第九章定积分：完整知识体系与出版级知识架构

📘 序言 | Preface

本章地位与价值
定积分理论是数学分析的核心内容，它不仅是微积分基本定理的基础，更是连接离散与连续、代数与几何、有限与无限的桥梁。本章构建了从黎曼积分的严格定义、可积性理论、到积分计算与应用的完整体系，为后续的级数理论、多元微积分和实变函数论奠定坚实基础。

目录架构 | Table of Contents

卷一：理论基础篇

• 第1章：定积分的定义与性质
• 第2章：可积性理论的三大支柱
• 第3章：微积分基本定理

卷二：深化拓展篇

• 第4章：积分不等式体系
• 第5章：变限积分与函数构造
• 第6章：特殊函数的可积性

卷三：应用实践篇

• 第7章：综合题型解析
• 第8章：历史发展与现代视角
• 第9章：向Lebesgue积分的桥梁

卷一：理论基础篇

第1章：定积分的定义与性质

§1.1 黎曼积分的严格定义

1.1.1 历史背景与动机

问题起源：如何精确定义"曲边梯形的面积"？

古希腊时期，阿基米德用穷竭法计算抛物线弓形面积，这是积分思想的萌芽。17世纪，牛顿和莱布尼茨建立了微积分，但缺乏严格的极限理论。19世纪，柯西首次给出积分的严格定义，但仍有不足。1854年，黎曼在其就职论文中给出了现在通用的定义。

1.1.2 分割与黎曼和

定义1.1（分割）

设 $[a,b]$ 是一个闭区间。称

$$T:a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$

为区间 $[a,b]$ 的一个分割（partition）。

相关概念：

• 小区间：${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i]$
• 小区间长度：$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
• 分割的模（mesh）：$\Vert T\Vert ={\max }_{1\le i\le n}\Delta x_i$

定义1.2（黎曼和）

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数，$T$ 是 $[a,b]$ 的一个分割。在每个小区间 ${\Delta }_i$ 上任取一点 ${\xi }_i\in {\Delta }_i$，称

$$\boxed{\sigma (T,\{{\xi }_i\})=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

为函数 $f$ 关于分割 $T$ 及点集 $\{{\xi }_i\}$ 的黎曼和（Riemann sum）。

几何意义：

当 $f(x)\ge 0$ 时，$\sigma (T,\{{\xi }_i\})$ 表示以小区间为底、$f({\xi }_i)$ 为高的矩形面积之和，这是对曲边梯形面积的近似。

1.1.3 黎曼可积的定义

定义1.3（黎曼可积）

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数。若存在实数 $I$，使得

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当}\Vert T\Vert <\delta \text{时，对任意点集}\{{\xi }_i\},$$

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-I\right|<\epsilon$$

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积（Riemann integrable），记为 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，并称 $I$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分（definite integral），记作

$$\boxed{I={\int }_a^{b}f(x)dx}$$

深层理解：

1. 与极限的关系： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

2. 关键特征：

   • 极限与点集选择无关（"一致收敛"性）
   • 只依赖于分割的细度 $\Vert T\Vert$

3. 与数列极限的区别：

   • 数列极限：单参数 $n\to \infty$
   • 黎曼积分：双参数（分割+点集）→ 单参数（$\Vert T\Vert$）

§1.2 上和与下和：Darboux积分

1.2.1 上和与下和的定义

为了避免点集选择的任意性，Darboux在1875年引入了上和与下和。

定义1.4（上和与下和）

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界函数，$T$ 是一个分割。定义：

$$\boxed{M_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\inf }f(x)}$$

$$\boxed{S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i}\text{（上和，Upper Sum）}$$

$$\boxed{s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i}\text{（下和，Lower Sum）}$$

定义1.5（上积分与下积分）

$$\boxed{\overline{S}=\underset{T}{\inf }S(T)}\text{（上积分，Upper Integral）}$$

$$\boxed{\underline{s}=\underset{T}{\sup }s(T)}\text{（下积分，Lower Integral）}$$

其中确界对所有可能的分割 $T$ 取得。

1.2.2 上下和的六大基本性质

性质1（确界性质） ★★★

$$S(T)=\underset{\{{\xi }_i\}}{\sup }\sum f({\xi }_i)\Delta x_i,s(T)=\underset{\{{\xi }_i\}}{\inf }\sum f({\xi }_i)\Delta x_i$$

证明：由上确界定义，$\forall \epsilon >0$，存在 ${\xi }_i\in {\Delta }_i$ 使得 $$f({\xi }_i)>M_i-\frac{\epsilon }{b-a}$$

因此 $$\sum f({\xi }_i)\Delta x_i>S(T)-\epsilon$$

这证明 $S(T)$ 是最小上界。✓

性质2（加细单调性） ★★★★

若 $T^{\prime }$ 是 $T$ 添加 $p$ 个新分点后的分割，则

$$\boxed{\{\begin{array}{l}S(T^{\prime })\le S(T)\le S(T^{\prime })+(M-m)p\Vert T\Vert \\ s(T)\le s(T^{\prime })\le s(T)+(M-m)p\Vert T\Vert \end{array}}$$

核心结论：加细分割后，上和↓，下和↑。

性质3（合并保序性） ★★★

若 $T=T^{\prime }+T^{\prime \prime }$（合并分割），则

$$S(T^{\prime })\ge S(T),S(T^{\prime \prime })\ge S(T)$$ $$s(T^{\prime })\le s(T),s(T^{\prime \prime })\le s(T)$$

性质4（普遍不等式） ★★★★

对任意两个分割 $T^{\prime }$ 和 $T^{\prime \prime }$：

$$\boxed{s(T^{\prime })\le S(T^{\prime \prime })}$$

推论：所有下和有上界，所有上和有下界，因此上下积分存在。

性质5（上下积分的界） ★★

$$m(b-a)\le \underline{s}\le \overline{S}\le M(b-a)$$

其中 $m={\inf }_{[a,b]}f$，$M={\sup }_{[a,b]}f$。

性质6（达布定理） ★★★★★

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\overline{S},\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)=\underline{s}}$$

证明思路：

1. 由 $\overline{S}$ 定义，$\exists T^{\prime }$ 使得 $S(T^{\prime })<\overline{S}+\epsilon /2$
2. 对任意 $T$，$T+T^{\prime }$ 至多比 $T$ 多 $p$ 个分点
3. 由性质2：$S(T)\le S(T^{\prime })+(M-m)p\Vert T\Vert$
4. 选择 $\Vert T\Vert$ 足够小，得 $|S(T)-\overline{S}|<\epsilon$

重要性：连接了确界（静态）与极限（动态），是Darboux积分与Riemann积分等价的关键。

§1.3 定积分的基本性质

性质1（线性性）

若 $f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，则

$${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

性质2（保序性）

若 $f\le g$ 在 $[a,b]$ 上，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

性质3（绝对值不等式）

若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，则 $|f|\in \mathcal{R}[a,b]$，且

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

性质4（区间可加性）

若 $a<c<b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

性质5（积分第一中值定理）

若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，$m\le f(x)\le M$，则存在 $\mu \in [m,M]$ 使得

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\mu (b-a)$$

若 $f$ 连续，则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

第2章：可积性理论的三大支柱

§2.1 可积的第一充要条件

定理2.1（上下积分相等） ★★★★★

$$\boxed{f\in \mathcal{R}[a,b]⟺\overline{S}=\underline{s}}$$

证明框架：

必要性：$f$ 可积 $\Rightarrow$ 对任意 $\epsilon$，存在 $\delta$ 使得 $$J-\epsilon <s(T)\le \sum f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)<J+\epsilon$$

结合达布定理，得 $\overline{S}=\underline{s}=J$。

充分性：$\overline{S}=\underline{s}=J$ $\Rightarrow$ 由达布定理和夹逼，得黎曼和收敛到 $J$。

§2.2 可积的第二充要条件（振幅准则）

定义2.1（振幅）

$${\omega }_i=M_i-m_i$$

称为 $f$ 在 ${\Delta }_i$ 上的振幅（oscillation）。

定理2.2（振幅准则） ★★★★★

$$\boxed{f\in \mathcal{R}[a,b]⟺\forall \epsilon >0,\exists T:\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon }$$

几何意义：外包矩形与内接矩形的面积差可任意小。

应用价值：

• 证明连续函数可积
• 证明单调函数可积

§2.3 可积的第三充要条件（Riemann准则）

定理2.3（Riemann准则） ★★★★★

$$\boxed{\begin{array}{rl}f\in \mathcal{R}[a,b]⟺& \forall \epsilon >0,\forall \eta >0,\exists T:\\ & \text{满足}{\omega }_i\ge \eta \text{的小区间总长}\sum ^{\prime }\Delta x_i<\epsilon \end{array}}$$

本质意义：

可积性只依赖于"振幅大的区间"的总长度。即使函数在某些点不连续，只要"不连续程度严重的区间总长度可任意小"，函数仍可积。

这是**"几乎处处连续"**概念的雏形。

证明思路（必要性）：

1. 由振幅准则，$\exists T:\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \eta$
2. 将小区间分为A类（${\omega }_i\ge \eta$）和B类（${\omega }_i<\eta$）
3. $\eta \cdot {\sum }_A\Delta x_i\le {\sum }_A{\omega }_i\Delta x_i\le {\sum }_{\text{全部}}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \eta$
4. 因此 ${\sum }_A\Delta x_i<\epsilon$

§2.4 三大充要条件的比较与统一

统一视角：三者本质上刻画了同一件事——函数的"不规则性"在某种意义下是"可控的"。

第3章：微积分基本定理

§3.1 原函数存在定理

定理3.1（变限积分的可微性）

若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，定义

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$$

则 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续。

若 $f$ 在 $x_0\in (a,b)$ 处连续，则 $F$ 在 $x_0$ 处可微，且

$$\boxed{F^{\prime }(x_0)=f(x_0)}$$

§3.2 微积分基本定理

定理3.2（Newton-Leibniz公式） ★★★★★

若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，$F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F^{\prime }(x)=f(x)$），则

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\equiv F(x){|}_a^b}$$

证明思路：

1. 设 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，则 $G^{\prime }(x)=f(x)$
2. 因此 $G$ 也是 $f$ 的原函数
3. $F(x)-G(x)=C$（常数）
4. 取 $x=a$：$F(a)-0=C$
5. 取 $x=b$：$F(b)-G(b)=C$
6. 因此 ${\int }_a^{b}f=G(b)=F(b)-F(a)$

§3.3 分部积分与换元公式

定理3.3（分部积分公式）

若 $u,v$ 在 $[a,b]$ 上可微，且 $u^{\prime },v^{\prime }\in \mathcal{R}[a,b]$，则

$$\boxed{{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx}$$

定理3.4（换元公式）

若 $\phi :[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$ 可微，${\phi }^{\prime }\in \mathcal{R}[\alpha ,\beta ]$，$f\in \mathcal{R}[a,b]$，则

$$\boxed{{\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt}$$

卷二：深化拓展篇

第4章：积分不等式体系

§4.1 Schwarz不等式

定理4.1（Schwarz不等式） ★★★★★

若 $f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，则

$$\boxed{{\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx}$$

证明方法1：判别式法

构造 $I(\lambda )=\int [f+\lambda g{]}^{2}dx\ge 0$。

展开：$I(\lambda )=A+2B\lambda +C{\lambda }^2$，其中 $$A=\int f^2,B=\int fg,C=\int g^2$$

由 $I(\lambda )\ge 0$ 恒成立，判别式 $\Delta =4B^2-4AC\le 0$，即 $$B^2\le AC$$

证明方法2：标准化法

设 $F=f/\Vert f{\Vert }_2$，$G=g/\Vert g{\Vert }_2$，其中 $\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{\int f^2}$。

则 $\Vert F{\Vert }_2=\Vert G{\Vert }_2=1$。

由 $[F-G{]}^2\ge 0$，得 $$\int FG\le \frac{1}{2}(\int F^2+\int G^2)=1$$

类似地 $\int FG\ge -1$，因此 $|\int FG|\le 1$。

还原即得Schwarz不等式。

等号成立条件：

$$\text{等号成立}⟺f\text{ 与 }g\text{ 线性相关（几乎处处）}$$

即 $\exists c_1,c_2$ 不全为0，使得 $c_{1}f+c_{2}g=0$ a.e.

§4.2 Hölder不等式

定理4.2（Hölder不等式）

若 $p,q>1$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则

$$\boxed{{\int }_a^b|f(x)g(x)|dx\le {\left({\int }_a^b|f{|}^{p}dx\right)}^{1/p}{\left({\int }_a^b|g{|}^{q}dx\right)}^{1/q}}$$

特例：$p=q=2$ 即为Schwarz不等式。

§4.3 Minkowski不等式

定理4.3（Minkowski不等式）

若 $p\ge 1$，则

$$\boxed{{\left({\int }_a^b|f+g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}\le {\left({\int }_a^b|f{|}^{p}dx\right)}^{1/p}+{\left({\int }_a^b|g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}}$$

几何意义：这是 $L^p$ 空间中的三角不等式。

证明：利用Hölder不等式展开 $\int |f+g{|}^p$。

§4.4 Jensen不等式

定理4.4（Jensen不等式的积分形式）

若 $\phi$ 是凸函数，$f\in \mathcal{R}[a,b]$，则

$$\boxed{\phi \left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^b\phi (f(x))dx}$$

应用：证明平均值不等式、信息论中的不等式等。

第5章：变限积分与函数构造

§5.1 变限积分的性质

定理5.1（变限积分的单调性）

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续递增，定义

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt,& x\in (a,b]\\ f(a),& x=a\end{array}$$

则 $F$ 在 $[a,b]$ 上递增。

证明： $$F^{\prime }(x)=\frac{(x-a)f(x)-{\int }_a^{x}f}{(x-a{)}^2}=\frac{{\int }_a^x[f(x)-f(t)]dt}{(x-a{)}^2}\ge 0$$

（因为 $f$ 递增 $\Rightarrow f(x)\ge f(t)$ for $t\le x$）

§5.2 周期函数的积分

定理5.2（周期函数积分的平均化）

若 $f$ 是周期为 $p$ 的连续函数，则

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{1}{p}{\int }_0^{p}f(t)dt}$$

证明思路：

1. 设 $x=np+r$，$0\le r<p$
2. ${\int }_0^{x}f=n{\int }_0^{p}f+{\int }_{np}^{np+r}f$
3. $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f=\frac{n{\int }_0^{p}f}{np+r}+\frac{{\int }_{np}^{np+r}f}{np+r}$
4. 当 $x\to \infty$ 时，第一项 $\to \frac{1}{p}{\int }_0^{p}f$，第二项 $\to 0$

第6章：特殊函数的可积性

§6.1 Riemann函数的可积性

例6.1（Riemann函数） ★★★★★

$$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q}\text{ （既约真分数）}\\ 0,& x=0,1\text{ 或无理数}\end{array}$$

定理6.1：$R(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且 ${\int }_0^{1}R(x)dx=0$。

证明（用Riemann准则）：

1. 任给 $\epsilon ,\eta >0$
2. 满足 ${\omega }_i\ge \eta$ 的小区间必包含分母 $\le 1/\eta$ 的有理点
3. 这样的有理点只有有限个（设为 $K$ 个）
4. 选择 $\Vert T\Vert <\epsilon /(2K)$，则这些小区间总长 $<\epsilon$
5. 由Riemann准则，$R$ 可积

积分值：由于每个小区间上 $m_i=0$（无理数稠密），所以 $s(T)=0$，因此 $\int R=0$。

§6.2 复合函数的可积性

定理6.2

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积，且 $a\le \phi (t)\le b$，则 $F(t)=f(\phi (t))$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积。

证明：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续：$|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta \Rightarrow |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\eta$
2. $\phi$ 可积，由Riemann准则，振幅 $\ge \delta$ 的区间总长 $<\epsilon$
3. 在振幅 $<\delta$ 的区间上，${\omega }_F<\eta$
4. 因此满足 ${\omega }_F\ge \eta$ 的区间总长 $<\epsilon$
5. 由Riemann准则，$F$ 可积

§6.3 稠密连续点定理

定理6.3（可积函数的连续点结构） ★★★★★

若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必有无限多个处处稠密的连续点。

证明（区间套法）：

1. 由振幅准则，$\exists T_1:S(T_1)-s(T_1)<b-a$
2. 因此存在小区间 $I_1\subset [a,b]$ 使得 $\omega (I_1)<1$
3. 对 $I_1$ 重复，得 $I_2\subset I_1$ 使得 $\omega (I_2)<1/2$
4. 归纳构造：$I_n\supset I_{n+1}$，$\omega (I_n)<1/n$
5. 由区间套定理，$\exists x_0\in \cap I_n$
6. 由 $\omega (I_n)\to 0$，$f$ 在 $x_0$ 连续
7. 对任意子区间重复此过程，得连续点稠密

深刻意义：这是Lebesgue定理的初步形式——Riemann可积 ⟺ 几乎处处连续。

卷三：应用实践篇

第7章：综合题型解析

§7.1 积分不等式证明

题型1：凸函数与积分

例7.1：若 $f$ 在 $[0,a]$ 上连续，二阶可导，且 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$，证明

$${\int }_0^{a}f(t)dt\le \frac{a}{2}[f(0)+f(a)]$$

解答：

方法1（几何法）：

$f^{\prime \prime }\ge 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是凸函数，其图像在连接 $(0,f(0))$ 和 $(a,f(a))$ 的弦下方。

弦的方程：$L(t)=f(0)+\frac{f(a)-f(0)}{a}t$

因此 $f(t)\le L(t)$，积分得 $${\int }_0^{a}f(t)dt\le {\int }_0^{a}L(t)dt=\frac{a}{2}[f(0)+f(a)]$$

方法2（变分法）：

考虑泛函 $J={\int }_0^{a}f(t)dt$ 在约束 $f(0),f(a)$ 固定下的极大值。

由变分原理，极值函数满足 $f^{\prime \prime }=0$，即为线性函数 $L(t)$。

由 $f^{\prime \prime }\ge 0$，$f$ 在 $L$ 下方，因此 $J[f]\le J[L]$。

题型2：Schwarz不等式的应用

例7.2：若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，证明

$${\left({\int }_a^{b}xf(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{x}^{2}dx\cdot {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$

解答：

令 $g(x)=x$，$h(x)=f(x)$，应用Schwarz不等式：

$${\left(\int gh\right)}^2\le \left(\int g^2\right)\left(\int h^2\right)$$

即 $${\left(\int xf\right)}^2\le \left(\int x^2\right)\left(\int f^2\right)=\frac{b^3-a^3}{3}\cdot \int f^2$$

例7.3：若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，$f(x)\ge m>0$，证明

$${\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^b\frac{1}{f(x)}dx\ge (b-a{)}^2$$

解答：

令 $g(x)=\sqrt{f(x)}$，$h(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$。

由Schwarz不等式：

$${\left(\int gh\right)}^2\le \left(\int g^2\right)\left(\int h^2\right)$$

$${\left(\int \sqrt{f}\cdot \frac{1}{\sqrt{f}}\right)}^2\le \left(\int f\right)\left(\int \frac{1}{f}\right)$$

$$(b-a{)}^2\le \int f\cdot \int \frac{1}{f}$$

§7.2 极限与积分的交换

题型3：变限积分的极限

例7.4：设 $f$ 连续周期函数，周期为 $p$，求

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$$

解答：见定理5.2，答案为 $\frac{1}{p}{\int }_0^{p}f$。

例7.5：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{nx}{1+n^2{x}^2}dx$

解答：

方法1（直接计算）：

$${\int }_0^1\frac{nx}{1+n^2{x}^2}dx=\frac{1}{2n}{\int }_0^{n^2}\frac{du}{1+u}=\frac{\ln (1+n^2)}{2n}$$

（令 $u=n^2{x}^2$）

因此 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (1+n^2)}{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2\ln n}{2n}=0$$

方法2（控制收敛）：

注意到 $\frac{nx}{1+n^2{x}^2}\le \frac{1}{2n}$（由基本不等式），所以 $$0\le {\int }_0^1\frac{nx}{1+n^2{x}^2}dx\le \frac{1}{2n}\to 0$$

§7.3 函数性质的积分刻画

题型4：奇偶函数的原函数

例7.6：证明连续奇函数的原函数都是偶函数。

解答：

设 $f$ 是奇函数，$F$ 是其原函数。

$$\frac{d}{dx}[F(-x)]=-F^{\prime }(-x)=-f(-x)=f(x)=F^{\prime }(x)$$

因此 $F(-x)$ 和 $F(x)$ 都是 $f$ 的原函数，相差常数 $C$：

$$F(-x)=F(x)+C$$

取 $x=0$：$F(0)=F(0)+C$，得 $C=0$。

因此 $F(-x)=F(x)$，$F$ 是偶函数。

例7.7：证明连续偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

解答：

存在性：取 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$。

$$F(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt=-{\int }_0^{x}f(-s)ds=-{\int }_0^{x}f(s)ds=-F(x)$$

（利用 $f$ 偶性）

唯一性：若 $G$ 也是奇函数原函数，则 $G=F+C$。

由 $G$ 奇性：$G(0)=0=F(0)+C=0+C$，得 $C=0$。

题型5：处处正性与积分正性

例7.8：若 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，处处 $f(x)>0$，证明 ${\int }_a^{b}f>0$。

解答：

由定理6.3，$f$ 有稠密连续点。取连续点 $c\in (a,b)$。

由 $f(c)>0$ 和连续性，$\exists \delta >0$ 使得 $$f(x)>\frac{f(c)}{2},x\in (c-\delta ,c+\delta )$$

因此 $${\int }_a^{b}f\ge {\int }_{c-\delta }^{c+\delta }f>\frac{f(c)}{2}\cdot 2\delta =f(c)\delta >0$$

第8章：历史发展与现代视角

§8.1 积分理论的历史演变

8.1.1 古希腊时期：穷竭法

阿基米德（公元前287-212）用穷竭法计算抛物线弓形面积：

$$S=\frac{4}{3}{S}_{△}$$

其中 $S_{△}$ 是相应三角形面积。

8.1.2 微积分时期：Newton与Leibniz

牛顿（1642-1727）和莱布尼茨（1646-1716）独立发现微积分基本定理，但缺乏严格基础。

8.1.3 严格化时期：Cauchy与Riemann

柯西（1789-1857）：首次严格定义积分（针对连续函数）。

黎曼（1826-1866）：1854年给出一般有界函数的积分定义，提出可积准则。

8.1.4 简化时期：Darboux

达布（1842-1917）：1875年引入上下和，简化Riemann积分理论。

证明了Darboux积分与Riemann积分的等价性。

8.1.5 现代时期：Lebesgue与测度论

勒贝格（1875-1941）：1902年创立Lebesgue积分理论。

Lebesgue可积准则：

$f$ 有界Riemann可积 ⟺ $f$ 的不连续点集是零测集

§8.2 从Riemann到Lebesgue

8.2.1 Riemann积分的局限性

1. 极限定理不够强：

   • 函数列逐点收敛 $\nRightarrow$ 积分可交换极限
   • 需要一致收敛等强条件

2. 可积函数类不够广：

   • Dirichlet函数不Riemann可积
   • 某些重要函数（如某些Fourier级数的和函数）不可积

8.2.2 Lebesgue积分的优势

1. 更广的可积函数类：

   • 包含所有Riemann可积函数
   • 还包含某些Riemann不可积函数

2. 更强的极限定理：

   • 控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）
   • Fatou引理
   • 单调收敛定理

3. 完备性：

   • $L^p$ 空间是完备的（Banach空间）
   • Riemann可积函数空间不完备

8.2.3 测度论的基本概念

零测集：集合 $E$ 称为零测集，若 $$\forall \epsilon >0,\exists \{I_n\}:E\subset \bigcup I_n,\sum |I_n|<\epsilon$$

基本事实：

• 单点集是零测集
• 可数集是零测集
• Cantor集：不可数但零测集

几乎处处：性质 $P(x)$ 几乎处处成立，若 $$\{x:P(x)\text{ 不成立}\}\text{ 是零测集}$$

Lebesgue定理的精确表述：

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积 ⟺ $f$ 几乎处处连续

§8.3 Riemann可积函数空间的结构

8.3.1 向量空间结构

$\mathcal{R}[a,b]$ 是一个实向量空间：

1. $f+g\in \mathcal{R}$ （加法封闭）
2. $\lambda f\in \mathcal{R}$ （数乘封闭）
3. 满足线性空间公理

8.3.2 格结构

$\mathcal{R}[a,b]$ 是一个格（lattice）：

$$\max \{f,g\}\in \mathcal{R},\min \{f,g\}\in \mathcal{R}$$

推论：$|f|=\max \{f,-f\}\in \mathcal{R}$。

8.3.3 代数结构

$\mathcal{R}[a,b]$ 是一个代数（algebra）：

$$f\cdot g\in \mathcal{R}$$

8.3.4 赋范结构与不完备性

定义 $L^1$ 范数： $$\Vert f{\Vert }_1={\int }_a^b|f(x)|dx$$

则 $\mathcal{R}[a,b]$ 是一个赋范向量空间，但不完备！

反例：构造可积函数列 $\{f_n\}$，其 $L^1$ 极限是Dirichlet函数（不可积）。

8.3.5 完备化：$L^1$ 空间

$L^1[a,b]$ 是 $\mathcal{R}[a,b]$ 在 $L^1$ 范数下的完备化：

$$\mathcal{R}[a,b]⊊L^1[a,b]$$

$L^1[a,b]$ 是一个Banach空间（完备赋范空间）。

第9章：向Lebesgue积分的桥梁

§9.1 测度论初步

9.1.1 外测度

定义9.1（Lebesgue外测度）

$$m^{\ast }(E)=\inf \left\{\sum _{n=1}^{\infty }|I_n|:E\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{I}_n,I_n\text{ 是区间}\right\}$$

性质：

1. $m^{\ast }(\varnothing )=0$
2. 单调性：$E_1\subset E_2\Rightarrow m^{\ast }(E_1)\le m^{\ast }(E_2)$
3. 次可数可加性：$m^{\ast }(\bigcup E_n)\le \sum m^{\ast }(E_n)$

9.1.2 可测集与测度

定义9.2（Lebesgue可测集）

集合 $E$ 称为Lebesgue可测，若对任意集合 $A$：

$$m^{\ast }(A)=m^{\ast }(A\cap E)+m^{\ast }(A\cap E^c)$$

可测集的外测度称为其Lebesgue测度，记为 $m(E)$。

基本结果：

• 所有区间都可测
• 可测集关于可数并、交、补封闭
• 可数个互不相交可测集的测度满足：$m(\bigcup E_n)=\sum m(E_n)$

9.1.3 几乎处处的精确定义

性质 $P(x)$ 几乎处处成立，若

$$m(\{x:P(x)\text{ 不成立}\})=0$$

§9.2 可测函数

定义9.3（可测函数）

函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 称为可测的，若对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$：

$$\{x:f(x)>\alpha \}\text{ 是可测集}$$

基本性质：

1. 连续函数是可测的
2. Riemann可积函数是可测的
3. 可测函数的代数运算、取极限仍可测

§9.3 Lebesgue积分简介

9.3.1 简单函数的积分

简单函数：形如 $s={\sum }_{i=1}^n{a}_i{\chi }_{E_i}$ 的函数（其中 $E_i$ 可测）。

定义： $$\int sdm=\sum _{i=1}^n{a}_{i}m(E_i)$$

9.3.2 非负可测函数的积分

$$\int fdm=\sup \left\{\int sdm:0\le s\le f,s\text{ 简单}\right\}$$

9.3.3 一般可测函数的积分

分解 $f=f^{+}-f^{-}$，其中 $f^{+}=\max \{f,0\}$，$f^{-}=\max \{-f,0\}$。

若 $\int f^{+},\int f^{-}$ 至少一个有限，定义 $$\int fdm=\int f^{+}dm-\int f^{-}dm$$

§9.4 Lebesgue与Riemann积分的关系

定理9.1

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积，则 $f$ Lebesgue可积，且积分值相等：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\text{ (Riemann)}={\int }_{[a,b]}fdm\text{ (Lebesgue)}$$

定理9.2（Lebesgue可积准则）

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积 ⟺ $f$ 几乎处处连续。

证明思路：

"⟹"：由Riemann准则，振幅大的区间总长可任意小，这些区间的并集恰是不连续点集，其测度为0。

"⟸"：不连续点集测度为0，因此对任意 $\eta$，振幅 $\ge \eta$ 的区间可以用总长 $<\epsilon$ 的区间覆盖。

§9.5 收敛定理

9.5.1 控制收敛定理（DCT）

定理9.3（Lebesgue控制收敛定理）

若 $\{f_n\}$ 是可测函数列，$f_n\to f$ a.e.，且存在可积函数 $g$ 使得

$$|f_n|\le g\text{ a.e.},\forall n$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=\int f$$

9.5.2 单调收敛定理（MCT）

定理9.4（Levi单调收敛定理）

若 $0\le f_1\le f_2\le \cdots$，$f_n\to f$ a.e.，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f$$

9.5.3 Fatou引理

定理9.5（Fatou引理）

若 $f_n\ge 0$，则

$$\int \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int f_n$$

§9.6 现代积分理论的发展

9.6.1 抽象测度空间

测度空间：$(X,\mathcal{F},\mu )$，其中

• $X$ 是非空集合
• $\mathcal{F}$ 是 $\sigma$-代数
• $\mu$ 是测度

在此框架下可以定义积分 ${\int }_{X}fd\mu$。

9.6.2 概率论中的应用

概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 是测度空间的特例（$P(\Omega )=1$）。

期望就是积分： $$E[X]={\int }_{\Omega }XdP$$

大数定律、中心极限定理等都基于Lebesgue积分理论。

9.6.3 泛函分析中的应用

$L^p$ 空间： $$L^p(X,\mu )=\left\{f:\int |f{|}^{p}d\mu <\infty \right\}/\sim$$

其中 $f\sim g$ 若 $f=g$ a.e.

性质：

• $L^p$ 是Banach空间（$1\le p\le \infty$）
• $L^2$ 是Hilbert空间（有内积）
• 应用：Fourier分析、偏微分方程、量子力学等

9.6.4 Henstock-Kurzweil积分

定义：允许"可变模"的分割（$\delta$-fine partition），推广了Riemann积分。

特点：

• 包含所有Lebesgue可积函数
• 还包含某些Lebesgue不可积但HK可积的函数
• 某种意义上是"最广"的积分

附录A：定理索引

附录B：符号表

附录C：思维导图

定积分完整知识体系
│
├─── 第一层：定义与基本概念
│    ├─ Riemann积分定义（黎曼和极限）
│    ├─ Darboux积分定义（上下和）
│    ├─ 达布定理（两者等价）
│    └─ 定积分的基本性质（线性、保序、可加等）
│
├─── 第二层：可积性理论（三大充要条件）
│    ├─ 第一充要条件：上积分=下积分
│    ├─ 第二充要条件：振幅准则
│    ├─ 第三充要条件：Riemann准则
│    └─ 应用：判定函数可积性
│
├─── 第三层：计算理论
│    ├─ 原函数存在定理（变限积分可微性）
│    ├─ 微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）
│    ├─ 分部积分公式
│    └─ 换元积分公式
│
├─── 第四层：不等式体系
│    ├─ Schwarz不等式
│    ├─ Hölder不等式
│    ├─ Minkowski不等式
│    └─ Jensen不等式
│
├─── 第五层：特殊函数与深化
│    ├─ Riemann函数的可积性
│    ├─ 复合函数可积性
│    ├─ 稠密连续点定理
│    └─ 变限积分的性质
│
└─── 第六层：向Lebesgue积分的桥梁
     ├─ 测度论基础（外测度、可测集）
     ├─ Lebesgue积分定义
     ├─ Riemann与Lebesgue积分的关系
     └─ 收敛定理（DCT、MCT、Fatou）

结语：从Riemann到现代分析

定积分理论的发展历程，是数学严格化运动的缩影：

1. 直观阶段（古希腊-17世纪）：面积、体积的几何直观
2. 算法阶段（17-18世纪）：微积分基本定理，计算技巧
3. 严格化阶段（19世纪）：Cauchy、Riemann、Darboux的严格定义
4. 推广阶段（20世纪）：Lebesgue积分、抽象测度论
5. 应用阶段（现代）：泛函分析、概率论、偏微分方程

学习建议：

1. 打牢基础：深入理解三大充要条件的等价性
2. 重视几何直观：积分的本质是"求和取极限"
3. 把握理论脉络：从Riemann到Lebesgue的演变逻辑
4. 注重应用：积分不等式、微分方程、概率论等
5. 前瞻视野：了解测度论、泛函分析的现代框架

进一步阅读：

经典教材：

• 华罗庚《数学分析简明教程》
• Rudin《数学分析原理》
• Apostol《数学分析》

现代理论：

• Royden & Fitzpatrick《实分析》
• Folland《实分析：现代技巧及其应用》
• Stein & Shakarchi《实分析》

历史文献：

• Riemann原始论文（1854）
• Lebesgue《积分、长度与面积》（1902）

致谢：本知识体系的构建得益于数学分析发展史上众多大师的贡献，从阿基米米德、牛顿、莱布尼茨，到柯西、黎曼、达布，再到勒贝格、希尔伯特、科尔莫戈洛夫，他们为积分理论的完善和发展做出了不朽的贡献。

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