📚 第十二章 数项级数·§12.4 无穷乘积

Complete Knowledge System & Mind Map

Let me retrieve more content about infinite products: I notice the PDF content provided doesn't contain §12.4 on infinite products. The materials seem to focus on §12.3 (general term series, alternating series, absolute convergence, Abel and Dirichlet criteria). Let me search more thoroughly: Based on the materials provided, I see that the PDFs cover §12.3 (General Term Series) but don't explicitly contain §12.4 on Infinite Products. However, I can create a comprehensive knowledge system for §12.4 Infinite Products using standard mathematical analysis textbook content and the general structure established in the previous sections.

📊 §12.4 完整知识架构

§12.4 无穷乘积 (Infinite Products)
│
├─── 一、基本概念
│    ├─ 1.1 无穷乘积的定义
│    │   ├─ 部分乘积：Pₙ = ∏ₖ₌₁ⁿ uₖ
│    │   └─ 收敛定义：lim Pₙ = P ≠ 0
│    │
│    ├─ 1.2 收敛的必要条件
│    │   └─ ∏uₙ收敛 ⇒ lim uₙ = 1
│    │
│    └─ 1.3 与级数的关系
│        ├─ ∏(1+aₙ) ⟷ Σaₙ
│        └─ ∏uₙ = exp(Σln uₙ)
│
├─── 二、收敛判别法
│    ├─ 2.1 基本判别法
│    │   ├─ 定理12.17：Σaₙ收敛 ⇔ ∏(1+aₙ)收敛
│    │   └─ 条件：aₙ > -1
│    │
│    ├─ 2.2 绝对收敛与条件收敛
│    │   ├─ 绝对收敛：Σ|aₙ|收敛
│    │   └─ 性质：可重排、可结合
│    │
│    └─ 2.3 正项无穷乘积
│        ├─ uₙ > 0
│        └─ 转化为级数Σln uₙ
│
├─── 三、经典无穷乘积
│    ├─ 3.1 Wallis公式
│    │   └─ π/2 = ∏(4n²)/(4n²-1)
│    │
│    ├─ 3.2 Euler乘积公式
│    │   ├─ sin x = x∏(1-x²/n²π²)
│    │   └─ ζ函数的Euler乘积
│    │
│    ├─ 3.3 Weierstrass乘积定理
│    │   └─ 整函数的无穷乘积表示
│    │
│    └─ 3.4 Gamma函数
│        └─ Γ(x)的无穷乘积表示
│
├─── 四、应用
│    ├─ 组合恒等式
│    ├─ 数论中的应用
│    └─ 复变函数论
│
└─── 五、综合练习

一、无穷乘积的基本概念

1.1 无穷乘积的定义

重要说明：

1. 为何要求 $P\ne 0$？

   若允许 $P=0$，会出现病态情况：

   • 如果某个 $u_k=0$，则 $P_n=0$ (对 $n\ge k$)
   • 这样的"收敛"没有实际意义
   • 例：$1\cdot 2\cdot 3\cdot 0\cdot 5\cdot 6\cdots =0$ 应视为发散

2. 与级数的类比：

   • 级数：$\sum u_n=\lim S_n$
   • 乘积：$\prod u_n=\lim P_n$

1.2 收敛的必要条件

证明

设 $\prod u_n=P\ne 0$，即 ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n=P$。

由于 $P\ne 0$，当 $n$ 充分大时，$P_n\ne 0$，因此： $$u_n=\frac{P_n}{P_{n-1}}$$

两边取极限： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P_n}{P_{n-1}}=\frac{\lim P_n}{\lim P_{n-1}}=\frac{P}{P}=1\square$$

推论：

若 $u_n\nrightarrow 1$，则无穷乘积 $\prod u_n$ 发散。

例子：

• $\prod 2=2\cdot 2\cdot 2\cdots$ 发散（$u_n=2\nrightarrow 1$）
• $\prod \frac{1}{2}$ 收敛到0，但按定义视为发散

1.3 与级数的关系

无穷乘积与级数有密切联系。

证明

必要性（$\Rightarrow$）：

设 $\prod u_n=P>0$（收敛），则： $$P_n=\prod _{k=1}^n{u}_k\to P$$

两边取对数： $$\ln P_n=\sum _{k=1}^n\ln u_k\to \ln P$$

因此级数 $\sum \ln u_n$ 收敛到 $\ln P$。

充分性（$\Leftarrow$）：

设 $\sum \ln u_n=L$（收敛），记 $S_n={\sum }_{k=1}^n\ln u_k$，则 $S_n\to L$。

因此： $$P_n=\prod _{k=1}^n{u}_k=\exp (S_n)\to \exp (L)=e^L>0$$

无穷乘积收敛到 $e^L\ne 0$。 $\square$

应用：正项无穷乘积的收敛性可以通过对应级数判断！

二、无穷乘积的收敛判别法

2.1 形如 $\prod (1+a_n)$ 的乘积

最常见的无穷乘积形式是： $$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)=(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)\cdots$$

证明思路

这个定理不完全正确！需要更精确的陈述。

正确版本：

证明(1)（$a_n\ge 0$ 的情形）

关键不等式：对 $x\ge 0$， $$x\le \ln (1+x)\le x\text{（当 0≤x≤1）}$$

更精确地： $$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x(\forall x\ge 0)$$

必要性：

设 $\prod (1+a_n)$ 收敛，由定理12.18，$\sum \ln (1+a_n)$ 收敛。

由不等式 $\ln (1+a_n)\ge \frac{a_n}{1+a_n}$，且当 $n$ 充分大时 $a_n<1$（因为 $a_n\to 0$），有： $$\ln (1+a_n)\approx a_n$$

更严格地，用比较判别法，可证 $\sum a_n$ 收敛。

充分性：

设 $\sum a_n$ 收敛，由 $\ln (1+a_n)\le a_n$（当 $a_n$ 小时）， $$\sum \ln (1+a_n)\le \sum a_n<\infty$$

因此 $\sum \ln (1+a_n)$ 收敛，从而 $\prod (1+a_n)$ 收敛。 $\square$

证明(2)（一般情形，需要 $\sum a_n^2$ 收敛）

当 $a_n$ 可正可负时，情况更复杂。

Taylor展开： $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$

对小的 $|x|$： $$\ln (1+x)=x+O(x^2)$$

因此： $$\sum \ln (1+a_n)\text{ 收敛}⟺\sum a_n\text{ 收敛且}\sum a_n^2\text{ 收敛}$$

详细证明较复杂，此处省略。 $\square$

2.2 绝对收敛的无穷乘积

性质：

1. 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛

2. 可重排性：绝对收敛的无穷乘积任意重排后仍收敛到相同值

3. 可结合律：可以任意加括号

解(1)：${\prod }_{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

方法1：直接计算部分乘积

$$1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$$

$$P_n=\prod _{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot \frac{3\cdot 5}{4^2}\cdots \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$$

分子： $$1\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdots (n-1)\cdot (n+1)$$ $$=[1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)]\cdot [3\cdot 4\cdot 5\cdots (n+1)]$$ $$=(n-1)!\cdot \frac{(n+1)!}{2!}=(n-1)!\cdot \frac{(n+1)!}{2}$$

等等，这样计算复杂。换个方式：

裂项： $$\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k}$$

$$P_n=\prod _{k=2}^n\frac{k-1}{k}\cdot \prod _{k=2}^n\frac{k+1}{k}$$

$$=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)}{2\cdot 3\cdot 4\cdots n}\cdot \frac{3\cdot 4\cdot 5\cdots (n+1)}{2\cdot 3\cdot 4\cdots n}$$

$$=\frac{1}{n}\cdot \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\ne 0$$

收敛，值为 $\boxed{\frac{1}{2}}$。 $\square$

方法2：用级数判别法

$$a_n=-\frac{1}{n^2},\sum a_n=-\sum \frac{1}{n^2}\text{ 收敛}$$

$$\sum a_n^2=\sum \frac{1}{n^4}\text{ 收敛}$$

由定理12.19'，无穷乘积收敛。 $\square$

解(2)：${\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$$a_n=\frac{1}{n},\sum a_n=\sum \frac{1}{n}\text{ 发散（调和级数）}$$

由定理12.19'(1)，无穷乘积发散。

验证： $$P_n=\prod _{k=1}^n\frac{k+1}{k}=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdots \frac{n+1}{n}=n+1\to \infty$$

确实发散。 $\square$

解(3)：${\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{(-1{)}^n}{n}\right)$

$$a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$$

• $\sum a_n=\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛（交错调和级数）✓
• $\sum a_n^2=\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（p-级数，$p=2>1$）✓

由定理12.19'(2)，无穷乘积收敛。 $\square$

三、经典无穷乘积公式

3.1 Wallis公式（华里士公式）

证明思路（用定积分）

关键积分（Wallis积分）： $$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$$

递推关系： $$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$

详细证明：

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$$

分部积分： $$I_n=-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx$$

$$=0+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx$$

$$=(n-1)(I_{n-2}-I_n)$$

$$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$$

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$

计算 $I_{2n}$ 和 $I_{2n+1}$：

初值：$I_0=\frac{\pi }{2}$，$I_1=1$

$$I_{2n}=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$$

$$=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{\pi }{2}$$

$$I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1$$

$$=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

关键不等式：

$$\sin x<x<\tan x(0<x<\pi /2)$$

因此： $${\sin }^{2n+1}x<{\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x$$

积分： $$I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}$$

即： $$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{\pi }{2}<\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$$

整理： $$\frac{[(2n)!!{]}^2}{(2n+1)[(2n-1)!!{]}^2}<\frac{\pi }{2}<\frac{[(2n)!!{]}^2}{(2n-1)[(2n-1)!!{]}^2}$$

当 $n\to \infty$ 时，两边夹逼： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{[(2n)!!{]}^2}{2n\cdot [(2n-1)!!{]}^2}=\frac{\pi }{2}$$

即： $$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{(2n+1)!}\cdot 2n=\underset{n\to \infty }{\lim }\prod _{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}$$

$\square$

Wallis公式的意义：

1. 首次用代数方法联系 $\pi$ 与自然数
2. 计算 $\pi$ 的数值（虽然收敛很慢）
3. Stirling公式的前身

3.2 Euler正弦乘积公式

Euler的"证明"（非严格）

思路：把 $\sin x$ 看作多项式，零点为 $\pm n\pi$ ($n=1,2,3,\dots$)。

类比多项式因式分解： $$P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)$$

Euler大胆假设： $$\sin x=Cx(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )\cdots$$

$$=Cx\prod _{n=1}^{\infty }(x-n\pi )(x+n\pi )=Cx\prod _{n=1}^{\infty }(x^2-n^2{\pi }^2)$$

为确定常数 $C$，改写为： $$\sin x=Cx\prod _{n=1}^{\infty }{n}^2{\pi }^2\left(\frac{x^2}{n^2{\pi }^2}-1\right)$$

$$=Cx\prod _{n=1}^{\infty }(-n^2{\pi }^2)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2}\right)$$

由 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，可确定 $C$，最终得到上述公式。

现代严格证明：需要复变函数论（Weierstrass因子分解定理）。

应用：计算 $\sum \frac{1}{n^2}$

比较 $\sin x$ 的Taylor展开和乘积展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$

$$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2}\right)$$

展开乘积，$x^3$ 项系数： $$-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2{\pi }^2}=-\frac{1}{3!}$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

Basel问题解决！（Euler，1734）

3.3 其他经典公式

Viète公式（最早的无穷乘积，1593）：

$$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$

余弦的无穷乘积：

$$\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1{)}^2{\pi }^2}\right)$$

Γ函数的Weierstrass乘积：

$$\frac{1}{\Gamma (z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}$$

其中 $\gamma$ 是Euler-Mascheroni常数。

四、无穷乘积的应用

4.1 数论中的应用：Euler乘积公式

证明思路（算术基本定理）

每个正整数 $n$ 唯一分解为质因数乘积： $$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$$

因此： $$\frac{1}{n^s}=\frac{1}{p_1^{s{a}_1}}\cdot \frac{1}{p_2^{s{a}_2}}\cdots \frac{1}{p_k^{s{a}_k}}$$

展开乘积： $$\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=\prod _p\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots \right)$$

$$=\left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{2^{2s}}+\cdots \right)\left(1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{3^{2s}}+\cdots \right)\cdots$$

由算术基本定理，展开后恰好得到所有 $\frac{1}{n^s}$。$\square$

应用：Euclid证明质数无穷多个

若质数有限，则乘积有限，但 $\zeta (s)\to \infty$ 当 $s\to 1^{+}$，矛盾！

4.2 组合数学中的应用

生成函数：

$$\prod _{n=1}^{\infty }\frac{1}{1-x^n}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^k$$

其中 $p(k)$ 是 $k$ 的分拆数（partition function）。

4.3 概率论中的应用

独立事件的概率：

若事件 $A_1,A_2,\dots$ 相互独立，则： $$P(A_1\cap A_2\cap \cdots )=\prod _{n=1}^{\infty }P(A_n)$$

五、综合例题

证明（已在例1中完成）

$$P_N=\prod _{n=2}^N\frac{n^2-1}{n^2}=\prod _{n=2}^N\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$$

裂项： $$=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot \frac{3\cdot 5}{4^2}\cdots \frac{(N-1)(N+1)}{N^2}$$

$$=\frac{N+1}{2N}\to \frac{1}{2}\square$$

解

技巧：用 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$

$$=2^2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}\cos \frac{x}{2}$$

$$=2^n\sin \frac{x}{2^n}\prod _{k=1}^n\cos \frac{x}{2^k}$$

整理： $$\prod _{k=1}^n\cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin x}{2^n\sin \frac{x}{2^n}}$$

取极限（用 ${\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$）： $$\prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{x}{2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{2^n\cdot \frac{x}{2^n}}=\frac{\sin x}{x}$$

$$\boxed{\prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{x}}$$

$\square$

证明（用复数方法）

设 $\omega =e^{i\pi /(2n+1)}$，则 ${\omega }^{2n+1}=-1$。

$$2i\sin \frac{k\pi }{2n+1}={\omega }^k-{\omega }^{-k}$$

$$\prod _{k=1}^{n}2i\sin \frac{k\pi }{2n+1}=\prod _{k=1}^n({\omega }^k-{\omega }^{-k})$$

这涉及 $\omega$ 的最小多项式……证明较复杂，留作挑战题。$\square$

六、本节总结

七、课后练习题

基础题

1. 判断下列无穷乘积的敛散性：

(a) ${\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$

(b) ${\prod }_{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right)$

(c) ${\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)$

2. 计算： $$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n(n+1)}\right)$$

提示：裂项 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

进阶题

3. 证明： $$\prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}\right)=\frac{\pi }{2}$$

4. 设 ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+a_n)=2$，其中 $a_n>0$。证明：$\sum a_n$ 发散。

挑战题

5. 用Euler正弦乘积公式证明： $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$$

6. 证明Viète公式： $$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$

结语

无穷乘积是级数理论的自然推广，连接了：

✅ 代数与分析：Euler乘积公式

✅ 几何与数论：Wallis公式与 $\pi$

✅ 离散与连续：乘积与积分

✅ 实数与复数：正弦乘积的推广