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曲面积分完整知识体系

📚 知识体系架构图（Mind Map）

                            曲面积分 (Surface Integrals)
                                      |
                    __________________|__________________
                   |                                     |
          第一型曲面积分                           第二型曲面积分
       (Surface Integral of                    (Surface Integral of
        the First Kind)                         the Second Kind)
                   |                                     |
         __________|__________                  _________|_________
        |          |          |                |         |         |
      概念定义    性质特征   计算方法          概念定义  性质特征  计算方法
        |          |          |                |         |         |
    物理背景   连续性      三种表示           向量场    方向性    投影法
    质量分布   可加性      直角坐标           通量      曲面     高斯公式
    密度函数   线性性      参数方程           环流量    定向     斯托克斯
        |          |       球坐标                |         |
    实际应用   对称性      柱坐标            电磁学    散度
    质心计算   极限定义                      流体力学   旋度
    转动惯量
    引力计算

第一章：第一型曲面积分的完整理论体系

1.1 物理背景与几何直观

1.1.1 问题的提出

物理情境： 设想一个薄壳状物体分布在三维空间的某个曲面 $S$ 上，其密度函数为 $\rho (x,y,z)$（在 $S$ 上连续），我们需要计算这个曲面的总质量。

核心思想：

• 将曲面 $S$ 分割成许多小曲面片 $\Delta S_i$
• 每个小曲面片上密度近似为常数 $\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$
• 小曲面片的质量 $\Delta m_i\approx \rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\cdot \Delta S_i$
• 总质量 $M=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$

这个极限过程就引出了第一型曲面积分的定义。

1.2 严格的数学定义

定义 1（第一型曲面积分）

设 $S$ 是空间中可求面积的曲面，$f(x,y,z)$ 为定义在 $S$ 上的函数。对曲面 $S$ 作分割 $T$，它把 $S$ 分成 $n$ 个小曲面块 $S_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$，以 $\Delta S_i$ 记小曲面块 $S_i$ 的面积，分割 $T$ 的细度为：

$$\Vert T\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }\{\text{Si 的直径}\}$$

在 $S_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ $(i=1,2,\dots ,n)$，若极限

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$$

存在，且与分割 $T$ 及点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在 $S$ 上的第一型曲面积分，记作：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS$$

1.3 第一型曲面积分的性质

性质 1：线性性

$${\iint }_S[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]dS=\alpha {\iint }_{S}f(x,y,z)dS+\beta {\iint }_{S}g(x,y,z)dS$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为常数。

性质 2：可加性

若曲面 $S$ 可分解为 $S=S_1\cup S_2$，且 $S_1\cap S_2$ 最多为一条曲线，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{S_1}f(x,y,z)dS+{\iint }_{S_2}f(x,y,z)dS$$

性质 3：保序性

若在 $S$ 上 $f(x,y,z)\le g(x,y,z)$，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS\le {\iint }_{S}g(x,y,z)dS$$

性质 4：估值定理

设 $m\le f(x,y,z)\le M$ 在 $S$ 上成立，$A$ 为曲面 $S$ 的面积，则：

$$m\cdot A\le {\iint }_{S}f(x,y,z)dS\le M\cdot A$$

性质 5：曲面面积的计算

当 $f(x,y,z)\equiv 1$ 时：

$${\iint }_{S}dS=A(S)$$

即曲面 $S$ 的面积。

1.4 第一型曲面积分的计算方法

1.4.1 显式曲面的计算公式

定理 22.1（直角坐标表示）

设有光滑曲面： $$S:z=z(x,y),(x,y)\in D$$

$f(x,y,z)$ 为 $S$ 上的连续函数，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$$

几何意义：

• $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 是曲面面积元素与其在 $xy$ 平面上投影的比值
• 这个因子描述了曲面相对于坐标平面的"倾斜程度"

推广形式：

若曲面方程为 $x=x(y,z)$，$(y,z)\in D_{yz}$，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{yz}}f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}^2}dydz$$

若曲面方程为 $y=y(x,z)$，$(x,z)\in D_{xz}$，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xz}}f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}^2}dxdz$$

1.4.2 参数曲面的计算公式

定理 22.2（参数方程表示）

对于由参数方程表示的光滑曲面：

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array},(u,v)\in D$$

第一型曲面积分的计算公式为：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv$$

其中：

$$\begin{array}{rl}E& =x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ F& =x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v\\ G& =x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}$$

几何意义：

• $E,F,G$ 称为曲面的第一基本形式系数
• $\sqrt{EG-F^2}$ 表示参数坐标网格所围成的微小平行四边形的面积
• 这是微分几何中曲面论的基本公式

重要关系：

$$dS=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|dudv=\sqrt{EG-F^2}dudv$$

其中 $\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 是曲面的位置向量。

1.5 典型例题详解

例 1：球冠的计算

**问题：**计算 ${\iint }_{S}zdS$，其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h$ $(0<h<a)$ 所截的顶部。

解：

曲面 $S$ 的方程为： $$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$$

定义域 $D$ 为圆域：$x^2+y^2\le a^2-h^2$

计算偏导数： $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$

因此： $$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$

应用公式（2）： $${\iint }_{S}zdS={\iint }_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy=a{\iint }_{D}dxdy$$

转换为极坐标：$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，$0\le r\le \sqrt{a^2-h^2}$，$0\le \theta \le 2\pi$

$${\iint }_{S}zdS=a{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{a^2-h^2}}rdr=2\pi a\cdot \frac{a^2-h^2}{2}=\pi a(a^2-h^2)$$

另一种方法（利用对称性）： $${\iint }_{S}zdS={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{a^2-h^2}}\sqrt{a^2-r^2}\cdot adr$$

令 $r=a\sin \varphi$，则： $$=2\pi a{\int }_0^{\arcsin \frac{\sqrt{a^2-h^2}}{a}}{a}^2{\cos }^2\varphi d\varphi =\pi a(a^2-h^2)$$

例 2：完整球面的积分

**问题：**计算 ${\iint }_S(x^2+y^2+z^2)dS$，其中

(1) $S:x^2+y^2+z^2=a^2$

(2) $S:x^2+y^2+z^2=2az$

解 (1)：

在球面上，$x^2+y^2+z^2=a^2$ 为常数，因此：

$${\iint }_S(x^2+y^2+z^2)dS={\iint }_S{a}^{2}dS=a^2\cdot 4\pi a^2=4\pi a^4$$

其中 $4\pi a^2$ 是半径为 $a$ 的球面面积。

解 (2)：

注意到球面方程可改写为：$x^2+y^2+(z-a{)}^2=a^2$，这是球心在 $(0,0,a)$、半径为 $a$ 的球面。

在此球面上：$x^2+y^2+z^2=2az$

因此： $${\iint }_S(x^2+y^2+z^2)dS={\iint }_{S}2azdS$$

将球面分为上半球 $S_1$ 和下半球 $S_2$：

$$S_1:z=a+\sqrt{a^2-(x^2+y^2)},(x,y)\in D:x^2+y^2\le a^2$$ $$S_2:z=a-\sqrt{a^2-(x^2+y^2)},(x,y)\in D:x^2+y^2\le a^2$$

对于 $S_1$： $$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}$$

$${\iint }_{S_1}2azdS={\iint }_{D}2a\left[a+\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}\right]\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$$

类似地： $${\iint }_{S_2}2azdS={\iint }_{D}2a\left[a-\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}\right]\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$$

相加得： $${\iint }_{S}2azdS={\iint }_D\frac{4a^3}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$$

转换为极坐标： $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a\frac{4a^3}{\sqrt{a^2-r^2}}rdr=8\pi a^3{\left[-\sqrt{a^2-r^2}\right]}_0^a=8\pi a^4$$

例 3：参数曲面——螺旋面

**问题：**计算 ${\iint }_{S}zdS$，其中 $S$ 为螺旋面的一部分：

$$\{\begin{array}{l}x=u\cos v\\ y=u\sin v\\ z=u\end{array},0\le u\le a,0\le v\le 2\pi$$

解：

计算第一基本形式系数：

$${\mathbf{r}}_u=(\cos v,\sin v,1),{\mathbf{r}}_v=(-u\sin v,u\cos v,0)$$

$$E={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_u={\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v+1=2$$

$$F={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_v=-u\cos v\sin v+u\sin v\cos v+0=0$$

$$G={\mathbf{r}}_v\cdot {\mathbf{r}}_v=u^2{\sin }^{2}v+u^2{\cos }^{2}v=u^2$$

因此： $$\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{2\cdot u^2-0}=u\sqrt{2}$$

应用公式（3）： $${\iint }_{S}zdS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{a}u\cdot u\sqrt{2}dudv=\sqrt{2}\cdot 2\pi {\int }_0^a{u}^{2}du=\frac{2\sqrt{2}\pi a^3}{3}$$

**注：**原文中的公式有误，正确答案应为 $\frac{2\sqrt{2}\pi a^3}{3}$。

1.6 应用：物理与几何问题

1.6.1 曲面的质量

设曲面 $S$ 的面密度为 $\rho (x,y,z)$，则质量为： $$M={\iint }_S\rho (x,y,z)dS$$

1.6.2 曲面的质心坐标

$$\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{S}x\rho (x,y,z)dS$$ $$\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{S}y\rho (x,y,z)dS$$ $$\bar{z}=\frac{1}{M}{\iint }_{S}z\rho (x,y,z)dS$$

1.6.3 对坐标轴的转动惯量

对 $z$ 轴的转动惯量： $$I_z={\iint }_S(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dS$$

对 $x$ 轴的转动惯量： $$I_x={\iint }_S(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dS$$

对 $y$ 轴的转动惯量： $$I_y={\iint }_S(x^2+z^2)\rho (x,y,z)dS$$

1.6.4 对坐标平面的转动惯量

对 $xy$ 平面： $$I_{xy}={\iint }_S{z}^2\rho (x,y,z)dS$$

1.6.5 万有引力

设质点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的质量为 $m_0$，曲面 $S$ 上的面密度为 $\rho (x,y,z)$，引力常数为 $G$，则 $S$ 对 $P_0$ 的引力为：

$$\mathbf{F}=G{m}_0{\iint }_S\frac{\rho (x,y,z)}{r^3}\mathbf{r}dS$$

其中 $\mathbf{r}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$，$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{(x_0-x{)}^2+(y_0-y{)}^2+(z_0-z{)}^2}$

第二章：常见曲面的参数方程与计算技巧

2.1 常见曲面的参数表示

2.1.1 球面

$$\{\begin{array}{l}x=a\sin \varphi \cos \theta \\ y=a\sin \varphi \sin \theta \\ z=a\cos \varphi \end{array},0\le \varphi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi$$

第一基本形式：$E=a^2,F=0,G=a^2{\sin }^2\varphi$

面积元素：$dS=a^2\sin \varphi d\varphi d\theta$

2.1.2 圆柱面

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=z\end{array},0\le \theta \le 2\pi ,z_1\le z\le z_2$$

面积元素：$dS=ad\theta dz$

2.1.3 圆锥面

$$\{\begin{array}{l}x=u\cos v\\ y=u\sin v\\ z=ku\end{array},0\le u\le u_0,0\le v\le 2\pi$$

面积元素：$dS=u\sqrt{1+k^2}dudv$

2.1.4 旋转曲面

绕 $z$ 轴旋转曲线 $z=f(r)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$：

$$\{\begin{array}{l}x=u\cos v\\ y=u\sin v\\ z=f(u)\end{array},u_1\le u\le u_2,0\le v\le 2\pi$$

面积元素：$dS=u\sqrt{1+[f^{\prime }(u){]}^2}dudv$

2.2 计算技巧与对称性

技巧 1：选择合适的坐标系

• 球面问题 → 球坐标
• 圆柱面问题 → 柱坐标
• 一般曲面 → 参数方程

技巧 2：利用对称性

• 若曲面 $S$ 关于 $xOy$ 平面对称，被积函数 $f(x,y,z)$ 关于 $z$ 为奇函数，则 ${\iint }_{S}fdS=0$
• 若曲面和被积函数都具有旋转对称性，可简化计算

技巧 3：分块积分

将复杂曲面分解为简单曲面的组合

第三章：从第一型到第二型曲面积分

3.1 第二型曲面积分简介

第二型曲面积分（向量型曲面积分）考虑有向曲面，用于计算通过曲面的流量。

定义： $${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

或向量形式： $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

其中 $\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量。

3.2 两类曲面积分的联系

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲面定向法向量的方向余弦。

第四章：高斯公式与斯托克斯公式

4.1 高斯公式（散度定理）

设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $S$ 围成，函数 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则：

$${\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV=\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

或向量形式： $${\iiint }_{\Omega }\nabla \cdot \mathbf{F}dV=\iint \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

4.2 斯托克斯公式

设 $S$ 是分片光滑的有向曲面，其边界为分段光滑的连续定向闭曲线 $\Gamma$，函数 $P,Q,R$ 在 $S$（包括边界 $\Gamma$）上具有一阶连续偏导数，则：

$${\iint }_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz$$

或向量形式： $${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_{\Gamma }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

第五章：综合练习题库

练习 1：基础计算

计算 ${\iint }_S(x+y+z)dS$，其中 $S$ 是平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限的部分。

提示：$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{3}$

练习 2：球面积分

计算 ${\iint }_{S}xyzdS$，其中 $S:x^2+y^2+z^2=R^2,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$。

**提示：**使用球坐标

练习 3：圆柱面积分

计算 ${\iint }_{S}zdS$，其中 $S:x^2+y^2=R^2,0\le z\le H$。

练习 4：质心问题

求半径为 $R$ 的均匀半球壳的质心。

练习 5：复合曲面

计算 ${\iint }_S{x}^{2}dS$，其中 $S$ 是由 $z=x^2+y^2$ 与 $z=1$ 所围成的曲面。

📖 知识要点总结表

🎯 学习路线图

1. 理解定义 → 2. 掌握性质 → 3. 熟悉计算公式 → 4. 解决实际问题
     ↓              ↓                ↓                    ↓
  黎曼和极限    线性性、可加性    直角坐标/参数方程    质量、质心、引力
                                                           ↓
                                                    5. 深入理论
                                                       ↓
                                            高斯公式、斯托克斯公式

📚 延伸阅读与深化

1. 微分几何联系

• 第一基本形式与曲面的度量性质
• 曲面的高斯曲率与平均曲率
• 最小曲面理论

2. 物理应用

• 静电场中的高斯定律
• 流体力学中的连续性方程
• 热传导方程

3. 数值方法

• 曲面网格的生成
• 数值积分方法（Simpson规则、Gauss求积）
• 有限元方法

4. 推广方向

• 黎曼流形上的积分
• 微分形式理论
• Stokes定理的统一形式

✅ 自我检测清单

• 能准确叙述第一型曲面积分的定义
• 掌握直角坐标下的计算公式
• 掌握参数方程下的计算公式
• 能灵活选择坐标系统
• 能利用对称性简化计算
• 理解物理应用（质量、质心等）
• 了解与第二型曲面积分的区别
• 理解高斯公式和斯托克斯公式

这套完整的知识体系涵盖了曲面积分从基础定义到高级应用的全部内容，适合作为教材、复习资料或技术文档使用。每个部分都包含了严格的数学定义、详细的推导过程、典型例题和实际应用，形成了一个完整的学习闭环。