那我就从最根基的地方开始：实数完备性 → 数列极限 → 单调收敛 → Bolzano–Weierstrass → Cauchy 准则，全部给出完整、逐步的、几乎不省略的证明。后面你可以继续让我往后推（函数极限、连续、导数、积分、级数、多元等）。

下面所有公式用 LaTeX 写，你之后可以直接搬进自己的笔记 / LaTeX 文档。

第 0 章 实数与确界

在大多数数学分析教材中，实数系的完备性是公理，不从更底层证明。我们也按这个做法： 把“每个非空有上界集合都有上确界”作为实数的完备性公理，然后证明各种等价的性质（特别是“逼近性质”）。

0.1 上界、下界、上确界、下确界

定义 0.1（上界、下界）

设 (A \subset \mathbb{R}) 非空。

1. 若存在实数 (M)，对一切 (x \in A) 都有 [ x \le M, ] 则称 (A) 在上有界，(M) 称为 (A) 的上界。

2. 若存在实数 (m)，对一切 (x \in A) 都有 [ x \ge m, ] 则称 (A) 在下有界，(m) 称为 (A) 的下界。

若既有上界又有下界，则称 (A) 是有界集合。

定义 0.2（上确界 / 下确界）

设 (A\subset\mathbb{R}) 非空。

1. 数 (s) 称为 (A) 的上确界（least upper bound，记作 (\sup A)），如果：

   • (1) (s) 是 (A) 的上界：对一切 (x\in A)，有 (x \le s)；
   • (2) 对任意比它小一点的数都不是上界：对任意 (\varepsilon>0)，数 (s-\varepsilon) 不是上界，也就是说存在某个 (x_\varepsilon\in A) 使得 [ x_\varepsilon > s-\varepsilon. ]

2. 数 (i) 称为 下确界（greatest lower bound，记作 (\inf A)），如果：

   • (1) (i) 是 (A) 的下界：对一切 (x\in A)，有 (x \ge i)；
   • (2) 对任意比它大一点的数都不是下界：对任意 (\varepsilon>0)，数 (i+\varepsilon) 不是下界，也就是说存在某个 (x_\varepsilon\in A) 使得 [ x_\varepsilon < i+\varepsilon. ]

公理 0.3（实数的完备性 / 上确界公理）

（完备性公理） 任意非空且在上有界的集合 (A \subset \mathbb{R})，必存在上确界 (\sup A \in \mathbb{R})。

（下确界存在性可由上确界存在性推得：(\inf A = -\sup(-A))。）

命题 0.4（上确界的逼近性质）

设 (A\subset\mathbb{R}) 非空，在上有界，(s = \sup A)。 则对任意 (\varepsilon > 0)，存在 (x_\varepsilon \in A)，使得 [ s - \varepsilon < x_\varepsilon \le s. ]

证明：

1. 由上确界定义中的 (2)，对任一 (\varepsilon>0)，数 (s - \varepsilon) 不是上界。 这意味着存在至少一个点 (x_\varepsilon\in A)，使得 [ x_\varepsilon > s - \varepsilon. ]
2. 又由于 (s) 是上界，对所有 (x\in A)，都有 (x \le s)。 特别地，对刚才的 (x_\varepsilon)，也有 [ x_\varepsilon \le s. ]
3. 二者合并，就得到 [ s - \varepsilon < x_\varepsilon \le s. ]
4. 证毕。

解释： 这就是「上确界可以被集合中的元素任意逼近」的形式化说法。 以后很多「构造一个收敛到 (\sup A) 的序列」就是用这条命题。

第 1 章 数列与极限

1.1 数列与收敛定义

定义 1.1（数列）

一个实数数列就是一个从自然数集 (\mathbb{N}) 到实数集 (\mathbb{R}) 的函数： [ n \mapsto x_n. ] 通常写作 ({x_n}_{n=1}^\infty)，简称 ({x_n})。

定义 1.2（数列极限 / 收敛）

若存在实数 (a)，对任意 (\varepsilon>0)，存在正整数 (N)，使得当 (n\ge N) 时都有 [ |x_n - a| < \varepsilon, ] 则称数列 ({x_n}) 收敛于 (a)，或称 (a) 为 ({x_n}) 的极限，记作 [ \lim_{n\to\infty} x_n = a \quad\text{或}\quad x_n \to a. ]

若不存在这样的 (a)，则称数列发散。

注释（关于“尾项”思想）

定义的含义是：对任意给定的精度 ε，数列的「尾部」元素全部进入以 (a) 为中心、半径 ε 的区间 ( (a-\varepsilon,, a+\varepsilon) )。

以后几乎所有关于极限的定理都是在这个 ε 的结构上玩花样。

1.2 极限的唯一性与有界性

定理 1.3（极限唯一性）

若数列 ({x_n}) 收敛，且 [ \lim_{n\to\infty} x_n = a,\qquad \lim_{n\to\infty} x_n = b, ] 则 (a=b)。

证明：

1. 反设 (a\neq b)。 令 [ \varepsilon_0 = \frac{|a-b|}{3}. ] 显然 (\varepsilon_0 > 0)。

2. 因为 (x_n \to a)，根据极限定义，存在正整数 (N_1)，使得对所有 (n\ge N_1)，有 [ |x_n - a| < \varepsilon_0. ]

3. 同理，因为 (x_n \to b)，存在正整数 (N_2)，使得对所有 (n\ge N_2)，有 [ |x_n - b| < \varepsilon_0. ]

4. 取 (N = \max{N_1, N_2})。 则对任意 (n\ge N)，上述两个不等式同时成立，即 [ |x_n - a| < \varepsilon_0,\qquad |x_n - b| < \varepsilon_0. ]

5. 用三角不等式估计 (|a-b|)： [ |a-b| = |a - x_n + x_n - b| \le |a - x_n| + |x_n - b| < \varepsilon_0 + \varepsilon_0 = 2\varepsilon_0. ]

6. 代入 (\varepsilon_0 = \dfrac{|a-b|}{3})，得到 [ |a-b| < 2\cdot\frac{|a-b|}{3} = \frac{2}{3}|a-b|. ] 若 (|a-b|>0)，两边同除以 (|a-b|) 得 (1 < \frac{2}{3})，矛盾。

7. 因此假设 (a\neq b) 不成立，只能有 (a=b)。证毕。

定理 1.4（收敛数列有界）

若数列 ({x_n}) 收敛于某个实数 (a)，则 ({x_n}) 是有界数列，即存在 (M>0)，使得对所有 (n) 都有 [ |x_n| \le M. ]

证明：

1. 由 (x_n \to a)，取 (\varepsilon = 1)。 根据极限定义，存在正整数 (N)，使得当 (n\ge N) 时： [ |x_n - a| < 1. ]

2. 由三角不等式 [ |x_n| = |(x_n - a) + a| \le |x_n - a| + |a| < 1 + |a|. ] 因此当 (n\ge N) 时，有 [ |x_n| < 1 + |a|. ]

3. 对于前面有限个项 (x_1,x_2,\dots,x_{N-1})，因为是有限集合，可以取其绝对值的最大值： [ M_1 = \max{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_{N-1}|}. ]

4. 令 [ M = \max{M_1,\ 1+|a|}. ] 则对任意 (n\in\mathbb{N})：

   • 若 (n\ge N)，则 (|x_n|\le 1+|a| \le M)；
   • 若 (n<N)，则 (|x_n|\le M_1\le M)。

5. 因此对所有 (n) 均有 (|x_n|\le M)，故数列有界。证毕。

1.3 数列收敛的运算性质

下面所有极限运算定理，都用同一个套路： 先用三角不等式分裂误差，再使用极限定义的 ε 控制。

设 ({x_n}\to a,\ {y_n}\to b)。

定理 1.5（加法与减法）

[ \lim_{n\to\infty} (x_n + y_n) = a + b,\qquad \lim_{n\to\infty} (x_n - y_n) = a - b. ]

证明（以加法为例）：

1. 我们要证明： 对任意 (\varepsilon>0)，存在 (N)，使得当 (n\ge N) 时 [ |(x_n + y_n) - (a + b)| < \varepsilon. ]

2. 注意到 [ (x_n + y_n) - (a + b) = (x_n - a) + (y_n - b), ] 因此 [ |(x_n + y_n) - (a + b)| = |(x_n - a) + (y_n - b)| \le |x_n - a| + |y_n - b| ] （用三角不等式）。

3. 为了让右边小于 ε，最自然的想法是让两个部分都小于 (\varepsilon/2)。 具体：取任意 (\varepsilon>0)，令 [ \varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2}. ]

4. 因为 (x_n \to a)，存在 (N_1)，使得当 (n\ge N_1) 时 [ |x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

5. 因为 (y_n \to b)，存在 (N_2)，使得当 (n\ge N_2) 时 [ |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

6. 令 (N = \max{N_1, N_2})。 则当 (n\ge N) 时，两条不等式同时成立，于是 [ |(x_n + y_n) - (a + b)| \le |x_n - a| + |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. ]

7. 由极限定义知 (\lim (x_n+y_n)=a+b)。证毕。

减法类似，把 (y_n-b) 替换成 (-(y_n-b)) 即可。

定理 1.6（乘法）

若 ({x_n}\to a,\ {y_n}\to b)，则 [ \lim_{n\to\infty} (x_n y_n) = ab. ]

证明：

1. 观察误差： [ x_n y_n - ab = x_n y_n - a y_n + a y_n - ab = (x_n - a)y_n + a(y_n - b). ]

2. 对任意 (n)，用三角不等式： [ |x_n y_n - ab| \le |x_n - a||y_n| + |a||y_n - b|. ]

3. 因为 ({y_n}) 收敛于 (b)，所以 ({y_n}) 有界（由定理 1.4）。 存在常数 (M>0)，使得对所有 (n) 有 [ |y_n| \le M. ]

4. 于是 [ |x_n y_n - ab| \le M |x_n - a| + |a|,|y_n - b|. ]

5. 目标是：对给定的 (\varepsilon>0)，让右边小于 ε。 常规「分配 ε」方法： 取 [ \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2M},\qquad \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}. ] （这里避免 (a=0) 带来的除 0 问题，用 (|a|+1) 代替 (|a|)。）

6. 由 (x_n\to a)，存在 (N_1)，当 (n\ge N_1) 时： [ |x_n - a| < \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2M}. ]

7. 由 (y_n\to b)，存在 (N_2)，当 (n\ge N_2) 时： [ |y_n - b| < \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}. ]

8. 令 (N = \max{N_1, N_2})。当 (n\ge N) 时，有 [ |x_n y_n - ab| \le M |x_n - a| + |a||y_n - b| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |a| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}. ]

9. 注意 [ |a| \cdot \frac{1}{|a|+1} < 1, ] 所以 [ |a||y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2}. ] 故 [ |x_n y_n - ab| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. ]

10. 由极限定义得到 (\lim x_n y_n = ab)。证毕。

定理 1.7（商的极限）

若 ({x_n}\to a,\ {y_n}\to b)，且 (b\ne 0)，并且从某项起 (y_n\neq 0)，则 [ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}. ]

证明思路：

• 先证明 ({1/y_n}) 收敛到 (1/b)；
• 然后用乘法定理得到 (x_n\cdot (1/y_n)\to a\cdot (1/b))。

这里需要一个关键步骤：证明 (|y_n|) 从某项起远离 0，使得 (1/y_n) 有界并可控。

详细证明（略写重要步骤）你以后可以展开书写：

1. 因为 (y_n\to b\ne 0)，存在 (\delta = |b|/2 >0)，由极限定义，存在 (N_1)，当 (n\ge N_1) 时 [ |y_n - b| < \delta = \frac{|b|}{2}. ]

2. 用三角不等式： [ |y_n| \ge |b| - |y_n - b| > |b| - \frac{|b|}{2} = \frac{|b|}{2} > 0. ] 因此从 (n\ge N_1) 起，(y_n\neq 0)，并且 (|y_n|\ge |b|/2)。

3. 接下来估计 [ \left|\frac{1}{y_n} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|b - y_n|}{|b y_n|} \le \frac{|y_n - b|}{|b|\cdot |y_n|} \le \frac{|y_n - b|}{|b|\cdot (|b|/2)} = \frac{2}{|b|^2} |y_n - b|. ]

4. 由 (y_n\to b)，当 (n) 足够大时 (|y_n-b|) 可以任意小。 给定 (\varepsilon>0)，令 [ \varepsilon' = \frac{|b|^2}{2}\varepsilon. ] 由极限定义，存在 (N_2)，当 (n\ge N_2) 时， [ |y_n - b| < \varepsilon'. ]

5. 对 (n\ge N = \max{N_1, N_2})， [ \left|\frac{1}{y_n} - \frac{1}{b}\right| \le \frac{2}{|b|^2} |y_n - b| < \frac{2}{|b|^2}\cdot \varepsilon' = \varepsilon. ] 说明 (\dfrac{1}{y_n}\to \dfrac{1}{b})。

6. 最后，由乘法定理： [ \frac{x_n}{y_n} = x_n \cdot \frac{1}{y_n} \to a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}. ] 证毕。

1.4 单调数列与单调收敛定理

定义 1.8（单调数列）

• 若对任意 (n)，有 (x_{n+1}\ge x_n)，则称 ({x_n}) 单调递增（或不减）。
• 若对任意 (n)，有 (x_{n+1}\le x_n)，则称 ({x_n}) 单调递减（或不增）。
• 统称为单调数列。

定理 1.9（单调有界数列必收敛）

1. 若 ({x_n}) 单调递增且有上界，则 ({x_n}) 收敛。
2. 若 ({x_n}) 单调递减且有下界，则 ({x_n}) 收敛。

证明（证明递增情形，递减同理）：

假设： ({x_n}) 单调递增，即对任意 (n) 有 [ x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le x_{n+1} \le \cdots ] 并且有上界：存在 (M)，使得对所有 (n) 有 (x_n \le M)。

1. 考虑集合 [ A = {x_n : n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}. ] 这是一个非空集合（包含至少 (x_1)），且上有界（上界为 (M)）。

2. 由完备性公理，集合 (A) 有上确界，记作 [ L = \sup A. ]

3. 我们声称：(\lim_{n\to\infty} x_n = L)。

4. 为证此极限，取任意 (\varepsilon>0)，由上确界的逼近性质（命题 0.4），(L-\varepsilon) 不是上界，所以存在 (N\in\mathbb{N})，使得 [ x_N > L - \varepsilon. ]

5. 利用单调性：当 (n\ge N) 时，(x_n \ge x_N)，因此 [ x_n \ge x_N > L - \varepsilon. ]

6. 另一方面，由于 (L) 是上界，对任何 (n) 都有 [ x_n \le L. ]

7. 合并得到：当 (n\ge N) 时， [ L - \varepsilon < x_n \le L. ]

8. 于是 [ |x_n - L| = L - x_n \le L - (L - \varepsilon) = \varepsilon. ] 若要严格写成 < ε，可在第 4 步取 (\varepsilon/2) 等。简单起见可接受 ≤。

9. 由极限定义可得 (x_n \to L)。证毕。

（递减情形只需对 (-x_n) 应用上述结果，或者用下确界证明即可。）

1.5 有界数列的收敛子列（Bolzano–Weierstrass）

这是接下来证明 Cauchy 收敛准则的重要工具。

辅助引理 1.10（区间套法 / 二分法引理）

设 ([a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots) 是一列嵌套的闭区间（即对所有 (n)，([a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n])），并且长度 (b_n-a_n\to 0)。 则存在唯一一点 (x\in\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n])。

证明要点：

1. 因为区间嵌套且长度趋于 0，可以证明 ({a_n}) 递增有上界，({b_n}) 递减有下界。
2. 利用单调收敛定理：(a_n\to \alpha,\ b_n\to \beta)，且 (\alpha\le\beta)。
3. 长度趋于 0 ⇒ (\beta-\alpha = 0)，故 (\alpha=\beta=x)。
4. 对每个 (n)，有 (a_n \le x \le b_n)，故 (x\in\bigcap [a_n,b_n])。 唯一性也容易证明。

这条引理给出「区间套中必有唯一一点」。

定理 1.11（Bolzano–Weierstrass 定理）

任何有界实数数列必存在一个收敛子列。

证明：

设数列 ({x_n}) 有界，即存在 (M>0)，使得对所有 (n) 有 [ |x_n|\le M. ] 于是所有项都落在区间 ([-M,M]) 中。

步骤 1：二分区间，构造嵌套区间

1. 令初始区间 [ I_1 = [-M, M]. ] 显然，数列中有无穷多项落在 (I_1) 中（实际上是所有项）。

2. 把 (I_1) 对半分成两个闭区间： [ I_1^{(1)} = [-M, 0],\quad I_1^{(2)} = [0, M]. ] 至少有一个子区间中包含无穷多项 (x_n)。 记这样的区间为 (I_2)，长度为 (|I_2| = M)。

3. 现在对 (I_2) 再平分成两个闭区间，每个长度为 (|I_2|/2)。 同理，至少有一个子区间中包含无穷多项 (x_n)。 记这样的区间为 (I_3)。

4. 如此反复，我们得到一列嵌套闭区间： [ I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots, ] 且每个 (I_k) 中都含有无穷多项数列元素。 并且区间长度满足 [ |I_k| = \frac{2M}{2^{k-1}} = \frac{2M}{2^{k-1}} \to 0 \quad (k\to\infty). ]

步骤 2：利用区间套引理找一点 (x)

由引理 1.10，存在唯一一点 (x\in\bigcap_{k=1}^\infty I_k)。

步骤 3：在每个区间内选取一个数列元素构造子列

我们要构造一个子序列 ({x_{n_k}})，使得：

• (x_{n_k} \in I_k)，
• 并且 (n_1 < n_2 < n_3 < \cdots)。

构造方法如下：

1. 因为 (I_1) 中有无穷多项，所以可以选取某个 (n_1)，使 (x_{n_1}\in I_1)。

2. 因为 (I_2\subset I_1) 中也有无穷多项 (x_n)，而且自然数无限，故可以在所有 (n > n_1) 的指标中，再选取一个 (n_2)，使得 [ n_2 > n_1,\quad x_{n_2}\in I_2. ]

3. 继续，假设已经选到 (n_k)，满足 (x_{n_k}\in I_k)。 由于 (I_{k+1}\subset I_k) 中有无穷多项 ({x_n})，于是必然存在 (n_{k+1} > n_k) 使得 [ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. ]

4. 如此得到严格递增的指标序列 ({n_k}) 和对应的子列 ({x_{n_k}})，满足对每个 (k)： [ x_{n_k} \in I_k. ]

步骤 4：证明子列收敛，且极限为区间套的交点 (x)

我们要证明 (\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = x)。

取任意 (\varepsilon>0)。由于 (|I_k|\to 0)，存在 (K)，使得对所有 (k\ge K)： [ |I_k| < \varepsilon. ]

记 (I_k = [a_k,b_k])。则 [ b_k - a_k = |I_k| < \varepsilon. ]

因为 (x\in I_k)，而 (x_{n_k}\in I_k)，所以 [ a_k \le x \le b_k,\quad a_k\le x_{n_k}\le b_k. ] 于是 [ |x_{n_k} - x| \le b_k - a_k = |I_k| < \varepsilon. ]

因此，当 (k\ge K) 时有 (|x_{n_k} - x|<\varepsilon)，这正是子列 ({x_{n_k}}) 收敛于 (x) 的极限定义。

故有界数列总有收敛子列。证毕。

1.6 Cauchy 列与 Cauchy 收敛准则

定义 1.12（Cauchy 数列）

若对任意 (\varepsilon>0)，存在正整数 (N)，使得对所有 (m,n\ge N) 都有 [ |x_n - x_m| < \varepsilon, ] 则称数列 ({x_n}) 是一个 Cauchy 数列（柯西列）。

直观理解：尾部的元素彼此之间越来越靠近。

定理 1.13（收敛数列必为 Cauchy 数列）

若 ({x_n}) 收敛于 (a)，则 ({x_n}) 是 Cauchy 数列。

证明：

1. 给定 (\varepsilon>0)，由于 (x_n\to a)，存在 (N)，使得当 (n\ge N) 时 [ |x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

2. 对任意 (m,n\ge N)，有 [ |x_n - x_m| = |(x_n - a) - (x_m - a)| \le |x_n - a| + |x_m - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. ]

3. 因此满足 Cauchy 定义。证毕。

引理 1.14（Cauchy 数列必有界）

任意 Cauchy 数列 ({x_n}) 是有界数列。

证明：

1. 由 Cauchy 定义，取 (\varepsilon = 1)。 存在 (N)，使得对任意 (m,n\ge N)： [ |x_n - x_m| < 1. ]

2. 固定 (m=N)，对所有 (n\ge N) 有 [ |x_n - x_N| < 1. ] 用三角不等式 [ |x_n| \le |x_n - x_N| + |x_N| < 1 + |x_N|. ] 因此所有 (n\ge N) 的项被绝对值上界 (1+|x_N|) 控制。

3. 对于有限多个前项 (x_1,\dots,x_{N-1})，取其绝对值最大值： [ M_1 = \max{|x_1|,\dots,|x_{N-1}|}. ]

4. 令 [ M = \max{M_1,\ 1+|x_N|}. ] 对任意 (n)，要么 (n<N)，要么 (n\ge N)，两种情况都有 (|x_n|\le M)。

5. 故 ({x_n}) 有界。证毕。

定理 1.15（Cauchy 收敛准则 / 实数完备性的一种形式）

对于实数数列 ({x_n})，以下两条等价：

1. ({x_n}) 收敛；
2. ({x_n}) 是 Cauchy 数列。

我们已在定理 1.13 证明了 (1) ⇒ (2)。 现在证明 (2) ⇒ (1)。

证明：Cauchy 数列在 (\mathbb{R}) 中收敛

设 ({x_n}) 为 Cauchy 数列。

1. 由引理 1.14，({x_n}) 有界。 于是可应用 Bolzano–Weierstrass 定理，得 ({x_n}) 至少存在一个收敛子列： [ x_{n_k} \to L \quad (k\to\infty). ]

2. 我们要证明整个数列 (x_n) 也收敛于同一个极限 (L)。

3. 给定任意 (\varepsilon>0)，由 Cauchy 性质，存在 (N_1)，使得当 (m,n\ge N_1) 时 [ |x_n - x_m| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

4. 另一方面，由于子列 (x_{n_k}\to L)，存在 (K)，使得当 (k\ge K) 时 [ |x_{n_k} - L| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

5. 注意：(n_k\to\infty)，因此存在 (k_0) 使得 [ n_{k_0} \ge N_1 \quad \text{且}\quad |x_{n_{k_0}} - L| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

6. 现在考虑任意 (n \ge N_1)。 由 Cauchy 性质（取 (m = n_{k_0})），有 [ |x_n - x_{n_{k_0}}| < \frac{\varepsilon}{2}. ]

7. 于是通过三角不等式： [ |x_n - L| \le |x_n - x_{n_{k_0}}| + |x_{n_{k_0}} - L| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. ]

8. 这表明：存在 (N = N_1)，使得对所有 (n\ge N)，有 (|x_n - L|<\varepsilon)。 根据极限定义，({x_n}) 收敛于 (L)。

9. 因此，Cauchy 数列在实数域中必收敛。结合前向证明，得 Cauchy 收敛准则成立。证毕。

到这里，我们已经非常详细地完成了：

• 实数完备性（确界）及逼近性质
• 数列极限定义、极限唯一、有界性
• 极限四则运算（加减乘除）
• 单调有界收敛定理
• Bolzano–Weierstrass 定理（有界数列必有收敛子列）
• Cauchy 数列的定义与 Cauchy 收敛准则

下一步我可以继续为你写：

• 第 2 章：函数极限与连续

  • 函数极限 ε–δ 定义
  • 与数列极限的联系（Heine 定义）
  • 连续性、闭区间上连续函数三大定理（有界性、最大值、介值）
  • 一致连续及 Heine–Cantor 定理
  • 详细的证明全部展开

你可以直接说：

接下来写“函数极限与连续”的全部定义与定理和极致详细证明。

我就从那里继续往下接着写。