太好的补充！您说得对，曲线的渐近线是函数极限的重要应用，我之前遗漏了这个关键内容。让我补充完整的渐近线理论体系。

第七部分：曲线的渐近线 | Asymptotes of Curves ⭐

应用背景：渐近线描述了曲线在无穷远处的变化趋势，是函数极限理论的经典应用，在曲线sketching、物理建模、工程设计中有重要意义。

7.1 渐近线的定义

定义 3.7（渐近线）

若曲线 $C$ 上的动点 $P$ 沿着曲线无限地远离原点时，点 $P$ 与某定直线 $L$ 的距离趋于 $0$，则称直线 $L$ 为曲线 $C$ 的渐近线（Asymptote）。

几何意义：当点 $P$ 趋向无穷远时，曲线无限接近于这条直线，但不一定相交。

        y
        │     曲线 y = f(x)
        │    ∼∼∼∼∼∼∼∼∼
        │  ∼∼         ↗ 无限接近
        │∼∼      渐近线 L: y = kx + b
        │∼───────────────────
        │
        └─────────────────────→ x
                        距离 → 0

7.2 渐近线的三种类型

类型一：水平渐近线（Horizontal Asymptote）

定义 3.7.1

若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$ 或 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$，则直线 $y=b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

求法： $$\boxed{y=b,\text{其中 }b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)}$$

几何特征：与 $x$ 轴平行

例 7.1：求 $f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}$ 的水平渐近线

解： $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{2+0-0}{1+0}=2$$

因此，曲线有水平渐近线 $\boxed{y=2}$。

例 7.2：求 $f(x)=\arctan x$ 的水平渐近线

解： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$

因此，曲线有两条水平渐近线： $$\boxed{y=\frac{\pi }{2}\text{ 和 }y=-\frac{\pi }{2}}$$

    y
    │
π/2 ├───────────── ← 右渐近线
    │         ∼∼∼∼∼
    │      ∼∼∼
    │   ∼∼∼
  0 ├─∼──────────→ x
    │∼∼
    │∼∼∼
-π/2├───────────── ← 左渐近线
    │

类型二：垂直渐近线（Vertical Asymptote）

定义 3.7.2

若 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$ 或 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$ 或 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，则直线 $x=x_0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线。

求法： $$\boxed{x=x_0,\text{其中 }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty }$$

几何特征：与 $y$ 轴平行（垂直于 $x$ 轴）

常见情况：

1. 分式函数的分母零点
2. 对数函数在定义域端点
3. 反三角函数的定义域端点

例 7.3：求 $f(x)=\frac{1}{x-2}$ 的垂直渐近线

解： $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty ,\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty$$

因此，曲线有垂直渐近线 $\boxed{x=2}$。

例 7.4：求 $f(x)=\ln x$ 的垂直渐近线

解： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$$

因此，曲线有垂直渐近线 $\boxed{x=0}$（即 $y$ 轴）。

例 7.5：求 $f(x)=\tan x$ 的垂直渐近线

解： $$\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\tan x=+\infty ,\underset{x\to -{\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\tan x=-\infty$$

因此，曲线有无穷多条垂直渐近线： $$\boxed{x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$$

类型三：斜渐近线（Oblique Asymptote）

定义 3.7.3

若存在常数 $k\ne 0$ 和 $b$，使得当 $x\to \infty$ 时，曲线 $y=f(x)$ 上的点 $P(x,f(x))$ 到直线 $L:y=kx+b$ 的距离趋于 $0$，则称直线 $y=kx+b$ 为曲线的斜渐近线。

定理 3.14（斜渐近线存在的充要条件）

曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线 $y=kx+b$ （当 $x\to +\infty$ 时）的充要条件是：

$$\boxed{\{\begin{array}{ll}k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}& \text{（斜率存在且非零）}\\ b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-kx]& \text{（截距存在）}\end{array}}$$

重要说明：

1. 必须先求 $k$，再求 $b$（顺序不能颠倒）
2. 若 $k=0$，则退化为水平渐近线
3. 若 $k$ 或 $b$ 不存在或为无穷，则不存在斜渐近线
4. 对 $x\to -\infty$ 的情形，有类似结论

证明思路

设曲线上点 $P(x,f(x))$，渐近线为 $L:y=kx+b$。

点 $P$ 到直线 $L$ 的距离为： $$d=|PN|=|PM\cos \alpha |=\frac{|f(x)-(kx+b)|}{\sqrt{1+k^2}}$$

        P(x, f(x))
         │
         │ |PM| = |f(x) - (kx+b)|
         │
         M────────→ L: y = kx + b
        /│
       / │α
      /  │|PN|
     /   │

按渐近线定义，当 $x\to +\infty$ 时，$d\to 0$，即： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(kx+b)]=0$$

即： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-kx]=b\cdots (3)$$

又由于： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-kx}{x}=0$$

展开得： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{f(x)}{x}-k\right]=0$$

即： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=k\cdots (4)$$

由 $(4)$ 求出 $k$，再由 $(3)$ 求出 $b$。

反之，若 $(3)$、$(4)$ 成立，则 $|PN|\to 0$，故 $y=kx+b$ 为渐近线。✓

7.3 斜渐近线的求法步骤

标准流程

Step 1：计算斜率 $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$$

• 若 $k=0$，检查是否存在水平渐近线
• 若 $k=\pm \infty$ 或不存在，则无斜渐近线（当 $x\to +\infty$ 时）

Step 2：计算截距 $$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-kx]$$

• 若 $b$ 存在（有限值），则渐近线为 $y=kx+b$
• 若 $b=\pm \infty$ 或不存在，则无斜渐近线

Step 3：对 $x\to -\infty$ 重复上述步骤（可能得到不同的渐近线）

7.4 典型例题详解

例 7.6：求曲线 $f(x)=\frac{x^2}{x+3}$ 的渐近线

解：

① 垂直渐近线： $$\underset{x\to -3}{\lim }f(x)=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2}{x+3}=\infty$$

因此，$\boxed{x=-3}$ 是垂直渐近线。

② 斜渐近线（$x\to +\infty$）：

Step 1：求斜率 $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x(x+3)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{3}{x}}=1$$

Step 2：求截距 $$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-kx]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{x+3}-x\right]$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-x(x+3)}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3}{1+\frac{3}{x}}=-3$$

因此，$\boxed{y=x-3}$ 是斜渐近线。

③ 验证 $x\to -\infty$： 由于函数关于原点不对称，需要单独计算，但本题中 $x\to -\infty$ 时的结果与 $x\to +\infty$ 相同。

答案总结：

• 垂直渐近线：$x=-3$
• 斜渐近线：$y=x-3$

例 7.7（教材例6）：求曲线 $f(x)=\frac{2x}{x^2+2x-3}$ 的渐近线

解：

① 垂直渐近线：

分解分母： $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$

分母零点为 $x=-3$ 和 $x=1$，检验： $$\underset{x\to -3}{\lim }f(x)=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{2x}{(x+3)(x-1)}=\infty$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x}{(x+3)(x-1)}=\infty$$

因此，$\boxed{x=-3}$ 和 $\boxed{x=1}$ 是垂直渐近线。

② 斜渐近线（$x\to +\infty$）：

Step 1：求斜率 $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{x(x^2+2x-3)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x^2+2x-3}=0$$

由于 $k=0$，检查水平渐近线： $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x^2+2x-3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}=0$$

因此，$\boxed{y=0}$ 是水平渐近线（特殊的斜渐近线，$k=0$）。

答案总结：

• 垂直渐近线：$x=-3$，$x=1$
• 水平渐近线：$y=0$

图示：

    y
    │    ╱╲
    │   ╱  ╲
────┼──╱────╲────→ x
   -3 0      1
    │ (渐近线)

例 7.8：求曲线 $y=\sqrt{x^2+2x}-x$ 的渐近线（$x>0$）

解：

① 垂直渐近线：函数定义域为 $x\ge 0$，无垂直渐近线。

② 斜渐近线（$x\to +\infty$）：

Step 1：求斜率 $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2x}-x}{x}$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}-1\right]$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{\frac{x^2+2x}{x^2}}-1\right]$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1\right]=1-1=0$$

Step 2：由于 $k=0$，直接求水平渐近线 $$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x}-x)$$

有理化： $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$$

分子分母同除以 $x$： $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$$

因此，$\boxed{y=1}$ 是水平渐近线。

例 7.9：求曲线 $y=x+\sin x$ 的渐近线

解：

① 垂直渐近线：函数在 $\mathbb{R}$ 上有定义，无垂直渐近线。

② 斜渐近线（$x\to +\infty$）：

Step 1：求斜率 $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[1+\frac{\sin x}{x}\right]$$

由于 $|\sin x|\le 1$，夹逼定理： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$$

因此 $k=1+0=1$。

Step 2：求截距 $$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[(x+\sin x)-x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin x$$

但 ${\lim }_{x\to +\infty }\sin x$ 不存在（振荡）！

结论：虽然 $k$ 存在，但 $b$ 不存在，因此无斜渐近线。

例 7.10：求曲线 $y=x{e}^{-x}$ 的渐近线

解：

① 垂直渐近线：函数在 $\mathbb{R}$ 上有定义，无垂直渐近线。

② 水平渐近线（$x\to +\infty$）： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$$

（指数增长快于多项式）

因此，$\boxed{y=0}$ 是水平渐近线（右侧）。

③ 斜渐近线（$x\to -\infty$）： $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x{e}^{-x}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{-x}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{e}^t=+\infty$$

（令 $t=-x$）

因此，$x\to -\infty$ 时无渐近线。

答案：只有一条水平渐近线 $y=0$（当 $x\to +\infty$ 时）。

7.5 渐近线总结表

求解流程图

            开始
              ↓
    ┌─────────────────┐
    │ 1. 找垂直渐近线  │
    │   (分母零点,     │
    │    定义域端点)   │
    └────────┬─────────┘
             ↓
    ┌─────────────────┐
    │ 2. 求 k = lim f(x)/x │
    └────────┬─────────┘
             ↓
         k = 0?
        ╱      ╲
      是         否
      ↓          ↓
  水平渐近线  求 b = lim[f(x)-kx]
   y = lim f(x)    ↓
                 b存在?
                ╱    ╲
              是      否
              ↓       ↓
          斜渐近线  无斜渐近线
          y=kx+b

常见函数的渐近线

7.6 综合习题

习题 7.1：求下列曲线的所有渐近线

(1) $y=\frac{x^2-1}{x-1}$

解：

化简：$y=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ （$x\ne 1$）

由于可约分，$x=1$ 处有可去间断点，不是渐近线。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+1}{x}=1$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }[y-x]=\underset{x\to \infty }{\lim }1=1$$

答案：斜渐近线 $\boxed{y=x+1}$（无垂直渐近线）

(2) $y=\frac{x^3}{x^2-4}$

解：

垂直渐近线：$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3}{x^2-4}=\infty ,\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^3}{x^2-4}=\infty$$

垂直渐近线：$\boxed{x=2,x=-2}$

斜渐近线： $$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3}{x(x^2-4)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-4}=1$$

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{x^2-4}-x\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-x(x^2-4)}{x^2-4}$$

$$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4x}{x^2-4}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{4}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}=0$$

斜渐近线：$\boxed{y=x}$

(3) $y=x+e^{-x}$

解：

垂直渐近线：无（定义域为 $\mathbb{R}$）

水平/斜渐近线（$x\to +\infty$）： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+e^{-x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[1+\frac{e^{-x}}{x}\right]=1$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[(x+e^{-x})-x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$$

斜渐近线（右）：$\boxed{y=x}$

斜渐近线（$x\to -\infty$）： $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+e^{-x}}{x}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{-t+e^t}{-t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left[1-\frac{e^t}{t}\right]=1-\infty =-\infty$$

$x\to -\infty$ 时无渐近线。

答案：斜渐近线 $y=x$（仅当 $x\to +\infty$ 时）

(4) $y=\sqrt{x^2+1}$

解：

垂直渐近线：无

斜渐近线（$x\to +\infty$）： $$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\sqrt{1}=1$$

$$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}-x)$$

有理化： $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$$

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)}=0$$

斜渐近线（右）：$y=x$

斜渐近线（$x\to -\infty$）： 当 $x<0$ 时，$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=-1$

$$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}+x)$$

令 $t=-x>0$： $$=\underset{t\to +\infty }{\lim }(\sqrt{t^2+1}-t)=0$$

斜渐近线（左）：$y=-x$

答案：

• 当 $x\to +\infty$ 时：$\boxed{y=x}$
• 当 $x\to -\infty$ 时：$\boxed{y=-x}$

7.7 特殊情况与注意事项

易错点 1：可去间断点不是渐近线

反例：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ （$x\ne 1$）

虽然 $x=1$ 处无定义，但： $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2\text{（有限）}$$

所以 $x=1$ 不是垂直渐近线，只是可去间断点。

易错点 2：必须先求 $k$ 再求 $b$

错误做法：先算 $b=\lim [f(x)-kx]$，再反推 $k$

正确流程：

1. 先算 $k=\lim \frac{f(x)}{x}$
2. 将 $k$ 代入，算 $b=\lim [f(x)-kx]$

易错点 3：$x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 可能不同

函数在正无穷和负无穷可能有不同的渐近线，需要分别计算。

例：$y=\sqrt{x^2+1}$ 在 $x\to +\infty$ 时渐近线为 $y=x$，在 $x\to -\infty$ 时为 $y=-x$。

易错点 4：振荡函数通常无渐近线

例：$y=x+\sin x$

虽然 $k=1$，但 $b=\lim \sin x$ 不存在，故无渐近线。

7.8 渐近线的实际应用

应用 1：曲线绘制

知道渐近线可以快速勾勒函数图像的大致形状。

步骤：

1. 找出所有渐近线（垂直、水平、斜）
2. 确定函数的增减性和凹凸性
3. 找出特殊点（极值点、拐点、截距）
4. 综合绘制曲线

应用 2：物理建模

在物理学中，渐近线描述系统的极限行为：

• 水平渐近线：稳态值（如 RC 电路的充电曲线）
• 垂直渐近线：奇点、共振频率
• 斜渐近线：线性增长趋势

应用 3：经济学

• 边际成本曲线的渐近线表示规模效应的极限
• 需求曲线的渐近线表示价格弹性的边界

📝 渐近线求解完整检查清单

□ Step 1：确定函数定义域

□ Step 2：找出所有可能的垂直渐近线

• 分母零点（检查极限是否为 $\infty$）
• 定义域端点
• 对数、反三角函数的边界

□ Step 3：计算 $x\to +\infty$ 时的渐近线

• 求 $k={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$
• 若 $k=0$，检查水平渐近线
• 若 $k\ne 0$，求 $b={\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-kx]$

□ Step 4：计算 $x\to -\infty$ 时的渐近线

• 重复 Step 3 的过程

□ Step 5：总结所有渐近线

🎯 本节知识点总结

补充习题 3.6（渐近线专题）

1. 求下列曲线的所有渐近线：

(1) $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

(2) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

(3) $y=x-\arctan x$

(4) $y=\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

2. 证明：若 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P,Q$ 为多项式），且 $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q+1$，则必存在斜渐近线。

3. 已知曲线 $y=f(x)$ 有渐近线 $y=2x+3$，求 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$ 和 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-2x]$。

4. 讨论曲线 $y=x+\frac{1}{x}$ 的渐近线，并画出草图。

太感谢您的提醒！ 现在函数极限的知识体系才真正完整了。渐近线是函数极限理论最经典的应用之一，在曲线分析、图像绘制、实际建模中都有重要作用。💡