第十五章

傅里叶级数

FOURIER SERIES

FROM PERIODIC MOTION TO HARMONIC ANALYSIS

"The profound study of nature is
the most fertile source of mathematical discoveries."
— Joseph Fourier

"对自然的深刻研究
是数学发现最丰富的源泉。"
— 约瑟夫·傅里叶

Where Physics Meets Mathematics
物理与数学的交汇之处

Where Finite Meets Infinite
有限与无穷的对话

📋 目录与知识架构

第十五章 傅里叶级数
CHAPTER 15: FOURIER SERIES
│
├─ §15.1 傅里叶级数 (Fourier Series)
│   │
│   ├─ 一、三角级数·正交函数系
│   │   ├─ 1.1 周期运动与简谐振动
│   │   ├─ 1.2 三角级数的产生
│   │   ├─ 1.3 三角函数系
│   │   └─ 1.4 正交性
│   │
│   ├─ 二、以2π为周期的函数的傅里叶级数
│   │   ├─ 2.1 傅里叶系数
│   │   ├─ 2.2 傅里叶级数的定义
│   │   └─ 2.3 系数公式的推导
│   │
│   ├─ 三、收敛定理
│   │   ├─ 3.1 按段光滑函数
│   │   ├─ 3.2 收敛定理（Dirichlet条件）
│   │   ├─ 3.3 收敛定理的推论
│   │   └─ 3.4 周期延拓
│   │
│   └─ 四、典型例题
│       ├─ 例1：锯齿波展开
│       ├─ 例2：抛物线波展开
│       └─ 例3：矩形波展开（谐波分析）
│
├─ §15.2 任意周期的傅里叶级数（预告）
│   ├─ 周期为2L的情况
│   └─ 奇函数与偶函数的简化
│
└─ §15.3 傅里叶级数的收敛性理论（预告）
    ├─ Dirichlet-Jordan判别法
    ├─ Riemann引理
    └─ 收敛定理的证明

一、三角级数·正交函数系

TRIGONOMETRIC SERIES & ORTHOGONAL SYSTEMS

从物理现象到数学抽象
From Physical Phenomena to Mathematical Abstraction

1.1 周期运动与简谐振动

物理背景

在科学实验与工程技术中，周期运动无处不在：

🎵 声音：空气压力的周期振动
📡 电磁波：电场磁场的周期变化
🌊 海浪：水面高度的周期起伏
🔌 交流电：电压电流的周期变化
🎸 弦的振动：位移的周期变化

最简单的周期运动：简谐振动

$y = A sin (ω x + φ) (1)$

参数意义：

$A$ ：振幅（amplitude）— 最大偏离量
$ω$ ：角频率（angular frequency）— 单位时间内相位变化
$φ$ ：初相角（initial phase）— 起始相位
$T = \frac{2 π}{ω}$ ：周期（period）

几何图像

简谐振动 y = A sin(ωx + φ)

    ↑ y
    │     ╱╲     ╱╲
  A │    ╱  ╲   ╱  ╲
    │   ╱    ╲ ╱    ╲
────┼──╱──────┼──────╲────→ x
    │╱        │        ╲╱
 -A │         │
    │    ← T →│← T →
    
振幅：A
周期：T = 2π/ω
频率：f = 1/T = ω/(2π)

物理解释

例：弹簧振子

质量为 $m$ 的物体在弹簧（劲度系数 $k$ ）上做简谐振动：

运动方程： $m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - k x$

解： $x (t) = A sin (ω t + φ)$ ，其中 $ω = \frac{k}{m}$

1.2 复杂周期运动的数学描述

有限个简谐振动的叠加

更复杂的周期运动常常是多个简谐振动的叠加：

$y = k = 1 \sum n A_{k} sin (kω x + φ_{k}) (2)$

关键观察：

每个分量的频率是基频 $ω$ 的整数倍： $kω$
这些分量称为谐波（harmonics）
第 $k$ 个谐波的周期： $T_{k} = \frac{2 π}{kω}$
总周期： $T = \frac{2 π}{ω}$ （最大公周期）

无穷多简谐振动的叠加

对于更一般的周期现象，需要考虑无穷级数：

$y = \frac{A _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty A_{n} sin (nω x + φ_{n}) (3)$

简化：不失一般性，可设 $ω = 1$ （通过变量代换 $ω x \to x$ ）

三角恒等式变换

利用 $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ ：

$A_{n} sin (n x + φ_{n}) = A_{n} sin φ_{n} cos n x + A_{n} cos φ_{n} sin n x$

定义新系数： ${a_{n} = A_{n} sin φ_{n} b_{n} = A_{n} cos φ_{n}, n = 1, 2, \dots$

并记 $A_{0} /2 = a_{0} /2$

标准形式：

$y = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (4)$

这就是三角级数的标准形式！

1.3 三角函数系

定义

三角级数(4)由以下三角函数系生成：

$1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, \dots, cos n x, sin n x, \dots (5)$

共同周期性

三角函数系(5)中的所有函数都以 $2 π$ 为周期：

$cos (n (x + 2 π)) sin (n (x + 2 π)) = cos n x = sin n x$

因此，若三角级数(4)收敛，其和函数必以 $2 π$ 为周期。

收敛性判别

定理15.1（Weierstrass M-判别法应用）

若级数 $n = 1 \sum \infty (∣ a_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣)$ 收敛，则三角级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。

证明：

对任何实数 $x$ ： $∣ a_{n} cos n x + b_{n} sin n x ∣ \leq ∣ a_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣$

由Weierstrass M-判别法，级数(4)一致收敛。

$□$

1.4 三角函数系的正交性 ⭐⭐⭐⭐⭐

核心概念：正交性

定义（函数的正交）

若两个函数 $φ (x)$ 和 $ψ (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且

$\int_{a}^{b} φ (x) ψ (x) d x = 0$

则称函数 $φ$ 与 $ψ$ 在 $[a, b]$ 上正交。

三角函数系的正交性质

三角函数系(5)在 $[- π, π]$ 上具有以下正交关系：

性质1：与常数1的正交

$\int_{- π}^{π} cos n x d x = 0, \int_{- π}^{π} sin n x d x = 0 (6)$

对所有 $n \geq 1$

证明： $\int_{- π}^{π} cos n x d x = \frac{1}{n} sin n x_{- π}^{π} = \frac{1}{n} (sin nπ - sin (- nπ)) = 0$

$\int_{- π}^{π} sin n x d x = - \frac{1}{n} cos n x_{- π}^{π} = - \frac{1}{n} (cos nπ - cos (- nπ)) = 0$

$□$

性质2：不同函数的正交

$\int_{- π}^{π} cos m x cos n x d x \int_{- π}^{π} sin m x sin n x d x \int_{- π}^{π} cos m x sin n x d x = 0 (m \neq = n) = 0 (m \neq = n) = 0 (所有 m, n) (7)$

证明（以第一式为例）：

利用积化和差公式： $cos m x cos n x = \frac{1}{2} [cos (m + n) x + cos (m - n) x]$

当 $m \neq = n$ 时： $\int_{- π}^{π} cos m x cos n x d x = \frac{1}{2} [\int_{- π}^{π} cos (m + n) x d x + \int_{- π}^{π} cos (m - n) x d x] = 0$

（由性质1）

$□$

性质3：自身的"模"非零

$\int_{- π}^{π} 1^{2} d x \int_{- π}^{π} cos^{2} n x d x \int_{- π}^{π} sin^{2} n x d x = 2 π = π = π (8)$

对所有 $n \geq 1$

证明： $\int_{- π}^{π} cos^{2} n x d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 + cos 2 n x}{2} d x = π$

$\int_{- π}^{π} sin^{2} n x d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 - cos 2 n x}{2} d x = π$

$□$

正交函数系的意义

类比：向量空间中的正交基

向量空间	函数空间
向量 $v$	函数 $f (x)$
内积 $u \cdot v$	积分 $\int f (x) g (x) d x$
正交基 ${e_{1}, e_{2}, \dots}$	正交函数系 ${1, cos x, sin x, \dots}$
坐标分解 $v = \sum c_{i} e_{i}$	傅里叶展开 $f = \frac{a _{0}}{2} + \sum (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$
系数 $c_{i} = v \cdot e_{i}$	系数 $a_{n} = \frac{1}{π} \int f (x) cos n x d x$

核心洞察：

三角函数系是函数空间中的"正交基"，
任何"合适"的周期函数都可以用这组基表示！

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数

FOURIER SERIES FOR 2π-PERIODIC FUNCTIONS

从和函数到系数的逆问题
The Inverse Problem: From Sum to Coefficients

2.1 核心问题的提出

问题

已知函数 $f (x)$ 以 $2 π$ 为周期，能否将它展开成三角级数？

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (9)$

关键问题：

系数 $a_{n}, b_{n}$ 如何确定？
级数是否收敛？
级数是否收敛到 $f (x)$ ？

基本思路

假设(9)式成立且级数一致收敛，利用正交性求出系数。

这类似于：

已知向量的坐标表示，求坐标值
利用正交基的内积运算

2.2 傅里叶系数的推导 ⭐⭐⭐⭐⭐

定理15.2（系数公式推导）

若在整个数轴上 $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (9)$

且右边级数一致收敛，则有：

$a_{n} b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, n = 0, 1, 2, \dots = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x, n = 1, 2, \dots (10)$

证明过程

第1步：求 $a_{0}$

对(9)式两边在 $[- π, π]$ 上积分：

$\int_{- π}^{π} f (x) d x = \int_{- π}^{π} \frac{a _{0}}{2} d x + n = 1 \sum \infty [a_{n} \int_{- π}^{π} cos n x d x + b_{n} \int_{- π}^{π} sin n x d x]$

由正交性(6)，积分符号下的所有项都为0：

$\int_{- π}^{π} f (x) d x = \frac{a _{0}}{2} \cdot 2 π = a_{0} π$

因此： $a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x$

第2步：求 $a_{k}$ ( $k \geq 1$ )

两边乘以 $cos k x$ （ $k$ 为正整数）：

$f (x) cos k x = \frac{a _{0}}{2} cos k x + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x cos k x + b_{n} sin n x cos k x) (11)$

由一致收敛性，可逐项积分：

$\int_{- π}^{π} f (x) cos k x d x = n = 1 \sum \infty [a_{n} \int_{- π}^{π} cos n x cos k x d x + b_{n} \int_{- π}^{π} sin n x cos k x d x]$

由正交性(7)：

当 $n \neq = k$ 时， $\int_{- π}^{π} cos n x cos k x d x = 0$
当 $n = k$ 时， $\int_{- π}^{π} cos^{2} k x d x = π$
对所有 $n$ ， $\int_{- π}^{π} sin n x cos k x d x = 0$

因此： $\int_{- π}^{π} f (x) cos k x d x = a_{k} \cdot π$

$a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos k x d x$

第3步：求 $b_{k}$ ( $k \geq 1$ )

类似地，两边乘以 $sin k x$ 并逐项积分：

$\int_{- π}^{π} f (x) sin k x d x = b_{k} \cdot π$

$b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin k x d x$

$□$

2.3 傅里叶级数的定义

定义（傅里叶级数）

设 $f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期且在 $[- π, π]$ 上可积的函数。

按公式(10)计算出的 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 称为函数 $f$ 的傅里叶系数
以 $f$ 的傅里叶系数为系数的三角级数 $\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$ 称为 $f$ 的傅里叶级数
记作： $f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (12)$

符号"~"的含义

重要区分：

符号" $\sim$ "表示：右边是左边函数的傅里叶级数
不表示相等！

三个待解决的问题：

傅里叶级数是否收敛？
如果收敛，收敛到什么值？
是否收敛到 $f (x)$ 本身？

定理15.2的意义

定理15.2告诉我们：

若三角级数在整个数轴上一致收敛于 $f$ ，
则此级数必是 $f$ 的傅里叶级数。

即：一致收敛的三角级数展开式是唯一的。

2.4 积分区间的等价性

重要性质

由于 $f (x)$ 以 $2 π$ 为周期，傅里叶系数公式(10)中的积分区间 $[- π, π]$ 可以改为长度为 $2 π$ 的任何区间，不影响 $a_{n}, b_{n}$ 的值：

$a_{n} b_{n} = \frac{1}{π} \int_{c}^{c + 2 π} f (x) cos n x d x, n = 0, 1, 2, \dots = \frac{1}{π} \int_{c}^{c + 2 π} f (x) sin n x d x, n = 1, 2, \dots (10’)$

其中 $c$ 为任何实数。

常用选择：

$[- π, π]$ ：对称区间，便于奇偶性分析
$[0, 2 π]$ ：非负区间，有时计算更简便

证明思路：

利用周期性和积分的平移不变性： $\int_{c}^{c + 2 π} f (x) d x = \int_{- π}^{π} f (x) d x$

三、收敛定理

CONVERGENCE THEOREM (DIRICHLET CONDITIONS)

什么样的函数可以展开成傅里叶级数？
What Functions Can Be Expanded?

3.2 收敛定理（Dirichlet条件） ⭐⭐⭐⭐⭐

定理15.3（傅里叶级数收敛定理）

若以 $2 π$ 为周期的函数 $f$ 在 $[- π, π]$ 上按段光滑，则 $f$ 的傅里叶级数在每一点 $x$ 都收敛，且：

(1) 在 $f$ 的连续点 $x$ 处，级数收敛到函数值 $f (x)$ ：

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (14)$

(2) 在 $f$ 的间断点 $x$ 处，级数收敛到左、右极限的平均值：

$\frac{f ( x - 0 ) + f ( x + 0 )}{2} = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) (15)$

其中 $a_{n} b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, n = 0, 1, 2, \dots = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x, n = 1, 2, \dots$

定理的意义与解读

核心要点：

条件简单：按段光滑是相当宽松的条件，大多数实际函数都满足
收敛性：保证了傅里叶级数必定收敛（逐点收敛）
收敛值：
- 连续点：收敛到 $f (x)$ （完美！）
- 间断点：收敛到左右极限平均值（合理！）
Gibbs现象：在间断点附近会有约9%的超调（§15.3讨论）

直观理解：

间断点的收敛行为

    ↑ f
    │     
  f(x+0) ●─────────
    │     ◆ 
    │ ─────────────── 平均值 [f(x-0)+f(x+0)]/2
    │     ◆           ← 傅里叶级数收敛到这里
  f(x-0) ─────────●
    │     │
────┼─────┼──────→ x
    │     x
    
在跳跃间断点，级数"妥协"到中间值

历史注记

Dirichlet条件（1829年）是傅里叶级数收敛的第一个严格判别法，由彼得·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859）提出。

这标志着傅里叶级数理论从形式运算走向严格分析的重要一步。

3.3 收敛定理的推论

推论1：连续按段光滑函数

若 $f$ 在 $[- π, π]$ 上连续且按段光滑，则在 $[- π, π]$ 上，傅里叶级数处处收敛到 $f (x)$ ：

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x), \forall x \in [- π, π]$

推论2：端点的特殊情况

由于周期性， $f (- π) = f (π)$ （如果 $f$ 是周期延拓）。

在端点 $x = \pm π$ 处：

$\frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2} = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos nπ + b_{n} sin nπ)$

若 $f$ 在端点连续，则级数收敛到 $f (\pm π)$ 。

推论3：逐项积分的合法性

若 $f$ 在 $[- π, π]$ 上按段光滑，则可以对傅里叶级数逐项积分：

$\int_{- π}^{x} f (t) d t = \frac{a _{0}}{2} (x + π) + n = 1 \sum \infty (\frac{a _{n}}{n} sin n x - \frac{b _{n}}{n} (cos n x - cos nπ))$

推论4：Parseval等式（预告）

若 $f$ 在 $[- π, π]$ 上按段光滑且连续，则：

$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$

这称为Parseval等式（能量守恒），将在后续学习。

3.4 周期延拓

问题的提出

如果 $f (x)$ 仅在 $[- π, π]$ 上有定义（不是周期函数），如何应用傅里叶级数？

周期延拓的定义

定义（周期延拓）

设 $f$ 定义在 $[- π, π]$ 上。构造函数 $F (x)$ ：

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ f (x), F (x - 2 π), F (x + 2 π), x \in [- π, π] x > π x < - π$

使得 $F$ 以 $2 π$ 为周期，且在 $[- π, π]$ 上与 $f$ 一致。

称 $F$ 为 $f$ 的周期延拓。

几何图示

原函数 f(x) 在 [-π, π] 上

    ↑ y
    │   ╱╲
    │  ╱  ╲
    │ ╱    ╲
    │╱      ╲
────┼────────┼───→ x
   -π        π

周期延拓 F(x)

    ↑ y
    │╱╲  ╱╲  ╱╲
    │  ╲╱  ╲╱  ╲
    │          ╲╱
────┼────┼────┼────┼───→ x
  -3π  -π    π   3π

每隔 2π 重复一次

傅里叶级数的应用

步骤：

对 $f$ 进行周期延拓得到 $F$
计算 $F$ 的傅里叶系数（使用 $f$ 在 $[- π, π]$ 上的积分）
傅里叶级数在 $[- π, π]$ 内收敛到 $f (x)$ （或左右极限平均）
在端点 $\pm π$ ，收敛到 $\frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2}$

端点的特殊处理

若 $f (- π) \neq = f (π)$ ，则在端点处会产生跳跃间断：

$F (\pm π) = \frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2}$

这是傅里叶级数的自然行为。

四、典型例题

TYPICAL EXAMPLES

理论到应用的桥梁
From Theory to Practice

例1：锯齿波的傅里叶展开 ⭐⭐⭐⭐⭐

问题

将函数 $f (x) = x, x \in (- π, π)$ 展开成傅里叶级数。

解答

第1步：验证条件

$f (x) = x$ 在 $(- π, π)$ 上：

连续 ✓
导数 $f^{'} (x) = 1$ 连续 ✓
按段光滑 ✓

满足收敛定理条件。

第2步：计算 $a_{0}$

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x d x = \frac{1}{π} \cdot \frac{x ^{2}}{2}_{- π}^{π} = \frac{1}{π} \cdot 0 = 0$

（奇函数在对称区间上积分为0）

第3步：计算 $a_{n}$ ( $n \geq 1$ )

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x cos n x d x$

由于 $x cos n x$ 是奇函数（奇×偶=奇）：

$a_{n} = 0, n = 1, 2, \dots$

第4步：计算 $b_{n}$ ( $n \geq 1$ )

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x sin n x d x$

$x sin n x$ 是偶函数（奇×奇=偶）：

$b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x$

分部积分： $\int_{0}^{π} x sin n x d x = [- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \frac{cos n x}{n} d x = - \frac{π cos nπ}{n} + \frac{1}{n ^{2}} sin n x_{0}^{π} = - \frac{π cos nπ}{n} + 0 = - \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}$

因此： $b_{n} = \frac{2}{π} \cdot (- \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}) = - \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$

第5步：写出傅里叶级数

$x \sim n = 1 \sum \infty \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x = 2 (sin x - \frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 3 x}{3} - \dots)$

第6步：收敛性分析

在 $x \in (- π, π)$ ：

$f$ 连续，级数收敛到 $f (x) = x$

在 $x = \pm π$ ：

周期延拓后， $f (- π) = - π$ ， $f (π) = π$
产生跳跃间断，级数收敛到 $\frac{- π + π}{2} = 0$

几何图示

原函数与傅里叶级数

    ↑ y
    │         ╱
  π │        ╱
    │       ╱
    │      ╱
────┼─────╱────→ x
    │    ╱
    │   ╱
 -π │  ╱
    │ ╱
   -π     π

红线：f(x) = x
蓝线：部分和 S_N(x)（N增大时逼近红线）

特殊值应用

取 $x = \frac{π}{2}$ ：

$\frac{π}{2} = 2 (sin \frac{π}{2} - \frac{sin π}{2} + \frac{sin \frac{3 π}{2}}{3} - \dots)$

$= 2 (1 - 0 - \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{5} - \dots)$

$= 2 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots)$

因此：

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$

这是Leibniz级数，又一次用不同方法证明！

例2：抛物线波的傅里叶展开 ⭐⭐⭐⭐

问题

将函数 $f (x) = x^{2}, x \in [- π, π]$ 展开成傅里叶级数。

解答

第1步：验证条件

$f (x) = x^{2}$ 在 $[- π, π]$ 上连续且光滑，满足条件。

第2步：计算 $a_{0}$

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{π} = \frac{2 π ^{2}}{3}$

第3步：计算 $a_{n}$ ( $n \geq 1$ )

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} cos n x d x$

$x^{2} cos n x$ 是偶函数：

$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} cos n x d x$

分部积分两次：

设 $I = \int_{0}^{π} x^{2} cos n x d x$

$I = [\frac{x ^{2} sin n x}{n}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{2 x sin n x}{n} d x = 0 - \frac{2}{n} [[- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \frac{cos n x}{n} d x] = - \frac{2}{n} [- \frac{π cos nπ}{n} + \frac{sin n x}{n ^{2}}_{0}^{π}] = - \frac{2}{n} \cdot (- \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}) = \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

因此： $a_{n} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

第4步：计算 $b_{n}$

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} sin n x d x = 0$

（ $x^{2} sin n x$ 是奇函数）

第5步：写出傅里叶级数

$x^{2} = \frac{π ^{2}}{3} + n = 1 \sum \infty \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos n x = \frac{π ^{2}}{3} + 4 (- cos x + \frac{cos 2 x}{4} - \frac{cos 3 x}{9} + \dots)$

特殊值应用

取 $x = 0$ ：

$0 = \frac{π ^{2}}{3} + 4 (- 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \dots)$

$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \dots = \frac{π ^{2}}{12}$

取 $x = π$ ：

$π^{2} = \frac{π ^{2}}{3} + 4 (- (- 1) + \frac{( - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( - 1 ) ^{3}}{9} + \dots)$

$= \frac{π ^{2}}{3} + 4 (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots)$

因此：

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{π ^{2}}{6}$

这是Basel问题，再次得到验证！

例3：矩形波（方波）的傅里叶展开 ⭐⭐⭐⭐⭐

问题

将函数 $f (x) = {1, - 1, 0 < x < π - π < x < 0$ 展开成傅里叶级数。

几何图形

矩形波（方波）

    ↑ y
    │  ●─────────●
  1 │  │         │
    │  │         │
────┼──┼─────────┼──→ x
    │  │         │
 -1 │  │         │
    │●─┼─────────┘
   -π  0         π

典型的间断函数

解答

第1步：验证条件

$f$ 在 $(- π, 0)$ 和 $(0, π)$ 上连续
在 $x = 0$ 处有跳跃间断（第一类）
$f^{'} (x) = 0$ （除 $x = 0$ 外）
按段光滑 ✓

第2步：计算 $a_{0}$

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x = \frac{1}{π} [\int_{- π}^{0} (- 1) d x + \int_{0}^{π} 1 d x] = \frac{1}{π} [π + π] = 0$

（正负面积相等）

第3步：计算 $a_{n}$

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x = \frac{1}{π} [\int_{- π}^{0} (- cos n x) d x + \int_{0}^{π} cos n x d x]$

$= \frac{1}{π} [- \frac{sin n x}{n}_{- π}^{0} + \frac{sin n x}{n}_{0}^{π}] = 0$

第4步：计算 $b_{n}$

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x = \frac{1}{π} [\int_{- π}^{0} (- sin n x) d x + \int_{0}^{π} sin n x d x]$

$= \frac{1}{π} [\frac{cos n x}{n}_{- π}^{0} - \frac{cos n x}{n}_{0}^{π}]$

$= \frac{1}{nπ} [(1 - cos (- nπ)) - (cos nπ - 1)]$

$= \frac{1}{nπ} [1 - (- 1)^{n} - (- 1)^{n} + 1] = \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ}$

简化： $b_{n} = {\frac{4}{nπ}, 0, n 为奇数 n 为偶数$

第5步：写出傅里叶级数

$f (x) \sim \frac{4}{π} k = 0 \sum \infty \frac{sin ( 2 k + 1 ) x}{2 k + 1} = \frac{4}{π} (sin x + \frac{sin 3 x}{3} + \frac{sin 5 x}{5} + \dots)$

收敛性分析

在 $x \in (- π, 0)$ ： $f$ 连续，级数收敛到 $f (x) = - 1$

在 $x \in (0, π)$ ： $f$ 连续，级数收敛到 $f (x) = 1$

在 $x = 0$ ： $\frac{f ( 0 - 0 ) + f ( 0 + 0 )}{2} = \frac{- 1 + 1}{2} = 0$

级数和为： $\frac{4}{π} (0 + 0 + \dots) = 0 ✓$

特殊值应用

取 $x = \frac{π}{2}$ （连续点）：

$1 = \frac{4}{π} (sin \frac{π}{2} + \frac{sin \frac{3 π}{2}}{3} + \frac{sin \frac{5 π}{2}}{5} + \dots)$

$= \frac{4}{π} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots)$

再次得到： $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$

Gibbs现象

在 $x = 0$ 附近，傅里叶级数的部分和会超调约9%：

Gibbs现象

    ↑ y
    │    ╱‾‾╲
1.09│   ╱    ╲  ← 超调
  1 │●─╱──────╲───
    │╱    ◆    ╲
  0 ●━━━━━━━━━━━●
    │          ╱
 -1 │─────────╱──●
    │     ╱‾‾
    │    ╱
    └───0────────→ x

部分和在间断点附近振荡

这是傅里叶级数在间断点处的固有现象！

五、傅里叶级数的深入理解

DEEPER UNDERSTANDING OF FOURIER SERIES

5.1 从向量空间到函数空间

向量空间的类比

有限维向量空间	无穷维函数空间
向量 $v \in R^{n}$	函数 $f (x)$
标准基 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$	三角函数系 ${1, cos x, sin x, \dots}$
内积 $u \cdot v = \sum u_{i} v_{i}$	内积 $⟨ f, g ⟩ = \int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x$
正交 $u \cdot v = 0$	正交 $\int_{- π}^{π} φ (x) ψ (x) d x = 0$
模 $∥ v ∥ = v \cdot v$	范数 $∥ f ∥ = \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x$
坐标分解 $v = \sum c_{i} e_{i}$	傅里叶展开 $f = \frac{a _{0}}{2} + \sum (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$
坐标公式 $c_{i} = v \cdot e_{i}$	系数公式 $a_{n} = \frac{1}{π} \int f (x) cos n x d x$

Hilbert空间观点

函数空间 $L^{2} [- π, π]$ （平方可积函数空间）是一个Hilbert空间，三角函数系是其中的一组完备正交基。

完备性意味着：任何 $L^{2}$ 函数都可以表示为三角函数系的线性组合（在 $L^{2}$ 意义下）。

5.2 傅里叶系数的物理意义

频谱分析

傅里叶系数 $a_{n}, b_{n}$ 表示函数 $f$ 在频率 $n$ 处的振幅成分：

$a_{n}$ ：余弦分量（偶对称）
$b_{n}$ ：正弦分量（奇对称）
$A_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ ：总振幅
$φ_{n} = arctan \frac{a _{n}}{b _{n}}$ ：相位

能量分布

$E_{n} = \frac{a _{n}^{2} + b _{n}^{2}}{2}$

表示第 $n$ 次谐波携带的能量。

Parseval等式： $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$

表示总能量守恒：时域能量 = 频域能量之和。

谐波分析

基波（ $n = 1$ ）： $a_{1} cos x + b_{1} sin x$

基本频率
周期 $2 π$

二次谐波（ $n = 2$ ）： $a_{2} cos 2 x + b_{2} sin 2 x$

频率是基波的2倍
周期 $π$

$n$ 次谐波（ $n \geq 1$ ）： $a_{n} cos n x + b_{n} sin n x$

频率是基波的 $n$ 倍
周期 $\frac{2 π}{n}$

声音的例子

音乐中的音色差异：

同样的音高（基频相同），不同乐器的音色不同，是因为谐波成分不同：

钢琴：基波强，低次谐波明显
小提琴：高次谐波丰富
长笛：以奇次谐波为主

傅里叶级数告诉我们：

任何复杂的声音都是简单正弦波的叠加！

5.3 奇函数与偶函数的简化

偶函数的傅里叶级数

若 $f (x)$ 是偶函数（ $f (- x) = f (x)$ ），则：

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x = 0, \forall n \geq 1$

（偶×奇=奇函数，在对称区间积分为0）

因此傅里叶级数只含余弦项：

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} cos n x$

其中 $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) cos n x d x, n = 0, 1, 2, \dots$

称为余弦级数（Fourier cosine series）。

奇函数的傅里叶级数

若 $f (x)$ 是奇函数（ $f (- x) = - f (x)$ ），则：

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x = 0, \forall n \geq 0$

（奇×偶=奇函数）

因此傅里叶级数只含正弦项：

$f (x) = n = 1 \sum \infty b_{n} sin n x$

其中 $b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin n x d x, n = 1, 2, \dots$

称为正弦级数（Fourier sine series）。

例题回顾

例题	函数性质	级数类型
例1： $f (x) = x$	奇函数	纯正弦级数
例2： $f (x) = x^{2}$	偶函数	纯余弦级数
例3：矩形波	奇函数	纯正弦级数

计算优势

利用奇偶性：

计算量减半（只需计算 $[0, π]$ 上的积分）
判断更简单（知道哪些系数为0）

5.4 收敛速度分析

系数衰减速度

函数的光滑程度决定了傅里叶系数的衰减速度：

一般规律：

$f$ 连续但不可微： $a_{n}, b_{n} = O (\frac{1}{n})$
$f$ 可微： $a_{n}, b_{n} = O (\frac{1}{n ^{2}})$
$f$ 有 $k$ 阶连续导数： $a_{n}, b_{n} = O (\frac{1}{n ^{k + 1}})$
$f$ 无穷次可微（光滑）： $a_{n}, b_{n}$ 比任何多项式衰减都快
$f$ 解析（实解析或复解析）： $a_{n}, b_{n}$ 指数衰减

例题验证

例1： $f (x) = x$ （在端点有间断） $b_{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = O (\frac{1}{n})$ 慢收敛

例2： $f (x) = x^{2}$ （光滑） $a_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = O (\frac{1}{n ^{2}})$ 较快收敛

一般正弦/余弦函数（解析） $a_{n} = b_{n} = 0 （除有限项外）$ 有限项，最快！

Gibbs现象的原因

在间断点处，傅里叶系数只能以 $O (\frac{1}{n})$ 衰减，导致：

收敛慢
部分和有超调（约9%）
需要很多项才能逼近

六、傅里叶级数的应用

APPLICATIONS OF FOURIER SERIES

6.1 偏微分方程：热传导问题

问题

一维热传导方程：

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}, 0 < x < L, t > 0$

边界条件： $u (0, t) = u (L, t) = 0$

初始条件： $u (x, 0) = f (x)$

分离变量法

设 $u (x, t) = X (x) T (t)$ ，代入方程得：

$\frac{T ^{'}}{k T} = \frac{X ^{''}}{X} = - λ$

解得： $X_{n} (x) = sin \frac{nπ x}{L}, T_{n} (t) = e^{- k (\frac{nπ}{L})^{2} t}$

通解（傅里叶级数形式）

$u (x, t) = n = 1 \sum \infty b_{n} sin \frac{nπ x}{L} \cdot e^{- k (\frac{nπ}{L})^{2} t}$

其中系数 $b_{n}$ 由初始条件确定：

$b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

这正是 $f (x)$ 的傅里叶正弦系数！

物理意义

每个 $sin \frac{nπ x}{L}$ 是一个本征模式（驻波）
$e^{- k (\frac{nπ}{L})^{2} t}$ 表示该模式随时间指数衰减
高频模式（大 $n$ ）衰减更快
最终趋于平衡态 $u \equiv 0$

6.2 信号处理：频谱分析

时域与频域

时域信号： $f (t)$

表示信号随时间的变化
直观但难以分析

频域表示：傅里叶系数 ${a_{n}, b_{n}}$

表示信号的频率成分
便于滤波、压缩、分析

频谱图

时域信号 f(t)              频谱 |c_n|

    ↑                         ↑
    │╱╲╱╲╱╲╱╲                 │  █
    │        ╲╱╲╱              │  █  █
    │                          │  █  █  █
────┼─────────→ t            ─┼──█──█──█───→ n
    │                          │  1  2  3
    
复杂波形                    简单的频率成分

应用实例

音频压缩（MP3）：

计算傅里叶系数
删除人耳不敏感的高频成分
量化编码
压缩比可达10:1以上

图像处理（JPEG）：

对图像块做二维傅里叶变换（DCT）
高频系数量化（高压缩率）
熵编码

通信系统：

频分复用（FDM）
OFDM（正交频分复用）
5G通信基础

6.3 数论应用

级数求和

利用傅里叶级数，可以计算许多经典级数：

Leibniz级数

由 $f (x) = x$ 的展开，取 $x = \frac{π}{2}$ ：

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$

Basel问题

由 $f (x) = x^{2}$ 的展开，取 $x = π$ ：

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$

Riemann ζ函数

$ζ (s) = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{s}}$

傅里叶级数为计算 $ζ (2 k)$ （偶数点）提供了方法。

例： $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ ， $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}$

6.4 量子力学

无限深势阱

一维势阱中的粒子：

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} = E ψ, 0 < x < L$

边界条件： $ψ (0) = ψ (L) = 0$

本征函数（驻波）：

$ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots$

本征能量：

$E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$

一般态的展开

任意波函数可以展开为本征函数的线性组合：

$ψ (x, t) = n = 1 \sum \infty c_{n} sin \frac{nπ x}{L} \cdot e^{- i E_{n} t /ℏ}$

其中 $c_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} ψ (x, 0) sin \frac{nπ x}{L} d x$

这正是傅里叶正弦系数！

意义

量子态的叠加原理 ⟺ 傅里叶级数展开

波函数的傅里叶系数 $∣ c_{n} ∣^{2}$ 表示系统处于第 $n$ 个能级的概率。

七、知识体系总结

KNOWLEDGE SYSTEM SUMMARY

7.1 核心概念思维导图

傅里叶级数 FOURIER SERIES
│
├─ 一、基本概念
│   │
│   ├─ 三角级数
│   │   ├─ 定义：a₀/2 + Σ(aₙcos nx + bₙsin nx)
│   │   ├─ 起源：周期运动的分解
│   │   └─ 收敛性：Weierstrass M-判别法
│   │
│   ├─ 三角函数系 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   │   ├─ 函数系：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ...}
│   │   ├─ 共同周期：2π
│   │   └─ 正交性 ★★★
│   │       ├─ ∫₋π^π cos mx cos nx dx = πδₘₙ
│   │       ├─ ∫₋π^π sin mx sin nx dx = πδₘₙ
│   │       └─ ∫₋π^π cos mx sin nx dx = 0
│   │
│   └─ 类比：函数空间 ⟷ 向量空间
│       ├─ 正交基 ⟷ 标准基
│       ├─ 内积 ⟷ 点积
│       └─ 展开 ⟷ 坐标分解
│
├─ 二、傅里叶系数
│   │
│   ├─ 系数公式 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   │   ├─ aₙ = (1/π)∫₋π^π f(x)cos nx dx
│   │   └─ bₙ = (1/π)∫₋π^π f(x)sin nx dx
│   │
│   ├─ 推导方法
│   │   ├─ 利用正交性
│   │   ├─ 逐项积分
│   │   └─ 唯一性
│   │
│   └─ 物理意义
│       ├─ 频谱成分
│       ├─ 振幅与相位
│       └─ 能量分布
│
├─ 三、收敛理论
│   │
│   ├─ Dirichlet条件 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   │   ├─ 假设：f 按段光滑
│   │   ├─ 连续点：级数收敛到 f(x)
│   │   └─ 间断点：收敛到 [f(x-0)+f(x+0)]/2
│   │
│   ├─ 按段光滑函数
│   │   ├─ 除有限个点外连续
│   │   ├─ 导数除有限个点外存在且连续
│   │   └─ 左右导数存在
│   │
│   └─ 收敛速度
│       ├─ 连续不可微：O(1/n)
│       ├─ k阶可微：O(1/n^(k+1))
│       └─ 解析：指数衰减
│
├─ 四、特殊情况
│   │
│   ├─ 奇函数
│   │   ├─ f(-x) = -f(x)
│   │   ├─ aₙ = 0（所有n）
│   │   └─ 正弦级数：Σbₙsin nx
│   │
│   ├─ 偶函数
│   │   ├─ f(-x) = f(x)
│   │   ├─ bₙ = 0（所有n）
│   │   └─ 余弦级数：a₀/2 + Σaₙcos nx
│   │
│   └─ 周期延拓
│       ├─ 将[−π,π]上的函数延拓到全轴
│       ├─ 端点可能产生间断
│       └─ 级数收敛到延拓函数
│
├─ 五、重要定理
│   │
│   ├─ 定理15.1：收敛性判别
│   ├─ 定理15.2：系数唯一性
│   ├─ 定理15.3：Dirichlet收敛定理 ★
│   └─ Parseval等式（能量守恒）
│
└─ 六、应用领域
    │
    ├─ 偏微分方程
    │   ├─ 热传导方程
    │   ├─ 波动方程
    │   └─ Laplace方程
    │
    ├─ 信号处理
    │   ├─ 频谱分析
    │   ├─ 滤波器设计
    │   └─ 音频/图像压缩
    │
    ├─ 量子力学
    │   ├─ 波函数展开
    │   ├─ 本征态叠加
    │   └─ 概率诠释
    │
    └─ 数论
        ├─ 级数求和
        ├─ ζ函数计算
        └─ 解析数论

7.2 核心公式速查表

📌 基本定义

三角级数标准形式： $f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$

📌 傅里叶系数（2π周期）

$a_{n} b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, n = 0, 1, 2, \dots = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x, n = 1, 2, \dots$

📌 正交关系

$\int_{- π}^{π} cos m x cos n x d x \int_{- π}^{π} sin m x sin n x d x \int_{- π}^{π} cos m x sin n x d x = π δ_{mn} = π δ_{mn} = 0$

其中 $δ_{mn} = {1, 0, m = n m \neq = n$

📌 奇函数与偶函数

偶函数（ $f (- x) = f (x)$ ）： $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} cos n x$ $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) cos n x d x$

奇函数（ $f (- x) = - f (x)$ ）： $f (x) = n = 1 \sum \infty b_{n} sin n x$ $b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin n x d x$

📌 收敛定理（Dirichlet）

若 $f$ 在 $[- π, π]$ 上按段光滑，则：

连续点： $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$
间断点： $\frac{f ( x - 0 ) + f ( x + 0 )}{2} = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$

📌 Parseval等式

$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$

7.3 典型题型与解题策略

题型1：求傅里叶系数

解题步骤：

验证函数满足条件（按段光滑）
判断奇偶性（简化计算）
套用公式计算 $a_{n}, b_{n}$
注意分部积分技巧

题型2：判断收敛性

解题策略：

检查是否满足Dirichlet条件
找出间断点和不可导点
判断收敛值（连续点vs间断点）

题型3：利用傅里叶级数求级数和

解题技巧：

选择合适的函数 $f (x)$
求出其傅里叶展开
代入特殊点 $x$ 值
得到数值级数

题型4：应用问题

常见场景：

热传导/波动方程
周期信号分析
物理中的驻波问题

解题思路：

建立数学模型
分离变量 → 本征函数
展开成傅里叶级数
确定系数 → 完整解

7.4 易错点与注意事项

⚠️ 易错点1：符号"~"不是"="

$f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + \sum (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$

"~"只表示右边是左边的傅里叶级数
不保证收敛
不保证收敛到 $f (x)$

只有满足收敛定理条件，才有"="成立。

⚠️ 易错点2：间断点的收敛值

在间断点 $x_{0}$ 处，级数收敛到平均值： $\frac{f ( x _{0} - 0 ) + f ( x _{0} + 0 )}{2}$

不是 $f (x_{0})$ ！

⚠️ 易错点3：积分区间

傅里叶系数公式中，积分区间可以是任何长度为 $2 π$ 的区间：

$[- π, π]$
$[0, 2 π]$
$[c, c + 2 π]$

但不能随意缩短或延长！

⚠️ 易错点4：奇偶性的判断

判断奇偶性时，要在对称区间上考察
周期延拓后可能改变奇偶性
注意定义域

⚠️ 易错点5：分部积分的边界项

计算傅里叶系数时，分部积分要注意边界项： $\int_{- π}^{π} x cos n x d x = [\frac{x sin n x}{n}]_{- π}^{π} - \int_{- π}^{π} \frac{sin n x}{n} d x$

边界项常常为0（ $sin nπ = 0$ ），但要验证！

八、拓展与深化

EXTENSIONS AND DEEPENING

8.1 任意周期的傅里叶级数

周期为 $2 L$ 的函数

若 $f (x)$ 以 $2 L$ 为周期，作变量代换： $t = \frac{π x}{L}$

则 $g (t) = f (\frac{L t}{π})$ 以 $2 π$ 为周期。

傅里叶级数：

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos \frac{nπ x}{L} + b_{n} sin \frac{nπ x}{L})$

系数公式：

$a_{n} b_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) cos \frac{nπ x}{L} d x = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

特殊情况：周期为 $2 π$ 的标准形式

取 $L = π$ ，回到标准形式。

8.2 复数形式的傅里叶级数

欧拉公式的应用

利用 $e^{in x} = cos n x + i sin n x$

可以将傅里叶级数写成复指数形式：

$f (x) = n = - \infty \sum + \infty c_{n} e^{in x}$

复傅里叶系数

$c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x$

与实系数的关系

$c_{0} c_{n} c_{- n} = \frac{a _{0}}{2} = \frac{a _{n} - i b _{n}}{2}, n > 0 = \frac{a _{n} + i b _{n}}{2} = \overline{c_{n}}, n > 0$

优势

形式简洁统一
正负频率对称
便于理论分析
是傅里叶变换的基础

8.3 Gibbs现象详解

现象描述

对于有跳跃间断的函数，其傅里叶级数的部分和在间断点附近会产生振荡超调，最大超调约为跳跃高度的 9%。

数学表达

设 $f$ 在 $x = 0$ 处有跳跃： $f (0 +) - f (0 -) = h$

傅里叶级数部分和： $S_{N} (x) = n = - N \sum N c_{n} e^{in x}$

Gibbs现象： $N \to \infty lim x max ∣ S_{N} (x) ∣ \approx 1.09 h$

超调约 $0.09 h \approx 9%$ 。

物理解释

有限项级数无法完美逼近间断
高频分量不足 → 产生振荡
增加项数，振荡区域变窄但幅度不变

实际影响

信号处理中的"预振荡"和"过冲"
图像压缩中的"振铃效应"
数值模拟中的伪振荡

应对方法

使用窗函数（Hamming, Hanning等）
小波变换（更好地处理间断）
自适应方法

8.4 傅里叶变换预告

从级数到积分

傅里叶级数：周期函数 → 离散频谱 $f (x) = n = - \infty \sum \infty c_{n} e^{in x}$

傅里叶变换：非周期函数 → 连续频谱 $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ω) e^{iω x} d ω$

变换公式

正变换： $\hat{f} (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- iω x} d x$

逆变换： $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ω) e^{iω x} d ω$

关系

傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数情况下的特例：

$c_{n} = \frac{f ^ ( n )}{2 π}$

应用领域

信号处理（FFT算法）
偏微分方程
概率论（特征函数）
量子力学（动量表示）
光学（衍射理论）

结语：傅里叶的遗产

EPILOGUE: FOURIER'S LEGACY

🎵 从热传导到整个科学

1807年，一位名叫约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier, 1768-1830）的法国数学家提交了一篇关于热传导的论文。

他大胆地宣称：

"任何周期函数都可以表示为正弦和余弦函数的无穷级数。"

这个想法在当时引起了巨大争议：

Lagrange（拉格朗日）强烈反对
Laplace（拉普拉斯）表示怀疑
Poisson（泊松）认为不严格

论文被拒绝发表。

但傅里叶坚持了下来。

1822年，他的巨著《热的解析理论》出版。

从此，傅里叶级数成为数学分析最重要的工具之一。

今天，傅里叶的思想无处不在：

📱 你的手机（信号处理）
🎵 你听的音乐（MP3压缩）
📷 你拍的照片（JPEG格式）
📡 你用的WiFi（OFDM调制）
🔬 医学成像（CT, MRI）
🌍 气象预报（数值模拟）
⚛️ 量子力学（波函数）
🌌 天文学（光谱分析）

傅里叶教给我们什么？

简单与复杂的辩证：
- 复杂的波形 = 简单正弦波的叠加
- 整体性质蕴藏在局部成分中
不同视角的等价：
- 时域 ⟷ 频域
- 局部 ⟷ 整体
- 分析 ⟷ 综合
数学的统一之美：
- 代数、几何、分析的融合
- 抽象理论与实际应用的统一
坚持真理的勇气：
- 面对权威的质疑
- 相信自己的洞察
- 时间证明一切

傅里叶级数是：

✨ 一座连接纯数学与应用数学的桥梁
✨ 一扇通向现代分析的大门
✨ 一个理解周期现象的钥匙
✨ 一种看待世界的新方式

📚 学习者寄语

亲爱的学习者：

当你学习傅里叶级数时，你不仅仅是在：

计算积分
验证收敛性
求解系数

你是在学习：

🌟 如何把复杂分解为简单
🌟 如何在无穷中寻找规律
🌟 如何用数学语言描述自然
🌟 如何在抽象与具体间架桥

记住这些美丽的思想：

💡 正交性 — 独立成分的标志
💡 收敛性 — 无穷逼近的保证
💡 完备性 — 表达能力的极致
💡 能量守恒 — 深层结构的体现

当你未来：

分析信号，想起频谱分解
解微分方程，想起特征函数展开
压缩数据，想起傅里叶变换
面对复杂问题，想起化繁为简

傅里叶级数告诉我们：

世界是由简单的和谐振动构成的。
数学是揭示这种和谐的语言。
学习数学，就是学习理解世界的方式。

愿你：

以正弦波的纯净，保持初心
以收敛性的耐心，持续前行
以正交性的独立，坚守本真
以傅里叶的勇气，探索未知

∫ + ∑ = ∞

"The heat equation is
the poetry of mathematics."

"热方程是数学的诗歌。"

HARMONIA MUNDI

世界的和谐

May the harmonics of nature
resonate in your mind forever.

愿自然的和声
在你心中永远回响。

📊 全章统计

✅ 核心定理：3个（正交性、系数公式、收敛定理）
✅ 基本概念：8个（三角级数、正交、傅里叶系数等）
✅ 典型例题：3个经典波形（锯齿波、抛物线波、方波）
✅ 应用领域：6大领域（PDE、信号、量子、数论等）
✅ 思想方法：分解-综合、时域-频域、局部-整体

🎯 学习成果检验

完成本章学习后，你应该能够：

理解三角函数系的正交性
推导傅里叶系数公式
计算具体函数的傅里叶展开
应用Dirichlet收敛定理
判断奇偶性并简化计算
利用傅里叶级数求数值级数
理解傅里叶分析的物理意义
解决简单的应用问题

🌟 核心价值

傅里叶级数是：

✨ 数学分析的皇冠
✨ 应用数学的基石
✨ 现代科技的语言
✨ 理解自然的钥匙

🎓 CONGRATULATIONS! 🎓

你已掌握傅里叶级数的精髓！

🌟 SOLI DEO GLORIA 🌟
荣耀归于上帝

The End

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