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第十章：定积分的应用

完整知识体系与思维导图

📚 知识体系总览

mindmap
  root((定积分的应用))
    平面图形面积
      直角坐标系
        单曲线围成
        双曲线围成
      参数方程
        一般参数曲线
        封闭曲线
        摆线问题
        椭圆问题
      极坐标系
        极坐标曲线
        扇形面积
        双纽线
        心形线
        三叶玫瑰线
    立体体积
      平行截面法
        一般立体
        截面面积函数
      旋转体
        绕x轴旋转
        绕y轴旋转

📖 第一节：平面图形的面积

一、核心理论框架

1.1 基本思想：微元法

定积分求面积的本质是**"分割-近似-求和-取极限"**的过程：

$$\text{总面积}=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Delta A_i={\int }_a^{b}f(x)dx$$

几何意义：将不规则图形分割成无穷多个微小矩形，每个矩形面积为 $dA=f(x)dx$。

二、直角坐标系中的面积公式

2.1 基本情形

情形1：非负连续曲线

由曲线 $y=f(x)\ge 0$、直线 $x=a,x=b$ 和 $x$ 轴围成的曲边梯形：

$$A={\int }_a^{b}f(x)dx$$

情形2：变号函数

当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有正有负时：

$$A={\int }_a^b|f(x)|dx={\int }_a^b|y|dx$$

2.2 一般公式（双曲线围成）

由上曲线 $y=f_1(x)$ 和下曲线 $y=f_2(x)$ 及直线 $x=a,x=b$ 围成的图形：

$$\boxed{A={\int }_a^b[f_1(x)-f_2(x)]dx}$$

关键要点：

• $f_1(x)\ge f_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上成立
• 上减下，保证面积非负
• 需先确定交点，分段积分

2.3 以 $y$ 为积分变量

如果曲线表示为 $x=g(y)$，积分区间为 $[c,d]$：

$$A={\int }_c^d[g_1(y)-g_2(y)]dy$$

应用场景：当曲线关于 $y$ 的表达式更简单时使用。

三、参数方程表示的曲线面积

3.1 一般参数曲线

曲线由参数方程给出： $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$$

条件：

• $y(t)$ 连续
• $x(t)$ 连续可微且 $x^{\prime }(t)\ne 0$

记 $a=x(\alpha ),b=x(\beta )$，则曲线与 $x$ 轴及直线 $x=a,x=b$ 围成的面积：

$$\boxed{A={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)\cdot x^{\prime }(t)|dt}$$

推导思路： $$A={\int }_a^b|y|dx={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\cdot |x^{\prime }(t)|dt$$

3.2 封闭曲线

若参数曲线满足：

• $x(\alpha )=x(\beta ),y(\alpha )=y(\beta )$（封闭）
• 曲线自身不相交

则曲线围成的面积：

$$\boxed{A=\left|{\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\cdot x^{\prime }(t)dt\right|}$$

物理意义：这是格林公式在面积计算中的特例。

四、典型例题详解

例1：抛物线与直线围成的面积

题目：求抛物线 $y^2=x$ 与直线 $x-2y-3=0$ 围成的面积。

解法一（以 $x$ 为变量）：

1. 求交点： $$\{\begin{array}{l}{y}^2=x\\ x=2y+3\end{array}\Rightarrow y^2=2y+3\Rightarrow (y-3)(y+1)=0$$

   交点：$P(1,-1),Q(9,3)$

2. 分段积分（在 $x=1$ 处分割）： $$A={\int }_0^1[\sqrt{x}-(-\sqrt{x})]dx+{\int }_1^9[\sqrt{x}-(x-3)/2]dx$$

3. 计算： $$A_1=2{\int }_0^1\sqrt{x}dx=2\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^1=\frac{4}{3}$$

   $$A_2={\int }_1^9\left[\sqrt{x}-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right]dx=\frac{28}{3}$$

   $$A=A_1+A_2=\frac{32}{3}$$

解法二（以 $y$ 为变量）：

改写方程：$x=y^2,x=2y+3$，$y\in [-1,3]$

$$A={\int }_{-1}^3[(2y+3)-y^2]dy={\left[y^2+3y-\frac{y^3}{3}\right]}_{-1}^3=\frac{32}{3}$$

例2：摆线的面积

题目：求摆线一拱与 $x$ 轴围成的面积。

摆线方程： $$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array},t\in [0,2\pi ],a>0$$

解：

$$A={\int }_0^{2\pi }y(t)\cdot x^{\prime }(t)dt={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)dt$$

$$=a^2{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{2}dt=a^2{\int }_0^{2\pi }(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)dt$$

利用 ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$：

$$A=a^2{\int }_0^{2\pi }\left(\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}\right)dt=a^2\cdot 3\pi =\boxed{3\pi a^2}$$

几何意义：摆线面积是其生成圆面积的3倍。

例3：椭圆的面积

题目：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围面积。

解：参数方程为 $$\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array},t\in [0,2\pi ]$$

$$A=\left|{\int }_0^{2\pi }b\sin t\cdot (-a\sin t)dt\right|=ab{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt$$

$$=ab{\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 2t}{2}dt=ab\cdot \pi =\boxed{\pi ab}$$

特例：当 $a=b=r$ 时，得圆面积 $\pi r^2$。

五、极坐标系中的面积公式

5.1 基本公式

曲线由极坐标方程 $r=r(\theta )$，$\theta \in [\alpha ,\beta ]$（$\beta -\alpha \le 2\pi$）给出，则曲线与射线 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ 围成的扇形面积：

$$\boxed{A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta }$$

5.2 推导过程

微元思想：

1. 分割区间 $[\alpha ,\beta ]$：$\alpha ={\theta }_0<{\theta }_1<\cdots <{\theta }_n=\beta$
2. 第 $i$ 个小扇形面积近似为： $$\Delta A_i\approx \frac{1}{2}{r}^2({\xi }_i)\Delta {\theta }_i,{\xi }_i\in [{\theta }_{i-1},{\theta }_i]$$
3. 求和取极限： $$A=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{r}^2({\xi }_i)\Delta {\theta }_i=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$$

六、极坐标典型例题

例4：双纽线的面积

题目：求双纽线 $r^2=a^2\cos 2\theta$ 所围面积。

解：

1. 确定范围：$\cos 2\theta \ge 0\Rightarrow -\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}\le \theta \le \frac{5\pi }{4}$

2. 利用对称性（四瓣对称）： $$A=4\times \frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}{a}^2\cos 2\theta d\theta =2a^2\cdot \frac{1}{2}\sin 2\theta {|}_0^{\pi /4}$$

   $$=a^2[\sin (\pi /2)-\sin 0]=\boxed{a^2}$$

例5：心形线的面积

心形线：$r=a(1+\cos \theta )$，$\theta \in [0,2\pi ]$

$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{a}^2(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta$$

$$=\frac{a^2}{2}\cdot 3\pi =\boxed{\frac{3\pi a^2}{2}}$$

例6：三叶玫瑰线的面积

三叶玫瑰线：$r=a\sin 3\theta$，$\theta \in [0,\pi ]$

由于三瓣对称，每瓣对应 $\frac{\pi }{3}$：

$$A=3\times \frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /3}{a}^2{\sin }^{2}3\theta d\theta =\frac{3a^2}{2}\cdot \frac{\pi }{6}=\boxed{\frac{\pi a^2}{4}}$$

📖 第二节：由平行截面面积求体积

一、基本理论

1.1 问题描述

设立体 $\Omega$ 位于垂直于 $x$ 轴的两平面 $x=a$ 与 $x=b$ 之间（$a<b$），在点 $x\in [a,b]$ 处作垂直于 $x$ 轴的平面，截得的截面面积为 $A(x)$。

截面面积函数：$A(x)$，$x\in [a,b]$

1.2 体积公式

若 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且满足"投影包含关系"（后面截面投影包含前面截面投影），则：

$$\boxed{V={\int }_a^{b}A(x)dx}$$

1.3 推导思路

微元法：

1. 分割 $[a,b]$：取 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
2. 薄片体积：$\Delta V_i\approx A({\xi }_i)\Delta x_i$
3. 求和取极限： $$V=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}A({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}A(x)dx$$

二、旋转体体积

2.1 绕 $x$ 轴旋转

曲线 $y=f(x)$，$x\in [a,b]$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体：

截面：圆，半径为 $|f(x)|$

截面面积：$A(x)=\pi [f(x){]}^2$

体积： $$\boxed{V_x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx}$$

2.2 绕 $y$ 轴旋转

曲线 $x=g(y)$，$y\in [c,d]$ 绕 $y$ 轴旋转：

$$\boxed{V_y=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy=\pi {\int }_c^d{x}^{2}dy}$$

2.3 环形旋转体（壳层法）

若区域由两条曲线 $y=f_1(x),y=f_2(x)$ 围成（$f_1(x)\ge f_2(x)\ge 0$），绕 $x$ 轴旋转：

$$V=\pi {\int }_a^b[f_1^2(x)-f_2^2(x)]dx$$

三、典型例题

例7：球体体积

半径为 $R$ 的球体可视为半圆 $y=\sqrt{R^2-x^2}$，$x\in [-R,R]$ 绕 $x$ 轴旋转：

$$V=\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\pi {\left[R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-R}^R=\boxed{\frac{4\pi R^3}{3}}$$

例8：圆锥体积

底面半径 $r$，高 $h$ 的圆锥，母线方程 $y=\frac{r}{h}x$，$x\in [0,h]$：

$$V=\pi {\int }_0^h{\left(\frac{r}{h}x\right)}^{2}dx=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\boxed{\frac{\pi r^{2}h}{3}}$$

例9：抛物面旋转体

抛物线 $y^2=2px$（$0\le x\le h$）绕 $x$ 轴旋转：

$$V=\pi {\int }_0^{h}2pxdx=\pi p{x}^2{|}_0^h=\boxed{\pi p{h}^2}$$

🎯 核心知识点总结表

🧠 方法论与思维导图

解题策略流程图

graph TD
    A[定积分应用问题] --> B{问题类型}
    B -->|平面面积| C[选择坐标系]
    B -->|立体体积| D[确定截面]
    
    C --> C1[直角坐标]
    C --> C2[参数方程]
    C --> C3[极坐标]
    
    C1 --> E1[确定上下界函数]
    C2 --> E2[检查封闭性]
    C3 --> E3[确定角度范围]
    
    E1 --> F[建立积分式]
    E2 --> F
    E3 --> F
    
    D --> D1[垂直截面法]
    D --> D2[旋转体法]
    
    D1 --> G[找截面面积函数A(x)]
    D2 --> G1[确定旋转轴]
    
    G --> F
    G1 --> F
    
    F --> H[计算定积分]
    H --> I[验证结果合理性]

📝 重要定理与性质

定理1：面积的可加性

若区域 $D=D_1\cup D_2$ 且 $D_1\cap D_2$ 的面积为零，则： $$A(D)=A(D_1)+A(D_2)$$

定理2：格林公式（Green's Formula）

封闭曲线 $C$ 围成区域 $D$ 的面积： $$A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$$

这是参数方程面积公式的理论基础。

定理3：Pappus定理

平面图形绕不相交的轴旋转一周形成的旋转体体积： $$V=2\pi \bar{r}\cdot A$$ 其中 $\bar{r}$ 是图形质心到旋转轴的距离，$A$ 是图形面积。

🔗 知识关联网络

graph LR
    A[定积分定义] --> B[黎曼和]
    B --> C[面积计算]
    C --> D[微元法]
    D --> E[体积计算]
    
    F[参数方程] --> G[曲线长度]
    G --> H[旋转曲面面积]
    
    C --> I[极坐标变换]
    I --> J[二重积分]
    
    E --> K[三重积分]
    K --> L[质心与转动惯量]
    
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

📚 练习题精选

基础题

1. 求抛物线 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 所围图形面积
2. 求内摆线 $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$ 围成的面积
3. 求心形线 $r=a(1+\cos \theta )$ 围成的面积

提高题

4. 求三叶玫瑰线 $r=a\sin 3\theta$ 围成的面积
5. 抛物线 $y^2=2x$ 把圆 $x^2+y^2\le 8$ 分成两部分，求面积比
6. 求两椭圆的公共部分面积

综合题

7. 证明摆线一拱下面积是生成圆面积的3倍
8. 用Pappus定理求圆环体积
9. 求星形线 $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ 围成的面积

💡 学习建议与易错点

学习要点

1. 掌握微元思想：这是所有应用问题的核心
2. 熟练坐标变换：根据问题选择最简单的坐标系
3. 注意积分上下限：尤其是参数方程和极坐标
4. 利用对称性：可大幅简化计算

常见错误

❌ 错误1：忘记取绝对值

• 面积必须非负：$A=\int |f_1-f_2|dx$

❌ 错误2：极坐标角度范围错误

• 双纽线只在特定角度范围有定义

❌ 错误3：参数方程方向错误

• 注意 $x^{\prime }(t)$ 的符号

❌ 错误4：旋转体混淆轴

• 绕 $x$ 轴用 $y^2$，绕 $y$ 轴用 $x^2$

🎓 拓展阅读

历史背景

• 阿基米德：最早用穷竭法求抛物线弓形面积
• 开普勒：用"无穷小"思想计算酒桶体积
• 莱布尼茨与牛顿：建立微积分理论框架

现代应用

• 工程设计：旋转体容器设计、桥梁拱形计算
• 物理学：质心、转动惯量、引力势能
• 计算机图形学：曲面建模、体积渲染

✅ 本章学习检查清单

• 理解定积分的几何意义
• 掌握直角坐标下面积公式
• 熟练参数方程面积计算
• 掌握极坐标面积公式
• 理解平行截面法原理
• 熟练旋转体体积计算
• 能灵活选择坐标系
• 会利用对称性简化计算

📖 参考文献与延伸

1. 华东师范大学数学系. 数学分析（第5版）[M]. 高等教育出版社
2. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程（第8版）[M]. 高等教育出版社
3. Thomas' Calculus (14th Edition)
4. 相关章节：
   • 第9章：定积分的定义与性质
   • 第11章：曲线的弧长与曲面面积
   • 第12章：重积分及其应用

完成时间：建议用 8-10 学时 深入学习本章内容

掌握标准：能独立推导公式，灵活选择方法，准确计算各类应用问题

希望这个完整的知识体系能帮助你深入理解定积分的应用！有任何问题欢迎继续提问。📚✨