第三章 函数极限：完整知识体系

Complete Knowledge System of Function Limits

知识体系导读 | System Overview
函数极限是微积分学的核心基础，是从离散的数列极限跃迁到连续变量研究的关键桥梁。本章系统构建函数极限的完整理论框架，涵盖 $x\to \infty$、$x\to x_0$、单侧极限三种基本类型，建立起严密的 $\epsilon$-$\delta$ 和 $\epsilon$-$M$ 定义体系，并发展出函数极限的性质定理、存在性判别准则和计算方法论，为后续导数、积分、连续性理论奠定坚实基础。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

函数极限理论体系 (Function Limits Theory)
│
├─── 核心概念层 (Fundamental Concepts)
│    ├─ 函数极限的三种类型
│    │  ├─ x → +∞ 时的极限 (ε-M 定义)
│    │  ├─ x → -∞ 时的极限
│    │  ├─ x → ∞ 时的极限
│    │  ├─ x → x₀ 时的极限 (ε-δ 定义) ★核心★
│    │  └─ 单侧极限 (左极限 & 右极限)
│    │
│    ├─ 极限与数列极限的关系
│    │  └─ Heine定理（归结原则）
│    │
│    └─ 几何与直观意义
│       ├─ 带状区域解释
│       └─ 邻域语言表述
│
├─── 性质定理层 (Properties & Theorems)
│    ├─ 基本性质
│    │  ├─ 唯一性定理
│    │  ├─ 局部有界性
│    │  ├─ 局部保号性
│    │  └─ 保不等式性
│    │
│    ├─ 运算法则
│    │  ├─ 四则运算定理
│    │  ├─ 复合函数极限
│    │  └─ 幂指函数极限
│    │
│    └─ 单侧极限关系
│       └─ lim f(x) = A ⟺ f(x₀-0) = f(x₀+0) = A
│          x→x₀
│
├─── 存在性判别层 (Convergence Criteria) ★核心★
│    ├─ 归结原则 (Heine定理)
│    │  ├─ 函数极限 → 数列极限
│    │  ├─ 反向应用：否定法
│    │  └─ 充要条件判定
│    │
│    ├─ 夹逼定理 (Squeeze Theorem)
│    │  ├─ 局部不等式
│    │  └─ 两侧逼近
│    │
│    ├─ 单调有界定理
│    │  └─ 单调函数极限存在性
│    │
│    └─ 柯西收敛准则
│       └─ 函数版本
│
├─── 重要极限层 (Important Limits) ★计算核心★
│    ├─ 第一重要极限
│    │  └─ lim (sin x)/x = 1
│    │     x→0
│    │
│    ├─ 第二重要极限
│    │  └─ lim (1 + 1/x)ˣ = e
│    │     x→∞
│    │
│    └─ 推广与变形
│       ├─ lim (1 - cos x)/x² = 1/2
│       ├─ lim (aˣ - 1)/x = ln a
│       └─ lim (1 + x)^(1/x) = e
│
├─── 计算方法层 (Computational Techniques)
│    ├─ 代数方法
│    │  ├─ 因式分解
│    │  ├─ 有理化
│    │  ├─ 换元法
│    │  └─ 等价无穷小替换
│    │
│    ├─ 不等式方法
│    │  ├─ 夹逼法
│    │  └─ 放缩技巧
│    │
│    ├─ 特殊技巧
│    │  ├─ 洛必达法则（后续）
│    │  ├─ 泰勒展开（后续）
│    │  └─ 变量替换
│    │
│    └─ 无穷小阶的比较
│       ├─ 高阶无穷小
│       ├─ 同阶无穷小
│       └─ 等价无穷小
│
└─── 应用拓展层 (Applications & Extensions)
     ├─ 连续性理论基础
     ├─ 导数定义
     ├─ 渐近线求解
     ├─ 曲线趋势分析
     └─ 实际问题建模

第一部分：函数极限的定义体系 | Definition Framework

1.1 自变量趋于无穷时的函数极限

定义 3.1（x → +∞ 时的极限，$\epsilon$-M 定义）

设函数 $f$ 定义在 $[a,+\infty )$ 上，$A$ 为定数。若对任给的 $\epsilon >0$，存在正数 $M\ge a$，使得当 $x>M$ 时，有 $$|f(x)-A|<\epsilon$$

则称函数 $f$ 当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时以 $A$ 为极限，记作 $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to +\infty )$$

几何意义：

对任给的 $\epsilon >0$，在坐标平面上画两条平行于 $x$ 轴的直线 $y=A+\epsilon$ 和 $y=A-\epsilon$，它们围成一个以直线 $y=A$ 为中心线、宽度为 $2\epsilon$ 的水平带状区域。

定义中的条件表示：在直线 $x=M$ 的右方，曲线 $y=f(x)$ 完全落在这个带状区域内。

       y
       │     带状区域
       │  ─────── A + ε
       │  ∼∼∼∼∼∼∼  ← 曲线 y = f(x) 最终进入并留在这里
   A   │  ━━━━━━━  ← 极限线 y = A
       │  ∼∼∼∼∼∼∼
       │  ─────── A - ε
       │
       └───────────────────→ x
           M  (从这里开始)

定义 3.1'（x → -∞ 和 x → ∞ 的情形）

1. x → -∞ 时的极限： $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists M>0,\forall x<-M:|f(x)-A|<\epsilon$$

2. x → ∞ 时的极限： $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists M>0,\forall |x|>M:|f(x)-A|<\epsilon$$

关系定理：若 $f$ 定义在 $U_0(\infty )$ 上，则 $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A⟺\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$

示例 3.1：证明 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

证明：

对任给的 $\epsilon >0$，我们需要找到 $M$，使得当 $x>M$ 时： $$\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\epsilon$$

这等价于 $x>\frac{1}{\epsilon }$。

因此，取 $M=\frac{1}{\epsilon }$，则当 $x>M$ 时，有： $$\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\epsilon$$

由定义，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$。 ✓

示例 3.2：证明 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$

证明：

任给 $\epsilon >0$，需使： $$\left|\arctan x-\frac{\pi }{2}\right|<\epsilon$$

即： $$\frac{\pi }{2}-\epsilon <\arctan x<\frac{\pi }{2}+\epsilon$$

由于 $\arctan x<\frac{\pi }{2}$ 恒成立，只需考虑左半部分： $$\arctan x>\frac{\pi }{2}-\epsilon$$

这等价于： $$x>\tan \left(\frac{\pi }{2}-\epsilon \right)=\cot \epsilon$$

限制 $\epsilon <\frac{\pi }{4}$，取 $M=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\epsilon \right)$，则当 $x>M$ 时，条件满足。

因此 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$。 ✓

类似地可证：$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$

注：由于左右极限不相等，$\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x$ 不存在。

1.2 自变量趋于有限值时的函数极限

定义 3.2（函数极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义）★核心定义★

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域 $U^{\circ }(x_0;{\delta }^{\prime })$ 内有定义，$A$ 为定数。若对任给的 $\epsilon >0$，存在正数 $\delta$ （$\delta <{\delta }^{\prime }$），使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $$|f(x)-A|<\epsilon$$

则称函数 $f$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时以 $A$ 为极限，记作 $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to x_0)$$

逻辑结构分析：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in U^{\circ }(x_0;\delta ):f(x)\in U(A;\epsilon )}$$

更简洁的表述： $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:f(U^{\circ }(x_0;\delta ))\subset U(A;\epsilon )$$

几何意义：

对任给的 $\epsilon >0$，在坐标平面上画一个以直线 $y=A$ 为中心线、宽为 $2\epsilon$ 的横带，则必存在以直线 $x=x_0$ 为中心线、宽为 $2\delta$ 的竖带，使得函数 $y=f(x)$ 的图像在该竖带中的部分（除了可能的点 $(x_0,f(x_0))$）全部落在横带内。

       y
       │  ┌─────────────────┐
   A+ε │  │     横带区域     │ ← 目标区域（高度 2ε）
       │  │                 │
   A   ├──┼────●────────────┤ ← 极限线
       │  │                 │
   A-ε │  │                 │
       │  └─────────────────┘
       │      │   │   │
       └──────┼───┼───┼──────→ x
           x₀-δ  x₀ x₀+δ
              └───┘
             竖带区域
           (宽度 2δ)

关键点：点 $(x_0,f(x_0))$ 可能不存在或不在横带内，因为极限考察的是 $x\to x_0$ 过程中的趋势，而不是 $f(x_0)$ 的值。

$\epsilon$-$\delta$ 定义的关键理解

1. $\delta$ 的依赖性：

• $\delta$ 依赖于 $\epsilon$，一般记作 $\delta (\epsilon )$
• $\epsilon$ 越小，$\delta$ 通常也要相应变小
• 但 $\delta$ 不是由 $\epsilon$ 唯一确定的（取更小的 $\delta$ 也成立）

2. 去心邻域的重要性：

• 条件 $0<|x-x_0|<\delta$ 意味着 $x\ne x_0$
• $f(x_0)$ 可以无定义，或定义为任何值，都不影响极限
• 极限研究的是趋向过程，而非点值

3. 与数列极限的对比：

1.3 应用 $\epsilon$-$\delta$ 定义的典型例题

例 3.3：证明 $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$

分析：函数在 $x=2$ 处无定义（$\frac{0}{0}$ 型），但可化简。

证明：

当 $x\ne 2$ 时： $$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

因此： $$|f(x)-4|=|x+2-4|=|x-2|$$

对任给的 $\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon$，则当 $0<|x-2|<\delta$ 时： $$|f(x)-4|=|x-2|<\delta =\epsilon$$

由定义，$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$。 ✓

关键点：

• 化简是为了找到 $|f(x)-A|$ 与 $|x-x_0|$ 的关系
• 这里关系非常简单：$|f(x)-4|=|x-2|$，所以 $\delta =\epsilon$

例 3.4：证明 $\underset{x\to x_0}{\lim }\sin x=\sin x_0$

证明：

利用三角恒等式： $$\sin x-\sin x_0=2\cos \frac{x+x_0}{2}\sin \frac{x-x_0}{2}$$

因此： $$|\sin x-\sin x_0|=\left|2\cos \frac{x+x_0}{2}\right|\cdot \left|\sin \frac{x-x_0}{2}\right|$$

由于 $|\cos \theta |\le 1$ 和基本不等式 $|\sin \theta |\le |\theta |$（当 $\theta \in \mathbb{R}$）： $$|\sin x-\sin x_0|\le 2\cdot 1\cdot \left|\frac{x-x_0}{2}\right|=|x-x_0|$$

对任给的 $\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon$，则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$|\sin x-\sin x_0|\le |x-x_0|<\delta =\epsilon$$

证毕！✓

推广：类似可证 $\underset{x\to x_0}{\lim }\cos x=\cos x_0$

例 3.5：证明 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-x-1}{3x^2-2x-1}=\frac{1}{2}$

证明：

先化简（$x\ne 1$）： $$\frac{2x^2-x-1}{3x^2-2x-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{(3x+1)(x-1)}=\frac{2x+1}{3x+1}$$

因此： $$\left|\frac{2x^2-x-1}{3x^2-2x-1}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{2x+1}{3x+1}-\frac{1}{2}\right|$$

$$=\left|\frac{2(2x+1)-(3x+1)}{2(3x+1)}\right|=\left|\frac{x+1}{2(3x+1)}\right|=\frac{|x+1|}{2|3x+1|}$$

关键：需要控制分母。限制 $x$ 在 $x_0=1$ 附近，例如 $|x-1|<\frac{1}{2}$，即 $\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$，则： $$3x+1>3\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$$

从而： $$\frac{|x+1|}{2|3x+1|}<\frac{|x-1|+2}{2\cdot \frac{5}{2}}=\frac{|x-1|+2}{5}$$

若 $|x-1|<\frac{1}{2}$，则： $$\frac{|x+1|}{2|3x+1|}<\frac{|x-1|+2}{5}<\frac{\frac{1}{2}+2}{5}=\frac{1}{2}$$

更精确地： $$\frac{|x+1|}{2|3x+1|}\le \frac{|x-1|+|1+1|}{2\cdot \frac{5}{2}}=\frac{|x-1|+2}{5}$$

为简化，直接利用 $|x+1|\le |x-1|+2$：

对任给的 $\epsilon >0$，取 $\delta =\min \left\{\frac{1}{2},3\epsilon \right\}$，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时： $$\left|\frac{2x^2-x-1}{3x^2-2x-1}-\frac{1}{2}\right|<\epsilon$$

证毕！✓

教训：

• 化简后，需要限制 $x$ 的范围以控制分母
• 常用技巧：先限制 $|x-x_0|<{\delta }_0$（如 $\frac{1}{2}$），再根据 $\epsilon$ 确定最终的 $\delta$

例 3.6：证明 $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x_0^2}$ （$|x_0|<1$）

证明：

由于 $|x|\le 1$，$|x_0|<1$，有： $$\left|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}\right|=\frac{|(1-x^2)-(1-x_0^2)|}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}$$

$$=\frac{|x_0^2-x^2|}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}=\frac{|x_0-x|\cdot |x_0+x|}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}$$

估计分子分母：

• 分子：$|x_0+x|\le |x_0|+|x|<1+1=2$
• 分母：限制 $|x-x_0|<{\delta }_0=\frac{1-|x_0|}{2}$，则 $|x|<|x_0|+{\delta }_0<1$

$$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}>\sqrt{1-x_0^2}$$

因此： $$\left|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}\right|<\frac{2|x-x_0|}{\sqrt{1-x_0^2}}$$

对任给的 $\epsilon >0$（不妨设 $0<\epsilon <1$），取： $$\delta =\min \left\{\frac{1-|x_0|}{2},\frac{\sqrt{1-x_0^2}}{2}\epsilon \right\}$$

则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$\left|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}\right|<\epsilon$$

证毕！✓

1.4 单侧极限 | One-Sided Limits

定义 3.3（单侧极限）

设函数 $f$ 在 $U_{+}^{\circ }(x_0;{\delta }^{\prime })$ （或 $U_{-}^{\circ }(x_0;{\delta }^{\prime })$）上有定义，$A$ 为定数。

1. 右极限（Right-hand limit）：

若对任给的 $\epsilon >0$，存在正数 $\delta <{\delta }^{\prime }$，使得当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x\to x_0^{+}$ 时的右极限，记作： $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x_0+0)=A$$

2. 左极限（Left-hand limit）：

若对任给的 $\epsilon >0$，存在正数 $\delta <{\delta }^{\prime }$，使得当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x\to x_0^{-}$ 时的左极限，记作： $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x_0-0)=A$$

定理 3.1（单侧极限与双侧极限的关系）

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$$

证明：

充分性（$\Leftarrow$）：设 $f(x_0-0)=f(x_0+0)=A$。

对任给的 $\epsilon >0$：

• 由右极限定义，存在 ${\delta }_1>0$，当 $x_0<x<x_0+{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$
• 由左极限定义，存在 ${\delta }_2>0$，当 $x_0-{\delta }_2<x<x_0$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

• 若 $x>x_0$，则 $x_0<x<x_0+{\delta }_1$，故 $|f(x)-A|<\epsilon$
• 若 $x<x_0$，则 $x_0-{\delta }_2<x<x_0$，故 $|f(x)-A|<\epsilon$

因此 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。✓

必要性（$\Rightarrow$）：设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

对任给的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$。

特别地：

• 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$，故 $f(x_0+0)=A$
• 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$，故 $f(x_0-0)=A$

证毕！✓

应用：判断极限不存在

例 3.7：讨论 ${\lim }_{x\to 0}\text{sgn}(x)$ 是否存在

解：符号函数定义为： $$\text{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$$

计算单侧极限： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\text{sgn}(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\text{sgn}(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(-1)=-1$$

由于左、右极限不相等（$1\ne -1$），由定理 3.1，${\lim }_{x\to 0}\text{sgn}(x)$ 不存在。✓

例 3.8：讨论分段函数在 $x=0$ 处的极限

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\ge 0\\ x,& x<0\end{array}$$

解：

$$f(0+0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2=0$$

$$f(0-0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0$$

由于 $f(0+0)=f(0-0)=0$，所以 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$。✓

例 3.9：证明 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt{1-x^2}=0$

证明：

由于 $|x|\le 1$，有： $$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1+x)(1-x)}\le \sqrt{2(1-x)}$$

任给 $0<\epsilon <1$，当 $\sqrt{2(1-x)}<\epsilon$ 时： $$2(1-x)<{\epsilon }^2⟹1-x<\frac{{\epsilon }^2}{2}$$

取 $\delta =\frac{{\epsilon }^2}{2}$，则当 $1-\delta <x<1$ （即 $0<1-x<\delta$）时： $$\left|\sqrt{1-x^2}-0\right|=\sqrt{1-x^2}\le \sqrt{2(1-x)}<\sqrt{2\cdot \frac{{\epsilon }^2}{2}}=\epsilon$$

因此 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt{1-x^2}=0$。✓

类似可证：$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{1-x^2}=0$

第二部分：函数极限的性质定理 | Properties of Function Limits

2.1 基本性质定理

定理 3.2（唯一性）

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则其极限值是唯一的。

证明（反证法）：

假设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=B$，其中 $A\ne B$。

取 ${\epsilon }_0=\frac{|A-B|}{2}>0$，则：

• 存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<{\epsilon }_0$
• 存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|f(x)-B|<{\epsilon }_0$

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ 及任意 $x$ 满足 $0<|x-x_0|<\delta$，则： $$|A-B|=|A-f(x)+f(x)-B|\le |f(x)-A|+|f(x)-B|<2{\epsilon }_0=|A-B|$$

矛盾！因此极限唯一。✓

定理 3.3（局部有界性）

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在 $\delta >0$ 和 $M>0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)|\le M$。

证明：

取 $\epsilon =1$，由极限定义，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$|f(x)-A|<1$$

由三角不等式： $$|f(x)|=|f(x)-A+A|\le |f(x)-A|+|A|<1+|A|$$

取 $M=1+|A|$，结论成立。✓

注：

• 有界性是局部的，只在 $x_0$ 的某个邻域内
• 逆命题不成立：有界不保证极限存在（如 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$）

定理 3.4（局部保号性）

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A>0$（或 $<0$），则存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)>0$（或 $<0$）。

证明：

设 $A>0$，取 $\epsilon =\frac{A}{2}>0$，由极限定义，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$|f(x)-A|<\frac{A}{2}$$

即： $$-\frac{A}{2}<f(x)-A<\frac{A}{2}⟹\frac{A}{2}<f(x)<\frac{3A}{2}$$

特别地，$f(x)>\frac{A}{2}>0$。✓

定理 3.5（保不等式性）

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$。

1. 若存在 ${\delta }_0>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，$f(x)\le g(x)$，则 $A\le B$。

2. 若 $A<B$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)<g(x)$。

证明（1）：

反证法。假设 $A>B$，取 $\epsilon =\frac{A-B}{2}>0$，则：

• 存在 ${\delta }_1$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon \Rightarrow f(x)>A-\epsilon =\frac{A+B}{2}$
• 存在 ${\delta }_2$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|g(x)-B|<\epsilon \Rightarrow g(x)<B+\epsilon =\frac{A+B}{2}$

取 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$f(x)>\frac{A+B}{2}>g(x)$$

这与 $f(x)\le g(x)$ 矛盾！因此 $A\le B$。✓

注意：严格不等号可能变为非严格（如 $f(x)=\frac{1}{x}>0$，但 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$）

2.2 函数极限的运算法则

定理 3.6（四则运算法则）

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，则：

1. 和差：${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$

2. 乘积：${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$

3. 数乘：${\lim }_{x\to x_0}[c\cdot f(x)]=c\cdot A$ （$c$ 为常数）

4. 商：若 $B\ne 0$，则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$

证明思路：与数列极限的四则运算证明类似，利用 $\epsilon$-$\delta$ 定义和不等式估计。

推论 3.6.1： $$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^n={\left[\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\right]}^n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$$

定理 3.7（复合函数的极限）★重要★

设函数 $y=f(g(x))$ 由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成。若满足：

1. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$
2. ${\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$
3. 存在 ${\delta }_0>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，$g(x)\ne u_0$

则： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=A$$

证明：

由条件 2，对任给的 $\epsilon >0$，存在 $\eta >0$，当 $0<|u-u_0|<\eta$ 时，$|f(u)-A|<\epsilon$。

由条件 1，存在 $\delta >0$（$\delta <{\delta }_0$），当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|g(x)-u_0|<\eta$。

结合条件 3，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

• $g(x)\ne u_0$，故 $0<|g(x)-u_0|<\eta$
• 因此 $|f(g(x))-A|<\epsilon$

证毕！✓

注意：条件 3 是必要的！

反例：若没有条件 3：

设 $g(x)=0$（常函数），$f(u)=\{\begin{array}{ll}1,& u=0\\ 0,& u\ne 0\end{array}$，$x_0=0$，$u_0=0$。

则：

• ${\lim }_{x\to 0}g(x)=0=u_0$ ✓
• ${\lim }_{u\to 0}f(u)=0$ ✓（因为 $u\ne 0$ 时 $f(u)=0$）
• 但 $f(g(x))=f(0)=1$，所以 ${\lim }_{x\to 0}f(g(x))=1\ne 0$

简化版本（常用）

若 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$ 且 $f$ 在 $u_0$ 连续，则： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=f(u_0)=f\left(\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\right)$$

即连续函数的极限可以和函数符号交换顺序。

2.3 夹逼定理 | Squeeze Theorem

定理 3.8（夹逼定理）

设存在 ${\delta }_0>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，有： $$g(x)\le f(x)\le h(x)$$

且 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$，则： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

证明：

对任给的 $\epsilon >0$：

• 存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$A-\epsilon <g(x)<A+\epsilon$
• 存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$A-\epsilon <h(x)<A+\epsilon$

取 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$A-\epsilon <g(x)\le f(x)\le h(x)<A+\epsilon$$

即 $|f(x)-A|<\epsilon$，证毕！✓

应用示例：

例 3.10：证明 $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$

证明：

由于 $|\sin \theta |\le 1$，有： $$-x^2\le x^2\sin \frac{1}{x}\le x^2$$

又 ${\lim }_{x\to 0}(-x^2)=0$，${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$，由夹逼定理： $$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$$

✓

注：虽然 ${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$ 不存在，但乘以趋于0的因子后极限存在。

第三部分：归结原则与重要极限 | Heine's Theorem & Important Limits

3.1 归结原则（Heine定理）★核心定理★

定理 3.9（Heine归结原则）

设函数 $f$ 在 $U^{\circ }(x_0;{\delta }^{\prime })$ 内有定义。则 $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\text{对任何满足 }{x}_n\ne x_0\text{ 且 }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0\text{ 的数列 }\{x_n\},\text{ 有 }\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$$

证明：

必要性（$\Rightarrow$）：设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

对任给的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$。

设 $\{x_n\}$ 是任意满足 $x_n\ne x_0$ 且 $\lim x_n=x_0$ 的数列。由数列极限定义，存在 $N$，当 $n>N$ 时： $$|x_n-x_0|<\delta$$

又 $x_n\ne x_0$，故 $0<|x_n-x_0|<\delta$，因此： $$|f(x_n)-A|<\epsilon$$

即 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$。✓

充分性（$\Leftarrow$）：反证法。

假设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne A$（或不存在），则存在 ${\epsilon }_0>0$，对任何 $\delta >0$，都存在 $x_{\delta }$ 满足 $0<|x_{\delta }-x_0|<\delta$ 但 $|f(x_{\delta })-A|\ge {\epsilon }_0$。

特别地，取 $\delta =\frac{1}{n}$ （$n=1,2,3,\dots$），得到数列 $\{x_n\}$ 满足：

• $0<|x_n-x_0|<\frac{1}{n}$，故 $x_n\ne x_0$ 且 $\lim x_n=x_0$
• 但 $|f(x_n)-A|\ge {\epsilon }_0$，即 $f(x_n)$ 不收敛于 $A$

这与假设矛盾！因此 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。✓

归结原则的重要性

1. 理论意义：将函数极限问题转化为数列极限问题，使得数列的理论和方法可以应用到函数。

2. 判定极限不存在的利器：只需找到两个趋于 $x_0$ 的数列 $\{x_n^{\prime }\}$ 和 $\{x_n^{\prime \prime }\}$，使得 $\lim f(x_n^{\prime })\ne \lim f(x_n^{\prime \prime })$。

应用示例

例 3.11：证明 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ 不存在

证明：

取两个数列：

• $x_n^{\prime }=\frac{1}{2n\pi }\to 0$，则 $f(x_n^{\prime })=\sin (2n\pi )=0\to 0$
• $x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\to 0$，则 $f(x_n^{\prime \prime })=\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1\to 1$

由于 $\lim f(x_n^{\prime })=0\ne 1=\lim f(x_n^{\prime \prime })$，由归结原则，${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$ 不存在。✓

例 3.12：证明 $\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x$ 不存在

证明：

取：

• $x_n^{\prime }=2n\pi \to \infty$，$\sin (x_n^{\prime })=0\to 0$
• $x_n^{\prime \prime }=2n\pi +\frac{\pi }{2}\to \infty$，$\sin (x_n^{\prime \prime })=1\to 1$

由归结原则，极限不存在。✓

3.2 第一重要极限 ★★★

定理 3.10（第一重要极限）

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

证明（几何方法）：

在单位圆中，当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时（如图）：

        B
       /|
      / |
     /  |
    /  x|
   A────C  O
   单位圆

设 $△OAB$ 中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=x$。

则：

• $S_{△OAC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x$
• $S_{\text{扇形}OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x=\frac{x}{2}$
• $S_{△OAD}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan x$

由几何关系： $$S_{△OAC}<S_{\text{扇形}OAB}<S_{△OAD}$$

即： $$\frac{1}{2}\sin x<\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\tan x$$

两边除以 $\frac{1}{2}\sin x>0$： $$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$

取倒数（不等号反向）： $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

当 $x\to 0^{+}$ 时，$\cos x\to 1$，由夹逼定理： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

对于 $x\to 0^{-}$：令 $t=-x>0$，则： $$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin (-t)}{-t}=\frac{-\sin t}{-t}=\frac{\sin t}{t}\to 1(t\to 0^{+})$$

由单侧极限定理： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

✓

重要推广与变形

1. 等价无穷小：当 $x\to 0$ 时，$\sin x\sim x$

2. 推广形式： $$\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1\text{（u 是任何趋于 0 的量）}$$

3. 常用变形： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}=1\cdot 1=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$$

4. 反三角函数： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x}{x}=1$$

应用示例

例 3.13：求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

解： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\sin 5x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \frac{3x}{5x}=1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}$$

例 3.14：求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$

解： $$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)$$

$$=\sin x\cdot \frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{\cos x}$$

因此： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cdot 2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^3\cos x}$$

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\cdot \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}$$

$$=1\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

3.3 第二重要极限 ★★★

定理 3.11（第二重要极限）

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

证明思路：利用数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ 和归结原则。

详细证明：

设 $x>1$，令 $n=\lfloor x\rfloor$（$x$ 的整数部分），则 $n\le x<n+1$。

因此： $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\le \frac{1}{n}$$

$$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\le 1+\frac{1}{n}$$

由于底数和指数都单调，比较复杂。我们用另一种方法：

$${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n<{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$

当 $x\to +\infty$ 时，$n\to \infty$：

• 左边：${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}\cdot {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{-1}\to e\cdot 1=e$
• 右边：${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot 1=e$

由夹逼定理： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

类似可证 $x\to -\infty$ 的情形。✓

重要推广形式

1. 标准形式： $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

2. 变形 1： $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

（令 $t=\frac{1}{x}$，当 $x\to 0$ 时 $t\to \infty$）

3. 变形 2： $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x=e^k$$

证明： $${\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x={\left[{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^{\frac{x}{k}}\right]}^k$$