第十五章（续）

FOURIER SERIES (CONTINUED)

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§15.2 任意周期的傅里叶级数

FOURIER SERIES FOR ARBITRARY PERIODS

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偶函数与奇函数的傅里叶展开

FOURIER EXPANSIONS OF EVEN AND ODD FUNCTIONS

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"Symmetry simplifies, elegance emerges."

"对称化简，优雅显现。"

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From 2π to 2L, From General to Special
从2π到2L，从一般到特殊

📋 本节知识架构

§15.2 以2L为周期的函数的展开式
│
├─ 一、以2L为周期的函数的傅里叶级数
│   │
│   ├─ 1.1 变量代换法
│   │   ├─ t = πx/L （标准化）
│   │   └─ F(t) = f(Lt/π)
│   │
│   ├─ 1.2 傅里叶级数形式
│   │   ├─ f(x) ~ a₀/2 + Σ(aₙcos(nπx/L) + bₙsin(nπx/L))
│   │   └─ 周期2L的三角函数系
│   │
│   └─ 1.3 系数公式
│       ├─ aₙ = (1/L)∫₋ₗᴸ f(x)cos(nπx/L)dx
│       └─ bₙ = (1/L)∫₋ₗᴸ f(x)sin(nπx/L)dx
│
├─ 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   │
│   ├─ 2.1 偶函数的余弦级数
│   │   ├─ f(-x) = f(x) ⟹ bₙ = 0
│   │   ├─ f(x) = a₀/2 + Σaₙcos(nπx/L)
│   │   └─ aₙ = (2/L)∫₀ᴸ f(x)cos(nπx/L)dx
│   │
│   ├─ 2.2 奇函数的正弦级数
│   │   ├─ f(-x) = -f(x) ⟹ aₙ = 0
│   │   ├─ f(x) = Σbₙsin(nπx/L)
│   │   └─ bₙ = (2/L)∫₀ᴸ f(x)sin(nπx/L)dx
│   │
│   └─ 2.3 半区间展开
│       ├─ 偶式延拓 → 余弦级数
│       └─ 奇式延拓 → 正弦级数
│
└─ 三、典型例题
    │
    ├─ 例1：周期为10的分段函数
    ├─ 例2：|sin x| 的余弦级数（偶函数）
    ├─ 例3：方波的正弦级数（奇延拓）
    └─ 例4：f(x)=x 的两种展开（奇/偶延拓）

一、以2L为周期的函数的傅里叶级数

FOURIER SERIES FOR FUNCTIONS WITH PERIOD 2L

从标准周期到任意周期
From Standard Period to Arbitrary Period

问题的提出

前面我们讨论的是周期为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数。

问题：如果函数 $f(x)$ 的周期是 $2L$（任意正数），如何展开？

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核心思想：标准化

通过变量代换，将周期 $2L$ 的函数转化为周期 $2\pi$ 的函数。

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变量代换公式

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验证周期性：

$$F(t+2\pi )=f\left(\frac{L(t+2\pi )}{\pi }\right)=f\left(\frac{Lt}{\pi }+2L\right)=f\left(\frac{Lt}{\pi }\right)=F(t)$$

因为 $f$ 的周期是 $2L$。

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几何意义

原函数 f(x)，周期 2L            新函数 F(t)，周期 2π

    ↑ y                             ↑ y
    │  ╱╲  ╱╲  ╱╲                   │  ╱╲  ╱╲  ╱╲
    │ ╱  ╲╱  ╲╱  ╲                  │ ╱  ╲╱  ╲╱  ╲
────┼────────────────→ x          ────┼────────────────→ t
    │← 2L →← 2L →                   │← 2π→← 2π→
    
变量代换 t = πx/L：
将 x 轴"压缩"或"拉伸"到标准长度

从 $F(t)$ 到 $f(x)$

若 $f$ 在 $[-L,L]$ 上可积，则 $F$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上也可积。

$F(t)$ 的傅里叶级数展开式是：

$$F(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nt+b_n\sin nt)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(t)\cos ntdt,n=0,1,2,\dots \\ b_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(t)\sin ntdt,n=1,2,\dots \end{array}\text{\hspace{1em}(2a)(2b)}$$

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变量回代

由 $t=\frac{\pi x}{L}$，$dt=\frac{\pi }{L}dx$，$F(t)=f(x)$

代入 (1) 式：

$$\boxed{f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L}\right)}\text{\hspace{1em}(3)}$$

这是周期为 $2L$ 的函数的傅里叶级数标准形式。

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系数公式

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推导：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(t)\cos ntdt=\frac{1}{\pi }{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\cdot \frac{\pi }{L}dx=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx$$

$b_n$ 同理。

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收敛定理

若函数 $f$ 在 $[-L,L]$ 上按段光滑，则：

问题

把函数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& -5\le x<0\\ 3,& 0\le x<5\end{array}$$ 展开成傅里叶级数。

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解答

第1步：确定周期和参数

$f$ 在 $[-5,5]$ 上定义，周期为 $2L=10$，所以 $L=5$。

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第2步：验证条件

$f$ 在 $(-5,5)$ 上按段光滑（除 $x=0$ 外连续，导数处处为0），满足展开条件。

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第3步：计算 $a_0$

$$a_0=\frac{1}{5}{\int }_{-5}^{5}f(x)dx=\frac{1}{5}\left[{\int }_{-5}^{0}0dx+{\int }_0^{5}3dx\right]=\frac{1}{5}\cdot 15=3$$

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第4步：计算 $a_n$ ($n\ge 1$)

$$a_n=\frac{1}{5}{\int }_{-5}^{5}f(x)\cos \frac{n\pi x}{5}dx=\frac{1}{5}{\int }_0^{5}3\cos \frac{n\pi x}{5}dx$$

$$=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{n\pi }\sin \frac{n\pi x}{5}{|}_0^5=\frac{3}{n\pi }\sin n\pi =0$$

（因为 $\sin n\pi =0$）

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第5步：计算 $b_n$

$$b_n=\frac{1}{5}{\int }_{-5}^{5}f(x)\sin \frac{n\pi x}{5}dx=\frac{1}{5}{\int }_0^{5}3\sin \frac{n\pi x}{5}dx$$

$$=\frac{3}{5}\cdot {\left[-\frac{5}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{5}\right]}_0^5=-\frac{3}{n\pi }\left[\cos n\pi -1\right]$$

$$=\frac{3}{n\pi }(1-\cos n\pi )=\frac{3(1-(-1{)}^n)}{n\pi }$$

---

简化：

$$b_n=\{\begin{array}{ll}\frac{6}{n\pi },& n=2k-1\text{ (奇数)}\\ 0,& n=2k\text{ (偶数)}\end{array}$$

或写成： $$b_{2k-1}=\frac{6}{(2k-1)\pi },k=1,2,3,\dots$$

---

第6步：写出傅里叶级数

$$\boxed{f(x)\sim \frac{3}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{6}{(2k-1)\pi }\sin \frac{(2k-1)\pi x}{5}}$$

$$=\frac{3}{2}+\frac{6}{\pi }\left(\sin \frac{\pi x}{5}+\frac{1}{3}\sin \frac{3\pi x}{5}+\frac{1}{5}\sin \frac{5\pi x}{5}+\cdots \right)$$

---

第7步：收敛性分析

在 $x\in (-5,0)\cup (0,5)$：

• $f$ 连续，级数收敛到 $f(x)$

在 $x=0$：

• $f(0-0)=0$，$f(0+0)=3$
• 级数收敛到 $\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$

验证：$x=0$ 时，$\sin$ 项全为0，级数和 = $\frac{3}{2}$ ✓

在 $x=\pm 5$（端点）：

• 周期延拓后，$f(-5+0)=3$，$f(5-0)=3$
• 级数收敛到 $\frac{3+3}{2}=3$ ✓

---

几何图示

原函数 f(x)

    ↑ y
    │     ●─────●
  3 │     │     │
    │     │     │
────┼─────●─────┼───→ x
    │           │
 -5       0     5

周期延拓（方波）

    ↑ y
    │──●──●──●──●──
  3 │  │  │  │  │
────┼──●──●──●──●──→ x
    │           
 -10  -5  0  5  10

只含正弦项（奇延拓的结果）

二、偶函数与奇函数的傅里叶级数

FOURIER SERIES FOR EVEN AND ODD FUNCTIONS

对称性带来的优雅简化
Elegant Simplification Through Symmetry

定理：偶函数只含余弦项

---

证明

关键观察：

1. $f(x)$ 是偶函数：$f(-x)=f(x)$

2. $\cos \frac{n\pi x}{L}$ 是偶函数

3. $\sin \frac{n\pi x}{L}$ 是奇函数

因此：

• $f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}$ 是偶函数（偶×偶=偶）
• $f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}$ 是奇函数（偶×奇=奇）

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计算系数：

$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx=0$$

（奇函数在对称区间上积分为0）

$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx$$

（偶函数在对称区间上积分 = 2倍半区间积分）

$\square$

---

特殊情况：$L=\pi$

当 $L=\pi$ 时，偶函数 $f$ 展开为：

$$\boxed{f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx}\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $$\boxed{a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx,n=0,1,2,\dots }\text{\hspace{1em}(11)}$$

定理：奇函数只含正弦项

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证明

关键观察：

• $f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}$ 是奇函数（奇×偶=奇）
• $f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}$ 是偶函数（奇×奇=偶）

因此： $$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx=0$$

$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$$

$\square$

---

特殊情况：$L=\pi$

当 $L=\pi$ 时，奇函数 $f$ 展开为：

$$\boxed{f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中 $$\boxed{b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx,n=1,2,\dots }\text{\hspace{1em}(13)}$$

问题

若函数 $f$ 仅定义在 $[0,L]$ 上（或 $[0,\pi ]$），如何展开成：

• 余弦级数？
• 正弦级数？

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解决方案：对称延拓

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几何图示

原函数 f(x) 在 [0, π] 上

    ↑ y
    │     ╱╲
    │    ╱  ╲
    │   ╱    ╲
    │  ╱      ╲
────┼─────────────→ x
    0           π


偶式延拓（镜像对称）

    ↑ y
    │  ╱╲     ╱╲
    │ ╱  ╲   ╱  ╲
    │╱    ╲ ╱    ╲
────┼───────●───────→ x
   -π      0       π

对称轴：y轴
展开为：余弦级数


奇式延拓（中心对称）

    ↑ y
    │       ╱╲
    │      ╱  ╲
────┼─────●────╲───→ x
    │    ╱      ╲
    │   ╱        ╲
    │  ╱
   -π  0          π

对称中心：原点
展开为：正弦级数

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计算优势

对于定义在 $[0,L]$ 上的函数：

1. 直接应用公式 (6) 或 (8)，无需先延拓

2. 积分区间减半：只需在 $[0,L]$ 上积分

3. 自动判断哪些系数为0

三、典型例题精讲

DETAILED EXAMPLE PROBLEMS

问题

设函数 $$f(x)=|\sin x|,-\pi \le x<\pi$$ 求 $f$ 的傅里叶级数展开式。

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解答

第1步：分析函数性质

• $f(-x)=|\sin (-x)|=|-\sin x|=|\sin x|=f(x)$
  → $f$ 是偶函数

• $f$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上除 $x=0$ 外连续，且除有限个点外可导
  → $f$ 按段光滑

因此，$f$ 可展开为余弦级数。

---

几何图形

f(x) = |sin x|

    ↑ y
  1 │  ╱╲    ╱╲    ╱╲
    │ ╱  ╲  ╱  ╲  ╱  ╲
    │╱    ╲╱    ╲╱    ╲
────●──────●──────●──────→ x
  -π     0      π     2π

周期：π（不是2π！）
但可以看作周期2π的偶函数

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第2步：写出展开形式

由公式 (10)：

$$|\sin x|=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$$

---

第3步：计算 $a_0$

$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }|\sin x|dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin xdx$$

$$=\frac{2}{\pi }{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=\frac{2}{\pi }[-\cos \pi +\cos 0]=\frac{2}{\pi }[1+1]=\frac{4}{\pi }$$

---

第4步：计算 $a_n$ ($n\ge 1$)

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\cos nxdx$$

利用积化和差公式： $$\sin x\cos nx=\frac{1}{2}[\sin (n+1)x+\sin (n-1)x]$$

---

情况1：$n=1$

$$a_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\cos xdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2x}{2}dx=\frac{1}{\pi }{\left[-\frac{\cos 2x}{2}\right]}_0^{\pi }=0$$

---

情况2：$n\ge 2$

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}[\sin (n+1)x+\sin (n-1)x]dx$$

$$=\frac{1}{\pi }{\left[-\frac{\cos (n+1)x}{n+1}-\frac{\cos (n-1)x}{n-1}\right]}_0^{\pi }$$

$$=\frac{1}{\pi }\left[\frac{1-\cos (n+1)\pi }{n+1}+\frac{1-\cos (n-1)\pi }{n-1}\right]$$

$$=\frac{1}{\pi }\left[\frac{1-(-1{)}^{n+1}}{n+1}+\frac{1-(-1{)}^{n-1}}{n-1}\right]$$

---

当 $n$ 为奇数时：

• $(-1{)}^{n+1}=1$，$(-1{)}^{n-1}=1$
• $a_n=0$

当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$：

• $(-1{)}^{n+1}=-1$，$(-1{)}^{n-1}=-1$
• $$a_{2m}=\frac{1}{\pi }\left[\frac{2}{2m+1}+\frac{2}{2m-1}\right]=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{2m+1+2m-1}{(2m+1)(2m-1)}$$

$$=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{4m}{4m^2-1}=\frac{-4}{\pi (4m^2-1)}$$

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第5步：写出傅里叶级数

$$\boxed{|\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum _{m=1}^{\infty }\frac{\cos 2mx}{4m^2-1}}$$

$$=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\left(\frac{\cos 2x}{3}+\frac{\cos 4x}{15}+\frac{\cos 6x}{35}+\cdots \right)$$

---

特殊值应用

取 $x=0$：

$$|\sin 0|=0=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{4m^2-1}$$

因此：

$$\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{4m^2-1}=\frac{1}{2}$$

即： $$\boxed{\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\cdots =\frac{1}{2}}$$

利用部分分式：$\frac{1}{4m^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}\right)$（望远镜级数）。

问题

把定义在 $[0,\pi ]$ 上的函数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<h\\ 0,& h<x<\pi \end{array}$$ （其中 $0<h<\pi$）展开成正弦级数。

---

几何图形

矩形脉冲

    ↑ y
  1 │ ●───●
    │ │   │
    │ │   │
────┼─●───●───────→ x
    0 h         π

需要奇式延拓到[-π, π]

---

解答

第1步：选择延拓方式

要展开成正弦级数，需作奇式延拓：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in [0,\pi ]\\ -f(-x),& x\in [-\pi ,0]\end{array}$$

$F$ 是奇函数，按段光滑。

---

第2步：写出展开形式

由公式 (12)：

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,x\in (0,\pi )$$

---

第3步：计算系数 $b_n$

由公式 (13)：

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{h}1\cdot \sin nxdx$$

$$=\frac{2}{\pi }{\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]}_0^h=\frac{2}{n\pi }(1-\cos nh)$$

$$=\boxed{\frac{2(1-\cos nh)}{n\pi }}$$

---

第4步：写出正弦级数

$$\boxed{f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2(1-\cos nh)}{n\pi }\sin nx,0<x<\pi ,x\ne h}$$

---

第5步：收敛性分析

在 $x=0$：

• 级数的和 = 0（所有 $\sin nx{|}_{x=0}=0$）
• $\frac{f(0+0)+f(0-0)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$ ✓

在 $x=h$（间断点）：

• $f(h-0)=1$，$f(h+0)=0$
• 级数收敛到 $\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$

验证： $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2(1-\cos nh)}{n\pi }\sin nh=\frac{1}{2}$$

在 $x=\pi$：

• 级数和 = 0
• $\frac{f(\pi -0)+f(\pi +0)}{2}=\frac{0+0}{2}=0$ ✓

---

特殊情况：$h=\frac{\pi }{2}$

当 $h=\frac{\pi }{2}$ 时：

$$\cos \frac{n\pi }{2}=\{\begin{array}{ll}0,& n\text{ 为奇数}\\ (-1{)}^{n/2},& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

所以： $$1-\cos \frac{n\pi }{2}=\{\begin{array}{ll}1,& n\text{ 为奇数}\\ 1-(-1{)}^{n/2},& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

奇数项贡献最大，偶数项中 $n=4k$ 时为0。

---

特殊情况：$h=\pi$（整个区间）

当 $h=\pi$ 时，$f(x)=1$ 在 $(0,\pi )$ 上。

$$\cos n\pi =(-1{)}^n$$

$$b_n=\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n\pi }=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi },& n\text{ 为奇数}\\ 0,& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

这正是方波的正弦级数！

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\sin (2k+1)x}{2k+1}=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$

问题

把 $f(x)=x$ 在 $(0,2)$ 上展开成：

• (i) 正弦级数
• (ii) 余弦级数

---

解 (i)：展开成正弦级数

第1步：作奇式延拓

将 $f$ 奇式延拓到 $[-2,2]$：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [0,2]\\ -x,& x\in [-2,0]\end{array}$$

---

奇式延拓

    ↑ y
  2 │       ╱
    │      ╱
    │     ╱
────┼────●────→ x
    │   ╱
    │  ╱
 -2 │ ╱
   -2  0    2

反对称于原点

---

第2步：计算系数

$L=2$，由公式 (8)：

$$a_n=0,\forall n$$

$$b_n=\frac{2}{2}{\int }_0^{2}x\sin \frac{n\pi x}{2}dx={\int }_0^{2}x\sin \frac{n\pi x}{2}dx$$

---

分部积分：

$$\int x\sin \frac{n\pi x}{2}dx=-\frac{2x}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{2}+\frac{2}{n\pi }\int \cos \frac{n\pi x}{2}dx$$

$$=-\frac{2x}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{2}+\frac{4}{n^2{\pi }^2}\sin \frac{n\pi x}{2}$$

---

$$b_n={\left[-\frac{2x}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{2}+\frac{4}{n^2{\pi }^2}\sin \frac{n\pi x}{2}\right]}_0^2$$

$$=-\frac{4}{n\pi }\cos n\pi +0-0+0=-\frac{4(-1{)}^n}{n\pi }=\frac{4(-1{)}^{n+1}}{n\pi }$$

---

第3步：写出正弦级数

$$\boxed{f(x)=x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4(-1{)}^{n+1}}{n\pi }\sin \frac{n\pi x}{2},x\in (0,2)}\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$=\frac{4}{\pi }\left(\sin \frac{\pi x}{2}-\frac{1}{2}\sin \pi x+\frac{1}{3}\sin \frac{3\pi x}{2}-\cdots \right)$$

---

注意：在 $x=0,2$ 时，级数收敛到 0（奇延拓的结果）。

---

解 (ii)：展开成余弦级数

第1步：作偶式延拓

将 $f$ 偶式延拓到 $[-2,2]$：

$$G(x)=|x|,x\in [-2,2]$$

---

偶式延拓

    ↑ y
  2 │    ╱╲
    │   ╱  ╲
    │  ╱    ╲
────┼─╱──────╲──→ x
    │╱        ╲
 -2  0         2

对称于y轴

---

第2步：计算系数

由公式 (6)：

$$b_n=0,\forall n$$

$$a_0=\frac{2}{2}{\int }_0^{2}xdx=x^2{|}_0^2=4$$

$$a_n=\frac{2}{2}{\int }_0^{2}x\cos \frac{n\pi x}{2}dx={\int }_0^{2}x\cos \frac{n\pi x}{2}dx$$

---

分部积分：

$$\int x\cos \frac{n\pi x}{2}dx=\frac{2x}{n\pi }\sin \frac{n\pi x}{2}-\frac{2}{n\pi }\int \sin \frac{n\pi x}{2}dx$$

$$=\frac{2x}{n\pi }\sin \frac{n\pi x}{2}+\frac{4}{n^2{\pi }^2}\cos \frac{n\pi x}{2}$$

---

$$a_n={\left[\frac{2x}{n\pi }\sin \frac{n\pi x}{2}+\frac{4}{n^2{\pi }^2}\cos \frac{n\pi x}{2}\right]}_0^2$$

$$=0+\frac{4}{n^2{\pi }^2}\cos n\pi -0-\frac{4}{n^2{\pi }^2}$$

$$=\frac{4((-1{)}^n-1)}{n^2{\pi }^2}=\{\begin{array}{ll}-\frac{8}{n^2{\pi }^2},& n\text{ 为奇数}\\ 0,& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

---

设 $n=2k-1$（奇数）：

$$a_{2k-1}=-\frac{8}{(2k-1{)}^2{\pi }^2}$$

---

第3步：写出余弦级数

$$\boxed{f(x)=x=1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(-\frac{8}{(2k-1{)}^2{\pi }^2}\right)\cos \frac{(2k-1)\pi x}{2},x\in (0,2)}\text{\hspace{1em}(15)}$$

$$=1-\frac{8}{{\pi }^2}\left(\cos \frac{\pi x}{2}+\frac{1}{9}\cos \frac{3\pi x}{2}+\frac{1}{25}\cos \frac{5\pi x}{2}+\cdots \right)$$

---

对比与讨论

---

特殊值应用

从余弦级数 (15)，取 $x=0$：

$$0=1-\frac{8}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}$$

因此：

$$\boxed{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}}$$

这与之前的结果一致！

四、核心方法总结

SUMMARY OF KEY METHODS

傅里叶级数展开问题
        │
        ├─ 步骤1：确定周期 T = 2L
        │         ├─ 显式给定
        │         └─ 由定义域推断
        │
        ├─ 步骤2：检验按段光滑性
        │         ├─ 除有限个点外连续
        │         ├─ 除有限个点外可导
        │         └─ 满足 → 可展开
        │
        ├─ 步骤3：判断奇偶性
        │         │
        │         ├─ 偶函数 f(-x) = f(x)
        │         │   ├─ bₙ = 0
        │         │   ├─ 只需计算 aₙ
        │         │   └─ 积分区间：[0, L]
        │         │
        │         ├─ 奇函数 f(-x) = -f(x)
        │         │   ├─ aₙ = 0
        │         │   ├─ 只需计算 bₙ
        │         │   └─ 积分区间：[0, L]
        │         │
        │         └─ 非奇非偶
        │             ├─ 需计算 aₙ 和 bₙ
        │             └─ 积分区间：[-L, L]
        │
        ├─ 步骤4：计算傅里叶系数
        │         ├─ 套用公式 (4a), (4b)
        │         ├─ 分部积分技巧
        │         └─ 三角恒等式化简
        │
        ├─ 步骤5：写出傅里叶级数
        │         ├─ 一般形式 (3) 或 (5)
        │         ├─ 余弦级数 (7)
        │         └─ 正弦级数 (9)
        │
        └─ 步骤6：讨论收敛性
                  ├─ 连续点：收敛到 f(x)
                  ├─ 间断点：收敛到平均值
                  └─ 端点：周期延拓后的值

技巧1：利用奇偶性简化计算 ⭐⭐⭐⭐⭐

原则：

• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
• 偶函数 × 奇函数 = 奇函数

应用：

• 奇函数在对称区间积分 = 0
• 偶函数在对称区间积分 = 2 × 半区间积分

---

技巧2：分部积分的标准步骤

对于 $\int x^k\cos \frac{n\pi x}{L}dx$ 或 $\int x^k\sin \frac{n\pi x}{L}dx$：

1. 设 $u=x^k$，$dv=\cos /\sin$ 项
2. 重复分部 $k$ 次
3. 边界项往往涉及 $\sin n\pi =0$ 或 $\cos n\pi =(-1{)}^n$

---

技巧3：三角恒等式

积化和差： $$\begin{array}{rl}\sin A\cos B& =\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]\\ \cos A\cos B& =\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]\\ \sin A\sin B& =\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]\end{array}$$

降幂公式： $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

---

技巧4：分段函数的处理

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in [a,b)\\ f_2(x),& x\in [b,c]\end{array}$$

积分时分段计算：

$${\int }_a^{c}f(x)g(x)dx={\int }_a^b{f}_1(x)g(x)dx+{\int }_b^c{f}_2(x)g(x)dx$$

---

技巧5：对称性的深层利用

若 $f(x)$ 关于 $x=\frac{L}{2}$ 对称（如 $f(x)=f(L-x)$）：

可以进一步简化系数计算，某些谐波消失。

⚠️ 错误1：忘记周期延拓

函数定义在 $[-L,L]$ 上，但傅里叶级数是周期 $2L$ 的函数。

在端点处，要考虑周期延拓后的左右极限！

---

⚠️ 错误2：混淆 $L$ 和 $2L$

• 周期 = $2L$
• 半周期 = $L$
• 公式中的 $L$ 是半周期

$$\cos \frac{n\pi x}{L}\text{（不是 }\cos \frac{n\pi x}{2L}\text{）}$$

---

⚠️ 错误3：奇偶延拓选择错误

---

⚠️ 错误4：分部积分边界项错误

$${\int }_0^{L}x\sin \frac{n\pi x}{L}dx={\left[-\frac{Lx}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{L}\right]}_0^L+{\int }_0^L\frac{L}{n\pi }\cos \frac{n\pi x}{L}dx$$

边界项：$-\frac{L^2}{n\pi }\cos n\pi \ne 0$（当 $n$ 为奇数时）

---

⚠️ 错误5：忽略间断点的收敛值

在间断点 $x_0$，级数不收敛到 $f(x_0)$，而是收敛到：

$$\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$$

如果 $f(x_0)$ 定义为其他值，与级数和不等！

五、思维导图：完整知识体系

MIND MAP: COMPLETE KNOWLEDGE SYSTEM

傅里叶级数完整体系
FOURIER SERIES COMPLETE SYSTEM
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第一层：基础理论 FOUNDATIONS
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 周期函数的表示
│   ├─ 简谐振动：A sin(ωx + φ)
│   ├─ 有限叠加：ΣAₙsin(nωx + φₙ)
│   └─ 无穷叠加：傅里叶级数
│
├─ 三角函数系
│   ├─ 定义：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ...}
│   ├─ 正交性 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   │   ├─ ∫₋π^π cos mx cos nx dx = πδₘₙ
│   │   ├─ ∫₋π^π sin mx sin nx dx = πδₘₙ
│   │   └─ ∫₋π^π cos mx sin nx dx = 0
│   └─ 完备性（Hilbert空间）
│
├─ 傅里叶系数公式
│   ├─ 周期2π：aₙ = (1/π)∫₋π^π f(x)cos nx dx
│   │            bₙ = (1/π)∫₋π^π f(x)sin nx dx
│   │
│   └─ 周期2L：aₙ = (1/L)∫₋ₗᴸ f(x)cos(nπx/L)dx
│               bₙ = (1/L)∫₋ₗᴸ f(x)sin(nπx/L)dx
│
└─ 收敛理论
    ├─ Dirichlet条件（按段光滑）
    ├─ 连续点：收敛到 f(x)
    ├─ 间断点：收敛到 [f(x-0)+f(x+0)]/2
    └─ Parseval等式（能量守恒）
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第二层：特殊情况 SPECIAL CASES
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 偶函数 f(-x) = f(x)
│   ├─ bₙ = 0（只含余弦项）
│   ├─ f(x) = a₀/2 + Σaₙcos(nπx/L)
│   ├─ aₙ = (2/L)∫₀ᴸ f(x)cos(nπx/L)dx
│   └─ 偶式延拓：[0,L] → [-L,L]
│
├─ 
奇函数 f(-x) = -f(x)
│   ├─ aₙ = 0（只含正弦项）
│   ├─ f(x) = Σbₙsin(nπx/L)
│   ├─ bₙ = (2/L)∫₀ᴸ f(x)sin(nπx/L)dx
│   └─ 奇式延拓：[0,L] → [-L,L]
│
├─ 半区间展开
│   ├─ 函数定义在[0,L]上
│   ├─ 正弦展开：奇式延拓 → 满足 f(0)=f(L)=0
│   ├─ 余弦展开：偶式延拓 → 满足 f'(0)=f'(L)=0
│   └─ 选择依据：边界条件、物理意义
│
└─ 复数形式
    ├─ f(x) = Σcₙe^(inx)
    ├─ cₙ = (1/2π)∫₋π^π f(x)e^(-inx)dx
    └─ 连接傅里叶变换
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第三层：计算技巧 COMPUTATIONAL TECHNIQUES
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 对称性分析
│   ├─ 判断奇偶性 → 减少计算量
│   ├─ 利用积分性质
│   └─ 预判哪些系数为0
│
├─ 积分技术
│   ├─ 分部积分（多项式×三角函数）
│   ├─ 三角恒等式化简
│   ├─ 递推关系
│   └─ 特殊函数积分表
│
├─ 级数求和
│   ├─ 代入特殊x值
│   ├─ 利用Parseval等式
│   └─ 逐项积分/微分
│
└─ 收敛性判断
    ├─ 检查按段光滑性
    ├─ 找出间断点
    └─ 确定收敛值
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第四层：典型例题类型 TYPICAL PROBLEMS
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 1. 基本波形
│   ├─ 锯齿波：f(x) = x
│   │   └─ 正弦级数：2Σ[(-1)^(n+1)/n]sin nx
│   │
│   ├─ 方波（矩形波）
│   │   └─ 正弦级数：(4/π)Σ[sin(2k-1)x/(2k-1)]
│   │
│   ├─ 三角波/抛物线波
│   │   └─ 余弦级数为主
│   │
│   └─ 脉冲函数
│       └─ 含有限谐波
│
├─ 2. 周期函数
│   ├─ |sin x|（偶函数）
│   │   └─ 余弦级数
│   │
│   ├─ x²（偶函数）
│   │   └─ 快速衰减系数
│   │
│   └─ 分段常数函数
│       └─ 几何级数系数
│
├─ 3. 半区间展开
│   ├─ 同一函数两种展开
│   ├─ 选择依据：边界条件
│   └─ 比较收敛速度
│
└─ 4. 应用问题
    ├─ 热传导方程
    ├─ 波动方程
    └─ 振动系统
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第五层：深层理解 DEEPER UNDERSTANDING
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 几何意义
│   ├─ 函数空间的正交分解
│   ├─ 向量类比：坐标表示
│   └─ 投影：傅里叶系数 = 内积
│
├─ 物理意义
│   ├─ 频谱分析：时域↔频域
│   ├─ 谐波分解：基波+泛音
│   ├─ 能量分布：Parseval等式
│   └─ 共振理论
│
├─ 收敛性质
│   ├─ 逐点收敛 vs 一致收敛
│   ├─ L²收敛（均方收敛）
│   ├─ Gibbs现象（9%超调）
│   └─ 系数衰减速度
│
└─ 完备性与最佳逼近
    ├─ 最小二乘逼近
    ├─ Bessel不等式
    └─ 完备正交系
│
├─────────────────────────────────────────────
│ 第六层：应用领域 APPLICATIONS
├─────────────────────────────────────────────
│
├─ 数学分析
│   ├─ 偏微分方程（分离变量法）
│   ├─ 级数求和
│   ├─ 积分计算
│   └─ 函数逼近
│
├─ 信号处理
│   ├─ 频谱分析（FFT算法）
│   ├─ 滤波器设计
│   ├─ 数据压缩（MP3, JPEG）
│   └─ 音频处理
│
├─ 物理学
│   ├─ 量子力学（波函数展开）
│   ├─ 声学（振动分析）
│   ├─ 光学（衍射、干涉）
│   └─ 热力学（热传导）
│
├─ 工程技术
│   ├─ 通信系统（OFDM）
│   ├─ 控制理论
│   ├─ 电路分析
│   └─ 图像处理
│
└─ 其他科学
    ├─ 数论（ζ函数）
    ├─ 统计学（特征函数）
    ├─ 地球物理（地震波）
    └─ 金融数学（周期性分析）
│
└─────────────────────────────────────────────
  完整知识体系：从理论到应用的全景图
  From Theory to Applications: A Complete Panorama

六、公式速查手册

FORMULA QUICK REFERENCE

📐 基本定义与系数公式

---

1. 周期为 2π 的傅里叶级数

---

2. 周期为 2L 的傅里叶级数

---

3. 偶函数的余弦级数

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4. 奇函数的正弦级数

---

5. 复数形式的傅里叶级数

🔧 常用积分公式

---

基本三角积分

---

三角函数的正交积分

---

常用边界值

📊 经典函数的傅里叶展开

---

1. 锯齿波（周期2π）

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2. 抛物线波（周期2π）

---

3. 方波（周期2π）

---

4. 绝对值正弦（周期2π）

---

5. 矩形脉冲（周期2L）