📚 第十三章函数列与函数项级数·§13.2 一致收敛的性质

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§13.2 PROPERTIES OF UNIFORMLY CONVERGENT

SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS

从判别到应用：分析性质的保持
极限与运算的交换定理
逐项积分·逐项求导·连续性保持

"Uniform convergence is not just a technical condition,
it is the key that preserves the soul of functions."

"一致收敛不仅是技术条件，
更是保持函数灵魂的钥匙。"

📊 §13.2 完整知识架构

§13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
│
├─── 一、极限运算的交换性
│    ├─ 1.1 基础定理（定理13.8）
│    │   ├─ 问题：lim lim fₙ(x) 与 lim lim fₙ(x) 的关系
│    │   │          n→∞ x→x₀        x→x₀ n→∞
│    │   ├─ 条件：fₙ ⇉ f，lim fₙ(x) = aₙ 存在
│    │   │                  x→x₀
│    │   └─ 结论：两个极限可交换
│    │
│    └─ 1.2 意义与推广
│        ├─ x → +∞ 的情形
│        └─ x → -∞ 的情形
│
├─── 二、连续性（定理13.9）
│    ├─ 2.1 定理内容
│    │   ├─ 条件：①fₙ ⇉ f  ②每个fₙ连续
│    │   └─ 结论：f 连续
│    │
│    ├─ 2.2 推论：内闭一致收敛
│    │   ├─ 条件：fₙ 内闭一致收敛，每个fₙ连续
│    │   └─ 结论：f 连续
│    │
│    ├─ 2.3 逆否命题的应用
│    │   └─ 极限函数不连续 ⇒ 不一致收敛
│    │
│    └─ 2.4 函数项级数的连续性（定理13.12）
│        ├─ 条件：Σuₙ(x) 一致收敛，每项连续
│        └─ 结论：和函数 S(x) 连续
│
├─── 三、可积性（定理13.10）
│    ├─ 3.1 定理内容
│    │   ├─ 条件：①fₙ ⇉ f 在[a,b]  ②每个fₙ连续
│    │   └─ 结论：lim ∫fₙ(x)dx = ∫f(x)dx
│    │             n→∞
│    │
│    ├─ 3.2 极限与积分的交换
│    │   └─ lim ∫fₙ = ∫lim fₙ
│    │
│    ├─ 3.3 反例分析（例1）
│    │   ├─ 构造：三角峰函数列
│    │   ├─ 结论1：α_n→0 ⇔ 一致收敛 ⇔ 极限积分可交换
│    │   ├─ 结论2：α_n=1 → 不一致但积分仍可交换
│    │   └─ 结论3：α_n=n → 不一致且积分不可交换
│    │
│    └─ 3.4 函数项级数的逐项积分（定理13.13）
│        ├─ 条件：Σuₙ(x) 一致收敛，每项连续
│        └─ 结论：∫Σuₙ(x)dx = Σ∫uₙ(x)dx
│
├─── 四、可微性（定理13.11）
│    ├─ 4.1 定理内容
│    │   ├─ 条件：①{fₙ} 有收敛点
│    │   │       ②每个fₙ可微，导数连续
│    │   │       ③fₙ' ⇉ g（导函数列一致收敛）
│    │   └─ 结论：f' = lim fₙ' = g
│    │
│    ├─ 4.2 关键理解
│    │   ├─ 原函数列只需有一个收敛点
│    │   ├─ 导函数列必须一致收敛（关键！）
│    │   └─ 结论：fₙ ⇉ f 在[a,b]上
│    │
│    ├─ 4.3 推论：内闭一致收敛
│    │   └─ fₙ'内闭一致收敛 ⇒ f' = lim fₙ'
│    │
│    ├─ 4.4 反例（例2）
│    │   ├─ fₙ(x) = -ln(1+n²x²)/(2n)
│    │   ├─ fₙ' 不一致收敛于0（在[0,1]上）
│    │   ├─ 但fₙ'在(0,1]上内闭一致收敛
│    │   └─ 结论：一致收敛非必要条件
│    │
│    └─ 4.5 函数项级数的逐项求导（定理13.14）
│        ├─ 条件：①Σuₙ(x)有收敛点
│        │       ②每项uₙ可微，导数连续
│        │       ③Σuₙ'(x) 一致收敛
│        └─ 结论：(ΣUₙ)' = Σuₙ'
│
└─── 五、综合应用
     ├─ 例3：ln(1+n²x²)/n³级数
     │   ├─ 证明一致收敛
     │   ├─ 和函数连续性
     │   ├─ 可积性
     │   └─ 可微性
     │
     ├─ 例4：ln*n/n^x 级数
     │   └─ 证明g(x)在(1,+∞)有连续的各阶导数
     │
     └─ 定理意义总结
         ├─ 不必求出极限函数
         ├─ 从函数列性质推断极限性质
         └─ 分析学的核心工具

一、极限运算的交换性

1.1 基础定理：双重极限的交换

定理13.8（极限交换定理）

设函数列 ${f_{n}}$ 在 $(a, x_{0}) \cup (x_{0}, b)$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，且对每个 $n$ ， $x \to x_{0} lim f_{n} (x) = a_{n}$ 存在，则 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 和 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 均存在且相等，即：

$n \to \infty lim x \to x_{0} lim f_{n} (x) = x \to x_{0} lim n \to \infty lim f_{n} (x)$

证明

第1步：证明 ${a_{n}}$ 是收敛数列

由 $f_{n} ⇉ f$ ，对任给 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时，对任意正整数 $p$ 和对一切 $x \in (a, x_{0}) \cup (x_{0}, b)$ ，有 $∣ f_{n} (x) - f_{n + p} (x) ∣ < ε (1)$

在 (1) 中令 $x \to x_{0}$ ，得： $∣ a_{n} - a_{n + p} ∣ = x \to x_{0} lim ∣ f_{n} (x) - f_{n + p} (x) ∣ \leq ε$

由Cauchy准则， ${a_{n}}$ 收敛。

第2步：证明 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，其中 $A = lim_{n \to \infty} a_{n}$

由 $f_{n} (x)$ 一致收敛于 $f (x)$ 及 $a_{n}$ 收敛于 $A$ ，对任给 $ε > 0$ ，存在正数 $N$ ，当 $n > N$ 时，对任意 $x \in (a, x_{0}) \cup (x_{0}, b)$ ， $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < \frac{ε}{3} 和 ∣ a_{n} - A ∣ < \frac{ε}{3}$ 同时成立。

特别取 $n = N + 1$ ，有： $∣ f_{N + 1} (x) - f (x) ∣ < \frac{ε}{3}, ∣ a_{N + 1} - A ∣ < \frac{ε}{3}$

又因为 $lim_{x \to x_{0}} f_{N + 1} (x) = a_{N + 1}$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 时： $∣ f_{N + 1} (x) - a_{N + 1} ∣ < \frac{ε}{3}$

这样，当 $x$ 满足 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ 时： $∣ f (x) - A ∣ \leq ∣ f (x) - f_{N + 1} (x) ∣ + ∣ f_{N + 1} (x) - a_{N + 1} ∣ + ∣ a_{N + 1} - A ∣$ $< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε$

即 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 。 $□$

定理的核心思想：

在一致收敛的条件下， $f_{n} (x)$ 中两个独立变量 $x$ 与 $n$ ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换：

$n \to \infty lim x \to x_{0} lim f_{n} (x) = x \to x_{0} lim n \to \infty lim f_{n} (x) (2)$

1.2 定理的推广形式

推广1：若 ${f_{n}}$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛且 $lim_{x \to a^{+}} f_{n} (x)$ 存在，则： $n \to \infty lim x \to a^{+} lim f_{n} (x) = x \to a^{+} lim n \to \infty lim f_{n} (x)$

推广2：若 ${f_{n}}$ 在 $(a, + \infty)$ 上一致收敛且 $lim_{x \to + \infty} f_{n} (x)$ 存在，则： $n \to \infty lim x \to + \infty lim f_{n} (x) = x \to + \infty lim n \to \infty lim f_{n} (x)$

意义：

定理13.8是后续所有定理（连续性、可积性、可微性）的理论基础。

二、连续性定理

2.1 定理13.9：连续性的保持

定理13.9（连续性定理）

若函数列 ${f_{n}}$ 在区间 $I$ 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数 $f$ 在 $I$ 上也连续。

证明

设 $x_{0}$ 为 $I$ 上任一点。由于 $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$ ，由定理13.8知： $x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim n \to \infty lim f_{n} (x)$ $= n \to \infty lim x \to x_{0} lim f_{n} (x) = n \to \infty lim f_{n} (x_{0}) = f (x_{0})$

因此 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 连续。 $□$

逆否命题的应用：

推论（逆否判别法）

若各项为连续函数的函数列在区间 $I$ 上其极限函数不连续，则此函数列在区间 $I$ 上不一致收敛。

经典例子：

函数列 ${x^{n}}$ 的各项在 $(- 1, 1]$ 上都是连续的，但其极限函数 $f (x) = {0, 1, - 1 < x < 1 x = 1$ 在 $x = 1$ 时不连续，从而推得 ${x^{n}}$ 在 $(- 1, 1]$ 上不一致收敛。

2.2 推论：内闭一致收敛

推论

若连续函数列 ${f_{n}}$ 在区间 $I$ 上内闭一致收敛于 $f$ ，则 $f$ 在 $I$ 上连续。

理由：

函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 连续仅与它在 $x_{0}$ 的近旁的性质有关。对任意 $x_{0} \in I$ ，存在闭区间 $[a, b] \subset I$ 使得 $x_{0} \in [a, b]$ ，在 $[a, b]$ 上一致收敛，因此 $f$ 在 $x_{0}$ 连续。

回顾§13.1例1：

${x^{n}}$ 在 $(- 1, 1)$ 上不一致收敛，但内闭一致收敛，其极限函数 $f (x) = 0$ 在 $(- 1, 1)$ 上连续。✓

2.3 函数项级数的连续性

定理13.12（函数项级数的连续性）

若函数项级数 $\sum u_{n} (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数 $S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。

证明思路：

部分和函数列 $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} (x)$ 一致收敛于 $S (x)$ ，每个 $S_{n}$ 连续（有限和），由定理13.9， $S$ 连续。 $□$

推论：

在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序： $n = 1 \sum \infty (x \to x_{0} lim u_{n} (x)) = x \to x_{0} lim (n = 1 \sum \infty u_{n} (x)) (6)$

三、可积性定理

3.1 定理13.10：逐项积分

定理13.10（可积性定理）

若函数列 ${f_{n}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则： $n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} n \to \infty lim f_{n} (x) d x$

即： $n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x (3)$

证明

设 $f$ 为函数列 ${f_{n}}$ 在 $[a, b]$ 上的极限函数。由定理13.9， $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，从而 $f_{n}$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) 与 $f$ 在 $[a, b]$ 上都可积。

因为在 $[a, b]$ 上 $f_{n} ⇉ f$ ( $n \to \infty$ )，故对任给正数 $ε$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时，对一切 $x \in [a, b]$ ，都有： $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$

再根据定积分的性质，当 $n > N$ 时有： $\int_{a}^{b} f_{n} (x) d x - \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} (f_{n} (x) - f (x)) d x$ $\leq \int_{a}^{b} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ d x < ε (b - a)$

这就证明了等式 (3)。 $□$

定理的意义：

在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换。

3.2 反例分析：一致收敛是充分非必要条件

例1（教材例1）：设函数 $f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 n α_{n} x, 2 α_{n} - 2 n α_{n} x, 0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2 n} \frac{1}{2 n} < x \leq \frac{1}{n} x > \frac{1}{n}$

其图像是以 $(\frac{1}{2 n}, α_{n})$ 为顶点的三角形（如图13-4）。

分析：

显然 ${f_{n} (x)}$ 是 $[0, 1]$ 上的连续函数列，且对任意 $x \in [0, 1]$ ： $n \to \infty lim f_{n} (x) = 0$

又： $x \in [0, 1] sup ∣ f_{n} (x) - 0∣ = α_{n}$

因此 ${f_{n} (x)}$ 在 $[0, 1]$ 上一致收敛于 $0$ 的充要条件是 $α_{n} \to 0$ ( $n \to \infty$ )。

第1步：计算积分

$\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot α_{n} = \frac{α _{n}}{2 n}$

（三角形面积）

第2步：讨论三种情况

情况1： $α_{n} \to 0$

$f_{n} ⇉ 0$ ✓（一致收敛）
$\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{α _{n}}{2 n} \to 0 = \int_{0}^{1} 0 d x$ ✓
结论：一致收敛 ⇒ 积分可交换 ✓

情况2： $α_{n} = 1$ （常数）

$sup ∣ f_{n} - 0∣ = 1 \neq \to 0$ ✗（不一致收敛）
但 $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{1}{2 n} \to 0 = \int_{0}^{1} 0 d x$ ✓
结论：不一致收敛，但积分仍可交换！

情况3： $α_{n} = n$

$sup ∣ f_{n} - 0∣ = n \to \infty$ ✗（不一致收敛）
$\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2} \neq \to 0$ ✗
结论：不一致收敛，且积分不可交换！

总结：

例1说明：当 ${f_{n} (x)}$ 收敛于 $f (x)$ 时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件。

3.3 函数项级数的逐项积分

定理13.13（逐项求积）

若函数项级数 $\sum u_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_{n} (x)$ 都连续，则： $\int_{a}^{b} n = 1 \sum \infty u_{n} (x) d x = n = 1 \sum \infty \int_{a}^{b} u_{n} (x) d x (7)$

证明：

部分和函数列 $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} (x)$ 一致收敛于 $S (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} u_{k} (x)$ 。

由定理13.10： $\int_{a}^{b} S (x) d x = n \to \infty lim \int_{a}^{b} S_{n} (x) d x = n \to \infty lim k = 1 \sum n \int_{a}^{b} u_{k} (x) d x$ $= n = 1 \sum \infty \int_{a}^{b} u_{n} (x) d x □$

实际应用：

逐项积分定理使我们能够：

不求和函数，直接积分
将复杂积分转化为简单积分之和
计算某些特殊函数的积分

四、可微性定理

4.1 定理13.11：逐项求导

定理13.11（可微性定理）

设 ${f_{n}}$ 为定义在 $[a, b]$ 上的函数列。若：

(i) $x_{0} \in [a, b]$ 为 ${f_{n}}$ 的收敛点（即 $lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{0})$ 存在）

(ii) ${f_{n}}$ 的每一项在 $[a, b]$ 上有连续的导数

(iii) ${f_{n}^{'}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛

则函数列 ${f_{n}}$ 在区间 $[a, b]$ 上收敛，且其极限函数 $f$ 的导数存在且等于 $lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x)$ ，即： $(n \to \infty lim f_{n} (x))^{'} = n \to \infty lim \frac{d}{d x} f_{n} (x) (4)$

或记作： $f^{'} (x) = n \to \infty lim f_{n}^{'} (x)$

关键理解：

原函数列只需有一个收敛点（不需要一致收敛）
导函数列必须一致收敛（这是关键条件）
结论：原函数列自动在整个区间上一致收敛

证明

设 $f_{n} (x) \to A$ ( $n \to \infty$ )， $f_{n}^{'} \to g$ ( $n \to \infty$ )， $x \in [a, b]$ 。

我们要证明函数列 ${f_{n}}$ 在区间 $[a, b]$ 上收敛，且其极限函数的导数存在且等于 $g$ 。

由定理条件，对任一 $x \in [a, b]$ ，总有： $f_{n} (x) = f_{n} (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f_{n}^{'} (t) d t$

当 $n \to \infty$ 时，右边第一项极限为 $A$ ，第二项极限为 $\int_{x_{0}}^{x} g (t) d t$ （由定理13.10），所以左边极限存在，记为 $f (x)$ ，则有： $f (x) = n \to \infty lim f_{n} (x) = f (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} g (t) d t$

其中 $f (x_{0}) = A$ 。

由 $g$ 的连续性及微积分学基本定理（第九章§5）推得： $f^{'} (x) = g (x) = n \to \infty lim f_{n}^{'} (x)$

这就证明了等式 (4)。 $□$

重要注意：

在定理13.11的条件下，还可推出在 $[a, b]$ 上 $f_{n} ⇉ f$ ( $n \to \infty$ )。

4.2 推论：内闭一致收敛

推论

设函数列 ${f_{n}}$ 定义在区间 $I$ 上，若 $x_{0} \in I$ 为 ${f_{n}}$ 的收敛点，且 ${f_{n}^{'}}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛，则 $f$ 在 $I$ 上可导，且： $f^{'} (x) = n \to \infty lim f_{n}^{'} (x)$

4.3 反例：一致收敛是充分非必要条件

例2（教材例2）：函数列 $f_{n} (x) = - \frac{ln ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}{2 n}, n = 1, 2, \dots$ 与 $f_{n}^{'} (x) = - \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}, n = 1, 2, \dots$ 在 $[0, 1]$ 上都收敛于 $0$ 。

分析：

第1步：验证导函数列在 $[0, 1]$ 上不一致收敛

$x \in [0, 1] max ∣ f_{n}^{'} (x) - 0∣ = x \in [0, 1] max \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}$

令 $g (x) = \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}$ ，求导： $g^{'} (x) = \frac{n ( 1 - n ^{2} x ^{2} )}{( 1 + n ^{2} x ^{2} ) ^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{n}$

最大值： $g (\frac{1}{n}) = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n ^{2} \cdot \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{1}{2}$

因此： $n \to \infty lim x \in [0, 1] max ∣ f_{n}^{'} (x) - 0∣ = \frac{1}{2} \neq = 0$

所以导函数列 ${f_{n}^{'} (x)}$ 在 $[0, 1]$ 上不一致收敛。

第2步：验证在 $(0, 1]$ 上内闭一致收敛

对任意 $δ > 0$ ，在 $[δ, 1]$ 上： $x \in [δ, 1] sup ∣ f_{n}^{'} (x) ∣ = x \in [δ, 1] sup \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} \leq \frac{n}{1 + n ^{2} δ ^{2}} = \frac{1}{n δ ^{2} + \frac{1}{n}} \to 0$

所以 ${f_{n}^{'}}$ 在 $(0, 1]$ 上内闭一致收敛。

第3步：验证极限与导数可交换

由推论，在 $(0, 1]$ 上： $n \to \infty lim f_{n}^{'} (x) = 0, n \to \infty lim f_{n} (x) = 0$ $(n \to \infty lim f_{n} (x))^{'} = 0^{'} = 0 = n \to \infty lim f_{n}^{'} (x)$

事实上： $lim f_{n}^{'} (x) = 0$ ， $lim f_{n} (x) = 0$ ， $(lim f_{n} (x))^{'} = (lim f_{n} (x))^{'}$ 在 $[0, 1]$ 上都成立！

结论：

此例说明，一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是必要条件。

4.4 函数项级数的逐项求导

定理13.14（逐项求导）

若函数项级数 $\sum u_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上每一项都有连续的导函数， $x_{0} \in [a, b]$ 为 $\sum u_{n} (x)$ 的收敛点，且 $\sum u_{n}^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，则： $\frac{d}{d x} (n = 1 \sum \infty u_{n} (x)) = n = 1 \sum \infty \frac{d}{d x} u_{n} (x) (8)$

证明：

部分和函数列 $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} (x)$ ，有：

$S_{n} (x_{0})$ 收敛
$S_{n}^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}^{'} (x)$ 一致收敛（由条件）

由定理13.11： $S^{'} (x) = n \to \infty lim S_{n}^{'} (x) = n \to \infty lim k = 1 \sum n u_{k}^{'} (x) = n = 1 \sum \infty u_{n}^{'} (x) □$

注意：

定理13.12和定理13.14中的一致收敛的条件可以减弱为内闭一致收敛。

五、综合应用

5.1 例3：多重性质的证明

例3（教材例3）：设 $u_{n} (x) = \frac{ln ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}{n ^{3}}, n = 1, 2, \dots$

证明函数项级数 $\sum u_{n} (x)$ 在 $[0, 1]$ 上一致收敛，并讨论其和函数在 $[0, 1]$ 上的连续性、可积性与可微性。

证明

第1步：证明一致收敛

对每一个 $n$ ，易见 $u_{n} (x)$ 为 $[0, 1]$ 上增函数，故有： $u_{n} (x) \leq u_{n} (1) = \frac{ln ( 1 + n ^{2} )}{n ^{3}}$

又当 $t \geq 1$ 时，有不等式 $ln (1 + t^{2}) < t$ （可由 $\frac{d}{d t} [t - ln (1 + t^{2})] > 0$ 证明），所以： $u_{n} (x) \leq \frac{n}{n ^{3}} = \frac{1}{n ^{2}}, n = 1, 2, \dots$

以收敛级数 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 为 $\sum u_{n} (x)$ 的优级数，由Weierstrass M判别法， $\sum u_{n} (x)$ 在 $[0, 1]$ 上一致收敛。

第2步：连续性与可积性

由于每一个 $u_{n} (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，根据定理13.12与定理13.13， $\sum u_{n} (x)$ 的和函数 $S (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续且可积。

第3步：可微性

计算导数： $u_{n}^{'} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{ln ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}{n ^{3}}) = \frac{1}{n ^{3}} \cdot \frac{2 n ^{2} x}{1 + n ^{2} x ^{2}} = \frac{2 n x}{n ^{3} ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}$

$= \frac{2 x}{n ^{2} ( 1 + n ^{2} x ^{2} )} \leq \frac{2}{n ^{2}}$

因此： $∣ u_{n}^{'} (x) ∣ \leq \frac{2}{n ^{2}}$

由于 $\sum \frac{2}{n ^{2}}$ 收敛， $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 也是 $\sum u_{n}^{'} (x)$ 的优级数，故 $\sum u_{n}^{'} (x)$ 也在 $[0, 1]$ 上一致收敛。

由定理13.14，得 $S (x)$ 在 $[0, 1]$ 上可微，且： $S^{'} (x) = n = 1 \sum \infty u_{n}^{'} (x) = n = 1 \sum \infty \frac{2 n x}{n ^{3} ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}$

$□$

本例展示的技巧：

控制不等式：找到简单的上界
Weierstrass M判别法：建立优级数
系统验证：连续性、可积性、可微性逐一检验
不需要求出和函数：仅从级数本身获得性质

5.2 例4：高阶导数的存在性

例4（教材例4）：证明：函数 $g (x) = n = 2 \sum \infty \frac{ln ^{*} n}{n ^{x}}$ 在 $(1, + \infty)$ 上有连续的各阶导函数。

（这里 $ln^{*} n$ 表示迭代对数， $ln^{*} n = ln (ln (\dots (ln n) \dots))$ ）

证明

设 $u_{n} (x) = \frac{l n ^{*} n}{n ^{x}}$ ，则： $u_{n}^{(k)} (x) = (- 1)^{k} \frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{x}}, k = 1, 2, \dots$

设 $[a, b] \subset (1, + \infty)$ ，对任意 $x \in [a, b]$ ，有： $∣ u_{n}^{(k)} (x) ∣ = \frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{x}} \leq \frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{a}}$

关键估计：

由于： $n \to \infty lim \frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{(a + 1) /2}} = 0$

（对数增长远慢于幂增长）

因此对充分大的 $n$ ： $\frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{a}} \leq \frac{1}{n ^{(a + 1) /2}}$

由于 $\sum \frac{1}{n ^{(a + 1) /2}}$ 收敛（ $\frac{a + 1}{2} > 1$ ），所以 $\sum u_{n}^{(k)} (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。

结论：

$\sum u_{n} (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上内闭一致收敛。

对 $k = 0, 1, 2, \dots$ ，反复用定理13.12和定理13.14， $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有连续的各阶导函数，且： $g^{(k)} (x) = n = 2 \sum \infty u_{n}^{(k)} (x) = n = 2 \sum \infty (- 1)^{k} \frac{( ln n ) ^{k} ln ^{*} n}{n ^{x}}$

$□$

六、定理意义的深刻理解

本节六个定理的核心意义

定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式 (2)—(4)、(6)—(8)，更重要的是：

根据定理的条件，即使没有求出极限函数或和函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质。

具体体现：

定理	不需要知道	能够推断出
连续性	极限函数 $f (x)$ 的表达式	$f$ 在某点或某区间连续
可积性	极限函数 $f (x)$ 的积分	$\int f = lim \int f_{n}$
可微性	极限函数 $f (x)$ 的导数	$f^{'} = lim f_{n}^{'}$

思维转变：

传统思路：

求出 f(x) → 验证 f 连续 → 计算 ∫f → 求 f'

新思路：

验证 fₙ 满足定理条件 → 直接推断 f 的性质
             ↓
     不需要显式求出 f(x)！

七、定理总结与比较

7.1 三大定理的对比

性质	定理	对原函数列的要求	关键条件	结论
连续性	13.9	$f_{n}$ 连续	$f_{n} ⇉ f$	$f$ 连续
可积性	13.10	$f_{n}$ 连续	$f_{n} ⇉ f$	$\int f = lim \int f_{n}$
可微性	13.11	$f_{n}$ 可微， $f_{n}^{'}$ 连续	① $f_{n} (x_{0})$ 收敛 ② $f_{n}^{'} ⇉ g$	$f^{'} = g = lim f_{n}^{'}$

关键观察：

连续性和可积性要求原函数列一致收敛
可微性只要求导函数列一致收敛（原函数列有一个收敛点即可）
可微性的条件看似更弱，但实际上更强（需要导数存在且连续）

7.2 函数项级数版本的对比

性质	定理	条件	结论
连续性	13.12	① $\sum u_{n}$ 一致收敛 ②每项连续	$S (x)$ 连续
逐项积分	13.13	① $\sum u_{n}$ 一致收敛 ②每项连续	$\int \sum u_{n} = \sum \int u_{n}$
逐项求导	13.14	① $\sum u_{n} (x_{0})$ 收敛 ②每项可微， $u_{n}^{'}$ 连续 ③ $\sum u_{n}^{'}$ 一致收敛	$(\sum u_{n})^{'} = \sum u_{n}^{'}$

7.3 充分性vs必要性总结

重要结论

连续性保持：一致收敛是充分非必要条件
- 反例：内闭一致收敛但不一致收敛的情况
积分可交换：一致收敛是充分非必要条件
- 反例：例1中 $α_{n} = 1$ 的情况
导数可交换：导函数列一致收敛是充分非必要条件
- 反例：例2

但是：

这些条件都是易于验证的充分条件
在实际应用中非常有效
必要性的缺失不影响定理的实用价值

八、应用技巧总结

8.1 验证一致收敛性的策略

面对函数项级数 Σuₙ(x)
│
├─ 第1步：寻找控制函数
│  ├─ 估计 |uₙ(x)|
│  ├─ 找到与x无关的上界 Mₙ
│  └─ 验证 ΣMₙ 收敛
│
├─ 第2步：应用Weierstrass M判别法
│  └─ 得到一致收敛性
│
├─ 第3步：讨论连续性
│  ├─ 验证每项连续
│  └─ 应用定理13.12
│
├─ 第4步：讨论可积性
│  └─ 应用定理13.13（逐项积分）
│
└─ 第5步：讨论可微性
   ├─ 计算 uₙ'(x)
   ├─ 证明 Σuₙ' 一致收敛
   └─ 应用定理13.14（逐项求导）

8.2 常用不等式技巧

技巧1：对数不等式

当 $t \geq 1$ 时： $ln (1 + t^{2}) < t$

证明：令 $f (t) = t - ln (1 + t^{2})$ ， $f^{'} (t) = 1 - \frac{2 t}{1 + t ^{2}} > 0$ （ $t \geq 1$ ）

技巧2：指数控制

$\frac{( ln n ) ^{k}}{n ^{α}} \to 0 (n \to \infty, α > 0)$

对数增长远慢于幂增长。

技巧3：三角函数控制

$∣ sin (n x) ∣ \leq 1, ∣ cos (n x) ∣ \leq 1$

用于估计三角级数。

技巧4：单调性利用

若 $u_{n} (x)$ 单调，则： $x \in [a, b] sup ∣ u_{n} (x) ∣ = max {∣ u_{n} (a) ∣, ∣ u_{n} (b) ∣}$

8.3 逐项求导的注意事项

警告：常见错误

❌ 错误1：以为原级数一致收敛就能逐项求导

正确：必须验证导数级数一致收敛！

❌ 错误2：忘记验证导函数连续性

正确：定理13.14要求每项导函数连续。

❌ 错误3：忘记验证原级数至少有一个收敛点

正确：定理13.14需要 $\sum u_{n} (x_{0})$ 收敛。

正确的验证流程：

要验证 (Σuₙ)' = Σuₙ'
│
├─ ✓ 验证 Σuₙ(x₀) 收敛（至少一点）
├─ ✓ 验证每个 uₙ 可微
├─ ✓ 验证每个 uₙ' 连续
└─ ✓ 验证 Σuₙ' 一致收敛 ← 最关键！
   │
   └─ 结论：可以逐项求导

九、典型题型与解题模板

9.1 题型1：验证一致收敛性并讨论性质

模板：

第1步：估计 $∣ u_{n} (x) ∣$

利用函数单调性
利用不等式
找到与 $x$ 无关的上界 $M_{n}$

第2步：应用Weierstrass M判别法

验证 $\sum M_{n}$ 收敛
结论： $\sum u_{n} (x)$ 一致收敛

第3步：讨论连续性

验证每项连续
应用定理13.12
结论：和函数连续

第4步：讨论可积性

应用定理13.13
结论：可逐项积分

第5步：讨论可微性

计算 $u_{n}^{'} (x)$
估计 $∣ u_{n}^{'} (x) ∣$
验证 $\sum u_{n}^{'} (x)$ 一致收敛
应用定理13.14
结论：可逐项求导

9.2 题型2：证明不一致收敛

方法1：用逆否命题

若和函数不连续 $\Rightarrow$ 不一致收敛

方法2：用上确界判别法

证明： $x \in D sup ∣ S_{n} (x) - S (x) ∣ \neq \to 0$

方法3：构造点列

找到 ${x_{n}} \subset D$ 使得： $∣ S_{n} (x_{n}) - S (x_{n}) ∣ \geq ε_{0} > 0$

9.3 题型3：积分与极限的交换

关键判断：

$n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = ? \int_{a}^{b} n \to \infty lim f_{n} (x) d x$

判别步骤：

求极限函数 $f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$
判断是否一致收敛
- 若一致收敛 $\Rightarrow$ 可交换 ✓
- 若不一致收敛 $\Rightarrow$ 需要具体计算验证

9.4 题型4：求导与极限的交换

关键判断：

$(n \to \infty lim f_{n} (x))^{'} = ? n \to \infty lim f_{n}^{'} (x)$

判别步骤：

验证 $f_{n} (x_{0})$ 收敛（至少一点）
计算 $f_{n}^{'} (x)$
验证 $f_{n}^{'}$ 连续
判断 ${f_{n}^{'}}$ 是否一致收敛
- 若一致收敛 $\Rightarrow$ 可交换 ✓
- 若不一致收敛 $\Rightarrow$ 不能直接应用定理

十、习题选讲

习题13.2-1

题目：讨论下列各函数列 ${f_{n}}$ 在所定义的区间上：

(a) ${f_{n}}$ 与 ${f_{n}^{'}}$ 的一致收敛性

(b) ${f_{n}}$ 是否有定理13.9、13.10、13.11的条件与结论

(1) $f_{n} (x) = \frac{x}{2 x + n}$ , $x \in [0, b]$

(2) $f_{n} (x) = x^{n}$ , $x \in [0, 1]$

(3) $f_{n} (x) = n x e^{- n x}$ , $x \in [0, 1]$

解 (1)： $f_{n} (x) = \frac{x}{2 x + n}$ , $x \in [0, b]$

极限函数： $f (x) = n \to \infty lim \frac{x}{2 x + n} = 0, x \in [0, b]$

一致收敛性： $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = \frac{x}{2 x + n} \leq \frac{b}{n} \to 0$

$x \in [0, b] sup ∣ f_{n} (x) - 0∣ \leq \frac{b}{n} \to 0$

因此 ${f_{n}}$ 在 $[0, b]$ 上一致收敛于 $0$ 。

导函数： $f_{n}^{'} (x) = \frac{( 2 x + n ) - x \cdot 2}{( 2 x + n ) ^{2}} = \frac{n}{( 2 x + n ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = 0$

导函数列的一致收敛性： $∣ f_{n}^{'} (x) - 0∣ = \frac{n}{( 2 x + n ) ^{2}}$

当 $x = 0$ 时： $f_{n}^{'} (0) = \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} \to 0$

但： $x \in [0, b] sup f_{n}^{'} (x) = f_{n}^{'} (0) = \frac{1}{n} \to 0$

因此 ${f_{n}^{'}}$ 在 $[0, b]$ 上一致收敛于 $0$ 。

定理验证：

定理13.9（连续性）： $f_{n}$ 连续， $f_{n} ⇉ f$ $\Rightarrow$ $f$ 连续 ✓
定理13.10（可积性）： $f_{n}$ 连续， $f_{n} ⇉ f$ $\Rightarrow$ $\int f_{n} \to \int f$ ✓
定理13.11（可微性）： $f_{n} (0)$ 收敛， $f_{n}^{'}$ 连续， $f_{n}^{'} ⇉ 0$ $\Rightarrow$ $f^{'} = 0$ ✓

$□$

解 (2)： $f_{n} (x) = x^{n}$ , $x \in [0, 1]$

极限函数： $f (x) = {0, 1, x \in [0, 1) x = 1$

一致收敛性：

$f$ 在 $x = 1$ 不连续，而每个 $f_{n}$ 连续。

由定理13.9的逆否命题， ${f_{n}}$ 在 $[0, 1]$ 上不一致收敛。

导函数： $f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1}$

导函数的极限： $n \to \infty lim n x^{n - 1} = {0, n \to \infty, x \in [0, 1) x = 1$

在 $x = 1$ 时， $f_{n}^{'} (1) = n \to \infty$ ，发散。

因此 ${f_{n}^{'}}$ 在 $[0, 1]$ 上不收敛（更不用说一致收敛）。

定理验证：

定理13.9（连续性）：❌ 不满足条件（不一致收敛）
- 结论不成立： $f$ 不连续
定理13.10（可积性）：❌ 不满足条件（不一致收敛）
- 验证结论： $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{1}{n + 1} \to 0$ $\int_{0}^{1} f (x) d x = 0$
- 结论偶然成立（但不能由定理得出）
定理13.11（可微性）：❌ 不满足条件（ $f_{n}^{'}$ 不一致收敛）
- 极限函数在 $(0, 1)$ 上 $f^{'} = 0$ ，但 $lim f_{n}^{'} (x) = 0$ 在 $x = 1$ 不成立

$□$

解 (3)： $f_{n} (x) = n x e^{- n x}$ , $x \in [0, 1]$

极限函数： $f (x) = n \to \infty lim n x e^{- n x} = 0, x \in [0, 1]$

（对 $x > 0$ ， $e^{n x}$ 增长快于 $n x$ ；对 $x = 0$ ，显然为 $0$ ）

一致收敛性：

求 $sup_{x \in [0, 1]} ∣ n x e^{- n x} ∣$ 。

令 $g (x) = n x e^{- n x}$ ，求导： $g^{'} (x) = n e^{- n x} - n^{2} x e^{- n x} = n e^{- n x} (1 - n x)$

$g^{'} (x) = 0$ 当 $x = \frac{1}{n}$ 。

最大值： $g (\frac{1}{n}) = n \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{- 1} = e^{- 1}$

因此： $x \in [0, 1] sup ∣ f_{n} (x) - 0∣ = e^{- 1} \neq \to 0$

${f_{n}}$ 在 $[0, 1]$ 上不一致收敛。

导函数： $f_{n}^{'} (x) = n e^{- n x} - n^{2} x e^{- n x} = n e^{- n x} (1 - n x)$

导函数的极限：

对 $x \in (0, 1]$ ： $n \to \infty lim n e^{- n x} (1 - n x) = n \to \infty lim \frac{n ( 1 - n x )}{e ^{n x}} = 0$

（分子是 $O (n)$ ，分母是 $e^{n x}$ ）

但在 $x = 0$ 时： $f_{n}^{'} (0) = n$

发散！

一致收敛性（导函数列）：

在 $[δ, 1]$ （ $δ > 0$ ）上： $∣ f_{n}^{'} (x) ∣ = ∣ n e^{- n x} (1 - n x) ∣ \leq n e^{- n δ} + n^{2} e^{- n δ} = O (n^{2} e^{- n δ}) \to 0$

因此 ${f_{n}^{'}}$ 在 $(0, 1]$ 上内闭一致收敛于 $0$ 。

但在 $[0, 1]$ 上不一致收敛（因为 $f_{n}^{'} (0) = n \to \infty$ ）。

定理验证：

定理13.9（连续性）：❌ 不满足条件（不一致收敛）
- 但 $f = 0$ 仍然连续（偶然）
定理13.10（可积性）：❌ 不满足条件（不一致收敛）
- 验证结论： $\int_{0}^{1} n x e^{- n x} d x = [- \frac{n x + 1}{n} e^{- n x}]_{0}^{1} = \frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n} e^{- n} \to 0$ $\int_{0}^{1} 0 d x = 0$
- 结论偶然成立
定理13.11（可微性）：❌ 不满足条件（ $f_{n}^{'}$ 在 $[0, 1]$ 上不一致收敛）
- 但在 $(0, 1]$ 上内闭一致收敛，由推论知 $f^{'} = 0$ 在 $(0, 1]$ 上

$□$

习题13.2-2

题目：证明函数项级数 $n = 1 \sum \infty \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上一致收敛，并求其和函数。

解

第1步：求收敛域

$u_{n} (x) = \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$

这是几何级数 $\sum a r^{n - 1}$ ，其中：

$a = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$
$r = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

收敛条件： $∣ r ∣ < 1$ ，即 $\frac{1}{1 + x ^{2}} < 1$ 。

这对所有 $x \in R$ 都成立（因为 $1 + x^{2} > 1$ ）。

收敛域： $(- \infty, + \infty)$

第2步：求和函数

$S (x) = n = 1 \sum \infty \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot n = 0 \sum \infty (\frac{1}{1 + x ^{2}})^{n}$

$= \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{1 + x ^{2}}{x ^{2}} = 1$

因此： $S (x) = 1, x \in R$

第3步：证明一致收敛

余项： $R_{n} (x) = S (x) - S_{n} (x) = 1 - S_{n} (x)$

其中： $S_{n} (x) = k = 1 \sum n \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{k}} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{1 + x ^{2}} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}}$

$= \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{n} - 1}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} ) ^{n - 1}} = \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{n} - 1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} = 1 - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$

因此： $R_{n} (x) = 1 - (1 - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}) = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$

第4步：估计余项

$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} \leq 1$

但这个界不够紧，无法说明一致收敛到 $0$ 。

重新分析：

$x \in R sup ∣ R_{n} (x) ∣ = x \in R sup \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} = 1$

（在 $x = 0$ 时达到）

这似乎说明不一致收敛？

再次检查：

等等， $R_{n} (0) = \frac{1}{1} = 1 \neq \to 0$ ！

这表明在 $x = 0$ 时，级数的和不是 $1$ ？

验证： $S (0) = n = 1 \sum \infty \frac{0}{1} = 0 \neq = 1$

错误：原来的计算有误！

正确计算和函数：

当 $x = 0$ 时： $S (0) = n = 1 \sum \infty 0 = 0$

当 $x \neq = 0$ 时： $S (x) = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} n = 0 \sum \infty (\frac{1}{1 + x ^{2}})^{n} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{1 + x ^{2}}{x ^{2}} = 1$

因此： $S (x) = {0, 1, x = 0 x \neq = 0$

$S$ 在 $x = 0$ 不连续！

重新讨论一致收敛性：

由于和函数不连续，而每个 $u_{n} (x)$ 连续，由定理13.9的逆否命题，级数在 $R$ 上不一致收敛。

但在任何不包含 $0$ 的区间上，如 $[δ, + \infty)$ 或 $(- \infty, - δ]$ （ $δ > 0$ ），级数一致收敛于 $1$ 。

正确结论：

该级数在 $R$ 上不一致收敛，但在 $R ∖ {0}$ 上内闭一致收敛，和函数为： $S (x) = {0, 1, x = 0 x \neq = 0$

$□$

习题13.2-3

题目：设函数项级数 $n = 1 \sum \infty u_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。证明： $λ \to 0 lim \int_{a}^{b} S (x + λ) d x = \int_{a}^{b} S (x) d x$

其中 $S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ 。

证明

方法1：直接法

由定理13.12， $S (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

对于连续函数，积分是连续的，即： $λ \to 0 lim \int_{a}^{b} S (x + λ) d x = \int_{a}^{b} λ \to 0 lim S (x + λ) d x = \int_{a}^{b} S (x) d x$

$□$

方法2：用一致收敛性

第1步：由一致收敛性，对任给 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时： $∣ S_{n} (x) - S (x) ∣ < \frac{ε}{3 ( b - a )}, \forall x \in [a, b]$

第2步：由 $S_{n}$ 连续（有限和），对 $λ$ 充分小： $∣ S_{n} (x + λ) - S_{n} (x) ∣ < \frac{ε}{3 ( b - a )}$

第3步：估计 $\int_{a}^{b} S (x + λ) d x - \int_{a}^{b} S (x) d x$ $\leq \int_{a}^{b} ∣ S (x + λ) - S (x) ∣ d x$ $\leq \int_{a}^{b} [∣ S (x + λ) - S_{n} (x + λ) ∣ + ∣ S_{n} (x + λ) - S_{n} (x) ∣ + ∣ S_{n} (x) - S (x) ∣] d x$ $< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε$

$□$

十一、高级主题与拓展

11.1 Dini定理

定理（Dini定理）

设 ${f_{n}}$ 是紧集 $K$ （如 $[a, b]$ ）上的连续函数列，在 $K$ 上逐点单调收敛于连续函数 $f$ 。则 ${f_{n}}$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f$ 。

证明思路：

利用紧致性（有限覆盖定理）。

对任给 $ε > 0$ ，对每个 $x \in K$ ，由逐点收敛知存在 $N_{x}$ ，当 $n > N_{x}$ 时： $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < \frac{ε}{2}$

由连续性，存在 $δ_{x}$ ，使得在 $∣ y - x ∣ < δ_{x}$ 时： $∣ f_{N_{x}} (y) - f_{N_{x}} (x) ∣ < \frac{ε}{2}$

开区间 ${(x - δ_{x}, x + δ_{x})}$ 覆盖 $K$ ，由紧致性，存在有限子覆盖。

取 $N = max {N_{x_{1}}, \dots, N_{x_{k}}}$ ，可证对所有 $x \in K$ ： $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$

$□$

Dini定理的意义：

在单调性和紧致性的双重保证下，逐点收敛自动升级为一致收敛！

11.2 Arzelà-Ascoli定理

定理（Arzelà-Ascoli）

设 ${f_{n}}$ 是 $[a, b]$ 上的函数列。若：

(i) ${f_{n}}$ 一致有界：存在 $M$ ，对所有 $n$ 和 $x$ ： $∣ f_{n} (x) ∣ \leq M$

(ii) ${f_{n}}$ 等度连续：对任给 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ （与 $n$ 无关），使得对所有 $n$ 和 $∣ x - y ∣ < δ$ ： $∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ < ε$

则 ${f_{n}}$ 有一致收敛的子列。

意义：

这是函数空间中的Bolzano-Weierstrass定理，提供了函数列子列收敛的充分条件。

在偏微分方程、变分法、泛函分析中有重要应用。

11.3 Stone-Weierstrass定理

定理（Weierstrass逼近定理）

设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数。则对任给 $ε > 0$ ，存在多项式 $P (x)$ ，使得： $x \in [a, b] sup ∣ f (x) - P (x) ∣ < ε$

即：连续函数可以用多项式一致逼近。

意义：

多项式在连续函数空间中稠密
为数值分析提供理论基础
连续函数可以用简单函数（多项式）任意精确逼近

推广：Stone-Weierstrass定理将其推广到任意紧Hausdorff空间上的连续函数代数。

十二、与其他数学分支的联系

12.1 与泛函分析的联系

函数空间：

连续函数空间 $C ([a, b])$ 配备上确界范数： $∥ f ∥_{\infty} = x \in [a, b] sup ∣ f (x) ∣$

一致收敛的等价表述： $f_{n} ⇉ f ⟺ ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$

即：一致收敛 = 范数收敛

完备性：

$(C ([a, b]), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ 是完备的赋范线性空间（Banach空间）。

一致收敛的Cauchy准则 ⇔ Banach空间的Cauchy列收敛。

12.2 与实变函数的联系

逐点收敛vs几乎处处收敛：

在测度论中，逐点收敛推广为几乎处处收敛。

一致收敛vs依测度收敛：

一致收敛是比依测度收敛更强的条件。

控制收敛定理（Lebesgue）：

在Lebesgue积分意义下，有更弱的积分交换条件：

若 $f_{n} \to f$ a.e.，且 $∣ f_{n} ∣ \leq g$ （ $g$ 可积），则： $n \to \infty lim \int f_{n} = \int f$

这放宽了一致收敛的要求。

12.3 与复变函数的联系

Weierstrass定理（复版本）：

设 ${f_{n}}$ 是区域 $D$ 上的解析函数列，在 $D$ 上内闭一致收敛于 $f$ ，则：

(i) $f$ 在 $D$ 上解析

(ii) $f_{n}^{(k)} ⇉ f^{(k)}$ 在 $D$ 上内闭一致收敛（对任何 $k \geq 0$ ）

意义：

解析函数的极限仍是解析函数，且可以逐项求任意阶导数！

这比实变情况强得多（实变需要每次验证导数一致收敛）。

12.4 与微分方程的联系

Picard逐次逼近法：

求解ODE初值问题： $y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}$

构造迭代序列： $y_{n + 1} (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n} (t)) d t$

关键步骤：证明 ${y_{n}}$ 一致收敛到解 $y$ 。

利用：

Lipschitz条件保证压缩映射
一致收敛保证极限函数是解

十三、本节核心要点总结

§13.2 一致收敛的性质·核心要点

一、六大定理体系

定理	核心内容	关键条件
13.8	极限交换	$f_{n} ⇉ f$ ， $lim_{x \to x_{0}} f_{n}$ 存在
13.9	连续性保持	$f_{n} ⇉ f$ ， $f_{n}$ 连续
13.10	逐项积分	$f_{n} ⇉ f$ ， $f_{n}$ 连续
13.11	逐项求导	$f_{n}^{'}$ 连续， $f_{n}^{'} ⇉ g$ ， $f_{n} (x_{0})$ 收敛
13.12	级数连续性	$\sum u_{n}$ 一致收敛， $u_{n}$ 连续
13.13	级数逐项积分	$\sum u_{n}$ 一致收敛， $u_{n}$ 连续
13.14	级数逐项求导	$\sum u_{n}^{'}$ 一致收敛， $u_{n}^{'}$ 连续， $\sum u_{n} (x_{0})$ 收敛

二、核心思想

$一致收敛 + 各项性质 \Rightarrow 极限 / 和函数的性质$

不需要显式求出极限函数！

三、注意事项

连续性、可积性：原函数列需一致收敛
可微性：导函数列需一致收敛（关键！）
一致收敛是充分非必要条件
内闭一致收敛足够保证性质

四、应用流程

给定 Σuₙ(x)
    ↓
证明一致收敛（Weierstrass M等）
    ↓
应用定理13.12 → S(x)连续
    ↓
应用定理13.13 → 可逐项积分
    ↓
验证 Σuₙ' 一致收敛
    ↓
应用定理13.14 → 可逐项求导

十四、思维导图总结

§13.2 一致收敛的性质·完整思维导图

§13.2 一致收敛的性质
│
├─ 一、极限交换（定理13.8）
│  ├─ lim lim fₙ(x) = lim lim fₙ(x)
│  │   n→∞ x→x₀      x→x₀ n→∞
│  └─ 基础定理，其他定理的理论基础
│
├─ 二、连续性（定理13.9）
│  ├─ fₙ ⇉ f，fₙ连续 ⇒ f连续
│  ├─ 逆否命题：f不连续 ⇒ 不一致收敛
│  └─ 推广：内闭一致收敛
│
├─ 三、可积性（定理13.10）
│  ├─ fₙ ⇉ f，fₙ连续 ⇒ lim∫fₙ = ∫f
│  ├─ 极限与积分可交换
│  ├─ 反例：充分非必要
│  └─ 级数版本（定理13.13）：∫Σuₙ = Σ∫uₙ
│
├─ 四、可微性（定理13.11）
│  ├─ 条件：①fₙ(x₀)收敛 ②fₙ'连续 ③fₙ' ⇉ g
│  ├─ 结论：f' = g = lim fₙ'
│  ├─ 关键：导函数列必须一致收敛
│  ├─ 反例：充分非必要
│  └─ 级数版本（定理13.14）：(Σuₙ)' = Σuₙ'
│
├─ 五、应用技巧
│  ├─ Weierstrass M判别法
│  ├─ 不等式估计
│  ├─ 逐步验证各性质
│  └─ 不需要求出和函数
│
└─ 六、深层意义
   ├─ 函数空间的拓扑结构
   ├─ 分析运算的合法性
   ├─ 无穷与有限的桥梁
   └─ 现代分析的基础

十五、结语

THE POWER OF UNIFORM CONVERGENCE

一致收敛的力量

"Uniform convergence is the guardian angel
that protects the soul of functions
through the passage from finite to infinite."

"一致收敛是守护天使，
在从有限到无穷的旅程中，
保护着函数的灵魂。"

核心洞察

一致收敛不仅仅是技术条件，它是数学和谐性的体现：

✓ 连续性保持 → 函数的"形状"不变
✓ 可积性保持 → 函数的"总量"不变
✓ 可微性保持 → 函数的"变化率"不变

从判别到应用的飞跃

§13.1：如何判断一致收敛？
§13.2：一致收敛能做什么？

两节结合，构成完整理论体系：

判别工具（Weierstrass M等）
应用定理（连续、可积、可微）
实际应用（级数求和、积分、求导）

历史回响

19世纪数学家的智慧：

Cauchy 的困惑 → Weierstrass 的解决
Abel 的直觉 → Dirichlet 的严格化
反例的震撼 → 理论的完善

展望未来

下一节 §13.3 幂级数，将应用本节理论：

幂级数的内闭一致收敛
和函数的连续性、可微性
Taylor展开的严格理论
解析函数的性质

§13.2 一致收敛的性质·完

Next: §13.3 幂级数

"In the realm of infinite processes,
uniform convergence is the light
that guides us safely home."

"在无穷过程的领域中，
一致收敛是光明，
指引我们安全归家。"

附录：定理速查表

§13.2 定理速查表

编号	名称	条件	结论	应用
13.8	极限交换	$f_{n} ⇉ f$ $lim_{x \to x_{0}} f_{n} = a_{n}$	$lim_{n} lim_{x} f_{n} = lim_{x} lim_{n} f_{n}$	理论基础
13.9	连续性	$f_{n} ⇉ f$ $f_{n}$ 连续	$f$ 连续	判别不一致收敛
13.10	逐项积分	$f_{n} ⇉ f$ $f_{n}$ 连续	$lim \int f_{n} = \int lim f_{n}$	计算积分
13.11	逐项求导	$f_{n} (x_{0})$ 收敛 $f_{n}^{'}$ 连续 $f_{n}^{'} ⇉ g$	$f^{'} = lim f_{n}^{'} = g$	求导数
13.12	级数连续性	$\sum u_{n}$ 一致收敛 $u_{n}$ 连续	$S$ 连续	和函数性质
13.13	级数逐项积分	$\sum u_{n}$ 一致收敛 $u_{n}$ 连续	$\int \sum u_{n} = \sum \int u_{n}$	积分计算
13.14	级数逐项求导	$\sum u_{n} (x_{0})$ 收敛 $u_{n}^{'}$ 连续 $\sum u_{n}^{'}$ 一致收敛	$(\sum u_{n})^{'} = \sum u_{n}^{'}$	求导计算

参考文献

华东师范大学数学系，《数学分析》（第5版下册），高等教育出版社
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
Tom Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed.
Elias Stein & Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces
Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series
G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics
E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, 2nd ed.
Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis

全文完

希望这份完整的知识系统能帮助你深入理解一致收敛的性质及其应用！本节是整个函数级数理论的核心，掌握它将为后续幂级数、Fourier级数的学习打下坚实基础。

如需继续学习§13.3幂级数或其他章节，请随时告知！📚✨

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