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完整知识体系：二重积分的变量变换

📊 核心知识思维导图

二重积分的变量变换 (Change of Variables in Double Integrals)
│
├─── 一、理论基础
│    ├─── 1.1 一元积分变换回顾
│    │    ├─── 定积分换元公式
│    │    ├─── 严格单调条件
│    │    └─── Jacobian行列式的引入
│    │
│    ├─── 1.2 二重积分变换的必要性
│    │    ├─── 简化积分区域
│    │    ├─── 简化被积函数
│    │    └─── 提高计算效率
│    │
│    └─── 1.3 Jacobian行列式
│         ├─── 定义：J(u,v) = ∂(x,y)/∂(u,v)
│         ├─── 几何意义：面积的缩放因子
│         └─── 非零条件的重要性
│
├─── 二、一般变量变换
│    ├─── 2.1 变换公式（定理21.13）
│    │    ├─── 变换条件
│    │    │    ├─── 一对一映射
│    │    │    ├─── 一阶连续偏导数
│    │    │    └─── Jacobian行列式非零
│    │    │
│    │    ├─── 核心公式
│    │    │    └─── ∬_D f(x,y)dxdy = ∬_Δ f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv
│    │    │
│    │    └─── 证明思路
│    │         ├─── 区域分割
│    │         ├─── 积分和构造
│    │         └─── 极限过程
│    │
│    ├─── 2.2 面积变换引理
│    │    ├─── Green公式应用
│    │    ├─── 边界曲线参数化
│    │    └─── μ(D) = ∬_Δ |J(u,v)|dudv
│    │
│    └─── 2.3 应用实例
│         ├─── 例1：线性变换简化被积函数
│         │    └─── u=x-y, v=x+y
│         │
│         └─── 例2：抛物线与直线围成区域
│              └─── u=y²/x, v=y/x
│
├─── 三、极坐标变换
│    ├─── 3.1 极坐标变换公式
│    │    ├─── 基本变换
│    │    │    ├─── x = r cos θ
│    │    │    ├─── y = r sin θ
│    │    │    └─── J(r,θ) = r
│    │    │
│    │    ├─── 定理21.14
│    │    │    └─── ∬_D f(x,y)dxdy = ∬_Δ f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ
│    │    │
│    │    └─── 理论说明
│    │         ├─── 映射非一对一的处理
│    │         ├─── J(r,θ)=0的处理（r=0时）
│    │         └─── 极限逼近法证明
│    │
│    ├─── 3.2 累次积分的四种情况
│    │    ├─── (i) 射线穿区域两点
│    │    │    └─── ∫_α^β dθ ∫_{r₁(θ)}^{r₂(θ)} f(r cos θ, r sin θ)rdr
│    │    │
│    │    ├─── (ii) 圆周穿区域两点
│    │    │    └─── ∫_{r₁}^{r₂} rdr ∫_{θ₁(r)}^{θ₂(r)} f(r cos θ, r sin θ)dθ
│    │    │
│    │    ├─── (iii) 原点为内点
│    │    │    └─── ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{r(θ)} f(r cos θ, r sin θ)rdr
│    │    │
│    │    └─── (iv) 原点在边界上
│    │         └─── ∫_α^β dθ ∫_0^{r(θ)} f(r cos θ, r sin θ)rdr
│    │
│    ├─── 3.3 典型应用场景
│    │    ├─── 圆域或圆环域
│    │    ├─── 被积函数含 f(x²+y²)
│    │    └─── 扇形区域
│    │
│    └─── 3.4 经典例题
│         ├─── 例3：圆域上积分 √(1-x²-y²)
│         ├─── 例4：Viviani体体积（球柱相交）
│         ├─── 例5：高斯积分 ∬ e^{-(x²+y²)}dxdy
│         └─── 例6：椭球体体积（广义极坐标）
│
├─── 四、广义极坐标变换
│    ├─── 4.1 变换形式
│    │    ├─── x = ar cos θ
│    │    ├─── y = br sin θ
│    │    └─── J(r,θ) = abr
│    │
│    ├─── 4.2 应用场景
│    │    ├─── 椭圆域
│    │    ├─── 椭圆环域
│    │    └─── 椭球体体积
│    │
│    └─── 4.3 椭球体体积公式
│         └─── V = (4/3)πabc
│
└─── 五、方法论与技巧
     ├─── 5.1 变换选择原则
     │    ├─── 观察区域边界特征
     │    ├─── 分析被积函数形式
     │    └─── 寻求最大简化
     │
     ├─── 5.2 计算步骤
     │    ├─── Step 1: 确定变换 T
     │    ├─── Step 2: 计算Jacobian行列式
     │    ├─── Step 3: 确定新区域Δ
     │    ├─── Step 4: 替换变量和面积元
     │    └─── Step 5: 化为累次积分计算
     │
     ├─── 5.3 常见错误防范
     │    ├─── 忘记Jacobian绝对值
     │    ├─── 极坐标忘记r因子
     │    ├─── 新区域边界确定错误
     │    └─── 累次积分限写错
     │
     └─── 5.4 推广与联系
          ├─── 三重积分变换
          ├─── 曲线积分与Green公式
          └─── 微分形式理论

📘 完整知识体系详解

第一章：理论基础与动机

1.1 从一元到二元的推广

一元积分的变量替换

在定积分中，我们有经典的换元公式：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

其中：

• $x=\phi (t)$ 是单调可微函数
• 当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，$x$ 从 $a$ 变到 $b$
• ${\phi }^{\prime }(t)$ 连续

统一形式

设 $X=[a,b]$，$Y=[\alpha ,\beta ]$，则换元公式可写成统一形式：

$${\int }_{X}f(x)dx={\int }_{Y}f(\phi (t))|{\phi }^{\prime }(t)|dt$$

这个公式蕴含着深刻的几何意义：$|{\phi }^{\prime }(t)|$ 表示微元长度的伸缩比例。

1.2 二重积分变换的核心思想

问题提出

在二重积分计算中，我们常遇到：

1. 复杂的积分区域：如抛物线、双曲线围成的区域
2. 复杂的被积函数：如 $e^{(x-y)/(x+y)}$
3. 难以化为累次积分：边界曲线不能用简单函数表示

解决策略

通过变量替换 $T:(x,y)\to (u,v)$，将：

• 复杂区域 $D$ 变换为简单区域 $\Delta$（如矩形）
• 复杂函数 $f(x,y)$ 变换为简单函数

1.3 Jacobian行列式：变换的灵魂

定义

对于变换 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$，定义Jacobian行列式：

$$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$

几何意义

$|J(u,v)|$ 表示变换 $T$ 在点 $(u,v)$ 处的面积伸缩因子：

• 当 $\Delta u,\Delta v$ 很小时，$uv$平面上的小矩形面积 $\Delta u\cdot \Delta v$
• 对应到 $xy$ 平面上的面积近似为 $|J(u,v)|\Delta u\Delta v$

物理解释

如果把 $(u,v)$ 看作材料坐标，$(x,y)$ 看作空间坐标，则 $|J(u,v)|$ 描述了材料的局部拉伸或压缩程度。

第二章：面积变换引理

2.1 引理陈述

引理：设变换 $T:x=x(u,v),y=y(u,v)$ 将 $uv$ 平面上由按段光滑封闭曲线围成的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $xy$ 平面上的闭区域 $D$，且：

1. $x(u,v),y(u,v)$ 在 $\Delta$ 内具有一阶连续偏导数
2. $J(u,v)\ne 0$，$\forall (u,v)\in \Delta$

则区域 $D$ 的面积为：

$$\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

2.2 证明思路

第一步：边界变换

设 $uv$ 平面上边界曲线 $L_{\Delta }$ 的参数方程为： $$u=u(t),v=v(t),\alpha \le t\le \beta$$

则 $xy$ 平面上对应边界曲线 $L_D$ 的参数方程为： $$x=x(u(t),v(t)),y=y(u(t),v(t))$$

第二步：Green公式应用

在 $xy$ 平面上，取 $P=0,Q=x$，由Green公式：

$$\mu (D)={\iint }_{D}1\cdot dxdy={\oint }_{L_D}xdy$$

$$={\int }_{\alpha }^{\beta }x(u(t),v(t))\left[\frac{\partial y}{\partial u}{u}^{\prime }(t)+\frac{\partial y}{\partial v}{v}^{\prime }(t)\right]dt$$

第三步：转换到uv平面

在 $uv$ 平面上：

$${\oint }_{L_{\Delta }}x(u,v)\frac{\partial y}{\partial v}du=\pm {\int }_{\alpha }^{\beta }x(u(t),v(t))\frac{\partial y}{\partial v}(-v^{\prime }(t))dt$$

$${\oint }_{L_{\Delta }}x(u,v)\frac{\partial y}{\partial u}dv=\pm {\int }_{\alpha }^{\beta }x(u(t),v(t))\frac{\partial y}{\partial u}{u}^{\prime }(t)dt$$

第四步：再次应用Green公式

令 $P(u,v)=x(u,v)\frac{\partial y}{\partial v}$，$Q(u,v)=x(u,v)\frac{\partial y}{\partial u}$，则：

$$\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}=J(u,v)$$

因此：

$$\mu (D)=\pm {\iint }_{\Delta }J(u,v)dudv$$

由于 $\mu (D)\ge 0$ 且 $J(u,v)$ 在 $\Delta$ 上不变号，得：

$$\mu (D)={\iint }_{\Delta }|J(u,v)|dudv$$

第三章：一般变量变换公式

3.1 主定理（定理21.13）

定理：设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，变换 $T:x=x(u,v),y=y(u,v)$ 将 $uv$ 平面上由按段光滑封闭曲线围成的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $xy$ 平面上的闭区域 $D$，且：

1. $x(u,v),y(u,v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数
2. $J(u,v)\ne 0$，$\forall (u,v)\in \Delta$

则：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv}$$

3.2 证明要点

1. 区域分割：用曲线网将 $\Delta$ 分成 $n$ 个小区域 ${\Delta }_i$
2. 面积对应：$\mu (D_i)=|J(u_i^{\ast },v_i^{\ast })|\mu ({\Delta }_i)$（由引理）
3. 积分和构造： $$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mu (D_i)=\sum _{i=1}^{n}f(x(u_i^{\ast },v_i^{\ast }),y(u_i^{\ast },v_i^{\ast }))|J(u_i^{\ast },v_i^{\ast })|\mu ({\Delta }_i)$$
4. 取极限：当分割细度趋于零时，得到所需公式

3.3 应用实例

例1：简化被积函数

计算 ${\iint }_D{e}^{(x-y)/(x+y)}dxdy$，其中 $D$ 由 $x=0,y=0,x+y=1$ 围成。

解：

令 $u=x-y$，$v=x+y$，则： $$x=\frac{v+u}{2},y=\frac{v-u}{2}$$

计算Jacobian： $$J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

新区域 $\Delta$：

• $x=0\Rightarrow v=-u$
• $y=0\Rightarrow v=u$
• $x+y=1\Rightarrow v=1$

所以 $\Delta =\{(u,v):-v\le u\le v,0\le v\le 1\}$

原积分化为： $${\iint }_D{e}^{(x-y)/(x+y)}dxdy={\iint }_{\Delta }{e}^{u/v}\cdot \frac{1}{2}dudv$$

$$=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}dv{\int }_{-v}^v{e}^{u/v}du=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}v[e^{u/v}{]}_{-v}^{v}dv$$

$$=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}v(e-e^{-1})dv=\frac{e-e^{-1}}{4}$$

例2：抛物线与直线围成的区域

求抛物线 $y^2=mx$，$y^2=nx$ 和直线 $y=\alpha x$，$y=\beta x$ 所围区域 $D$ 的面积 $\mu (D)$（$0<m<n,0<\alpha <\beta$）。

解：

令 $u=\frac{y^2}{x}$，$v=\frac{y}{x}$，则： $$x=\frac{v^2}{u},y=\frac{v^3}{u}$$

计算Jacobian： $$J(u,v) = \begin{vmatrix} -\frac{v^2}{u^2} & \frac{2v}{u} \ -\frac{v^3}{u^2} & \frac{3v^2}{u} \end{vmatrix} = -\frac{3v^4}{u^3} + \frac{2v^4}{u^3} = -\frac{v^4}{u^3}$$

新区域 $\Delta =[m,n]\times [\alpha ,\beta ]$（矩形）

因此： $$\mu (D)={\iint }_{\Delta }\left|-\frac{v^4}{u^3}\right|dudv={\int }_m^n\frac{1}{u^3}du{\int }_{\alpha }^{\beta }{v}^{4}dv$$

$$={\left[-\frac{1}{2u^2}\right]}_m^n\cdot {\left[\frac{v^5}{5}\right]}_{\alpha }^{\beta }=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)\cdot \frac{{\beta }^5-{\alpha }^5}{5}$$

$$=\frac{(n^2-m^2)({\beta }^5-{\alpha }^5)}{10m^2{n}^2}$$

注：文档中给出的答案 $\frac{(n^2-m^2)({\beta }^3-{\alpha }^3)}{6\alpha \beta }$ 可能有误，需核实原题条件。

第四章：极坐标变换

4.1 极坐标变换公式

基本变换

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

Jacobian行列式

$$J(r,\theta) = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$$

面积元关系

$$dxdy=rdrd\theta$$

这是极坐标中最重要的公式：微面积元是 $rdrd\theta$ 而非 $drd\theta$。

4.2 极坐标变换定理（定理21.14）

定理：设 $f(x,y)$ 满足定理21.13的条件，且在极坐标变换下，$xy$ 平面上有界闭区域 $D$ 与 $r\theta$ 平面上区域 $\Delta$ 对应，则：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta }$$

理论难点

极坐标变换存在特殊性：

1. 映射非一对一：$r=0$ 对应整个原点，$\theta =0$ 和 $\theta =2\pi$ 对应同一条射线
2. Jacobian为零：$J(0,\theta )=0$

这些都不满足定理21.13的条件！

证明策略

采用极限逼近法：

1. 考虑圆环域 $D_{\epsilon }=\{(x,y):{\epsilon }^2\le x^2+y^2\le R^2\}$ 减去中心角为 $\epsilon$ 的扇形
2. 在这个区域上，变换是一对一的且 $J>0$
3. 应用定理21.13
4. 令 $\epsilon \to 0$，利用 $f$ 有界性得到结果

4.3 极坐标下的累次积分

根据区域特征，有以下四种标准形式：

类型I：射线穿区域（原点在外）

区域：$r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta )$，$\alpha \le \theta \le \beta$

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

类型II：圆周穿区域

区域：${\theta }_1(r)\le \theta \le {\theta }_2(r)$，$r_1\le r\le r_2$

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{r_1}^{r_2}rdr{\int }_{{\theta }_1(r)}^{{\theta }_2(r)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )d\theta$$

类型III：原点为内点

区域：$0\le r\le r(\theta )$，$0\le \theta \le 2\pi$

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

类型IV：原点在边界上

区域：$0\le r\le r(\theta )$，$\alpha \le \theta \le \beta$

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

4.4 典型应用

例3：圆域上的积分

计算 ${\iint }_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le 1$。

解：原点为 $D$ 的内点，$D$ 的边界为 $r=1$，属于类型III。

$${\iint }_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1\sqrt{1-r^2}\cdot rdr$$

令 $t=1-r^2$，$dt=-2rdr$：

$$=2\pi {\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr=2\pi \cdot {\left[-\frac{1}{3}(1-r^2{)}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2\pi }{3}$$

几何意义：这是半径为1的上半球体的体积。

例4：Viviani体（球柱相交体积）

求球体 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 被圆柱面 $x^2+y^2=Rx$ 割下部分的体积。

解：

• 圆柱面 $x^2+y^2=Rx$ 可改写为 $(x-\frac{R}{2}{)}^2+y^2=(\frac{R}{2}{)}^2$
• 这是半径为 $\frac{R}{2}$、中心在 $(\frac{R}{2},0)$ 的圆柱

极坐标下：$r^2=Rr\cos \theta$，即 $r=R\cos \theta$

由对称性，所求体积为第一卦限部分的4倍：

$$V=4{\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy$$

其中 $D=\{(x,y):y\ge 0,x^2+y^2\le Rx\}$，即 $0\le r\le R\cos \theta$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。

$$V=4{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{R\cos \theta }\sqrt{R^2-r^2}\cdot rdr$$

令 $u=R^2-r^2$，$du=-2rdr$：

$$=4{\int }_0^{\pi /2}d\theta \cdot {\left[-\frac{1}{3}(R^2-r^2{)}^{3/2}\right]}_0^{R\cos \theta }$$

$$=4{\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{3}\left[R^3-R^3{\sin }^3\theta \right]d\theta$$

$$=\frac{4R^3}{3}{\int }_0^{\pi /2}(1-{\sin }^3\theta )d\theta$$

计算 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^3\theta d\theta ={\int }_0^{\pi /2}\sin \theta (1-{\cos }^2\theta )d\theta ={\left[-\cos \theta +\frac{{\cos }^3\theta }{3}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{2}{3}$

$$V=\frac{4R^3}{3}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{2}{3}\right)=\frac{4R^3}{3}\cdot \frac{3\pi -4}{6}=\frac{2R^3(3\pi -4)}{9}$$

例5：高斯积分（极其重要！）

计算 $I={\iint }_D{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le R^2$。

解：这是计算高斯积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ 的关键步骤。

$$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{e}^{-r^2}\cdot rdr$$

令 $t=-r^2$，$dt=-2rdr$：

$$=2\pi {\int }_0^{R}r{e}^{-r^2}dr=2\pi \cdot {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^R=\pi (1-e^{-R^2})$$

当 $R\to \infty$ 时：

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\pi$$

另一方面：

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)}^2$$

因此：

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

这是概率论、数理统计、量子力学中最基本的积分之一！

注：直接计算 $\int e^{-x^2}dx$ 是不可能的（不是初等函数），但通过二重积分和极坐标变换，我们巧妙地得到了结果。

第五章：广义极坐标变换

5.1 变换定义

广义极坐标变换：

$$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$$

其中 $a,b>0$ 为常数。

Jacobian行列式：

$$J(r,\theta) = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr$$

面积元：

$$dxdy=abr\cdot drd\theta$$

5.2 应用：椭圆域积分

广义极坐标将椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 变换为圆 $r=1$。

椭圆域：$D=\left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\}$

变换后：$\Delta =\{(r,\theta ):0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi \}$

面积：

$$\mu (D)={\iint }_{\Delta }abrdrd\theta =ab{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr=ab\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi ab$$

5.3 例6：椭球体体积

求椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$ 的体积。

解：

由对称性，椭球体积是第一卦限部分的8倍。第一卦限部分是以：

$$z=c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$$

为曲顶，$D:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，$x,y\ge 0$ 为底的曲顶柱体。

$$V=8{\iint }_{D}c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy$$

应用广义极坐标变换：

$$V=8{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{1}c\sqrt{1-r^2}\cdot abrdr$$

$$=8abc{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr$$

$$=8abc\cdot \frac{\pi }{2}\cdot {\left[-\frac{1}{3}(1-r^2{)}^{3/2}\right]}_0^1$$

$$=4\pi abc\cdot \frac{1}{3}=\boxed{\frac{4\pi abc}{3}}$$

特殊情况：当 $a=b=c=R$ 时，得到球体体积 $V=\frac{4\pi R^3}{3}$。

第六章：方法论与实战技巧

6.1 变换选择的艺术

原则1：观察区域边界

原则2：分析被积函数

原则3：追求最大简化

理想情况：

• 新区域 $\Delta$ 是矩形
• 新被积函数可分离变量：$f(x(u,v),y(u,v))|J|=g(u)h(v)$

6.2 计算流程标准化

Step 1: 确定变换

• 写出 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$
• 或反函数 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$（需反解）

Step 2: 计算Jacobian

• 正变换：直接计算 $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$
• 反变换：利用 $J(u,v)=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}$

Step 3: 确定新区域

• 将 $D$ 的边界曲线方程代入变换
• 画出 $\Delta$ 的草图

Step 4: 替换与设置

• $f(x,y)\to f(x(u,v),y(u,v))$
• $dxdy\to |J(u,v)|dudv$

Step 5: 化为累次积分

• 根据 $\Delta$ 的形状选择积分次序
• 确定积分限
• 逐次计算

6.3 常见错误与防范

错误1：忘记Jacobian绝对值

❌ 错误：${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv$

✅ 正确：${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$

错误2：极坐标忘记r因子

❌ 错误：$dxdy=drd\theta$

✅ 正确：$dxdy=rdrd\theta$

这是最常见的错误！牢记：极坐标面积元是 $rdrd\theta$。

错误3：新区域边界搞错

例如：$D:x^2+y^2\le 2x$ 在极坐标下

❌ 错误：$0\le r\le 2$，$0\le \theta \le 2\pi$

✅ 正确：$r^2\le 2r\cos \theta \Rightarrow r\le 2\cos \theta$，$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$

错误4：累次积分限写反

极坐标类型III：原点在内部

✅ 正确：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r,\theta )rdr$

❌ 错误：${\int }_0^{r(\theta )}rdr{\int }_0^{2\pi }f(r,\theta )d\theta$（$r(\theta )$ 不能作为外层积分限）

6.4 特殊技巧集锦

技巧1：对称性利用

若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $y$ 是奇函数，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=0$$

技巧2：分区域积分

若 $D=D_1\cup D_2$（不重叠），则：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_1}f(x,y)dxdy+{\iint }_{D_2}f(x,y)dxdy$$

技巧3：换元简化边界

例如：$D$ 由 $y=x^2$，$y=2x^2$，$xy=1$，$xy=2$ 围成

令 $u=\frac{y}{x^2}$，$v=xy$，则 $\Delta =[1,2]\times [1,2]$（矩形！）

技巧4：极坐标的变形

$\bullet$ 对数极坐标：$x=e^u\cos v$，$y=e^u\sin v$（用于螺线）

$\bullet$ 双曲极坐标：$x=r\cosh \theta$，$y=r\sinh \theta$（用于双曲线）

第七章：理论深化与推广

7.1 与曲线积分的关系

Green公式是变量变换的理论基础：

$${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_L(Pdx+Qdy)$$

在证明面积变换引理时，我们本质上利用了Green公式在 $xy$ 和 $uv$ 两个平面上的对应关系。

7.2 推广到三重积分

三重积分变换公式：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw$$

其中：

$$J(u,v,w) = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}$$

常用变换：

1. 球坐标： $$x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$$ $$J=r^2\sin \phi ,dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

2. 柱坐标： $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$$ $$J=r,dV=rdrd\theta dz$$

7.3 微分形式的观点

从现代数学角度看，变量变换公式是微分形式的**拉回（pullback）**操作：

$$\omega =f(x,y)dx\wedge dy$$

在变换 $T:(u,v)\to (x,y)$ 下：

$$T^{\ast }\omega =f(x(u,v),y(u,v))\cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}du\wedge dv$$

这里外微分的楔积自动给出Jacobian行列式！

7.4 数值计算视角

在计算机数值积分中，变量变换用于：

1. 奇异性处理：将奇异点变换到区域边界
2. 无穷区域处理：将无穷区域变换到有界区域
3. 自适应网格：将网格稠密区变换到重要区域

第八章：综合应用与习题指导

8.1 曲线积分与路径无关性

问题7：为使曲线积分 ${\int }_{L}F(x,y)(ydx+xdy)$ 与路径无关，$F(x,y)$ 应满足什么条件？

解答：

曲线积分 ${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关的充要条件是：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

这里 $P=F(x,y)y$，$Q=F(x,y)x$，所以：

$$\frac{\partial P}{\partial y}=F(x,y)+y\frac{\partial F}{\partial y}$$

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=F(x,y)+x\frac{\partial F}{\partial x}$$

因此条件是：

$$\boxed{y\frac{\partial F}{\partial y}=x\frac{\partial F}{\partial x}}$$

即 $F$ 满足齐次函数的Euler条件（若 $F$ 是0次齐次函数）。

解：$F(x,y)=g(y/x)$（任意可微函数 $g$）

8.2 封闭曲线积分为零

问题9：证明对任何光滑封闭曲线 $L$，有 ${\oint }_{L}f(xy)(ydx+xdy)=0$。

证明：

令 $u=xy$，则：

$$d(xy)=ydx+xdy$$

所以：

$${\oint }_{L}f(xy)(ydx+xdy)={\oint }_{L}f(u)du$$

由于 $u=xy$ 是单值函数，沿封闭曲线 $L$ 一周后回到起点，$u$ 的值不变：

$${\oint }_{L}f(u)du=F(u){|}_{\text{起点}}^{\text{起点}}=0$$

其中 $F$ 是 $f$ 的任一原函数。

8.3 散度定理应用

问题10：设 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 上有二阶连续偏导数，证明：

$${\iint }_D\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)dxdy={\oint }_L\frac{\partial u}{\partial n}ds$$

证明：

设 $L$ 的外法向量为 $\mathbf{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则：

$$\frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot \mathbf{n}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta$$

由于 $ds\cos \alpha =dy$，$ds\cos \beta =-dx$（考虑正向），所以：

$${\oint }_L\frac{\partial u}{\partial n}ds={\oint }_L\left(\frac{\partial u}{\partial x}dy-\frac{\partial u}{\partial y}dx\right)$$

应用Green公式（$P=-\frac{\partial u}{\partial y}$，$Q=\frac{\partial u}{\partial x}$）：

$$={\iint }_D\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)dxdy$$

这就是二维的散度定理（或称为Green第一恒等式）。

💡 核心要点总结

理论核心

1. Jacobian行列式是变量变换的灵魂，表示面积缩放因子
2. 面积变换引理是证明一般变换公式的关键
3. 极坐标变换虽不满足一对一条件，但通过极限方法仍然成立

计算核心

1. 牢记 $dxdy=|J(u,v)|dudv$
2. 极坐标中 $dxdy=rdrd\theta$（最易错！）
3. 新区域 $\Delta$ 的确定是成败关键

应用核心

1. 圆域、扇形 → 极坐标
2. 椭圆域 → 广义极坐标
3. 复杂边界 → 针对性设计变换，力求 $\Delta$ 为矩形

重要公式

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv}$$

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr}$$

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

这个完整的知识体系涵盖了二重积分变量变换的所有核心内容，从理论基础到实际应用，从计算技巧到理论深化，适合作为教材补充、复习资料或技术文档使用。