基于对PDF文档的全面分析,我将为您构建含参量反常积分的完整知识体系。这是第19章第2节的内容,是含参量积分理论的进阶部分。

第十九章第2节：含参量反常积分完整知识体系

📊 知识体系思维导图

含参量反常积分
│
├── 1. 基本概念与定义
│   ├── 1.1 无穷限反常积分
│   │   ├── 定义：Φ(x) = ∫[c,+∞) f(x,y)dy
│   │   ├── 收敛性讨论
│   │   └── 与函数项级数的类比
│   │
│   ├── 1.2 无界函数反常积分
│   │   ├── 定义：瑕点在y=d处
│   │   └── 一致收敛定义
│   │
│   └── 1.3 核心概念
│       ├── 一致收敛性
│       ├── 内闭一致收敛性
│       └── 柯西准则
│
├── 2. 一致收敛性理论
│   ├── 2.1 基本定理
│   │   ├── 定理19.7（柯西准则）
│   │   ├── 定理19.8（判别准则）
│   │   └── 定理19.9（与函数项级数的等价性）
│   │
│   ├── 2.2 三大判别法
│   │   ├── Weierstrass M判别法
│   │   │   ├── 条件：|f(x,y)| ≤ g(y)且∫g(y)dy收敛
│   │   │   ├── 特点：简单直接
│   │   │   └── 应用：例2、例3
│   │   │
│   │   ├── Dirichlet判别法
│   │   │   ├── 条件：一致有界+单调趋于0
│   │   │   ├── 特点：处理振荡函数
│   │   │   └── 应用：例4
│   │   │
│   │   └── Abel判别法
│   │       ├── 条件：一致收敛+单调有界
│   │       ├── 特点：处理乘积型
│   │       └── 应用：例3
│   │
│   └── 2.3 一致收敛性判定实例
│       ├── 例1：∫sin(xy)dy的讨论
│       ├── 例2：∫cos(xy)/(1+x²)dx
│       ├── 例3：∫e^(-xy)sin(x)dx
│       └── 例4：∫y·sin(xy)/(1+y²)dy
│
├── 3. 含参量反常积分的性质
│   ├── 3.1 连续性定理（定理19.10）
│   │   ├── 条件：f(x,y)连续+一致收敛
│   │   ├── 结论：Φ(x)连续
│   │   └── 推论：极限与积分可交换
│   │
│   ├── 3.2 可微性定理（定理19.11）
│   │   ├── 条件：f,f_x连续+特定收敛性
│   │   ├── 结论：Φ'(x) = ∫f_x'(x,y)dy
│   │   └── 意义：求导与积分可交换
│   │
│   ├── 3.3 可积性定理（定理19.12）
│   │   ├── 条件：连续+一致收敛
│   │   ├── 结论：∫dx∫f(x,y)dy = ∫dy∫f(x,y)dx
│   │   └── 推广：定理19.13（双无穷限）
│   │
│   └── 3.4 性质定理的应用框架
│       ├── 连续性→求极限
│       ├── 可微性→计算积分
│       └── 可积性→交换顺序
│
├── 4. 典型应用与计算技巧
│   ├── 4.1 利用可积性计算积分
│   │   ├── 例5：∫e^(-px)(sin(bx)-sin(ax))/x dx
│   │   ├── 例6：∫sin(ax)/x dx = π/2·sgn(a)
│   │   └── 技巧：构造含参积分+交换顺序
│   │
│   ├── 4.2 利用可微性计算积分
│   │   ├── 例7：∫e^(-x²)cos(rx)dx = (√π/2)e^(-r²/4)
│   │   └── 技巧：对参数求导+解微分方程
│   │
│   ├── 4.3 椭圆积分（习题10）
│   │   ├── 完全椭圆积分E(k)和F(k)
│   │   ├── 求导公式
│   │   └── 微分方程
│   │
│   └── 4.4 综合应用技巧
│       ├── 引入参数法
│       ├── 微分法求积分
│       ├── 积分法求积分
│       └── 特殊函数计算
│
├── 5. 理论深化
│   ├── 5.1 与函数项级数的联系
│   │   ├── 定理19.9：等价性定理
│   │   ├── 证明技巧的相似性
│   │   └── 统一的理论框架
│   │
│   ├── 5.2 一致收敛的本质
│   │   ├── 几何意义
│   │   ├── 分析意义
│   │   └── 与逐点收敛的区别
│   │
│   └── 5.3 内闭一致收敛
│       ├── 定义与意义
│       ├── 与全局一致收敛的关系
│       └── 应用场景
│
└── 6. 高级主题与拓展
    ├── 6.1 特殊函数
    │   ├── Gamma函数
    │   ├── Beta函数
    │   └── 误差函数erf(x)
    │
    ├── 6.2 积分变换
    │   ├── Laplace变换
    │   ├── Fourier变换
    │   └── Mellin变换
    │
    └── 6.3 实际应用
        ├── 概率论（特征函数）
        ├── 物理学（量子力学）
        └── 工程学（信号处理）

第一部分：基本概念与理论基础

1.1 含参量反常积分的定义

定义1.1（无穷限反常积分）

设函数 $f(x,y)$ 定义在无界区域

$$R=\{(x,y)\mid x\in I,c\le y<+\infty \}$$

上,其中 $I$ 为一区间。若对每一个固定的 $x\in I$,反常积分

$${\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy\text{\hspace{1em}(1)}$$

都收敛,则它的值是 $x$ 在 $I$ 上取值的函数,记为:

$$\boxed{\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy,x\in I}\text{\hspace{1em}(2)}$$

称(1)式为定义在 $I$ 上含参量 $x$ 的无穷限反常积分,简称含参量反常积分。

定义1.2（无界函数反常积分）

设 $f(x,y)$ 在区域 $R=[a,b]\times [c,d)$ 上有定义。若对 $x$ 的某些值,$y=d$ 为函数 $f(x,y)$ 的瑕点,则称

$${\int }_c^{d}f(x,y)dy\text{\hspace{1em}(3)}$$

为含参量 $x$ 的无界函数反常积分。

核心理念

含参量反常积分与函数项级数在研究问题与论证方法上极为相似。这种类比关系是理解本章内容的关键。

1.2 一致收敛性的定义

定义1.3（一致收敛）

若含参量反常积分(1)与函数 $\Phi (x)$ 对任给的正数 $\epsilon$,总存在某一实数 $N>c$,使得当 $M>N$ 时,对一切 $x\in I$,都有

$$\left|{\int }_M^{+\infty }f(x,y)dy\right|=\left|{\int }_c^{M}f(x,y)dy-\Phi (x)\right|<\epsilon$$

则称含参量反常积分(1)在 $I$ 上一致收敛于 $\Phi (x)$。

定义1.4（内闭一致收敛）

若对任意 $[a,b]\subset I$,含参量反常积分(1)在 $[a,b]$ 上一致收敛,则称(1)在 $I$ 上内闭一致收敛。

注：若 $I=[a,b]$,则内闭一致收敛即一致收敛。

概念解析

一致收敛与逐点收敛的区别：

• 逐点收敛：对每个固定的 $x$,$N$ 的选取依赖于 $x$ $$\forall x\in I,\forall \epsilon >0,\exists N(x,\epsilon ):M>N(x,\epsilon )\Rightarrow \left|{\int }_M^{+\infty }f(x,y)dy\right|<\epsilon$$

• 一致收敛：存在统一的 $N$ 对所有 $x$ 都有效 $$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon ):\forall x\in I,M>N(\epsilon )\Rightarrow \left|{\int }_M^{+\infty }f(x,y)dy\right|<\epsilon$$

几何意义：

一致收敛意味着"尾部"积分 ${\int }_M^{+\infty }f(x,y)dy$ 可以同时对所有 $x\in I$ 控制得任意小。

1.3 一致收敛的判别准则

定理19.7（柯西准则）

定理陈述：含参量反常积分(1)在 $I$ 上一致收敛的充要条件是：

对任给正数 $\epsilon$,总存在某一实数 $M>c$,使得当 $A_2,A_1>M$ 时,对一切 $x\in I$,都有

$$\boxed{\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(x,y)dy\right|<\epsilon }\text{\hspace{1em}(4)}$$

证明思路：类似于数列的柯西准则,利用积分的可加性。

定理19.8（判别准则）

定理陈述：含参量反常积分 ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛的充分必要条件是

$$\boxed{\underset{A\to +\infty }{\lim }F(A)=0}$$

其中 $$F(A)=\underset{x\in I}{\sup }\left|{\int }_A^{+\infty }f(x,y)dy\right|$$

证明：直接由一致收敛的定义推出。

应用：这个准则将一致收敛性转化为上确界的极限问题,便于判定。

第二部分：一致收敛性判别法

2.1 Weierstrass M判别法

定理陈述

设有函数 $g(y)$,使得

$$|f(x,y)|\le g(y),\forall (x,y)\in I\times [c,+\infty )$$

若 ${\int }_c^{+\infty }g(y)dy$ 收敛,则 ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛。

证明思路

$$\left|{\int }_A^{+\infty }f(x,y)dy\right|\le {\int }_A^{+\infty }|f(x,y)|dy\le {\int }_A^{+\infty }g(y)dy$$

由 ${\int }_c^{+\infty }g(y)dy$ 收敛,${\int }_A^{+\infty }g(y)dy$ 可任意小(与 $x$ 无关)。

特点

• 最简单直接的判别法
• 要求有一致的控制函数 $g(y)$
• 绝对收敛即一致收敛

2.2 Dirichlet判别法

定理陈述

设：

(i) 对一切实数 $N>c$,含参量正常积分

$${\int }_c^{N}f(x,y)dy$$

对参量 $x$ 在 $I$ 上一致有界,即存在正数 $M$,对一切 $N>c$ 及一切 $x\in I$,都有

$$\left|{\int }_c^{N}f(x,y)dy\right|\le M$$

(ii) 对每一个 $x\in I$,函数 $g(x,y)$ 为 $y$ 的单调函数,且当 $y\to +\infty$ 时,对参量 $x$,$g(x,y)$ 一致地收敛于0。

则含参量反常积分

$${\int }_c^{+\infty }f(x,y)g(x,y)dy$$

在 $I$ 上一致收敛。

应用场景

• 处理振荡函数与单调趋零函数的乘积
• 典型例子：$\sin (xy)$ 与 $\frac{1}{1+y^2}$ 的乘积

2.3 Abel判别法

定理陈述

设：

(i) ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛

(ii) 对每一个 $x\in I$,函数 $g(x,y)$ 为 $y$ 的单调函数,且对参量 $x$,$g(x,y)$ 在 $I$ 上一致有界

则含参量反常积分

$${\int }_c^{+\infty }f(x,y)g(x,y)dy$$

在 $I$ 上一致收敛。

应用场景

• 处理一致收敛积分与单调有界函数的乘积
• 与Dirichlet判别法互补

2.4 典型例题：判别法应用

例1：区间相关的一致收敛性

问题：证明含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }\sin (xy)dy\text{\hspace{1em}(5)}$$

在 $[\delta ,+\infty )$ 上一致收敛(其中 $\delta >0$),但在 $(0,+\infty )$ 上不一致收敛。

证明：

第一步：证明在 $[\delta ,+\infty )$ 上一致收敛

作变量代换 $u=xy$,得

$${\int }_0^A\sin (xy)dy={\int }_0^{Ax}\frac{\sin u}{u}\cdot \frac{u}{x}du=\frac{1}{x}{\int }_0^{Ax}\sin udu\text{\hspace{1em}(6)}$$

由于 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin u}{u}du$ 收敛,则当 $A>M$ 时,对一切 $x\ge \delta >0$,有 $Ax>M$,由(6)式有

$$\left|{\int }_A^{+\infty }\sin (xy)dy\right|=\left|\frac{1}{x}{\int }_{Ax}^{+\infty }\sin udu\right|\le \frac{1}{\delta }\left|{\int }_{Ax}^{+\infty }\sin udu\right|$$

当 $Ax$ 充分大时,右端任意小,故由定理19.8,积分在 $[\delta ,+\infty )$ 上一致收敛。

第二步：证明在 $(0,+\infty )$ 上不一致收敛

由柯西准则,不一致收敛的充要条件是：

存在 ${\epsilon }_0>0$,对任意实数 $M>0$,总能找到 $A_2,A_1>M$ 和某个 $x\in (0,+\infty )$,满足

$$\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(x,y)dy\right|\ge {\epsilon }_0$$

令 ${\epsilon }_0=\frac{\ln 2}{2}$,$A_1=M$,$A_2=2M$,$x=\frac{1}{M}\in (0,+\infty )$。

对 $y\in [M,2M]$,此时 $xy\in [1,2]$,故 $\sin (xy)\ge \sin 1>0$。

$${\int }_M^{2M}\sin (xy)dy\ge \sin (1)\cdot M>\frac{\ln 2}{2}$$

(取适当的参数即可满足)

因此积分在 $(0,+\infty )$ 上不一致收敛。 ■

结论：该积分在 $(0,+\infty )$ 上内闭一致收敛。

例2：Weierstrass M判别法应用

问题：证明含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos (xy)}{1+x^2}dx\text{\hspace{1em}(7)}$$

在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。

证明：

对任何实数 $y$,有

$$\left|\frac{\cos (xy)}{1+x^2}\right|\le \frac{1}{1+x^2}$$

且反常积分

$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}$$

收敛。

由Weierstrass M判别法,含参量反常积分(7)在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。 ■

例3：Abel判别法应用

问题：证明含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin xdx\text{\hspace{1em}(8)}$$

在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛。

证明：

由于反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\sin xdx$ 收敛(当然,对于参量 $y$,它在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛)。

函数 $g(x,y)=e^{-xy}$ 对每个 $y\in [0,+\infty )$ 单调递减,且对任何 $0\le y<+\infty$,$x\ge 0$,都有

$$|g(x,y)|=|e^{-xy}|=e^{-xy}\le 1$$

故由Abel判别法,含参量反常积分(8)在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛。 ■

例4：Dirichlet判别法应用

问题：证明含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }\frac{y\sin (xy)}{1+y^2}dy\text{\hspace{1em}(9)}$$

在 $(0,+\infty )$ 上内闭一致收敛。

证明：

若 $[a,b]\subset (0,+\infty )$,则对任意 $x\in [a,b]$,

$$\left|{\int }_0^N\sin (xy)dy\right|=\left|\frac{1-\cos (Nx)}{x}\right|\le \frac{2}{x}\le \frac{2}{a}$$

因此一致有界。

又

$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{1+y^2}\right)=\frac{1-y^2}{(1+y^2{)}^2}$$

当 $y>1$ 时,$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{1+y^2}\right)<0$,因此 $\frac{y}{1+y^2}$ 关于 $y$ 单调递减。

且当 $y\to +\infty$ 时,

$$\frac{y}{1+y^2}\to 0\text{(对 x 一致)}$$

故由Dirichlet判别法,含参量反常积分(9)在 $[a,b]$ 上一致收敛。

又由 $[a,b]$ 的任意性,含参量反常积分(9)在 $(0,+\infty )$ 上内闭一致收敛。 ■

第三部分：含参量反常积分的性质定理

3.1 连续性定理

定理19.10（连续性）

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在 $I\times [c,+\infty )$ 上连续,若含参量反常积分

$$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy\text{\hspace{1em}(10)}$$

在 $I$ 上一致收敛,则 $\Phi (x)$ 在 $I$ 上连续。

证明思路

利用定理19.9,对任一递增且趋于 $+\infty$ 的数列 $\{A_n\}$($A_1=c$),函数项级数

$$\Phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\text{\hspace{1em}(11)}$$

在 $I$ 上一致收敛。

又由于 $f(x,y)$ 在 $I\times [c,+\infty )$ 上连续,故每个 $u_n(x)$ 都在 $I$ 上连续。

根据函数项级数的连续性定理,函数 $\Phi (x)$ 在 $I$ 上连续。 ■

推论（极限与积分可交换）

在一致收敛的条件下,极限运算与无穷积分运算可以交换：

$$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }{\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_c^{+\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)dy={\int }_c^{+\infty }f(x_0,y)dy}\text{\hspace{1em}(12)}$$

物理意义：系统的极限状态等于各部分极限状态的叠加。

3.2 可微性定理

定理19.11（可微性）

定理陈述：设 $f(x,y)$ 与 $f_x^{\prime }(x,y)$ 在区域 $I\times [c,+\infty )$ 上连续。若

• $\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 在 $I$ 上收敛
• ${\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛

则 $\Phi (x)$ 在 $I$ 上可微,且

$$\boxed{{\Phi }^{\prime }(x)={\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy}\text{\hspace{1em}(13)}$$

证明思路

对任一递增且趋于 $+\infty$ 的数列 $\{A_n\}$($A_1=c$),令

$$u_n(x)={\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy$$

由定理19.3推得

$$u_n^{\prime }(x)={\int }_{A_n}^{A_{n+1}}{f}_x^{\prime }(x,y)dy$$

由 ${\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛及定理19.9,可得函数项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}{f}_x^{\prime }(x,y)dy$$

在 $I$ 上一致收敛。

因此根据函数项级数的逐项求导定理,即得

$${\Phi }^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x)={\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$$

■

推论

设 $f(x,y)$ 和 $f_x^{\prime }(x,y)$ 在 $I\times [c,+\infty )$ 上连续,若

• $\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 在 $I$ 上收敛
• ${\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$ 在 $I$ 上内闭一致收敛

则 $\Phi (x)$ 在 $I$ 上可微,且 ${\Phi }^{\prime }(x)={\int }_c^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$。

应用意义：在定理条件下,求导运算和无穷积分运算可以交换。

3.3 可积性定理

定理19.12（有限区间上的可积性）

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times [c,+\infty )$ 上连续,若

$$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$$

在 $[a,b]$ 上一致收敛,则 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可积,且

$$\boxed{{\int }_a^{b}dx{\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_c^{+\infty }dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx}\text{\hspace{1em}(14)}$$

证明思路

由定理19.10知 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,从而 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

又由定理19.10的证明,函数项级数

$$\Phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy$$

在 $[a,b]$ 上一致收敛,且各项 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

根据函数项级数逐项求积定理,有

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b\Phi (x)dx& =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{u}_n(x)dx\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^{b}dx{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx\text{(定理19.6)}\\ & ={\int }_c^{+\infty }dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx\end{array}$$

■

定理19.13（双无穷限积分顺序交换）

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty )\times [c,+\infty )$ 上连续。若

(i) ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy$ 关于 $x$ 在 $[a,+\infty )$ 上内闭一致收敛,${\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 关于 $y$ 在 $[c,+\infty )$ 上内闭一致收敛

(ii) 积分 $${\int }_a^{+\infty }dx{\int }_c^{+\infty }|f(x,y)|dy\text{与}{\int }_c^{+\infty }dy{\int }_a^{+\infty }|f(x,y)|dx\text{\hspace{1em}(15)}$$ 中有一个收敛

则

$$\boxed{{\int }_a^{+\infty }dx{\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_c^{+\infty }dy{\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx}\text{\hspace{1em}(16)}$$

证明要点

不妨设(15)式中第一个积分收敛,由此推得

$${\int }_a^{+\infty }dx{\int }_c^{+\infty }|f(x,y)|dy$$

也收敛。

记

$$\begin{array}{rl}J(A,d)& =\left|{\int }_a^{A}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy-{\int }_a^{+\infty }dx{\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy\right|\\ & \le \left|{\int }_A^{+\infty }dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy\right|+\left|{\int }_a^{A}dx{\int }_d^{+\infty }f(x,y)dy\right|\end{array}$$

利用条件(i)和(ii),可证明当 $A,d$ 充分大时,$J(A,d)$ 任意小。

另一方面,由定理19.12,

$${\int }_a^{A}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^{d}dy{\int }_a^{A}f(x,y)dx$$

令 $A\to +\infty$, $d\to +\infty$,即得(16)式。 ■

第四部分：典型应用与计算技巧

4.1 利用可积性计算积分

例5：经典积分计算

问题：计算

$$I={\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\frac{\sin (bx)-\sin (ax)}{x}dx(p>0,b>a)$$

解法：

因为

$$\frac{\sin (bx)-\sin (ax)}{x}=\frac{1}{x}{\int }_a^b\cos (xy)dy={\int }_a^b\frac{\cos (xy)}{x}\cdot x\frac{dy}{x}={\int }_a^b\cos (xy)dy$$

所以

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\left({\int }_a^b\cos (xy)dy\right)dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }dx{\int }_a^b{e}^{-px}\cos (xy)dy\end{array}$$

验证可交换条件：

由于 $|e^{-px}\cos (xy)|\le e^{-px}$ 及反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}dx$ 收敛,根据Weierstrass M判别法,含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\cos (xy)dx$$

在 $[a,b]$ 上一致收敛。

由于 $e^{-px}\cos (xy)$ 在 $[0,+\infty )\times [a,b]$ 上连续,根据定理19.12交换积分顺序:

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_a^{b}dy{\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\cos (xy)dx\\ & ={\int }_a^b\left[\frac{p}{p^2+y^2}\right]dy\\ & ={\left[\arctan \frac{y}{p}\right]}_a^b\\ & =\arctan \frac{b}{p}-\arctan \frac{a}{p}\end{array}$$

答案：$$\boxed{I=\arctan \frac{b}{p}-\arctan \frac{a}{p}}$$

例6：Dirichlet积分

问题：计算

$$I={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (ax)}{x}dx$$

解法：

在例5中,令 $b=a$, $p\to 0^{+}$,则有

$$F(p)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\frac{\sin (ax)}{x}dx=\arctan \frac{a}{p}(p>0)$$

由Abel判别法可得上述含参量反常积分在 $p\ge 0$ 上一致收敛。

于是由定理19.10,$F(p)$ 在 $p\ge 0$ 上连续,且

$$I=F(0)=\underset{p\to 0^{+}}{\lim }F(p)=\underset{p\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{a}{p}$$

分类讨论：

• 当 $a>0$ 时：${\lim }_{p\to 0^{+}}\arctan \frac{a}{p}=\frac{\pi }{2}$
• 当 $a=0$ 时：${\lim }_{p\to 0^{+}}\arctan 0=0$
• 当 $a<0$ 时：${\lim }_{p\to 0^{+}}\arctan \frac{a}{p}=-\frac{\pi }{2}$

因此

$$\boxed{I={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (ax)}{x}dx=\frac{\pi }{2}\cdot \text{sgn}(a)}$$

其中 $\text{sgn}(a)$ 是符号函数。

特别地：$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$

这是著名的Dirichlet积分。

4.2 利用可微性计算积分

例7：Gauss积分的推广

问题：计算

$$I(r)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\cos (rx)dx$$

解法：

第一步：验证可微性条件

考察含参量反常积分

$$\frac{\partial }{\partial r}\left(e^{-x^2}\cos (rx)\right)=-x{e}^{-x^2}\sin (rx)$$

由于 $|-x{e}^{-x^2}\sin (rx)|\le x{e}^{-x^2}$ 对一切 $x\ge 0$, $-\infty <r<+\infty$ 成立,及反常积分

$${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}$$

收敛,根据Weierstrass M判别法,含参量反常积分

$${\int }_0^{+\infty }\left(-x{e}^{-x^2}\sin (rx)\right)dx$$

在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。

第二步：应用可微性定理

由定理19.11:

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(r)& ={\int }_0^{+\infty }\frac{\partial }{\partial r}\left(e^{-x^2}\cos (rx)\right)dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }\left(-x{e}^{-x^2}\sin (rx)\right)dx\\ & =-{\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}\sin (rx)dx\end{array}$$

第三步：分部积分

令 $u=e^{-x^2}$, $dv=x\sin (rx)dx$,则 $du=-2x{e}^{-x^2}dx$, $v=-\frac{\cos (rx)}{r}$:

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(r)& =-{\left[\frac{-e^{-x^2}\cos (rx)}{r}\right]}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }\frac{2x{e}^{-x^2}\cos (rx)}{r}dx\\ & =-\frac{1}{r}-\frac{2}{r}{\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}\cos (rx)dx\end{array}$$

再次分部积分或利用对称性,最终得到:

$$I^{\prime }(r)=-\frac{r}{2}I(r)$$

第四步：解微分方程

$$\frac{dI}{dr}=-\frac{r}{2}I$$

分离变量:

$$\frac{dI}{I}=-\frac{r}{2}dr$$

积分:

$$\ln I=-\frac{r^2}{4}+C$$

$$I(r)=K{e}^{-r^2/4}$$

第五步：确定常数

当 $r=0$ 时:

$$I(0)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

(这是著名的Gauss积分,将在第21章证明)

因此 $K=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

答案：$$\boxed{I(r)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\cos (rx)dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-r^2/4}}$$

意义：这个结果在概率论、量子力学、信号处理中都有重要应用。

4.3 完全椭圆积分（习题10）

背景

完全椭圆积分是经典的特殊函数,在天体力学、电磁学中有广泛应用。

定义：

$$F(k)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }},0<k<1$$

$$E(k)={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }d\varphi ,0<k<1$$

其中 $k$ 称为模。

问题(1)：求 $E(k)$ 与 $F(k)$ 的导数

解法：

对 $F(k)$ 求导：

被积函数对 $k$ 的偏导数为:

$$\frac{\partial }{\partial k}\left(\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}\right)=\frac{k{\sin }^2\varphi }{(1-k^2{\sin }^2\varphi {)}^{3/2}}$$

在 $[0,\pi /2]\times [\delta ,1-\delta ]$ ($0<\delta <\frac{1}{2}$) 上连续且一致收敛,故:

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(k)& ={\int }_0^{\pi /2}\frac{k{\sin }^2\varphi }{(1-k^2{\sin }^2\varphi {)}^{3/2}}d\varphi \\ & ={\int }_0^{\pi /2}\frac{k{\sin }^2\varphi }{(1-k^2{\sin }^2\varphi {)}^{3/2}}d\varphi \end{array}$$

利用恒等式 ${\sin }^2\varphi =1-{\cos }^2\varphi$ 和代数变换:

$$\boxed{F^{\prime }(k)=\frac{E(k)-(1-k^2)F(k)}{k(1-k^2)}}$$

对 $E(k)$ 求导：

$$\frac{\partial }{\partial k}\left(\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }\right)=\frac{-k{\sin }^2\varphi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}$$

故:

$$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }(k)& ={\int }_0^{\pi /2}\frac{-k{\sin }^2\varphi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}d\varphi \\ & =-{\int }_0^{\pi /2}\frac{k{\sin }^2\varphi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}d\varphi \end{array}$$

利用变换:

$$\boxed{E^{\prime }(k)=\frac{E(k)-F(k)}{k}}$$

问题(2)：证明 $E(k)$ 满足微分方程

$$E^{\prime \prime }(k)+\frac{E^{\prime }(k)}{k}+\frac{E(k)}{1-k^2}=0$$

证明思路：

从 $E^{\prime }(k)=\frac{E(k)-F(k)}{k}$ 出发,对 $k$ 再求导,利用 $F^{\prime }(k)$ 的表达式,经过代数化简即可得到所需的微分方程。

这类微分方程在椭圆函数理论中占据核心地位。

第五部分：理论深化与联系

5.1 含参量反常积分与函数项级数的联系

定理19.9（等价性定理）

定理陈述：含参量反常积分(1)在 $I$ 上一致收敛的充要条件是：

对任一趋于 $+\infty$ 的递增数列 $\{A_n\}$（其中 $A_1=c$）,函数项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy\text{\hspace{1em}(17)}$$

在 $I$ 上一致收敛。

证明

[必要性] 由(1)在 $I$ 上一致收敛,故对任给 $\epsilon >0$,必存在 $M>c$,使当 $A_{n+1}>A_n>M$ 时,对一切 $x\in I$,总有

$$\left|{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy\right|<\epsilon$$

这正是级数(17)的柯西准则。

[充分性] 用反证法。假若(1)在 $I$ 上不一致收敛,则存在某个正数 ${\epsilon }_0$,使得对于任何实数 $M>c$,存在相应的 $A_2^{(n)}>A_1^{(n)}>M$ 及 $x_n\in I$,使得

$$\left|{\int }_{A_1^{(n)}}^{A_2^{(n)}}f(x_n,y)dy\right|\ge {\epsilon }_0$$

构造递增数列 $\{A_n\}$ 使其包含所有的 $A_1^{(n)},A_2^{(n)}$,则级数(17)不一致收敛,矛盾。 ■

意义：

这个定理建立了含参量反常积分理论与函数项级数理论的等价性,使得我们可以：

1. 利用级数理论研究积分问题
2. 利用积分理论研究级数问题
3. 统一两种理论的证明方法

5.2 一致收敛性的深层理解

为什么需要一致收敛？

考虑极限交换问题:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{\int }_c^{+\infty }f(x,y)dy\stackrel{?}{=}{\int }_c^{+\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)dy$$

反例（仅逐点收敛的情况）：

令 $f(x,y)=\frac{x}{(1+xy{)}^2}$, $x\in [0,1]$, $y\in [0,+\infty )$。

对每个固定的 $x\in (0,1]$:

$${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+xy{)}^2}dy={\left[-\frac{1}{1+xy}\right]}_0^{+\infty }=1$$

但

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+xy{)}^2}dy=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$$

而

$${\int }_0^{+\infty }\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{(1+xy{)}^2}dy={\int }_0^{+\infty }0dy=0$$

矛盾！

原因：该积分在 $x=0$ 附近不一致收敛。

一致收敛的几何意义

一致收敛意味着：对于任意小的 $\epsilon >0$,存在 $N$ 使得所有曲线

$$y={\int }_N^{+\infty }f(x,y)dy,x\in I$$

都落在宽度为 $\epsilon$ 的带状区域内。

5.3 内闭一致收敛的实际意义

为什么引入内闭一致收敛？

许多重要的含参量反常积分在整个区间上不一致收敛,但在任何紧子区间上一致收敛。

例：${\int }_0^{+\infty }\sin (xy)dy$ 在 $(0,+\infty )$ 上内闭一致收敛但不一致收敛。

优点：

1. 局部性质：在实际应用中,往往只需要在有限区间上讨论性质
2. 理论扩展：许多定理可以推广到内闭一致收敛的情况
3. 实用性：大多数物理、工程问题中的参数都在有限范围内

第六部分：高级主题与拓展

6.1 特殊函数

含参量反常积分是定义和研究特殊函数的重要工具。

Gamma函数

$$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t}dt,s>0$$

性质：

1. $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$
2. $\Gamma (n)=(n-1)!$ ($n$ 为正整数)
3. $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$

Beta函数

$$B(p,q)={\int }_0^1{t}^{p-1}(1-t{)}^{q-1}dt,p,q>0$$

与Gamma函数的关系：

$$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$

误差函数

$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$

应用：概率论中的正态分布累积分布函数。

6.2 积分变换

Laplace变换

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$$

性质：

• 线性性
• 微分性质：$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$
• 卷积定理

Fourier变换

$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$

性质：

• 反演公式
• Plancherel定理
• 卷积定理

应用：

1. 微分方程求解：将微分方程转化为代数方程
2. 信号处理：频域分析
3. 图像处理：滤波、压缩

6.3 物理与工程应用

量子力学

波函数：

$$\psi (x,t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\varphi (k)e^{i(kx-\omega t)}dk$$

这是含参量反常积分,其中 $t$ 是参数。

电磁学

Green函数：

$$G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\int \frac{e^{ik|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^{3}k$$

概率论

特征函数：

$${\phi }_X(t)=E[e^{itX}]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{itx}{f}_X(x)dx$$

其中 $f_X(x)$ 是概率密度函数。

第七部分：综合习题与解析

习题3：求导计算

问题：设 $F(x)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin ydy$,求 $F^{\prime }(x)$。

解：

被积函数 $f(x,y)=e^{-xy}\sin y$ 及其偏导数

$$f_x^{\prime }(x,y)=-y{e}^{-xy}\sin y$$

在 $[\delta ,+\infty )\times [0,+\infty )$ 上连续($\delta >0$)。

验证一致收敛性：

$$|y{e}^{-xy}\sin y|\le y{e}^{-\delta y}$$

而 ${\int }_0^{+\infty }y{e}^{-\delta y}dy$ 收敛,故由M判别法,

$${\int }_0^{+\infty }{f}_x^{\prime }(x,y)dy$$

在 $[\delta ,+\infty )$ 上一致收敛。

由定理19.11:

$$F^{\prime }(x)={\int }_0^{+\infty }(-y{e}^{-xy}\sin y)dy$$

分部积分两次:

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\infty }y{e}^{-xy}\sin ydy& ={\left[-\frac{y{e}^{-xy}}{x}\cos y\right]}_0^{+\infty }+\frac{1}{x}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}(\cos y-xy\cos y)dy\\ & =\cdots \\ & =\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}\end{array}$$

(详细计算需要仔细的分部积分)

因此：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}}$$

习题4(1)：微分法求积分

问题：计算

$$I={\int }_0^{\pi /2}\ln (a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x)dx(a^2+b^2\ne 0)$$

解法：

引入参数 $t$:

$$F(t)={\int }_0^{\pi /2}\ln (a^2{\sin }^{2}x+t^2{\cos }^{2}x)dx$$

则 $I=F(b)$。

对 $t$ 求导:

$$F^{\prime }(t)={\int }_0^{\pi /2}\frac{2t{\cos }^{2}x}{a^2{\sin }^{2}x+t^2{\cos }^{2}x}dx$$

利用三角恒等式和对称性,经过计算:

$$F^{\prime }(t)=\frac{\pi t}{a^2+t^2}$$

积分:

$$F(t)=\pi \ln |a^2+t^2{|}^{1/2}+C$$

利用 $F(0)=\pi \ln |a|$:

$$C=\pi \ln |a|$$

因此:

$$\boxed{I=F(b)=\pi \ln \sqrt{a^2+b^2}}$$

习题5(1)：积分法求积分

问题：计算

$$I={\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}dx(b>a>0)$$

解法：

构造含参积分:

$$F(y)={\int }_0^1{x}^{y}dx=\frac{1}{y+1}$$

则

$$\frac{x^b-x^a}{\ln x}={\int }_a^b{x}^{y}dy$$

因此:

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{1}dx{\int }_a^b{x}^{y}dy\\ & ={\int }_a^{b}dy{\int }_0^1{x}^{y}dx\text{(交换积分顺序)}\\ & ={\int }_a^b\frac{dy}{y+1}\\ & =\ln (b+1)-\ln (a+1)\end{array}$$

答案：$$\boxed{I=\ln \frac{b+1}{a+1}}$$

习题6：累次积分与Fubini定理

问题：试求累次积分

$$J_1={\int }_0^{+\infty }dx{\int }_0^{+\infty }\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy$$

$$J_2={\int }_0^{+\infty }dy{\int }_0^{+\infty }\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dx$$

并指出它们为什么与定理19.6的结果不符。

解：

计算 $J_1$：

对固定的 $x>0$:

$${\int }_0^{+\infty }\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy$$