
例5： $lim_{n \to \infty} n a = 1$ ( $a > 0$ )

(1) $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}}$

解：由例2，取 $α = 2 > 0$ ，得： $n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0$

答：这是无穷小数列。✓

(2) $lim_{n \to \infty} n 3$

解：由例5，取 $a = 3 > 0$ ，得： $n \to \infty lim n 3 = 1$

答：不是无穷小数列（极限不为0）。✗

(3) $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$

解：由例2，取 $α = \frac{1}{2} > 0$ ，得： $n \to \infty lim \frac{1}{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{1/2}} = 0$

答：这是无穷小数列。✓

(4) $lim_{n \to \infty} \frac{1}{3 n}$

解：由例2，取 $α = \frac{1}{3} > 0$ ，得： $n \to \infty lim \frac{1}{3 n} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{1/3}} = 0$

答：这是无穷小数列。✓

(5) $lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 ^{n}}$

解：由例4，取 $q = \frac{1}{2}$ （ $∣ q ∣ = \frac{1}{2} < 1$ ），得： $n \to \infty lim \frac{1}{2 ^{n}} = n \to \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$

答：这是无穷小数列。✓

(6) $lim_{n \to \infty} 1 0^{- n}$

解： $1 0^{- n} = \frac{1}{1 0 ^{n}} = (\frac{1}{10})^{n}$

由例4，取 $q = \frac{1}{10}$ （ $∣ q ∣ < 1$ ），得： $n \to \infty lim 1 0^{- n} = 0$

答：这是无穷小数列。✓

(7) $lim_{n \to \infty} n n$

解：设 $a_{n} = n n = n^{1/ n}$ ，可以写成： $n n = n 1 \cdot n = n n$

方法：设 $α_{n} = n n - 1 \geq 0$ （因为 $n \geq 1$ ），则： $n = (1 + α_{n})^{n} \geq 1 + n α_{n}$

（由二项式不等式）

因此： $α_{n} \leq \frac{n - 1}{n} < \frac{n}{n} = 1$

即： $0 \leq n n - 1 \leq \frac{n - 1}{n}$

更精确的估计：

$n = (1 + α_{n})^{n} \geq \frac{n ( n - 1 )}{2} α_{n}^{2}$

因此： $α_{n}^{2} \leq \frac{2}{n - 1} ⟹ α_{n} \leq \frac{2}{n - 1} \to 0$

所以： $n \to \infty lim n n = n \to \infty lim (1 + α_{n}) = 1 + 0 = 1$

答：不是无穷小数列（极限为1）。✗

📝 第4题：极限的保持性

题目：证明：若 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，则对任一正整数 $k$ ，有 $lim_{n \to \infty} a_{n + k} = a$ 。

💡 几何意义

这说明：把数列向前或向后平移有限项，不改变极限。

📝 证明

证明：任给 $ε > 0$ ，

由 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时： $∣ a_{n} - a ∣ < ε$

现在考虑数列 ${a_{n + k}}$ 。

令 $m = n + k$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $m = n + k > N_{0} + k > N_{0}$ 。

因此： $∣ a_{n + k} - a ∣ = ∣ a_{m} - a ∣ < ε$

取 $N = N_{0}$ （或任何大于等于 $N_{0}$ 的数），

当 $n > N$ 时， $∣ a_{n + k} - a ∣ < ε$ 。

因此， $lim_{n \to \infty} a_{n + k} = a$ . □

📌 本质：改变有限项不影响极限（例9的结论）。

📝 第5题：用定义1'证明发散

定义1'回顾：数列 ${a_{n}}$ 收敛于 $a$ $⟺$ 任给 $ε > 0$ ，在 $U (a; ε)$ 之外至多有有限项。

发散判定：若存在 $ε_{0} > 0$ ，使得在 $U (a; ε_{0})$ 之外有无穷多项，则 ${a_{n}}$ 不以 $a$ 为极限。

(1) 证明：数列 ${\frac{n}{n + 1}}$ 不以 1 为极限

注意：这是个陷阱题！实际上这个数列确实以1为极限（见第2(2)题）。

题目可能是要证明不以其他数为极限，或者原题有误。

假设题目是：证明不以 $\frac{1}{2}$ 为极限。

证明：取 $ε_{0} = \frac{1}{4}$ ，则： $U (\frac{1}{2}; \frac{1}{4}) = {x : x - \frac{1}{2} < \frac{1}{4}} = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$

对于 $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ，当 $n \geq 3$ 时： $a_{n} = \frac{n}{n + 1} \geq \frac{3}{4}$

因此，从第3项开始，所有项都不在 $U (\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$ 内（有无穷多项在外）。

所以数列不以 $\frac{1}{2}$ 为极限。□

(2) 证明：数列 ${n (- 1)^{n}}$ 发散

数列： $- 1, 2, - 3, 4, - 5, 6, \dots$

证明：对任意 $a \in R$ ，我们证明数列不以 $a$ 为极限。

取 $ε_{0} = 1$ 。

情况讨论：

① 若 $a \geq 0$ ：

所有奇数项 $a_{2 k - 1} = - (2 k - 1) \to - \infty$
从某项开始，所有奇数项都 $< a - 1$ （在 $U (a; 1)$ 外）
有无穷多项在外 → 不以 $a$ 为极限

② 若 $a < 0$ ：

所有偶数项 $a_{2 k} = 2 k \to + \infty$
从某项开始，所有偶数项都 $> a + 1$ （在 $U (a; 1)$ 外）
有无穷多项在外 → 不以 $a$ 为极限

综上，数列不以任何数为极限，即发散。□

📝 第6题：应用定理2.1

定理2.1： ${a_{n}}$ 收敛于 $a$ $⟺$ ${a_{n} - a}$ 为无穷小数列。

证明定理2.1

证明：

充分性（ $\Leftarrow$ ）：

设 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - a) = 0$ ，即 ${a_{n} - a}$ 为无穷小数列。

任给 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时： $∣ a_{n} - a - 0∣ = ∣ a_{n} - a ∣ < ε$

因此 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 。

必要性（ $\Rightarrow$ ）：

设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 。

任给 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时： $∣ a_{n} - a ∣ < ε$

即 $∣ (a_{n} - a) - 0∣ < ε$ ，

因此 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - a) = 0$ 。□

应用：证明 $lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1$

证明：

$a_{n} - 1 = \frac{n + 1}{n} - 1 = \frac{n + 1 - n}{n} = \frac{1}{n}$

由例2知， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，

即 ${a_{n} - 1}$ 为无穷小数列。

由定理2.1， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ 。□

📝 第7题：判断数列类型

(1) ${[1 + (- 1)^{n}] n}$

数列展开： $0, 22, 0, 4, 0, 26, \dots$

奇数项： $a_{2 k - 1} = 0$
偶数项： $a_{2 k} = 2 2 k \to \infty$

判断：

✗ 不是有界数列（偶数项无界）
✓ 是无界数列
✗ 不是无穷大数列（奇数项始终为0，不满足定义）

(2) ${∣ sin n ∣}$

性质： $0 \leq ∣ sin n ∣ \leq 1$

判断：

✓ 是有界数列（界为1）
✗ 不是无界数列
✗ 不是无穷大数列

(3) ${(- 1)^{n} n^{2}}$

数列展开： $- 1, 4, - 9, 16, - 25, 36, \dots$

判断：

✗ 不是有界数列
✓ 是无界数列
✓ 是无穷大数列（ $∣ a_{n} ∣ = n^{2} \to \infty$ ）
✗ 不是正/负无穷大（符号交替）

📝 第8题：绝对值的极限

题目：证明：若 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，则 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = ∣ a ∣$ 。当且仅当 $a$ 为何值时反之也成立？

正向证明

证明：任给 $ε > 0$ ，

由 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时： $∣ a_{n} - a ∣ < ε$

由三角不等式： $∣∣ a_{n} ∣ - ∣ a ∣∣ \leq ∣ a_{n} - a ∣ < ε$

因此 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = ∣ a ∣$ 。□

反向成立条件

问题：何时 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = ∣ a ∣$ $⟹$ $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ？

答：当且仅当 $a = 0$ 时。

证明：

充分性（ $a = 0$ 时反之成立）：

若 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = 0$ ，则： $0 \leq ∣ a_{n} - 0∣ = ∣ a_{n} ∣ \to 0$

因此 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。

必要性（ $a \neq = 0$ 时反之不成立，举反例）：

取 $a = 1$ ，数列 $a_{n} = (- 1)^{n}$ 。

则 $∣ a_{n} ∣ = 1 \to 1 = ∣ a ∣$ ，但 ${a_{n}}$ 发散（不收敛于1）。

所以当 $a \neq = 0$ 时，反之不一定成立。□

📝 第9题：综合证明

(1) 证明： $lim_{n \to \infty} (n + 1 - n) = 0$

证明：

【分子有理化】 $n + 1 - n = \frac{( n + 1 - n ) ( n + 1 + n )}{n + 1 + n} = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}$

【放缩】 $0 < \frac{1}{n + 1 + n} < \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{1/2}}$

【夹逼】

由例2， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{1/2}} = 0$ ，

因此 $lim_{n \to \infty} (n + 1 - n) = 0$ 。□

(2) 证明： $lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n ^{2}} = 0$

证明：

【求和公式】 $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

因此： $\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}$

【估计】 $\frac{n + 1}{2 n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2 n}$

任给 $ε > 0$ ，为使 $\frac{1}{2 n} < ε$ ，需： $n > \frac{1}{2 ε}$

取 $N = [\frac{1}{2 ε}] + 1$ 。

【验证】

当 $n > N$ 时： $\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2 n} < ε$

注意：极限是 $\frac{1}{2}$ ，不是 0！

如果题目要求极限为 0，应该是 $\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{3}}$ 或类似形式。

(3) 证明： $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ ，其中

$a_{n} = {\frac{n + 1}{n}, \frac{n ^{2} + n}{n ^{2}}, n 为偶数 n 为奇数$

证明：

【分析两个子数列】

偶数项： $a_{2 k} = \frac{2 k + 1}{2 k} = 1 + \frac{1}{2 k} \to 1$
奇数项： $a_{2 k - 1} = \frac{( 2 k - 1 ) ^{2} + ( 2 k - 1 )}{( 2 k - 1 ) ^{2}} = 1 + \frac{1}{2 k - 1} \to 1$

【统一估计】

$∣ a_{n} - 1∣ = {\frac{1}{2 k}, \frac{1}{2 k - 1}, n = 2 k n = 2 k - 1 < \frac{2}{n}$

（因为 $n \geq 2 k - 1$ 或 $n = 2 k$ ）

【求 N】

任给 $ε > 0$ ，为使 $\frac{2}{n} < ε$ ，需 $n > \frac{2}{ε}$ 。

取 $N = [\frac{2}{ε}] + 1$ ，当 $n > N$ 时： $∣ a_{n} - 1∣ < \frac{2}{n} < ε$

因此 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ 。□

📝 第10题：绝对值与极限

题目：设 $a_{n} \neq = 0$ 。证明： $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 的充要条件是 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = 0$ 。

证明

必要性（ $\Rightarrow$ ）：

若 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ，由第8题已证： $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = ∣0∣ = 0$

充分性（ $\Leftarrow$ ）：

若 $lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣ = 0$ ，

任给 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时： $∣∣ a_{n} ∣ - 0∣ < ε ⟹ ∣ a_{n} ∣ < ε$

因此： $∣ a_{n} - 0∣ = ∣ a_{n} ∣ < ε$

所以 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。□

📌 关键：当极限为 0 时， $∣ a_{n} ∣ \to 0$ 与 $a_{n} \to 0$ 等价。

🎯 总结：解题技巧回顾

题型	核心技巧	典型例题
幂次倒数	直接解不等式 $\frac{1}{n ^{α}} < ε$	第2(2)题
有理分式	分子分母同除最高次项，适当放缩	第2(1)题
指数型	二项式不等式或对数法	第2(5)题
三角函数	利用 $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$	第2(4)题
阶乘型	分段估计，利用等比数列	第2(3)题
根式化简	分子/分母有理化	第9(1)题
交错数列	分奇偶项讨论	第9(3)题

希望这份详细解答能帮助您深入理解数列极限的 ε-N 定义！有任何疑问欢迎继续提问。📚✨

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