第四章 函数的连续性：完整知识体系

Complete Knowledge System of Continuity of Functions

知识体系导读 | System Overview
连续性是微积分学的三大核心概念之一（极限、连续、导数），是从极限理论到微分学的关键桥梁。本章系统构建函数连续性的完整理论框架，从点的连续性到区间的连续性，从局部性质到全局性质，建立起连续函数的深刻性质定理体系，为后续导数、积分、微分方程等理论奠定坚实基础。连续函数的图像是"一笔画成"的曲线，这种几何直观背后蕴含着丰富的分析学理论。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

函数连续性理论体系 (Continuity Theory)
│
├─── 核心概念层 (Fundamental Concepts)
│    ├─ 点的连续性
│    │  ├─ 连续定义 (ε-δ 形式) ★核心★
│    │  ├─ 增量形式：lim Δy = 0
│    │  ├─ 极限形式：lim f(x) = f(x₀)
│    │  ├─ 左连续与右连续
│    │  └─ 单侧连续判定定理
│    │
│    ├─ 间断点分类体系 ★重要★
│    │  ├─ 第一类间断点
│    │  │  ├─ 可去间断点 (极限存在但≠函数值)
│    │  │  └─ 跳跃间断点 (左右极限≠)
│    │  └─ 第二类间断点
│    │     ├─ 无穷间断点 (至少一侧→∞)
│    │     └─ 振荡间断点 (振荡不定)
│    │
│    └─ 区间上的连续
│       ├─ 连续函数
│       ├─ 分段连续函数
│       └─ 初等函数的连续性
│
├─── 局部性质层 (Local Properties)
│    ├─ 局部有界性定理
│    ├─ 局部保号性定理
│    ├─ 局部保不等式性
│    └─ 四则运算法则
│       ├─ 和差积商的连续性
│       ├─ 复合函数的连续性
│       └─ 反函数的连续性
│
├─── 全局性质层 (Global Properties) ★核心★
│    ├─ 有界性定理 (最大最小值定理)
│    │  └─ [a,b]上连续 → 有界且达到最值
│    │
│    ├─ 介值性定理 ★★★
│    │  ├─ 基本形式
│    │  ├─ 零点定理 (推论)
│    │  └─ 方程根的存在性
│    │
│    └─ 一致连续性 ★高级★
│       ├─ 定义 (ε-δ 独立于点)
│       ├─ Cantor 定理
│       └─ 判定方法
│
├─── 特殊函数连续性 (Special Functions)
│    ├─ 初等函数连续性定理
│    │  ├─ 幂函数、指数、对数
│    │  ├─ 三角函数、反三角函数
│    │  └─ 定义域内处处连续
│    │
│    ├─ 反函数连续性定理
│    └─ 复合函数连续性定理
│
└─── 应用拓展层 (Applications)
     ├─ 方程求根
     │  ├─ 二分法
     │  └─ 迭代法收敛性
     │
     ├─ 不动点定理
     ├─ 函数逼近
     ├─ 最优化问题
     └─ 实际建模应用

第一部分：函数在一点的连续性 | Continuity at a Point

1.1 连续性的定义

定义 4.1（函数在一点的连续性）★核心定义★

设函数 $f$ 在某 $U(x_0)$ 上有定义。若 $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 连续（continuous at $x_0$）。

三种等价表述

1. 极限形式： $$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)}$$

含义：

• 极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在
• 函数在 $x_0$ 有定义（$f(x_0)$ 存在）
• 极限值等于函数值

2. $\epsilon$-$\delta$ 形式：

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon }$$

注意：这里是 $|x-x_0|<\delta$（不是 $0<|x-x_0|<\delta$），因为包含 $x=x_0$ 的情况。

3. 增量形式：

记 $\Delta x=x-x_0$（自变量增量），$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$（函数增量），则：

$$\boxed{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0}$$

几何意义：当自变量的增量趋于 $0$ 时，函数的增量也趋于 $0$。

      y
      │   f(x₀+Δx)
      │      ●
      │     ╱│Δy → 0
      │    ╱ │
  f(x₀)├───●──┤
      │   ↑  
      │   Δx → 0
      └───┴──┴────→ x
         x₀  x₀+Δx

连续性的逻辑结构

$$f\text{ 在 }{x}_0\text{ 连续}⟺\{\begin{array}{l}\text{(i) }f(x_0)\text{ 有定义}\\ \text{(ii) }{\lim }_{x\to x_0}f(x)\text{ 存在}\\ \text{(iii) }{\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\end{array}$$

三者缺一不可！

连续的本质

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f\left(\underset{x\to x_0}{\lim }x\right)$$

意义：极限运算 $\lim$ 与函数运算 $f$ 可交换。

1.2 连续性的典型例题

例 4.1：证明 $f(x)=2x+1$ 在点 $x=2$ 连续

证明：

需证 ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)$。

$$\underset{x\to 2}{\lim }(2x+1)=2\cdot 2+1=5=f(2)$$

因此 $f$ 在 $x=2$ 连续。✓

例 4.2（教材例）：证明 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ 在 $x=0$ 连续

证明：

需证 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)=0$。

由于 $|\sin \frac{1}{x}|\le 1$，有： $$|f(x)-f(0)|=\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le |x|$$

对任给 $\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon$，则当 $|x-0|<\delta$ 时： $$|f(x)-f(0)|\le |x|<\delta =\epsilon$$

由 $\epsilon$-$\delta$ 定义，$f$ 在 $x=0$ 连续。✓

关键点：虽然 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近振荡，但乘以 $x$ 后被"压制"为 $0$。

例 4.3（狄利克雷函数的变形）：证明 $f(x)=x\cdot D(x)$ 在 $x=0$ 连续，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$$

证明：

由 $f(0)=0\cdot D(0)=0$ 及 $|D(x)|\le 1$，对任给 $\epsilon >0$： $$|f(x)-f(0)|=|x\cdot D(x)|\le |x|$$

取 $\delta =\epsilon$，当 $|x-0|<\delta$ 时： $$|f(x)-f(0)|\le |x|<\epsilon$$

因此 $f$ 在 $x=0$ 连续。✓

深刻性：虽然 $D(x)$ 在任何点都不连续，但 $x\cdot D(x)$ 在 $x=0$ 连续！

1.3 单侧连续性

定义 4.2（左连续与右连续）

设函数 $f$ 在 $U_{+}(x_0)$（或 $U_{-}(x_0)$）上有定义。

右连续（Right continuous）：若 $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 右连续。

左连续（Left continuous）：若 $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 左连续。

定理 4.1（单侧连续与双侧连续的关系）

$$\boxed{f\text{ 在 }{x}_0\text{ 连续}⟺f\text{ 在 }{x}_0\text{ 既左连续又右连续}}$$

证明：

充分性：若 $f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)$，则由单侧极限定理： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

必要性：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则： $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

证毕！✓

例 4.4（教材例2）：讨论函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\ge 0\\ x-2,& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 的连续性

解：

计算单侧极限： $$f(0+0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x+2)=2$$

$$f(0-0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x-2)=-2$$

而 $f(0)=0+2=2$。

因此：

• $f(0+0)=f(0)=2$，故 $f$ 在 $x=0$ 右连续 ✓
• $f(0-0)=-2\ne f(0)$，故 $f$ 在 $x=0$ 不左连续 ✗

结论：$f$ 在 $x=0$ 不连续。

图示：

    y
    │     ╱
  2 ├────●  f(x) = x+2 (x≥0)
    │   ╱│
  0 ├──╱─┼──→ x
    │ ╱  │
 -2 ├○   │  f(x) = x-2 (x<0)
    │    0
    (空心圈表示左极限)

第二部分：间断点及其分类 | Discontinuities and Classification

2.1 间断点的定义

定义 4.3（间断点）

设函数 $f$ 在某 $U^{\circ }(x_0)$ 上有定义。若 $f$ 在点 $x_0$ 无定义，或 $f$ 在点 $x_0$ 有定义但不连续，则称点 $x_0$ 为函数 $f$ 的间断点或不连续点（discontinuity）。

2.2 间断点的完整分类体系 ★重要★

根据函数在间断点的极限行为，可将间断点分为两大类：

                  间断点
                    │
        ┌───────────┴───────────┐
        │                       │
   第一类间断点              第二类间断点
   (左右极限都存在)          (至少一侧极限不存在)
        │                       │
    ┌───┴───┐               ┌───┴───┐
    │       │               │       │
  可去    跳跃             无穷    振荡
间断点  间断点           间断点  间断点

2.3 第一类间断点

特征：函数在该点的左右极限都存在。

类型 1：可去间断点（Removable Discontinuity）

定义 4.4

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 存在，但下列情况之一成立：

1. $f$ 在点 $x_0$ 无定义
2. $f$ 在点 $x_0$ 有定义但 $f(x_0)\ne A$

则称点 $x_0$ 为 $f$ 的可去间断点。

名称由来：可以通过重新定义（或补充定义）$f(x_0)=A$ 来"去掉"间断，使函数在 $x_0$ 连续。

例 4.5：讨论 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 的间断点类型

解：

函数在 $x=0$ 无定义，但： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

因此 $x=0$ 是 $f$ 的可去间断点。

补充定义：定义 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$，则 $f$ 在 $x=0$ 连续。

例 4.6：讨论 $f(x)=|\text{sgn}x|$ 在 $x=0$ 的间断点

定义： $$\text{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array},|\text{sgn}x|=\{\begin{array}{ll}1,& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

解： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }|\text{sgn}x|=1,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }|\text{sgn}x|=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }|\text{sgn}x|=1\ne f(0)=0$$

因此 $x=0$ 是 $f$ 的可去间断点。

补充定义：令 $f(0)=1$，则函数在 $x=0$ 连续。

类型 2：跳跃间断点（Jump Discontinuity）

定义 4.5

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 的左右极限都存在，但 $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

则称点 $x_0$ 为 $f$ 的跳跃间断点。

特征：函数在该点有"跳跃"。

跳跃量：$J=f(x_0+0)-f(x_0-0)$

例 4.7（取整函数）：讨论 $f(x)=[x]$ 的间断点

解：

在整数点 $x=n$（$n\in \mathbb{Z}$）： $$\underset{x\to n^{-}}{\lim }[x]=n-1,\underset{x\to n^{+}}{\lim }[x]=n$$

由于 $n-1\ne n$，所以所有整数点都是跳跃间断点。

图示：

    y
  3 ├────●
    │    │
  2 ├────●○
    │    │
  1 ├────●○
    │    │
  0 ├────●○─────→ x
    0  1 2  3
    (●实心，○空心)

跳跃量：$J=1$（每个整数点）

例 4.8（符号函数）：讨论 $f(x)=\text{sgn}x$ 在 $x=0$ 的间断点

解： $$f(0-0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(-1)=-1$$

$$f(0+0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$$

由于 $-1\ne 1$，所以 $x=0$ 是 $f$ 的跳跃间断点，跳跃量 $J=1-(-1)=2$。

2.4 第二类间断点

特征：函数在该点至少有一侧极限不存在（可能是 $\infty$，也可能振荡）。

类型 3：无穷间断点（Infinite Discontinuity）

若 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$ 或 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty$，则称 $x_0$ 为无穷间断点。

例 4.9：讨论 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的间断点

解： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$$

因此 $x=0$ 是 $f$ 的无穷间断点（第二类）。

图示：

    y
    │    ╱
    │   ╱
    │  ╱
────┼─────→ x
    │╲ 
    │ ╲
    │  ╲
    (渐近线 x=0)

例 4.10：讨论 $f(x)=\tan x$ 的间断点

解：

在 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）处： $$\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\tan x=+\infty ,\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\tan x=-\infty$$

因此，$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 都是无穷间断点。

类型 4：振荡间断点（Oscillating Discontinuity）

若极限不存在且不是趋于无穷，而是振荡不定，则称为振荡间断点。

例 4.11：讨论 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的间断点

解：

当 $x\to 0$ 时，$\frac{1}{x}\to \infty$，$\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 之间无限振荡。

取两个数列：

• $x_n^{\prime }=\frac{1}{2n\pi }\to 0$，$\sin \frac{1}{x_n^{\prime }}=\sin (2n\pi )=0\to 0$
• $x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\to 0$，$\sin \frac{1}{x_n^{\prime \prime }}=\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1\to 1$

由归结原则，${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$ 不存在。

因此 $x=0$ 是 $f$ 的振荡间断点（第二类）。

图示：在 $x=0$ 附近振荡无数次。

例 4.12（狄利克雷函数）：$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

解：

对任何点 $x_0\in \mathbb{R}$，在其任何邻域内都有有理数和无理数，因此：

• 取有理数列 $\{x_n^{\prime }\}\to x_0$，$D(x_n^{\prime })=1\to 1$
• 取无理数列 $\{x_n^{\prime \prime }\}\to x_0$，$D(x_n^{\prime \prime })=0\to 0$

由归结原则，${\lim }_{x\to x_0}D(x)$ 不存在。

因此，$\mathbb{R}$ 上每一点都是 $D(x)$ 的第二类间断点（振荡）。

2.5 间断点分类总结表

2.6 间断点判别流程图

         判断 x₀ 是否为间断点
                 │
        ┌────────┴────────┐
        │                 │
     f(x₀) 有定义?    f(x₀) 无定义
        │                 │
   lim f(x) = f(x₀)?    必是间断点
   x→x₀    │             │
      ┌────┴────┐    lim f(x) 存在?
      是        否    x→x₀  │
      │         │       ┌───┴───┐
    连续点    间断点     是      否
                │        │       │
           f(x₀-0)?  可去   第二类
           f(x₀+0)?  间断点    │
                │           ┌───┴───┐
           ┌────┴────┐      │       │
         都存在  至少一侧    →∞   振荡
           │     不存在    无穷  间断点
       ┌───┴───┐   │     间断点
       相等   不等  第二类
       │      │
     可去    跳跃
   间断点  间断点

第三部分：区间上的连续函数 | Continuous Functions on Intervals

3.1 区间上连续函数的定义

定义 4.6（区间上的连续函数）

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上的每一点都连续，则称 $f$ 为 $I$ 上的连续函数。

注意：

• 对于闭区间 $[a,b]$，在端点 $a$ 处指右连续，在端点 $b$ 处指左连续
• 对于开区间 $(a,b)$，指在区间内每点都连续

定义 4.7（分段连续函数）

若函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上分段连续。

3.2 基本连续函数

基本初等函数的连续性

1. 常函数：$f(x)=c$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 幂函数：$f(x)=x^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续（$n\in {\mathbb{N}}^{+}$）
3. 指数函数：$f(x)=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续（$a>0,a\ne 1$）
4. 对数函数：$f(x)={\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续
5. 三角函数：$\sin x$, $\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续；$\tan x$, $\cot x$ 在定义域上连续
6. 反三角函数：$\arcsin x$, $\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 上连续；$\arctan x$, $\text{arccot}x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例 4.13：证明 $f(x)=\sin x$ 在任何点 $x_0\in \mathbb{R}$ 连续

证明（已在第三章完成）：

利用三角恒等式： $$|\sin x-\sin x_0|=\left|2\cos \frac{x+x_0}{2}\sin \frac{x-x_0}{2}\right|\le 2\cdot 1\cdot \left|\frac{x-x_0}{2}\right|=|x-x_0|$$

对任给 $\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon$，则当 $|x-x_0|<\delta$ 时： $$|\sin x-\sin x_0|\le |x-x_0|<\epsilon$$

因此 $\sin x$ 在 $x_0$ 连续。由 $x_0$ 的任意性，$\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。✓

3.3 连续函数的四则运算

定理 4.2（连续函数的四则运算）

设函数 $f$ 和 $g$ 在点 $x_0$ 连续，则：

1. 和：$f+g$ 在 $x_0$ 连续
2. 差：$f-g$ 在 $x_0$ 连续
3. 积：$f\cdot g$ 在 $x_0$ 连续
4. 商：若 $g(x_0)\ne 0$，则 $\frac{f}{g}$ 在 $x_0$ 连续

证明思路：利用函数极限的四则运算法则。

3.4 复合函数的连续性

定理 4.3（复合函数的连续性定理）

设函数 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$g(x_0)=u_0$；函数 $y=f(u)$ 在点 $u_0$ 连续。则复合函数 $y=f(g(x))$ 在点 $x_0$ 连续。

证明：

由 $g$ 在 $x_0$ 连续： $$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=g(x_0)=u_0$$

由 $f$ 在 $u_0$ 连续： $$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=f(u_0)$$

由复合函数极限定理（且连续保证 $g(x)\ne u_0$ 的条件自动满足）： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=f\left(\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\right)=f(g(x_0))$$

即 $f\circ g$ 在 $x_0$ 连续。✓

3.5 反函数的连续性

定理 4.4（反函数连续性定理）

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应区间 $J=f(I)$ 上也严格单调且连续。

证明（详见后续内容）

3.6 初等函数的连续性

定理 4.5（初等函数连续性定理）★重要★

一切初等函数在其定义区间上都是连续的。

定义区间：指使函数有意义的区间（不包含使分母为零、对数真数非正、偶次根号下为负等的点）。

例 4.14：讨论 $f(x)=\ln (1-x^2)$ 的连续性

解：

定义域：$1-x^2>0\Rightarrow |x|<1\Rightarrow x\in (-1,1)$

由初等函数连续性定理，$f$ 在 $(-1,1)$ 上连续。

在端点：

• ${\lim }_{x\to 1^{-}}\ln (1-x^2)=-\infty$（无穷间断点）
• ${\lim }_{x\to -1^{+}}\ln (1-x^2)=-\infty$（无穷间断点）

3.7 特殊连续函数：黎曼函数

例 4.15（黎曼函数，教材例3）

定义黎曼函数（Riemann Function）： $$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q}\text{（既约真分数），}q\in {\mathbb{N}}^{+}\\ 0,& x=0,1\text{ 或 }x\in (0,1)\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{array}$$

定理：$R(x)$ 在 $(0,1)$ 上的每个无理点连续，每个有理点不连续。

证明：

① 无理点连续

设 $\xi \in (0,1)$ 为无理数。对任给 $\epsilon >0$（不妨设 $0<\epsilon <1$）。

满足 $\frac{1}{q}\ge \epsilon$（即 $q\le \frac{1}{\epsilon }$）的正整数 $q$ 只有有限个。

对应的有理数 $x=\frac{p}{q}\in (0,1)$ 满足 $R(x)\ge \epsilon$ 的也只有有限个，设为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$。

取 $$\delta =\min \{|\xi -x_1|,|\xi -x_2|,\dots ,|\xi -x_n|\}>0$$

则对任何 $x\in U(\xi ;\delta )\cap (0,1)$：

• 若 $x$ 是有理数，则 $R(x)<\epsilon$
• 若 $x$ 是无理数，则 $R(x)=0$

因此： $$|R(x)-R(\xi )|=|R(x)-0|=R(x)<\epsilon$$

故 $R(x)$ 在无理点 $\xi$ 连续。✓

② 有理点不连续

设 $\frac{p}{q}\in (0,1)$ 为既约真分数。取 ${\epsilon }_0=\frac{1}{2q}$。

对任何 $\delta >0$，在 $U\left(\frac{p}{q};\delta \right)$ 内总可取到无理数 $x$，使得： $$|R(x)-R\left(\frac{p}{q}\right)|=\left|0-\frac{1}{q}\right|=\frac{1}{q}=2{\epsilon }_0>{\epsilon }_0$$

因此 $R(x)$ 在有理点 $\frac{p}{q}$ 不连续。✓

深刻意义：

• 存在函数在有理数集（稠密可数集）上不连续，在无理数集（稠密不可数集）上连续
• 连续性与集合的拓扑性质密切相关

第四部分：连续函数的局部性质 | Local Properties of Continuous Functions

4.1 局部有界性

定理 4.6（局部有界性）

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续，则 $f$ 在某 $U(x_0)$ 上有界。

证明：

由 $f$ 在 $x_0$ 连续，${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

由函数极限的局部有界性（定理 3.3），存在 $\delta >0$ 和 $M>0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时： $$|f(x)|\le M$$

对于 $x=x_0$，$|f(x_0)|=|f(x_0)|$ 有限。

取 $M^{\prime }=\max \{M,|f(x_0)|\}$，则对所有 $x\in U(x_0;\delta )$： $$|f(x)|\le M^{\prime }$$

证毕！✓

4.2 局部保号性

定理 4.7（局部保号性）

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续，且 $f(x_0)>0$（或 $<0$），则存在 $U(x_0)$，使得在该邻域内 $f(x)>0$（或 $<0$）。

证明：

设 $f(x_0)>0$。由 $f$ 在 $x_0$ 连续： $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)>0$$

由极限的保号性（定理 3.4），存在 $\delta >0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时： $$f(x)>\frac{f(x_0)}{2}>0$$

证毕！✓

4.3 局部保不等式性

定理 4.8（局部保不等式性）

设函数 $f,g$ 在点 $x_0$ 连续，且 $f(x_0)<g(x_0)$，则存在 $U(x_0)$，使得在该邻域内 $f(x)<g(x)$。

证明：

令 $h(x)=g(x)-f(x)$，则 $h$ 在 $x_0$ 连续，且： $$h(x_0)=g(x_0)-f(x_0)>0$$

由局部保号性，存在 $U(x_0)$，使得在该邻域内 $h(x)>0$，即： $$g(x)-f(x)>0\Rightarrow f(x)<g(x)$$

证毕！✓

第五部分：连续函数的全局性质 | Global Properties on Closed Intervals ★核心★

重要说明：以下定理都是针对闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，是微积分学的基石定理。

5.1 有界性与最大最小值定理

定理 4.9（有界性定理，Boundedness Theorem）

若函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

即：存在 $M>0$，使得对所有 $x\in [a,b]$，有 $|f(x)|\le M$。

定理 4.10（最大最小值定理，Extreme Value Theorem）★★★

若函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必能取得最大值和最小值。

即：存在 $\xi ,\eta \in [a,b]$，使得对所有 $x\in [a,b]$： $$f(\xi )\le f(x)\le f(\eta )$$

其中 $f(\xi )={\min }_{x\in [a,b]}f(x)$，$f(\eta )={\max }_{x\in [a,b]}f(x)$。

证明思路（完整证明需要实数完备性）：

利用确界原理和连续性，证明上确界（或下确界）可以达到。（详细证明略）

重要性：

• 这是微积分基本定理之一
• 保证了连续函数在闭区间上的"最优化问题"有解
• 三个条件缺一不可：连续、闭区间、有界

反例说明条件必要性：

① 开区间上连续不一定有最值

$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续，但无最大值和最小值（上确界 $1$ 和下确界 $0$ 都达不到）。

② 闭区间上不连续不一定有最值

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [0,1)\\ 0,& x=1\end{array}$$

在 $[0,1]$ 上无最大值（上确界 $1$ 达不到）。

③ 无界区间上连续不一定有最值

$f(x)=x$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续但无最大值。

5.2 介值性定理 ★★★

定理 4.11（介值性定理，Intermediate Value Theorem）

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\ne f(b)$。若 $\mu$ 是介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任一实数，即： $$\min \{f(a),f(b)\}<\mu <\max \{f(a),f(b)\}$$

则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得： $$f(\xi )=\mu$$

几何意义：连续函数从一个函数值连续变化到另一个函数值时，必然经过中间的每一个值。

    y
    │       f(b)
    │         ●
    │        ╱│
  μ ├───────●─┤ ← 必存在 ξ 使 f(ξ) = μ
    │      ╱  │
    │     ╱   │
    │  ●      │ f(a)
    └──┴───┴──┴──→ x
       a   ξ  b

推论 4.11.1（零点定理，Zero Theorem）

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$（即 $f(a)$ 和 $f(b)$ 异号），则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得： $$f(\xi )=0$$

证明：取 $\mu =0$，直接应用介值定理。✓

应用：

1. 方程求根：证明方程 $f(x)=0$ 在某区间有解
2. 不动点定理：$f([a,b])\subseteq [a,b]\Rightarrow \exists \xi :f(\xi )=\xi$
3. 二分法：数值求根的理论基础

例 4.16：证明方程 $x^3-x-1=0$ 在 $(1,2)$ 内有实根

证明：

令 $f(x)=x^3-x-1$，则 $f$ 在 $[1,2]$ 上连续。

$$f(1)=1-1-1=-1<0$$

$$f(2)=8-2-1=5>0$$

由于 $f(1)\cdot f(2)<0$，由零点定理，存在 $\xi \in (1,2)$，使得 $f(\xi )=0$。

即方程在 $(1,2)$ 内有实根。✓

例 4.17（不动点定理）：设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 连续，证明 $f$ 至少有一个不动点，即存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f(\xi )=\xi$

证明：

令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g$ 在 $[0,1]$ 上连续。

$$g(0)=f(0)-0=f(0)\ge 0$$

$$g(1)=f(1)-1\le 1-1=0$$

情形1：若 $g(0)=0$ 或 $g(1)=0$，则 $\xi =0$ 或 $\xi =1$ 是不动点。

情形2：若 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$，则 $g(0)\cdot g(1)<0$。

由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g(\xi )=0$，即 $f(\xi )=\xi$。

证毕！✓

推论 4.11.2

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f([a,b])$ 是一个闭区间 $[m,M]$，其中： $$m=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x),M=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x)$$

意义：连续函数把闭区间映射为闭区间。

5.3 连续函数的性质总结

第六部分：一致连续性 | Uniform Continuity ★高级概念★

6.1 一致连续的定义

定义 4.8（一致连续）

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。若对任给的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有： $$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$

则称 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续（uniformly continuous）。

一致连续与连续的区别

普通连续（点态连续）： $$\forall x_0\in I,\forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon ,x_0)>0:|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

关键：$\delta$ 依赖于 $\epsilon$ 和 $x_0$。

一致连续： $$\forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon )>0,\forall x_1,x_2\in I:|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$

关键：$\delta$ 只依赖于 $\epsilon$，与点无关。

直观理解：

• 连续：在每个点附近"不跳跃"
• 一致连续：在整个区间上"一致地不跳跃"，即函数的"平滑程度"在整个区间上是均匀的

6.2 Cantor 定理

定理 4.12（Cantor 一致连续性定理）★★★

若函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

证明（需要实数完备性，略）

重要性：

• 闭区间上的连续函数自动一致连续
• 这是连续函数的深刻性质
• 在积分理论、数值分析中有重要应用

6.3 一致连续的判定

判定方法

① 正面判定（定义法）

直接验证：对任给 $\epsilon >0$，找到与 $x$ 无关的 $\delta (\epsilon )$。

例 4.18：证明 $f(x)=2x+3$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续

证明：

对任给 $\epsilon >0$，任取 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$： $$|f(x_1)-f(x_2)|=|2x_1+3-2x_2-3|=2|x_1-x_2|$$

取 $\delta =\frac{\epsilon }{2}$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时： $$|f(x_1)-f(x_2)|=2|x_1-x_2|<2\delta =\epsilon$$

且 $\delta$ 与 $x_1,x_2$ 的位置无关，故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。✓

② 反面判定（构造数列法）

$f$ 在 $I$ 上不一致连续 $⟺$ 存在 ${\epsilon }_0>0$ 及两个数列 $\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{\prime \prime }\}\subset I$，使得： $$|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|\to 0,\text{但}|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|\ge {\epsilon }_0$$

例 4.19：证明 $f(x)=x^2$ 在 $(0,+\infty )$ 上不一致连续

证明（反证法）：

取 $x_n^{\prime }=n$，$x_n^{\prime \prime }=n+\frac{1}{n}$，则： $$|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|=\frac{1}{n}\to 0$$

但： $$|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|=\left|n^2-{\left(n+\frac{1}{n}\right)}^2\right|$$

$$=\left|n^2-n^2-2-\frac{1}{n^2}\right|=\left|2+\frac{1}{n^2}\right|\to 2$$

取 ${\epsilon }_0=1$，当 $n$ 充分大时，$|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|>{\epsilon }_0$。

因此 $f(x)=x^2$ 在 $(0,+\infty )$ 上不一致连续。✓

原因：函数增长太快，导数无界。

例 4.20：证明 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上不一致连续

证明：

取 $x_n^{\prime }=\frac{1}{2n\pi }$，$x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$，则： $$|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|=\left|\frac{1}{2n\pi }-\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\right|=\frac{\frac{\pi }{2}}{2n\pi (2n\pi +\frac{\pi }{2})}\to 0$$

但： $$|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|=|\sin (2n\pi )-\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})|=|0-1|=1$$

取 ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}$，始终有 $|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|=1>{\epsilon }_0$。

因此不一致连续。✓

判定准则总结

第七部分：综合应用与典型例题 | Applications and Examples

7.1 方程求根问题

例 4.21：证明方程 $e^x=3-x$ 在 $(0,2)$ 内有唯一实根

证明：

存在性：令 $f(x)=e^x+x-3$，则 $f$ 在 $[0,2]$ 上连续。

$$f(0)=1+0-3=-2<0$$

$$f(2)=e^2+2-3=e^2-1>0$$

由零点定理，存在 $\xi \in (0,2)$ 使得 $f(\xi )=0$，即 $e^{\xi }=3-\xi$。

唯一性：$f^{\prime }(x)=e^x+1>0$，故 $f$ 严格单调递增，零点唯一。✓

7.2 不等式证明

例 4.22：设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=f(1)=0$，${\max }_{x\in [0,1]}f(x)=1$。证明：对任何 $\lambda \in (0,1)$，存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f(\xi )=\lambda$

证明：

由条件，存在 $c\in (0,1)$ 使得 $f(c)=1$（最大值定理）。

在区间 $[0,c]$ 上：

• $f(0)=0<\lambda <1=f(c)$
• $f$ 在 $[0,c]$ 上连续

由介值定理，存在 ${\xi }_1\in (0,c)\subset [0,1]$ 使得 $f({\xi }_1)=\lambda$。

同理，在区间 $[c,1]$ 上：

• $f(c)=1>\lambda >0=f(1)$
• $f$ 在 $[c,1]$ 上连续

由介值定理，存在 ${\xi }_2\in (c,1)\subset [0,1]$ 使得 $f({\xi }_2)=\lambda$。

因此，至少存在两个点使得 $f(\xi )=\lambda$。✓

例 4.23（罗尔中值定理的前奏）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=f(b)$。证明：对任意正整数 $n$，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得

$$f(\xi )=f\left(\xi +\frac{b-a}{n}\right)$$

证明：

令 $g(x)=f(x)-f\left(x+\frac{b-a}{n}\right)$，定义域为 $\left[a,b-\frac{b-a}{n}\right]$。

则 $g$ 连续，且： $$g(a)=f(a)-f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)$$

$$g\left(b-\frac{b-a}{n}\right)=f\left(b-\frac{b-a}{n}\right)-f(b)$$

注意到： $$g(a)+g\left(a+\frac{b-a}{n}\right)+\cdots +g\left(b-\frac{b-a}{n}\right)$$

$$=\left[f(a)-f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)\right]+\left[f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+\frac{2(b-a)}{n}\right)\right]+\cdots$$

$$=f(a)-f(b)=0$$

因此，至少有一个 $g(x_i)=0$（否则全同号，和不为零）。

设 $g(\xi )=0$，则 $f(\xi )=f\left(\xi +\frac{b-a}{n}\right)$。✓

7.3 最值应用

例 4.24：求函数 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值

解：

$f$ 在 $[-2,2]$ 上连续，由最大最小值定理，最值必定存在。

候选点：

1. 端点：$f(-2)=-8+6=-2$，$f(2)=8-6=2$
2. 驻点（导数为零的点，后续学习）：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$

计算驻点函数值：

• $f(-1)=-1+3=2$
• $f(1)=1-3=-2$

比较所有候选点： $$\max \{f(-2),f(-1),f(1),f(2)\}=\max \{-2,2,-2,2\}=2$$

$$\min \{f(-2),f(-1),f(1),f(2)\}=\min \{-2,2,-2,2\}=-2$$

答案：最大值 $2$（在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处），最小值 $-2$（在 $x=-2$ 和 $x=1$ 处）。

7.4 连续性的综合判断

例 4.25：讨论函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1\\ a,& x=1\end{array}$$ 在 $x=1$ 的连续性，并确定 $a$ 的值使其连续。

解：

当 $x\ne 1$ 时： $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$$

因此： $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$$

若要 $f$ 在 $x=1$ 连续，需要： $$f(1)=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$$

答案：$\boxed{a=2}$

例 4.26：设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$ 讨论 $f$ 在 $x=0$ 的连续性及一致连续性。

解：

连续性： $$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0=f(0)$$

（由 $|x\sin \frac{1}{x}|\le |x|\to 0$）

因此 $f$ 在 $x=0$ 连续。✓

一致连续性（在 $[-1,1]$ 上）：

$f$ 在 $[-1,0)\cup (0,1]$ 上连续（初等函数）。

$f$ 在 $x=0$ 连续。

因此 $f$ 在 $[-1,1]$ 上连续，由 Cantor 定理，$f$ 在 $[-1,1]$ 上一致连续。✓

7.5 实际应用问题

例 4.27（温度分布）：一根金属棒长 $1$ 米，左端温度 $0°C$，右端温度 $100°C$。假设温度分布是连续的。证明：棒上存在一点，该点温度恰好是 $50°C$。

证明：

设温度分布函数为 $T(x)$（$0\le x\le 1$），其中 $x$ 是距左端的距离。

由题设：

• $T$ 在 $[0,1]$ 上连续
• $T(0)=0$，$T(1)=100$

由介值定理，对 $\mu =50\in (0,100)$，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得： $$T(\xi )=50$$

即存在某点温度恰好是 $50°C$。✓

推广：存在点温度为 $[0,100]$ 之间的任意值。

例 4.28（经济学应用）：某商品需求函数 $D(p)$ 和供给函数 $S(p)$ 都是价格 $p$ 的连续函数，且：

• $D(0)=1000>0=S(0)$（价格为零时需求大于供给）
• $D(100)=0<500=S(100)$（高价时供给大于需求）

证明：存在均衡价格 $p^{\ast }\in (0,100)$ 使得 $D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$。

证明：

令 $f(p)=D(p)-S(p)$，则 $f$ 在 $[0,100]$ 上连续。

$$f(0)=1000-0=1000>0$$

$$f(100)=0-500=-500<0$$

由零点定理，存在 $p^{\ast }\in (0,100)$ 使得 $f(p^{\ast })=0$，即： $$D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$$

这就是均衡价格。✓

第八部分：高级主题与拓展 | Advanced Topics

8.1 反函数的连续性定理（完整证明）

定理 4.13（反函数连续性定理）

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则：

1. $f$ 的值域 $J=f(I)$ 是一个区间
2. 反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $J$ 上存在
3. $f^{-1}$ 在 $J$ 上严格单调（单调性同 $f$）且连续

证明：

① $J$ 是区间

不妨设 $f$ 严格单调递增。取 $y_1,y_2\in J$，$y_1<y_2$，及任意 $y\in (y_1,y_2)$。

存在 $x_1,x_2\in I$ 使得 $f(x_1)=y_1$，$f(x_2)=y_2$。

由 $f$ 严格单调递增，$x_1<x_2$。

在 $[x_1,x_2]$ 上应用介值定理：$y_1<y<y_2=f(x_2)$，

存在 $\xi \in (x_1,x_2)\subset I$ 使得 $f(\xi )=y$，即 $y\in J$。