第二章 数列极限：完整知识体系

Complete Knowledge System of Sequence Limits

知识体系导读 | Introduction
本章系统构建数列极限的完整理论框架，从极限的精确定义出发，通过单调有界定理、致密性定理和柯西收敛准则三大基本定理，建立起数列收敛性判别的完整体系。这不仅是数学分析的基础，更是理解连续性、微分、积分等后续理论的关键。

📊 完整思维导图 | Complete Mind Map

数列极限理论体系
│
├─ 核心概念层 (Conceptual Foundation)
│  ├─ 数列的定义与表示
│  ├─ 极限的ε-N定义
│  ├─ 无穷小与无穷大
│  └─ 收敛、发散的概念
│
├─ 性质定理层 (Properties & Theorems)
│  ├─ 极限的唯一性
│  ├─ 收敛数列的有界性
│  ├─ 保号性与保不等式性
│  ├─ 子列性质
│  └─ 四则运算法则
│
├─ 存在性判别层 (Convergence Criteria) ★核心★
│  ├─ 单调有界定理 (Monotone Convergence)
│  │  ├─ 单调性定义
│  │  ├─ 有界性要求
│  │  └─ 确界原理应用
│  │
│  ├─ 致密性定理 (Bolzano-Weierstrass)
│  │  ├─ 有界数列必有收敛子列
│  │  ├─ 子列构造方法
│  │  └─ 存在性证明
│  │
│  └─ 柯西收敛准则 (Cauchy Criterion) ★充要条件★
│     ├─ 必要性证明
│     ├─ 充分性证明
│     └─ 实数系完备性的体现
│
├─ 计算方法层 (Computational Techniques)
│  ├─ 分式型极限（除以最高次）
│  ├─ 根式有理化
│  ├─ 重要极限的应用
│  │  ├─ (1+1/n)^n → e
│  │  └─ n次根号下常数 → 1
│  ├─ 夹逼定理
│  ├─ Stolz定理
│  └─ 递推数列的处理
│
└─ 应用拓展层 (Applications & Extensions)
   ├─ 数学常数e的定义
   ├─ 无限小数的收敛性
   ├─ 上确界作为极限
   ├─ Cesàro平均定理
   └─ 增长速度比较(n!, a^n, n^k)

第一部分：理论基础 | Theoretical Foundation

1.1 数列极限的精确定义

定义 2.1（ε-N定义）

设 $\{a_n\}$ 为数列，$a$ 为定数。若对任给的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $$|a_n-a|<\epsilon$$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，记作 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\text{或}{a}_n\to a(n\to \infty )$$

几何意义：

• $\epsilon$ 代表以 $a$ 为中心的"邻域"半径
• $N$ 是"充分大"的临界点
• 数列从第 $N+1$ 项起，全部落入区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 内

逻辑结构： $$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:|a_n-a|<\epsilon$$

1.2 收敛数列的基本性质

定理 2.2（唯一性）

收敛数列的极限是唯一的。

证明：反证法。假设 $\lim a_n=a$ 且 $\lim a_n=b$，其中 $a\ne b$。取 $\epsilon =\frac{|a-b|}{2}>0$，则：

• 存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|a_n-a|<\epsilon$
• 存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|a_n-b|<\epsilon$

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时： $$|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le |a_n-a|+|a_n-b|<2\epsilon =|a-b|$$

矛盾！故极限唯一。✓

定理 2.3（有界性）

收敛数列必定有界。

证明：设 $\lim a_n=a$，取 $\epsilon =1$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<1$，即 $|a_n|<|a|+1$。

令 $M=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_N|,|a|+1\}$，则对所有 $n$，有 $|a_n|\le M$。✓

注意：逆命题不成立！有界数列不一定收敛（如 $\{(-1{)}^n\}$）。

定理 2.4（保号性）

若 $\lim a_n=a>0$（或 $<0$），则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$a_n>0$（或 $<0$）。

推论（保不等式性）： 若 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$，且从某项起 $a_n\le b_n$，则 $a\le b$。

注意：严格不等号变为非严格！（如 $a_n=\frac{1}{n}>0$，但 $\lim a_n=0$）

定理 2.5（四则运算法则）

若 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$，则：

1. $\lim (a_n\pm b_n)=a\pm b$
2. $\lim (a_n\cdot b_n)=a\cdot b$
3. $\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$ （$b\ne 0$，且 $b_n\ne 0$）

重要推论：

• 有界数列与无穷小的乘积仍为无穷小
• 若一个数列收敛，另一个发散，则和（差）必发散
• 但乘积不一定发散（如 $0\times n=0$）

1.3 子列的性质

定义 2.6（子列）

从数列 $\{a_n\}$ 中按原有顺序抽取无穷多项，构成的新数列称为 $\{a_n\}$ 的子列，记作 $\{a_{n_k}\}$，其中 $n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$。

性质：

• 原数列收敛于 $a$ $\Rightarrow$ 任何子列都收敛于 $a$
• 存在两个子列收敛于不同极限 $\Rightarrow$ 原数列发散
• 奇数项子列、偶数项子列同时收敛于同一极限 $\Rightarrow$ 原数列收敛于该极限

第二部分：极限存在性判别 | Convergence Criteria

这是本章的核心内容，提供了三种不同视角判断数列是否收敛。

2.1 单调有界定理 | Monotone Convergence Theorem

定理 2.9（单调有界定理）

在实数系中，有界的单调数列必有极限。

定义：

• 递增数列：$a_n\le a_{n+1}$ （$\forall n$）
• 递减数列：$a_n\ge a_{n+1}$ （$\forall n$）
• 严格单调：上述不等号为严格不等号

证明思路（以递增有界为例）：

1. 设 $\{a_n\}$ 递增且有上界
2. 由确界原理，$a=\sup \{a_n\}$ 存在
3. 证明 $\lim a_n=a$：
   • 对任给 $\epsilon >0$，由上确界定义，存在 $a_N$ 使得 $a-\epsilon <a_N$
   • 由递增性，当 $n\ge N$ 时，$a-\epsilon <a_N\le a_n\le a<a+\epsilon$
   • 即 $|a_n-a|<\epsilon$ ✓

关键要点：

• 单调性 + 有界性 是充分条件，不是必要条件
• 递增有界数列极限为其上确界
• 递减有界数列极限为其下确界

应用示例

例1：证明数列 $a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$ 收敛

证明：

(1) 单调性：显然 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1{)}^2}>a_n$，数列递增。

(2) 有界性： $$a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot n}$$

利用裂项：$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ $$a_n<1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+1-\frac{1}{n}<2$$

由单调有界定理，$\{a_n\}$ 收敛。✓

例2：嵌套根式 $a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}$ （$n$ 个根号）收敛性

证明：

(1) 单调性：易见 $a_1=\sqrt{2}<a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$，且 $$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>a_n\iff 2+a_n>a_n^2\iff a_n^2-a_n-2<0\iff -1<a_n<2$$

由归纳法，若 $a_n<2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=2$，故 $a_n<2$ 恒成立，因此递增。

(2) 有界性：已证 $a_n<2$。

由单调有界定理，设 $\lim a_n=a$，则： $$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\Rightarrow a=\sqrt{2+a}\Rightarrow a^2=2+a\Rightarrow a=2\text{ 或 }a=-1$$

由保不等式性，$a\ge a_1=\sqrt{2}>0$，故 $a=2$。

结论：$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{\text{n个根号}}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}=2$

2.2 数学常数 e 的定义

例4：证明极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 存在

证明：设 $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$。

(1) 单调性：由二项式定理 $$a_n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}$$

$$=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

当 $n$ 增大时，每一项都增大，且项数增多，因此 $a_n$ 递增（严格证明需更细致）。

(2) 有界性： $$a_n<1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}<3$$

由单调有界定理，极限存在，记作 $e$： $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx 2.718281828459\cdots$$

性质：

• $e$ 是无理数（可证）
• $e={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots$
• 自然对数：$\ln x={\log }_{e}x$

2.3 致密性定理 | Bolzano-Weierstrass Theorem

定理 2.10（致密性定理/聚点定理）

任何有界数列必定有收敛的子列。

证明思路：

引理（例5）：任何数列都存在单调子列。

证明分两种情况：

情况1：数列中有无穷多个"高峰"（某项后面没有比它更大的项）

• 这些"高峰"构成递减子列

情况2：从某项起，后面总有更大的项

• 从该项起逐步选取更大的项，构成递增子列

定理证明：

• 有界数列 $\Rightarrow$ 存在单调子列（引理）
• 单调子列 + 有界 $\Rightarrow$ 收敛（单调有界定理）✓

重要推论：

• 无界数列必有发散到 $\pm \infty$ 的子列
• 有界但振荡的数列，虽然本身不收敛，但必有收敛子列

应用：上确界作为极限

例3：若 $S$ 为有界数集，$\sup S=a\in S$（即上确界属于该集合），则存在严格递增数列 $\{x_n\}\subset S$，使得 $\lim x_n=a$。

证明：

取 ${\epsilon }_n=\min \left\{\frac{1}{n},a-x_{n-1}\right\}$，由上确界定义，存在 $x_n\in S$ 使得： $$a-{\epsilon }_n<x_n<a$$

且 $x_n>a-{\epsilon }_n\ge a-(a-x_{n-1})=x_{n-1}$，故 $\{x_n\}$ 严格递增。

又 $|x_n-a|<{\epsilon }_n\le \frac{1}{n}\to 0$，故 $\lim x_n=a$。✓

2.4 柯西收敛准则 | Cauchy Convergence Criterion

定理 2.11（柯西收敛准则）★充要条件★

数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：对任给的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得当 $n,m>N$ 时，有 $$|a_n-a_m|<\epsilon$$

几何意义：

• 收敛数列的各项越到后面越"挤"在一起
• 无需知道极限值 $a$，只需考察数列本身

理论意义：

• 这是实数系完备性的体现
• 将 $|a_n-a|<\epsilon$ 转化为 $|a_n-a_m|<\epsilon$

证明

(1) 必要性（收敛 $\Rightarrow$ 柯西条件）：

设 $\lim a_n=a$，对任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n,m>N$ 时： $$|a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m|\le |a_n-a|+|a-a_m|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

(2) 充分性（柯西条件 $\Rightarrow$ 收敛）：

步骤1：证明数列有界
取 ${\epsilon }_0=1$，存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，$|a_n-a_{N_0+1}|<1$。
令 $M=\max \{|a_1|,\dots ,|a_{N_0}|,|a_{N_0+1}|+1\}$，则 $|a_n|\le M$ （$\forall n$）。

步骤2：由致密性定理，$\{a_n\}$ 有收敛子列 $\{a_{n_k}\}$，设 $\lim a_{n_k}=a$。

步骤3：证明 $\lim a_n=a$
对任给 $\epsilon >0$，由柯西条件，存在 $N_1$，当 $n,m>N_1$ 时，$|a_n-a_m|<\frac{\epsilon }{2}$。
由子列收敛，存在 $K$，当 $k>K$ 时，$|a_{n_k}-a|<\frac{\epsilon }{2}$。
取 $n_k>N_1$ 且 $k>K$，则当 $n>N_1$ 时： $$|a_n-a|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

证毕！✓

应用示例

例7：无限十进小数的收敛性

命题：无限十进小数 $\alpha =0.b_1{b}_2{b}_3\cdots$ 的 $n$ 位不足近似值数列 $$a_n=\frac{b_1}{10}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots +\frac{b_n}{10^n}$$ 满足柯西条件（从而收敛）。

证明：

不妨设 $n>m$，则： $$|a_n-a_m|=\left|\frac{b_{m+1}}{10^{m+1}}+\cdots +\frac{b_n}{10^n}\right|\le \frac{9}{10^{m+1}}+\cdots +\frac{9}{10^n}$$

$$=\frac{9}{10^{m+1}}\cdot \frac{1-10^{-(n-m)}}{1-10^{-1}}<\frac{9}{10^{m+1}}\cdot \frac{10}{9}=\frac{1}{10^m}$$

对任给 $\epsilon >0$，取 $N=\lceil -{\log }_{10}\epsilon \rceil$，则当 $n>m>N$ 时，$|a_n-a_m|<\epsilon$。✓

注：这解释了为什么 $0.\overline{9}=1$，因为其不足近似值数列收敛于1。

第三部分：极限计算方法 | Computational Techniques

3.1 基本计算策略

类型1：分式型极限

方法：分子分母同时除以 $n$ 的最高次幂

示例： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n+2}{n+3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}=\frac{4}{1}=4$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{\sqrt{n^4+2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n^4}}}=\frac{1}{1}=1$$

类型2：根式差型（$\infty -\infty$）

方法：有理化

示例： $$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+n}-n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}$$

类型3：指数型极限

方法：提取最快增长项

示例： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2{)}^{n+1}+3^{n+1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n\left[{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n+1\right]}{3^{n+1}\left[-2{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n+1\right]}=\frac{0+1}{3(-0+1)}=\frac{1}{3}$$

类型4：幂指型（$1^{\infty }$）

方法：利用重要极限 $\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$

示例： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2n-1}{2n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^n={\left[{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-2n}\right]}^{-1/2}=e^{-1/2}$$

3.2 重要极限公式

3.3 夹逼定理 | Squeeze Theorem

定理 2.6（夹逼定理）

若从某项起，$a_n\le b_n\le c_n$，且 $\lim a_n=\lim c_n=L$，则 $\lim b_n=L$。

应用示例：

例：证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0$

证明：当 $n\ge 3$ 时， $$0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdots \frac{2}{n}\le \frac{4}{2}\cdot \frac{2}{n}=\frac{4}{n}\to 0$$

由夹逼定理，原极限为0。✓

3.4 Stolz定理 | Stolz-Cesàro Theorem

定理（Stolz定理，$\frac{\infty }{\infty }$ 型）

若 $\{b_n\}$ 严格递增趋于 $+\infty$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L$$

应用（Cesàro平均定理）：

定理 2.12：若 $\lim a_n=a$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a$$

证明：令 $A_n=a_1+\cdots +a_n$，$b_n=n$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_n-A_{n-1}}{n-(n-1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$$

由Stolz定理，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_n}{n}=a$。✓

第四部分：增长速度比较 | Growth Rate Comparison

4.1 标准增长层级

从慢到快排列： $$\ln n\ll n^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll a^n\ll b^n\ll n!\ll n^n$$ 其中 $0<\alpha <\beta$，$1<a<b$。

示例： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^{100}}{2^n}=0\text{（指数战胜多项式）}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0\text{（阶乘战胜指数）}$$

4.2 最值型极限

定理（多项和的 $n$ 次根）

设 $a_1,a_2,\dots ,a_m>0$，则 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=\max \{a_1,a_2,\dots ,a_m\}$$

证明：不妨设 $a_1=\max \{a_i\}$，则 $$a_1^n\le \sum _{i=1}^m{a}_i^n\le m\cdot a_1^n$$

开 $n$ 次方： $$a_1\le \sqrt[n]{\sum a_i^n}\le \sqrt[n]{m}\cdot a_1$$

由 $\sqrt[n]{m}\to 1$，夹逼定理得证。✓

第五部分：典型综合例题 | Comprehensive Examples

例题1：无穷乘积极限

题目：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\alpha )(1+{\alpha }^2)(1+{\alpha }^4)\cdots (1+{\alpha }^{2^{n-1}})$，其中 $|\alpha |<1$。

解：设 $P_n={\prod }_{k=0}^{n-1}(1+{\alpha }^{2^k})$。

利用平方差公式： $$(1-\alpha )P_n=(1-\alpha )(1+\alpha )(1+{\alpha }^2)\cdots =(1-{\alpha }^2)(1+{\alpha }^2)\cdots =\cdots =1-{\alpha }^{2^n}$$

故： $$P_n=\frac{1-{\alpha }^{2^n}}{1-\alpha }$$

由 $|\alpha |<1$，${\alpha }^{2^n}\to 0$，因此： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\frac{1}{1-\alpha }$$

例题2：幂次差极限

题目：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }[(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }]$，其中 $0<\alpha <1$。

解（拉格朗日中值定理思想）：

令 $f(x)=x^{\alpha }$，则 $f^{\prime }(x)=\alpha x^{\alpha -1}$。

由中值定理，存在 $\xi \in (n,n+1)$： $$(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }=f^{\prime }(\xi )\cdot 1=\alpha {\xi }^{\alpha -1}$$

由于 $n<\xi <n+1$： $$\alpha (n+1{)}^{\alpha -1}<(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }<\alpha n^{\alpha -1}$$

因 $\alpha -1<0$，两边都趋于0，由夹逼定理： $$\underset{n\to \infty }{\lim }[(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }]=0$$

例题3：平方和极限

题目：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}$。

解：利用公式 ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}=\frac{1}{3}$$

📐 核心定理关系图

实数系完备性 (Completeness of ℝ)
         │
         ├─────────────┬──────────────┐
         │             │              │
   确界原理      单调有界定理     柯西收敛准则
(Supremum)    (Monotone Conv.)  (Cauchy Criterion)
         │             │              │
         └──────┬──────┴──────┬───────┘
                │             │
           致密性定理    实际应用
        (Bolzano-Weierstrass)  

三大定理的等价性： 在实数系中，以下三者等价：

1. 确界原理（实数系的完备性公理）
2. 单调有界定理
3. 柯西收敛准则

💡 学习策略与思维导图

判断数列收敛性的流程图

                    数列 {aₙ}
                       │
        ┌──────────────┼──────────────┐
        │              │              │
   能否计算极限?    单调性?        有界性?
        │              │              │
        ↓              ↓              ↓
    四则运算      单调有界定理    致密性定理
    重要极限                    （存在收敛子列）
    夹逼定理                           │
        │                              ↓
        └──────────────┬───────────────┘
                       │
                 柯西收敛准则
               （终极判别法）
                       │
                       ↓
                   结论确定

习题精选与解答

习题2.3 精选

1. 利用 $\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ 求下列极限

(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2n-1}{2n}\right)}^n$

解： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-2n}\right]}^{-1/2}=(e^{-1}{)}^{-1/2}=e^{1/2}=\sqrt{e}$$

注：原答案可能有误，正确答案应为 $\sqrt{e}$ 或 $e^{1/2}$（取决于题目表述）。

2. 证明：若 $\lim a_n=a$，$\lim b_n=b$，且 $a<b$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$a_n<b_n$

证明：

取 $\epsilon =\frac{b-a}{2}>0$，存在 $N_1,N_2$：

• 当 $n>N_1$ 时，$a_n<a+\epsilon =\frac{a+b}{2}$
• 当 $n>N_2$ 时，$b_n>b-\epsilon =\frac{a+b}{2}$

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时： $$a_n<\frac{a+b}{2}<b_n$$

证毕！✓

📚 参考文献与延伸阅读

1. 华东师范大学数学科学学院. 数学分析（第5版·上册）[M]. 高等教育出版社, 2019.
2. Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition). McGraw-Hill, 1976.
3. Tom M. Apostol. Mathematical Analysis (2nd Edition). Addison-Wesley, 1974.
4. 陶哲轩. 陶哲轩实分析（第3版）[M]. 人民邮电出版社, 2018.

🎯 本章知识点自测清单

• 能用ε-N语言精确定义数列极限
• 掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性
• 能判断数列的单调性和有界性
• 会用单调有界定理证明递推数列收敛
• 理解致密性定理并能构造收敛子列
• 掌握柯西收敛准则的使用
• 能计算各类型极限（分式、根式、指数、幂指）
• 会用夹逼定理和Stolz定理
• 理解增长速度的层级关系
• 能灵活运用三大定理解决综合问题

结语

数列极限理论是数学分析的基石。三大存在性定理（单调有界、致密性、柯西准则）从不同角度刻画了实数系的完备性，构成了严密的理论体系。掌握这些内容不仅是学习后续微积分的前提，更是培养严谨数学思维的重要途径。

学习建议：

1. 理解定义的逻辑结构，不要死记硬背
2. 多做证明题，培养严密的逻辑推理能力
3. 掌握计算技巧的同时，更要理解背后的思想
4. 建立知识网络，融会贯通各个定理
5. 重视反例的作用，理解定理的边界条件

本知识体系由 AI 知识架构师基于数学分析教材构建，适用于高等数学、数学分析课程学习，以及考研复习使用。