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第九章 §6：可积性理论补叙

完整知识体系与理论架构

核心主题 | Core Theme
本节深入探讨黎曼可积性的理论基础，通过上和与下和的精细分析，系统地建立了可积性的三大充要条件，揭示了达布定理与黎曼积分定义之间的内在联系，为理解积分理论的深层结构提供了坚实的数学基础。

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可积性理论补叙（§9.6）
│
├─── 第一层：上和与下和的基本理论 (Upper and Lower Sums)
│    │
│    ├─ 基本定义（回顾）★★
│    │  ├─ 分割 T: a = x₀ < x₁ < ··· < xₙ = b
│    │  ├─ 上和: S(T) = Σᵢ₌₁ⁿ Mᵢ·Δxᵢ
│    │  │  └─ Mᵢ = sup{f(x): x ∈ Δᵢ}
│    │  │
│    │  ├─ 下和: s(T) = Σᵢ₌₁ⁿ mᵢ·Δxᵢ
│    │  │  └─ mᵢ = inf{f(x): x ∈ Δᵢ}
│    │  │
│    │  └─ 基本不等式
│    │     m(b-a) ≤ s(T) ≤ Σf(ξᵢ)Δxᵢ ≤ S(T) ≤ M(b-a) ...(1)
│    │
│    ├─ 性质1：上下和作为确界★★★
│    │  ├─ 表述
│    │  │  ├─ S(T) = sup{Σf(ξᵢ)Δxᵢ} （对所有点集{ξᵢ}）
│    │  │  └─ s(T) = inf{Σf(ξᵢ)Δxᵢ}
│    │  │
│    │  ├─ 证明思路
│    │  │  ├─ 上界性已由(1)式得到
│    │  │  ├─ 证明最小上界（上确界）
│    │  │  │  └─ ∀ε>0, 在每个Δᵢ上选ξᵢ使
│    │  │  │     f(ξᵢ) > Mᵢ - ε/(b-a)
│    │  │  │
│    │  │  └─ 则 Σf(ξᵢ)Δxᵢ > Σ[Mᵢ - ε/(b-a)]Δxᵢ = S(T) - ε
│    │  │
│    │  └─ 几何意义
│    │     ├─ S(T): 最紧的上界（外包矩形的最小面积）
│    │     └─ s(T): 最紧的下界（内接矩形的最大面积）
│    │
│    ├─ 性质2：加细分割的单调性★★★★
│    │  ├─ 表述
│    │  │  └─ 若T'是T添加p个新分点所得分割，则
│    │  │     S(T') ≤ S(T) ≤ S(T') + (M-m)p||T||  ...(2)
│    │  │     s(T) ≤ s(T') ≤ s(T) + (M-m)p||T||  ...(3)
│    │  │
│    │  ├─ 核心结论
│    │  │  ├─ 加细分割后：上和↓（不增），下和↑（不减）
│    │  │  └─ 变化量 ≤ (M-m)·(新分点数)·||T||
│    │  │
│    │  ├─ 证明（p=1的情形）★★★
│    │  │  ├─ 设新分点落在小区间Δₖ，将其分为Δₖ'和Δₖ''
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 上和的变化
│    │  │  │  ├─ S(T) - S(T') = Mₖ·Δxₖ - (Mₖ'·Δxₖ' + Mₖ''·Δxₖ'')
│    │  │  │  ├─ = Mₖ(Δxₖ'+Δxₖ'') - (Mₖ'Δxₖ' + Mₖ''Δxₖ'')
│    │  │  │  ├─ = (Mₖ-Mₖ')Δxₖ' + (Mₖ-Mₖ'')Δxₖ''
│    │  │  │  │
│    │  │  │  └─ 由于 mₖ ≤ Mₖ'(或Mₖ'') ≤ Mₖ ≤ M
│    │  │  │     所以 0 ≤ (Mₖ-Mₖ')Δxₖ' ≤ (M-mₖ)Δxₖ'
│    │  │  │            ≤ (M-m)Δxₖ'
│    │  │  │
│    │  │  └─ 因此 0 ≤ S(T) - S(T') ≤ (M-m)||T||
│    │  │
│    │  ├─ 归纳推广（p个分点）
│    │  │  ├─ 设 T₀=T, T₁, T₂,..., Tₚ=T'
│    │  │  │  （每次加一个分点）
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 0 ≤ S(Tᵢ) - S(Tᵢ₊₁) ≤ (M-m)||T||
│    │  │  │
│    │  │  └─ 求和：0 ≤ S(T) - S(T') ≤ (M-m)p||T||
│    │  │
│    │  └─ 几何直观
│    │     ├─ 分割越细 → 上和越接近真实面积（从上方逼近）
│    │     └─ 分割越细 → 下和越接近真实面积（从下方逼近）
│    │
│    ├─ 性质3：分割合并的保序性★★★
│    │  ├─ 表述
│    │  │  └─ 若T' 和 T'' 为任意两个分割，
│    │  │     T = T' + T'' 为合并分割（重复分点只取一次），则
│    │  │     S(T') ≥ S(T),  S(T'') ≥ S(T)
│    │  │     s(T') ≤ s(T),   s(T'') ≤ s(T)
│    │  │
│    │  ├─ 证明
│    │  │  └─ T既是T'的加细，也是T''的加细
│    │  │     直接应用性质2即得
│    │  │
│    │  └─ 意义
│    │     └─ 保证了不同分割之间的可比性
│    │
│    ├─ 性质4：下和≤上和的普遍性★★★★
│    │  ├─ 表述
│    │  │  └─ 对任意两个分割T'和T''，总有
│    │  │     s(T') ≤ S(T'')
│    │  │
│    │  ├─ 证明
│    │  │  ├─ 令 T = T' + T''（合并分割）
│    │  │  ├─ 由性质1: s(T') ≤ s(T)
│    │  │  ├─ 由性质1: s(T) ≤ S(T)
│    │  │  ├─ 由性质3: S(T) ≤ S(T'')
│    │  │  └─ 因此 s(T') ≤ s(T) ≤ S(T) ≤ S(T'')
│    │  │
│    │  ├─ 重要推论
│    │  │  ├─ 所有下和{s(T)}有上界（任一上和）
│    │  │  ├─ 所有上和{S(T)}有下界（任一下和）
│    │  │  └─ 因此上、下积分存在
│    │  │
│    │  └─ 定义：上积分与下积分
│    │     ├─ 上积分: S̄ = inf{S(T): T为任意分割}
│    │     └─ 下积分: s̲ = sup{s(T): T为任意分割}
│    │
│    ├─ 性质5：上下积分的界★★
│    │  └─ m(b-a) ≤ s̲ ≤ S̄ ≤ M(b-a)
│    │     证明：由性质4直接推出
│    │
│    └─ 性质6：达布定理 (Darboux Theorem)★★★★★
│       │
│       ├─ 表述
│       │  ├─ lim[||T||→0] S(T) = S̄
│       │  └─ lim[||T||→0] s(T) = s̲
│       │
│       ├─ 证明（针对上积分）★★★★
│       │  ├─ 第1步：由S̄的定义
│       │  │  └─ ∀ε>0, ∃分割T'使得
│       │  │     S(T') < S̄ + ε/2  ...(4)
│       │  │
│       │  ├─ 第2步：设T'有p个分点
│       │  │  └─ 对任意分割T，T+T'至多比T多p个分点
│       │  │
│       │  ├─ 第3步：应用性质2和性质3
│       │  │  └─ S(T) ≤ S(T+T') ≤ S(T) + (M-m)p||T||
│       │  │
│       │  ├─ 第4步：选择||T|| < ε/[2(M-m)p]
│       │  │  └─ 则 S(T) ≤ S(T') + ε/2
│       │  │
│       │  ├─ 第5步：结合(4)式
│       │  │  └─ S̄ ≤ S(T) < S̄ + ε
│       │  │
│       │  └─ 因此 lim[||T||→0] S(T) = S̄
│       │
│       ├─ 重要性
│       │  ├─ 连接了Darboux积分与Riemann积分
│       │  ├─ 将确界（静态）与极限（动态）统一
│       │  └─ 为可积充要条件提供关键工具
│       │
│       └─ 历史注记
│          └─ Gaston Darboux (1842-1917)
│             法国数学家，1875年提出此定理
│
├─── 第二层：可积的三大充要条件 (Three Necessary and Sufficient Conditions)
│    │
│    ├─ 定理9.14：可积的第一充要条件★★★★★
│    │  │
│    │  ├─ 表述
│    │  │  └─ f在[a,b]上可积 ⟺ S̄ = s̲
│    │  │     （上积分等于下积分）
│    │  │
│    │  ├─ 证明（必要性：可积⟹S̄=s̲）★★★★
│    │  │  ├─ 设f在[a,b]上可积，J = ∫ₐᵇf(x)dx
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 由定积分定义
│    │  │  │  └─ ∀ε>0, ∃δ>0, 当||T||<δ时
│    │  │  │     |Σf(ξᵢ)Δxᵢ - J| < ε
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 由性质1（S(T)和s(T)是确界）
│    │  │  │  └─ 当||T||<δ时
│    │  │  │     |S(T) - J| ≤ ε
│    │  │  │     |s(T) - J| ≤ ε
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 说明S(T)和s(T)都以J为极限
│    │  │  │
│    │  │  └─ 由达布定理：S̄ = s̲ = J
│    │  │
│    │  ├─ 证明（充分性：S̄=s̲⟹可积）★★★★
│    │  │  ├─ 设 S̄ = s̲ = J
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 由达布定理
│    │  │  │  └─ lim[||T||→0] S(T) = lim[||T||→0] s(T) = J  ...(5)
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 借助不等式(1)
│    │  │  │  └─ s(T) ≤ Σf(ξᵢ)Δxᵢ ≤ S(T)
│    │  │  │
│    │  │  ├─ ∀ε>0, ∃δ>0, 当||T||<δ时
│    │  │  │  └─ J-ε < s(T) ≤ Σf(ξᵢ)Δxᵢ ≤ S(T) < J+ε
│    │  │  │
│    │  │  └─ 因此 |Σf(ξᵢ)Δxᵢ - J| < ε
│    │  │     即f在[a,b]上可积
│    │  │
│    │  ├─ 几何意义
│    │  │  └─ 上下逼近的"夹缝"消失
│    │  │     ⟺ 曲边梯形面积唯一确定
│    │  │
│    │  └─ 反例：Dirichlet函数
│    │     ├─ D(x) = {1, x∈ℚ; 0, x∉ℚ}
│    │     ├─ 在任何小区间上：Mᵢ=1, mᵢ=0
│    │     ├─ S(T) = Σ1·Δxᵢ = b-a
│    │     ├─ s(T) = Σ0·Δxᵢ = 0
│    │     ├─ S̄ = b-a ≠ 0 = s̲
│    │     └─ 因此不可积
│    │
│    ├─ 定理9.15：可积的第二充要条件（振幅准则）★★★★★
│    │  │
│    │  ├─ 表述
│    │  │  └─ f在[a,b]上可积 ⟺
│    │  │     ∀ε>0, ∃分割T使得
│    │  │     S(T) - s(T) < ε
│    │  │     即 Σωᵢ·Δxᵢ < ε
│    │  │     其中 ωᵢ = Mᵢ - mᵢ（振幅）
│    │  │
│    │  ├─ 证明（必要性）★★★
│    │  │  ├─ 设f在[a,b]上可积
│    │  │  ├─ 由定理9.14: S̄ = s̲
│    │  │  └─ 由(5)式: lim[||T||→0][S(T)-s(T)] = 0
│    │  │     因此只要||T||足够小
│    │  │     ∃分割T使得 S(T) - s(T) < ε
│    │  │
│    │  ├─ 证明（充分性）★★★
│    │  │  ├─ 若条件满足
│    │  │  ├─ 则 0 ≤ S̄ - s̲ ≤ S(T) - s(T) < ε
│    │  │  ├─ 由ε的任意性：S̄ = s̲
│    │  │  └─ 由定理9.14: f可积
│    │  │
│    │  ├─ 几何意义
│    │  │  └─ 外包矩形与内接矩形的"面积差"可任意小
│    │  │
│    │  └─ 应用价值
│    │     ├─ 证明连续函数可积（§3）
│    │     ├─ 证明单调函数可积（§3）
│    │     └─ 本节后续定理的基础
│    │
│    └─ 定理9.16：可积的第三充要条件（Riemann准则）★★★★★
│       │
│       ├─ 表述
│       │  └─ f在[a,b]上可积 ⟺
│       │     ∀ε>0, ∀η>0, ∃分割T使得
│       │     在T所属的小区间中，满足 ωᵢ≥η 的
│       │     小区间的总长 Σ'Δxᵢ < ε
│       │     （这里Σ'表示只对ωᵢ≥η的小区间求和）
│       │
│       ├─ 证明（必要性）★★★★
│       │  ├─ 设f可积，由定理9.15
│       │  │  └─ 对ε₀=εη>0, ∃分割T使得
│       │  │     Σωᵢ·Δxᵢ < εη
│       │  │
│       │  ├─ 将小区间分为两类
│       │  │  ├─ A类：ωᵢ≥η的小区间（记为Δₖ）
│       │  │  └─ B类：ωᵢ<η的小区间（记为Δⱼ）
│       │  │
│       │  ├─ 估计
│       │  │  ├─ Σ全部 ωᵢΔxᵢ = ΣₖωₖΔxₖ + ΣⱼωⱼΔxⱼ
│       │  │  ├─           ≥ η·Σₖ Δxₖ + 0
│       │  │  └─ 因此 η·Σ'Δxₖ ≤ Σωᵢ Δxᵢ < εη
│       │  │
│       │  └─ 得到 Σ'Δxₖ < ε
│       │
│       ├─ 证明（充分性）★★★★
│       │  ├─ 任给ε'>0
│       │  │  ├─ 取 ε = ε'/2
│       │  │  └─ 取 η = ε'/[2(b-a)]
│       │  │
│       │  ├─ 由假设，∃分割T使得
│       │  │  └─ ωᵢ≥η的小区间总长 Σ'Δxᵢ < ε
│       │  │
│       │  ├─ 估计振幅和
│       │  │  ├─ Σωᵢ Δxᵢ = Σ'(ωᵢ≥η) ωᵢΔxᵢ + Σ''(ωᵢ<η) ωᵢΔxᵢ
│       │  │  ├─          ≤ (M-m)·Σ'Δxᵢ + η·Σ''Δxᵢ
│       │  │  ├─          < (M-m)·ε + η·(b-a)
│       │  │  ├─          = (M-m)·ε'/2 + ε'/[2(b-a)]·(b-a)
│       │  │  └─          < ∞·ε'/2 + ε'/2 = Cε'
│       │  │     （取C足够大使(M-m)<C）
│       │  │
│       │  └─ 由定理9.15: f可积
│       │
│       ├─ 本质意义★★★★★
│       │  ├─ 可积性只依赖于"振幅大的区间"的总长度
│       │  ├─ 即使函数在某些点不连续，只要
│       │  │  "不连续程度大的区间总长度可任意小"
│       │  │  函数仍可积
│       │  │
│       │  └─ 量化了"几乎处处连续"的概念
│       │
│       ├─ 与Lebesgue定理的联系
│       │  └─ Lebesgue: f可积 ⟺ f几乎处处连续
│       │     （不连续点集的测度为0）
│       │     Riemann准则正是这个思想的初步形式
│       │
│       └─ 应用举例
│          ├─ 有限个间断点的函数可积
│          ├─ 可数个间断点（某种意义下稀疏）可能可积
│          └─ 下文的Riemann函数例子
│
├─── 第三层：应用实例 (Applications and Examples)
│    │
│    ├─ 例1：黎曼函数的可积性（用定理9.16）★★★★
│    │  │
│    │  ├─ 函数定义
│    │  │  └─ R(x) = {1/q, x=p/q为既约真分数;
│    │  │              0,   x=0,1或(0,1)内的无理数}
│    │  │
│    │  ├─ 证明思路（用第三充要条件）
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 任给ε>0, η>0
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 关键观察
│    │  │  │  └─ 满足 ωᵢ≥η 即 Mᵢ-mᵢ≥η 的小区间
│    │  │  │     必然包含某个形如p/q的有理点，
│    │  │  │     其中 1/q ≥ η，即 q ≤ 1/η
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 计数
│    │  │  │  └─ 满足q≤1/η的既约真分数只有有限个
│    │  │  │     设为K个
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 覆盖
│    │  │  │  └─ 包含这K个点的小区间至多2K个
│    │  │  │     （每个点可能在两个相邻小区间边界）
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 选择分割
│    │  │  │  └─ 当||T|| < ε/(2K)时
│    │  │  │     这些小区间的总长
│    │  │  │     Σ'Δxᵢ ≤ 2K·||T|| < ε
│    │  │  │
│    │  │  └─ 由定理9.16: R(x)在[0,1]上可积
│    │  │
│    │  ├─ 积分值计算
│    │  │  ├─ 在每个小区间上：mᵢ = inf R(x) = 0
│    │  │  │  （因为无理数稠密）
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 因此 s(T) = Σmᵢ·Δxᵢ = 0
│    │  │  │
│    │  │  └─ ∫₀¹ R(x)dx = s̲ = 0
│    │  │
│    │  ├─ 与§3例3的比较
│    │  │  ├─ §3用定理9.15（振幅准则）
│    │  │  │  └─ 需要估计整体的Σωᵢ·Δxᵢ
│    │  │  │
│    │  │  └─ 现用定理9.16（Riemann准则）
│    │  │     └─ 只需考虑ωᵢ≥η的小区间总长
│    │  │        证明更简洁！
│    │  │
│    │  └─ 深层意义
│    │     ├─ R(x)在每个有理点不连续（跳跃）
│    │     ├─ 但有理点虽稠密，其"大小"（测度意义）为0
│    │     ├─ R(x)几乎处处连续（在所有无理点连续）
│    │     └─ 因此可积
│    │
│    └─ 例2：复合函数的可积性★★★★
│       │
│       ├─ 问题
│       │  └─ 若f在[a,b]上连续，φ在[α,β]上可积，
│       │     a≤φ(t)≤b, t∈[α,β]
│       │     证明：F(t)=f(φ(t))在[α,β]上可积
│       │
│       ├─ 证明★★★★
│       │  │
│       │  ├─ 第1步：利用f的一致连续性
│       │  │  ├─ 任给ε>0, η>0
│       │  │  ├─ f在[a,b]上连续⟹一致连续
│       │  │  └─ ∃δ>0, 当x',x''∈[a,b]且|x'-x''|<δ时
│       │  │     |f(x') - f(x'')| < η
│       │  │
│       │  ├─ 第2步：利用φ的可积性
│       │  │  ├─ φ在[α,β]上可积
│       │  │  └─ 由定理9.16，对上述δ和ε，
│       │  │     ∃分割T使得在T的小区间中
│       │  │     满足 ωφᵢ≥δ（φ的振幅）的
│       │  │     小区间总长 Σ'Δtᵢ < ε
│       │  │
│       │  ├─ 第3步：分析F(t)=f(φ(t))的振幅
│       │  │  │
│       │  │  ├─ 在小区间Δtᵢ上
│       │  │  │  ├─ ωFᵢ = sup[F(t)] - inf[F(t)]
│       │  │  │  │      (t∈Δtᵢ)
│       │  │  │  └─    = sup[f(φ(t))] - inf[f(φ(t))]
│       │  │  │
│       │  │  ├─ 情况1：若ωφᵢ<δ（φ的振幅小）
│       │  │  │  ├─ 则对t',t''∈Δtᵢ
│       │  │  │  │  |φ(t')-φ(t'')| ≤ ωφᵢ < δ
│       │  │  │  │
│       │  │  │  └─ 由f的一致连续性
│       │  │  │     |f(φ(t'))-f(φ(t''))| < η
│       │  │  │     因此 ωFᵢ < η
│       │  │  │
│       │  │  └─ 情况2：若ωφᵢ≥δ（φ的振幅大）
│       │  │     └─ 这样的小区间总长 < ε（由第2步）
│       │  │
│       │  ├─ 第4步：应用定理9.16于F
│       │  │  ├─ 在T中，满足ωFᵢ≥η的小区间
│       │  │  │  必然是ωφᵢ≥δ的小区间
│       │  │  │  （因为情况1中ωFᵢ<η）
│       │  │  │
│       │  │  └─ 因此这些小区间总长 < ε
│       │  │
│       │  └─ 第5步：结论
│       │     └─ 由定理9.16: F(t)=f(φ(t))在[α,β]上可积
│       │
│       ├─ 推广与注记
│       │  ├─ 若f只是有界（非连续），结论一般不成立
│       │  ├─ 若φ只是连续（非可积），结论显然成立
│       │  └─ 此定理是连续性与可积性相互作用的体现
│       │
│       └─ 应用
│          └─ 证明某些复合积分的可积性
│             例：∫ₐᵇ sin(x²)dx 等
│
├─── 第四层：理论比较与历史发展
│    │
│    ├─ 三大充要条件的比较★★★★
│    │  │
│    │  ├─ 定理9.14（上下积分相等）
│    │  │  ├─ 优点
│    │  │  │  ├─ 最根本、最简洁
│    │  │  │  ├─ 连接Darboux积分与Riemann积分
│    │  │  │  └─ 理论分析的基础
│    │  │  │
│    │  │  └─ 缺点
│    │  │     └─ 不易直接验证（需计算上下积分）
│    │  │
│    │  ├─ 定理9.15（振幅准则）
│    │  │  ├─ 优点
│    │  │  │  ├─ 实用性强
│    │  │  │  ├─ 易于估计Σωᵢ·Δxᵢ
│    │  │  │  └─ 证明连续、单调函数可积的主要工具
│    │  │  │
│    │  │  └─ 缺点
│    │  │     └─ 需要对所有小区间估计振幅
│    │  │
│    │  └─ 定理9.16（Riemann准则）
│    │     ├─ 优点
│    │     │  ├─ 最深刻、最本质
│    │     │  ├─ 揭示"几乎处处连续"的思想
│    │     │  ├─ 只关注"坏点"的总长度
│    │     │  └─ 证明某些特殊函数（如Riemann函数）可积
│    │     │
│    │     └─ 缺点
│    │        └─ 形式复杂，需选择合适的η
│    │
│    ├─ 历史发展★★★
│    │  │
│    │  ├─ Bernhard Riemann (1826-1866)
│    │  │  ├─ 1854年：首次定义Riemann积分
│    │  │  │  └─ 通过Riemann和的极限
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 给出可积准则（定理9.16）
│    │  │  │
│    │  │  └─ 问题：证明复杂，不够直观
│    │  │
│    │  ├─ Gaston Darboux (1842-1917)
│    │  │  ├─ 1875年：引入上和与下和
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 证明达布定理（性质6）
│    │  │  │  └─ 连接上下和与Riemann和
│    │  │  │
│    │  │  ├─ 优势
│    │  │  │  ├─ 不需选择点集{ξᵢ}
│    │  │  │  ├─ 上下和是确界，更易处理
│    │  │  │  └─ 简化了Riemann积分理论
│    │  │  │
│    │  │  └─ Darboux积分与Riemann积分等价
│    │  │
│    │  ├─ Henri Lebesgue (1875-1941)
│    │  │  ├─ 1902年：引入Lebesgue积分
│    │  │  │
│    │  │  ├─ Lebesgue可积准则
│    │  │  │  └─ f有界可积 ⟺ f几乎处处连续
│    │  │  │     （不连续点集测度为0）
│    │  │  │
│    │  │  └─ Riemann准则（定理9.16）是其前身
│    │  │
│    │  └─ 现代观点
│    │     ├─ Riemann积分：基于区间的"长度"
│    │     ├─ Lebesgue积分：基于集合的"测度"
│    │     └─ Riemann可积 ⟹ Lebesgue可积
│    │        但反之不成立
│    │
│    ├─ 达布定理的深刻意义★★★★
│    │  │
│    │  ├─ 理论层面
│    │  │  ├─ 确界（静态）→ 极限（动态）
│    │  │  ├─ 离散（分割）→ 连续（细化过程）
│    │  │  └─ 统一了两种定义方式
│    │  │
│    │  ├─ 计算层面
│    │  │  └─ 使用上下和估计积分值
│    │  │     通常比直接计算Riemann和简单
│    │  │
│    │  └─ 教学层面
│    │     └─ 先引入Darboux积分（上下和）
│    │        再通过达布定理过渡到Riemann积分
│    │        逻辑更清晰
│    │
│    └─ 可积性理论的现代拓展
│       │
│       ├─ Henstock-Kurzweil积分
│       │  └─ 对Riemann积分的推广
│       │     可积分更多函数（如某些广义积分）
│       │
│       ├─ 抽象测度空间上的积分
│       │  └─ Lebesgue积分的推广
│       │
│       └─ 随机积分（Itô积分）
│          └─ 金融数学、随机过程
│
└─── 第五层：习题与综合应用
     │
     ├─ 习题9.6精选
     │  │
     │  ├─ 习题1：证明性质2的下和不等式★★
     │  │  └─ 模仿上和的证明，注意不等号方向
     │  │
     │  ├─ 习题2：证明性质6的下和极限式★★★
     │  │  └─ lim[||T||→0] s(T) = s̲
     │  │     完全类似上和的证明
     │  │
     │  ├─ 习题3：求上下积分★★★
     │  │  ├─ 问题：设 f(x) = {1, x为有理数;
     │  │  │                    0, x为无理数}
     │  │  │     求f在[0,1]上的上、下积分，判断可积性
     │  │  │
     │  │  └─ 解答
     │  │     ├─ 在任何小区间上
     │  │     │  Mᵢ = 1（有理数稠密）
     │  │     │  mᵢ = 0（无理数稠密）
     │  │     │
     │  │     ├─ S(T) = Σ1·Δxᵢ = 1
     │  │     ├─ s(T) = Σ0·Δxᵢ = 0
     │  │     ├─ S̄ = 1, s̲ = 0
     │  │     └─ S̄ ≠ s̲ ⟹ 不可积（Dirichlet函数）
     │  │
     │  ├─ 习题4：复合函数可积性★★★
     │  │  ├─ 问题：若f在[a,b]上可积，f(x)≥0
     │  │  │     问：√f 在[a,b]上是否可积？
     │  │  │
     │  │  └─ 解答
     │  │     ├─ 是的，可积
     │  │     ├─ 证明思路
     │  │     │  ├─ g(u)=√u 在[0,M]上一致连续
     │  │     │  │  （M=sup f(x)）
     │  │     │  │
     │  │     │  ├─ 在小区间Δᵢ上
     │  │     │  │  ω√f ᵢ = sup√f - inf√f
     │  │     │  │        = √Mᵢ - √mᵢ
     │  │     │  │        ≤ √(Mᵢ-mᵢ)（由凹性）
     │  │     │  │        = √ωfᵢ
     │  │     │  │
     │  │     │  └─ 因此 Σω√f ᵢ·Δxᵢ ≤ Σ√ωfᵢ·Δxᵢ
     │  │     │     ≤ √(Σωfᵢ·Δxᵢ)·√(Σ Δxᵢ)
     │  │     │     （Cauchy-Schwarz不等式）
     │  │     │
     │  │     └─ f可积 ⟹ Σωfᵢ·Δxᵢ→0
     │  │        ⟹ Σω√f ᵢ·Δxᵢ→0
     │  │        ⟹ √f 可积
     │  │
     │  └─ 习题5：充要条件的等价性★★★★
     │     ├─ 问题：证明定理9.15等价于
     │     │  "∀ε>0, ∃δ>0, 对一切||T||<δ的分割T
     │     │   都有 S(T)-s(T)<ε"
     │     │
     │     └─ 证明
     │        ├─ "⟹"：设原条件成立
     │        │  └─ ∃分割T₀使得 S(T₀)-s(T₀)<ε/2
     │        │     由性质6，取δ使||T||<δ时
     │        │     |S(T)-S(T₀)|<ε/4, |s(T)-s(T₀)|<ε/4
     │        │     则 S(T)-s(T) ≤ (S(T)-S(T₀))+(S(T₀)-s(T₀))
     │        │                      +(s(T₀)-s(T))
     │        │                   < ε/4 + ε/2 + ε/4 = ε
     │        │
     │        └─ "⟸"：显然成立（取任意||T||<δ的分割）
     │
     ├─ 综合应用技巧
     │  │
     │  ├─ 技巧1：选择合适的充要条件
     │  │  ├─ 证明连续/单调函数可积 → 定理9.15
     │  │  ├─ 证明特殊函数（有限/可数不连续）→ 定理9.16
     │  │  └─ 理论分析（唯一性等）→ 定理9.14
     │  │
     │  ├─ 技巧2：估计振幅
     │  │  ├─ 利用函数的连续性 → ωᵢ小
     │  │  ├─ 利用函数的单调性 → ωᵢ=|f(xᵢ)-f(xᵢ₋₁)|
     │  │  └─ 对复合函数 → 传递振幅估计
     │  │
     │  ├─ 技巧3：控制"坏区间"的总长
     │  │  ├─ 确定哪些点使ωᵢ大
     │  │  ├─ 证明这些点只有有限个/可数个/测度零
     │  │  └─ 选择分割使这些点的邻域总长任意小
     │  │
     │  └─ 技巧4：利用上下和的性质
     │     ├─ 加细分割 → 上和↓, 下和↑
     │     ├─ 合并分割 → 保持大小关系
     │     └─ 达布定理 → 极限过程
     │
     └─ 进阶专题
        │
        ├─ 专题1：Lebesgue测度初步
        │  ├─ 零测集的定义
        │  ├─ 可数集是零测集
        │  └─ Cantor集：不可数但零测
        │
        ├─ 专题2：几乎处处的概念
        │  ├─ 几乎处处连续
        │  ├─ 几乎处处相等的函数积分相等
        │  └─ Riemann可积的最终刻画
        │
        └─ 专题3：Riemann可积函数空间
           ├─ ℛ[a,b]：[a,b]上可积函数全体
           ├─ 向量空间结构
           ├─ 不完备性（极限可能不可积）
           └─ Lebesgue积分的完备化

第一部分：上和与下和的基本理论 | Upper and Lower Sums

1.1 基本定义（回顾）

分割与上下和

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，$T$ 是 $[a,b]$ 的一个分割：

$$T:a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$

记 ${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i]$，$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\Vert T\Vert ={\max }_i\Delta x_i$（分割的模）。

定义：

$$\boxed{M_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\inf }f(x)}$$

$$\boxed{S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i}\text{（上和 Upper Sum）}$$

$$\boxed{s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i}\text{（下和 Lower Sum）}$$

基本不等式

由于 $f$ 有界，设 $m={\inf }_{[a,b]}f(x)$，$M={\sup }_{[a,b]}f(x)$，则对任意点集 $\{{\xi }_i\in {\Delta }_i\}$：

$$\boxed{m(b-a)\le s(T)\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)\le M(b-a)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

1.2 性质1：上下和作为确界 ★★★

定理表述

对同一个分割 $T$，相对于任何点集 $\{{\xi }_i\}$ 而言：

$$\boxed{S(T)=\underset{\{{\xi }_i\}}{\sup }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

$$\boxed{s(T)=\underset{\{{\xi }_i\}}{\inf }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

证明 ★★★

上界性：已由不等式(1)得到。

最小上界性（证明 $S(T)$ 是上确界）：

任给 $\epsilon >0$，在各个 ${\Delta }_i$ 上，由于 $M_i$ 是 $f(x)$ 的上确界，存在 ${\xi }_i\in {\Delta }_i$ 使得

$$f({\xi }_i)>M_i-\frac{\epsilon }{b-a}$$

于是

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i>\sum _{i=1}^n\left(M_i-\frac{\epsilon }{b-a}\right)\Delta x_i=S(T)-\epsilon$$

这证明了 $S(T)$ 是所有积分和的最小上界（上确界）。

类似地可证 $s(T)$ 是所有积分和的最大下界（下确界）。✓

几何意义

• $S(T)$：外包矩形面积的最小值
• $s(T)$：内接矩形面积的最大值
• 积分和：介于两者之间的某种"取样"

1.3 性质2：加细分割的单调性 ★★★★

定理表述

设 $T^{\prime }$ 是分割 $T$ 添加 $p$ 个新分点后所得到的分割，则

$$\boxed{S(T^{\prime })\le S(T)\le S(T^{\prime })+(M-m)p\Vert T\Vert }\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\boxed{s(T)\le s(T^{\prime })\le s(T)+(M-m)p\Vert T\Vert }\text{\hspace{1em}(3)}$$

核心结论：

• 增加分点后，上和不增（单调递减）
• 增加分点后，下和不减（单调递增）

证明（$p=1$ 的情形） ★★★

设新分点落在小区间 ${\Delta }_k=[x_{k-1},x_k]$，将其分为 ${\Delta }_k^{\prime }=[x_{k-1},\xi ]$ 和 ${\Delta }_k^{\prime \prime }=[\xi ,x_k]$。

设 $M_k^{\prime }={\sup }_{{\Delta }_k^{\prime }}f(x)$，$M_k^{\prime \prime }={\sup }_{{\Delta }_k^{\prime \prime }}f(x)$。

上和的变化：

$$S(T)-S(T^{\prime })=M_k\Delta x_k-(M_k^{\prime }\Delta x_k^{\prime }+M_k^{\prime \prime }\Delta x_k^{\prime \prime })$$

$$=M_k(\Delta x_k^{\prime }+\Delta x_k^{\prime \prime })-(M_k^{\prime }\Delta x_k^{\prime }+M_k^{\prime \prime }\Delta x_k^{\prime \prime })$$

$$=(M_k-M_k^{\prime })\Delta x_k^{\prime }+(M_k-M_k^{\prime \prime })\Delta x_k^{\prime \prime }$$

由于 ${\Delta }_k^{\prime }\subset {\Delta }_k$，${\Delta }_k^{\prime \prime }\subset {\Delta }_k$，有

$$M_k^{\prime }\le M_k,M_k^{\prime \prime }\le M_k$$

因此

$$(M_k-M_k^{\prime })\Delta x_k^{\prime }\ge 0,(M_k-M_k^{\prime \prime })\Delta x_k^{\prime \prime }\ge 0$$

所以

$$S(T)-S(T^{\prime })\ge 0$$

上界估计：

$$S(T)-S(T^{\prime })=(M_k-M_k^{\prime })\Delta x_k^{\prime }+(M_k-M_k^{\prime \prime })\Delta x_k^{\prime \prime }$$

$$\le (M-m_k)\Delta x_k^{\prime }+(M-m_k)\Delta x_k^{\prime \prime }$$

$$\le (M-m)(\Delta x_k^{\prime }+\Delta x_k^{\prime \prime })=(M-m)\Delta x_k$$

$$\le (M-m)\Vert T\Vert$$

这就证得

$$\boxed{0\le S(T)-S(T^{\prime })\le (M-m)\Vert T\Vert }$$

归纳推广（$p$ 个分点）

设 $T_0=T$，$T_1,T_2,\dots ,T_p=T^{\prime }$，每次添加一个分点。

对每一步：

$$0\le S(T_i)-S(T_{i+1})\le (M-m)\Vert T\Vert$$

将这 $p$ 个不等式相加：

$$0\le S(T)-S(T^{\prime })\le (M-m)p\Vert T\Vert$$

证毕。✓

几何直观

• 上和：分割越细，外包矩形越贴近曲线，面积减小
• 下和：分割越细，内接矩形越贴近曲线，面积增大
• 趋势：上和↓，下和↑，最终"夹缝"消失 ⟹ 可积

1.4 性质3：分割合并的保序性 ★★★

定理表述

若 $T^{\prime }$ 和 $T^{\prime \prime }$ 为任意两个分割，$T=T^{\prime }+T^{\prime \prime }$ 表示把 $T^{\prime }$ 与 $T^{\prime \prime }$ 的所有分点合并而得的分割（重复的分点只取一次），则

$$\boxed{\begin{array}{rl}S(T^{\prime })& \ge S(T)\\ S(T^{\prime \prime })& \ge S(T)\\ s(T^{\prime })& \le s(T)\\ s(T^{\prime \prime })& \le s(T)\end{array}}$$

证明

$T$ 既可看作 $T^{\prime }$ 添加新分点后得到的分割，也可看作 $T^{\prime \prime }$ 添加新分点后得到的分割。

由性质2立刻推知此性质成立。✓

1.5 性质4：下和≤上和的普遍性 ★★★★

定理表述

对任意两个分割 $T^{\prime }$ 与 $T^{\prime \prime }$，总有

$$\boxed{s(T^{\prime })\le S(T^{\prime \prime })}$$

证明

令 $T=T^{\prime }+T^{\prime \prime }$（合并分割）。

由性质1和性质3：

$$s(T^{\prime })\le s(T)\le S(T)\le S(T^{\prime \prime })$$

证毕。✓

重要推论

1. 所有下和有上界：任一上和都是所有下和的上界
2. 所有上和有下界：任一下和都是所有上和的下界
3. 因此分别存在上确界与下确界

定义：上积分与下积分

$$\boxed{\overline{S}=\underset{T}{\inf }S(T)}\text{（上积分 Upper Integral）}$$

$$\boxed{\underline{s}=\underset{T}{\sup }s(T)}\text{（下积分 Lower Integral）}$$

其中确界是对所有可能的分割 $T$ 取得。

1.6 性质5：上下积分的界 ★★

$$\boxed{m(b-a)\le \underline{s}\le \overline{S}\le M(b-a)}$$

证明：由性质4和不等式(1)直接推出。✓

1.7 性质6：达布定理 (Darboux Theorem) ★★★★★

定理表述

上、下积分也是上和与下和在 $\Vert T\Vert \to 0$ 时的极限，即

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\overline{S}}$$

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)=\underline{s}}$$

证明（针对上积分） ★★★★

第1步：由 $\overline{S}$ 的定义（下确界），任给 $\epsilon >0$，存在某一分割 $T^{\prime }$，使得

$$S(T^{\prime })<\overline{S}+\frac{\epsilon }{2}\text{\hspace{1em}(4)}$$

第2步：设 $T^{\prime }$ 由 $p$ 个分点构成。对于任意另一个分割 $T$，$T+T^{\prime }$ 至多比 $T$ 多 $p$ 个分点。

第3步：应用性质2和性质3

$$S(T)\le S(T+T^{\prime })\le S(T)+(M-m)p\Vert T\Vert$$

同时由性质3：

$$S(T+T^{\prime })\le S(T^{\prime })$$

因此

$$S(T)\le S(T^{\prime })+(M-m)p\Vert T\Vert$$

第4步：选择 $\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{2(M-m)p}$（当 $M>m$ 时①），则

$$S(T)\le S(T^{\prime })+\frac{\epsilon }{2}$$

第5步：结合(4)式

$$\overline{S}\le S(T)<\overline{S}+\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\overline{S}+\epsilon$$

同时由 $\overline{S}$ 的定义，$S(T)\ge \overline{S}$。

因此

$$|\overline{S}-S(T)|<\epsilon$$

这就证得

$$\boxed{\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\overline{S}}$$

证毕。✓

① 当 $M=m$ 时，$f$ 为常量函数，性质恒成立。

重要性 ★★★★★

达布定理是连接 Darboux积分（基于上下和）与 Riemann积分（基于Riemann和的极限）的桥梁：

1

第二部分：可积的三大充要条件 | Three Necessary and Sufficient Conditions

2.1 定理9.14：可积的第一充要条件 ★★★★★

定理表述

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是

$$\boxed{\overline{S}=\underline{s}}$$

即上积分等于下积分。

证明（必要性：可积 ⟹ 上积分=下积分） ★★★★

已知：$f$ 在 $[a,b]$ 上（Riemann）可积，设其积分值为 $J$。

即：$J={\int }_a^{b}f(x)dx$，按定义，这意味着

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当}\Vert T\Vert <\delta \text{时，对任意点集}\{{\xi }_i\},$$

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|<\epsilon$$

第1步：利用性质1

由性质1，$S(T)$ 和 $s(T)$ 分别是 $\sum f({\xi }_i)\Delta x_i$ 的上确界和下确界。

因此，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，对所有可能的积分和：

$$J-\epsilon <\sum f({\xi }_i)\Delta x_i<J+\epsilon$$

取确界：

$$J-\epsilon \le s(T)\le S(T)\le J+\epsilon$$

即

$$|S(T)-J|\le \epsilon ,|s(T)-J|\le \epsilon$$

第2步：令 $\Vert T\Vert \to 0$

由达布定理（性质6）：

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\overline{S},\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)=\underline{s}$$

结合上面的不等式，取极限得

$$\overline{S}=\underline{s}=J$$

证毕必要性。✓

证明（充分性：上积分=下积分 ⟹ 可积） ★★★★

已知：$\overline{S}=\underline{s}$，设其公共值为 $J$。

要证：$f$ 在 $[a,b]$ 上（Riemann）可积，且 ${\int }_a^{b}f(x)dx=J$。

第1步：由达布定理

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\overline{S}=J$$

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)=\underline{s}=J\text{\hspace{1em}(5)}$$

第2步：利用基本不等式(1)

对任意分割 $T$ 和任意点集 $\{{\xi }_i\}$：

$$s(T)\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)$$

第3步：应用夹逼定理

任给 $\epsilon >0$，由(5)式，存在 $\delta >0$，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时：

$$J-\epsilon <s(T)\le \sum f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)<J+\epsilon$$

因此

$$\left|\sum f({\xi }_i)\Delta x_i-J\right|<\epsilon$$

这正是 Riemann 积分的定义！

证毕充分性。✓

几何意义

• $\overline{S}=\underline{s}$：外包与内接的"夹缝"消失
• ⟺ 曲边梯形的面积唯一确定
• ⟺ 函数 Riemann 可积

反例：Dirichlet 函数

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$

在 $[0,1]$ 上：

• 任何小区间都同时包含有理数和无理数
• $M_i=1$，$m_i=0$（对所有 $i$）
• $S(T)=\sum 1\cdot \Delta x_i=1$
• $s(T)=\sum 0\cdot \Delta x_i=0$
• $\overline{S}=1\ne 0=\underline{s}$
• 不可积！❌

2.2 定理9.15：可积的第二充要条件（振幅准则）★★★★★

定义：振幅

在小区间 ${\Delta }_i$ 上，$f$ 的振幅（oscillation）定义为

$$\boxed{{\omega }_i=M_i-m_i}$$

即 $f$ 在 ${\Delta }_i$ 上的上确界与下确界之差。

定理表述

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \text{分割}T,\text{使得}S(T)-s(T)<\epsilon }$$

等价地：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \text{分割}T,\text{使得}\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon }$$

证明（必要性） ★★★

已知：$f$ 可积，由定理9.14，$\overline{S}=\underline{s}=J$。

由达布定理：

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }[S(T)-s(T)]=\overline{S}-\underline{s}=0$$

因此，任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时：

$$S(T)-s(T)<\epsilon$$

证毕必要性。✓

证明（充分性） ★★★

已知：$\forall \epsilon >0$，$\exists$ 分割 $T$，使得 $S(T)-s(T)<\epsilon$。

由性质4（$s(T^{\prime })\le S(T^{\prime \prime })$ 对任意分割）：

$$\underline{s}=\underset{T}{\sup }s(T)\le \underset{T}{\inf }S(T)=\overline{S}$$

（这总是成立）

同时，由假设，存在分割 $T$ 使得

$$0\le \overline{S}-\underline{s}\le S(T)-s(T)<\epsilon$$

由 $\epsilon$ 的任意性：

$$\overline{S}=\underline{s}$$

由定理9.14，$f$ 可积。

证毕充分性。✓

几何意义

$$S(T)-s(T)=\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i$$

这是外包矩形面积与内接矩形面积的差。

可积 ⟺ 这个差可以任意小 ⟺ 外包与内接的"夹缝"可消除。

应用价值 ★★★★

定理9.15是证明函数可积性的最实用工具：

1. 连续函数可积（§9.3 定理9.7）
2. 单调函数可积（§9.3 定理9.8）
3. 后续定理的基础

2.3 定理9.16：可积的第三充要条件（Riemann准则）★★★★★

定理表述

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \forall \epsilon >0,\forall \eta >0,\exists \text{分割}T,\text{使得}\\ & \text{在}T\text{所属的小区间中，满足}{\omega }_i\ge \eta \text{的}\\ & \text{小区间的总长度}\sum ^{\prime }\Delta x_i<\epsilon \end{array}}$$

其中 ${\sum }^{\prime }$ 表示只对 ${\omega }_i\ge \eta$ 的小区间求和。

证明（必要性） ★★★★

已知：$f$ 可积。

任给 $\epsilon >0$，$\eta >0$。

第1步：应用定理9.15

对 ${\epsilon }_0=\epsilon \eta >0$，存在分割 $T$，使得

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \eta$$

第2步：将小区间分为两类

• A类：${\omega }_i\ge \eta$ 的小区间（记为 ${\Delta }_k$）
• B类：${\omega }_i<\eta$ 的小区间（记为 ${\Delta }_j$）

第3步：估计振幅和

$$\sum _{\text{全部}}{\omega }_i\Delta x_i=\sum _{k\in A}{\omega }_k\Delta x_k+\sum _{j\in B}{\omega }_j\Delta x_j$$

对A类小区间：

$$\sum _{k\in A}{\omega }_k\Delta x_k\ge \eta \sum _{k\in A}\Delta x_k=\eta \cdot \sum ^{\prime }\Delta x_i$$

（因为 ${\omega }_k\ge \eta$）

对B类小区间：

$$\sum _{j\in B}{\omega }_j\Delta x_j\ge 0$$

因此：

$$\eta \cdot \sum ^{\prime }\Delta x_i\le \sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \eta$$

两边除以 $\eta$：

$$\boxed{\sum ^{\prime }\Delta x_i<\epsilon }$$

证毕必要性。✓

证明（充分性） ★★★★

已知：条件满足。

要证：$f$ 可积，即证对任意 ${\epsilon }^{\prime }>0$，存在分割使得 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<{\epsilon }^{\prime }$。

第1步：设置参数

取 $$\epsilon =\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(M-m)},\eta =\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(b-a)}$$

（其中 $M=\sup f$，$m=\inf f$）

第2步：由假设

存在分割 $T$，使得满足 ${\omega }_i\ge \eta$ 的小区间总长

$$\sum ^{\prime }\Delta x_i<\epsilon =\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(M-m)}$$

第3步：估计总振幅和

将小区间分为A类（${\omega }_i\ge \eta$）和B类（${\omega }_i<\eta$）：

$$\sum {\omega }_i\Delta x_i=\sum _A{\omega }_i\Delta x_i+\sum _B{\omega }_i\Delta x_i$$

对A类（振幅大的小区间）：

$$\sum _A{\omega }_i\Delta x_i\le (M-m)\sum _A\Delta x_i<(M-m)\cdot \frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(M-m)}=\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}$$

对B类（振幅小的小区间）：

$$\sum _B{\omega }_i\Delta x_i<\eta \sum _B\Delta x_i\le \eta (b-a)=\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(b-a)}\cdot (b-a)=\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}$$

合并：

$$\sum {\omega }_i\Delta x_i<\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}+\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}={\epsilon }^{\prime }$$

由定理9.15，$f$ 可积。

证毕充分性。✓

本质意义 ★★★★★

Riemann准则揭示了可积性的深刻本质：

1. 可积性只依赖于"振幅大的区间"的总长度
2. 即使函数在某些点不连续，只要"不连续程度严重的区间总长度可以任意小"，函数仍可积
3. 这是**"几乎处处连续"**概念的雏形

直观理解

• ${\omega }_i$ 大 ⟺ 在 ${\Delta }_i$ 上函数"振荡剧烈" ⟺ 可能有不连续点
• Riemann准则说：只要这些"坏区间"的总长度可任意小，函数就可积
• 允许：有限个跳跃间断点、某种意义下"稀疏"的不连续点集

与Lebesgue理论的联系

Lebesgue可积准则（1902年）：

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 ⟺ $f$ 的不连续点集的 Lebesgue测度为0。

Riemann准则（1854年）正是这一思想的初步形式！

2.4 三大充要条件的比较 ★★★★

第三部分：应用实例 | Applications and Examples

3.1 例1：黎曼函数的可积性（用定理9.16）★★★★

函数定义

$$\boxed{R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q}\text{（既约真分数）}\\ 0,& x=0,1\text{ 或 }x\in (0,1)\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{array}}$$

这是一个在所有有理点不连续、在所有无理点连续的奇特函数。

证明思路（用定理9.16） ★★★★

任给 $\epsilon >0$，$\eta >0$。

第1步：关键观察

对小区间 ${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i]$，其振幅

$${\omega }_i=M_i-m_i$$

情况1：若 ${\Delta }_i$ 只包含无理数（实际不可能，因有理数稠密）

$${\omega }_i=0$$

情况2：若 ${\Delta }_i$ 包含有理点 $\frac{p}{q}$

$$M_i=\max \left\{\frac{1}{q_1},\frac{1}{q_2},\dots \right\}$$

其中 $\frac{p_k}{q_k}\in {\Delta }_i$。

由于无理数稠密：

$$m_i=0$$

因此

$${\omega }_i=M_i$$

第2步：何时 ${\omega }_i\ge \eta$？

$${\omega }_i\ge \eta ⟺M_i\ge \eta$$

$$⟺{\Delta }_i\text{包含某个}\frac{p}{q},\text{使得}\frac{1}{q}\ge \eta$$

$$⟺{\Delta }_i\text{包含分母}q\le \frac{1}{\eta }\text{的有理点}$$

第3步：计数

在 $[0,1]$ 中，分母 $q\le \frac{1}{\eta }$ 的既约真分数只有有限个！

设这样的有理点有 $K$ 个：

$$K\le \sum _{q=1}^{\lfloor 1/\eta \rfloor }\phi (q)\le {\left(\frac{1}{\eta }\right)}^2$$

（$\phi$ 是Euler函数）

第4步：覆盖这些点

对于包含这 $K$ 个特殊有理点的小区间，至多有 $2K$ 个（每个点可能在两个相邻小区间的边界上）。

第5步：选择分割

选择分割 $T$ 使得

$$\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{2K}$$

则满足 ${\omega }_i\ge \eta$ 的小区间总长度

$$\sum ^{\prime }\Delta x_i\le 2K\cdot \Vert T\Vert <2K\cdot \frac{\epsilon }{2K}=\epsilon$$

第6步：结论

由定理9.16（Riemann准则），$R(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积！✓

积分值计算

对任意分割 $T$，在每个小区间 ${\Delta }_i$ 上：

$$m_i=\underset{{\Delta }_i}{\inf }R(x)=0$$

（因为无理数在 ${\Delta }_i$ 中稠密，而 $R(\text{无理数})=0$）

因此

$$s(T)=\sum m_i\Delta x_i=0$$

由 $\underline{s}={\sup }_{T}s(T)$：

$$\boxed{{\int }_0^{1}R(x)dx=0}$$

与§9.3例3的比较

• §9.3用定理9.15：需估计 $\sum {\omega }_i\Delta x_i$ 的整体
• 本节用定理9.16：只需控制 ${\omega }_i\ge \eta$ 的区间总长
• 结论：定理9.16的证明更简洁、更深刻！

深层意义

1. $R(x)$ 在所有有理点不连续（有可数无穷多个）
2. 但有理数集虽然稠密，在Lebesgue测度意义下是"零测集"
3. $R(x)$ 几乎处处连续（在所有无理点连续）
4. 因此可积！

这是Riemann可积性与测度论联系的绝佳例子。

3.2 例2：复合函数的可积性 ★★★★

定理表述

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积，且

$$a\le \phi (t)\le b,\forall t\in [\alpha ,\beta ]$$

则复合函数

$$\boxed{F(t)=f(\phi (t))}$$

在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积。

证明 ★★★★

任给 $\epsilon >0$，$\eta >0$。

第1步：利用 $f$ 的一致连续性

$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续 ⟹ 一致连续（Cantor定理）。

因此，$\exists \delta >0$，当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时：

$$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\eta$$

第2步：利用 $\phi$ 的可积性

$\phi$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积，由定理9.16（Riemann准则），对上述 $\delta$ 和 $\epsilon$：

$$\exists \text{分割}T\text{ of }[\alpha ,\beta ],\text{使得满足}$$

$${\omega }_{\phi }^{(i)}\ge \delta \text{的小区间总长}\sum ^{\prime }\Delta t_i<\epsilon$$

其中 ${\omega }_{\phi }^{(i)}={\sup }_{\Delta t_i}\phi -{\inf }_{\Delta t_i}\phi$ 是 $\phi$ 在 $\Delta t_i$ 上的振幅。

第3步：分析 $F(t)=f(\phi (t))$ 的振幅

在小区间 $\Delta t_i=[t_{i-1},t_i]$ 上：

$${\omega }_F^{(i)}=\underset{t\in \Delta t_i}{\sup }f(\phi (t))-\underset{t\in \Delta t_i}{\inf }f(\phi (t))$$

情况1：若 ${\omega }_{\phi }^{(i)}<\delta$（$\phi$ 的振幅小）

对 $t^{\prime },t^{\prime \prime }\in \Delta t_i$：

$$|\phi (t^{\prime })-\phi (t^{\prime \prime })|\le {\omega }_{\phi }^{(i)}<\delta$$

由 $f$ 的一致连续性：

$$|f(\phi (t^{\prime }))-f(\phi (t^{\prime \prime }))|<\eta$$

因此

$${\omega }_F^{(i)}<\eta$$

情况2：若 ${\omega }_{\phi }^{(i)}\ge \delta$（$\phi$ 的振幅大）

这样的小区间总长 $<\epsilon$（由第2步）。

第4步：应用定理9.16于 $F$

在分割 $T$ 中，满足 ${\omega }_F^{(i)}\ge \eta$ 的小区间，必然是满足 ${\omega }_{\phi }^{(i)}\ge \delta$ 的小区间（由情况1，${\omega }_{\phi }^{(i)}<\delta \Rightarrow {\omega }_F^{(i)}<\eta$）。

因此，满足 ${\omega }_F^{(i)}\ge \eta$ 的小区间总长

$$\sum ^{\prime \prime }\Delta t_i\le \sum ^{\prime }\Delta t_i<\epsilon$$

第5步：结论

由定理9.16（Riemann准则），$F(t)=f(\phi (t))$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可积。

证毕。✓

推广与注记

1. 若 $f$ 只是有界（非连续），结论一般不成立

   • 反例：$f=D$（Dirichlet函数），$\phi (t)=t$

2. 若 $\phi$ 只是连续（非可积），结论显然成立

   • 因为连续 ⟹ 可积，且复合连续函数仍连续

3. 此定理体现了连续性与可积性的相互作用

应用举例

例：证明 ${\int }_0^1\sin (x^2)dx$ 可积。

• $f(u)=\sin u$ 在 $[0,1]$ 上连续
• $\phi (x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续（⟹可积）
• $0\le x^2\le 1$ for $x\in [0,1]$
• 由复合函数可积性定理，$\sin (x^2)$ 可积✓

第四部分：理论比较与历史发展 | Theoretical Comparison and Historical Development

4.1 三大充要条件的内在联系 ★★★★

逻辑关系图

定理9.14 (上积分=下积分)
    ↕ 达布定理 (性质6)
定理9.15 (振幅和<ε)
    ↕ 估计技巧（振幅分类）
定理9.16 (Riemann准则)

等价性证明路线

9.14 ⟹ 9.15：

• $\overline{S}=\underline{s}$ + 达布定理
• ⟹ ${\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}[S(T)-s(T)]=0$
• ⟹ $\exists T:S(T)-s(T)<\epsilon$

9.15 ⟹ 9.14：

• $\exists T:\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$
• ⟹ $0\le \overline{S}-\underline{s}\le S(T)-s(T)<\epsilon$
• ⟹ $\overline{S}=\underline{s}$

9.15 ⟹ 9.16：

• 将小区间分为 ${\omega }_i\ge \eta$ 和 ${\omega }_i<\eta$ 两类
• $\sum {\omega }_i\Delta x_i={\sum }_A+{\sum }_B$
• ${\sum }_A\ge \eta {\sum }^{\prime }\Delta x_i$
• ⟹ ${\sum }^{\prime }\Delta x_i<\epsilon$

9.16 ⟹ 9.15：

• 选择 $\eta =\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2(b-a)}$
• $\sum {\omega }_i\Delta x_i={\sum }_A+{\sum }_B$
• ${\sum }_A\le (M-m)\cdot \epsilon$，${\sum }_B<\eta (b-a)$
• ⟹ 总和 $<{\epsilon }^{\prime }$

4.2 历史发展脉络 ★★★

Bernhard Riemann (1826-1866)

Gaston Darboux (1842-1917)

Henri Lebesgue (1875-1941)

4.3 达布定理的深刻意义 ★★★★

多层面的重要性

确界与极限的哲学

确界（Infimum/Supremum）：

• 集合论概念
• 静态：一次性定义
• 不涉及"逼近过程"

极限（Limit）：

• 分析学概念
• 动态：无穷过程
• 描述"趋近行为"

达布定理：将两者联系起来 $$\underset{T}{\inf }S(T)=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)$$

这揭示了集合的确界与序列的极限在积分理论中的统一！

4.4 可积性理论的现代拓展

Henstock-Kurzweil积分

• 1960年代：Henstock和Kurzweil独立提出

• 特点：

  • 对Riemann积分的推广
  • 允许"可变模"的分割（$\delta$-fine partition）
  • 可积分某些广义Riemann积分

• 与Lebesgue积分的关系：

  • 包含所有Lebesgue可积函数
  • 还包含某些绝对值不可积但HK可积的函数
  • 某种意义上是"最广"的积分

抽象测度空间上的积分

从 $[a,b]$ 上的Lebesgue积分推广到一般测度空间 $(X,\mathcal{F},\mu )$：

$${\int }_{X}fd\mu$$

应用：

• 概率论（概率测度）
• 调和分析（Haar测度）
• 几何测度论

随机积分（Itô积分）

对Brown运动 $B_t$：

$${\int }_0^{T}f(t)d{B}_t$$

• 非Riemann型：路径几乎处处不可微
• 应用：金融数学、随机微分方程

第五部分：习题与综合应用 | Exercises and Comprehensive Applications

5.1 习题9.6精选

习题1：证明性质2的下和不等式 ★★

问题：完整证明性质2中关于下和的不等式(3)：

若 $T^{\prime }$ 是 $T$ 添加 $p$ 个分点后的分割，则

$$s(T)\le s(T^{\prime })\le s(T)+(M-m)p\Vert T\Vert$$

证明：

完全类似上和的证明，只需注意不等号方向。

对 $p=1$ 的情形，设新分点 $\xi$ 落在 ${\Delta }_k$，分为 ${\Delta }_k^{\prime }$ 和 ${\Delta }_k^{\prime \prime }$：

$$s(T^{\prime })-s(T)=(m_k^{\prime }\Delta x_k^{\prime }+m_k^{\prime \prime }\Delta x_k^{\prime \prime })-m_k\Delta x_k$$

$$=(m_k^{\prime }-m_k)\Delta x_k^{\prime }+(m_k^{\prime \prime }-m_k)\Delta x_k^{\prime \prime }$$

由于 $m_k\le m_k^{\prime }$，$m_k\le m_k^{\prime \prime }$：

$$0\le (m_k^{\prime }-m_k)\Delta x_k^{\prime }\le (M_k-m_k)\Delta x_k^{\prime }\le (M-m)\Vert T\Vert$$

类似地：

$$0\le (m_k^{\prime \prime }-m_k)\Delta x_k^{\prime \prime }\le (M-m)\Vert T\Vert$$

因此：

$$0\le s(T^{\prime })-s(T)\le (M-m)\Vert T\Vert$$

归纳到 $p$ 个分点即得。✓

习题2：证明达布定理的下和形式 ★★★

问题：证明

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)=\underline{s}$$

证明：

完全类似上和的证明（性质6）：

1. 由 $\underline{s}$ 的定义，$\forall \epsilon >0$，$\exists T^{\prime }$ 使得 $$s(T^{\prime })>\underline{s}-\frac{\epsilon }{2}$$

2. 对任意分割 $T$，$T+T^{\prime }$ 比 $T$ 至多多 $p$ 个分点

3. 由性质2和性质3： $$s(T)\ge s(T+T^{\prime })\ge s(T)-(M-m)p\Vert T\Vert$$ $$s(T+T^{\prime })\ge s(T^{\prime })$$

4. 选择 $\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{2(M-m)p}$，则 $$s(T)\ge s(T^{\prime })-\frac{\epsilon }{2}>\underline{s}-\epsilon$$

5. 由 $\underline{s}$ 的定义，$s(T)\le \underline{s}$

6. 因此 $|s(T)-\underline{s}|<\epsilon$

证毕。✓

习题3：计算上下积分 ★★★

问题：设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$

求 $f$ 在 $[0,1]$ 上的上积分 $\overline{S}$ 和下积分 $\underline{s}$，判断可积性。

解答：

对任意分割 $T:0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1$：

上和：

• 在任何小区间 ${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i]$ 中，有理数稠密
• 因此 $M_i={\sup }_{{\Delta }_i}f(x)=1$
• $S(T)={\sum }_{i=1}^{n}1\cdot \Delta x_i=1$

下和：

• 在任何小区间 ${\Delta }_i$ 中，无理数也稠密
• 因此 $m_i={\inf }_{{\Delta }_i}f(x)=0$
• $s(T)={\sum }_{i=1}^{n}0\cdot \Delta x_i=0$

上下积分：

$$\overline{S}=\underset{T}{\inf }S(T)=1$$

$$\underline{s}=\underset{T}{\sup }s(T)=0$$

可积性判断：

$$\overline{S}=1\ne 0=\underline{s}$$

由定理9.14，$f$ 在 $[0,1]$ 上不可积！❌

这正是著名的Dirichlet函数，是Riemann不可积的经典例子。

习题4：复合函数可积性 ★★★

问题：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$f(x)\ge 0$，问 $\sqrt{f(x)}$ 是否可积？

解答：是的，$\sqrt{f(x)}$ 可积。

证明思路：

设 $M={\sup }_{[a,b]}f(x)$，则 $0\le f(x)\le M$。

函数 $g(u)=\sqrt{u}$ 在 $[0,M]$ 上连续，特别是一致连续。

方法1（直接估计振幅）：

在小区间 ${\Delta }_i$ 上，设 $f$ 的振幅为 ${\omega }_f^{(i)}=M_i^f-m_i^f$。

$${\omega }_{\sqrt{f}}^{(i)}=\sqrt{M_i^f}-\sqrt{m_i^f}$$

由均值不等式（或凹性）：

$$\sqrt{M_i^f}-\sqrt{m_i^f}=\frac{(M_i^f-m_i^f)}{\sqrt{M_i^f}+\sqrt{m_i^f}}\le \frac{{\omega }_f^{(i)}}{2\sqrt{m_i^f}}$$

但这个估计可能不够直接...

方法2（利用一致连续性）：

$g(u)=\sqrt{u}$ 在 $[0,M]$ 上一致连续：

$$\forall {\epsilon }^{\prime }>0,\exists \delta >0,|u_1-u_2|<\delta \Rightarrow |\sqrt{u_1}-\sqrt{u_2}|<{\epsilon }^{\prime }$$

由 $f$ 可积，应用定理9.16：

对上述 $\delta$ 和任意 $\epsilon >0$，$\exists$ 分割 $T$ 使得

$${\omega }_f^{(i)}\ge \delta \text{ 的小区间总长}<\epsilon$$

在 ${\omega }_f^{(i)}<\delta$ 的小区间上：

$${\omega }_{\sqrt{f}}^{(i)}=\sup \sqrt{f}-\inf \sqrt{f}<{\epsilon }^{\prime }$$

（因为 $\sup f-\inf f<\delta$，由一致连续性）

因此，满足 ${\omega }_{\sqrt{f}}^{(i)}\ge {\epsilon }^{\prime }$ 的小区间，必然是 ${\omega }_f^{(i)}\ge \delta$ 的小区间，其总长 $<\epsilon$。

由定理9.16，$\sqrt{f}$ 可积。✓

习题5：充要条件的等价性 ★★★★

问题：证明定理9.15等价于以下表述：

$f$ 可积 ⟺ $\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，对一切 $\Vert T\Vert <\delta$ 的分割 $T$，都有 $S(T)-s(T)<\epsilon$

证明：

"⟸"方向（新条件 ⟹ 定理9.15）：

显然，取任意 $\Vert T\Vert <\delta$ 的分割即满足定理9.15的要求。✓

"⟹"方向（定理9.15 ⟹ 新条件）：

设定理9.15成立，即：

$$\forall \epsilon >0,\exists T_0\text{ 使得 }S(T_0)-s(T_0)<\frac{\epsilon }{2}$$

由达布定理（性质6），$\exists \delta >0$，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时：

$$|S(T)-\overline{S}|<\frac{\epsilon }{4},|s(T)-\underline{s}|<\frac{\epsilon }{4}$$

同时，由定理9.14（可积⟹上下积分相等），$\overline{S}=\underline{s}$。

因此，当 $\Vert T\Vert <\delta$ 时：

$$S(T)-s(T)=[S(T)-\overline{S}]+[\overline{S}-\underline{s}]+[\underline{s}-s(T)]$$

$$=[S(T)-\overline{S}]+0-[s(T)-\underline{s}]$$

$$\le |S(T)-\overline{S}|+|s(T)-\underline{s}|$$

$$<\frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{4}=\frac{\epsilon }{2}<\epsilon$$

证毕。✓

5.2 综合应用技巧总结

技巧1：选择合适的充要条件

技巧2：振幅估计方法

方法1（连续函数）：

• 利用一致连续性
• $\Vert T\Vert <\delta \Rightarrow {\omega }_i<\epsilon$

方法2（单调函数）：

• ${\omega }_i=|f(x_i)-f(x_{i-1})|$
• $\sum {\omega }_i\Delta x_i\le [f(b)-f(a)]\cdot \Vert T\Vert$

方法3（复合函数）：

• 传递振幅估计
• 利用外层函数的连续性

技巧3：控制"坏区间"总长

步骤：

1. 识别：哪些点使 ${\omega }_i$ 大？

   • 间断点
   • 分母小的有理点（Riemann函数）

2. 计数：这些点有多少个？

   • 有限个 ⟹ 容易处理
   • 可数个 ⟹ 需要估计（如Riemann函数）
   • 不可数 ⟹ 考虑测度（Cantor集等）

3. 覆盖：选择分割使这些点的邻域总长 $<\epsilon$

技巧4：利用上下和的性质

• 加细分割：上和↓，下和↑
• 合并分割：保持大小关系
• 达布定理：确界 = 极限
• 夹逼：$s(T)\le \sum f({\xi }_i)\Delta x_i\le S(T)$