📚 第十二章数项级数

Complete Knowledge System & Mind Map

CHAPTER 12: NUMERICAL SERIES

从有限到无穷的跨越
从相加到求和的革命

"Infinite series, though they may look intimidating,
are among the most beautiful creations of the human mind."

"无穷级数，虽然看似令人生畏，
却是人类心智最美的创造之一。"

📊 核心知识体系全景图

第十二章：数项级数
│
├─── §12.1 级数的敛散性
│    ├─ 基本概念
│    │  ├─ 无穷级数的定义
│    │  ├─ 部分和数列
│    │  └─ 收敛与发散的定义
│    │
│    ├─ 基本定理
│    │  ├─ 柯西收敛准则（充要条件）
│    │  ├─ 收敛的必要条件（项趋于零）
│    │  ├─ 线性性质定理
│    │  ├─ 增删有限项定理
│    │  └─ 加括号定理
│    │
│    └─ 经典例题
│       ├─ 几何级数（等比级数）
│       ├─ 调和级数（发散）
│       └─ 伸缩级数
│
├─── §12.2 正项级数
│    ├─ 基本判别法
│    │  ├─ 比较判别法（大收小收，小散大散）
│    │  ├─ 比值判别法（D'Alembert判别法）
│    │  ├─ 根值判别法（Cauchy判别法）
│    │  └─ 积分判别法（Cauchy积分判别法）
│    │
│    ├─ 高级判别法
│    │  ├─ Raabe判别法（比值法的精细化）
│    │  ├─ Gauss判别法
│    │  └─ 对数判别法
│    │
│    └─ 重要例子
│       ├─ p-级数 Σ1/n^p
│       ├─ 广义p-级数
│       └─ 阶乘级数
│
├─── §12.3 一般项级数
│    ├─ 绝对收敛与条件收敛
│    │  ├─ 绝对收敛的定义
│    │  ├─ 条件收敛的定义
│    │  └─ 绝对收敛级数的性质
│    │
│    ├─ 交错级数
│    │  ├─ Leibniz判别法
│    │  ├─ 交错调和级数
│    │  └─ 余项估计
│    │
│    ├─ Abel-Dirichlet判别法
│    │  ├─ Abel变换（分部求和公式）
│    │  ├─ Abel判别法
│    │  └─ Dirichlet判别法
│    │
│    └─ 级数的重排
│       ├─ 绝对收敛级数的重排不变性
│       ├─ 条件收敛级数的Riemann重排定理
│       └─ Cauchy乘积
│
└─── §12.4 无穷乘积（选学）
     ├─ 无穷乘积的收敛性
     └─ 与级数的关系

§12.1 级数的敛散性

概念	本质
级数 $\sum u_{n}$	数列 ${u_{n}}$ 的另一种表现形式
部分和 $S_{n}$	有限和，有明确意义
级数收敛	部分和数列 ${S_{n}}$ 收敛
级数的和 $S$	部分和数列的极限

二、经典例题分析

例1：几何级数（等比级数）

问题：讨论几何级数 $n = 0 \sum \infty a q^{n} = a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n} + \dots (a \neq = 0)$ 的敛散性。

解析

第1步：计算部分和

当 $q \neq = 1$ 时，利用等比数列求和公式： $S_{n} = a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n - 1} = a \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$

当 $q = 1$ 时： $S_{n} = na$

第2步：讨论极限

(i) $∣ q ∣ < 1$ 时： $n \to \infty lim S_{n} = n \to \infty lim a \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} = \frac{a}{1 - q}$ （因为 $∣ q ∣ < 1$ 时 $q^{n} \to 0$ ）

级数收敛，和为 $\frac{a}{1 - q}$

(ii) $∣ q ∣ > 1$ 时： $∣ q^{n} ∣ \to \infty \Rightarrow S_{n} \to \infty$ 级数发散

(iii) $q = 1$ 时： $S_{n} = na \to \infty$ 级数发散

(iv) $q = - 1$ 时： $S_{n} = {0 a n 偶数 n 奇数$ ${S_{n}}$ 无极限，级数发散

结论

$n = 0 \sum \infty a q^{n} = {\frac{a}{1 - q} 发散 ∣ q ∣ < 1 （收敛） ∣ q ∣ \geq 1$

几何意义

几何级数是"无限细分"问题的数学模型：

芝诺悖论： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$
小数展开： $0.333 \dots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots = \frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{1}{3}$

例2：伸缩级数（裂项求和）

问题：讨论级数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots$ 的敛散性。

解析

第1步：裂项

$\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

第2步：计算部分和

$S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}$

（大量中间项相消，称为伸缩求和）

第3步：求极限

$n \to \infty lim S_{n} = n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1}) = 1$

结论

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1$

推广：一般伸缩级数

$n = 1 \sum \infty (a_{n} - a_{n + 1})$

部分和： $S_{n} = (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + \dots + (a_{n} - a_{n + 1}) = a_{1} - a_{n + 1}$

收敛条件： ${a_{n}}$ 收敛

例3：调和级数（著名发散例子）

问题：证明调和级数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ 发散。

警示

虽然通项 $\frac{1}{n} \to 0$ ，但级数发散！

这说明："通项趋于零"不是收敛的充分条件。

证明方法1（Cauchy聚集法）

取 $p = m$ ，考察和： $u_{m + 1} + u_{m + 2} + \dots + u_{2 m} = \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m + 2} + \dots + \frac{1}{2 m} \geq m 项 \frac{1}{2 m} + \frac{1}{2 m} + \dots + \frac{1}{2 m} = m \cdot \frac{1}{2 m} = \frac{1}{2}$

因此，对 $ε_{0} = \frac{1}{2}$ ，无论 $N$ 多大，取 $m > N$ 和 $p = m$ ，就有 $∣ u_{m + 1} + u_{m + 2} + \dots + u_{m + p} ∣ \geq \frac{1}{2}$

由Cauchy准则，级数发散。 $□$

证明方法2（分组法）

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = \infty$

$□$

历史注记

调和级数的发散性由14世纪数学家Nicole Oresme首次证明，这是数学史上最早的"反直觉"结果之一。

物理意义：无限叠加卡片可以伸出任意远！

三、基本定理体系

定理12.1（Cauchy收敛准则）——充要条件

定理12.1（级数收敛的充要条件）

级数 $\sum u_{n}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall ε > 0, \exists N \in N : \forall m > N, \forall p \in N, 有 ∣ u_{m + 1} + u_{m + 2} + \dots + u_{m + p} ∣ < ε$

理解

这是将数列的Cauchy准则翻译到级数语言
$u_{m + 1} + \dots + u_{m + p} = S_{m + p} - S_{m}$ （部分和之差）
几何意义：当 $m$ 足够大时，"后面无论加多少项"，和都很小

发散的充要条件

$\exists ε_{0} > 0 : \forall N \in N, \exists m_{0} > N, \exists p_{0} \in N, 使 ∣ u_{m_{0} + 1} + \dots + u_{m_{0} + p_{0}} ∣ \geq ε_{0}$

推论（收敛的必要条件）

推论（项趋于零）

若级数 $\sum u_{n}$ 收敛，则 $n \to \infty lim u_{n} = 0$

证明

在Cauchy准则中取 $p = 1$ ： $∣ u_{m + 1} ∣ < ε (\forall m > N)$

因此 $u_{n} \to 0$ 。 $□$

重要警示

$u_{n} \to 0 \neq \Rightarrow \sum u_{n} 收敛$

反例：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$

$\frac{1}{n} \to 0$ ✅
$\sum \frac{1}{n}$ 发散 ❌

应用：判断发散的快速方法

若 $u_{n} \neq \to 0$ ，则 $\sum u_{n}$ 必发散。

例4：级数 $\sum \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$ 发散，因为 $n \to \infty lim \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} = 1 \neq = 0$

定理12.2（线性性质）

定理12.2

若 $\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$ 都收敛，则对任意常数 $c, d$ ，级数 $\sum (c u_{n} + d v_{n})$ 也收敛，且 $n = 1 \sum \infty (c u_{n} + d v_{n}) = c n = 1 \sum \infty u_{n} + d n = 1 \sum \infty v_{n}$

证明：利用部分和的极限性质。

推论

若 $\sum u_{n}$ 收敛， $c \neq = 0$ ，则 $\sum c u_{n}$ 收敛
若 $\sum u_{n}$ 发散， $c \neq = 0$ ，则 $\sum c u_{n}$ 发散
若 $\sum u_{n}$ 收敛， $\sum v_{n}$ 发散，则 $\sum (u_{n} + v_{n})$ 发散

注意：两个发散级数相加可能收敛！

例： $\sum 1$ 发散， $\sum (- 1)$ 发散，但 $\sum (1 - 1) = 0$ 收敛。

定理12.3（增删有限项定理）

定理12.3

去掉、增加或改变级数的有限个项，不改变级数的敛散性。

证明思路

设去掉前 $k$ 项，新级数为 $\sum_{n = k + 1}^{\infty} u_{n}$ 。

部分和关系： $S_{n}^{(新)} = S_{n + k}^{(旧)} - S_{k}^{(旧)}$

${S_{n}^{(新)}}$ 与 ${S_{n}^{(旧)}}$ 敛散性相同。 $□$

推论：余项

余项的定义

若 $\sum u_{n} = S$ 收敛，则级数 $R_{n} = k = n + 1 \sum \infty u_{k} = u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots$ 称为第 $n$ 项余项，满足 $R_{n} = S - S_{n}$

物理意义

$S_{n}$ 是级数的近似和（只加前 $n$ 项）
$R_{n}$ 是误差
$lim_{n \to \infty} R_{n} = 0$ （余项趋于零）

定理12.4（加括号定理）

定理12.4

在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

证明

设 $\sum u_{n} = S$ 收敛，加括号后的级数为 $\sum V_{k} = (u_{1} + \dots + u_{n_{1}}) + (u_{n_{1} + 1} + \dots + u_{n_{2}}) + \dots$

加括号后的部分和 ${T_{k}}$ 是原部分和 ${S_{n}}$ 的子列。

由子列性质： $T_{k} \to S$ 。 $□$

重要警示

$加括号后收敛 \neq \Rightarrow 原级数收敛$

反例

$n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ 发散（部分和在0和1之间振荡）。

但加括号后： $(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0 + 0 + 0 + \dots = 0$ 收敛！

例6

问题：判断级数 $n = 2 \sum \infty (\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{n})$ 的敛散性。

解

加括号： $n = 2 \sum \infty [(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n})]$

每一项为： $\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = \frac{n - ( n - 1 )}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n ( n - 1 )}$

类似地化简后，利用比较判别法或直接计算部分和判断。

（具体细节略，关键是演示"加括号"技巧）

四、级数与数列的双向转换

核心思想

级数 ↔ 数列 是可互相转换的：

级数 → 数列：部分和 $S_{n}$
数列 → 级数： $\sum (a_{n} - a_{n - 1})$

数列转级数

给定数列 ${a_{n}}$ ，构造级数： $n = 1 \sum \infty u_{n} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + \dots$

其中 $u_{1} = a_{1}$ ， $u_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ ( $n \geq 2$ )。

部分和： $S_{n} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) + \dots + (a_{n} - a_{n - 1}) = a_{n}$

因此： $\sum u_{n} 收敛 \Leftrightarrow {a_{n}} 收敛$

且收敛时，级数的和 = 数列的极限。

五、学习要点与易错点

核心概念辨析

概念	定义	关键点
级数 $\sum u_{n}$	无穷多项的"和"	不是真正的加法，是极限
部分和 $S_{n}$	前 $n$ 项的有限和	有明确意义的实数
收敛	$lim S_{n}$ 存在	部分和数列收敛
发散	$lim S_{n}$ 不存在	包括趋于无穷和振荡
级数的和 $S$	$lim S_{n}$ 的值	只有收敛时才有和

常见误区

❌ 误区1：级数 = 无穷多个数相加

✅ 正解：级数是部分和数列的极限

❌ 误区2： $u_{n} \to 0 \Rightarrow \sum u_{n}$ 收敛

✅ 正解：调和级数反例

❌ 误区3： $\sum u_{n}$ 发散 $\Rightarrow u_{n} \neq \to 0$

✅ 正解： $\sum \frac{1}{n}$ 发散但 $\frac{1}{n} \to 0$

❌ 误区4：加括号不改变敛散性

✅ 正解：只对收敛级数成立！

判断敛散性的一般步骤

第1步：检查通项
    ├─ 若 uₙ ↛ 0  →  发散（必要条件）
    └─ 若 uₙ → 0  →  进入第2步

第2步：识别级数类型
    ├─ 几何级数  →  用公比判断
    ├─ 伸缩级数  →  计算部分和
    ├─ 正项级数  →  §12.2 判别法
    ├─ 交错级数  →  §12.3 Leibniz判别法
    └─ 一般级数  →  §12.3 Abel/Dirichlet判别法

第3步：应用定理
    ├─ Cauchy准则
    ├─ 比较判别法
    ├─ 比值/根值判别法
    └─ 积分判别法

六、思维导图总结

graph TD
    A[数项级数 Σuₙ] --> B[部分和 Sₙ]
    B --> C{limSₙ存在?}
    C -->|是| D[收敛: ΣuN = S]
    C -->|否| E[发散]
    
    D --> F[性质]
    F --> F1[uₙ → 0 必要条件]
    F --> F2[线性性质]
    F --> F3[增删有限项]
    F --> F4[加括号不变]
    
    E --> G[发散原因]
    G --> G1[uₙ ↛ 0]
    G --> G2[Sₙ → ∞]
    G --> G3[Sₙ振荡]
    
    A --> H[经典例题]
    H --> H1[几何级数: |q|<1收敛]
    H --> H2[调和级数: 发散]
    H --> H3[伸缩级数: 裂项求和]

§12.2 正项级数

一、正项级数的基本性质

定义

定义12.4（正项级数）

若级数 $\sum u_{n}$ 的所有项都非负，即 $u_{n} \geq 0 (\forall n \in N)$ 则称其为正项级数。

注：有时也包括"最终非负"的情形（前有限项可能为负）。

基本性质

定理12.5（单调性）

正项级数的部分和数列 ${S_{n}}$ 单调递增： $S_{n + 1} = S_{n} + u_{n + 1} \geq S_{n}$

因此，正项级数收敛 $\Leftrightarrow$ 部分和有上界。

核心结论

$\sum u_{n} 收敛 \Leftrightarrow {S_{n}} 有界$

这是正项级数的最重要性质，所有判别法都基于此。

二、比较判别法

比较判别法（基本形式）

定理12.6（比较判别法）

设 $\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$ 是两个正项级数，且 $u_{n} \leq v_{n} (\forall n \in N)$

则：

若 $\sum v_{n}$ 收敛，则 $\sum u_{n}$ 收敛（大收小收）
若 $\sum u_{n}$ 发散，则 $\sum v_{n}$ 发散（小散大散）

证明

设 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}$ ， $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} v_{k}$ 。

由 $u_{k} \leq v_{k}$ ，得 $S_{n} \leq T_{n}$ 。

若 $\sum v_{n}$ 收敛，则 ${T_{n}}$ 有界，从而 ${S_{n}}$ 有界，故 $\sum u_{n}$ 收敛
若 $\sum u_{n}$ 发散，则 $S_{n} \to \infty$ ，从而 $T_{n} \to \infty$ ，故 $\sum v_{n}$ 发散

$□$

比较判别法（极限形式）

定理12.7（极限比较判别法）

设 $\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$ 是正项级数，且 $n \to \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = l$

则：

若 $0 < l < + \infty$ ，则 $\sum u_{n}$ 与 $\sum v_{n}$ 同敛散
若 $l = 0$ 且 $\sum v_{n}$ 收敛，则 $\sum u_{n}$ 收敛
若 $l = + \infty$ 且 $\sum v_{n}$ 发散，则 $\sum u_{n}$ 发散

应用策略

选择"标准级数" $\sum v_{n}$ （通常是 p-级数或几何级数），计算 $\frac{u _{n}}{v _{n}}$ 的极限。

标准比较级数

级数	敛散性	应用场景
$\sum \frac{1}{n ^{p}}$	$p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散	通项含幂函数
$\sum q^{n}$	$∥ q ∥ < 1$ 收敛， $∥ q ∥ \geq 1$ 发散	通项含指数
$\sum \frac{1}{n ( l n n ) ^{p}}$	$p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散	通项含对数

例题

例7：判断 $\sum \frac{1}{n ^{2} + n + 1}$ 的敛散性。

解

选择比较级数 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ （ $p = 2 > 1$ ，收敛）。

计算： $n \to \infty lim \frac{\frac{1}{n ^{2} + n + 1}}{\frac{1}{n ^{2}}} = n \to \infty lim \frac{n ^{2}}{n ^{2} + n + 1} = 1$

由极限比较判别法（ $l = 1 \in (0, + \infty)$ ）， $\sum \frac{1}{n ^{2} + n + 1}$ 收敛。 $□$

三、比值判别法（D'Alembert判别法）

定理12.8（D'Alembert比值判别法）

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数，且 $n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ρ$

则：

若 $ρ < 1$ ，则 $\sum u_{n}$ 收敛
若 $ρ > 1$ （或 $ρ = + \infty$ ），则 $\sum u_{n}$ 发散
若 $ρ = 1$ ，则无法判断

证明思路

$ρ < 1$ ：选择 $q \in (ρ, 1)$ ，最终有 $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} < q < 1$ ，用几何级数比较
$ρ > 1$ ： $u_{n}$ 不趋于零，级数发散

应用场景

通项含有阶乘或指数时优先使用。

例题

例8：判断 $\sum \frac{n !}{n ^{n}}$ 的敛散性。

解

$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )! / ( n + 1 ) ^{n + 1}}{n ! / n ^{n}} = \frac{( n + 1 ) \cdot n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = \frac{n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = (\frac{1}{1 + 1/ n})^{n}$

$n \to \infty lim (\frac{1}{1 + 1/ n})^{n} = \frac{1}{e} < 1$

由比值判别法，级数收敛。 $□$

注意： $ρ = 1$ 时失效

例：

$\sum \frac{1}{n}$ ： $ρ = 1$ ，发散
$\sum \frac{1}{n ^{2}}$ ： $ρ = 1$ ，收敛

当 $ρ = 1$ 时，需用其他方法（如Raabe判别法）。

四、根值判别法（Cauchy判别法）

定理12.9（Cauchy根值判别法）

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数，且 $n \to \infty lim n u_{n} = ρ$

则：

若 $ρ < 1$ ，则 $\sum u_{n}$ 收敛
若 $ρ > 1$ （或 $ρ = + \infty$ ），则 $\sum u_{n}$ 发散
若 $ρ = 1$ ，则无法判断

应用场景

通项含有 $n$ 次幂 时优先使用。

例题

例9：判断 $\sum (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ 的敛散性。

解

$n u_{n} = \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2 + 1/ n} \to \frac{1}{2} < 1$

由根值判别法，级数收敛。 $□$

五、积分判别法（Cauchy积分判别法）

定理12.10（积分判别法）

设 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上非负、单调递减，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f (n)$ 与反常积分 $\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x$ 同敛散。

几何意义

级数 = 矩形面积和
积分 = 曲线下面积

两者可比较。

应用：p-级数的敛散性

例10：证明 p-级数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}}$ 当 $p > 1$ 时收敛， $p \leq 1$ 时发散。

证明

考虑 $f (x) = \frac{1}{x ^{p}}$ ，计算积分： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} = {\frac{1}{p - 1} + \infty p > 1 （收敛） p \leq 1 （发散）$

由积分判别法，结论成立。 $□$

六、Raabe判别法（比值法的精细化）

定理12.11（Raabe判别法）

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数，且 $n \to \infty lim n (1 - \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}) = r$

则：

若 $r > 1$ ，则 $\sum u_{n}$ 收敛
若 $r < 1$ ，则 $\sum u_{n}$ 发散
若 $r = 1$ ，则无法判断

应用场景

当比值判别法给出 $ρ = 1$ 时，Raabe判别法可能有效。

七、判别法选择流程图

正项级数 Σuₙ
    │
    ├─ 通项形式
    │   ├─ 含 n! 或 aⁿ  →  比值判别法
    │   ├─ 含 (...)ⁿ   →  根值判别法
    │   ├─ 含 1/nᵖ形式  →  比较判别法（与p-级数比较）
    │   └─ 含 ln n      →  积分判别法
    │
    ├─ 计算极限
    │   ├─ lim uₙ₊₁/uₙ = ρ
    │   │   ├─ ρ < 1  →  收敛
    │   │   ├─ ρ > 1  →  发散
    │   │   └─ ρ = 1  →  Raabe判别法
    │   │
    │   └─ lim ⁿ√uₙ = ρ
    │       ├─ ρ < 1  →  收敛
    │       ├─ ρ > 1  →  发散
    │       └─ ρ = 1  →  其他方法
    │
    └─ 特殊形式
        ├─ Σ1/n(lnn)ᵖ  →  积分判别法
        └─ Σ(...)        →  比较判别法

§12.3 一般项级数

一、绝对收敛与条件收敛

核心概念

定义12.5

设级数 $\sum u_{n}$ 的项可以是任意实数。

若 $\sum ∣ u_{n} ∣$ 收敛，则称 $\sum u_{n}$ 绝对收敛
若 $\sum u_{n}$ 收敛但 $\sum ∣ u_{n} ∣$ 发散，则称 $\sum u_{n}$ 条件收敛

基本关系

$绝对收敛 \Rightarrow 收敛$

但反之不成立！

定理12.12

若 $\sum ∣ u_{n} ∣$ 收敛，则 $\sum u_{n}$ 收敛。

证明

由 $∣ u_{n} ∣ \geq 0$ ， $\sum ∣ u_{n} ∣$ 收敛时满足Cauchy准则： $∣ u_{m + 1} ∣ + \dots + ∣ u_{m + p} ∣ < ε$

而 $∣ u_{m + 1} + \dots + u_{m + p} ∣ \leq ∣ u_{m + 1} ∣ + \dots + ∣ u_{m + p} ∣ < ε$

故 $\sum u_{n}$ 也满足Cauchy准则，收敛。 $□$

经典例子

级数	敛散性	类型
$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$	$\sum u_{n}$ 收敛， $\sum ∥ u_{n} ∥$ 发散	条件收敛
$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}$	$\sum u_{n}$ 收敛， $\sum ∥ u_{n} ∥$ 收敛	绝对收敛
$\sum (- 1)^{n - 1}$	发散	—

二、交错级数与Leibniz判别法

定义

定义12.6（交错级数）

形如 $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots (a_{n} > 0)$ 的级数称为交错级数。

Leibniz判别法

定理12.13（Leibniz判别法）

若交错级数 $\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 满足：

${a_{n}}$ 单调递减： $a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \dots$
$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$

则级数收敛，且其和 $S$ 满足： $0 < S \leq a_{1}$

余项估计

$∣ R_{n} ∣ = ∣ S - S_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$

意义：用前 $n$ 项近似级数的和，误差不超过第一个被舍去的项！

证明思路

第1步：证明 ${S_{2 n}}$ 单调递增有界 $S_{2 n} = (a_{1} - a_{2}) + (a_{3} - a_{4}) + \dots + (a_{2 n - 1} - a_{2 n}) \geq 0$ $S_{2 n + 2} - S_{2 n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geq 0$ $S_{2 n} = a_{1} - (a_{2} - a_{3}) - \dots - (a_{2 n - 2} - a_{2 n - 1}) - a_{2 n} \leq a_{1}$

由单调有界定理， ${S_{2 n}} \to S$ 。

第2步：证明 ${S_{2 n - 1}} \to S$ $S_{2 n - 1} = S_{2 n} + a_{2 n} \to S + 0 = S$

因此 ${S_{n}} \to S$ 。 $□$

例题

例11：判断交错调和级数 $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ 的敛散性。

解

$a_{n} = \frac{1}{n}$ 单调递减 ✅
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ✅

由Leibniz判别法，级数收敛。

但 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = \sum \frac{1}{n}$ 发散，

因此级数条件收敛。 $□$

注：该级数的和为 $ln 2$ （将在Fourier级数中证明）。

三、Abel变换与Abel-Dirichlet判别法

Abel变换（分部求和公式）

Abel变换

设 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 是两个数列，记 $B_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$

则 $k = 1 \sum n a_{k} b_{k} = a_{n} B_{n} + k = 1 \sum n - 1 (a_{k} - a_{k + 1}) B_{k}$

类比：分部积分 $\int u d v = uv - \int v d u$

Abel判别法

定理12.14（Abel判别法）

若：

$\sum b_{n}$ 收敛
${a_{n}}$ 单调有界

则 $\sum a_{n} b_{n}$ 收敛。

Dirichlet判别法

定理12.15（Dirichlet判别法）

若：

$\sum b_{n}$ 的部分和有界： $∣ B_{n} ∣ \leq M$
${a_{n}}$ 单调趋于零： $a_{n} ↓ 0$

则 $\sum a_{n} b_{n}$ 收敛。

应用

例12：判断 $\sum \frac{s i n n x}{n}$ ( $x \neq = 2 kπ$ ) 的敛散性。

解

令 $a_{n} = \frac{1}{n}$ ， $b_{n} = sin n x$ 。

$a_{n} ↓ 0$ ✅
$\sum sin n x$ 的部分和有界（用复数或三角恒等式证明）✅

由Dirichlet判别法，级数收敛。 $□$

四、级数的重排

Riemann重排定理（震撼结论）

定理12.16（Riemann重排定理）

对于条件收敛级数，通过适当重排项的顺序，可以使级数：

收敛到任意预定的值
发散到 $+ \infty$ 或 $- \infty$
振荡（无极限）

但绝对收敛级数重排后和不变。

例子

交错调和级数： $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots = ln 2$

重排为： $S^{'} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots = \frac{3}{2} ln 2$

同一个级数，不同排列，和不同！

总结：判别法选择指南

级数 Σuₙ
│
├─ uₙ ≥ 0 (正项级数)  →  §12.2 判别法
│   ├─ 比较判别法
│   ├─ 比值判别法
│   ├─ 根值判别法
│   ├─ 积分判别法
│   └─ Raabe判别法
│
└─ uₙ 变号 (一般项级数)
    │
    ├─ 检查 Σ|uₙ|
    │   ├─ 收敛  →  绝对收敛（用正项级数判别法）
    │   └─ 发散  →  继续
    │
    ├─ 交错级数  →  Leibniz判别法
    │
    └─ 一般情形  →  Abel/Dirichlet判别法

完整思维导图

graph TB
    A[数项级数 Σuₙ] --> B{uₙ ≥ 0?}
    
    B -->|是| C[正项级数]
    C --> C1[比较判别法]
    C --> C2[比值判别法]
    C --> C3[根值判别法]
    C --> C4[积分判别法]
    C --> C5[Raabe判别法]
    
    B -->|否| D[一般项级数]
    D --> D1{Σ|uₙ| 收敛?}
    D1 -->|是| D2[绝对收敛]
    D1 -->|否| D3{交错级数?}
    D3 -->|是| D4[Leibniz判别法]
    D3 -->|否| D5[Abel/Dirichlet判别法]
    D4 --> D6{收敛?}
    D6 -->|是| D7[条件收敛]
    
    C1 --> E[p-级数标准]
    C2 --> F[含阶乘/指数]
    C3 --> G[含n次幂]
    C4 --> H[含对数]
    
    D7 --> I[Riemann重排定理]
    I --> J[可重排为任意和!]

核心公式速查表

敛散性判断

判别法	条件	结论
Cauchy准则	$∥ \sum_{k = m + 1}^{m + p} u_{k} ∥ < ε$	收敛
必要条件	$u_{n} \to 0$	收敛的必要条件
比较法	$u_{n} \leq v_{n}$ ， $\sum v_{n}$ 收敛	$\sum u_{n}$ 收敛
比值法	$lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ρ < 1$	收敛
根值法	$lim n u_{n} = ρ < 1$	收敛
积分法	$\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ 收敛	$\sum f (n)$ 收敛
Raabe法	$lim n (1 - \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}) = r > 1$	收敛
Leibniz法	$a_{n} ↓ 0$	$\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 收敛
Dirichlet法	$\sum b_{n}$ 部分和有界， $a_{n} ↓ 0$	$\sum a_{n} b_{n}$ 收敛
Abel法	$\sum b_{n}$ 收敛， $a_{n}$ 单调有界	$\sum a_{n} b_{n}$ 收敛

重要级数

级数	敛散性	和（收敛时）
$\sum q^{n}$	$∥ q ∥ < 1$ 收敛	$\frac{1}{1 - q}$
$\sum \frac{1}{n ^{p}}$	$p > 1$ 收敛	—
$\sum \frac{1}{n}$	发散	—
$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$	条件收敛	$ln 2$
$\sum \frac{1}{n ( n + 1 )}$	收敛	$1$
$\sum \frac{1}{n ^{2}}$	收敛	$\frac{π ^{2}}{6}$

学习建议与易错点总结

易错点汇总

易错点1：通项趋于零≠收敛

❌ 错误： $\frac{1}{n} \to 0$ ，所以 $\sum \frac{1}{n}$ 收敛

✅ 正确：调和级数发散， $u_{n} \to 0$ 只是必要条件

易错点2：判别法的局限性

❌ 错误：比值判别法给出 $ρ = 1$ ，级数发散

✅ 正确： $ρ = 1$ 时无法判断，需用其他方法

例：

$\sum \frac{1}{n}$ ： $ρ = 1$ ，发散
$\sum \frac{1}{n ^{2}}$ ： $ρ = 1$ ，收敛

易错点3：绝对收敛与条件收敛

❌ 错误：级数收敛，所以绝对收敛

✅ 正确：需单独检验 $\sum ∣ u_{n} ∣$

反例： $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 收敛但不绝对收敛

易错点4：级数重排

❌ 错误：任何收敛级数重排后和不变

✅ 正确：只有绝对收敛级数重排后和不变，条件收敛级数可能改变

易错点5：比较判别法的使用

❌ 错误： $u_{n} < v_{n}$ 且 $\sum u_{n}$ 发散，所以 $\sum v_{n}$ 发散

✅ 正确：需要 $u_{n} \geq v_{n}$ 才能由 $\sum u_{n}$ 发散推出 $\sum v_{n}$ 发散

口诀：大收小收，小散大散

学习策略

第1阶段：理解概念

理解"无穷和"的极限定义
掌握部分和数列的作用
区分收敛、发散、绝对收敛、条件收敛

第2阶段：掌握判别法

正项级数：

比较判别法（最基础）
比值判别法（含阶乘、指数）
根值判别法（含 $n$ 次幂）
积分判别法（含对数）
Raabe判别法（比值法失效时）

一般项级数：

先检验绝对收敛性
交错级数用Leibniz判别法
复杂级数用Abel/Dirichlet判别法

第3阶段：综合应用

快速识别级数类型
选择合适判别法
灵活运用多种方法
注意判别法的局限性

典型例题分类

类型1：直接判别

例13：判断 $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$ 的敛散性。

解： $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1} / ( n + 1 )!}{2 ^{n} / n !} = \frac{2}{n + 1} \to 0 < 1$

收敛。 $□$

例14：判断 $\sum \frac{1}{n l n n}$ 的敛散性。

解： $\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x ln x} = t \to \infty lim [ln (ln x)]_{2}^{t} = \infty$

发散。 $□$

类型2：比较判别

例15：判断 $\sum \frac{n}{n ^{2} + 1}$ 的敛散性。

解： $\frac{n}{n ^{2} + 1} \sim \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{3/2}}$

与 $\sum \frac{1}{n ^{3/2}}$ ( $p = 3/2 > 1$ ) 比较，收敛。 $□$

类型3：交错级数

例16：判断 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ 的敛散性。

解：

$\frac{1}{n}$ 单调递减 ✅
$lim \frac{1}{n} = 0$ ✅

由Leibniz判别法收敛。

但 $\sum \frac{1}{n}$ ( $p = 1/2 < 1$ ) 发散，

所以条件收敛。 $□$

类型4：复杂级数

例17：判断 $\sum \frac{s i n n}{n ^{2}}$ 的敛散性。

解： $\frac{sin n}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$

$\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 收敛，由比较判别法 $\sum \frac{s i n n}{n ^{2}}$ 收敛，

因此绝对收敛。 $□$

补充内容：无穷乘积（选学）

无穷乘积的定义

定义12.7（无穷乘积）

表达式 $n = 1 \prod \infty u_{n} = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3} \dots$ 称为无穷乘积。

定义部分积： $P_{n} = k = 1 \prod n u_{k}$

若 $lim_{n \to \infty} P_{n} = P \neq = 0$ 存在且有限，则称无穷乘积收敛于 $P$ 。

与级数的关系

定理12.17

若 $u_{n} > 0$ ，则 $\prod (1 + u_{n}) 收敛 \Leftrightarrow \sum ln (1 + u_{n}) 收敛$

应用

利用级数判别法判断无穷乘积的敛散性：

例18：判断 $\prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ 的敛散性。

解： $ln (1 + \frac{1}{n ^{2}}) \sim \frac{1}{n ^{2}} (n \to \infty)$

$\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 收敛，所以 $\sum ln (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ 收敛，

因此无穷乘积收敛。 $□$

重要无穷乘积

Wallis公式： $n = 1 \prod \infty \frac{( 2 n ) ( 2 n )}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots = \frac{π}{2}$

Euler乘积公式（联结素数与 $ζ$ 函数）： $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{s}} = p prime \prod \frac{1}{1 - p ^{- s}} (s > 1)$

这是数论与分析的美妙联系！

历史注记

级数理论的发展史

14世纪：Nicole Oresme 证明调和级数发散

17世纪：

Jacob Bernoulli 研究级数求和
Leibniz 发现交错调和级数收敛

18世纪：

Euler 求出 $\sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$
但当时缺乏严格定义（Euler认为 $1 - 1 + 1 - 1 + \dots = \frac{1}{2}$ ！）

19世纪：级数理论严格化

Cauchy（1821）：给出收敛的严格定义和Cauchy准则
Abel（1826）：Abel判别法
Dirichlet（1837）：Dirichlet判别法
Weierstrass（1850s）：一致收敛性理论
Riemann（1854）：Riemann重排定理（震撼数学界！）

数学家小传

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

法国数学家，现代数学分析的奠基人。

主要贡献：

首次严格定义极限、连续、导数、积分
建立级数收敛的Cauchy准则
创立复变函数论

趣闻：Cauchy一生发表800多篇论文，以至于当时的学术期刊限制每位作者的发表篇幅，称为"Cauchy法则"。

Bernhard Riemann (1826-1866)

德国数学家，19世纪最伟大的数学家之一。

主要贡献：

Riemann积分
Riemann几何（广义相对论基础）
Riemann $ζ$ 函数与Riemann猜想
级数重排定理

Riemann猜想至今未解，是千禧年七大数学难题之一，悬赏100万美元！

进阶专题：级数的应用

应用1：计算 $π$

Leibniz公式： $\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}$

证明：利用 $arctan x$ 的Taylor级数，令 $x = 1$ 。

Euler公式（收敛更快）： $\frac{π ^{2}}{6} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots$

证明：需要Fourier级数（第15章）。

应用2：无理数的判别

定理：若 $\sum a_{n} = S$ ，其中 $a_{n}$ 是有理数且 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛速度"足够快"，则 $S$ 可能是无理数。

例： $e = \sum \frac{1}{n !}$ 是无理数（Euler证明）

应用3：数值计算

利用级数计算函数值：

例：计算 $ln 2$ $ln 2 = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

取前10项： $S_{10} \approx 0.6456$

误差： $∣ R_{10} ∣ \leq \frac{1}{11} \approx 0.091$

实际上 $ln 2 \approx 0.6931$ 。

课后综合练习

基础题

1. 判断下列级数的敛散性：

(a) $\sum \frac{1}{n ( n + 2 )}$

(b) $\sum \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$

(d) $\sum \frac{1}{n n}$

2. 证明：若 $\sum u_{n}$ 收敛，则 $\sum u_{n}^{2}$ 不一定收敛。

提示：考虑 $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ 。

3. 证明：若正项级数 $\sum u_{n}$ 收敛，则 $\sum u_{n}^{2}$ 收敛。

进阶题

4. 证明：若 $lim_{n \to \infty} n u_{n} = a \neq = 0$ ，则 $\sum u_{n}$ 发散。

5. (Raabe判别法) 设正项级数 $\sum u_{n}$ 满足 $n \to \infty lim n (1 - \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}) = r$

证明：

若 $r > 1$ ，级数收敛
若 $r < 1$ ，级数发散

6. 讨论级数 $\sum \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots ( 2 n )}$ 的敛散性。

提示：用Raabe判别法。

挑战题

7. (Riemann重排定理应用)

对交错调和级数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2$ ，设计一个重排方案，使其收敛到 $\frac{3}{2} ln 2$ 。

8. 证明：若 $\sum u_{n}$ 绝对收敛，则对任意重排 ${u_{n_{k}}}$ ，有 $k = 1 \sum \infty u_{n_{k}} = n = 1 \sum \infty u_{n}$

9. (高级) 证明Euler公式： $\frac{π ^{2}}{6} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$

提示：需要Fourier级数或复变函数理论。

章节总结

核心知识架构

第十二章：数项级数
│
├── 基本概念
│   ├── 部分和 Sₙ
│   ├── 收敛定义（lim Sₙ 存在）
│   ├── Cauchy准则
│   └── 收敛必要条件（uₙ → 0）
│
├── 正项级数 (uₙ ≥ 0)
│   ├── 单调有界 ⇔ 收敛
│   ├── 比较判别法
│   ├── 比值判别法 (D'Alembert)
│   ├── 根值判别法 (Cauchy)
│   ├── 积分判别法
│   └── Raabe判别法
│
├── 一般项级数
│   ├── 绝对收敛 vs 条件收敛
│   ├── 交错级数 (Leibniz判别法)
│   ├── Abel-Dirichlet判别法
│   └── Riemann重排定理
│
└── 应用
    ├── 计算 π, e, ln2
    ├── 数值逼近
    └── 理论基础（函数项级数）

必须掌握的内容

定义与定理（⭐⭐⭐）

级数收敛的定义
Cauchy收敛准则
收敛的必要条件
绝对收敛与条件收敛

判别法（⭐⭐⭐）

比较判别法（基本+极限形式）
比值判别法
根值判别法
积分判别法
Leibniz判别法

重要级数（⭐⭐⭐）

几何级数
p-级数
调和级数
交错调和级数

高级内容（⭐⭐）

Raabe判别法
Abel/Dirichlet判别法
Riemann重排定理

学习时间建议

第1周：基本概念，几何级数，调和级数，比较判别法
第2周：比值、根值、积分判别法，正项级数综合
第3周：绝对收敛、条件收敛，Leibniz判别法
第4周：Abel/Dirichlet判别法，综合练习
第5周：复习总结，历年真题

考试重点

必考题型：

判断敛散性（75%）
- 识别级数类型
- 选择合适判别法
- 严格推理过程
证明题（15%）
- 利用Cauchy准则
- 比较判别法的应用
- 绝对收敛的证明
计算题（10%）
- 求级数的和（伸缩级数）
- 余项估计
- 级数的应用

常见考点

考点	频率	难度
判断级数敛散性	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐
比较判别法	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐
比值/根值判别法	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐
Leibniz判别法	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐
绝对收敛vs条件收敛	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐
Abel/Dirichlet判别法	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐
级数求和	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐
Riemann重排定理	⭐⭐	⭐⭐⭐⭐⭐

写在最后

数项级数是从有限到无穷的第一座桥梁。

通过本章学习，你应该理解：

无穷和的本质：不是真正的"加法"，而是部分和数列的极限
判别法的核心：
- 正项级数：单调有界
- 一般项级数：Cauchy准则
绝对收敛的重要性：
- 可交换求和次序
- 可重排
- 可逐项运算
条件收敛的微妙性：
- 重排可改变和
- 需小心处理

级数理论是后续章节的基础：

函数项级数（第13章）：级数的每一项变成函数
幂级数（第14章）：Taylor展开的基础
Fourier级数（第15章）：三角级数展开
含参量积分（第19章）：积分号下求导

掌握好数项级数，你将为整个级数理论打下坚实基础！

功不唐捐，玉汝于成。

每一个级数，每一个判别法，每一个证明，
都在为你的数学大厦添砖加瓦。

坚持下去，你会看到数学之美的另一个维度。

∑ ∞ ε δ

From Finite to Infinite
从有限到无穷

The Journey Continues...

"In mathematics, infinity is not a place, but a journey."

"在数学中，无穷不是一个地方，而是一段旅程。"

第十二章·完

期待在第十三章（函数列与函数项级数）再会！

参考文献

华东师范大学数学系，《数学分析》（第五版），高等教育出版社
卓里奇，《数学分析》，高等教育出版社
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
Tom M. Apostol, Mathematical Analysis
Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series

附录：判别法速查卡片

┌─────────────────────────────────────┐
│  正项级数判别法速查                  │
├─────────────────────────────────────┤
│ 1. 比较法：uₙ ≤ vₙ                   │
│    ├─ Σvₙ 收敛 → Σuₙ 收敛            │
│    └─ Σuₙ 发散 → Σvₙ 发散            │
│                                      │
│ 2. 比值法：lim uₙ₊₁/uₙ = ρ          │
│    ├─ ρ < 1 → 收敛                   │
│    ├─ ρ > 1 → 发散                   │
│    └─ ρ = 1 → 无法判断               │
│                                      │
│ 3. 根值法：lim ⁿ√uₙ = ρ             │
│    ├─ ρ < 1 → 收敛                   │
│    ├─ ρ > 1 → 发散                   │
│    └─ ρ = 1 → 无法判断               │
│                                      │
│ 4. 积分法：f(x)↓, f(x)≥0            │
│    Σf(n) 与 ∫f(x)dx 同敛散           │
│                                      │
│ 5. Raabe法：lim n(1-uₙ₊₁/uₙ) = r   │
│    ├─ r > 1 → 收敛                   │
│    ├─ r < 1 → 发散                   │
│    └─ r = 1 → 无法判断               │
└─────────────────────────────────────┘

┌─────────────────────────────────────┐
│  一般项级数判别法速查                │
├─────────────────────────────────────┤
│ 1. 先检验 Σ|uₙ| 是否收敛             │
│    收敛 → 绝对收敛                    │
│                                      │
│ 2. 交错级数：Σ(-1)ⁿ⁻¹aₙ             │
│    条件：aₙ↓0                        │
│    结论：收敛（Leibniz）              │
│                                      │
│ 3. Dirichlet法：Σaₙbₙ               │
│    条件：|ΣBₙ|≤M, aₙ↓0               │
│    结论：收敛                         │
│                                      │
│ 4. Abel法：Σaₙbₙ                    │
│    条件：Σbₙ收敛, aₙ单调有界         │
│    结论：收敛                         │
└─────────────────────────────────────┘

第十二章数项级数 · 完整知识体系构建完毕

总字数：约 25,000 字

包含内容： ✅ 完整概念体系
✅ 所有重要定理与证明
✅ 丰富例题与反例
✅ 判别法选择流程
✅ 易错点与学习建议
✅ 历史注记
✅ 综合练习
✅ 思维导图
✅ 速查表

准备好进入第十三章了吗？

下一章我们将探讨函数列与函数项级数——当级数的每一项都是函数时，会发生什么神奇的事？一致收敛性将成为核心！

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