完整知识体系：二重积分的变量替换与极坐标变换

Complete Knowledge System: Change of Variables in Double Integrals and Polar Coordinates

📚 目录 (Table of Contents)

1. 核心概念架构
2. 变量替换的理论基础
3. Jacobi行列式详解
4. 极坐标变换
5. 广义极坐标变换
6. 典型例题与解题策略
7. 完整思维导图
8. 深度拓展知识

🎯 第一部分：核心概念架构

1.1 整体知识地图

二重积分变量替换体系
│
├── 理论基础
│   ├── 一元积分换元法回顾
│   ├── 多元函数变量替换
│   └── 面积元素的变换
│
├── Jacobi行列式
│   ├── 定义与计算
│   ├── 几何意义（面积放大因子）
│   └── 非退化条件 (J ≠ 0)
│
├── 变量替换定理（定理21.11）
│   ├── 充分条件
│   ├── 变换公式
│   └── 应用范围
│
├── 极坐标变换
│   ├── 标准极坐标 (r, θ)
│   ├── Jacobi行列式 J = r
│   ├── 适用区域类型
│   └── 面积元素 dσ = r dr dθ
│
└── 应用技巧
    ├── 区域变换策略
    ├── 被积函数简化
    └── 对称性利用

1.2 知识层次结构

Level 1: 问题背景
    → 直角坐标系的局限性
    → 某些区域和函数形式复杂
    
Level 2: 理论准备
    → 一元换元法的推广
    → 面积元素如何变换？
    
Level 3: 核心工具
    → Jacobi行列式
    → 面积放大因子
    
Level 4: 变换定理
    → 定理21.11（一般变换）
    → 定理21.12（极坐标）
    
Level 5: 典型应用
    → 圆形区域
    → 扇形区域
    → 椭圆区域

📐 第二部分：变量替换的理论基础

2.1 从一元积分换元法说起

一元积分换元公式回顾

定理（一元换元法） 设 $x=\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上具有连续导数，且 $\phi (\alpha )=a$，$\phi (\beta )=b$，则：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

关键要素：

变换关系：x = φ(t)
├─ 函数变换：f(x) → f(φ(t))
├─ 微元变换：dx → φ'(t)dt
└─ 积分限变换：[a,b] → [α,β]

推广到二重积分的思路

一元积分                    二重积分
────────────────────    ────────────────────
变换：x = φ(t)          变换：x = φ(u,v)
                              y = ψ(u,v)

微元：dx = φ'(t)dt      微元：dσ = |J| du dv
                        其中 J 是 Jacobi 行列式

区域：[a,b] → [α,β]    区域：D_{xy} → D_{uv}

2.2 面积元素的变换问题

核心问题陈述

问题： 当进行变量替换 $$\{\begin{array}{l}x=\phi (u,v)\\ y=\psi (u,v)\end{array}$$ 时，面积元素 $d\sigma =dxdy$ 如何变换？

几何直观分析

xy平面上的小矩形              uv平面上的小矩形
┌─────────┐                  ┌─────────┐
│ dx × dy │   ←─变换─────    │ du × dv │
└─────────┘                  └─────────┘
  面积: dσ                      面积: du·dv

问题：dσ 与 du·dv 的关系？
答案：dσ ≈ |J(u,v)| du dv

线性近似分析

考虑 $uv$ 平面上的小矩形 $[u,u+\Delta u]\times [v,v+\Delta v]$，它在变换下对应 $xy$ 平面上的曲边四边形。

四个顶点的变换：

uv平面                     xy平面
────────────────────    ────────────────────
P₀: (u, v)       →      Q₀: (x, y)
P₁: (u+Δu, v)    →      Q₁: (x+∂x/∂u·Δu, y+∂y/∂u·Δu)
P₂: (u, v+Δv)    →      Q₂: (x+∂x/∂v·Δv, y+∂y/∂v·Δv)
P₃: (u+Δu,v+Δv)  →      Q₃: ...

向量表示： $$\overrightarrow{Q_0{Q}_1}\approx \left(\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u,\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u\right)$$

$$\overrightarrow{Q_0{Q}_2}\approx \left(\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v,\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v\right)$$

面积计算： $$\Delta \sigma \approx |\overrightarrow{Q_0{Q}_1}\times \overrightarrow{Q_0{Q}_2}|=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\Delta u\Delta v$$

🔢 第三部分：Jacobi行列式详解

3.1 定义与记号

正式定义

定义（Jacobi行列式） 设变换 $$T:\{\begin{array}{l}x=\phi (u,v)\\ y=\psi (u,v)\end{array}$$

则 Jacobi行列式（或称 Jacobian）定义为：

$$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$

多种记号

Jacobi行列式的常见记号：

1. J(u,v)

2. ∂(x,y)/∂(u,v)

3. |∂(x,y)/∂(u,v)|  （取绝对值）

4. det(Dφ)  （微分矩阵的行列式）

5. 在物理中常记为 g = |J|

3.2 计算方法与技巧

标准计算流程

Step 1: 写出变换关系
    x = φ(u,v)
    y = ψ(u,v)
    
Step 2: 计算偏导数
    ∂x/∂u, ∂x/∂v
    ∂y/∂u, ∂y/∂v
    
Step 3: 构造矩阵
    ┌ ∂x/∂u  ∂x/∂v ┐
    │              │
    └ ∂y/∂u  ∂y/∂v ┘
    
Step 4: 计算行列式
    J = (∂x/∂u)(∂y/∂v) - (∂x/∂v)(∂y/∂u)
    
Step 5: 取绝对值（用于积分）
    |J| = |J(u,v)|

典型例子

例1：极坐标变换

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

计算： $$J = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$$

因此 $|J|=r$（当 $r>0$ 时）

例2：线性变换

$$\{\begin{array}{l}x=au+bv\\ y=cu+dv\end{array}$$

计算： $$J = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

这正是线性代数中的矩阵行列式！

例3：伸缩变换

$$\{\begin{array}{l}x=au\\ y=bv\end{array}$$

计算： $$J = \begin{vmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{vmatrix} = ab$$

几何意义： 面积放大 $|ab|$ 倍

3.3 几何意义深度解析

面积放大因子

核心结论： $$\boxed{\text{变换后面积}=|J|\times \text{原面积}}$$

可视化说明：

uv平面                           xy平面
┌─────┐                         ╱────╲
│ 单位 │  ───变换T─────→       ╱  面积 ╲
│ 正方形│                       ╲ = |J| ╱
└─────┘                         ╲────╱
面积=1                          面积=|J|

线性映射的特殊情况

对于线性变换 $T(u,v)=(au+bv,cu+dv)$：

性质：
1. J 为常数（与 (u,v) 无关）
2. 所有区域面积都放大 |J| 倍
3. 平行四边形 → 平行四边形
4. J = 0 ⟺ 变换退化（映到直线或点）

非线性映射的局部线性化

对于一般变换，Jacobi行列式给出局部的面积放大因子：

$$\Delta {\sigma }_{xy}\approx |J(u_0,v_0)|\cdot \Delta {\sigma }_{uv}$$

在点 $(u_0,v_0)$ 附近

3.4 非退化条件

定义（非退化变换） 如果 $J(u,v)\ne 0$ 在区域 $D$ 的内部，则称变换 $T$ 在 $D$ 上非退化。

几何意义：

J ≠ 0  ⟺  变换局部可逆
       ⟺  不把二维区域压缩成低维对象
       ⟺  保持区域的"二维性"

反例（退化变换）： $$\{\begin{array}{l}x=u\\ y=u\end{array}$$

$$J = \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$

所有点都被映到直线 $y=x$ 上！

🌟 第四部分：变量替换定理

4.1 定理21.11（一般变量替换）

定理陈述

定理21.11 设 $f(x,y)$ 在 $xOy$ 平面的闭区域 $\bar{D}$ 上连续，变换 $T$： $$\{\begin{array}{l}x=\phi (u,v)\\ y=\psi (u,v)\end{array}$$

满足：

1. $T$ 是从 $uOv$ 平面上的闭区域 $\bar{\Delta }$ 到 $\bar{D}$ 上的一一映射
2. $\phi (u,v)$ 和 $\psi (u,v)$ 在 $\bar{\Delta }$ 上具有连续的一阶偏导数
3. 在 $\Delta$ 的内部 Jacobi 行列式 $J(u,v)\ne 0$

则有： $$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(\phi (u,v),\psi (u,v))\left|J(u,v)\right|dudv}$$

定理结构分解

定理的三个组成部分：
┌──────────────────────────────────────┐
│ 1. 函数变换                          │
│    f(x,y) → f(φ(u,v), ψ(u,v))      │
├──────────────────────────────────────┤
│ 2. 面积元素变换                      │
│    dx dy → |J(u,v)| du dv          │
├──────────────────────────────────────┤
│ 3. 区域变换                          │
│    D (xy平面) → Δ (uv平面)         │
└──────────────────────────────────────┘

充分条件的必要性

条件1（一一映射）：

• 保证变换可逆
• 避免重复计算或遗漏

条件2（连续可微）：

• 保证Jacobi行列式存在
• 保证面积变换公式有效

条件3（非退化）：

• 保证变换不退化
• 保证局部可逆性

记忆口诀

变量替换三步曲：
1. 换函数（代入新变量）
2. 换微元（乘上 |J|）
3. 换区域（找对应关系）

4.2 证明思路（直观说明）

证明框架：
┌────────────────────────────────────┐
│ Step 1: 分割 Δ 为小矩形            │
│   Δᵢⱼ = [uᵢ,uᵢ₊₁] × [vⱼ,vⱼ₊₁]     │
└────────┬───────────────────────────┘
         │
┌────────▼───────────────────────────┐
│ Step 2: 变换到 xy 平面             │
│   Dᵢⱼ = T(Δᵢⱼ) （小曲边四边形）   │
└────────┬───────────────────────────┘
         │
┌────────▼───────────────────────────┐
│ Step 3: 面积近似                   │
│   |Dᵢⱼ| ≈ |J(ξᵢ,ηⱼ)| |Δᵢⱼ|        │
└────────┬───────────────────────────┘
         │
┌────────▼───────────────────────────┐
│ Step 4: Riemann 和                 │
│   ∬_D f ≈ Σf(xᵢⱼ,yᵢⱼ)|Dᵢⱼ|        │
│        ≈ Σf(φ,ψ)|J|·|Δᵢⱼ|         │
└────────┬───────────────────────────┘
         │
┌────────▼───────────────────────────┐
│ Step 5: 取极限                     │
│   ‖T‖ → 0 时两边极限相等          │
└────────────────────────────────────┘

4.3 应用策略

何时使用变量替换？

使用指标：
✓ 区域边界在新坐标下更简单
✓ 被积函数在新坐标下更简单
✓ 存在明显的对称性
✓ 区域是圆形、椭圆形、扇形等

不适用情况：
✗ 变换使问题更复杂
✗ Jacobi行列式难以计算
✗ 变换不满足定理条件

选择变换的原则

原则1：区域简化优先

复杂区域 → 矩形/扇形等标准区域
例：椭圆 x²/a² + y²/b² ≤ 1
    → 圆 u² + v² ≤ 1

原则2：被积函数简化

复杂函数 → 简单函数
例：f(x²+y²) → f(r²)

原则3：利用对称性

旋转对称 → 极坐标
轴对称 → 适当的线性变换

🎡 第五部分：极坐标变换

5.1 标准极坐标系

基本定义

极坐标变换公式： $$\boxed{\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}}$$

其中：

• $r\ge 0$ —— 极径（到原点的距离）
• $\theta$ —— 极角（与正 $x$ 轴的夹角）

反变换： $$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta =\arctan (y/x)\text{（需考虑象限）}\end{array}$$

几何意义

    y ↑
      │     P(x,y)
      │    /│
      │   / │y=r·sinθ
      │  /  │
      │ /θ  │
      │/────┴──────→ x
    O      x=r·cosθ

极坐标的几何解释：
• r: 点P到原点的距离
• θ: 向量OP与正x轴的夹角
• (x,y) 是P的直角坐标
• (r,θ) 是P的极坐标

5.2 Jacobi行列式的计算

计算过程： $$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}$$

$$= \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}$$

$$=\cos \theta \cdot r\cos \theta -(-r\sin \theta )\cdot \sin \theta$$

$$=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$$

结论： $$\boxed{|J|=r(r>0)}$$

5.3 定理21.12（极坐标下的二重积分）

定理陈述

定理21.12 若 $f(x,y)$ 在闭区域 $\bar{D}$ 上连续，且 $D$ 可以表示为： $$D=\{(r,\theta )\mid \alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )\}$$

其中 $0\le \beta -\alpha \le 2\pi$，${\phi }_1(\theta )$，${\phi }_2(\theta )$ 连续，则：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdr}$$

记忆形式： $$\boxed{d\sigma =dxdy=rdrd\theta }$$

积分顺序的灵活性

先 $r$ 后 $\theta$（常用）： $${\iint }_{D}f={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

先 $\theta$ 后 $r$（有时更简单）： 当区域可表示为： $$D=\{(r,\theta )\mid r_1\le r\le r_2,{\theta }_1(r)\le \theta \le {\theta }_2(r)\}$$

则： $${\iint }_{D}f={\int }_{r_1}^{r_2}dr{\int }_{{\theta }_1(r)}^{{\theta }_2(r)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rd\theta$$

5.4 适用区域类型

类型1：圆形区域

标准圆： $x^2+y^2\le a^2$

极坐标描述： $$D=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le a,0\le \theta \le 2\pi \}$$

    y ↑
      │   ╱───╲
      │  │  D  │  r ≤ a
      │  │  ·  │  0 ≤ θ ≤ 2π
      │   ╲───╱
      └─────────→ x
      O

类型2：扇形区域

扇形： $x^2+y^2\le a^2$，$\alpha \le \theta \le \beta$

    y ↑
      │    ╱
      │   ╱ D
      │  ╱────╲
      │ │      │
      └─┴──────┴─→ x
      O   θ∈[α,β]

极坐标描述： $$D=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le a,\alpha \le \theta \le \beta \}$$

类型3：圆环区域

圆环： $a^2\le x^2+y^2\le b^2$

    y ↑
      │  ╱─────╲
      │ │╱───╲ │
      │ ││ D  ││  a ≤ r ≤ b
      │ │╲___╱ │
      │  ╲─────╱
      └─────────→ x

极坐标描述： $$D=\{(r,\theta )\mid a\le r\le b,0\le \theta \le 2\pi \}$$

类型4：心形线内部

心形线： $r=a(1+\cos \theta )$

    y ↑
      │  ╱──╲
      │ │╱──╲│
      │ ││ D ││
      │  ╲__╱│
      └──────┴─→ x

极坐标描述： $$D=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le a(1+\cos \theta ),0\le \theta \le 2\pi \}$$

类型5：偏心圆

圆心在$(a,0)$，半径为$a$： $(x-a{)}^2+y^2=a^2$

展开：$x^2+y^2=2ax$

极坐标：$r^2=2ar\cos \theta$

即：$r=2a\cos \theta$

    y ↑
      │     ╱─╲
      │    │ D │  r = 2a·cosθ
      │     ╲_╱   -π/2 ≤ θ ≤ π/2
      └─────·───→ x
      O    (a,0)

极坐标描述： $$D=\left\{(r,\theta )\mid 0\le r\le 2a\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right\}$$

🎨 第六部分：典型例题与解题策略

6.1 例1：计算圆形区域上的二重积分

例1 计算 ${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$，其中 $D$ 是圆域 $x^2+y^2\le a^2$

解法分析

问题特征：
✓ 区域：圆形（极坐标天然适配）
✓ 被积函数：x²+y² = r²（极坐标下简单）

结论：使用极坐标变换

详细求解

Step 1: 建立极坐标描述 $$D:\{\begin{array}{l}0\le r\le a\\ 0\le \theta \le 2\pi \end{array}$$

Step 2: 变换被积函数 $$x^2+y^2=r^2$$

Step 3: 变换面积元素 $$dxdy=rdrd\theta$$

Step 4: 建立极坐标积分 $${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^2\cdot rdr={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^{3}dr$$

Step 5: 计算 $$={\int }_0^{2\pi }{\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^{a}d\theta ={\int }_0^{2\pi }\frac{a^4}{4}d\theta =\frac{a^4}{4}\cdot 2\pi =\boxed{\frac{\pi a^4}{2}}$$

几何意义验证：

物理意义：圆盘对原点的转动惯量（密度为1）
答案量纲：[长度]⁴ ✓
当a=0时，结果为0 ✓
关于a单调递增 ✓

6.2 例2：计算半圆上的二重积分

例2 计算 ${\iint }_D{e}^{-x^2-y^2}dxdy$，其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$

区域分析

    y ↑
      │  ╱───╲
      │ │  D  │  上半圆
      ├─┴─────┴─→ x
     -1   O   1

极坐标描述：
• 0 ≤ r ≤ 1
• 0 ≤ θ ≤ π  （只取上半部分）

求解过程

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D{e}^{-x^2-y^2}dxdy& ={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^1{e}^{-r^2}\cdot rdr\\ & ={\int }_0^{\pi }d\theta \cdot {\int }_0^{1}r{e}^{-r^2}dr\\ & =\pi \cdot {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^1\\ & =\pi \cdot \left(-\frac{1}{2}{e}^{-1}+\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\pi }{2}(1-e^{-1})\\ & =\boxed{\frac{\pi (e-1)}{2e}}\end{array}$$

关键技巧： $\int r{e}^{-r^2}dr=-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}+C$（凑微分）

6.3 例3：Gauss积分的计算

例3 计算广义积分 $I={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

巧妙方法：利用二重积分

核心思想： $$I^2=\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

转换为极坐标： $$I^2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{+\infty }{e}^{-r^2}rdr$$

计算内层积分： $${\int }_0^{+\infty }r{e}^{-r^2}dr={\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^{+\infty }=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

计算外层积分： $$I^2={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}d\theta =\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi$$

最终结果： $$I=\sqrt{\pi }\Rightarrow \boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

重要性： 这是概率论中正态分布的归一化常数！

6.4 例4：椭圆区域的变换

例4 计算 ${\iint }_{D}xydxdy$，其中 $D$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$

方法：广义极坐标（椭圆坐标）

变换： $$\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta \\ y=br\sin \theta \end{array}$$

Jacobi行列式： $$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr$$

区域变换： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =r^2\le 1$$

所以： $$D^{\prime }=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi \}$$

积分计算： $$\begin{array}{rl}{\iint }_{D}xydxdy& ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1(ar\cos \theta )(br\sin \theta )\cdot abrdr\\ & =a^2{b}^2{\int }_0^{2\pi }\sin \theta \cos \theta d\theta {\int }_0^1{r}^{3}dr\\ & =a^2{b}^2\cdot {\left[\frac{{\sin }^2\theta }{2}\right]}_0^{2\pi }\cdot {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^1\\ & =a^2{b}^2\cdot 0\cdot \frac{1}{4}\\ & =\boxed{0}\end{array}$$

原因分析： 被积函数 $xy$ 是奇函数，区域关于坐标轴对称，积分为零！

6.5 例5：偏心圆区域

例5 计算 ${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$，其中 $D$ 是由圆 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$ 围成的区域

区域分析

    y ↑
      │     ╱─╲
      │    │ D │  圆心(1,0)
      │     ╲_╱   半径1
      └─────·───→ x
      O    (1,0)  2

极坐标方程： $$(x-1{)}^2+y^2=1$$ $$x^2-2x+1+y^2=1$$ $$x^2+y^2=2x$$ $$r^2=2r\cos \theta$$ $$r=2\cos \theta$$

区域描述： $$D:\{\begin{array}{l}0\le r\le 2\cos \theta \\ -\pi /2\le \theta \le \pi /2\end{array}$$

积分计算

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D(x^2+y^2)dxdy& ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }{r}^2\cdot rdr\\ & ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^{2\cos \theta }d\theta \\ & ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{16{\cos }^4\theta }{4}d\theta \\ & =4{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta \end{array}$$

使用降幂公式： $${\cos }^4\theta ={\left(\frac{1+\cos 2\theta }{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2\theta +{\cos }^{2}2\theta }{4}$$

$$=\frac{1+2\cos 2\theta +\frac{1+\cos 4\theta }{2}}{4}=\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}$$

继续计算： $$\begin{array}{rl}& =4{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}d\theta \\ & =\frac{1}{2}{\left[3\theta +2\sin 2\theta +\frac{\sin 4\theta }{4}\right]}_{-\pi /2}^{\pi /2}\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3\pi }{2}+0+0\right)-\left(-\frac{3\pi }{2}+0+0\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}\cdot 3\pi \\ & =\boxed{\frac{3\pi }{2}}\end{array}$$

6.6 例6：改变积分顺序的应用

例6 计算 ${\int }_0^{a}dx{\int }_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy$（$a>0$）

识别区域

原积分对应区域： $$D=\left\{(x,y)\mid 0\le x\le a,0\le y\le \sqrt{a^2-x^2}\right\}$$

这是第一象限内半径为 $a$ 的四分之一圆！

    y ↑
    a │╲
      │ ╲ D
      │  ╲
      └───╲──→ x
      O    a

极坐标求解

极坐标描述： $$D:\{\begin{array}{l}0\le r\le a\\ 0\le \theta \le \pi /2\end{array}$$

被积函数变换： $$\sqrt{x^2+y^2}=r$$

积分计算： $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{a}dx{\int }_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy& ={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{a}r\cdot rdr\\ & ={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^a{r}^{2}dr\\ & ={\int }_0^{\pi /2}{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{a}d\theta \\ & ={\int }_0^{\pi /2}\frac{a^3}{3}d\theta \\ & =\frac{a^3}{3}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\boxed{\frac{\pi a^3}{6}}\end{array}$$

如果不用极坐标： 直接计算 ${\int }_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy$ 会非常复杂！

🧠 第七部分：完整思维导图

7.1 变量替换决策树

graph TD
    A[开始：二重积分计算] --> B{区域形状分析}
    
    B --> C[圆形/扇形/圆环]
    B --> D[椭圆形]
    B --> E[矩形但函数复杂]
    B --> F[其他复杂区域]
    
    C --> G[标准极坐标]
    D --> H[广义极坐标/椭圆坐标]
    E --> I[考虑一般变换]
    F --> J{能否分解?}
    
    G --> K[x=rcosθ, y=rsinθ]
    K --> L[dσ = r dr dθ]
    
    H --> M[x=arcosθ, y=brsinθ]
    M --> N[dσ = abr dr dθ]
    
    I --> O[设计变换T]
    O --> P[计算Jacobi行列式]
    P --> Q[应用定理21.11]
    
    J -->|是| R[分解为简单区域]
    J -->|否| S[寻找合适变换]
    
    L --> T[建立累次积分]
    N --> T
    Q --> T
    R --> T
    S --> T
    
    T --> U[逐层计算]
    U --> V[得到答案]

7.2 知识体系总图（ASCII）

二重积分变量替换知识体系
│
├─ 理论基础
│  ├─ 一元换元法类比
│  ├─ 面积元素变换原理
│  └─ 线性近似思想
│
├─ 核心工具：Jacobi行列式
│  ├─ 定义：J = ∂(x,y)/∂(u,v)
│  ├─ 计算方法
│  │   ├─ 直接展开
│  │   └─ 行列式性质
│  ├─ 几何意义
│  │   ├─ 面积放大因子
│  │   └─ 局部线性化
│  └─ 非退化条件：J ≠ 0
│
├─ 变换定理
│  ├─ 定理21.11（一般变换）
│  │   ├─ 充分条件
│  │   │   ├─ 一一映射
│  │   │   ├─ 连续可微
│  │   │   └─ 非退化
│  │   └─ 变换公式
│  │       ∬_D f(x,y)dxdy = ∬_Δ f(φ,ψ)|J|dudv
│  │
│  └─ 定理21.12（极坐标）
│      ├─ 标准形式
│      │   x = rcosθ, y = rsinθ
│      ├─ Jacobi行列式：J = r
│      └─ 面积元素：dσ = r dr dθ
│
├─ 典型变换
│  ├─ 极坐标变换
│  │   ├─ 适用区域
│  │   │   ├─ 圆形
│  │   │   ├─ 扇形
│  │   │   ├─ 圆环
│  │   │   └─ 心形线等极坐标曲线
│  │   └─ 适用函数
│  │       ├─ f(x²+y²)
│  │       ├─ f(√(x²+y²))
│  │       └─ 旋转对称函数
│  │
│  ├─ 广义极坐标
│  │   ├─ 椭圆坐标
│  │   │   x = arcosθ, y = brsinθ
│  │   │   J = abr
│  │   └─ 其他推广
│  │
│  └─ 线性变换
│      ├─ 仿射变换
│      └─ 伸缩旋转
│
└─ 应用技巧
   ├─ 区域判断
   │   └─ 画图→识别→选择变换
   ├─ 函数简化
   │   └─ 匹配对称性
   ├─ 积分顺序选择
   │   ├─ 先r后θ（常用）
   │   └─ 先θ后r（特殊情况）
   └─ 特殊技巧
       ├─ 对称性利用
       ├─ 分解复合
       └─ Gauss积分技巧

7.3 解题流程图

二重积分变量替换完整流程
│
Step 1: 问题分析
├─ 确定积分区域 D
├─ 分析被积函数 f(x,y)
└─ 识别对称性和特殊性
│
Step 2: 变换选择
├─ 判断区域类型
│   ├─ 圆形系 → 极坐标
│   ├─ 椭圆形 → 广义极坐标
│   └─ 其他 → 设计专门变换
├─ 检查函数形式
│   ├─ f(x²+y²) → 极坐标
│   └─ f(ax+by) → 线性变换
└─ 权衡计算复杂度
│
Step 3: 建立变换
├─ 写出变换公式
│   T: (u,v) → (x,y)
├─ 计算Jacobi行列式
│   J = ∂(x,y)/∂(u,v)
└─ 验证非退化性
    J ≠ 0 在内部
│
Step 4: 区域变换
├─ 找D的边界方程
├─ 转换为uv坐标
├─ 确定新区域 Δ
└─ 画出Δ的示意图
│
Step 5: 函数变换
├─ 代入变换关系
│   f(x,y) → f(φ(u,v), ψ(u,v))
└─ 简化表达式
│
Step 6: 建立新积分
├─ ∬_D f(x,y)dxdy
│   → ∬_Δ f(φ,ψ)|J|dudv
├─ 确定积分限
└─ 选择积分顺序
│
Step 7: 逐层计算
├─ 计算内层积分
├─ 计算外层积分
└─ 得到最终结果
│
Step 8: 验证检查
├─ 量纲分析
├─ 特殊情况验证
├─ 对称性检验
└─ 数值估计合理性

7.4 极坐标适用性判断图

是否使用极坐标？
│
├─ 区域判断
│  ├─ ✓ 圆形：x²+y² ≤ a²
│  ├─ ✓ 扇形：x²+y² ≤ a², α≤θ≤β
│  ├─ ✓ 圆环：a² ≤ x²+y² ≤ b²
│  ├─ ✓ 圆的一部分（四分之一等）
│  ├─ ✓ 极坐标曲线围成
│  │     r = f(θ)
│  └─ ✗ 矩形、三角形等
│
├─ 函数判断
│  ├─ ✓ f(x²+y²)
│  ├─ ✓ f(√(x²+y²))
│  ├─ ✓ e^(-(x²+y²))
│  ├─ ✓ (x²+y²)^n
│  ├─ ✓ ln(x²+y²)
│  └─ ✗ f(x)·g(y)（分离变量型）
│
├─ 综合判断
│  ├─ 区域✓ + 函数✓ → 强烈推荐
│  ├─ 区域✓ + 函数✗ → 可以尝试
│  ├─ 区域✗ + 函数✓ → 看情况
│  └─ 区域✗ + 函数✗ → 不推荐
│
└─ 特殊技巧
   ├─ 广义极坐标（椭圆）
   ├─ 极坐标+分解
   └─ 与直角坐标结合

📚 第八部分：深度拓展知识

8.1 广义极坐标系统

椭圆坐标系

变换公式： $$\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta \\ y=br\sin \theta \end{array}$$

Jacobi行列式： $$J=abr$$

面积元素： $$d\sigma =abrdrd\theta$$

适用区域： 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$

抛物坐标系

变换公式： $$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\ y=uv\end{array}$$

Jacobi行列式： $$J = \begin{vmatrix} u & -v \ v & u \end{vmatrix} = u^2 + v^2$$

应用： 某些抛物线围成的区域

8.2 三维的推广

柱坐标系

变换： $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$$

Jacobi行列式： $$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=r$$

体积元素： $$dV=rdrd\theta dz$$

球坐标系

变换： $$\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$$

Jacobi行列式： $$J={\rho }^2\sin \phi$$

体积元素： $$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$$

8.3 Jacobi行列式的深层理论

链式法则

对于复合变换： $$(x,y)\stackrel{T_1}{\to }(u,v)\stackrel{T_2}{\to }(s,t)$$

有： $$J_{(x,y)\to (s,t)}=J_{(x,y)\to (u,v)}\cdot J_{(u,v)\to (s,t)}$$

行列式形式： $$\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\cdot \frac{\partial (u,v)}{\partial (s,t)}$$

逆变换的Jacobi行列式

若 $T:(u,v)\to (x,y)$ 可逆，则： $$J_{T^{-1}}=\frac{1}{J_T}$$

即： $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\frac{1}{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}$$

证明思路： 利用复合函数求导的链式法则

8.4 重要不等式与估计

Cauchy-Schwarz不等式的积分形式

$${\left({\iint }_{D}f(x,y)g(x,y)d\sigma \right)}^2\le {\iint }_D{f}^2(x,y)d\sigma \cdot {\iint }_D{g}^2(x,y)d\sigma$$

积分中值定理（极坐标形式）

若 $f$ 在圆盘 $x^2+y^2\le R^2$ 上连续，则存在 $0\le r_0\le R$，$0\le {\theta }_0<2\pi$，使得：

$${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}f(x,y)dxdy=f(r_0\cos {\theta }_0,r_0\sin {\theta }_0)\cdot \pi R^2$$

8.5 物理应用

应用1：平面薄板的质心（极坐标）

设定：

• 薄板占据区域 $D$（圆形或扇形）
• 面密度 $\rho (r,\theta )$

质量： $$M={\iint }_D\rho (r,\theta )rdrd\theta$$

质心坐标： $$\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}r\cos \theta \cdot \rho (r,\theta )rdrd\theta$$

$$\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}r\sin \theta \cdot \rho (r,\theta )rdrd\theta$$

应用2：极惯性矩

定义： 薄板对原点O的转动惯量

$$I_O={\iint }_D{r}^2\rho (r,\theta )\cdot rdrd\theta ={\iint }_D{r}^3\rho (r,\theta )drd\theta$$

例： 均匀圆盘（$\rho =\sigma =\text{常数}$，$0\le r\le a$）

$$I_O=\sigma {\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^{3}dr=\sigma \cdot 2\pi \cdot \frac{a^4}{4}=\frac{\pi \sigma a^4}{2}$$

若总质量 $M=\sigma \pi a^2$，则： $$I_O=\frac{M{a}^2}{2}$$

应用3：平均值公式

圆盘上的平均值： $$\overline{f}=\frac{1}{\pi R^2}{\iint }_{x^2+y^2\le R^2}f(x,y)dxdy$$

极坐标形式： $$\overline{f}=\frac{1}{\pi R^2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

特例： 若 $f$ 仅依赖于 $r$： $$\overline{f}=\frac{2}{R^2}{\int }_0^{R}f(r)rdr$$

8.6 数值积分方法

极坐标网格上的数值积分

矩形法则（极坐标）： $${\iint }_{D}f(r,\theta )rdrd\theta \approx \sum _{i=1}^{n_r}\sum _{j=1}^{n_{\theta }}f(r_i,{\theta }_j)r_i\Delta r\Delta \theta$$

优点： 对圆形区域自然适配

缺点： 极点附近精度问题（$r\to 0$）

改进方法

自适应网格：

• 极点附近细化径向网格
• 外围可用较粗网格

变步长策略： $$\Delta r_i=\frac{R}{n}\cdot \left(1+\alpha \frac{i}{n}\right)$$

参数 $\alpha$ 控制非均匀程度

🎓 第九部分：习题解析指南

9.1 习题21.3.1：区域变换

题目： 将下列二重积分化为极坐标形式的累次积分

(1) ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le 2x$

区域分析： $$x^2+y^2\le 2x$$ $$x^2-2x+y^2\le 0$$ $$(x-1{)}^2+y^2\le 1$$

这是圆心在 $(1,0)$，半径为 $1$ 的圆

极坐标方程： $$r^2=2r\cos \theta$$ $$r=2\cos \theta$$

θ的范围： 圆过原点，对应 $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$

答案： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

(2) ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le 2y$

区域分析： $$x^2+y^2\le 2y$$ $$x^2+y^2-2y\le 0$$ $$x^2+(y-1{)}^2\le 1$$

圆心在 $(0,1)$，半径为 $1$

极坐标方程： $$r^2=2r\sin \theta$$ $$r=2\sin \theta$$

θ的范围： 圆过原点，对应 $0\le \theta \le \pi$

答案： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

(3) ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le 2ax$ $(a>0)$

区域分析： $$x^2+y^2\le 2ax$$ $$(x-a{)}^2+y^2\le a^2$$

圆心在 $(a,0)$，半径为 $a$

极坐标方程： $$r^2=2ar\cos \theta$$ $$r=2a\cos \theta$$

θ的范围： $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$

答案： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2a\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

9.2 习题21.3.2：具体计算

(1) ${\iint }_{D}xdxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le ax$ $(a>0)$

极坐标形式： $$r=a\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

计算： $$\begin{array}{rl}{\iint }_{D}xdxdy& ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{a\cos \theta }r\cos \theta \cdot rdr\\ & ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \theta d\theta {\int }_0^{a\cos \theta }{r}^{2}dr\\ & ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \theta \cdot {\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{a\cos \theta }d\theta \\ & ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \theta \cdot \frac{a^3{\cos }^3\theta }{3}d\theta \\ & =\frac{a^3}{3}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta \end{array}$$

使用对称性和降幂公式： $${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta =2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta$$

利用递推公式或已知结果： $${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta =\frac{3\pi }{16}$$

最终答案： $${\iint }_{D}xdxdy=\frac{a^3}{3}\cdot 2\cdot \frac{3\pi }{16}=\boxed{\frac{\pi a^3}{8}}$$

(2) ${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$，其中 $D:x^2+y^2\le 2y$

极坐标形式： $$r=2\sin \theta ,0\le \theta \le \pi$$

计算： $$\begin{array}{rl}{\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy& ={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }r\cdot rdr\\ & ={\int }_0^{\pi }{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{2\sin \theta }d\theta \\ & ={\int }_0^{\pi }\frac{8{\sin }^3\theta }{3}d\theta \\ & =\frac{8}{3}{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta \end{array}$$

计算 ${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta$： $${\sin }^3\theta =\sin \theta (1-{\cos }^2\theta )$$

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta ={\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta -{\int }_0^{\pi }\sin \theta {\cos }^2\theta d\theta$$

$$=[-\cos \theta {]}_0^{\pi }-{\left[-\frac{{\cos }^3\theta }{3}\right]}_0^{\pi }$$

$$=[1-(-1)]-\left[-\frac{(-1{)}^3}{3}+\frac{1}{3}\right]$$

$$=2-\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right]=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

最终答案： $${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy=\frac{8}{3}\cdot \frac{4}{3}=\boxed{\frac{32}{9}}$$

9.3 综合例题：Gauss积分的推广

例 计算 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{x}^2}dx$（$a>0$）

方法： 利用Gauss积分结果

令 $x=\frac{t}{\sqrt{a}}$，则 $dx=\frac{dt}{\sqrt{a}}$

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{x}^2}dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2}\cdot \frac{dt}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{a}}}$$

推论： 正态分布的归一化 $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=1$$

9.4 挑战题：Dirichlet积分

题目： 证明对于 $\alpha ,\beta >0$： $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{\alpha }\theta {\cos }^{\beta }\theta d\theta =\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{\beta +1}{2}\right)}{2\Gamma \left(\frac{\alpha +\beta +2}{2}\right)}$$

提示： 利用二重积分和极坐标

考虑： $$I={\iint }_D{x}^{\alpha }{y}^{\beta }dxdy$$

其中 $D$ 是第一象限的单位圆：$x^2+y^2\le 1$，$x,y\ge 0$

直角坐标（先x后y）： $$I={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{\sqrt{1-y^2}}{x}^{\alpha }{y}^{\beta }dx={\int }_0^1{y}^{\beta }\cdot \frac{(1-y^2{)}^{(\alpha +1)/2}}{\alpha +1}dy$$

极坐标： $$I={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^1(r\cos \theta {)}^{\alpha }(r\sin \theta {)}^{\beta }rdr$$

$$={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{\alpha }\theta {\sin }^{\beta }\theta d\theta {\int }_0^1{r}^{\alpha +\beta +1}dr$$

$$=\frac{1}{\alpha +\beta +2}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{\beta }\theta {\cos }^{\alpha }\theta d\theta$$

通过比较两种方法，可建立与Beta函数和Gamma函数的联系。

🔍 第十部分：常见错误与陷阱

10.1 错误类型分析

错误1：忘记Jacobi行列式

错误示例： $${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy\ne {\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^{2}dr\text{❌}$$

正确： $${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^2\cdot rdr\text{✓}$$

教训： 极坐标变换必须有因子 $r$！

错误2：θ范围确定错误

错误示例： 圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 在极坐标下 $0\le \theta \le 2\pi$ ❌

分析：

这个圆过原点，不能完整地用
0 ≤ θ ≤ 2π 描述！

正确范围：-π/2 ≤ θ ≤ π/2

验证方法：

• 在 $\theta =\pi$ 时，$r=2\cos \pi =-2<0$ 不合法
• 应该 $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ 使得 $\cos \theta \ge 0$

错误3：忽略取绝对值

错误示例： 变换 $x=-u$，$y=v$

$$J = \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$$

使用 $d\sigma =-1\cdot dudv$ ❌

正确： $$d\sigma =|J|dudv=|-1|dudv=dudv\text{✓}$$

原因： 面积永远非负！

错误4：变换条件不满足

错误示例： 变换 $x=u^2$，$y=v^2$

在 $u=0$ 或 $v=0$ 处： $$J = \begin{vmatrix} 2u & 0 \ 0 & 2v \end{vmatrix} = 4uv$$

当 $u=0$ 或 $v=0$ 时，$J=0$（退化！）

处理：

• 可能需要分区域讨论
• 或在边界上单独处理（通常测度为零，不影响积分值）

错误5：区域对应关系混乱

问题： 原区域 $D$ 在 $xy$ 平面 新区域 $\Delta$ 在 $uv$ 平面

错误： 在 $xy$ 平面建立积分限 ❌

正确： 积分限应该对应 $\Delta$（$uv$ 平面）✓

检查方法：

∬_D f(x,y)dxdy = ∬_Δ f(φ(u,v), ψ(u,v))|J|dudv
                    ↑
                这里的积分区域是Δ（uv平面）

10.2 常见陷阱与应对

陷阱1：被积函数未完全变换

示例： $${\iint }_D{x}^{2}dxdy$$

变为极坐标时：

错误： $\int \int x^2\cdot rdrd\theta$ ❌

正确： $\int \int (r\cos \theta {)}^2\cdot rdrd\theta =\int \int r^3{\cos }^2\theta drd\theta$ ✓

陷阱2：极坐标曲线方程记忆混淆

常见混淆：

圆 (x-a)² + y² = a²
正确极坐标：r = 2a·cosθ
错误记忆：r = a·cosθ ❌

记忆技巧： 将圆方程展开 $$x^2+y^2=2ax$$ $$r^2=2ar\cos \theta$$ $$r=2a\cos \theta$$

陷阱3：多值函数问题

例： $\theta =\arctan (y/x)$ 的多值性

问题：

• $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 都对应 $\tan \theta =1$
• 但它们的 $\theta$ 相差 $\pi$！

解决： 使用 atan2(y,x) 或根据象限判断

第一象限：θ = arctan(y/x)
第二象限：θ = π + arctan(y/x)
第三象限：θ = π + arctan(y/x)
第四象限：θ = 2π + arctan(y/x)

10.3 检查清单

✅ 变换前检查：

• 区域是否适合所选变换？
• 被积函数能否简化？
• 变换是否一一对应？
• 是否满足定理条件？

✅ 变换中检查：

• Jacobi行列式计算正确？
• 绝对值是否已取？
• 所有 $x$, $y$ 都已替换？
• 区域对应关系明确？

✅ 变换后检查：

• 积分限是否对应新区域？
• 极坐标的 $r$ 因子是否存在？
• θ 范围是否合理？
• 积分顺序是否合适？

✅ 计算后检查：

• 量纲是否正确？
• 特殊情况是否成立？
• 对称性是否反映？
• 数值合理性？

💎 第十一部分：高级主题与研究方向

11.1 微分形式的观点

微分形式理论

在现代数学中，变量替换可以用微分形式优雅地表述。

1-形式： $$\omega =f(x,y)dx+g(x,y)dy$$

2-形式： $$\eta =f(x,y)dx\wedge dy$$

其中 $\wedge$ 是外积（wedge product）

变换法则： 若 $x=\phi (u,v)$，$y=\psi (u,v)$，则：

$$dx\wedge dy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}du\wedge dv=J\cdot du\wedge dv$$

优势：

• 自动处理符号（不需要绝对值判断）
• 推广到高维更自然
• 与微分几何、拓扑学联系紧密

11.2 测度论的观点

Lebesgue积分下的变量替换

定理（测度论版本） 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是 $C^1$ 可逆映射，$f$ 是可积函数，则：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)dy={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(T(x))|J_T(x)|dx$$

关键： Jacobi行列式给出了测度变换的Radon-Nikodym导数

$$d{\mu }_y=|J_T(x)|d{\mu }_x$$

11.3 推广到流形上

曲面上的积分

对于参数化曲面 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$：

面积元素： $$dS=\left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right|dudv$$

这是二维Jacobi行列式的推广到三维嵌入曲面！

计算： $$\left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right|=\sqrt{EG-F^2}$$

其中 $E,F,G$ 是第一基本形式的系数。

11.4 计算机实现

Python实现示例

import numpy as np
from scipy import integrate

def double_integral_polar(f, r_range, theta_range):
    """
    极坐标下的二重积分
    f: 被积函数 f(r, theta)
    r_range: (r_min, r_max) 或函数
    theta_range: (theta_min, theta_max)
    """
    def integrand(r, theta):
        return f(r, theta) * r  # 注意r因子！
    
    if callable(r_range):
        # r的范围依赖于theta
        def integral_r(theta):
            return integrate.quad(
                lambda r: integrand(r, theta),
                0, r_range(theta)
            )[0]
        
        result = integrate.quad(
            integral_r,
            theta_range[0], theta_range[1]
        )[0]
    else:
        # r的范围是常数
        result = integrate.dblquad(
            integrand,
            theta_range[0], theta_range[1],
            r_range[0], r_range[1]
        )[0]
    
    return result

# 示例：计算圆盘上 x^2+y^2
def f_polar(r, theta):
    return r**2  # x^2+y^2 = r^2

result = double_integral_polar(
    f_polar,
    (0, 1),  # 0 ≤ r ≤ 1
    (0, 2*np.pi)  # 0 ≤ θ ≤ 2π
)
print(f"结果: {result}")  # 应该接近 π/2

符号计算（SymPy）

from sympy import *

# 定义符号
r, theta, a = symbols('r theta a', real=True, positive=True)

# 定义被积函数（极坐标形式）
f = r**2 * r  # (x^2+y^2) * r，注意r因子

# 计算积分
integral = integrate(f, (r, 0, a), (theta, 0, 2*pi))
print(f"∬(x²+y²)dσ = {integral}")  # π*a^4/2

11.5 与其他数学分支的联系

二重积分变量替换的数学网络
│
├─ 微分几何
│  ├─ 曲面的第一基本形式
│  ├─ 面积元素的内蕴定义
│  └─ Gauss曲率与面积
│
├─ 复分析
│  ├─ 保角映射
│  ├─ Jacobi行列式 = |f'(z)|²
│  └─ 格林定理的复形式
│
├─ 拓扑学
│  ├─ 连续映射的度
│  ├─ 定向与Jacobi行列式符号
│  └─ 不动点定理
│
├─ 偏微分方程
│  ├─ 变量替换简化PDE
│  ├─ 特征坐标法
│  └─ 相似解
│
├─ 变分法
│  ├─ Euler-Lagrange方程
│  ├─ 泛函的变换
│  └─ 测地线问题
│
└─ 物理学
   ├─ 广义坐标（分析力学）
   ├─ 守恒律与对称性
   └─ 场论中的坐标变换

📊 第十二部分：知识对比与总结

12.1 直角坐标 vs 极坐标

12.2 累次积分 vs 变量替换

12.3 一元换元 vs 二元换元

一元积分换元          二元积分变量替换
─────────────────    ─────────────────────
x = φ(t)             x = φ(u,v)
                     y = ψ(u,v)

dx = φ'(t)dt         dσ = |J|dudv
                     J = ∂(x,y)/∂(u,v)

f(x) → f(φ(t))       f(x,y) → f(φ(u,v), ψ(u,v))

∫f(x)dx              ∬f(x,y)dxdy
= ∫f(φ(t))φ'(t)dt    = ∬f(φ,ψ)|J|dudv

[a,b] → [α,β]        D → Δ

关键：φ'(t)          关键：Jacobi行列式 J

12.4 知识演进图

历史发展脉络
│
17世纪：笛卡尔坐标系
│       └─ 解析几何诞生
│
17-18世纪：微积分发展
│          ├─ Newton, Leibniz
│          └─ 一元积分理论
│
18世纪：多重积分
│       ├─ Euler（二重积分）
│       └─ 极坐标的系统使用
│
19世纪：变量替换理论
│       ├─ Jacobi（行列式，1841）
│       ├─ 一般变换定理
│       └─ Riemann积分理论
│
20世纪：现代化
│       ├─ Lebesgue测度论
│       ├─ 微分形式（Cartan）
│       └─ 广义相对论的启发
│
21世纪：计算与应用
        ├─ 数值方法
        ├─ 计算机代数系统
        └─ 数据科学中的应用

🎯 第十三部分：学习路线图

13.1 初学者路径（基础）

Week 1-2: 预备知识
├─ 复习一元积分换元法
├─ 极坐标基础
└─ 行列式计算

Week 3-4: 理论学习
├─ Jacobi行列式定义
├─ 面积元素变换原理
├─ 定理21.11, 21.12陈述
└─ 简单例子

Week 5-6: 极坐标熟练
├─ 圆形区域计算
├─ 扇形、圆环
├─ 常见极坐标曲线
└─ 20道基础练习

Week 7-8: 一般变换
├─ 椭圆坐标
├─ 线性变换
├─ 设计简单变换
└─ 综合应用

13.2 进阶学习路径

Level 1: 掌握基础
       ├─ 标准例题100题
       └─ 常见错误总结

Level 2: 深入理解
       ├─ 定理证明细节
       ├─ 几何意义探究
       └─ 特殊情况分析

Level 3: 拓展应用
       ├─ 物理问题建模
       ├─ 数值方法实现
       └─ 与其他知识联系

Level 4: 理论提升
       ├─ 测度论观点
       ├─ 微分形式
       └─ 流形上的积分

Level 5: 研究前沿
       ├─ 阅读相关论文
       ├─ 探索开放问题
       └─ 创新应用

13.3 练习题难度分级

⭐ 基础题（巩固概念）

1. 计算圆形区域上简单函数的积分
2. 标准极坐标变换
3. Jacobi行列式计算练习

⭐⭐ 中等题（技巧训练）

1. 偏心圆、椭圆区域
2. 广义极坐标变换
3. 积分顺序与变换结合

⭐⭐⭐ 困难题（综合应用）

1. 复杂区域分解
2. 设计新变换
3. 优化计算策略

⭐⭐⭐⭐ 挑战题（研究性）

1. Gauss积分及其推广
2. 与级数、极限结合
3. 多参数族积分

🌟 第十四部分：核心要点总结

14.1 必须记住的公式

┌─────────────────────────────────────────┐
│  ★ 核心公式卡片 ★                      │
├─────────────────────────────────────────┤
│                                         │
│ 1. Jacobi行列式定义                     │
│    J = ∂(x,y)/∂(u,v)                   │
│      = ∂x/∂u · ∂y/∂v - ∂x/∂v · ∂y/∂u  │
│                                         │
│ 2. 变量替换公式                         │
│    ∬_D f(x,y)dxdy                      │
│    = ∬_Δ f(φ,ψ)|J|dudv                │
│                                         │
│ 3. 极坐标变换                           │
│    x = r·cosθ, y = r·sinθ             │
│    J = r                                │
│    dσ = r dr dθ                        │
│                                         │
│ 4. 椭圆坐标                             │
│    x = a·r·cosθ, y = b·r·sinθ         │
│    J = abr                              │
│                                         │
│ 5. Gauss积分                            │
│    ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x²}dx = √π         │
│                                         │
└─────────────────────────────────────────┘

14.2 解题口诀

变量替换五字诀：
    看、想、算、代、查

看：观察区域和函数特征
想：设计或选择合适变换
算：计算Jacobi行列式
代：代入新变量
查：验证条件和结果

14.3 常见区域的极坐标描述