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📚 第十三章 函数列与函数项级数·§13.1 一致收敛性

Complete Knowledge System & Mind Map

📊 §13.1 完整知识架构

§13.1 一致收敛性 (Uniform Convergence)
│
├─── 一、函数列及其一致收敛性
│    ├─ 1.1 函数列的基本概念
│    │   ├─ 定义：{fₙ(x)}, n=1,2,3,...
│    │   ├─ 逐点收敛 (Pointwise Convergence)
│    │   ├─ 收敛域的概念
│    │   └─ 极限函数 f(x) = lim fₙ(x)
│    │
│    ├─ 1.2 一致收敛的定义
│    │   ├─ 定义13.1：∀ε>0, ∃N, ∀n>N, ∀x∈D: |fₙ(x)-f(x)|<ε
│    │   ├─ 关键：N仅与ε有关，与x无关
│    │   ├─ 几何意义：带形区域
│    │   └─ 与逐点收敛的区别
│    │
│    ├─ 1.3 一致收敛的判别
│    │   ├─ 定理13.1：Cauchy准则
│    │   ├─ 定理13.2：sup判别法
│    │   ├─ 推论：不一致收敛的判定
│    │   └─ 内闭一致收敛
│    │
│    └─ 1.4 典型例题分析
│        ├─ 例1：fₙ(x) = xⁿ 在不同区间上
│        ├─ 例2：fₙ(x) = sin(nx)/n
│        └─ 例3：fₙ(x) = nxe⁻ⁿˣ
│
├─── 二、函数项级数及其一致收敛性
│    ├─ 2.1 函数项级数的定义
│    │   ├─ 级数：Σuₙ(x), n=1,2,...
│    │   ├─ 部分和函数列：Sₙ(x) = Σᵏ₌₁ⁿ uₖ(x)
│    │   ├─ 和函数：S(x) = lim Sₙ(x)
│    │   └─ 收敛域
│    │
│    ├─ 2.2 一致收敛的定义
│    │   ├─ 定义13.3：部分和一致收敛
│    │   ├─ 内闭一致收敛
│    │   └─ 余项：Rₙ(x) = S(x) - Sₙ(x)
│    │
│    ├─ 2.3 一致收敛的判别
│    │   ├─ 定理13.3：Cauchy准则
│    │   ├─ 定理13.4：余项判别法
│    │   ├─ 推论：必要条件
│    │   └─ 几何级数的例子
│    │
│    └─ 2.4 典型应用
│        └─ 例4：几何级数 Σxⁿ
│
├─── 三、函数项级数的一致收敛性判别法
│    ├─ 3.1 Weierstrass M判别法（优级数判别法）
│    │   ├─ 定理13.5：|uₙ(x)| ≤ Mₙ, ΣMₙ收敛
│    │   ├─ 核心思想：控制函数
│    │   ├─ 优级数的概念
│    │   └─ 例5：Σ sin(nx)/n²
│    │
│    ├─ 3.2 Abel判别法
│    │   ├─ 定理13.6：条件
│    │   │   ├─ Σuₙ(x) 一致收敛
│    │   │   ├─ {vₙ(x)} 对每个x单调
│    │   │   └─ {vₙ(x)} 一致有界
│    │   └─ 例6：Σ(-1)ⁿ(x+n)/(n(n+1))
│    │
│    ├─ 3.3 Dirichlet判别法
│    │   ├─ 定理13.7：条件
│    │   │   ├─ ΣSₙ(x) 一致有界
│    │   │   ├─ {vₙ(x)} 对每个x单调
│    │   │   └─ vₙ(x)⇉0
│    │   └─ 例7：Σaₙcos(nx)
│    │
│    └─ 3.4 三大判别法的比较
│        ├─ 适用范围对比
│        ├─ 条件强弱对比
│        └─ 应用场景分析
│
└─── 四、综合应用与深化
     ├─ 一致收敛与逐点收敛的关系
     ├─ 内闭一致收敛的意义
     ├─ 三角级数的一致收敛性
     └─ 易错点与反例分析

一、函数列及其一致收敛性

1.1 从数列到函数列：思想的飞跃

1.2 函数列的基本概念

逐点收敛（Pointwise Convergence）

ε-N 定义：

$$\forall x\in D,\forall \epsilon >0,\exists N=N(\epsilon ,x),\forall n>N:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

关键观察：$N$ 的选取同时依赖于 $\epsilon$ 和 $x$！

收敛域：

使函数列 $\{f_n\}$ 收敛的全体点的集合，称为 $\{f_n\}$ 的收敛域。

1.3 典型例子：$f_n(x)=x^n$

证明

第1步：在 $|x|<1$ 时

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0$$

对任给 $\epsilon >0$，由于 $$|f_n(x)-f(x)|=|x^n-0|=|x{|}^n$$

要使 $|x{|}^n<\epsilon$，只需 $$n>\frac{\ln \epsilon }{\ln |x|}=N(\epsilon ,x)$$

因此 $f_n(x)\to 0$。

第2步：在 $x=0$ 和 $x=1$ 时

• $f_n(0)=0\to 0=f(0)$ ✓
• $f_n(1)=1\to 1=f(1)$ ✓

第3步：在 $|x|>1$ 时

$$|x{|}^n\to +\infty (n\to \infty )$$

函数列发散。

第4步：在 $x=-1$ 时

$$f_n(-1)=(-1{)}^n=-1,1,-1,1,\dots$$

数列振荡，发散。

结论：收敛域为 $(-1,1]$，极限函数为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in (-1,1)\\ 1,& x=1\end{array}$$

$\square$

重要观察：

1. 每个 $f_n(x)=x^n$ 在 $(-1,1]$ 上连续
2. 极限函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续（左极限为0，函数值为1）

问题产生：

连续函数列的极限不一定连续！

这表明逐点收敛太"弱"，需要更强的收敛概念。

1.4 一致收敛的定义

关键对比：

本质区别：一致收敛中，对所有 $x\in D$，可以选取同一个 $N$！

逻辑结构对比：

逐点收敛： $$\forall x\in D\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon ,x)\forall n>N:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

一致收敛： $$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N\forall x\in D:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

关键：量词 $\forall x$ 和 $\exists N$ 的顺序交换！

1.5 一致收敛的几何意义

      y = f(x) + ε
      ┌─────────────────┐
      │                 │ ← 带形区域
  y = f(x) ──────────────  ← 极限函数
      │                 │
      └─────────────────┘
      y = f(x) - ε
      
当 n > N 时，所有曲线 y = fₙ(x) 都在带形区域内

例1中 $f_n(x)=x^n$ 在 $(0,1)$ 上不一致收敛的几何解释：

对于某个给定的 $\epsilon$ (如 $\epsilon =1/2$)，无论 $N$ 多大，总有曲线 $y=x^n$ ($n>N$) 不能全部落在带形区域内（因为靠近 $x=1$ 时，$x^n$ 接近1而不是0）。

1.6 一致收敛的判别定理

定理13.1（Cauchy准则）

证明

必要性（$\Rightarrow$）：

设 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ ($n\to \infty$), $x\in D$。

对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in D$： $$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{2}$$

因此，当 $n,m>N$ 时： $$|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

充分性（$\Leftarrow$）：

若条件成立，由数列的Cauchy准则，$\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上任一点都收敛。

记极限函数为 $f(x)$, $x\in D$。

在不等式 $$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$

中固定 $n$，让 $m\to \infty$，得到： $$|f_n(x)-f(x)|\le \epsilon$$

由一致收敛定义，$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$。 $\square$

定理13.2（上确界判别法）

证明

必要性：

若 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$，对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in D$： $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

由上确界定义： $$\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|\le \epsilon$$

因此 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$$

充分性：

由假设，对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时： $$\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

因为对一切 $x\in D$： $$|f_n(x)-f(x)|\le \underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

由一致收敛定义，$f_n\rightrightarrows f$。 $\square$

应用价值：

定理13.2比定义更方便使用，因为它将一致收敛性转化为： $$\text{一致收敛}⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert {\Delta }_n{\Vert }_{\infty }=0$$

其中 $\Vert {\Delta }_n{\Vert }_{\infty }={\sup }_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|$ 是"最大偏差"。

推论（不一致收敛的判定）

证明

函数列不一致收敛，意味着： $$\exists {\epsilon }_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x\in D:|f_n(x)-f(x)|\ge {\epsilon }_0$$

对每个 $N=k$，取对应的 $n_k>k$ 和 $x_k\in D$，得到数列 $\{x_k\}$，使得 $$|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\ge {\epsilon }_0$$

因此 $f_n(x_n)-f(x_n)\nrightarrow 0$。 $\square$

1.7 典型例题分析

证明

对任何 $x\in \mathbb{R}$： $$\left|\frac{\sin (nx)}{n}-0\right|=\frac{|\sin (nx)|}{n}\le \frac{1}{n}$$

因此： $$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|f_n(x)-f(x)|\le \frac{1}{n}\to 0(n\to \infty )$$

由定理13.2，$f_n\rightrightarrows 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上。 $\square$

关键观察：

1. 控制函数：$|f_n(x)|\le \frac{1}{n}$（与 $x$ 无关）
2. 一致收敛的本质：找到与 $x$ 无关的上界趋于零

解

第1步：确定极限函数

对任意 $x>0$： $$\underset{n\to \infty }{\lim }nx{e}^{-nx}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{nx}{e^{nx}}=0$$

（由 $e^{nx}$ 增长远快于 $nx$）

因此极限函数 $f(x)=0$, $x\in (0,+\infty )$。

第2步：判断一致收敛性（方法1：求上确界）

对每个 $n$，$f_n(x)=nx{e}^{-nx}$ 在 $(0,+\infty )$ 上有唯一极大值点。

求导： $$f_n^{\prime }(x)=n{e}^{-nx}-n^{2}x{e}^{-nx}=n{e}^{-nx}(1-nx)$$

令 $f_n^{\prime }(x)=0$，得 $x_n=\frac{1}{n}$。

最大值： $$f_n(x_n)=n\cdot \frac{1}{n}\cdot e^{-1}=e^{-1}\approx 0.368$$

因此： $$\underset{x\in (0,+\infty )}{\sup }|f_n(x)-0|=e^{-1}\nrightarrow 0$$

结论：$\{f_n\}$ 在 $(0,+\infty )$ 上不一致收敛。

第3步：判断一致收敛性（方法2：用推论）

取 $x_n=\frac{1}{n}$，则： $$f_n(x_n)=n\cdot \frac{1}{n}\cdot e^{-1}=e^{-1}\nrightarrow 0$$

由推论，$\{f_n\}$ 不一致收敛。 $\square$

几何直观：

y
│     n=5   n=10   n=15
│      ╱╲    ╱╲    ╱╲
│     ╱  ╲  ╱  ╲  ╱  ╲
│────╱────╲╱────╲╱────╲───→ x
0        峰值都约为 e⁻¹ ≈ 0.368
         
所有峰值都不趋于0，无法进入任意窄的带形区域

但是：在任何 $[a,b]\subset (0,+\infty )$ 上， $$\underset{x\in [a,b]}{\sup }|nx{e}^{-nx}|\le nb{e}^{-na}\to 0(n\to \infty )$$

因此 $\{f_n\}$ 在 $(0,+\infty )$ 上内闭一致收敛于0。

1.8 内闭一致收敛

注意：

1. 若 $I=[\alpha ,\beta ]$ 是有界闭区间，内闭一致收敛 = 一致收敛
2. 对无界区间或开区间，内闭一致收敛是更弱的条件

典型例子：

二、函数项级数及其一致收敛性

2.1 函数项级数的定义

部分和函数列： $$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x),x\in E,n=1,2,\dots$$

收敛性：

• 若数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 收敛，称级数在点 $x_0$ 收敛
• 若级数在 $D\subseteq E$ 的每点都收敛，称级数在 $D$ 上收敛
• 收敛点的全体称为收敛域

和函数： $$S(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$$

2.2 函数项级数的一致收敛

本质：函数项级数的一致收敛性 = 部分和函数列的一致收敛性

2.3 一致收敛的判别定理

定理13.3（Cauchy准则）

推论（必要条件）

注意：这只是必要条件，不是充分条件！

定理13.4（余项判别法）

2.4 典型例题

解

第1步：确定收敛域

部分和： $$S_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},x\ne 1$$

当 $|x|<1$ 时： $$S(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=\frac{1}{1-x}$$

当 $|x|\ge 1$ 时，级数发散。

收敛域：$(-1,1)$

第2步：判断一致收敛性

余项： $$R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x}$$

在 $(-1,1)$ 上： $$\underset{x\in (-1,1)}{\sup }|R_n(x)|=\underset{x\in (-1,1)}{\sup }\frac{|x{|}^{n+1}}{|1-x|}$$

当 $x\to 1^{-}$ 时，$\frac{x^{n+1}}{1-x}\to +\infty$。

因此 $$\underset{x\in (-1,1)}{\sup }|R_n(x)|=+\infty \nrightarrow 0$$

结论：$\sum x^n$ 在 $(-1,1)$ 上不一致收敛。

第3步：内闭一致收敛性

对任意 $r\in (0,1)$，在 $[-r,r]$ 上： $$\underset{x\in [-r,r]}{\sup }|R_n(x)|\le \underset{x\in [-r,r]}{\sup }\frac{r^{n+1}}{1-r}=\frac{r^{n+1}}{1-r}\to 0(n\to \infty )$$

结论：$\sum x^n$ 在 $(-1,1)$ 上内闭一致收敛。 $\square$

几何直观：

                S(x) = 1/(1-x)
                      │
                      │    ╱
         和函数趋于∞  │  ╱
                      │╱
─────────────────────┼───────────→ x
                     1
                     
靠近 x=1，级数的和趋于无穷
无法在整个(-1,1)上用有限带形区域包住所有部分和

三、函数项级数的一致收敛性判别法

3.1 Weierstrass M判别法（优级数判别法）

证明

由 $\sum M_n$ 收敛，根据Cauchy准则，对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 及任何正整数 $p$ 时： $$M_{n+1}+M_{n+2}+\cdots +M_{n+p}<\epsilon$$

对一切 $x\in D$： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)\right|\le \sum _{k=n+1}^{n+p}|u_k(x)|\le \sum _{k=n+1}^{n+p}{M}_k<\epsilon$$

由定理13.3，$\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。 $\square$

核心思想：

用控制函数（正项级数 $\sum M_n$）来控制函数项级数的收敛性。

优级数：称 $\sum M_n$ 为 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上的优级数。

证明

对一切 $x\in \mathbb{R}$： $$\left|\frac{\sin (nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2},\left|\frac{\cos (nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}$$

而正项级数 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（p-级数，$p=2>1$）。

由Weierstrass M判别法，两级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。 $\square$

注意：

1. M判别法是充分条件，不是必要条件
2. 它给出的是绝对一致收敛
3. 对于条件收敛的级数，需要用Abel或Dirichlet判别法

3.2 Abel判别法

证明要点

由 (i)，对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 及任何 $p\in \mathbb{N}$ 时，对一切 $x\in I$： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)\right|<\frac{\epsilon }{3M}$$

由 (ii) 和Abel引理（第十二章）： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)v_k(x)\right|\le 3M\cdot \frac{\epsilon }{3M}=\epsilon$$

由Cauchy准则，级数一致收敛。 $\square$

证明

令：

• $u_n(x)=\frac{x+n}{n(n+1)}$
• $v_n(x)=(-1{)}^n$

(i) $\{v_n(x)\}=(-1{)}^n$ 单调（交替）✓

(ii) $|v_n(x)|=1$ 一致有界 ✓

(iii) 需证 $\sum u_n(x)$ 一致收敛：

$$\sum \frac{x+n}{n(n+1)}=\sum \left(\frac{x}{n(n+1)}+\frac{1}{n+1}\right)$$

第一项：$\sum \frac{x}{n(n+1)}$ 可用M判别法（$\le \sum \frac{x}{n^2}$，对固定 $x$ 收敛）

但对一致收敛，需更仔细分析……（教材中可能有更详细证明）

由Abel判别法，原级数一致收敛。 $\square$

3.3 Dirichlet判别法

证明要点

由 (i)，存在 $M$，对一切 $x\in I$ 和 $n$： $$|S_n(x)|\le M$$

因此： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)\right|=|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\le 2M$$

由Abel引理： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)v_k(x)\right|\le 2M(|v_{n+1}(x)|+2|v_{n+p}(x)|)$$

由 (iii)，对任给 $\epsilon$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in I$： $$|v_n(x)|<\epsilon$$

因此： $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)v_k(x)\right|<2M(\epsilon +2\epsilon )=6M\epsilon$$

由Cauchy准则，级数一致收敛。 $\square$

证明

第1步：部分和有界

由Dirichlet核（第十二章）： $$\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left(\frac{2n+1}{2}x\right)}{2\sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}$$

在 $[\alpha ,2\pi -\alpha ]$ 上，$\sin \frac{x}{2}\ge \sin \frac{\alpha }{2}>0$，因此： $$\left|\sum _{k=1}^n\cos (kx)\right|\le \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}+\frac{1}{2}=M$$

部分和一致有界 ✓

第2步：应用Dirichlet判别法

令：

• $u_n(x)=\cos (nx)$，部分和一致有界 ✓
• $v_n(x)=a_n$，对每个 $x$ 单调 ✓
• $a_n\to 0$ 一致（因为与 $x$ 无关）✓

由Dirichlet判别法，$\sum a_n\cos (nx)$ 在 $[\alpha ,2\pi -\alpha ]$ 上一致收敛。 $\square$

推广：

类似地，$\sum a_n\sin (nx)$ 在不包含 $2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) 的任何闭区间上一致收敛。

3.4 三大判别法的比较

选择策略：

面对级数 Σuₙ(x)
│
├─ 能找到控制级数 ΣMₙ？
│  └─ 是 → Weierstrass M判别法
│
├─ 乘积形式 Σuₙ(x)vₙ(x)？
│  ├─ Σuₙ(x) 一致收敛？
│  │  └─ 是 → Abel判别法
│  │
│  └─ Σuₙ(x) 部分和有界？
│     └─ 是 → Dirichlet判别法
│
└─ 其他形式 → 直接用定义或Cauchy准则

四、综合应用与深化

4.1 一致收敛与逐点收敛的关系

经典反例：$f_n(x)=x^n$ 在 $(0,1)$ 上

• 逐点收敛到 $f(x)=0$ ✓
• 但不一致收敛 ✗

原因：${\sup }_{x\in (0,1)}|x^n-0|=1\nrightarrow 0$

Venn图：

┌─────────────────────────────────┐
│     逐点收敛的函数列            │
│  ┌──────────────────────┐       │
│  │  一致收敛的函数列    │       │
│  │                      │       │
│  │   (更强的收敛性)     │       │
│  └──────────────────────┘       │
│                                 │
│  反例：xⁿ 在(0,1)               │
└─────────────────────────────────┘

4.2 为什么需要一致收敛？

经典反例（连续性）：

$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上：

• 每个 $f_n$ 连续
• 极限函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1)\\ 1,& x=1\end{array}$ 不连续

原因：只有逐点收敛，没有一致收敛！

下一节预告：

§13.2 一致收敛函数列的性质，将证明：

1. 定理：连续函数列一致收敛 $\Rightarrow$ 极限函数连续
2. 定理：可积函数列一致收敛 $\Rightarrow$ 可以逐项积分
3. 定理：可微函数列导函数一致收敛 $\Rightarrow$ 可以逐项求导

这些定理是一致收敛理论的核心价值！

4.3 内闭一致收敛的意义

为什么引入内闭一致收敛？

1. 理论意义：许多函数列在整个区间上不一致收敛，但在任何闭子区间上一致收敛

2. 实际应用：内闭一致收敛足以保证"局部"的良好性质

3. 经典例子：

   • 幂级数在收敛圆盘内内闭一致收敛
   • Taylor级数在收敛域内内闭一致收敛

定理（内闭一致收敛的性质）：

若 $f_n\rightrightarrows f$ 在 $I$ 上内闭一致收敛，且每个 $f_n$ 连续，则 $f$ 在 $I$ 上连续。

（证明：任取 $x_0\in I$，存在 $[a,b]\ni x_0$，在 $[a,b]$ 上一致收敛，因此 $f$ 在 $x_0$ 连续）

五、本节总结

六、课后习题精选

基础题

1. 讨论下列函数列在所示区间上是否一致收敛：

(a) $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$, $D=(-1,1)$

(b) $f_n(x)=\frac{x^n}{n}$, $D=[0,1]$

(c) $f_n(x)={\sin }^{n}x$, $D=[0,\pi ]$

2. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：

(a) $\sum \frac{x^n}{n}$, $x\in [-r,r]$ ($0<r<1$)

(b) $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}{x}^2}{(n-1)!}$, $x\in [-r,r]$

(c) $\sum \frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}$, $x\in (-\infty ,+\infty )$

进阶题

3. 证明：若 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f$，$g$ 在 $D$ 上有界，则 $\{g(x)f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $g(x)f(x)$。

4. 设 $u_n(x)$ ($n=1,2,\dots$) 是 $[a,b]$ 上的单调函数。证明：若 $\sum u_n(a)$ 与 $\sum u_n(b)$ 都收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

挑战题

5. （Dini定理）设 $\{f_n\}$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数列，在 $[a,b]$ 上逐点单调收敛于连续函数 $f$。证明：$\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。

提示：用紧致性论证（有限覆盖定理）。

6. 构造函数列的例子，说明：

(a) 连续函数列逐点收敛，但极限函数不连续

(b) 可积函数列逐点收敛于可积函数，但 $\lim \int f_n\ne \int \lim f_n$

(c) 可微函数列逐点收敛于可微函数，但 $(\lim f_n{)}^{\prime }\ne \lim f_n^{\prime }$

七、深入探讨与历史背景

7.1 一致收敛概念的历史

7.2 经典反例剖析

反例1：连续性的破坏

反例2：积分的不可交换性

反例3：导数的不可交换性

7.3 一致收敛的充要条件总结

7.4 三大判别法的深层联系

        Weierstrass M判别法
               ↓
        (绝对一致收敛)
               ↓
        ┌──────┴──────┐
        ↓             ↓
   Abel判别法    Dirichlet判别法
        ↓             ↓
     (条件一致收敛)

7.5 一致收敛在不同数学分支中的应用

应用1：Fourier级数理论

应用2：幂级数理论

应用3：复变函数论

应用4：常微分方程的解的存在性

八、思维导图总结

§13.1 一致收敛性
│
├─ 核心概念
│  ├─ 逐点收敛：N = N(ε, x)
│  ├─ 一致收敛：N = N(ε) 【关键区别】
│  ├─ 几何意义：带形区域
│  └─ 内闭一致收敛
│
├─ 判别定理
│  ├─ Cauchy准则（充要条件）
│  ├─ sup判别法：lim sup|fₙ-f| = 0
│  └─ 不一致收敛判定：存在{xₙ}使得fₙ(xₙ)-f(xₙ)↛0
│
├─ 函数项级数
│  ├─ 定义：部分和函数列的收敛
│  ├─ Cauchy准则
│  └─ 余项判别法：lim sup|Rₙ(x)| = 0
│
├─ 三大判别法
│  ├─ Weierstrass M判别法
│  │  ├─ |uₙ(x)| ≤ Mₙ
│  │  ├─ ΣMₙ 收敛
│  │  └─ 结论：绝对一致收敛
│  │
│  ├─ Abel判别法
│  │  ├─ Σuₙ(x) 一致收敛
│  │  ├─ {vₙ(x)} 单调
│  │  ├─ {vₙ(x)} 一致有界
│  │  └─ 结论：Σuₙvₙ 一致收敛
│  │
│  └─ Dirichlet判别法
│     ├─ Sₙ(x) 一致有界
│     ├─ {vₙ(x)} 单调
│     ├─ vₙ(x) ⇉ 0
│     └─ 结论：Σuₙvₙ 一致收敛
│
├─ 经典例题
│  ├─ xⁿ：收敛域、一致收敛性
│  ├─ sin(nx)/n：一致收敛
│  ├─ nxe⁻ⁿˣ：不一致收敛
│  ├─ Σxⁿ：内闭一致收敛
│  └─ 三角级数：Dirichlet判别法
│
└─ 意义
   ├─ 保持函数性质（连续、可积、可微）
   ├─ 极限运算可交换
   └─ 分析学的基石

九、与下一节的联系