第十七章第一节：多元函数的可微性

完整知识体系与思维导图

📋 目录导览

1. 知识体系思维导图
2. 核心概念深度解析
3. 重要定理体系
4. 几何意义与可视化
5. 典型例题与应用
6. 与一元函数的对比
7. 常见误区与陷阱
8. 学习路径与策略

🧠 一、完整知识体系思维导图

§1 多元函数的可微性
│
├─── 📐 一、可微性与全微分
│    │
│    ├─── 1. 可微性定义（核心）
│    │    ├─── 全增量分解
│    │    │    └─── Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)
│    │    │         其中 ρ = √(Δx² + Δy²)
│    │    │
│    │    ├─── 全微分定义
│    │    │    └─── dz = AΔx + BΔy（线性主部）
│    │    │
│    │    ├─── 线性近似公式
│    │    │    └─── f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + A(x-x₀) + B(y-y₀)
│    │    │
│    │    └─── 等价形式（实用形式）
│    │         └─── Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy
│    │              其中 α,β → 0 (当(Δx,Δy)→(0,0))
│    │
│    ├─── 2. 关键性质
│    │    ├─── 线性主部的唯一性
│    │    ├─── 高阶无穷小的本质
│    │    └─── 可微 ⟹ 连续（但反之不成立）
│    │
│    └─── 3. 典型例题
│         └─── 例1：f(x,y) = xy 的可微性验证
│
├─── ∂ 二、偏导数理论
│    │
│    ├─── 1. 偏导数定义
│    │    ├─── 对x的偏导数
│    │    │    └─── fₓ(x₀,y₀) = lim[f(x₀+Δx,y₀)-f(x₀,y₀)]/Δx
│    │    │                     Δx→0
│    │    │
│    │    ├─── 对y的偏导数
│    │    │    └─── fᵧ(x₀,y₀) = lim[f(x₀,y₀+Δy)-f(x₀,y₀)]/Δy
│    │    │                     Δy→0
│    │    │
│    │    └─── 记号系统
│    │         ├─── ∂f/∂x, ∂z/∂x, fₓ, zₓ
│    │         └─── ∂f/∂y, ∂z/∂y, fᵧ, zᵧ
│    │
│    ├─── 2. 几何意义
│    │    ├─── fₓ：曲面与平面y=y₀交线在点P的切线斜率（对x轴）
│    │    └─── fᵧ：曲面与平面x=x₀交线在点P的切线斜率（对y轴）
│    │
│    ├─── 3. 计算方法
│    │    ├─── 固定其他变量，转化为一元求导
│    │    ├─── 一元求导法则全部适用
│    │    └─── 先求偏导函数，再代入点
│    │
│    ├─── 4. 典型例题
│    │    ├─── 例2：多项式函数的偏导数
│    │    ├─── 例3：指数函数 z = xʸ
│    │    └─── 例4：三元函数 u = sin(x+y²-e^z)
│    │
│    └─── 5. 重要注意事项
│         ├─── 偏导数存在 ⇏ 连续
│         ├─── 偏导数存在 ⇏ 可微
│         └─── 定义域要求：至少在对应方向的邻域内有定义
│
├─── 🔗 三、可微性条件（核心定理）
│    │
│    ├─── 定理17.1：可微的必要条件
│    │    ├─── 内容
│    │    │    └─── f可微 ⟹ fₓ, fᵧ存在
│    │    │         且 A = fₓ(x₀,y₀), B = fᵧ(x₀,y₀)
│    │    │
│    │    ├─── 全微分的唯一表达式
│    │    │    └─── df = fₓ(x₀,y₀)dx + fᵧ(x₀,y₀)dy
│    │    │
│    │    └─── 意义
│    │         └─── 可微性决定了全微分的系数
│    │
│    ├─── 定理17.2：可微的充分条件
│    │    ├─── 内容
│    │    │    └─── fₓ, fᵧ在(x₀,y₀)邻域存在
│    │    │         且在(x₀,y₀)连续
│    │    │         ⟹ f在(x₀,y₀)可微
│    │    │
│    │    ├─── 证明思路（经典）
│    │    │    ├─── 1. 分解全增量
│    │    │    │    └─── Δz = [f(x₀+Δx,y₀+Δy)-f(x₀,y₀+Δy)]
│    │    │    │              + [f(x₀,y₀+Δy)-f(x₀,y₀)]
│    │    │    │
│    │    │    ├─── 2. 应用Lagrange中值定理（一元）
│    │    │    │    └─── Δz = fₓ(x₀+θ₁Δx,y₀+Δy)Δx
│    │    │    │              + fᵧ(x₀,y₀+θ₂Δy)Δy
│    │    │    │
│    │    │    ├─── 3. 利用偏导数连续性
│    │    │    │    └─── fₓ(x₀+θ₁Δx,y₀+Δy) = fₓ(x₀,y₀) + α
│    │    │    │         fᵧ(x₀,y₀+θ₂Δy) = fᵧ(x₀,y₀) + β
│    │    │    │         其中 α,β → 0
│    │    │    │
│    │    │    └─── 4. 得到可微性形式
│    │    │         └─── Δz = fₓΔx + fᵧΔy + αΔx + βΔy
│    │    │
│    │    └─── 实际应用
│    │         └─── 判定函数可微的标准方法
│    │
│    ├─── 定理17.3：中值公式
│    │    ├─── 内容
│    │    │    └─── f(x,y) - f(x₀,y₀)
│    │    │         = fₓ(ξ,y)(x-x₀) + fᵧ(x₀,η)(y-y₀)
│    │    │         其中 ξ = x₀+θ₁(x-x₀), η = y₀+θ₂(y-y₀)
│    │    │         0 < θ₁, θ₂ < 1
│    │    │
│    │    └─── 意义
│    │         └─── 二元函数的Lagrange中值定理推广
│    │
│    ├─── 重要概念：连续可微
│    │    └─── f在(x₀,y₀)连续可微 ⟺ fₓ, fᵧ在(x₀,y₀)连续
│    │
│    └─── 关系总结（关键）
│         ├─── 可微 ⟹ 连续
│         ├─── 可微 ⟹ 偏导数存在
│         ├─── 偏导数连续 ⟹ 可微
│         ├─── 但：偏导数存在 ⇏ 可微
│         ├─── 但：连续 ⇏ 偏导数存在
│         └─── 但：偏导数存在 ⇏ 连续
│
├─── 📊 四、几何意义与切平面
│    │
│    ├─── 1. 切平面定义
│    │    ├─── 几何条件
│    │    │    └─── lim (h/d) = 0 (Q→P)
│    │    │         h：点到平面距离
│    │    │         d：点到点距离
│    │    │
│    │    └─── 意义
│    │         └─── 曲面在点P处的"最佳线性逼近"
│    │
│    ├─── 定理17.4：切平面存在性
│    │    ├─── 充要条件
│    │    │    └─── 曲面z=f(x,y)在点P存在不平行于z轴的切平面
│    │    │         ⟺ f在P₀(x₀,y₀)可微
│    │    │
│    │    ├─── 切平面方程
│    │    │    └─── z - z₀ = fₓ(x₀,y₀)(x-x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)
│    │    │
│    │    ├─── 法线方程
│    │    │    └─── (x-x₀)/fₓ = (y-y₀)/fᵧ = (z-z₀)/(-1)
│    │    │
│    │    └─── 证明要点（双向证明）
│    │         ├─── 充分性：从可微性出发，构造平面并验证
│    │         └─── 必要性：从切平面存在，推导可微性
│    │
│    ├─── 2. 全微分的几何意义
│    │    ├─── Δz：曲面上实际增量（竖直方向）
│    │    ├─── dz：切平面上对应增量
│    │    └─── Δz - dz = o(ρ)：高阶小量
│    │
│    └─── 3. 应用
│         ├─── 例6：抛物面的切平面和法线
│         ├─── 例7：近似计算 1.08^3.96
│         └─── 例8：误差估计（三角形面积）
│
└─── ⚠️ 五、反例与易错点
     │
     ├─── 反例1：偏导数存在但不可微
     │    └─── 例5：f(x,y) = xy/(x²+y²) (xy≠0), f(0,0)=0
     │         ├─── fₓ(0,0) = fᵧ(0,0) = 0（存在）
     │         └─── 但 lim(Δz-dz)/ρ 不存在（不可微）
     │
     ├─── 反例2：偏导数存在但不连续
     │    └─── f(x,y) = (x²+y²)sin(1/√(x²+y²)) (≠0), f(0,0)=0
     │         └─── 在原点可微，但fₓ, fᵧ在原点不连续
     │
     ├─── 反例3：连续但偏导数不存在
     │    └─── f(x,y) = √(x²+y²)（圆锥面）
     │         └─── 在原点连续，但偏导数不存在
     │
     ├─── 反例4：偏导数存在但不连续
     │    └─── f(x,y) = xy/(x²+y²) (≠0), f(0,0)=0
     │         └─── fₓ(0,0), fᵧ(0,0)存在，但f在原点不连续
     │
     └─── 关键总结
          └─── 偏导数只反映"沿坐标轴方向"的性质
               不能刻画"所有方向"的行为

📚 二、核心概念深度解析

2.1 可微性：从一元到多元的跨越

2.1.1 可微性的严格定义

定义1：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 上有定义。对于 $U(P_0)$ 中的点 $P(x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$，若函数 $f$ 在点 $P_0$ 处的全增量 $\Delta z$ 可表示为

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中：

• $A,B$ 是仅与点 $P_0$ 有关的常数
• $\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$
• $o(\rho )$ 是较 $\rho$ 高阶的无穷小量

则称函数 $f$ 在点 $P_0$ 可微。

🔍 深度理解

核心思想：可微性表示函数的增量可以用线性函数近似，误差是高阶无穷小。

三个关键要素：

1. 线性主部：$A\Delta x+B\Delta y$

   • 这是全增量的主要部分
   • 是关于 $\Delta x,\Delta y$ 的一次齐次函数

2. 高阶无穷小：$o(\rho )$

   • 定义：${\lim }_{\rho \to 0}\frac{o(\rho )}{\rho }=0$
   • 比线性部分的模 $\rho$ 还要小

3. 唯一性：系数 $A,B$ 由点 $P_0$ 唯一确定

2.1.2 全微分的定义

定义：式 (1) 中关于 $\Delta x,\Delta y$ 的线性函数 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的全微分，记作

$$dz{|}_{P_0}=df(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.1.3 实用形式（等价定义）

形式2：可微性也可表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\alpha =0,\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\beta =0$$

证明等价性：

设 $o(\rho )=\alpha \Delta x+\beta \Delta y$，则 $$\alpha =\frac{o(\rho )}{\Delta x},\beta =\frac{o(\rho )}{\Delta y}$$

当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 时， $$|\alpha |\le \frac{|o(\rho )|}{|\Delta x|}\le \frac{|o(\rho )|}{\rho }\cdot \frac{\rho }{|\Delta x|}\le \frac{|o(\rho )|}{\rho }\cdot \sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2}$$

由于 $\frac{|o(\rho )|}{\rho }\to 0$ 且第二项有界，所以 $\alpha \to 0$ ■

2.1.4 线性近似公式

公式：由式 (1)，当 $|\Delta x|,|\Delta y|$ 充分小时，

$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0)\text{\hspace{1em}(3)}$$

意义：

• 用线性函数近似非线性函数
• 是泰勒展开的零阶和一阶项
• 广泛应用于近似计算和误差估计

2.2 偏导数：方向导数的特例

2.2.1 偏导数的定义

定义2：设函数 $z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$。若 $(x_0,y_0)\in D$，且 $f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，则当极限

$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\text{\hspace{1em}(7)}$$

存在时，称这个极限为函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的偏导数。

类似地，关于 $y$ 的偏导数为

$$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

2.2.2 记号系统

注意：

• $\partial$ 读作"round d"或"partial"
• 与 $d$ 的区别：$d$ 用于全微分，$\partial$ 用于偏导数

2.2.3 几何意义

设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 为曲面 $z=f(x,y)$ 上一点，其中 $z_0=f(x_0,y_0)$。

对 $x$ 的偏导数 $f_x(x_0,y_0)$：

• 过 $P_0$ 作平面 $y=y_0$
• 它与曲面 $z=f(x,y)$ 的交线为： $$\{\begin{array}{l}y=y_0\\ z=f(x,y_0)\end{array}$$
• $f_x(x_0,y_0)$ 是这条曲线在点 $P_0$ 处的切线 $T_x$ 对 $x$ 轴的斜率： $$f_x(x_0,y_0)=\tan \alpha$$ 其中 $\alpha$ 是切线 $T_x$ 与 $x$ 轴正向的夹角

对 $y$ 的偏导数 $f_y(x_0,y_0)$：

• 类似地，是平面 $x=x_0$ 与曲面交线在 $P_0$ 处的切线 $T_y$ 对 $y$ 轴的斜率

可视化：

        z
        ↑
        |     曲面 z = f(x,y)
        |    /
        |   / T_y (斜率 = fᵧ)
       P₀  /
       /| /
      / |/___T_x (斜率 = fₓ)
     /  /
    /  /
   y  /
     /________→ x

2.2.4 计算方法

基本原则：固定其他变量，按一元函数求导

步骤：

1. 确定要对哪个变量求偏导
2. 将其他变量视为常数
3. 应用一元函数求导法则

一元求导法则全部适用：

• 和差法则
• 乘积法则
• 商法则
• 链式法则
• 幂函数、指数、对数、三角函数等的导数公式

📌 例1：验证 $f(x,y)=xy$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微

解：

步骤1：计算全增量 $$\Delta f(x_0,y_0)=(x_0+\Delta x)(y_0+\Delta y)-x_0{y}_0$$ $$=x_0\Delta y+y_0\Delta x+\Delta x\Delta y$$

步骤2：验证高阶无穷小 $$\frac{|\Delta x\Delta y|}{\rho }=\frac{|\Delta x\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\le \frac{|\Delta x|\cdot |\Delta y|}{|\Delta x|}=|\Delta y|\to 0$$

（这里用了 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\ge |\Delta x|$）

更精确地： $$\left|\frac{\Delta x\Delta y}{\rho }\right|\le \frac{|\Delta x|\cdot |\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=\frac{|\Delta x|\cdot |\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\cdot \frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

利用Cauchy不等式：$|\Delta x\Delta y|\le \frac{1}{2}(\Delta x^2+\Delta y^2)$

$$\frac{|\Delta x\Delta y|}{\rho }\le \frac{{\rho }^2/2}{\rho }=\frac{\rho }{2}\to 0$$

结论：$\Delta x\Delta y=o(\rho )$，因此 $$\Delta f=y_0\Delta x+x_0\Delta y+o(\rho )$$

函数 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $$df=y_{0}dx+x_{0}dy$$ ■

📌 例2：求函数 $f(x,y)=x^3+2x^{2}y-y^3$ 在点 $(1,3)$ 的偏导数

解法1（定义法）：

对 $x$ 的偏导数：

• 固定 $y=3$，得 $f(x,3)=x^3+6x^2-27$
• 求导：$\frac{d}{dx}f(x,3)=3x^2+12x$
• 代入 $x=1$：$f_x(1,3)=3+12=15$

对 $y$ 的偏导数：

• 固定 $x=1$，得 $f(1,y)=1+2y-y^3$
• 求导：$\frac{d}{dy}f(1,y)=2-3y^2$
• 代入 $y=3$：$f_y(1,3)=2-27=-25$

解法2（偏导函数法）：

先求偏导函数： $$f_x(x,y)=3x^2+4xy$$ $$f_y(x,y)=2x^2-3y^2$$

再代入 $(1,3)$： $$f_x(1,3)=3+12=15$$ $$f_y(1,3)=2-27=-25$$ ■

📌 例3：求 $z=x^y$ ($x>0$) 的偏导数

解：

对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数）： $$\frac{\partial z}{\partial x}=y{x}^{y-1}$$

对 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）： $$x^y=e^{y\ln x}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=e^{y\ln x}\cdot \ln x=x^y\ln x$$ ■

📌 例4：求三元函数 $u=\sin (x+y^2-e^z)$ 的偏导数

解：

对 $x$（$y,z$ 为常数）： $$\frac{\partial u}{\partial x}=\cos (x+y^2-e^z)\cdot 1=\cos (x+y^2-e^z)$$

对 $y$（$x,z$ 为常数）： $$\frac{\partial u}{\partial y}=\cos (x+y^2-e^z)\cdot 2y=2y\cos (x+y^2-e^z)$$

对 $z$（$x,y$ 为常数）： $$\frac{\partial u}{\partial z}=\cos (x+y^2-e^z)\cdot (-e^z)=-e^z\cos (x+y^2-e^z)$$ ■

🏗️ 三、可微性条件理论体系

3.1 定理17.1：可微的必要条件

定理内容

定理17.1：若二元函数 $f$ 在其定义域内一点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且式 (1) 中的

$$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$$

因此，函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分可唯一地表示为

$$df{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cdot dx+f_y(x_0,y_0)\cdot dy$$

证明

由可微性定义， $$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$

求 $A$：令 $\Delta y=0$ ($\Delta x\ne 0$)，得 $${\Delta }_{x}z=A\Delta x+\alpha \Delta x$$

其中 $\alpha \to 0$ ($\Delta x\to 0$)

因此 $$\frac{{\Delta }_{x}z}{\Delta x}=A+\alpha$$

令 $\Delta x\to 0$： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A$$

即 $A=f_x(x_0,y_0)$

求 $B$：类似地，令 $\Delta x=0$，得 $B=f_y(x_0,y_0)$ ■

推论

由于 $\Delta x=dx$，$\Delta y=dy$（自变量的增量等于微分），全微分可写为

$$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy\text{\hspace{1em}(8)}$$

若 $f$ 在区域 $D$ 上每一点都可微，则在 $D$ 上全微分为

$$df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$$

3.2 定理17.2：可微的充分条件（核心）

定理内容

定理17.2：若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，且 $f_x$ 与 $f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。

证明（经典方法）

核心思想：将全增量分解为两个偏增量，分别应用一元函数的Lagrange中值定理。

步骤1：分解全增量 $$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$ $$=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$$

第一个括号：关于 $x$ 的偏增量（$y$ 固定为 $y_0+\Delta y$） 第二个括号：关于 $y$ 的偏增量（$x$ 固定为 $x_0$）

步骤2：应用一元Lagrange中值定理

对第一项，$f(x,y_0+\Delta y)$ 作为 $x$ 的函数在 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 上应用中值定理： $$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)=f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\cdot \Delta x$$ 其中 $0<{\theta }_1<1$

对第二项，$f(x_0,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $[y_0,y_0+\Delta y]$ 上应用中值定理： $$f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\cdot \Delta y$$ 其中 $0<{\theta }_2<1$

因此 $$\Delta z=f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\cdot \Delta x+f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\cdot \Delta y\text{\hspace{1em}(9)}$$

步骤3：利用偏导数的连续性

由于 $f_x$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 时， $$(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\to (x_0,y_0)$$

因此 $$f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha$$

其中 $\alpha \to 0$ ($(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$)

类似地， $$f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\beta$$

其中 $\beta \to 0$ ($(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$)

步骤4：得到可微性形式

将上式代入 (9)： $$\Delta z=[f_x(x_0,y_0)+\alpha ]\Delta x+[f_y(x_0,y_0)+\beta ]\Delta y$$ $$=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y$$

由于 $\alpha ,\beta \to 0$，这正是可微性的形式 (4)

因此函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微 ■

定理的意义

1. 实用性：提供了判定可微的可操作标准
2. 充分条件：偏导数连续 ⟹ 可微
3. 连续可微：若 $f$ 的偏导数连续，称 $f$ 连续可微（记作 $f\in C^1$）

3.3 定理17.3：中值公式

定理内容

定理17.3：设函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在偏导数，若 $(x,y)$ 属于该邻域，则存在 $$\xi =x_0+{\theta }_1(x-x_0),\eta =y_0+{\theta }_2(y-y_0)$$ 其中 $0<{\theta }_1,{\theta }_2<1$，使得

$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta )(y-y_0)\text{\hspace{1em}(12)}$$

意义

• 这是二元函数的Lagrange中值定理
• 与一元函数的区别：$\xi$ 和 $\eta$ 对应不同的中值点
• 是定理17.2证明中式 (9) 的推广

3.4 可微性、连续性、偏导数的关系图

            偏导数连续
                ↓
             可  微
            ↙     ↘
       连  续    偏导数存在
            ↘     ↙
          （无直接关系）

详细关系：

3.5 反例分析（关键）

📌 例5：偏导数存在但不可微

函数： $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

验证偏导数存在：

$$f_x(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0-0}{\Delta x}=0$$

同理，$f_y(0,0)=0$

验证不可微：

若 $f$ 在原点可微，则 $$\Delta z-dz=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y$$ $$=\frac{\Delta x\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}-0=\frac{\Delta x\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

应满足 $$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-dz}{\rho }=\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x^2+\Delta y^2{)}^{3/2}}=0$$

但在第十六章§2例3已证明，这个极限不存在！

例如，沿 $\Delta y=\Delta x$： $$\frac{\Delta x\cdot \Delta x}{(2\Delta x^2{)}^{3/2}}=\frac{\Delta x^2}{2^{3/2}\Delta x^3}=\frac{1}{2\sqrt{2}\Delta x}\to \infty$$

结论：函数 $f$ 在原点不可微 ■

教训

• 偏导数存在只保证"沿坐标轴方向可导"
• 可微性要求"沿所有方向的变化都可线性近似"
• 连续性是必要条件，但偏导数连续才是充分条件

📐 四、几何意义与切平面理论

4.1 切平面的定义

从曲线切线到曲面切平面

曲线的切线（复习）：

• 割线 $PQ$ 当 $Q\to P$ 时的极限位置
• 等价于：$\sin \theta \to 0$，其中 $\theta$ 是 $PQ$ 与切线的夹角
• 由 $\sin \theta =\frac{d}{h}$，等价于 $\frac{d}{h}\to 0$

曲面的切平面（类比）：

定义3：设 $P$ 是曲面 $S$ 上一点，$\Pi$ 为通过点 $P$ 的一个平面。曲面 $S$ 上的动点 $Q$ 到定点 $P$ 和到平面 $\Pi$ 的距离分别为 $d$ 与 $h$。若当 $Q$ 在 $S$ 上以任何方式趋近于 $P$ 时，恒有

$$\frac{h}{d}\to 0$$

则称平面 $\Pi$ 为曲面 $S$ 在点 $P$ 处的切平面，$P$ 为切点。

4.2 定理17.4：切平面存在的充要条件（核心）

定理内容

定理17.4：曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 存在不平行于 $z$ 轴的切平面 $\Pi$ 的充要条件是函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微。

充分性证明（可微 ⟹ 存在切平面）

已知：$f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，即 $$\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$

其中 $z_0=f(x_0,y_0)$，$\rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$

构造平面：考虑过点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的平面 $$Z-z_0=f_x(x_0,y_0)(X-x_0)+f_y(x_0,y_0)(Y-y_0)$$

其中 $X,Y,Z$ 是平面上任意点的坐标。

计算距离：

曲面上任意点 $Q(x,y,z)$（其中 $z=f(x,y)$）到该平面的距离为 $$h=\frac{|z-z_0-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)|}{\sqrt{1+f_x^2(x_0,y_0)+f_y^2(x_0,y_0)}}$$ $$=\frac{|o(\rho )|}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$$

计算比值：

$P$ 到 $Q$ 的距离为 $$d=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}=\sqrt{{\rho }^2+(z-z_0{)}^2}\ge \rho$$

因此 $$\frac{h}{d}=\frac{|o(\rho )|/\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}{\sqrt{{\rho }^2+(z-z_0{)}^2}}\le \frac{|o(\rho )|/\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}{\rho }$$ $$=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}\cdot \frac{|o(\rho )|}{\rho }\to 0(\rho \to 0)$$

结论：平面 $\Pi$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P$ 的切平面 ■

必要性证明（存在切平面 ⟹ 可微）

已知：曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 存在不平行于 $z$ 轴的切平面 $$Z-z_0=A(X-x_0)+B(Y-y_0)$$

其中 $Q(x,y,z)$ 是曲面上任意一点。

设：$\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=y-y_0$，$\Delta z=z-z_0$，$\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

点 $Q$ 到切平面的距离为 $$h=\frac{|\Delta z-A\Delta x-B\Delta y|}{\sqrt{1+A^2+B^2}}$$

$P$ 到 $Q$ 的距离为 $$d=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}=\sqrt{{\rho }^2+\Delta z^2}$$

由切平面定义：$\frac{h}{d}\to 0$ ($\rho \to 0$)

要证明 $f$ 可微，需证 $$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-A\Delta x-B\Delta y}{\rho }=0$$

关键估计：

$$\frac{|\Delta z-A\Delta x-B\Delta y|}{\rho }=\frac{h\sqrt{1+A^2+B^2}}{\rho }\le \frac{h\sqrt{1+A^2+B^2}}{d}\cdot \frac{d}{\rho }$$

由于 $\frac{h}{d}\to 0$，只需证 $\frac{d}{\rho }$ 有界即可。

$$\frac{d}{\rho }=\frac{\sqrt{{\rho }^2+\Delta z^2}}{\rho }=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta z}{\rho }\right)}^2}$$

由 $$|\Delta z|\le |\Delta z-A\Delta x-B\Delta y|+|A\Delta x+B\Delta y|$$ $$\le h\sqrt{1+A^2+B^2}+(|A|+|B|)\rho$$

当 $\rho$ 充分小时，$h<d$，所以 $$|\Delta z|\le \sqrt{{\rho }^2+\Delta z^2}\cdot \sqrt{1+A^2+B^2}+(|A|+|B|)\rho$$

教材通过更细致的分析（见第108页）证明了 $\frac{|\Delta z|}{\rho }$ 有界，从而得到 $$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-A\Delta x-B\Delta y}{\rho }=0$$

即 $f$ 在 $P_0$ 可微 ■

4.3 切平面方程与法线方程

切平面方程： $$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\text{\hspace{1em}(13)}$$

法向量： $$\mathbf{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$$

或写成对称形式： $$\mathbf{n}=\pm (f_x,f_y,-1)$$

法线方程（过切点 $P$ 且垂直于切平面）： $$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}\text{\hspace{1em}(14)}$$

4.4 全微分的几何意义

图示（图17-4）：

        z
        ↑
       Q│    曲面 z = f(x,y)
        │   /
    Δz  │  /
    ────┼─M   切平面
    dz  │/
        N────→ (x₀+Δx, y₀+Δy)
       P│
        │
        └──────→ y
       /
      / x

• $\Delta z$：曲面上从 $P$ 到 $Q$ 的竖坐标增量（实际增量）
• $dz$：切平面上从 $N$ 到 $M$ 的竖坐标增量（线性近似）
• $MQ=\Delta z-dz=o(\rho )$：误差项（高阶无穷小）

意义：

• 切平面是曲面的线性逼近
• 全微分是函数增量的主要部分
• 误差比 $\rho$ 还小

4.5 应用实例

📌 例6：抛物面的切平面和法线

问题：求抛物面 $z=a{x}^2+b{y}^2$ 在点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面和法线方程。

解：

计算偏导数： $$f_x(x_0,y_0)=2a{x}_0,f_y(x_0,y_0)=2b{y}_0$$

切平面方程（由公式13）： $$z-z_0=2a{x}_0(x-x_0)+2b{y}_0(y-y_0)$$

由于 $z_0=a{x}_0^2+b{y}_0^2$，整理得 $$2a{x}_{0}x+2b{y}_{0}y-z-z_0=0$$

或 $$2a{x}_{0}x+2b{y}_{0}y-z=a{x}_0^2+b{y}_0^2$$

法线方程（由公式14）： $$\frac{x-x_0}{2a{x}_0}=\frac{y-y_0}{2b{y}_0}=\frac{z-z_0}{-1}$$ ■

📌 例7：近似计算

问题：求 $1.08^{3.96}$ 的近似值。

解：

设 $f(x,y)=x^y$，取 $x_0=1$，$y_0=4$，$\Delta x=0.08$，$\Delta y=-0.04$

计算偏导数： $$f_x(x,y)=y{x}^{y-1},f_y(x,y)=x^y\ln x$$

在 $(1,4)$： $$f_x(1,4)=4\cdot 1^3=4,f_y(1,4)=1^4\ln 1=0$$

线性近似（公式3）： $$f(1.08,3.96)\approx f(1,4)+f_x(1,4)\cdot 0.08+f_y(1,4)\cdot (-0.04)$$ $$=1+4\times 0.08+0\times (-0.04)=1+0.32=1.32$$

答案：$1.08^{3.96}\approx 1.32$ ■

📌 例8：误差估计

问题：用公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 计算三角形面积。测得 $a=12.50$，$b=8.30$，$C=30°$。若 $a,b$ 的误差为 $\pm 0.01$，$C$ 的误差为 $\pm 0.1°$，求面积的绝对误差限和相对误差限。

解：

偏导数： $$\frac{\partial S}{\partial a}=\frac{1}{2}b\sin C,\frac{\partial S}{\partial b}=\frac{1}{2}a\sin C,\frac{\partial S}{\partial C}=\frac{1}{2}ab\cos C$$

绝对误差限： $$|\Delta S|\approx |dS|=\left|\frac{\partial S}{\partial a}\Delta a\right|+\left|\frac{\partial S}{\partial b}\Delta b\right|+\left|\frac{\partial S}{\partial C}\Delta C\right|$$ $$\le \frac{1}{2}|b\sin C|\cdot |\Delta a|+\frac{1}{2}|a\sin C|\cdot |\Delta b|+\frac{1}{2}|ab\cos C|\cdot |\Delta C|$$

代入数据（$C=30°=\frac{\pi }{6}$，$\Delta C=0.1°=\frac{\pi }{1800}$）： $$|\Delta S|\le \frac{1}{2}\cdot 8.30\cdot 0.5\cdot 0.01+\frac{1}{2}\cdot 12.50\cdot 0.5\cdot 0.01+\frac{1}{2}\cdot 12.50\cdot 8.30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\pi }{1800}$$ $$\approx 0.02075+0.03125+0.08\approx 0.13$$

精确面积： $$S=\frac{1}{2}\cdot 12.50\cdot 8.30\cdot \sin 30°=\frac{1}{2}\cdot 12.50\cdot 8.30\cdot 0.5=25.94$$

相对误差限： $$\frac{|\Delta S|}{S}\approx \frac{0.13}{25.94}\approx 0.005=0.5\%$$ ■

📊 五、一元与多元函数的对比

5.1 概念对比表

5.2 关键差异分析

差异1：可微性条件

一元函数：

可微 ⟺ 导数存在

原因：只有两个方向（左、右），导数存在自动保证了"线性逼近"

二元函数：

可微 ⟹ 偏导数存在（必要条件）
偏导数连续 ⟹ 可微（充分条件）

原因：

• 偏导数只刻画坐标轴方向的性质
• 可微要求所有方向都能线性逼近
• 需要连续性作为桥梁

差异2：几何意义

一元函数：

• 图像：平面曲线
• 可微：存在不垂直于 $x$ 轴的切线
• 切线唯一

二元函数：

• 图像：空间曲面
• 可微：存在不平行于 $z$ 轴的切平面
• 过点 $P$ 的切线有无穷多条（

📊 五、一元与多元函数的对比（续）

5.2 关键差异分析（续）

差异2：几何意义（续）

二元函数：

• 图像：空间曲面
• 可微：存在不平行于 $z$ 轴的切平面
• 过点 $P$ 的切线有无穷多条（在切平面内），但切平面唯一
• $f_x,f_y$ 分别给出 $x$ 方向和 $y$ 方向的切线斜率

可视化对比：

一元函数：
    y
    ↑
    |    /  切线（唯一）
    |   /
    |  /
    | /___曲线
    |/
    └────→ x

二元函数：
        z
        ↑
        |     /切平面
        |    /
        |   /____曲面
        |  /  /
        | /  /
        |/  /
       y  /
         /________→ x

差异3：微分形式

一元函数： $$dy=f^{\prime }(x_0)dx$$

• 只有一个系数 $f^{\prime }(x_0)$
• $dx$ 是自变量的微分（等于增量）

二元函数： $$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$$

• 有两个系数 $f_x,f_y$
• $dx,dy$ 是两个自变量的微分
• 形式上是线性组合

推广到 $n$ 元函数： $$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}d{x}_n=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$$

差异4：中值定理

一元函数（Lagrange中值定理）： $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$$

• 中值点 $\xi$ 唯一确定区间

二元函数（定理17.3）： $$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta )(y-y_0)$$

• 有两个中值点 $\xi ,\eta$
• $\xi$ 对应 $x$ 方向，$\eta$ 对应 $y$ 方向
• 不能合并为同一点

注意：一般不存在形如 $$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,\eta )(x-x_0)+f_y(\xi ,\eta )(y-y_0)$$ 的单点中值公式！

5.3 类比与推广

类比策略

1. 基本思想相同

   • 用线性函数逼近非线性函数
   • 误差是高阶无穷小

2. 形式结构类似

   • $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
   • $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$

3. 维度差异本质

   • 一元：一个方向 → 一个系数
   • 二元：两个方向 → 两个系数
   • $n$ 元：$n$ 个方向 → $n$ 个系数

推广到 $n$ 元函数

定义：函数 $u=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 在点 ${\mathbf{x}}_0=(x_1^0,x_2^0,\dots ,x_n^0)$ 可微，若 $$\Delta u=\sum _{i=1}^n{A}_i\Delta x_i+o(\Vert \Delta \mathbf{x}\Vert )$$

其中 $\Vert \Delta \mathbf{x}\Vert =\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(\Delta x_i{)}^2}$

全微分： $$du=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$$

可微充分条件：若所有偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 连续，则 $f$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 可微。

⚠️ 六、常见误区与易错点详解

6.1 十大典型误区

误区1：偏导数存在 ⟹ 可微

错误认识：以为只要 $f_x,f_y$ 存在，函数就可微。

正确认识：偏导数存在只是必要条件，不是充分条件。

反例：例5（已详述） $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

• $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$（存在）
• 但 $f$ 在原点不可微

根源：偏导数只反映"沿坐标轴方向"的性质，不能保证"沿所有方向"的线性逼近。

误区2：可微 ⟹ 偏导数连续

错误认识：以为可微了，偏导数就自动连续。

正确认识：可微不能推出偏导数连续。

反例： $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$