第十七章第二节：复合函数微分法

完整知识体系与思维导图

📋 目录导览

1. 知识体系思维导图
2. 核心概念深度解析
3. 链式法则理论体系
4. 全微分形式不变性
5. 典型例题分类解析
6. 树状图方法与记忆技巧
7. 常见误区与陷阱
8. 与一元函数求导的对比
9. 学习路径与策略

🧠 一、完整知识体系思维导图

§2 复合函数微分法
│
├─── 📐 一、复合函数的结构
│    │
│    ├─── 1. 基本结构
│    │    ├─── 外函数：z = f(x, y)
│    │    ├─── 内函数：x = φ(s, t), y = ψ(s, t)
│    │    └─── 复合函数：z = F(s, t) = f(φ(s,t), ψ(s,t))
│    │
│    ├─── 2. 变量分类（关键）
│    │    ├─── 自变量：s, t（最底层，独立变化）
│    │    ├─── 中间变量：x, y（由自变量确定）
│    │    └─── 因变量：z（由中间变量确定）
│    │
│    ├─── 3. 复合关系表示
│    │    ├─── 链式关系：s, t → x, y → z
│    │    ├─── 树状图（推荐）
│    │    └─── 记号：z = f(φ(s,t), ψ(s,t))
│    │
│    └─── 4. 一般形式推广
│         ├─── m元外函数：f(u₁, u₂, ..., uₘ)
│         ├─── n元自变量：x₁, x₂, ..., xₙ
│         └─── uₖ = gₖ(x₁, ..., xₙ) (k=1,2,...,m)
│
├─── 🔗 二、链式法则（核心定理）
│    │
│    ├─── 定理17.5：二元复合函数链式法则
│    │    ├─── 条件
│    │    │    ├─── 内函数 x=φ(s,t), y=ψ(s,t) 在点(s₀,t₀)可微
│    │    │    └─── 外函数 z=f(x,y) 在点(x₀,y₀)可微
│    │    │
│    │    ├─── 结论：复合函数可微
│    │    │    └─── z = f(φ(s,t), ψ(s,t)) 在点(s₀,t₀)可微
│    │    │
│    │    ├─── 链式法则公式（★★★★★）
│    │    │    ├─── ∂z/∂s = (∂f/∂x)·(∂x/∂s) + (∂f/∂y)·(∂y/∂s)
│    │    │    └─── ∂z/∂t = (∂f/∂x)·(∂x/∂t) + (∂f/∂y)·(∂y/∂t)
│    │    │
│    │    ├─── 证明思路（重要）
│    │    │    ├─── Step 1：内函数可微
│    │    │    │    └─── Δx = (∂x/∂s)Δs + (∂x/∂t)Δt + α₁Δs + α₂Δt
│    │    │    │         Δy = (∂y/∂s)Δs + (∂y/∂t)Δt + β₁Δs + β₂Δt
│    │    │    │
│    │    │    ├─── Step 2：外函数可微
│    │    │    │    └─── Δz = (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + αΔx + βΔy
│    │    │    │
│    │    │    ├─── Step 3：代入整理
│    │    │    │    └─── Δz = [(∂f/∂x)(∂x/∂s)+(∂f/∂y)(∂y/∂s)]Δs
│    │    │    │              + [(∂f/∂x)(∂x/∂t)+(∂f/∂y)(∂y/∂t)]Δt
│    │    │    │              + (高阶项)
│    │    │    │
│    │    │    └─── Step 4：验证可微性
│    │    │         └─── 高阶项 = o(√(Δs²+Δt²))
│    │    │
│    │    └─── 记忆方法
│    │         ├─── "路径相乘，路径相加"
│    │         ├─── 树状图法（推荐）
│    │         └─── 形式微分法
│    │
│    ├─── 推广形式
│    │    ├─── 一元复合多元
│    │    │    └─── z = f(x(t), y(t)) 
│    │    │         dz/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt)
│    │    │
│    │    ├─── 多元复合多元（一般形式）
│    │    │    └─── ∂f/∂xᵢ = Σₖ (∂f/∂uₖ)·(∂uₖ/∂xᵢ)
│    │    │         (i=1,...,n; k=1,...,m)
│    │    │
│    │    └─── 混合复合
│    │         └─── 部分变量是自变量，部分是中间变量
│    │
│    ├─── 重要注意事项（★）
│    │    ├─── 外函数可微是必要条件（不能省略！）
│    │    │    └─── 反例：f(x,y)=xy/(x²+y²), f(0,0)=0
│    │    │         x=t, y=t 时，用链式法则得错误结果
│    │    │
│    │    ├─── 偏导数记号的区分
│    │    │    ├─── ∂z/∂x：z作为x,y函数的偏导数
│    │    │    └─── ∂f/∂x：外函数f对第一个变量的偏导数
│    │    │
│    │    └─── 复合层次要清晰
│    │         └─── 明确：谁是自变量？谁是中间变量？
│    │
│    └─── 特殊情况
│         ├─── 一元函数对数求导法的推广
│         ├─── 极坐标变换
│         └─── 隐函数求导（下一节）
│
├─── 📊 三、全微分形式不变性（★★★★★）
│    │
│    ├─── 基本原理
│    │    ├─── x,y 作为自变量时
│    │    │    └─── dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy
│    │    │
│    │    ├─── x,y 作为中间变量时（x=φ(s,t), y=ψ(s,t)）
│    │    │    ├─── dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy（形式相同！）
│    │    │    └─── 但 dx = (∂x/∂s)ds + (∂x/∂t)dt
│    │    │         dy = (∂y/∂s)ds + (∂y/∂t)dt
│    │    │
│    │    └─── 关键性质
│    │         └─── 无论x,y是自变量还是中间变量
│    │              全微分的形式都是 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy
│    │
│    ├─── 形式不变性的含义
│    │    ├─── "形式"：表达式的结构
│    │    ├─── "不变"：不因变量角色改变而改变
│    │    └─── 本质：微分的线性性
│    │
│    ├─── 应用优势
│    │    ├─── 计算简便（不需每次用链式法则）
│    │    ├─── 思路清晰（逐层计算）
│    │    └─── 易于推广（高阶微分）
│    │
│    ├─── 使用步骤
│    │    ├─── Step 1：写出 dz 对中间变量的微分
│    │    ├─── Step 2：写出中间变量对自变量的微分
│    │    ├─── Step 3：代入整理
│    │    └─── Step 4：提取系数得偏导数
│    │
│    └─── 注意区别
│         ├─── 自变量时：dx, dy 独立取值
│         └─── 中间变量时：dx, dy 由 ds, dt 确定
│
├─── 🌳 四、树状图方法（实用技巧）
│    │
│    ├─── 绘制方法
│    │    ├─── Step 1：最上层写因变量 z
│    │    ├─── Step 2：中间层写中间变量 x, y
│    │    ├─── Step 3：最下层写自变量 s, t
│    │    ├─── Step 4：画连线（表示依赖关系）
│    │    └─── Step 5：在每条线上标注偏导数
│    │
│    ├─── 读图规则
│    │    ├─── 求 ∂z/∂s
│    │    │    └─── 找从z到s的所有路径
│    │    │         每条路径：偏导数相乘
│    │    │         所有路径：结果相加
│    │    │
│    │    └─── 一般规则
│    │         └─── ∂(因变量)/∂(自变量) = Σ(路径上各偏导数之积)
│    │
│    ├─── 典型图示
│    │    ├─── 图1：二元复合二元
│    │    │    ```
│    │    │          z
│    │    │        ↙  ↘
│    │    │      x      y
│    │    │     ↙↘    ↙↘
│    │    │    s  t  s  t
│    │    │    ```
│    │    │
│    │    ├─── 图2：一元复合二元
│    │    │    ```
│    │    │          z
│    │    │        ↙  ↘
│    │    │      x      y
│    │    │      ↓      ↓
│    │    │      t      t
│    │    │    ```
│    │    │
│    │    └─── 图3：混合复合
│    │         ```
│    │              u
│    │           ↙  |  ↘
│    │         x   y   z
│    │         ↓   ↙↘  (自变量)
│    │         x  x  z
│    │         ```
│    │
│    └─── 优点
│         ├─── 直观清晰
│         ├─── 不易遗漏
│         └─── 复杂问题也适用
│
├─── 💡 五、典型题型与解法
│    │
│    ├─── 题型1：标准链式法则
│    │    ├─── 特征：明确的复合关系
│    │    ├─── 方法：直接应用定理17.5
│    │    └─── 例：z=ln(u²+v), u=e^(x+y), v=x²+y
│    │
│    ├─── 题型2：坐标变换
│    │    ├─── 特征：极坐标、球坐标等
│    │    ├─── 方法：将变换关系代入链式法则
│    │    └─── 例：u(x,y) 在极坐标下的偏导数关系
│    │
│    ├─── 题型3：一元复合函数
│    │    ├─── 特征：z=f(x(t), y(t))，只有一个自变量t
│    │    ├─── 方法：dz/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt)
│    │    └─── 例：对数求导法的应用
│    │
│    ├─── 题型4：混合型复合
│    │    ├─── 特征：部分变量既是自变量又出现在中间变量中
│    │    ├─── 方法：仔细画树状图，区分不同角色
│    │    └─── 例：u=f(x, φ(x,y), ψ(x,z), z)
│    │
│    ├─── 题型5：全微分计算
│    │    ├─── 特征：要求 dz
│    │    ├─── 方法：利用形式不变性逐层计算
│    │    └─── 例：z=e^u·sin(v), u=xy, v=x+y
│    │
│    └─── 题型6：验证偏微分方程
│         ├─── 特征：证明某个等式成立
│         ├─── 方法：分别求两边，验证相等
│         └─── 例：证明 y·(∂f/∂x) = x·(∂f/∂y)
│
├─── ⚠️ 六、常见错误与陷阱
│    │
│    ├─── 错误1：忘记外函数可微条件
│    │    └─── 反例已在教材中给出
│    │
│    ├─── 错误2：变量角色混淆
│    │    └─── 不清楚谁是自变量、中间变量
│    │
│    ├─── 错误3：偏导数记号混用
│    │    └─── ∂z/∂x 与 ∂f/∂x 的区别
│    │
│    ├─── 错误4：链式法则漏项
│    │    └─── 忘记某条路径的贡献
│    │
│    ├─── 错误5：微分记号错误
│    │    ├─── dz/dt 与 ∂z/∂t 的区别
│    │    └─── 一元用d，多元用∂
│    │
│    └─── 错误6：代入时机错误
│         └─── 先求偏导，再代入具体点
│
└─── 🎯 七、学习策略与拓展
     │
     ├─── 学习顺序
     │    ├─── 1. 理解复合结构（画图）
     │    ├─── 2. 掌握链式法则（背公式+理解证明）
     │    ├─── 3. 练习树状图法（多画图）
     │    ├─── 4. 理解形式不变性（做全微分题）
     │    └─── 5. 综合应用（混合题型）
     │
     ├─── 与其他内容联系
     │    ├─── §1 可微性：链式法则的理论基础
     │    ├─── §3 隐函数求导：链式法则的应用
     │    ├─── §4 方向导数：链式法则的推广
     │    └─── 第18章 积分换元：微分形式不变性
     │
     └─── 拓展方向
          ├─── 高维推广（张量分析）
          ├─── 微分几何（切映射）
          ├─── 泛函分析（Fréchet导数）
          └─── 自动微分（机器学习）

📚 二、核心概念深度解析

2.1 复合函数的结构

2.1.1 基本定义

定义（二元复合二元）：设函数

$$x=\phi (s,t),y=\psi (s,t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

定义在 $st$ 平面的区域 $D$ 上，函数

$$z=f(x,y)\text{\hspace{1em}(2)}$$

定义在 $xy$ 平面的区域 $D_1$ 上，且

$$\{(x,y)\mid x=\phi (s,t),y=\psi (s,t),(s,t)\in D\}\subseteq D_1$$

则函数

$$z=F(s,t)=f(\phi (s,t),\psi (s,t)),(s,t)\in D\text{\hspace{1em}(3)}$$

是以 (2) 为外函数、(1) 为内函数的复合函数。

🔍 深度理解

三个层次的变量：

1. 自变量（independent variables）：$s,t$

   • 最底层，可以独立取值
   • 确定了整个函数的值

2. 中间变量（intermediate variables）：$x,y$

   • 由自变量通过内函数确定
   • 作为外函数的输入

3. 因变量（dependent variable）：$z$

   • 最终结果
   • 由中间变量通过外函数确定

复合链：

自变量 (s, t)  →  [内函数]  →  中间变量 (x, y)  →  [外函数]  →  因变量 z

具体：
(s, t)  →  x=φ(s,t), y=ψ(s,t)  →  (x, y)  →  z=f(x,y)  →  z

关键点：

• 定义域的包含关系：内函数的值域必须包含在外函数的定义域内
• 记号约定：
  • $F(s,t)$：复合函数（关于自变量）
  • $f(x,y)$：外函数（关于中间变量）
  • $\phi (s,t),\psi (s,t)$：内函数（自变量到中间变量）

2.1.2 一般形式

多元复合多元：若 $f(u_1,u_2,\dots ,u_m)$ 在点 $(u_1^0,\dots ,u_m^0)$ 可微，

$$u_k=g_k(x_1,\dots ,x_n),k=1,2,\dots ,m$$

在点 $(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ 具有关于 $x_i$ 的偏导数，则复合函数

$$f(g_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,g_m(x_1,\dots ,x_n))$$

关于自变量 $x_i$ 的偏导数是

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum _{k=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_k}\cdot \frac{\partial u_k}{\partial x_i},i=1,2,\dots ,n$$

几种常见情况：

2.2 变量的角色识别（关键技能）

识别原则

自变量：

• 可以独立变化的变量
• 在问题中明确要对其求偏导数的变量
• 位于复合链的最底层

中间变量：

• 由自变量确定的变量
• 作为外函数的参数
• 位于复合链的中间层

因变量：

• 最终要研究的变量
• 位于复合链的最顶层

📌 判断技巧

问题形式："求 $\frac{\partial z}{\partial s}$"

• 分析：要求对 $s$ 求偏导 → $s$ 是自变量
• 推断：$z$ 通过哪些变量依赖于 $s$？ → 这些是中间变量

例：$z=f(x,y)$，其中 $x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$，求 $\frac{\partial z}{\partial s}$

• 自变量：$s,t$（独立变化）
• 中间变量：$x,y$（由 $s,t$ 确定）
• 因变量：$z$（由 $x,y$ 确定）

📌 混合情况（重要）

问题：$u=f(x,\phi (x,y),\psi (x,z),z)$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$

分析：

• 自变量：$x,y,z$（独立变化）
• 中间变量：
  • $\phi (x,y)$：第二个参数
  • $\psi (x,z)$：第三个参数
• 因变量：$u$

注意：

• $x$ 既是自变量（第一、四个参数位置）
• 又出现在中间变量中（$\phi ,\psi$ 依赖 $x$）

树状图：

           u = f(x, v, w, z)
          ↙  ↓   ↓  ↓
        x   v   w  z
        │   ↓   ↓  (自变量)
       自 x,y  x,z
       变
       量

🔗 三、链式法则理论体系

3.1 定理17.5：复合函数的链式法则

定理内容

定理17.5：若函数 $x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$ 在点 $(s_0,t_0)\in D$ 可微，$z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)=(\phi (s_0,t_0),\psi (s_0,t_0))$ 可微，则复合函数

$$z=f(\phi (s,t),\psi (s,t))$$

在点 $(s_0,t_0)$ 可微，且它关于 $s$ 与 $t$ 的偏导数分别为

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial s}{|}_{(s_0,t_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}{|}_{(s_0,t_0)}+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}{|}_{(s_0,t_0)}}\text{\hspace{1em}(4a)}$$

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial t}{|}_{(s_0,t_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}{|}_{(s_0,t_0)}+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}{|}_{(s_0,t_0)}}\text{\hspace{1em}(4b)}$$

简写形式（省略下标）：

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$$

$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}$$

证明（完整推导）

已知条件：

1. 内函数 $x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$ 在点 $(s_0,t_0)$ 可微
2. 外函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微

Step 1：由内函数可微性

$$\Delta x=\frac{\partial x}{\partial s}{|}_{(s_0,t_0)}\Delta s+\frac{\partial x}{\partial t}{|}_{(s_0,t_0)}\Delta t+{\alpha }_1\Delta s+{\alpha }_2\Delta t\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$\Delta y=\frac{\partial y}{\partial s}{|}_{(s_0,t_0)}\Delta s+\frac{\partial y}{\partial t}{|}_{(s_0,t_0)}\Delta t+{\beta }_1\Delta s+{\beta }_2\Delta t\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中当 $\Delta s,\Delta t\to 0$ 时，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2\to 0$。

Step 2：由外函数可微性

$$\Delta z=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中当 $\Delta x,\Delta y\to 0$ 时，$\alpha ,\beta \to 0$（并补充定义：当 $\Delta x=0,\Delta y=0$ 时 $\alpha =\beta =0$）。

Step 3：将 (5)、(6) 代入 (7)

$$\Delta z=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial s}\Delta s+\frac{\partial x}{\partial t}\Delta t+{\alpha }_1\Delta s+{\alpha }_2\Delta t\right)$$ $$+\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial s}\Delta s+\frac{\partial y}{\partial t}\Delta t+{\beta }_1\Delta s+{\beta }_2\Delta t\right)$$ $$+\alpha \Delta x+\beta \Delta y$$

Step 4：整理得

$$\Delta z=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\right)\Delta s+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\right)\Delta t+A\Delta s+B\Delta t\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中

$$A=\frac{\partial f}{\partial x}{\alpha }_1+\frac{\partial f}{\partial y}{\beta }_1+\alpha {\alpha }_1+\beta {\beta }_1\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$B=\frac{\partial f}{\partial x}{\alpha }_2+\frac{\partial f}{\partial y}{\beta }_2+\alpha {\alpha }_2+\beta {\beta }_2\text{\hspace{1em}(10)}$$

Step 5：验证 $A,B\to 0$

由于 $\phi (s,t),\psi (s,t)$ 在点 $(s_0,t_0)$ 可微，它们在该点都连续。

因此，当 $\Delta s,\Delta t\to 0$ 时：

• $\Delta x,\Delta y\to 0$
• ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2\to 0$
• $\alpha ,\beta \to 0$

所以 $A,B\to 0$ （有限项与无穷小的和、积仍为无穷小）。

结论：由 (8) 式，复合函数可微，且

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

■

3.2 链式法则的理解与记忆

3.2.1 "路径相乘，路径相加"原则

原则：求 $\frac{\partial z}{\partial s}$ 时：

1. 找出所有从 $z$ 到 $s$ 的路径：

   • 路径1：$z\to x\to s$
   • 路径2：$z\to y\to s$

2. 每条路径上的偏导数相乘：

   • 路径1：$\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}$
   • 路径2：$\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

3. 所有路径的贡献相加： $$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$$

3.2.2 树状图法（推荐）

图17-5：

              z
           ↙     ↘
         ∂z/∂x    ∂z/∂y
        ↙           ↘
       x             y
     ↙  ↘         ↙   ↘
   ∂x/∂s ∂x/∂t  ∂y/∂s ∂y/∂t
   ↙      ↘      ↙      ↘
  s        t    s        t

读图方法：

求 $\frac{\partial z}{\partial s}$：

• 从 $z$ 出发，找到所有到达 $s$ 的路径
• 路径1：$z\stackrel{\partial z/\partial x}{\to }x\stackrel{\partial x/\partial s}{\to }s$
• 路径2：$z\stackrel{\partial z/\partial y}{\to }y\stackrel{\partial y/\partial s}{\to }s$
• 结果：$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

3.2.3 形式微分法（微分形式不变性）

由全微分形式不变性：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

对自变量 $s$ 求"偏微分"（实际是用 $\frac{\partial }{\partial s}$ 作用）：

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

（形式上将 $dx,dy$ 替换为 $\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s}$）

3.3 重要注意事项

⚠️ 注意1：外函数可微是必要条件

教材反例：

函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

已知（习题17.1第6题）：$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，但 $f$ 在原点不可微。

复合情况：取内函数 $x=t$，$y=t$，则复合函数为

$$z=F(t)=f(t,t)=\{\begin{array}{ll}\frac{t\cdot t}{t^2+t^2}=\frac{1}{2},& t\ne 0\\ 0,& t=0\end{array}$$

若用链式法则：

$$\frac{dz}{dt}{|}_{t=0}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}\cdot \frac{dx}{dt}{|}_{t=0}+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(0,0)}\cdot \frac{dy}{dt}{|}_{t=0}$$ $$=0\cdot 1+0\cdot 1=0$$

但实际：

$$F(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& t\ne 0\\ 0,& t=0\end{array}$$

在 $t=0$ 处不连续，当然不可导！

结论：外函数 $f$ 可微是使用链式法则的必要条件，不能省略。

⚠️ 注意2：偏导数记号的区分

问题：在例5中，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$，其中 $u=f(x,\phi (x,y),\psi (x,z),z)$

易混淆的记号：

正确写法：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial \text{(第1个变量)}}\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial \text{(第2个变量)}}\cdot \frac{\partial \phi }{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \text{(第3个变量)}}\cdot \frac{\partial \psi }{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \text{(第4个变量)}}\cdot 0$$

教材建议：用 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 表示 $f$ 对各个变量的偏导数，避免混淆。

⚠️ 注意3：微分记号 $d$ 与 $\partial$ 的区别

原则：

• 自变量只有一个 → 用 $d$（全导数）
• 自变量多个 → 用 $\partial$（偏导数）

📊 四、全微分形式不变性

4.1 基本原理

定义

当 $x,y$ 是自变量时：

若 $z=f(x,y)$ 可微，则

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\text{\hspace{1em}(11)}$$

当 $x,y$ 是中间变量时：

若 $x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$ 可微，$z=f(x,y)$ 也可微，则

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\text{\hspace{1em}(11’)}$$

形式完全相同！

但此时

$$dx=\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt$$ $$dy=\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt\text{\hspace{1em}(13)}$$

将 (13) 代入 (11')：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt\right)+\frac{\partial z}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt\right)$$

$$=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\right)ds+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\right)dt\text{\hspace{1em}(12)}$$

与链式法则一致！

4.2 形式不变性的含义

"形式"：指表达式的结构

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

这个结构不因 $x,y$ 的角色（自变量/中间变量）改变。

"不变"：

• 系数形式不变：总是 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$
• 表达式形式不变：总是"偏导数 × 微分"的和

但要注意：

4.3 应用：逐层计算全微分

基本步骤

Step 1：写出 $dz$ 对中间变量的全微分

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

（利用形式不变性）

Step 2：写出中间变量对自变量的全微分

$$dx=\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt$$ $$dy=\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt$$

Step 3：代入整理

将 Step 2 的结果代入 Step 1，合并同类项（$ds$ 和 $dt$ 的系数）

Step 4：提取偏导数

$$dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt$$

比较系数，得到 $\frac{\partial z}{\partial s}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$

📌 例7（教材）：$z=e^u\sin v$，其中 $u=xy$，$v=x+y$，求 $dz$ 并导出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$

解：

Step 1：对中间变量 $u,v$ 求全微分

$$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv=e^u\sin vdu+e^u\cos vdv$$

Step 2：$u,v$ 对 $x,y$ 的全微分

$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=ydx+xdy$$

$$dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy=dx+dy$$

Step 3：代入

$$dz=e^u\sin v(ydx+xdy)+e^u\cos v(dx+dy)$$

$$=e^u[y\sin v+\cos v]dx+e^u[x\sin v+\cos v]dy$$

Step 4：代回 $u=xy$，$v=x+y$

$$dz=e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)]dx+e^{xy}[x\sin (x+y)+\cos (x+y)]dy$$

读出偏导数：

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)]}$$

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=e^{xy}[x\sin (x+y)+\cos (x+y)]}$$

■

🌳 五、树状图方法详解

5.1 绘制树状图的标准流程

Step 1：确定层次结构

• 顶层：因变量（$z,u$等）
• 中间层：中间变量（$x,y$等）
• 底层：自变量（$s,t$等）

Step 2：画连线

从上层变量向其直接依赖的下层变量画箭头（或直线）

Step 3：标注偏导数

在每条连线旁标注对应的偏导数

Step 4：检查完整性

确保每个变量到其依赖变量的所有连线都已画出

5.2 典型树状图示例

示例1：标准二元复合二元

问题：$z=f(x,y)$，$x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$

树状图：

              z
           ↙     ↘
       ∂z/∂x     ∂z/∂y
        ↙           ↘
       x             y
     ↙  ↘         ↙   ↘
   ∂x/∂s ∂x/∂t  ∂y/∂s ∂y/∂t
   ↙      ↘      ↙      ↘
  s        t    s        t

读图：

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$$

$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}$$

示例2：一元复合二元（图17-6）

问题：$z=uv+\sin t$，$u=e^t$，$v=\cos t$，求 $\frac{dz}{dt}$

树状图：

            z
        ↙   ↓   ↘
     ∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂t
      ↙     ↓      (直接依赖)
     u      v       t
     ↓      ↓
    du/dt  dv/dt
     ↓      ↓
     t      t

读图：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}+\frac{\partial z}{\partial t}$$

（注意最后一项：$z$ 对 $t$ 的直接偏导数）

计算：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=v,\frac{\partial z}{\partial v}=u,\frac{\partial z}{\partial t}=\cos t$$

$$\frac{du}{dt}=e^t,\frac{dv}{dt}=-\sin t$$

$$\frac{dz}{dt}=v\cdot e^t+u\cdot (-\sin t)+\cos t$$

$$=\cos t\cdot e^t+e^t\cdot (-\sin t)+\cos t$$

$$=e^t(\cos t-\sin t)+\cos t$$

■

示例3：混合复合（图17-7）

问题：$u=f(x,\phi (x,y),\psi (x,z),z)$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$

树状图：

                u
           ↙  ↓  ↓  ↘
        f₁  f₂  f₃  f₄
        ↓   ↓   ↓   ↓
        x   φ   ψ   z
        │  ↙↘  ↙↘  (自变量)
       自  x y x z
       变
       量

其中 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 表示 $f$ 对第1、2、3、4个变量的偏导数。

读图：从 $u$ 到 $x$ 的路径：

1. 路径1：$u\stackrel{f_1}{\to }x$（第一个参数直接是 $x$）
2. 路径2：$u\stackrel{f_2}{\to }\phi \stackrel{\partial \phi /\partial x}{\to }x$
3. 路径3：$u\stackrel{f_3}{\to }\psi \stackrel{\partial \psi /\partial x}{\to }x$
4. 路径4：$u\stackrel{f_4}{\to }z$（$z$ 与 $x$ 无关，不到达 $x$）

结果：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=f_1\cdot 1+f_2\cdot \frac{\partial \phi }{\partial x}+f_3\cdot \frac{\partial \psi }{\partial x}+f_4\cdot 0$$

$$=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \phi }\cdot \frac{\partial \phi }{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \psi }\cdot \frac{\partial \psi }{\partial x}$$

（注意：教材用 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示 $f$ 对第一个变量 $x$ 的偏导数，需与 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 区分）

5.3 树状图的优势

1. 直观清晰：复合关系一目了然
2. 不易遗漏：每条路径都能看到
3. 复杂问题适用：多层复合、混合复合都能处理
4. 减少错误：避免记号混淆

💡 六、典型例题分类解析

6.1 题型1：标准链式法则

📌 例1（教材）：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$

问题：$z=\ln (u^2+v)$，其中 $u=e^{x+y}$，$v=x^2+y$

解法：

明确变量角色：

• 自变量：$x,y$
• 中间变量：$u,v$
• 因变量：$z$

画树状图：

            z
         ↙     ↘
      ∂z/∂u    ∂z/∂v
       ↙          ↘
      u            v
    ↙  ↘        ↙   ↘
  ∂u/∂x ∂u/∂y ∂v/∂x ∂v/∂y
   ↙     ↘     ↙      ↘
  x       y   x        y

应用链式法则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

计算各偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2u}{u^2+v},\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{u^2+v}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x+y},\frac{\partial v}{\partial x}=2x$$

代入：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2u}{u^2+v}\cdot e^{x+y}+\frac{1}{u^2+v}\cdot 2x$$

$$=\frac{2e^{x+y}\cdot e^{x+y}+2x}{u^2+v}=\frac{2e^{2(x+y)}+2x}{(e^{x+y}{)}^2+x^2+y}$$

$$=\frac{2e^{2(x+y)}+2x}{e^{2(x+y)}+x^2+y}$$

简化（代回 $u,v$）：

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{u^2+v}(2u{e}^{x+y}+2x)}$$

同理：

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

$$=\frac{2u}{u^2+v}\cdot e^{x+y}+\frac{1}{u^2+v}\cdot 1$$

$$\boxed{=\frac{1}{u^2+v}(2u{e}^{x+y}+1)}$$

■

6.2 题型2：极坐标变换

📌 例2（教材）：证明在极坐标变换下的恒等式

问题：设 $u=u(x,y)$ 可微，在极坐标变换 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$ 下，证明：

$${\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2={\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial \theta }\right)}^2$$

证明：

Step 1：将 $u$ 看作 $r,\theta$ 的复合函数

$$u=u(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

Step 2：应用链式法则

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$$

$$=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial u}{\partial y}\sin \theta$$

$$\frac{\partial u}{\partial \theta }=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }$$

$$=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot (-r\sin \theta )+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot (r\cos \theta )$$

$$=r\left(-\sin \theta \frac{\partial u}{\partial x}+\cos \theta \frac{\partial u}{\partial y}\right)$$

Step 3：计算平方和

$${\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)}^2={\cos }^2\theta {\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+2\cos \theta \sin \theta \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}+{\sin }^2\theta {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$$

$$\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial \theta }\right)}^2={\sin }^2\theta {\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2-2\sin \theta \cos \theta \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}+{\cos }^2\theta {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$$

Step 4：相加

$${\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial \theta }\right)}^2$$

$$= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + (\sin^2\theta + \cos^2\theta)\left(\frac \partial u}{\partial y}\right)^2$$

$$+(2\cos \theta \sin \theta -2\sin \theta \cos \theta )\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}$$

$$={\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$$

■

几何意义：

• 左边：Descartes坐标系下的"梯度模长的平方"
• 右边：极坐标系下的"梯度模长的平方"
• 恒等式表明：梯度的模长与坐标系选择无关（标量不变性）

6.3 题型3：一元复合函数（含直接依赖）

📌 例3（教材例6）：$z=uv+\sin t$，$u=e^t$，$v=\cos t$，求 $\frac{dz}{dt}$

解法1：链式法则（完整形式）

树状图：

            z
        ↙   ↓   ↘
     ∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂t
      ↙     ↓    (直接)
     u      v     
     ↓      ↓
    e^t   cos t
     ↓      ↓
     t      t

关键：$z$ 中显含 $t$（$\sin t$ 项），所以有直接依赖。

链式法则（完整形式）：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}+\frac{\partial z}{\partial t}$$

计算：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=v,\frac{\partial z}{\partial v}=u,\frac{\partial z}{\partial t}=\cos t$$

$$\frac{du}{dt}=e^t,\frac{dv}{dt}=-\sin t$$

代入：

$$\frac{dz}{dt}=v\cdot e^t+u\cdot (-\sin t)+\cos t$$

$$=\cos t\cdot e^t-e^t\sin t+\cos t$$

$$\boxed{=e^t(\cos t-\sin t)+\cos t}$$

■

解法2：先代入再求导

$$z=e^t\cos t+\sin t$$

$$\frac{dz}{dt}=e^t\cos t+e^t(-\sin t)+\cos t=e^t(\cos t-\sin t)+\cos t$$

（与解法1一致）

⚠️ 常见错误：忘记最后一项 $\frac{\partial z}{\partial t}$

错误做法：

$$\frac{dz}{dt}\stackrel{\text{错}}{=}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$

原因：忽略了 $z$ 对 $t$ 的直接依赖。

记忆：看到 $z$ 中显含自变量 $t$，就要加上对应项！

6.4 题型4：混合型复合（重点难点）

📌 例5（教材）：$u=f(x,\phi (x,y),\psi (x,z),z)$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$

分析：

• 自变量：$x,y,z$（独立变化）
• 中间变量：$\phi (x,y)$（第2个参数），$\psi (x,z)$（第3个参数）
• 特殊性：
  • $x$ 既是第1个参数（直接出现）
  • 又在第2、3个参数中出现（通过中间变量）
  • $z$ 既是第4个参数（直接出现）
  • 又在第3个参数中出现

树状图（关键）：

                u = f(x, φ, ψ, z)
            ↙   ↓   ↓   ↘
          f₁   f₂   f₃   f₄
          ↓    ↓    ↓    ↓
          x    φ    ψ    z
          │   ↙↘   ↙↘  (自变量)
         自   x y  x z
         变
         量

求 $\frac{\partial u}{\partial x}$：找从 $u$ 到 $x$ 的所有路径

1. 路径1：$u\stackrel{f_1}{\to }x$（第1个参数直接是 $x$）

   • 贡献：$f_1\cdot 1$

2. 路径2：$u\stackrel{f_2}{\to }\phi \stackrel{\partial \phi /\partial x}{\to }x$

   • 贡献：$f_2\cdot \frac{\partial \phi }{\partial x}$

3. 路径3：$u\stackrel{f_3}{\to }\psi \stackrel{\partial \psi /\partial x}{\to }x$

   • 贡献：$f_3\cdot \frac{\partial \psi }{\partial x}$

4. 路径4：$u\stackrel{f_4}{\to }z$（$z$ 与 $x$ 独立，不到达 $x$）

   • 贡献：$0$

结果：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=f_1+f_2\frac{\partial \phi }{\partial x}+f_3\frac{\partial \psi }{\partial x}}$$

或写成：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \phi }\frac{\partial \phi }{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \psi }\frac{\partial \psi }{\partial x}$$

（教材记号：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示 $f$ 对第1个变量的偏导数）

同理，求 $\frac{\partial u}{\partial z}$：

从 $u$ 到 $z$ 的路径：

1. 路径1：$u\stackrel{f_3}{\to }\psi \stackrel{\partial \psi /\partial z}{\to }z$

   • 贡献：$f_3\cdot \frac{\partial \psi }{\partial z}$

2. 路径2：$u\stackrel{f_4}{\to }z$（第4个参数直接是 $z$）

   • 贡献：$f_4\cdot 1$

结果：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial z}=f_3\frac{\partial \psi }{\partial z}+f_4}$$

■

⚠️ 注意：

• 关键在于画清楚树状图
• 区分"直接依赖"和"间接依赖"
• 用 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 避免记号混淆

6.5 题型5：全微分计算（形式不变性）

📌 例7（前面已详细解）：$z=e^u\sin v$，$u=xy$，$v=x+y$

方法：逐层应用全微分

$$dz=e^u\sin vdu+e^u\cos vdv$$

$$du=ydx+xdy,dv=dx+dy$$

代入整理得：

$$dz=e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)]dx+e^{xy}[x\sin (x+y)+\cos (x+y)]dy$$

📌 例4（教材）：验证 $y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y}$

问题：设 $f(x,y)=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$，其中 $\phi$ 可微，证明

$$y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y}$$

证明：

设 $u=\frac{y}{x}$，则 $f(x,y)=\phi (u)$

应用链式法则：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d\phi }{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}={\phi }^{\prime }(u)\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d\phi }{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}={\phi }^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{x}$$

验证：

$$y\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot {\phi }^{\prime }(u)\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y^2}{x^2}{\phi }^{\prime }(u)$$

$$x\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot {\phi }^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{x}={\phi }^{\prime }(u)$$

等等，好像不对？ 让我重新计算：

$$y\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot \left(-\frac{y}{x^2}{\phi }^{\prime }(u)\right)=-\frac{y^2}{x^2}{\phi }^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$$

$$x\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \frac{1}{x}{\phi }^{\prime }(u)={\phi }^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$$

这两个不相等！题目可能有误或我理解有误。

实际上，正确的恒等式应该是：

$$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

（这是齐次函数的Euler定理）

验证：

$$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \left(-\frac{y}{x^2}{\phi }^{\prime }(u)\right)+y\cdot \frac{1}{x}{\phi }^{\prime }(u)$$

$$=-\frac{y}{x}{\phi }^{\prime }(u)+\frac{y}{x}{\phi }^{\prime }(u)=0$$ ✓

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6.6 题型6：对数求导法的推广

📌 例8：$u=x^y{y}^z{z}^x$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$

方法：两边取对数

$$\ln u=y\ln x+z\ln y+x\ln z$$

两边对 $x$ 求偏导（注意 $y,z$ 是自变量）：

$$\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot \frac{1}{x}+0+\ln z$$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=u\left(\frac{y}{x}+\ln z\right)$$

$$\boxed{=x^y{y}^z{z}^x\left(\frac{y}{x}+\ln z\right)}$$

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一般方法（多元函数对数求导）：

设 $u=f(x,y,z)$，两边取对数：

$$\ln u=\ln f(x,y,z)$$

两边对 $x$ 求偏导：

$$\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[\ln f(x,y,z)]$$

适用于乘积、幂函数的复合。

⚠️ 七、常见误区与陷阱详解

7.1 十大典型误区

误区1：外函数不可微时强行使用链式法则

错误认识：以为只要内函数可微，链式法则就成立。

正确认识：外函数可微是必要条件（定理17.5明确要求）。

反例：见前面3.3节的详细分析。

教训：使用链式法则前，必须验证外函数可微。

误区2：变量角色不清

错误表现：

• 不知道谁是自变量、谁是中间变量
• 混淆 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在不同语境下的含义

正确做法：

1. 明确问题："求 $\frac{\partial z}{\partial s}$" → $s$ 是自变量
2. 画树状图：层次结构一目了然
3. 统一记号：用 $f_1,f_2$ 等表示外函数的偏导数

例：$z=f(x,y)$，$x=\phi (s,t)$，$y=\psi (s,t)$

误区3：链式法则漏项

错误做法：忘记某条路径的贡献

例：$z=f(x,y)$，$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，求 $\frac{\partial z}{\partial r}$

错误：

$$\frac{\partial z}{\partial r}\stackrel{\text{错}}{=}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}$$

（漏掉了 $y$ 的路径）

正确：

$$\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$$

防止方法：画树状图，找出所有路径！

误区4：忘记直接依赖项

错误做法：$z$ 中显含自变量 $t$，但求导时忘记对应项

例：$z=uv+\sin t$，$u=e^t$，$v=\cos t$

错误：

$$\frac{dz}{dt}\stackrel{\text{错}}{=}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$